三 矩阵直接三角分解法
研究生数值分析(8)直接三角分解法
三角分解法也是直接法，基本思想是： 将系数矩阵A分解为两个三角形矩阵L和U的 乘积A=LU ，将方程组AX=b的求解问题归结为 两个三角形方程组 LY=b与UX=Y的求解问题。
即：先由LY=b求出Y ，然后由UX=Y求出X ， 从而获得AX=b的解。
(1) A为一般稠密（零元素占很小比例）矩阵 的杜利特尔(Doolittlr)和克劳特(Crout)分解法；
1 0 0
3
7
2
2 2
1 12
7 6
1
0
0
16
3
等价的三角方程组为
12
3 3 2
3 7
2
x1
x2
15
15
2
16
x3
16
an1
bn1
cn1
xn1
fn1
an bn xn fn
其中方程组AX=f 的系数矩阵A的元素满足条件：
b1 c1 0
bi ai ci
bn
an
0
（1） 且 aici 0
(i 2,3, , n 1)
由以上推导过程知，方程组AX=f 有唯一解
由（3）式可得计算 i 的递推公式
1i
c1 ci
/ b1 /(bi
ai i1)
(i 2,3,
（4）
数值分析课程课件 直接三角分解方法
u22
u11
u2n
l n1 l n2
1
unn
即
a11 a12 a 21 a22
a1n
a2n
u11 l21u11
u12 l21u12 u22
u1n
l21u1n
u2n
a n1 a n2
ann
ln1u 11
由（5.3.1）- （5.3.4）求得L和U后，解方程组Ax=b 化为求解LUx=b，若记Ux=y，则有Ly=b。于是可分两部解 方程组LUx=b，只要逐次向前代入的方法即可求得y。第
二步求解Ux=y，只要逐次用向后回代的方法即可求得x。 设 x=（x1 ，x2， ···xn) T, y=（y1, y2, ···yn) T,
n
i1
lniuin
unn
第四章方程组的直接解法
由A的第1行和第1列可计算出U的第1行和L的第1列，即
u1 j a1 j , j 1, 2, , n,
（5.3.1）
lk1
ak1 u11
,k
2, 3,
, n.
（5.3.2）
如果U的第1至k-1列和L的第1至k-1列已经算出，则由
解 设 A=LU，即
l11 a11 1, l21 a21 2, l31 a31 0
u12
a12 l11
2, u13
a13 l11
1,
l22 a22 l21u12 3, l32 a32 l31u12 1
矩阵的三角分解法
矩阵的三角分解法矩阵的三角分解法是一种用于将一个矩阵分解为上三角矩阵和下三角矩阵的方法。
这种分解方法可以帮助我们更好地理解和解决矩阵相关的问题。
下面我将按要求逐段解释这个问题。
1. 什么是三角分解法三角分解法是一种将矩阵分解为上三角矩阵和下三角矩阵的方法。
在三角分解中，我们将原始矩阵分解为两个三角矩阵，一个是上三角矩阵，另一个是下三角矩阵。
上三角矩阵的主对角线以下的元素全为零，而下三角矩阵的主对角线以上的元素全为零。
这种分解法在解线性方程组、计算矩阵的行列式和求逆等问题中非常有用。
2. 如何进行三角分解三角分解的具体过程是通过一系列的行变换将原始矩阵转化为上三角矩阵或下三角矩阵。
这些行变换包括行交换、行缩放和行替换等操作。
首先，我们选择一个主元素，通常是第一行第一列的元素。
如果主元素为零，则需要进行行交换，将一个非零元素移动到主元素的位置。
然后，我们使用行缩放操作，将主元素所在列的其他元素变为零。
具体操作是将主元素所在行的每个元素除以主元素的值，然后将结果乘以其他行的主元素所在列的元素，并将其减去相应的行。
重复以上步骤，直到得到上三角矩阵或下三角矩阵。
最后，我们可以将得到的上三角矩阵和下三角矩阵合并为一个新的上三角矩阵或下三角矩阵。
3. 三角分解的应用领域有哪些三角分解法在数值计算和线性代数中有广泛的应用。
它可以用于求解线性方程组、计算矩阵的行列式和求逆等问题。
在求解线性方程组时，我们可以将系数矩阵分解为上三角矩阵和下三角矩阵，然后使用回代法或前代法来求解方程组。
这样可以简化计算过程，提高求解的精度和效率。
在计算矩阵的行列式时，我们可以通过三角分解将矩阵转化为上三角矩阵或下三角矩阵，然后将主对角线上的元素相乘即可得到行列式的值。
这种方法比直接计算行列式的方法更简单、高效。
在求解矩阵的逆时，我们可以将矩阵分解为上三角矩阵和下三角矩阵，然后通过对分解得到的上三角矩阵和下三角矩阵进行反向的行变换，得到原始矩阵的逆矩阵。
5.3 矩阵的三角分解法
8
解： (1)分解A LU，令 2 5 6 1 4 13 19 l 21 6 3 6 l31 0 1 l32 0 u11 0 1 u12 u22 u13 u23 u33
24
由A L( DLT ) 1 l 21 l31 ... l n1 1 l32 ... ln 2 1 ... ... lnn 1 1 d1 ... d1l21 d2 ... d1l31 d 2 l32 d3 ... ... ... ... d1 l n1 d 2 ln2 d 3 ln 3 dn
25
由 i j时aij = l ik d k l jk l ij d j , 知
k =1
j -1
L, D元素计算公式
lij =
aij lik d k l jk
k =1
j -1
dj
j -1
( j 1, 2, ,i 1)
2 d i =aii l ik d k ( i 1, 2, , n) k =1
y1 b1 i -1 y y b l i ij i j j 1
i 2, 3, , n
( i n 1, , 1)
7
或 用 Doolittle 分解法
例:用矩阵的直接三角分解法解方程组
5 6 x1 10 2 4 13 19 x 19 2 6 3 6 30 x3
27
d1 a11
改进平方根法解方程组
1. 分解计算A=LDLT ,
d1 a11 对于i 2, 3, ..., n j 1 c a cik l jk ij ij k 1 cij ( j 1, 2, ..., i 1) lij dj i 1 d i aii cik l ik k 1
用矩阵的直接三角分解法解方程组
用矩阵的直接三角分解法解方程组矩阵的直接三角分解法（LU分解法）是解线性方程组的一种常用方法。
该方法通过将系数矩阵分解为一个下三角矩阵和一个上三角矩阵的乘积，从而简化方程组的求解过程。
下面我们就来详细分步骤地介绍一下这种方法的求解过程。
第一步，将原线性方程组表示为矩阵形式，即将系数矩阵、未知量矩阵和常数矩阵分别表示为A、X和B。
我们的目标是找到一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U，使得方程组可以表示为LUx = B的形式。
第二步，通过高斯消元法将系数矩阵A化为上三角矩阵U。
具体地，我们将系数矩阵A变换为U的过程可以分解为一系列的初等矩阵变换，例如交换两行、乘以一个非零常数和将某一行加上另一行的若干倍等等。
这些初等矩阵变换可以表示为一个矩阵M的乘积，即A =M1M2...MnU。
从而，我们得到了上三角矩阵U。
第三步，同样通过一系列初等矩阵变换将U转化为下三角矩阵L。
这些初等矩阵变换可以表示为一个矩阵N的乘积，即U = NL1L2...Lm。
从而，我们得到了下三角矩阵L。
第四步，将方程组表示为LUx = B的形式。
具体地，我们将A, X 和B分解为L, U和x的乘积，即A = LU，X = UL，B = Ux。
从而，原方程组可以表示为LUx = B，即L(Ux) = B。
第五步，解方程组L(Ux) = B。
由于L是下三角矩阵，因此可以通过前代法求解得到Ux。
具体地，我们先通过Lw = B求解出向量w，然后再通过Ux = w求解出未知量向量x。
总的来说，矩阵的直接三角分解法（LU分解法）是一种常用的解线性方程组的方法。
它将原方程组表示为LUx = B的形式，然后通过前代法和回代法求解得到未知量向量x。
这种方法具有求解速度快、计算量小的优点，因此在实际应用中得到了广泛的应用。
解线性方程组的矩阵三角分解法 共16页PPT资料
计算 LU 分解
利用矩阵乘法直接计算 LU 分解
1 l21 ln1
u11 u121 源自u22 ln,n1 1
u1n a11 a12 u2na21 a22
unn an1 an2
a1n a2n
ann
LU =A
比较等式两边的第一行得：u1j = a1j ( j = 1,…, n )U 的第一行
1 AL D L T l21 1
d1
d2
ln 1
ln,n1 1
1l21 1 dn
ln 1 ln2
1
计算公式
n
j1
aij likdkljk likdkljklijdjljj
k1
k1
aij likdkljk likdkljklijdjljj
n
j1
aij likljk likljkljjlij
k1
k1
a1n a2n
ann
9
Cholesky 分解算法
算法 ：(Cholesky 分解 )
for j = 1 to n
1
l jj
ajj
j1
l
2 jk
2
,
k1
j1
lij aij likljk ljj ,
8
计算 Cholesky 分解
Cholesky 分解的计算
直接比较等式两边的元素
l11 l21 ln1
l11 l21
l22
l22
ln,n1 lnn
计算公式
ln1 a11 a12 ln2a21 a22
三角分解法
三角分解法
三角分解法亦称因子分解法，由消元法演变而来的解线性方程组的一类方法。
设方程组的矩阵形式为Ax=b，三角分解法就是将系数矩阵A分解为一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U之积：A=LU，然后依次解两个三角形方程组Ly=b 和Ux=y，而得到原方程组的解，例如，杜利特尔分解法、乔莱斯基分解法等就是三角分解法。
【基本介绍】
若能通过正交变换，将系数矩阵A分解为A=LU，其中L是单位下三角矩阵(主对角线元素为1的下三角矩阵)，而U是上三角矩阵，则线性方程组Ax=b 变为LUx=b，若令Ux=y，则线性方程组Ax=b的求解分为两个三角方程组的求解：
(1)求解Ly=b，得y；
(2)再求解Ux=y，即得方程组的解x；
因此三角分解法的关键问题在于系数矩阵A的LU分解
【矩阵LU能分解的充分条件】
一般地，任给一个矩阵不一定有LU分解，下面给出一个矩阵能LU分解的充分条件。
定理1 对任意矩阵AϵR n×n（n≥2），若A的各阶顺序主子式均不为零，则A有唯一的Doolittle分解(或Crout分解)。
定理2 若矩阵AϵR n×n（n≥2）非奇异，且其LU分解存在，则A的LU 分解是唯一的。
矩阵的三角分解方法
§4矩阵的三角分解矩阵的三角分解定理：设n nA R ×∈,如果A 的前n-1个顺序主子式det()0,1,2,,1i A i n ≠=− ，则A 可分解为一个单位下三角矩阵L 与一个上三角矩阵U 的乘积，且这种分解是唯一的。
证明：1.存在性：利用高斯消去法来构L 和U(1)(2)()1122det()0,1,2,,1i i ii A a a a i n =≠=−1L A U −=，A LU=2112100101n n m L m m ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ，(1)(1)(1)11121(2)(1)222()0nn n nn a a a a a U a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦2．唯一性：分A 非奇异和奇异两种情况来证 （1）A 非奇异考虑到A 的前n-1个顺序主子式非零，得 det()0,1,2,,i A i n ≠=设1122A LUL U ==，12,L L 为单位下三角矩阵，12,U U 为上三角矩阵。
因A 非奇异，所以1U 可逆，从而112121L L U U −−=112121112121(,)L L E U U L L U U −−−−⇒==因为单位下三角阵为上三角阵2121,L L U U ⇒==（2）A 奇异因det()0,1,2,,1i A i n ≠=− ，det()0n A =()0,1,2,,1i ii a i n ⇒≠=− ，()0n nn a = 设1122A LUL U ==，12,L L 为单位下三角矩阵，12,U U 为上三角矩阵。
对它们进行矩阵分块，得(1)(1)(1)(1)(1)(1)111222(1)(1)1122001010n n n n n n n n L U a L U a m a m a −−−−−−−−⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠其中(1)(1)12,n n L L −−为n-1阶单位下三角矩阵，(1)(1)12,n n U U −−为可逆的n-1阶上三角矩阵(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)11112222(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)1111122222n n n n n n n n n n n n n n n n L U L a L U L a m U m a a m U m a a −−−−−−−−−−−−−−−−⎛⎞⎛⎞⇒=⎜⎟⎜⎟++⎝⎠⎝⎠由(1)(1)(1)(1)1122n n n n L U L U −−−−=(1)(1)(1)(1)2121,n n n n L L U U −−−−⇒==由(1)(1)(1)(1)1122n n n n L a L a −−−−=(1)(1)21n n a a −−⇒= 由(1)(1)(1)(1)1122n n n n m U m U −−−−=(1)(1)21n n m m −−⇒=由(1)(1)(1)(1)222111n n n n m a a m a a −−−−+=+21a a ⇒= 故2121,L L U U == 证毕。