矩阵的三角分解
矩阵分解——精选推荐
矩阵分解矩阵分解矩阵分解是将矩阵拆解为数个矩阵的乘积，可分为三⾓分解、满秩分解、QR分解、Jordan分解和SVD（奇异值）分解等，常见的有三种.矩阵的三⾓分解、正交三⾓分解、满秩分解将矩阵分解为形式⽐较简单或性质⽐较熟悉的⼀些矩阵的乘积,这些分解式能够明显地反映出原矩阵的许多数值特征,如矩阵的秩、⾏列式、特征值及奇异值等. 另⼀⽅⾯, 构造分解式的⽅法和过程也能够为某些数值计算⽅法的建⽴提供了理论依据. 接下来就讨论⼀下矩阵的三⾓分解.1 矩阵的三⾓分解1.1 矩阵的三⾓分解基本概念与定理定义1.1[]5设m n∈和上三⾓矩L C?A C?∈,如果存在下三⾓矩阵m n阵n m∈, 使得A=LU, 则称A可作三⾓分解或LU分解.U C?定义1.2设A为对称正定矩阵, D为⾏列式不为零的任意对⾓矩阵,则T=成⽴：A A=, U为⼀个单位上三⾓矩阵, 且有A LDU1) 如果L是单位下三⾓矩阵, D是对⾓矩阵, U是单位上三⾓矩阵, 则称分解D=为LD U分解.A L U2) 如果L=LD是下三⾓矩阵, ⽽U是单位上三⾓矩阵, 则称三⾓分解A LUCrout分解;= 为克劳特()3) 如果U DU是单位下三⾓矩阵, U 为上三⾓矩阵, 则称三⾓=分解A LUDoolittle分解;= 为杜利特()U --=== , 称为不带平⽅根的乔累斯基()Cholesky 分解;5) 如果12L D L = , 12D U U= , 则1122A LD U LD D U LU=== , 由于T UL = , 则T A LL= , 称为带平⽅根的乔累斯基()Cholesky 分解. 定理 1.1 n阶⾮奇异矩阵A可作三⾓分解的充要条件是k 0A ≠()1,2,,1k n =- ,这⾥A k为A 的k 阶顺序主⼦阵, 以下同.证明必要性. 设⾮奇异矩阵A 有三⾓分解A L U=, 将其写成分块形式k12k122122212222A L 0U =A A 0U kA U L L这⾥A k ,k L 和k U 分别为A, L和U 的k 阶顺序主⼦阵. ⾸先由0⽽L 0k ≠,U 0k ≠; 因此A =L U0kkk ≠()1,2,,1k n =-.充分性. 对阶数n 作数学归纳法. 当n=1时, 1A =（11a ）=（1）（11a ）,结论成⽴. 设对n k =结论成⽴, 即k =k k A L U , 其中k L 和k U 分别是下三⾓矩阵和上三⾓矩阵. 若k 0A ≠,则由kA =L k k U 易知L k 和k U 可逆. 现证当1n k =+时结论也成⽴, 事实上-1k k k k1TT 1T 1-1k+1,1k 1,1k k k A c 0c A =10c kkk T kk k k k k L U L r a r U a r U L +--+++??= ? ?-.由归纳法原理知A 可作三⾓分解.定理 1.1 给出了⾮奇异矩阵可作三⾓分解的充要条件, 由于不满⾜定理1.1的条件, 所以它不能作三⾓分解. 但110000110011211011202A ?????????? ?===.上例表明对于奇异矩阵,它还能作三⾓分解未必要满⾜定理1.1的条件.⾸先指出,⼀个⽅阵的三⾓分解不是唯⼀的, 从上⾯定义来看,杜利特分解与克劳特分解就是两种不同的三⾓分解,其实,⽅阵的三⾓分解有⽆穷多, 这是因为如果D 是⾏列式不为零的任意对⾓矩阵, 有1()()A LU C D D U LU-== ,其中,LU 也分别是下、上三⾓矩阵, 从⽽A LU = 也使A 的⼀个三⾓分解. 因D 的任意性, 所以三⾓分解不唯⼀. 这就是A 的分解式不唯⼀性问题, 需规范化三⾓分解.定理 1.2 （LD U 基本定理）设A 为n 阶⽅阵,则A 可以唯⼀地分解为A =LD U(1.1)的充分必要条件是A 的前1n -个顺序主⼦式k 0A ≠()1,2,,1k n =- .其中L,U分别是单位下、上三⾓矩阵, D是对⾓矩阵D=diag ()12,,,n d d d ,1k k k A d A -=()1,2,,kn = , 01A =.证明充分性. 若k 0A ≠()1,2,,1k n =- , 则由定理1.1, 即实现⼀个杜利特分解A LU= , 其中L 为单位下三⾓矩阵, U 为上三⾓矩阵,记1112122==()()()()()()1111112122222n n n nn a a a a a a ??=()n A , 因为()u 0i ii ii a ≡≠()1,2,,1i n =- .下⾯分两种情况讨论：1) 若A ⾮奇异,由式(1)有n ?=()()() 121122n nn a a a =A ≠, 所以()n nn nna u =≠,这时令()()()()121122diag n nn D a a a = , 则() ()()1121122111,,,n nn D diag a a a -??= ?.LD D U LDU -=== (1.2)是A 的⼀个LD U 分解.2)若A 奇异,则()u 0i iiii a ≡=,此时令()()()12111221,1(,,,,0)n n n D diag a a a ---= ,()()()()121n-111221,1,,,n n n D diag a a a ---= , α=()1n1u,,,Tn u n - ,则10n T UU α-??≡ =1111110=DU 0001n n n n T T U D U D α------,因此不论哪种情况, 只要k0A ≠()1,2,,1k n =- , 总存在⼀个LD U分解式(1.1),1a kk k kk k A d A -==()1,2,,1kn =- ,01A =.均⾮奇异.若还存在另⼀个LD U 分解111A L D U =, 这⾥1L ,1D , 1U 也⾮奇异,于是有111L D U L D U =(1.3)上式两端左乘以11L -以及右乘以1U -和1D -, 得111111L L D U U D---=, (1.4)但式(1.4)左端是单位下三⾓矩阵, 右端是单位上三⾓矩阵, 所以都应该是单位阵, 因此1LL I-=,1111D U UDI--=,即1L L =,111--=. 由后⼀个等式类似地可得11U UI-=,11D D I-=,即有1U U=,1D D=.2) 若A 奇异, 则式(1.3)可写成分块形式1111100001000110001T T T T T L D U L D U ααββ= ? ? ? ? ? ???????????, 其中1L, 1L 是1n -阶单位下三⾓阵; U , 1U 是1n -阶上三⾓阵; D,1D 是1n -阶对⾓阵; α, 1α,β, 1β是1n -维列向量. 由此得出111111=D U D DUD ααββαββα???? ? ???, 其中1L, 1D , 1U 和L ,D, U均⾮奇异, 类似于前⾯的推理, 可得1L =L ,1D =D , 1U =U ,1=αα,T T1=ββ.必要性. 假定A 有⼀个唯⼀的LD U 分解, 写成分块的形式便是1111A 00=0101n n n n T T nn n x D L U ya d αβ----,(1.5)其中1n L -,1D n -, 1n U -, 1n A -分别是L,A的1n -阶顺序主⼦矩阵;x , y, α,β为1n -维列向量. 由式(1.5)有下⾯的矩阵⽅程:1111n n n n A L D U ----=, (1.6)11TTn n yD U β--=,(1.7)11n n x L D α--=, (1.8)1Tnn n na D d βα-=+. (1.9)否则, 若10n A -=, 则由式(1.6)有111110n n n n n A L D U D -----===.于是有1110n n n L D D ---==, 即11n n L D --奇异. 那么对于⾮其次线性⽅程组(1.8)有⽆穷多⾮零解, 不妨设有α', 使11n n L D x α--'=, ⽽α'=α.同理, 因11n n D U --奇异, ()1111TTT n n n n L D U D ----=也奇异,故有ββ'≠, 使11TTn n U D yβ--=, 或11TTn n D U yn nn n d a D βα-'''=-, 则有1111000101n n n n T T nn nA x D L U y a d αβ----'= ? ? ? ?'',这与A 的LD U 分解的唯⼀性⽭盾, 因此10n A -≠.考察1n -阶顺序主⼦矩阵1n A -由式(1.6)写成分块形式, 同样有2222n n n n A L D U ----=. 由于10n D -≠, 所以20n D -≠, 可得222220n n n n n A L D U D -----==≠, 从⽽20n A -≠. 依此类推可得0k A ≠()1,2,,1k n =- .综上所述, 定理证明完毕.推论 1[]3 设A 是n 阶⽅阵, 则A 可惟⼀进⾏杜利特分解的充分必要条件是A 的前1n -个顺序主⼦式11110k k k kka a A a a =≠,1,2,,1k n =- , 其中L 为单位上三⾓矩阵, 即有11121212223132121111n nnn n n n n u u u l u u l l A u l l l -=并且若A 为⾮奇异矩阵, 则充要条件可换为: A的各阶顺序主⼦式全不为零, 即:0k A ≠,1,2,,k n = .推论 2[]3 n 阶⽅阵A 可惟⼀地进⾏克劳特分解111212122212111n nn n nnl u u ll u A LUl l l==的充要条件为11110k k k kka a A a a =≠, 1,2,,1k n =- .若A 为奇异矩阵, 则0nn l =, 若A 为⾮奇异矩阵, 则充要条件也可换为0k A ≠, 1,2,,k n = .定理 1.3[]3 设A 为对称正定矩阵, 则A 可惟⼀地分解为T A LDL =, 其中L 为下三⾓矩阵, D 为对⾓矩阵, 且对⾓元素是L 对⾓线元素的倒数. 即2212n n nnl l l L l l l ?? ?=, 1122111nn l l D l ?? ? ? ? ?=. 其中11/j ijij ik jk kkk l a l l l -==-∑,1,2,,ni = , 1,2,,j i = .。
矩阵论中不同形式的三角分解的优缺点
矩阵论是数学领域中的一个重要分支，它研究的是矩阵和线性方程组的理论和方法。
在矩阵论中，三角分解是一种常见的矩阵分解方法，它可以将一个复杂的矩阵分解为一个或多个简单的三角形矩阵的乘积。
不同形式的三角分解有着各自的优缺点，本文将从几种不同的角度来讨论这些优缺点。
一、LU分解LU分解是将一个矩阵分解为一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的乘积，即A=LU。
LU分解的优点是计算简单，因为它只需要进行一次分解即可得到L和U两个矩阵，后续的线性方程求解可以直接使用LU 分解后的矩阵进行计算。
然而，LU分解的缺点是当原始矩阵A的某些主对角线元素接近于零时，LU分解可能会失效，需要采取一些特殊的技巧来解决这个问题。
二、Cholesky分解Cholesky分解是将一个对称正定矩阵分解为一个下三角矩阵L和其转置矩阵的乘积，即A=LL^T。
Cholesky分解的优点是计算量较小，而且分解出的L矩阵的元素都是实数，因此在存储和计算上都有一定的优势。
然而，Cholesky分解的缺点是它只适用于对称正定矩阵，对于非对称矩阵或不正定矩阵是无法进行Cholesky分解的。
三、QR分解QR分解是将一个矩阵分解为一个正交矩阵Q和一个上三角矩阵R的乘积，即A=QR。
QR分解的优点是适用范围广，对于任意矩阵都可以进行QR分解，并且分解出的Q和R矩阵都具有一些良好的性质，比如Q是正交矩阵，R是上三角矩阵。
然而，QR分解的缺点是计算量较大，尤其是对于大型矩阵来说，QR分解的计算时间会比较长。
不同形式的三角分解都有各自的优缺点，选择合适的分解方法需要根据具体的问题来决定。
在实际应用中，可以根据矩阵的特点和计算需求来选择最合适的三角分解方法，以达到最优的计算效果。
研究和探索更加高效的矩阵分解方法也是矩阵论研究的重要方向之一。
四、SVD分解SVD分解是将一个矩阵分解为三个矩阵的乘积，即A=UΣV^T，其中U和V分别是正交矩阵，Σ是对角矩阵。
SVD分解的优点是适用于所有的矩阵，无论是否为方阵，而且SVD分解是唯一的，即对于每一个矩阵都存在唯一的SVD分解。
5.3 矩阵的三角分解法
8
解： (1)分解A LU，令 2 5 6 1 4 13 19 l 21 6 3 6 l31 0 1 l32 0 u11 0 1 u12 u22 u13 u23 u33
24
由A L( DLT ) 1 l 21 l31 ... l n1 1 l32 ... ln 2 1 ... ... lnn 1 1 d1 ... d1l21 d2 ... d1l31 d 2 l32 d3 ... ... ... ... d1 l n1 d 2 ln2 d 3 ln 3 dn
25
由 i j时aij = l ik d k l jk l ij d j , 知
k =1
j -1
L, D元素计算公式
lij =
aij lik d k l jk
k =1
j -1
dj
j -1
( j 1, 2, ,i 1)
2 d i =aii l ik d k ( i 1, 2, , n) k =1
y1 b1 i -1 y y b l i ij i j j 1
i 2, 3, , n
( i n 1, , 1)
7
或 用 Doolittle 分解法
例:用矩阵的直接三角分解法解方程组
5 6 x1 10 2 4 13 19 x 19 2 6 3 6 30 x3
27
d1 a11
改进平方根法解方程组
1. 分解计算A=LDLT ,
d1 a11 对于i 2, 3, ..., n j 1 c a cik l jk ij ij k 1 cij ( j 1, 2, ..., i 1) lij dj i 1 d i aii cik l ik k 1
矩阵理论课件 (5)
AP (1, ,r ,r1, ,n )
其中，1,2, ,r 线性无关
(r1, ,n ) (1, ,r ) C
AP (1, ,r )Er
C
U
R 0
E
r
C
U
R 0
RC 0
B R
RC
C rn r
B R RC L 0V1
A
U
R 0
RC 0
P
1
U
（L
0
0）V1 0
P1
（L U （0
0）V1 0）V1
A12
A22
A11 A12
A21
A22
L11 L21
0
L22
R%11 0
R%12 R%22
LL1211RR%%1111
L11R%12 L21R%12 L22
R%22
A11 L11R%11
K | A11 || L11 || R%11 | | L11 |
l11l22 lkk 0
An11
1
L1 R%11
0
ann
An11
R%1 0
R%1 An11
1
~
LR
唯一性：设A L1 R%1 L2 R%2
L11L2 R%1R%21
L11L2 R%1R%21 E
L1 L2, R%1 R%2
(ii) (i) A LR%且lii 0(i)
A
A11 A21
P1
U
L 0
0 0
V1
P
1
U
L 0
00V ,其中 V V1P 1.
A RT R
定理 2：设 ACnnn, 用L表示下三角复矩阵， L~是单位下三角复矩阵 , R是上三角复矩阵，
杜立特尔三角分解法
杜立特尔三角分解法1. 简介杜立特尔三角分解法（Doolittle’s LU decomposition）是一种将一个矩阵分解为一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的方法。
这种分解方法在数值计算和线性代数中广泛应用，可以用于求解线性方程组、计算行列式和逆矩阵等问题。
2. 算法原理给定一个n×n的矩阵A，我们希望将其分解为下三角矩阵L和上三角矩阵U，使得A = LU。
其中，L的对角线元素为1。
杜立特尔三角分解的过程如下：1.初始化L为单位下三角矩阵，U为零上三角矩阵。
2.对于每一列j（从0开始），进行以下操作：–计算U的第j行：对于每个元素U[j][k]（k从j到n-1），使用以下公式计算：U[j][k] = A[j][k] - ∑(L[j][i] * U[i][k]) (i从0到j-1)。
–计算L的第j列：对于每个元素L[i][j]（i从j+1到n-1），使用以下公式计算：L[i][j] = (A[i][j] - ∑(L[i][k] * U[k][j]) (k从0到j-1)) / U[j][j]。
3.返回分解后的矩阵L和U。
3. 算法示例下面是一个使用杜立特尔三角分解法求解线性方程组的示例：假设有以下线性方程组：2x + y + z = 8-3x - y + 2z = -11-2x + y + 2z = -3我们可以将其表示为矩阵形式：Ax = b，其中A = [[2, 1, 1],[-3, -1, 2],[-2, 1, 2]]x = [[x],[y],[z]]b = [[8],[-11],[-3]]使用杜立特尔三角分解法，我们可以将A分解为LU：L = [[1, 0, 0],[l21, 1, 0],[l31, l32, 1]]U = [[u11, u12, u13],[0, u22, u23],[0, 0 ,u33]]根据算法原理，我们可以逐步计算出L和U的值：首先，计算U的第一行：u11、u12、u13。
解线性方程组的矩阵三角分解法 共16页PPT资料
计算 LU 分解
利用矩阵乘法直接计算 LU 分解
1 l21 ln1
u11 u121 源自u22 ln,n1 1
u1n a11 a12 u2na21 a22
unn an1 an2
a1n a2n
ann
LU =A
比较等式两边的第一行得：u1j = a1j ( j = 1,…, n )U 的第一行
1 AL D L T l21 1
d1
d2
ln 1
ln,n1 1
1l21 1 dn
ln 1 ln2
1
计算公式
n
j1
aij likdkljk likdkljklijdjljj
k1
k1
aij likdkljk likdkljklijdjljj
n
j1
aij likljk likljkljjlij
k1
k1
a1n a2n
ann
9
Cholesky 分解算法
算法 ：(Cholesky 分解 )
for j = 1 to n
1
l jj
ajj
j1
l
2 jk
2
,
k1
j1
lij aij likljk ljj ,
8
计算 Cholesky 分解
Cholesky 分解的计算
直接比较等式两边的元素
l11 l21 ln1
l11 l21
l22
l22
ln,n1 lnn
计算公式
ln1 a11 a12 ln2a21 a22
三角分解法增广矩阵
三角分解法增广矩阵三角分解是一种矩阵分解方法，它将一个矩阵分解为上三角矩阵和下三角矩阵。
增广矩阵则是将矩阵与向量合并在一起的扩展形式。
在解线性方程组等问题中，三角分解法增广矩阵的应用是非常重要的。
首先，让我们来了解一下三角分解的基本思想。
给定一个n x n的矩阵A，三角分解的目标是将其分解为两个矩阵L和U，其中L是一个下三角矩阵，U是一个上三角矩阵。
这样，原始矩阵A可以表示为LU的形式。
我们可以使用高斯消去法来进行三角分解。
首先，我们选择第一个主元，将它除以当前列的其他元素，使得主元下方的元素变为零。
接下来，我们选择第二个主元，并重复这个过程，直到我们获得完整的上三角矩阵U。
在此过程中，我们还会得到一个下三角矩阵L，其对角线元素为1。
现在，我们来讨论三角分解法增广矩阵的应用。
将一个矩阵与一个向量合并在一起，就可以构建增广矩阵。
这种合并的作用是为了方便我们使用三角分解法解决线性方程组。
考虑一个线性方程组Ax = b，其中A是一个n x n的矩阵，x和b是n维向量。
我们可以将方程组表示为增广矩阵[A b]。
首先，我们使用三角分解法将矩阵A分解为上三角矩阵U和下三角矩阵L，即A= LU。
然后，我们可以将增广矩阵[A b]进行相同的操作，即将其分解为[L U b]。
这样，我们就可以将原始的线性方程组转化为两个等价的三角方程组Ly = b和Ux = y。
首先，我们可以使用前向替换法来解决Ly = b，其中y是一个未知的向量。
前向替换法从上到下逐行解决方程，通过将已知的解带入下一行来求解未知解。
具体来说，我们可以首先通过L的对角元素将y的第一个分量求解出来，然后将y 的第一个分量带入L的第二行，求解出y的第二个分量，以此类推，直到求解出y的所有分量。
接下来，我们可以使用后向替换法来解决Ux = y，其中x是我们要求解的向量。
后向替换法从下到上逐行解决方程，通过将已知的解带入上一行来求解未知解。
具体来说，我们可以首先通过U的最后一个分量将x的最后一个分量求解出来，然后将x的最后一个分量带入U的倒数第二行，求解出x的倒数第二个分量，以此类推，直到求解出x的所有分量。
数值分析矩阵的三角分解
1 0 0 = 2 1 0
1 1 1
0 0 1 0 1 1
数值分析
数值分析
记 A A(1) a1M(11)
... O
a1M(1n)
1(1)
,
(1) 2
,
...,
(1) n
an(11)
...
a(1) nn
第一步：设a1(11) 0, 取mi1 aa（（1i1111））, i 2, ..., n
j
0
L
010L
0
M
ln j
数值分析
数值分析
1
Lj
I
l jeTj
O 1 1 l j1 j 1
M
O
ln j
1 0 0 0
L2
0 0
0
1 l3,2 l4,2
0 1 0
0 0
I
l 2e2T
1
1
数值分析
数值分析
Gauss变换阵的性质：
1
O
1
1. Lj1 I l jeTj
m21
M
mn1
1 O
a(1) 11 M
... O
1
a(1) n1
...
a1M(1n)
a(1) nn
a1(11)
L1 A(1)
a(1) 12
L
a(2) 22
L
MO
a(2) n2
L
a(1) 1n
a(2) 2n
M
A( 2 )
1(
2
)
,
(2 2
)
,
...,
(2) n
0
3
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LU分解紧凑方式
直接利用矩阵乘法来计算 LU分解
1
l21
1
u11 u12
u1n a11 a12
a1n
u22
u2n
a21
a22
a2n
ln1
ln,n1 1
unn an1 an2
ann
L U A
比较等式两边的第一行得：u1j = a1j ( j = 1,…, n )U 的第一行
a(k) kn
( k = 1, …, n-1)
a(k) nk
a(k) nn
则 A(k) 与 A(k+1) 之间的关系式可以表示为： A(k1) Lk A(k)
其中： 1
Lk
1 mk1,k 1
mn,k
,
mik ai(kk)
a(k) kk
( i = k+1, …, n )
1ห้องสมุดไป่ตู้
LU 分解 于是有： A(n) Ln1 L2L1A(1)
Ax = b
Ly b Ux y
两次回代过程求出方程组的解：
运算量： n2
i-1
yi bi lij yj , ( i = 1, …, n )
LU分解
j 1
n
xi yi uij x j
j i 1
总运算量：
uii , ( i = n , …, 1 ) n3 n2 n
3
3
优点：特别适合求解具有多个右端项的线性方程组。
CROUT分解的紧凑算法
算法 5.2 ： ( Crout 分解 )
For k=1,2,...,n
aik
k -1
lik aik lisusk ,
s1
运算量：(n3 - n)/3
i = k, …, n
akj
k 1
ukj akj lksusj lkk , j = k+1, …, n
s1
End For
第 k 步：此时 U 的前 k-1 行和 L 的前 k-1 列已经求出
比较等式两边的第 k 行得：
ukj akj lk1u1 j
k 1
l u k,k1 k1, j akj lksusj
s1
比较等式两边的第 k 列得：
( j = k, …, n )
lik aik li1u1k
s1
运算量：(n3 - n)/3
j = k, …, n
aik
k 1
lik aik lisusk ukk , i = k+1, …, n
s1
End For
Matlab程序参见：mylu.m
为了节省存储空间，通常用 A 的绝对下三角部分来存放 L (对角线元素无需存储)，用 A 的上三角部分来存放 U。
b1 c1
其中：A
a2
b2
c2
,
an1 bn1 cn1
an bn
d1
d
d2
dn1
dn
对 A 作 Crout分解 得
l1
L
a2
l2
,
an ln
1 u1
U
1
un1
,
1
追赶法（续）
得算法：
Ly = d Ux = y
li bi aiui1, ( i = 1, …, n )
Matlab程序：上机练习。
SPD 的 CHOLESKY 分解
若 A 是对称正定矩阵 (Symmetric Positive Definite )
设 A = LDR
AT = A
A = LDLT
RTDLT = LDR
LDR 分解唯一
R = LT
设 D=diag(d1, , dn)
可以证明：di > 0，( i = 1, …, n)
l u i,k1 k1,k
ukk
aik
i1
lisusk
ukk
s1
( i = k+1, …, n )
直到第 n 步，便可求出矩阵 L 和 U 的所有元素。
LU分解紧凑算法（续）
算法 5.1：( LU 分解 )
For k=1,2,...,n
k -1
akj
ukj akj lksusj ,
A A(1) (Ln1 L2L1)1 A(n)
容易验证： 1
Lk1
1 mk1,k 1
mn,k
( k = 1, …, n-1)
1
记：L L11L21 Lk1, U A(n) ，则
A LU LU 分解 (杜利脱尔Doolittle分解)
其中：L --- 单位下三角矩阵，U --- 上三角矩阵
LU 分解的存在唯一性
LU 分解存在
普通高斯消去法不被中断
?
a(k) kk
0
定理 普通高斯消去法求解方程组 Ax = b 时，主元
a(k) kk
0
的充要条件是：A
的所有顺序主子式不为零。
定理 ( LU分解的唯一性 )
若 A的所有顺序主子式 0 ，则 A存在唯一的 LU分解。
证：存在性由上面的定理可得；唯一性可用反证法证明。
若 A 是对称正定矩阵 ，则可利用 Cholesky 分解。 此时的求解方法称为平方根法。
举例（一）
例：用 LU分解 求线性方程组 Ax=b 的解，其中
1 2 3 4
2
A
1 11
4 6 16
9 27 81
16 26546
,
b
10 14940
解： 令 A = LU，由 LU分解 算法5.1 可得
追
yi
di ai yi1
li ,
( i = 1, …, n )
ui
ci
li ,
( i = 2, …, n-1 )
赶
xn xi
yn yi
ui
其中 u0=0, y0=0, a1=0
xi1, ( i = n-1, …, 1 )
法 运算量： 5n - 4
作业
教材第 162 页： 4、5
比较等式两边的第一列得： li1 ai1 u11 ( i = 2,…,Ln的) 第一列
比较等式两边的第二行得：u2 j a2 j l21u1 j ( j =U2,…的,第n二) 行
比较等式两边的第二列得：li2 ai2 li1u12 u22 ( iL=的3,第…二, n列)
LU分解紧凑算法（续）
类似分解
定理 若 A 的所有顺序主子式 0 ，则
(1) A 存在唯一的 LDR 分解：A = LDR，其中：
L 是单位下三角矩阵，D 是对角矩阵，R 是单位上三角矩阵 D diag(U ), R D1U
(2) A 存在唯一的克洛脱(Crout)分解：A L U，
其中：L 是下三角矩阵，U 是单位上三角矩阵
第六章 线性方程组直接解法
第三节 矩阵三角分解
矩阵三角分解
将一个矩阵分解成结构简单的三角形矩阵的乘积称为 矩阵的三角分解。 高斯消去过程其实就是一个矩阵的三角分解过程。
将 Gauss 消去过程中第 k-1 步消元后的系数矩阵记为：
a(1) 11
a(1) 1k
a(1) 1n
A(k)
a(k) kk
1
1 2 3 4
L
1 11
1 3 7
1 6
, U
1
2 6 12 6 2244
回代：解 Ly = b 得：y =[2, 8, 18, 24]T
解 Ux = y 得：x =[-1, 1, -1, 1]T
例5.4：利用平方根法解线性方程组(见158 页)。
追赶法
考虑三对角线性方程组：
Ax = d
算法 5.3 ： ( Cholesky 分解，按列)
For k=1,2,...,n
1
akk
gkk
akk
k -1
gk2s
2
s1
运算量：n3/6 +n2/2 +n /3
aik
gik
aik
k 1
gis gks
gkk ,
s1
End For
i = k+1, …, n
LU分解求解线性方程组
A LU
令
D
1 2
diag
d1 ,
1
, dn , G LD2
11
A LD2 D2 LT GGT
A GGT
SPD 的 Cholesky 分解
CHOLESKY 分解实现算法
几点说明：
(1) G 为对角线元素全为正的下三角矩阵 ； (2) 只有对称正定矩阵(SPD)才存在 Cholesky分解；
定理 SPD 矩阵的 Cholesky 分解存在且唯一