方程组直接三角分解法
设A=LU，记 A (aij ), L (lij ), U (uij ), 其中L为单位下三角阵，
U为上三角阵。我们可直接给出L和U的元素的计算公式。
由A的第1行和第1列可计算出U的第1行和L的第1列，即
u1 j a1 j , j 1, 2,L , n,
（4.2.1）
如果U的第1至k-1列lk1和L的au1k11第,1k至k2-1,列3,L已经, n算. 出，则由（4.2.2）
第四章方程组的直接解法
4.2 直接三角分解法
4.2.1 一般矩阵的直接三角分解法 4.2.2 三对角方程组的追赶法
4.2.3 平方根法
4.2 直接三角分解法
第四章方程组的直接解法
4.2.1 一般矩阵的直接三角分解法
本节讨论矩阵A的三角分解法的直接计算以及直接利用A的三角分 解式来求解方程组。
1.不选主元的三角分解法
1
D 2 diag( d1 , d2 , dn ),
第四章方程组的直接解法
1
11
1
1
令 L L1 L2 ，则有 A L1 D 2 D 2 LT1 ( L1 D 2 )( L1 D 2 )T LLT
由分解式L1DLT1 的唯一性可得（4.2.3）分解式的唯一性。定理得证。
称（4.2.13）式为矩阵A的Cholesky分解。利用A的Cholesky分解式来 求解方程组Ax=b的方法称为Cholesky方法或平方根法，这是因为计算过程 含开方运算。
Ly=Pb和Ux=y。
例4.6 用列选主元的三角分解法解
第四章方程组的直接解法
1 2 3 x1 14 3 1 5 x2 20 2 5 2 x3 18
解 第一步用列选主元后的分解计算结果
~ (2)
3
1 5 20
( A , b(2) ) 1 / 3 2 3 14 ,
1
A 4 4 1,d 3
1 4 2
解 由(4.2.9)得
1 L 0.25 1
4 1
,U 3.75 1
0.2667 1
3.733
由(4.2.10)和(4.2.11)得
第四章方程组的直接解法
y (1,3.25,2.8668)T , X (0.5179,1.0714,0.7679)T
l21 u22
A～
l32
ln1 ln2
uk 1,k 1 lk ,k 1
ln,k 1
a(k) kk
a(k) nk
u1n
u2n
uk 1,n
a(k) kn
a(k) nn
该矩阵与顺序Gauss消去法中得到的A（k）是不同的，这种存储 方式的形式称为紧凑形式。
第四章方程组的直接解法
u1 c1
l2 1
u2 c2
L
l3 1
, U
ln
1
cn1
un
(4.2.8)
利用(4.2.7)和(4.2.7)可得
li
ai
u1 b1 / ui1, i 2,3,...n
ui bi lici1, i 2,3,...n
(4.2.9)
由此可求得L和U的所有元素.。解原方程组Ax=b可分为两步Ly=d 和Ux=y,计算公式为
bi ai ui bi ai ,i 1,2,...n
证 用归纳法。对i=1,有 u1 b1 c1 ,
第四章方程组的直接解法
所以
现设 u1 0, ci1 / ui1 1 ,我们有
ui
bi li ci1
bi
ai ci 1 ui 1
bi
ai
利用条件可得到 ui ci ,故 ui 0, ci / ui 1 .另一方面,有
但由于利用了矩阵正定的性质,减少了计算量。平方根法的乘除法运算次
数为(n3+9n2+2)/6,加减法次数为(n3+6n2-7n)/6 。另外还有n次开方运算，其
所含乘除法和加减法次数可分别看成n的常数倍。平方根需n3 /6次乘除法，
k
akj lkr urj , j k, k 1, , n, r 1
第四章方程组的直接解法
可得U的第k行元素
ukj =akj -
k 1
lkrurj
r 1
,j =k,k+1, ···,n。 （4.2.3）
同理，由
k
akj =
lir urk
r 1
,i=k+1,k+2,···,n,
lirurk)/ ukk ,i =k+1,k+2, ···,n。 r 1
交替使用（4.2.3）和 （4.2.4），就能逐次计算出U（按行）和 L（按列）的全部元素，而且可以把它们存放在矩阵A对应的位置上 （L的对角线元素不必存放）。这就完成了A的LU分解。
由（4.2.1）- （4.2.4）求得L和U后，解方程组Ax=b接化接为求 解LUx=b，若记Ux=y，则有Ly=b。于是可分两部解方程组LUx=b， 只要琢次向前代入的方法即可求得y。第二步求解Ux=y，只要琢次
然后仍按（4.2.3）计算 ukj , j k 1, k 2, , n，算出U的第k行。
的计算可用
l ik
这就算出了L的第k行。
si sik
,i
k
1, k
2,...,
n
以上分解过程经过n-1步，可得PA=LU，因为b也参加换行计算，
所以在其位置上得到Pb。最后再分两步求解方程组LUx=Pb，即求解
ui
bi
lici1
bi
ai ci 1 ui 1
bi
ai
因为detA=u1u2…un，所以detA ≠0。定理得证。
在定理4.6的条件下，追赶法可以进行计算，并且计算过程的中间变量 有界，不会产生大的变化，可以有效计算出结果。
在定理4.6的条件下，要求ai和ci非零。若有某个ai（或ci ）为零，则三 对角方程组可以化为两个低阶的非耦和的方程组。
9 10
191 74
由（4.2.5）计算得 y=(6,3,23/5,-191/74)T
由（4.2.6）计算得
x=(1,-1,1,-1) T
第四章方程组的直接解法
2.列选主元的三角分解法
设从A=A （1）开始已完成k-1步分解计算，U的元素（按行） 和L的元素（按列）存放在A的位置，得到
u11 u12
现做第k行计算，令
k 1
si
a (k) ik
lir urk , i k, k 1, , n
r 1
当i=k时， si对应于（4.2.3）中的ukk，它可能不宜在（4.2.4）作除法。 当i=k+1,k=2,….n， si对应于（4.2.4）中的分子。记
sik
max
kin
si
,
~
交换( A(k ) , b(k ) ) 的第i行与第 ik 行的位置，但每个位置上仍用原记号。
第四章方程组的直接解法
用向后回代的方法即可求得x。设x=（x1 ，x2， ···xn) T, y=（y1, y2, ···yn) T,b= （b1 ，b2， ···bn) T, 则有计算公式
yi
bi
y1 b1
i 1
lir yr , i 1,2,...,n
r 1
（4.2.5）
xi
xn yn / unn
l jj
a jj
j 1
l
2 jk
2 ,
k1
（4.2.14）
j 1
lij aij lik l jk / l jj , i j 1, j 2, , n
（4.2.15）
k 1
这样，可以从j=1直到j=n逐列算出L的元素,再求解下三角方程组Ly=b和 上三角方程组 L T x=y 。计算公式为
设A=（aij），
l11
L
l21 ln1
l22 l n2
由式（4.2.13）可得
lnn
j 1
aij lik l jk lij l jj , i j 1, j 2 , n
k 1
第四章方程组的直接解法
按逐列计算L的元素的计算步骤,设第1列至第j-1列已经计算得到,则有
1
A= LD LT
定理4.8 设A∈Rn×n，当A 为对称正定矩阵 ，则存在唯一的 对角元素为正的下三角阵L，使
A= L LT
证 D角 22，，=元d… …i即an由ng为(。。d（1D因记,4d的.2为…7对）Ad角n定正)。元理定若。可，令因知所U此A以==ADDL的iL>1TD顺01 ，L,序iT=则11主，，A子其=2，式L中1…DULm为n1=为。Ad单的1由d位2D…此o下ld推i三tmt出l，e角分dm阵v解i=>，10U，，的i对=1，
第四章方程组的直接解法
追赶法公式简单，计算量和存储量都很小。整过求解过程仅须5n4次乘除和3（n-1）次加减法运算，仅需4个一为数组存储系数矩阵的
元素和右端向量 l i ，ui ， xi 可分别存放在表示系数矩阵元素的数组
和右段向量的位置。
例4.7 用追赶发求解三对角方程组Ax=d，其中
4 1
2 / 3 5 2 18
由于s2=5/3<s3=13/3,，所以第二步分解计算前要进行交换，分解计算结果 为
~ (3)
3
( A , b(3) ) 2 / 3
1 / 3
1 13 / 3 5 / 13
5 4/ 3 72 / 39
20 14 / 3 216 / 39
由此知
第四章方程组的直接解法
1 L 2/3
1 / 3
1
5 / 13 1
3 1 ,U 13 / 3
0 1 0 p I23 I12 0 0 1
线性方程组的几种求解方法
甘肃政法学院本科学年论文（设计）题目浅议线性方程组的几种求解方法学号：姓名：指导教师：成绩：__________________完成时间： 2012 年 11 月目录第一章引言 (1)第二章线性方程组的几种解法 (1)2.1 斯消元法 (1)2.1.1 消元过程 (1)2.1.2 回代过程 (2)2.1.3 解的判断 (2)2.2 克莱姆法则 (3)2.3 LU分解法 (4)2.4 追赶法 (6)第三章结束语 (8)致谢 (8)参考文献 (9)摘要:线性方程组是线性代数的核心内容之一，其解法研究是代数学中经典且重要的研究课题.下面将综述几种不同类型的线性方程组的解法，如消元法、克莱姆法则、直接三角形法、、追赶法，并以具体例子介绍不同解法的应用技巧. 在这些解法中，高斯消元法方法，具有表达式清晰，使用范围广的特点.另外，这些方法有利于快速有效地解决线性方程组的求解问题，为解线性方程组提供一个简易平台，促进了理论与实际的结合。
关键词:线性方程组;解法;应用Several methods of solving linear equation groupAbstract: The system of linear equations is one of linear algebra core contents, its solution research is in the algebra the classics also the important research topic. This article summarized several kind of different type system of linear equations solution, like the elimination, the Cramer principle, the generalized inverse matrix law, the direct triangle law, the square root method, pursue the law, and by concrete example introduction different solution application skill. In these solutions, the generalized inverse matrix method, has the expression to be clear, use scope broad characteristic. Moreover, these methods favor effectively solve the system of linear equations solution problem fast, provides a simple platform for the solution system of linear equations, promoted the theory and the actual union.Key word: Linear equations; Solution ; Example第一章 引言线性方程组理论是高等数学中十分重要的内容，而线性方程组的解法是利用线性方程组理论解决问题的关键.下面将介绍线性方程组的消元法、追赶法、直接三角形法等求解方法，为求解线性方程组提供一个平台。
范数-摆脱课本繁琐的公式,比较好懂
p
范数的特殊情况。 注：前三种范数都是p—范数的特殊情况。其中 前三种范数都是 范数的特殊情况
|| X ||∞ = lim || X || p
p →∞
计算方法三 计算方法三⑤
向量范数的连续性: 向量范数的连续性
5/35
定理3.3 设f(X)=||X||为Rn上的任一向量范数 则f(X) 定理 为 上的任一向量范数,则 的分量x 的连续函数. 为X的分量 1,x2,…,xn的连续函数 的分量
lim x i = xi (i = 1,2,..., n)
(k ) k →∞
则称向量X= (x1，x2，...，xn)T为向量序列 则称向量 ， {X(k)}的极限，或者说向量序列 (k)}收敛 的极限， 的极限 或者说向量序列{X 收敛 于向量X， 于向量 ，记为
lim X
k →∞
(k )
=X 或 X
(k )
→ X (k → ∞)
计算方法三 计算方法三⑤
计算方法三 计算方法三⑤
x1 (k ) ( k ) x2 X = ………… M x (k ) n (k ) x1 x1 (k ) x2 ( k ) x2 X = → = M M x (k ) x n n
几种常用的矩阵范数： 几种常用的矩阵范数：
n
13/35
a11 a21 设 A= ⋅⋅⋅ a n1
a12 ⋅⋅⋅ a1n A 1 = max∑aij 列范数 1≤j≤n i=1 n a22 ⋅⋅⋅ a2n A ∞ = max∑aij 行范数 ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ 1≤i≤n j=1 T an2 ⋅⋅⋅ ann A 2 = λ (A A) max AF =
用直接三角分解法解线性方程组
三角阵。等式左边是单位下三角阵，右边是上三角阵，要使等式
成则立L ， L只1 ,能U等于U单1，位即矩此阵三I。角于分是解L唯1一L1。
UU
1 1
I,
1 2 1
1 2 1
例7 解：
设 A 3 7
1
，试将A进行三角分解。
1 1 3
由高斯消去法得到
m21
3 1
3，m31
1 1
1
m 32
L1
1 1
0 0 1 2
例：
求
0 1 2
0 1 0
3 0 1
103的PLU分 解 。
解：用1，2， ，n的排列表示n阶置换阵P，其中排列的第i个元素
j，表示P的i行非零元素位于j列。则分解过程如下：
1 0 0 1 2
3 1 1 0 1
3 1 1 0
2 0
43
1 2
0 1 0
3 0 1
0 1 3
Ux j y j
Ly
j
bj
n1
k
n(n 1)
n2
n 次乘法
k 1
2
22
Ux j y j n k n(n 1) n2 n 次乘除法
k 1
2
22
即共需n 2 次乘除法运算。
n 2 次 乘 除 法
三角分解法的存放元素的方法：
以A (a ij )33 为例，
a11 A a21
1 mk1,k 1
k，
Lk1
1 mk1,k 1
k
mnk
1
mn,k
1
A ( L11 L21
L1 n1
)U
LU，1
a (1) 11
解线性方程组的三角分解法
⎛1 0 ⎛1 3 2 1 ⎞ ⎜3 1 ⎜ ⎟ ⎜ 3 13 12 9 ⎜ ⎟ = ⎜2 3 ⎜ 2 12 29 15 ⎟ ⎜ 2 ⎜ ⎟ ⎜ 1 9 15 34 3 ⎝ ⎠ ⎜1 ⎜ 2 ⎝ ⎛1 ⎜ ⎜3 =⎜ ⎜2 ⎜ ⎜ ⎜1 ⎝ 0 1 3 2 3 2 0⎞ ⎟ 0⎟⎛1 ⎜ ⎟⎜0 1 0⎟⎜ 0 ⎟⎜ 1 ⎟ 0 1⎟⎝ 4 ⎠ 0 0
⎛1⎞ 0 0 0 ⎞ ⎛ y1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ y1 ⎞ ⎜ 5 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ y 4 0 0 ⎟ ⎜ y2 ⎟ ⎜ 10 ⎟ 2 ⎟。 = ，得到 ⎜ 2 ⎟ = ⎜ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ y3 0 16 0 y3 24 3⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 0 0 25 ⎠ ⎝ y4 ⎠ ⎝ 50 ⎠ ⎝ y4 ⎠ ⎜ 2 ⎟ ⎜2⎟ ⎝ ⎠
⎛ 1 0 0 0⎞ ⎜ ⎟ 6 ⎞ ⎜ 2 1 0 0⎟⎛3 ⎟ห้องสมุดไป่ตู้⎟⎜0 6 ⎟ ⎜3 ⎜ ⎟⎜ = 1 8⎟ ⎜ 0 1 0⎟⎜0 ⎟ ⎜3 ⎟⎜ 12 ⎠ ⎜ ⎟⎝0 4 1 0 1 ⎜ ⎟ ⎝3 ⎠
6 3 6⎞ ⎟ 1 0 2⎟ 0 2 6⎟ ⎟ 0 0 2⎠
解方程组
⎛ 1 0 0 0⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 2 1 0 0 ⎟ ⎛ y1 ⎞ ⎛ 9 ⎞ ⎜3 ⎟⎜ y ⎟ ⎜ 7 ⎟ ⎜1 ⎟⎜ 2 ⎟ = ⎜ ⎟ 0 1 0 ⎟ ⎜ y3 ⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎜ ⎜3 ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜4 ⎟ ⎝ y4 ⎠ ⎝13 ⎠ 1 0 1⎟ ⎜ ⎝3 ⎠
⎛3 ⎜ ⎜2 ⎜1 ⎜ ⎝4
6 3 5 2 2 3
6 6 8
1 0 0 0 1 0 0 0 1
9 4 12 0 0 0
2 3 1 0 2 6 − 3 4 1 0 4 − 3 1 0 2 −
三角分解法解线性方程组
三角分解法解线性方程组#include<iostream.h>#include<iomanip.h>#include<stdlib.h>//----------------------------------------------全局变量定义区 const int Number=15; //方程最大个数doublea[Number][Number],b[Number],copy_a[Number][Number],copy_b[Number]; // 系数行列式int A_y[Number]; //a[][]中随着横坐标增加列坐标的排列顺序,如a[0][0],a[1][2],a[2][1]...则A_y[]={0,2,1...}; int lenth,copy_lenth;//方程的个数char * x; //未知量a,b,c的载体int i,j;//----------------------------------------------函数声明区 voidinput(); //输入方程组void print_menu(); //打印主菜单int Doolittle_check(double a[][Number],double b[Number]); //判断是否行列式>0,若是,调整为顺序主子式全>0void xiaoqu_u_l(); //将行列式Doolittle分解 void calculate_u_l(); //计算Doolittle结果 void exchange(int m,int i); //交换A_y[m],A_y[i] void exchange_lie(int j); //交换a[][j]与b[]; void exchange_hang(int m,int n);//分别交换a[][]和b[]中的m与n两行 void exchange_a_lie(int m,int n); //交换a[][]中的m和n列 void exchange_x(int m,int n); //交换x[]中的x[m]和x[n] //函数定义区void print_menu(){system("cls");cout<<"------------方程系数和常数矩阵表示如下:\n"; for(intj=0;j<lenth;j++)cout<<"系数"<<j+1<<" ";cout<<"\t常数";cout<<endl;for(int i=0;i<lenth;i++){for(j=0;j<lenth;j++)cout<<setw(8)<<setiosflags(ios::left)<<a[i][j];cout<<"\t"<<b[i]<<endl; }}void input(){int i,j;cout<<"方程的个数:";cin>>lenth;if(lenth>Number){cout<<"It is too big.\n";return;}x=new char[lenth];for(i=0;i<lenth;i++)x[i]='a'+i;//输入方程矩阵//提示如何输入cout<<"====================================================\n";cout<<"请在每个方程里输入"<<lenth<<"系数和一个常数:\n"; //输入每个方程for(i=0;i<lenth;i++){cout<<"输入方程"<<i+1<<":";for(j=0;j<lenth;j++)cin>>a[i][j];cin>>b[i];}}void Doolittle() //Doolittle消去法计算方程组 {double temp_a[Number][Number],temp_b[Number];int i,j,flag;for(i=0;i<lenth;i++)for(j=0;j<lenth;j++)temp_a[i][j]=a[i][j]; flag=Doolittle_check(temp_a,temp_b);if(flag==0) cout<<"\n行列式为零.无法用Doolittle求解."; xiaoqu_u_l();calculate_u_l();cout<<"用Doolittle方法求得结果如下:\n";for(i=0;i<lenth;i++) //输出结果{for(j=0;x[j]!='a'+i&&j<lenth;j++);cout<<x[j]<<"="<<b[j]<<endl;}}void calculate_u_l() //计算Doolittle结果{ int i,j;double sum_ax=0; for(i=0;i<lenth;i++){for(j=0,sum_ax=0;j<i;j++)sum_ax+=a[i][j]*b[j];b[i]=b[i]-sum_ax;}for(i=lenth-1;i>=0;i--){for(j=i+1,sum_ax=0;j<lenth;j++)sum_ax+=a[i][j]*b[j];b[i]=(b[i]-sum_ax)/a[i][i]; }}void xiaoqu_u_l() //将行列式按Doolittle分解{ int i,j,n,k;double temp; for(i=1,j=0;i<lenth;i++)a[i][j]=a[i][j]/a[0][0]; for(n=1;n<lenth;n++){ //求第n+1层的上三角矩阵部分即Ufor(j=n;j<lenth;j++){ for(k=0,temp=0;k<n;k++)temp+=a[n][k]*a[k][j];a[n][j]-=temp;}for(i=n+1;i<lenth;i++) //求第n+1层的下三角矩阵部分即L{ for(k=0,temp=0;k<n;k++)temp+=a[i][k]*a[k][n];a[i][n]=(a[i][n]-temp)/a[n][n];}}}int Doolittle_check(double temp_a[][Number],double temp_b[Number]) //若行列式不为零,将系数矩阵调整为顺序主子式大于零{int i,j,k,maxi;double lik,temp;for(k=0;k<lenth-1;k++){j=k;for(maxi=i=k;i<lenth;i++)if(temp_a[i][j]>temp_a[maxi][j]) maxi=i;if(maxi!=k){ exchange_hang(k,maxi);for(j=0;j<lenth;j++){ temp=temp_a[k][j];temp_a[k][j]=temp_a[maxi][j];temp_a[maxi][j]=temp;}}for(i=k+1;i<lenth;i++){lik=temp_a[i][k]/temp_a[k][k];for(j=k;j<lenth;j++)temp_a[i][j]=temp_a[i][j]-temp_a[k][j]*lik;temp_b[i]=temp_b[i]-temp_b[k]*lik;}}if(temp_a[lenth-1][lenth-1]==0) return 0;return 1;}void exchange_hang(int m,int n) //交换a[][]中和b[]两行 { int j; double temp;for(j=0;j<lenth;j++){ temp=a[m][j];a[m][j]=a[n][j];a[n][j]=temp;}temp=b[m];b[m]=b[n];b[n]=temp;}void exchange(int m,int i) //交换A_y[m],A_y[i] { int temp;temp=A_y[m];A_y[m]=A_y[i];A_y[i]=temp;}void exchange_lie(int j) //交换未知量b[]和第i列 { double temp;int i; for(i=0;i<lenth;i++){ temp=a[i][j];a[i][j]=b[i];b[i]=temp;}}void exchange_a_lie(int m,int n) //交换a[]中的两列{ double temp;int i; for(i=0;i<lenth;i++) { temp=a[i][m];a[i][m]=a[i][n];a[i][n]=temp;}}void exchange_x(int m,int n) //交换未知量x[m]与x[n] { char temp;temp=x[m];x[m]=x[n];x[n]=temp;}//主函数void main(){int flag=1;input(); //输入方程while(flag){print_menu(); //打印主菜单cout<<"用Doolittle方法求得结果如下:\n";for(i=0;i<lenth;i++) //输出结果{for(j=0;x[j]!='a'+i&&j<lenth;j++);cout<<x[j]<<"="<<b[j]<<endl;}}}。
用矩阵的直接三角分解法解方程组
用矩阵的直接三角分解法解方程组矩阵的直接三角分解法（LU分解法）是解线性方程组的一种常用方法。
该方法通过将系数矩阵分解为一个下三角矩阵和一个上三角矩阵的乘积，从而简化方程组的求解过程。
下面我们就来详细分步骤地介绍一下这种方法的求解过程。
第一步，将原线性方程组表示为矩阵形式，即将系数矩阵、未知量矩阵和常数矩阵分别表示为A、X和B。
我们的目标是找到一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U，使得方程组可以表示为LUx = B的形式。
第二步，通过高斯消元法将系数矩阵A化为上三角矩阵U。
具体地，我们将系数矩阵A变换为U的过程可以分解为一系列的初等矩阵变换，例如交换两行、乘以一个非零常数和将某一行加上另一行的若干倍等等。
这些初等矩阵变换可以表示为一个矩阵M的乘积，即A =M1M2...MnU。
从而，我们得到了上三角矩阵U。
第三步，同样通过一系列初等矩阵变换将U转化为下三角矩阵L。
这些初等矩阵变换可以表示为一个矩阵N的乘积，即U = NL1L2...Lm。
从而，我们得到了下三角矩阵L。
第四步，将方程组表示为LUx = B的形式。
具体地，我们将A, X 和B分解为L, U和x的乘积，即A = LU，X = UL，B = Ux。
从而，原方程组可以表示为LUx = B，即L(Ux) = B。
第五步，解方程组L(Ux) = B。
由于L是下三角矩阵，因此可以通过前代法求解得到Ux。
具体地，我们先通过Lw = B求解出向量w，然后再通过Ux = w求解出未知量向量x。
总的来说，矩阵的直接三角分解法（LU分解法）是一种常用的解线性方程组的方法。
它将原方程组表示为LUx = B的形式，然后通过前代法和回代法求解得到未知量向量x。
这种方法具有求解速度快、计算量小的优点，因此在实际应用中得到了广泛的应用。
第5章 解线性方程组的直接方法
a1,k 1
( ak kk)1 , ( ) ak k 1,k 1
( ankk) ,
( ankk)1 ,
在第k步消去前， 在系数矩阵右下角的n-k+1阶 主子阵中，选绝对值最大的元素作为主元素。
| a pq | max | aij | 0
k i , j n
k
k
需 n k 次乘法、1 次除法， n k 次加减法。
9
数值分析
第5章 解线性方程组的直接方法
总的运算次数为：
乘 除 法
n k n k 2 n k n k 1 1 k 1 j 2 3 j 1 1
证明： 归纳法证明(对k归纳)
11
0, i 1, 2, , k ( n)
数值分析
第5章 解线性方程组的直接方法
设直到k-1成立,只要证明
D1 , D2 , , Dk 1非零时，
Dk非零的充要条件是 a
(k ) kk
0 即可。
在归纳假设下，Gauss消去法可进行到第k-1步
D1 a
数值分析
Numerical Analysis
李小林
重庆师范大学数学学院
数值分析
第5章 解线性方程组的直接方法
第五章 线性方程组的直接解法
/*Direct Method for Solving Linear Systems*/
求解 A x b, A R
Cramer法则:
n n
det( A) 0
在第k 步消元前，在系数矩阵第k 列的对角线以下的元素 中找出绝对值最大的元。
| a | max | aik | 0 pk
第三章 线性代数方程组的直接解法1
for
j = n : −1 : 2
y( j ) = y( j ) u( j , j )
y (1 : j − 1) = y (1 : j − 1) − y ( j )u(1 : j − 1, j )
end
y(1) = y(1) u(1,1)
加减乘除运算次数之和)均为 两种算法的工作量(加减乘除运算次数之和 两种算法的工作量 加减乘除运算次数之和 均为 n
高斯变换
a 0
(1) 11
取
L = I +l e 1
其中 l i 1
T 1 1
l1 = (0, l21,⋯, ln1)
a
(1) 11
T
=
−1 1
a
(1) i1
i = 2, 3,⋯ , n
−1 1 T 1 1
记
A
( 2)
=L A
(1)
L = I −l e
(1 a11) 0 I n−1 c1 T 1
(i ) ii
的各阶顺序主子式都不等于零 顺序主子式都不等于 A 的各阶顺序主子式都不等于零，即
−1 −1 1 2
1 4 7 0 −3 − 6 = U L2 L1 A = 0 0 1
∴ A = L L U = LU
其中
1 0 0 2 1 0 −1 − 1 L = L1 L2 = 3 2 1
Gauss消去法的矩阵表示 消去法的矩阵表示 设给定 n 阶矩阵 记
1 0 0 −2 1 0 L1 = −3 0 1
设给定矩阵
则有
7 1 4 0 −3 −6 L1 A = 0 −6 −11
第一节：三角形方程组和三角分解
2
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求解线性方程组的数值方法大体上可分为直 接法和迭代法两大类。
下面我们来讨论怎样利用Gauss变换来实现A的三 角分解。先来考察一个简单的例子。设
1 4 7
A 2
5
8
3 6 10
22
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我们首先计算一个Gauss变换 L1 使得 L1 A 的第1 列的后两个元素为0。由命题1和4容易得出
1 0 0 L1 2 1 0
3 0 1
且
1 4 7
,
3 0 1
0 2 1
令
1
1 4 7
L (L2L1)1 2 1
,U
0
3
6
3 2 1 0 0 1
24
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则有
A LU.
对于一般的n阶矩阵A，在一定条件下，我们也可以 计算n-1个Gauss变换 Ln1,L , L1 ，使得 Ln1L L1A为 上三角矩阵。
事实上，记 A(0) A ，并假定已求出k-1个Gauss变
a(k nn
1)
25
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如果
a(k 1) kk
0
，则我们就又可以确定一个Gauss变换
Lk ，使
得 Lk A(k1中) 第k列的最后n-k个元素为0。由前面所介绍的
Gauss变换可知，这样的 Lk 应为
Lk In lk ekT
直接三角分解法求解方程组c语言
直接三角分解法求解方程组c语言直接三角分解法是一种常用的求解线性方程组的方法，它可以通过高斯消元和矩阵变换来将系数矩阵化为一个上三角矩阵，从而简化求解过程。
以下是使用C语言实现直接三角分解法求解方程组的步骤：1. 定义一个二维数组来表示方程组的系数矩阵和常数向量，例如：```cdouble A[N][N+1];```其中N为方程组的未知数个数加1，因为常数向量也要占用一列。
2. 输入方程组的系数矩阵和常数向量，例如：```cfor(int i=0; i<N; i++){for(int j=0; j<=N; j++){scanf("%lf", &A[i][j]);}```3. 进行高斯消元，将系数矩阵化为上三角形式。
具体实现方法如下：```cfor(int k=0; k<N-1; k++) //k表示当前正在处理第k行{for(int i=k+1; i<N; i++) //i表示当前正在处理第i行{double f = A[i][k] / A[k][k]; //计算倍率因子ffor(int j=k+1; j<=N; j++) //j表示当前正在处理第j列{A[i][j] -= f * A[k][j]; //用倍率因子消元}}}```4. 回代求解未知数。
由于系数矩阵已经化为上三角形式，因此可以从最后一行开始回代求解未知数。
具体实现方法如下：double x[N]; //用来存放未知数的解for(int i=N-1; i>=0; i--) //从最后一行开始回代{x[i] = A[i][N];for(int j=i+1; j<N; j++) //用已求出的未知数更新x[i]{x[i] -= A[i][j] * x[j];}x[i] /= A[i][i]; //除以对角线元素得到x[i]}```5. 输出未知数的解，例如：```cfor(int i=0; i<N-1; i++){printf("x%d = %f\n", i+1, x[i]);}```以上就是使用C语言实现直接三角分解法求解方程组的完整步骤。