计算方法_矩阵LU分解法
矩阵的lu分解计算量
矩阵的LU分解是一种将一个矩阵分解为一个下三角矩阵（L）和一个上三角矩阵（U）的乘积的方法。
LU分解是线性代数中一种重要的矩阵分解方法，它在求解线性方程组、计算行列式、计算矩阵的逆等方面都有广泛的应用。
对于一个$n \times n$的矩阵A，其LU分解的计算量主要取决于以下几个因素：
1. 存储量：LU分解需要存储原始矩阵A、下三角矩阵L和上三角矩阵U，因此需要额外的$3n^2$个浮点数存储空间。
2. 计算量：LU分解需要进行一系列的矩阵乘法和行交换操作，因此计算量相对较大。
具体来说，LU分解的计算量主要包括以下几部分：
* 计算L矩阵：需要执行$n(n+1)/2$次乘法操作，其中$n$是矩阵的阶数。
* 计算U矩阵：需要执行$n^3/6$次乘法操作，其中$n$是矩阵的阶数。
* 行交换操作：需要执行$n-1$次行交换操作，其中$n$是矩阵的阶数。
因此，LU分解的计算量大约为$O(n^3)$，其中$n$是矩阵的阶数。
在实际应用中，为了提高计算效率，通常会采用一些优化算法和并行计算技术来加速LU分解的计算过程。
增广矩阵lu分解
增广矩阵lu分解一、引言矩阵分解是线性代数中的一个重要概念，它可以将一个矩阵分解成若干个简单的矩阵，从而方便进行计算和求解。
其中，增广矩阵LU分解是一种常见的矩阵分解方法。
本文将详细介绍增广矩阵LU分解的定义、原理、算法流程以及应用。
二、定义增广矩阵LU分解是指将一个增广矩阵A=[A|b] 分解成两个部分：一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U，使得A=LU。
其中，下三角矩阵L的对角线元素均为1，上三角矩阵U的主对角线元素均不为0。
三、原理增广矩阵LU分解的基本思想是通过高斯消元法将系数矩阵A变换为上三角形式，并在变换过程中记录每一步消元所用到的系数，从而得到下三角形式的L和上三角形式的U。
四、算法流程1. 将增广矩阵A写成系数矩阵和常数向量的形式：A=[a11,a12,...,a1n|b1;a21,a22,...,a2n|b2;...;an1,an2,...,ann|bn]。
2. 初始化下三角矩阵L为单位矩阵，上三角矩阵U为A的复制品。
3. 对于每一列j=1,2,...,n，进行以下操作：a. 如果Ujj=0，则交换第j行和下面的某一行k（k>j），使得Ujj≠0。
b. 计算系数mij=aij/ujj (i=j+1,j+2,...,n)，并将其存储在Lij中。
c. 用第j行乘以mij，然后将结果加到下面的所有行i=j+1,j+2,...,n中去。
4. 得到分解结果：A=LU。
五、应用增广矩阵LU分解可以用于求解线性方程组、求逆矩阵、计算行列式等问题。
其中，求解线性方程组的方法是先通过增广矩阵LU分解将系数矩阵A分解成下三角形式的L和上三角形式的U，然后利用LU分解的性质将Ax=b转化为Ly=b和Ux=y两个方程组进行求解。
这种方法比直接高斯消元法更加高效，尤其是在需要多次求解不同常数向量b时。
此外，增广矩阵LU分解还可以用来计算特征值和特征向量等问题。
六、总结增广矩阵LU分解是一种常见的矩阵分解方法，其基本思想是通过高斯消元法将系数矩阵A变换为上三角形式，并在变换过程中记录每一步消元所用到的系数，从而得到下三角形式的L和上三角形式的U。
稠密矩阵LU分解的并行算法
q=n，m=1时，Tp 3nc + 2ns + 2bn log 行算法
2020/6/19
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二维循环块分布并行算法(续)
2020/6/19
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二维循环块分布并行算法(续)
❖ 并行执行时间为
Tqq n(2m2 / 3 m / 2 1/ 6)c (2m 1)n2c / q 2ns log q 2bn2 log q / q 2n3c /(3q2 ) mn2c / q m2nc / 3 2mn2c / q2
2
一维块分布的基本并行算法(续)
假设n=pm，其中p为进程数，m为块的阶数，则 ❖ 第所0需要k的<时p间步为，(2进m程3/3P-km/2先/2分-m解/6A)ck;,k为Lk,kUk,k， ❖ 之后，Pk/进行操作Ak,j :＝ (Uk,k)-1(Lk,k)-1Ak,j，
j>k，所需要的时间为(2m3-m2)(p-k-1)c； ❖ 其的次 时， 间为Pks/l将ogApk,+k+b1(:pp-1-广k-播1)m给2所lo有g p进；程，所需要 ❖ 最要后 的， 时各 间进 为程2m并3 m行in计(算pA-ki-,j1:,=)A(i,jp--Ak-i,1k )Ack。,j，所需
2020/6/19
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一维块分布的流水线并行算法(续)
2020/6/19
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一维块分布的流水线并行算法(续)
❖ 序号越小的进程，计算量越小，负载严重不 平衡，从而导致很多进程处于空闲状态
❖ 负载最重的是最后一个进程，其上的个行块 几乎需要更新 p－1次，每次一个行块中的 块数为p－1不断减少到1
❖ 并行执行时间为 (n3c/p)，所以无论n增大到 什么程度，并行效率不可能大于2/3
lu分解算法
lu分解算法
LU分解算法是一种将一个非奇异矩阵分解成一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的方法，它可以用于解线性方程组以及求矩阵的逆等计算中。
具体的LU分解算法如下：
输入：一个n×n的非奇异矩阵A
输出：下三角矩阵L和上三角矩阵U
1. 初始化一个n×n的下三角矩阵L和一个n×n的上三角矩阵U，使它们的所有对角元素为1。
2. 对于矩阵A的第一行，将其作为矩阵U的第一行。
3. 对于矩阵A的第一列，将其除以矩阵U的第一个元素得到矩阵L的第一列。
4. 对于矩阵A的剩余行，以及对应的列，进行如下操作：
- 计算当前元素的值，即A(i, j)减去矩阵L的第i行与矩阵U的第j列的内积。
- 如果i小于等于j，将计算得到的值赋给矩阵U的第i行第j列元素。
- 如果i大于j，将计算得到的值除以矩阵U的第j列第j个元素，然后赋给矩阵L的第i行第j列元素。
5. 返回矩阵L和矩阵U作为结果。
通过LU分解算法，可以将解线性方程组的计算转化为简单的矩阵乘法和求解步骤。
此外，通过求解LU分解后的矩阵，还可以求矩阵的逆和行列式等相关计算。
求矩阵的lu分解例题
求矩阵的lu分解例题好的，下面是一个矩阵的LU分解的例题：假设我们有一个3x3的矩阵A：A = [[2, 4, 6],。
[1, 3, 8],。
[5, 2, 4]]我们要进行LU分解，将矩阵A分解为一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U。
首先，我们需要找到L和U的元素。
L的主对角线上的元素都是1，而U的主对角线上的元素与A的主对角线上的元素相同。
我们可以通过高斯消元法来求解L和U的元素。
首先，我们将A的第一行除以A[0][0]，得到：A' = [[1, 2, 3],。
[1, 3, 8],。
[5, 2, 4]]接下来，我们将A'的第二行减去A'的第一行，乘以A'[1][0]的倒数，得到：A'' = [[1, 2, 3],。
[0, 1, 5],。
[5, 2, 4]]然后，我们将A''的第三行减去A''的第一行，乘以A''[2][0]的倒数，得到：A''' = [[1, 2, 3],。
[0, 1, 5],。
[0, -8, -11]]现在，我们可以得到L和U的元素。
L的非零元素为A'''中除去主对角线上的元素，而U的元素为A'''的主对角线上的元素和A'''的上三角部分。
因此，我们得到：L = [[1, 0, 0],。
[1, 1, 0],。
[0, -8, 1]]U = [[1, 2, 3],。
[0, 1, 5],。
[0, 0, -11]]这样，我们完成了矩阵A的LU分解。
希望以上例题能够帮助你理解矩阵的LU分解。
如果还有其他问题，请随时提问。
拟三对角矩阵的lu分解
拟三对角矩阵的lu分解
拟三对角矩阵的LU分解是指将一个矩阵分解成一个上三角矩阵和
一个下三角矩阵的乘积，即化为一串次三角形矩阵乘积之和；即将矩
阵A=LU，其中L是一个下三角矩阵，U是一个上三角矩阵。
如果矩阵
A是拟三角形矩阵，则LU分解的过程特别简单。
只需要计算出上三角形矩阵的主对角元素Uii，然后从上往下逐行计算出Uij（i为行号，j为列号）、Lij（i为行号，j为列号）即可。
另外，因为A是拟三角形矩阵，LU的过程中，只需要做单正（正则）
的三角形运算即可，不存在向量乘法等运算，所以，LU 分解是一种非
常高效的方法。
三角矩阵的lu分解
三角矩阵的lu分解在线性代数中， LU分解(LU Decomposition)是矩阵分解的一种，可以将一个矩阵分解为一个单位下三角矩阵和一个上三角矩阵的乘积（有时是它们和一个置换矩阵的乘积）。
LU分解主要应用在数值分析中，用来解线性方程、求反矩阵或计算行列式。
什么是LU分解如果有一个矩阵A，将A表示成下三角矩阵L和上三角矩阵U的乘积，称为A的LU分解。
更进一步，我们希望下三角矩阵的对角元素都为1：一旦完成了LU分解，解线性方程组就会容易得多。
LU分解的步骤对于满秩矩阵A来说，通过左乘一个消元矩阵，可以得到一个上三角矩阵U。
可以看到，L实际上就是消元矩阵的逆。
容易知道二阶矩阵的逆：现在假设A是一个3×3矩阵，在不考虑行交换的情况下，通过消元得到上三角矩阵的过程是：LU 分解的前提并非所有矩阵都能进行LU分解，能够LU分解的矩阵需要满足以下三个条件：矩阵是方阵（LU分解主要是针对方阵）；矩阵是可逆的，也就是该矩阵是满秩矩阵，每一行都是独立向量；消元过程中没有0主元出现，也就是消元过程中不能出现行交换的初等变换。
LU分解的意义LU分解的意义在于求解大型方程组。
一个方程组可以简化为Ax = b的形式，其中A是n阶方阵，x是未知数组成的向量，b是n×1矩阵，例如：以往求解的方式有两种，一是高斯消元法，二是对A求逆，使得x = A-1b。
第二种方式远比消元法复杂，先看一下消元法的计算量。
假设A是n阶满秩方阵，如果不写成增广矩阵，即不考虑 b，那么第一次消元达到的效果是：其中方块是A原来的元素，0是达到的效果，三角是经过消元运算后改变的元素。
以第二行为例，为了使第一个元素为0，需要让第一行乘以某个数（第一行n个元素，共进行了n次乘法运算），再将第一行和第二行相加或相减（第二行n个数与第一行的n个数相加，共进行了n次加法运算）。
如果把一组乘法和加法看成一次运算，那么第二行的消元共进行了n次运算；共有n-1行需要类似运算，所以第一次消元共进行了n(n - 1) ≈ n2次运算。
lu分解例题及解析
lu分解例题及解析Lu分解法是一种将矩阵分解为低秩矩阵的分解方法，主要应用于数据分析、图像处理等领域。
下面以一个例题来介绍Lu分解法的具体步骤及解析过程。
假设有如下矩阵A:$$\begin{bmatrix}2 & 1 & 4 \\8 & 7 & 2 \\6 & 3 & 5 \\\end{bmatrix}$$步骤1：选取矩阵A的第一行作为初始行，将其作为下三角矩阵L的第一行，确定上三角矩阵U的第一行，即：$$L=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\l_{21} & 1 & 0 \\l_{31} & 0 & 1 \\\end{bmatrix},U=\begin{bmatrix}u_{11} & u_{12} & u_{13} \\0 & u_{22} & u_{23} \\0 & u_{32} & u_{33} \\\end{bmatrix}$$那么，可以得到：$$\begin{bmatrix}2 & 1 & 4 \\8 & 7 & 2 \\6 & 3 & 5 \\\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\& 1 & 0 \\& & 1 \\\end{bmatrix}\begin{bmatrix}& & \\& & \\& & \\\end{bmatrix}$$因此，需要确定L和U的未知量l21、l31、u11、u12、u13、u22、u23和u33。
步骤2：用第一行的元素对矩阵A进行初等变换，使得第一列的下两个元素都为0，即：$$\begin{bmatrix}2 & 1 & 4 \\8 & 7 & 2 \\6 & 3 & 5 \\\end{bmatrix}\xrightarrow{(R_2-4R_1)}\begin{bmatrix}2 & 1 & 4 \\0 & 3 & -14 \\6 & 3 & 5 \\\end{bmatrix}$$此时，可得到：$$\begin{bmatrix}2 & 1 & 4 \\8 & 7 & 2 \\6 & 3 & 5 \\\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\& 1 & 0 \\& & 1 \\\end{bmatrix}\begin{bmatrix}u_{11} & u_{12} & u_{13} \\0 & ? & ? \\0 & ? & ? \\\end{bmatrix}$$可以看出，u11=2，u12=1，u13=4。
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clear all; %A=LU矩阵三角分解法
n=input('输入方矩阵的维数: ');
for i=1:n
for j=1:n
A(i,j)=input('依次输入矩阵元素：');
end
end %输入一个n阶方形矩阵
for j=1:n
L(j,j)=1; %Doolittle分解，L对角元素全为1 end
for j=1:n
U(1,j)=A(1,j);
end %U的第一行
for i=2:n
L(i,1)=A(i,1)/U(1,1);
end %L的第一列
for k=2:n
for j=k:n
sum1=0;
for m=1:k-1
sum1=sum1+L(k,m)*U(m,j);
end %求和
U(k,j)=A(k,j)-sum1;
end
for i=k+1:n
sum2=0;
for m=1:k-1
sum2=sum2+L(i,m)*U(m,k);
end %求和
L(i,k)=(A(i,k)-sum2)/U(k,k);
end
end
L %输出下三角矩阵L
U %输出上三角矩阵U
运行结果：（示例）
输入方矩阵的维数: 4
依次输入矩阵元素： 1
依次输入矩阵元素： 1
依次输入矩阵元素： 2
依次输入矩阵元素： 3
依次输入矩阵元素：0
依次输入矩阵元素： 2
依次输入矩阵元素： 1
依次输入矩阵元素： 2
依次输入矩阵元素： 1
依次输入矩阵元素：-1
依次输入矩阵元素： 2
依次输入矩阵元素： 2
依次输入矩阵元素： 2
依次输入矩阵元素： 2
依次输入矩阵元素： 5
依次输入矩阵元素：9
A=LU分解后则可以求解Ax=b线性方程组，相关计算参考计算方法，这里不再详细介绍。