方程组直接三角分解法(精选)
范数-摆脱课本繁琐的公式,比较好懂
p
范数的特殊情况。 注：前三种范数都是p—范数的特殊情况。其中 前三种范数都是 范数的特殊情况
|| X ||∞ = lim || X || p
p →∞
计算方法三 计算方法三⑤
向量范数的连续性: 向量范数的连续性
5/35
定理3.3 设f(X)=||X||为Rn上的任一向量范数 则f(X) 定理 为 上的任一向量范数,则 的分量x 的连续函数. 为X的分量 1,x2,…,xn的连续函数 的分量
lim x i = xi (i = 1,2,..., n)
(k ) k →∞
则称向量X= (x1，x2，...，xn)T为向量序列 则称向量 ， {X(k)}的极限，或者说向量序列 (k)}收敛 的极限， 的极限 或者说向量序列{X 收敛 于向量X， 于向量 ，记为
lim X
k →∞
(k )
=X 或 X
(k )
→ X (k → ∞)
计算方法三 计算方法三⑤
计算方法三 计算方法三⑤
x1 (k ) ( k ) x2 X = ………… M x (k ) n (k ) x1 x1 (k ) x2 ( k ) x2 X = → = M M x (k ) x n n
几种常用的矩阵范数： 几种常用的矩阵范数：
n
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a11 a21 设 A= ⋅⋅⋅ a n1
a12 ⋅⋅⋅ a1n A 1 = max∑aij 列范数 1≤j≤n i=1 n a22 ⋅⋅⋅ a2n A ∞ = max∑aij 行范数 ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ 1≤i≤n j=1 T an2 ⋅⋅⋅ ann A 2 = λ (A A) max AF =
用直接三角分解法解线性方程组
三角阵。等式左边是单位下三角阵，右边是上三角阵，要使等式
成则立L ， L只1 ,能U等于U单1，位即矩此阵三I。角于分是解L唯1一L1。
UU
1 1
I,
1 2 1
1 2 1
例7 解：
设 A 3 7
1
，试将A进行三角分解。
1 1 3
由高斯消去法得到
m21
3 1
3，m31
1 1
1
m 32
L1
1 1
0 0 1 2
例：
求
0 1 2
0 1 0
3 0 1
103的PLU分 解 。
解：用1，2， ，n的排列表示n阶置换阵P，其中排列的第i个元素
j，表示P的i行非零元素位于j列。则分解过程如下：
1 0 0 1 2
3 1 1 0 1
3 1 1 0
2 0
43
1 2
0 1 0
3 0 1
0 1 3
Ux j y j
Ly
j
bj
n1
k
n(n 1)
n2
n 次乘法
k 1
2
22
Ux j y j n k n(n 1) n2 n 次乘除法
k 1
2
22
即共需n 2 次乘除法运算。
n 2 次 乘 除 法
三角分解法的存放元素的方法：
以A (a ij )33 为例，
a11 A a21
1 mk1,k 1
k，
Lk1
1 mk1,k 1
k
mnk
1
mn,k
1
A ( L11 L21
L1 n1
)U
LU，1
a (1) 11
三角分解法
ai j =
min( i , j ) k =1
∑l
ik
uk j
ai j =
min( i , j )
一般采用列主元 对换, 将 i ,j 对换,对 j = i, i+1, …, n 有 一般采用列主元 ii a ji = ∑ l jk uki + l ji u k= k =1 法增强稳定性. 法增强稳定性.但注意 v i 1 b 也必须做相应的 l ji = ( a ji ∑ l jk uki ) / uii b 行交换. 行交换. k =1
=I
Upper-triangular
Lower-triangular With diagonal entries 1
注: L 为一般下三角阵而 U 为单位上三角阵的分解称为 单位上三角阵的分解称为 Crout 分解. 分解. ~~ 分解, 实际上只要考虑 A* 的 LU 分解,即A* = L U ,则 ~ ~ A= U * L* 即是 A 的 Crout 分解. 分解. =
(
)
n1 Step 6 Set l = 运算量为2 O(n3/6), 比普通 ann ∑ k =1 lnk ; , 比普通LU nn Step 7 Output ( lij for j = 1, …, i and i = 1, …, n );A = LDLT 分解少一半, 次开方. 分解少一半,但有 n 次开方.用
mn1
v A b
( 2) (2)
(1 (1 ( a11) a12) ... a11) n Step n 1: (2 ( v a22) ... a22) n Ln1Ln2 ... L1 A b = ... . . . (n ann)
数值分析复习题(下)
线性代数方程组直接法题1.⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----710413221232321x x x 程组用直接三角分解法解方2.21,,4321A A A A ∞⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=，求设 3.用顺序高斯消去法解⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛565331743532321x x x4.用列主元高斯消去法解⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-20111.0310********x x x5.用直接三角分解法解⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛7173530103421101002014321x x x x6.用追赶法求解方程组⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛022112111131124321x x x x7.试用平方根法解下列对称正定方程组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--103422484548416321x x x8.用高斯-若当消去法求下列矩阵的逆⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=112221111A作业1.用追赶法解三对角方程组Ax=b,其中A=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------2100012100012100012100012,b=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛00001 作业2.用改进的平方根法解方程组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---654131*********x x x 作业3.设A=⎪⎪⎭⎫⎝⎛3.01.05.06.0,计算21A A A ，，∞ 作业4.设A 为非奇异矩阵，求证：∞∞≠∞-=yAy Ay 01min1作业5.下述矩阵能否分解为LU （其中L 为单位下三角阵，U 为上三角阵）？若能分解，那么分解是否是唯一？⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=461561552621,133122111,764142321C B A解线性方程组的迭代法1.设方程组Ax=b,⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=122111221A ，试讨论解此方程组的J 法和GS 法的收敛性。
5.3 矩阵的三角分解法
8
解： (1)分解A LU，令 2 5 6 1 4 13 19 l 21 6 3 6 l31 0 1 l32 0 u11 0 1 u12 u22 u13 u23 u33
24
由A L( DLT ) 1 l 21 l31 ... l n1 1 l32 ... ln 2 1 ... ... lnn 1 1 d1 ... d1l21 d2 ... d1l31 d 2 l32 d3 ... ... ... ... d1 l n1 d 2 ln2 d 3 ln 3 dn
25
由 i j时aij = l ik d k l jk l ij d j , 知
k =1
j -1
L, D元素计算公式
lij =
aij lik d k l jk
k =1
j -1
dj
j -1
( j 1, 2, ,i 1)
2 d i =aii l ik d k ( i 1, 2, , n) k =1
y1 b1 i -1 y y b l i ij i j j 1
i 2, 3, , n
( i n 1, , 1)
7
或 用 Doolittle 分解法
例:用矩阵的直接三角分解法解方程组
5 6 x1 10 2 4 13 19 x 19 2 6 3 6 30 x3
27
d1 a11
改进平方根法解方程组
1. 分解计算A=LDLT ,
d1 a11 对于i 2, 3, ..., n j 1 c a cik l jk ij ij k 1 cij ( j 1, 2, ..., i 1) lij dj i 1 d i aii cik l ik k 1
三角分解法解线性方程组
三角分解法解线性方程组线性方程组是数学中一类重要的方程组，它包含了一系列线性方程。
在实际问题中，线性方程组有时需要通过三角分解法进行求解。
三角分解法是一种常用的线性方程组求解方法，它通过将方程组转化为上、下三角形矩阵进行分解，从而求解出未知数的值。
本文将详细介绍三角分解法的步骤及实际案例。
首先，我们来介绍三角矩阵的概念。
上三角矩阵是指除了主对角线上方的元素均为0的矩阵，下三角矩阵则是指除了主对角线下方的元素均为0的矩阵。
我们的目标是将线性方程组转化为上、下三角形矩阵进行求解。
步骤1：将线性方程组表示为矩阵形式，即AX=B，其中A为系数矩阵，X为未知数向量，B为常数向量。
步骤2：进行三角分解，将系数矩阵A分解为一个上三角矩阵U和一个下三角矩阵L，即A=LU。
其中L为下三角矩阵，U为上三角矩阵。
步骤3：将方程组AX=B进行变量代换，令Y=UX。
此时，方程组变为LY=B。
步骤4：解得矩阵Y，再通过回代法求解出未知数向量X。
下面我们通过一个实际案例来详细说明三角分解法的应用。
案例：有三个变量x,y,z的线性方程组：2x+y+z=4x+3y+2z=133x+2y+3z=15首先将该方程组表示为矩阵形式：⎛211⎛⎛x⎛⎛4⎛⎛132⎛⎛y⎛=⎛13⎛⎛323⎛⎛z⎛⎛15⎛然后进行三角分解，将系数矩阵A分解为上三角矩阵U和下三角矩阵L：A=⎛211⎛=⎛100⎛⎛211⎛⎛132⎛⎛110⎛⎛021⎛⎛323⎛⎛321⎛⎛001⎛接下来，将方程组AX=B进行变量代换，令Y=UX，即LY=B：⎛100⎛⎛Y₁⎞⎛4⎛⎛110⎛⎛Y₂⎟=⎛13⎛⎛021⎛⎛Y₃⎠⎝15⎛我们可以通过高斯消元法求解上述方程组，得到Y的解：Y₁=4Y₂=9Y₃=-2最后，通过回代法求解未知数向量X：X₃=Y₃=-2X₂=Y₂-2X₃=9-2(-2)=13X₁=Y₁-X₂=4-13=-9因此，该线性方程组的解为：x=-9，y=13，z=-2三角分解法是一种常用且有效的线性方程组求解方法。
(整理)线性方程组的直接法
第二章线性方程组的直接法在近代数学数值计算和工程应用中，求解线性方程组是重要的课题。
例如，样条插值中形成的关系式，曲线拟合形成的法方程等，都落实到解一个元线性方程组，尤其是大型方程组的求解，即求线性方程组（2.1）的未知量的数值。
（2.1）其中ai j，bi为常数。
上式可写成矩阵形式Ax = b，即（2.2）其中，为系数矩阵，为解向量，为常数向量。
当detA=D0时，由线性代数中的克莱姆法则，方程组的解存在且惟一，且有为系数矩阵的第列元素以代替的矩阵的行列式的值。
克莱姆法则在建立线性方程组解的理论基础中功不可没，但是在实际计算中，我们难以承受它的计算量。
例如，解一个100阶的线性方程组，乘除法次数约为（101·100！·99），即使以每秒的运算速度，也需要近年的时间。
在石油勘探、天气预报等问题中常常出现成百上千阶的方程组，也就产生了各种形式方程组数值解法的需求。
研究大型方程组的解是目前计算数学中的一个重要方向和课题。
解方程组的方法可归纳为直接解法和迭代解法。
从理论上来说，直接法经过有限次四则运算，假定每一步运算过程中没有舍入误差，那么，最后得到方程组的解就是精确解。
但是，这只是理想化的假定，在计算过程中，完全杜绝舍入误差是不可能的，只能控制和约束由有限位算术运算带来的舍入误差的增长和危害，这样直接法得到的解也不一定是绝对精确的。
迭代法是将方程组的解看作某种极限过程的向量极限的值，像第2章中非线性方程求解一样，计算极限过程是用迭代过程完成的，只不过将迭代式中单变量换成向量而已。
在用迭代算法时，我们不可能将极限过程算到底，只能将迭代进行有限多次，得到满足一定精度要求的方程组的近似解。
在数值计算历史上，直接解法和迭代解法交替生辉。
一种解法的兴旺与计算机的硬件环境和问题规模是密切相关的。
一般说来，对同等规模的线性方程组，直接法对计算机的要求高于迭代法。
对于中等规模的线性方程组，由于直接法的准确性和可靠性高，一般都用直接法求解。
三角分解解线性方程组的公式47页
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6
平方根法（Cholesky分解）
续1
AT ALT D R T D R T L T R T ( D T ) L ( D ) R
由Doolittle分解的唯一性有
R T L DLT DR
（D可逆）
L R
9
平方根法（Cholesky分解）
k1
aikk1lim lk m
l11 l21 ln1
l22
ln1
lnn
lnn
第一步 ： a11l121l11 a11
ai1 l11li1li1 ai1/l11
i2,3 n
设L前k-1列元素已求出，则 第k步
n
k1
ak k lk m lk m lk2mlk2k
续2
L LD
这时 L 为一般的下三角矩阵，故 ALLT，若 L 的对角 元全为正时，由Doolittle分解的唯一性及上述分解 的推理过程，可以得到Cholesky分解的唯一性。
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平方根法（Cholesky分解）： 分解公式
l11
Al21 l22
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平方根法（Cholesky分解） 定理证明
证明：因为 A对称正定，故其顺序主式 k0 k 1 ,2 , n，
1
u11 u1n
Al21
ln1 1
m1
m1
k1
lkk akk lk2m m1
i k n
a ik lim l km m 1