上三角算子矩阵的谱
上三角算子矩阵的(ω)性质的摄动
上三角算子矩阵的(ω)性质的摄动吴学俪;曹小红;张敏【摘要】根据2×2上三角算子矩阵对角上的两个算子的谱集的特点来研究该2×2上三角算子矩阵的平方满足(ω)性质在紧摄动下的稳定性,并给出了2×2上三角算子矩阵的平方满足(ω)性质紧摄动的充要条件.%According to the characteristics of spectrum of 2 × 2 upper triangular operator matrices on the diagonal,the stability of property (ω) was examined for the square of 2 × 2 upper triangular operator matrices under compact perturbation,and the sufficient and necessary conditions for the square of 2 × 2 upper triangular operator matrices satisfying the compact perturbation of pr operty (ω) are given.【期刊名称】《西北大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2017(047)002【总页数】7页(P167-173)【关键词】(ω)性质;紧摄动;上三角算子矩阵【作者】吴学俪;曹小红;张敏【作者单位】陕西师范大学数学与信息科学学院,陕西西安710119;陕西师范大学数学与信息科学学院,陕西西安710119;陕西师范大学数学与信息科学学院,陕西西安710119【正文语种】中文【中图分类】O177.2在本文中,H与K都表示无限维的复可分Hilbert空间,B(H,K)表示H到K上的有界线性算子的全体,记B(H,H)=B(H),K(H)表示B(H)中紧算子的全体。
上三角算子矩阵的左右Weyl谱与Weyl谱
] 2006 - 12 - 12 [修回日期 ] 2007 - 03 - 02 [基金项目 ] 国家自然科学基金资助项目 ( 10 471 025) ; 福建省自然科学基 金资 助项 目 [作者简介 ] 陈晓玲 ( 198 0 —) , 女 , 助教 , 硕士 , 从事泛函分析方面的研究.
的最小非负整数 k, 如果这样的 k不存在 , 则记 des ( T) = ∞ . 上半 Fredholm 算子集 Φ + ( X) = { T ∈ B ( X) : R ( T) 闭且 α ( T) < ∞ } , 下半 Fredholm算子全体 Φ - ( X) = { T ∈ B ( X) : β( T) < ∞ } , Fred 2 holm 算子集 Φ ( X) = Φ + ( X) ∩Φ - ( X) , 半 F redholm 算子集 Φ ± ( X) = Φ + ( X) ∪Φ - ( X) . 当 T ∈ Φ ± (X) 时 , 指标 ind ( T) = α ( T) - β( T) , Φ 0 ( X) = { T ∈Φ ( X) : in d ( T) = 0 }. 而左半 Fredholm算 子全体 Φ l ( X) = { T ∈B ( X) : R ( T) 闭且在 X 中可补 , α( T) < ∞} , 右半 Fredhol m 算子全体 Φ r ( X ) =
矩阵特征值问题
§1、特征值的估计
由于工程计算中求矩阵尤其是高阶矩阵的 精确特征值通常比较困难，而许多情况下我们 只需要知道特征值在什么范围内变化或者落在 什么区域内，例如判断方阵的幂级数是否收敛 只要看方阵的特征值的模或谱半径是否小于1， 因此特征值的估计就显得尤其必要，这方面的 理论在特征值问题中相当经典。
由于
实际上是 的
一个
维子空间，因此我们希望将
搜索极值的空间放大到任意
维子空
间 。而增大后的集合的极大值不会比原集
合的小，极小值也不会比原集合大。
58
设有 则
，并假定
，即
59
并且当
时等号成立。因此
60
一般地，我们有
定理4 (Courant-Fischer)设
是
Hermite矩阵，其特征值为
，则
存在Hermite矩阵特征值的极值原理
48
一、 Rayleigh商
二次型
，如果存在
，那么
所以如果
，我们自然也希望
49
定义1 设
是Hermite矩阵，称
为矩阵 的Rayleigh商。 注意到
因此我们可以把对 在单位球面
的极性的讨论限定 上。
50
单位球面 是闭集，又因为
是 的连续
函数，因此根据多元函数的最值定理，
在 上存在最大值和最小值。由于特征值与
对于广义特征值问题
，可以通过
适当选择位移(shift)或极点(pole) ，再通过 求逆，将之转化为SEP：
这种方法的优点是特征向量不变，矩阵 奇 异时也可以使用，并且在求解邻近 的特征 值或绝对值很小的特征值时效率较高。缺点仍 然是 一般不是特殊矩阵。
Kato—Weyl算子矩阵的性质
（ Ｔ ） ： 』 ｎ ｆ ｛ Ｉ Ｔ ） （ Ｉ ｌ ： ｄ ｉ Ｓ （ ｘ ， Ｎ （ Ｔ ） ） ＝ １ ） ， 若 Ｔ＝０． ０ １ ，
＿ ｃ ｌ ｌ ｙ （ ）
若 Ｔ≠０ ；
称７ ｔ ∈曰 （ 日 ）为 一 个 上 半 Ｆ ｒ ｅ ｄ ｈ ｏ ｌ ｍ算 子 ， 若 ｎ （ Ｔ ）＜ｏ ｏ ， 且尺 （ ）闭； 若ｄ （ Ｔ ）＜ｏ ｏ ， 且 （ ）闭 ， 则称 为一个下半 Ｆ ｒ ｅ ｄ ｈ ｏ ｌ ｍ算子． 算 子Ｔ∈Ｂ （ Ｈ）
田俊 红 ，白永 茂
（ 天水师范学院 数学 与统计学院 ，甘肃 天水 ７ ４ １ ０ ０ １ ）
摘
要 ：定 义 了 Ｋ ａ ｔ ｏ — Ｗｅ ｙ ｌ 算 子 及 其 谱 集 ，研 究 了在 Ｈ ｉ ｌ ｂ ｅ ｒ ｔ 空 间上 ， 当Ａ ∈ Ｂ（ 日） ，Ｂ ∈ Ｂ（ ） 且 为Ｋ ａ ｔ ｏ — Ｗｅ ｙ ｌ 算子 的条件及其重要性质
ｎ （ ）＝ ｄ ｉ ｍ Ｎ（ Ｔ ）； ｄ （ ）
（ ）＝ ｛ Ａ∈Ｃ ： Ｔ—Ａ Ｉ 不 为下半 Ｆ ｒ ｅ ｄ ｈ ｏ ｌ ｍ） ．
ｐ （ ）表示算子 的预解集 ， （ ） ＝Ｃ＼ ｐ （ ）为 ７ １
的谱 集 ． 的极小 约化模 定义 为
表示值域Ｒ （ ）的余维数献 【 ２ ］ 知，
ｏ ｒ （ ）＝ｏ ｒ （ Ｔ ）．
Ｒ（ ） ＝Ｒ（ “）的最 小 的非 负 整 数 ， 同 样 当这 样 的整数 不存 在 时 ， 记ｄ ｅ ｓ （ Ｔ ）＝∞． 用
＋
Ｋ ａ ｔ ｏ 算 子是一 类非 常重 要 的算 子 ， 有关 Ｋ ａ ｔ ｏ 谱， 更 多 的性质 见 文 献 （ ［ １ ］ ， ［ ３ — ６ ］ ） ．算 子 矩 阵 的各 种 谱 的摄 动 已被 多次研究 ， 见 文献 （ ［ ２ ］ ， 【 ７ — ９ ］ ） ．
【国家自然科学基金】_上三角算子矩阵_基金支持热词逐年推荐_【万方软件创新助手】_20140802
推荐指数 4 3 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2011年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
2011年 科研热词 谱 上三角算子矩阵 banach空间 谱扰动 算子矩阵 无穷维 无界算子矩阵 扰动 hamilton算子 推荐指数 4 2 2 1 1 1 1 1 1
2012年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8
科研热词 谱 本征函数展开法 指标 二维弹性问题 上三角算子矩阵 一般解 kato算子 fredholm算子
推荐指数 1 1 1 1 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
科研热词 降标 谱 能谱 算子矩阵 立方幂等阵 矩阵的群逆 正交阵 映射 幂等阵 可加映射 升标 不变子空间格 下半fredholm算子 上三角算子矩阵 上三角矩阵代数 上三角矩阵 上三角块阵模 三角型 moore-penrose谱. moore-penrose可逆 kato算子 k-幂等矩阵 drazin谱 2*2阶上三角型算子矩阵
科研热词 推荐指数 线性保持问题 2 广义数值域 2 块算子矩阵 2 上三角算子矩阵 2 q次数值域 2 零空间 1 闭性 1 近似点谱 1 谱 1 算子矩阵 1 满射 1 可逆性 1 值域 1 亏谱 1 下方有界 1 上三角有界算子矩阵 1 上三角有界hamilton算子 1 weyl谱 1 browder谱 1
推荐指数 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2010年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
科研热词 缺项算子 fredholm算子 谱 weyl谱 weyl算子 谱补 谱的自伴扰动 谱扰动 点谱 本质谱 本征函数展开法 无穷维hamilton算子 二维弹性问题 上三角微分系统 一般解 kato谱 2*2算子矩阵
《2024年上三角算子矩阵谱的自伴扰动问题》范文
《上三角算子矩阵谱的自伴扰动问题》篇一一、引言在数学物理的多个领域中，算子矩阵的谱问题一直是一个重要的研究方向。
其中，上三角算子矩阵由于其特殊的结构，在量子力学、电路分析以及控制理论等领域中有着广泛的应用。
然而，当这些上三角算子矩阵受到自伴扰动时，其谱的性质可能会发生显著的变化。
本文将重点探讨上三角算子矩阵在自伴扰动下的谱变化问题。
二、上三角算子矩阵的基本概念上三角算子矩阵是指矩阵中所有下三角元素为零的算子矩阵。
在有限维空间中，上三角矩阵的谱性质研究较为成熟，但在无穷维空间中，由于其涉及到的函数空间和算子理论更为复杂，因此研究起来更具挑战性。
三、自伴扰动的定义及性质自伴扰动是指对算子矩阵进行某种形式的扰动，使得扰动后的算子矩阵与原算子矩阵在某种意义上具有自伴性。
自伴性是算子矩阵的一个重要性质，它决定了算子矩阵的谱的实数性和正交性。
因此，研究自伴扰动对上三角算子矩阵谱的影响具有重要意义。
四、上三角算子矩阵在自伴扰动下的谱变化当上三角算子矩阵受到自伴扰动时，其谱可能会发生以下变化：1. 实谱的变化：由于自伴扰动的引入，上三角算子矩阵的谱可能由原来的复数域变为实数域，这有利于我们对谱的分析和计算。
2. 谱的稳定性：在一定的条件下，自伴扰动对上三角算子矩阵的谱影响较小，即谱的稳定性得以保持。
这为我们提供了在扰动下分析谱性质的可能性。
3. 新的特征值和特征向量的出现：自伴扰动可能使上三角算子矩阵产生新的特征值和特征向量，这对我们理解和应用上三角算子矩阵具有重要意义。
五、研究方法与实例分析针对上三角算子矩阵在自伴扰动下的谱变化问题，我们可以采用以下研究方法：1. 理论分析：通过分析自伴扰动的数学性质，推导出上三角算子矩阵谱的变化规律。
2. 数值模拟：利用计算机软件对上三角算子矩阵进行自伴扰动，观察其谱的变化情况。
3. 实例分析：选取具体的上三角算子矩阵，分析其在自伴扰动下的谱变化，以验证理论分析的正确性。
以一个具体的量子力学问题为例，我们可以考虑一个上三角哈密顿算子矩阵在自伴扰动下的谱变化。
谱分解定理证明
谱分解定理是数学中的一个重要概念，它主要应用于线性代数、泛函分析和量子力学等领域。
谱分解定理的证明方法有很多种，其中最常见的是利用谱理论进行证明。
首先，我们需要了解谱的概念。
对于一个复数矩阵A，其特征值和特征向量构成了其谱，即A的特征值和对应的特征向量的集合。
谱分解定理的主要内容是将一个矩阵分解成若干个线性无关的特征向量张成的子空间的和，这些子空间构成了矩阵的谱。
接下来，我们可以通过定义投影算子来证明谱分解定理。
投影算子是将一个向量投影到某个子空间中的一种线性算子。
对于一个矩阵A，我们可以定义其投影算子P为：Pv = v -λ_1 v_1 -λ_2 v_2 - ... -λ_k v_k，其中v是输入向量，λ_i是A对应的特征值和对应的特征向量。
通过定义投影算子，我们可以证明矩阵A可以分解成若干个线性无关的特征向量张成的子空间的和。
具体证明过程如下：假设矩阵A可以表示为：A = P + Q其中P是一个投影算子，Q是一个与P无关的子空间的张成向量。
由于P是投影算子，所以它可以将一个向量投影到某个子空间中，即对于任意向量v，有Pv ∈S。
同时，由于Q是一个与P无关的子空间的张成向量，所以它张成的子空间与S是线性无关的。
因此，矩阵A 可以表示为两个线性无关的子空间的和，即A = P + Q = S + T，其中S和T分别是与P和Q张成的子空间。
这样，我们就证明了谱分解定理。
在实际应用中，谱分解定理可以用于分解一个矩阵或者一个系统，以便于分析和求解问题。
在量子力学中，谱分解定理可以用于描述一个量子系统的能级和跃迁概率；在泛函分析中，谱分解定理可以用于求解一个泛函的边值问题。
总之，谱分解定理的证明需要利用谱理论和投影算子的定义。
通过定义投影算子并利用线性代数的性质，我们可以证明矩阵可以分解成若干个线性无关的特征向量张成的子空间的和，从而证明了谱分解定理。
谱分解定理在数学、物理和工程领域都有广泛的应用。
各种矩阵 三角矩阵 正定矩阵 正交矩阵 伴随矩阵
三对角矩阵在线性代数中，一个三对角矩阵是矩阵的一种，它“几乎”是一个对角矩阵。
准确来说：一个三对角矩阵的非零系数在主对角线上，或比主对角线低一行的对角线上，或比主对角线高一行的对角线上。
例如，下面的是三对角矩阵：性质三对角矩阵是海森堡矩阵。
尽管一般的三对角矩阵不一定是对称或埃尔米特矩阵，许多解线性代数问题时出现的矩阵却往往有这些性质。
进一步如果一个实三对角矩阵 A 满足a k,k+1 a k+1,k > 0，所以它元素的符号都为正，从而相似于一个埃尔米特矩阵，这样特征值都是实数。
后一个推论如果我们将条件a k,k+1 a k+1,k > 0 换为a k,k+1 a k+1,k≥ 0，结论仍然成立。
所有n×n三对角矩阵的集合组成一个3n-2维向量空间。
许多线性代数算法应用于对角矩阵时所需计算量特别少，这种改进也经常被三对角矩阵继承。
譬如，一个 n 阶三对角矩阵A的行列式能用continuant（Continuant）的递归公式计算：这里是第k个主子式，即是由A最开始的k行k列组成的子矩阵。
用此方法计算三对角矩阵所需计算量是线性n，然而对于一般的矩阵复杂度是 n 的 3 次方。
计算程序一个将一般矩阵变成海森堡型的变换，将厄密特矩阵变成三对角矩阵。
从而，许多特征值算法运用到厄密特矩阵上，第一步将输入的厄密特矩阵变成三对角矩阵。
一个三对角矩阵利用特定的存储方案比一般矩阵所用的存储空间也少得多。
例如，LAPACK Fortran包将一个n-维非对称三对角矩阵存为三个 1-维数列，其中一个长n包含对角元素，其它两个长为n− 1 包含下对角线和上对角线元素。
三对角矩阵方程，能用一种需要O(n)次操作的特殊的算法解出来（Golub and Van Loan）。
正交矩阵概述正交矩阵是实数特殊化的酉矩阵，因此总是正规矩阵。
尽管我们在这里只考虑实数矩阵，这个定义可用于其元素来自任何域的矩阵。
正交矩阵毕竟是从内积自然引出的，对于复数的矩阵这导致了归一要求。