非线性信号处理-2.非线性动力学初步3
非线性动力学-2讲解
d 2 g sin
dt2 l
令 d ，以及初始条件 ：
dt
t 0, 0, 0
2020/10/1
A O
l
m
N
12
上式两端乘 dt ，积分上式
0
d
2
2g l
0
d
cos
得
2
2g l
2 cos2
2
1
cos0
02
通过了解方程解的一些特点，理解非线性动力系统的 一些基本特征。
2020/10/1
13
方程解的非唯一性 1. 设初始条件为
2
2g l
2
cos2
2
1
cos0
02
0= ，0= 0，则其解为
A
2 g cos
l2
运动分析：
在最高点 = ， = 0， d 0
dt
O
l
m
N
系统非稳定平衡点。可能出现三种运动情况：
a. 停留在该顶点，尔后径直下落；
b. 调头沿原路返回；
庞加莱的研究涉及数论、代数学、几何学、拓扑学等许多领域，最重要的工作是 在分析学方面。他早期的主要工作是创立自守函数理论。
庞加莱为了研究行星轨道和卫星轨道的稳定性问题，在1881～1886年发表的4篇 关于微分方程所确定的积分曲线的论文中，创立了微分方程的定性理论。
开创了动力系统理论，1895年证明了庞加莱回归定理。
ml d 2 l d mg sin F cost
dt 2
dt
●一个复杂的非线性系统。其解更为复杂。
2020/10/1
16
二、确定性系统中的内在随机性
●在一个确定性的系统中，由于其本身的非线性 性质所产生的运动随机性称为确定性系统的内在 随机性。
非线性动力分析方法课件
反馈线性化控制
优点
能够处理非线性问题，提高系统的控制精度 和稳定性。
缺点
实现较为复杂，需要精确的系统模型和参数。
自适应控制
通过不断调整控制参数，以适应系统参数的变化。
优点：能够适应系统参数的变化，提高系统的鲁 棒性和适应性。
自适应控制是一种能够自动调整控制参数，以适 应系统参数变化的控制方法。这种方法通过实时 测量系统参数的变化，不断更新控制参数，以保 证系统性能的稳定性和最优性。
机构运动
在机构运动中，非线性动 力系统可以用于描述机构 的运动规律，如连杆机构、 凸轮机构等。
弹性力学
非线性动力系统在弹性力 学中可以用于描述材料的 非线性行为，如材料的弹 塑性、断裂等。
电力系统中的应用实例
电力系统的稳定性分析
非线性动力系统可以用于分析电力系统的稳定性，如电压波动、 频率稳定等。
谱方法的基本思想是将原问题转化为求解特征值或特征向量 的问题，通过选取适当的正交变换，将原问题转化为易于求 解的数值问题。该方法广泛应用于数值计算、流体动力学等 领域。
边界元法
边界元法是一种只对边界进行离散化 的数值方法，通过求解边界上的离散 方程来近似求解原问题的数值方法。
边界元法的基本思想是将问题只离散 化边界上的点，通过求解边界上的离 散方程来近似求解原问题的数值方法。 该方法广泛应用于流体动力学、电磁 学等领域。
缺点：可能会产生抖振现象， 需要精确的系统模型和参数。
05
非性力系的
欧拉方法
总结词
欧拉方法是数值计算中最基础的方法 之一，适用于求解初值问题。
详细描述
欧拉方法基于差分思想，通过已知的 初值和微分方程，逐步计算出未知的 函数值。该方法简单易懂，但精度较 低，适用于求解简单问题。
非线性动力学的理论与应用
非线性动力学的理论与应用第一章介绍非线性动力学（Nonlinear Dynamics）是指研究非线性系统运动的学科，与传统的线性动力学不同，它所研究的系统是依赖于初始条件及过程中反馈、耗散及非线性耦合等的状态变化规律。
非线性动力学模型可以是连续的，也可以是离散的，涉及到许多数学工具，包括微积分、常微分方程、偏微分方程、拓扑学、代数几何等。
第二章研究内容非线性动力学研究的主要内容是非线性动力系统在自然界、生产生活和科学技术中的应用和理论。
这里说的非线性动力系统，主要指具有非线性特性的动力系统，包括天气气候预测、生物学、生物医学、材料科学、航空航天等等各个领域的动力学系统。
1.混沌理论混沌理论是非线性动力学中的核心之一，也是最吸引人的方向之一。
混沌现象是随着时间推进，系统状态的巨大变化，这是由于微小的初始条件的微小变化而引起的。
混沌现象最早是由美国数学家李雅普诺夫（A.N.Kolmogorov）提出的，其主要特点是系统的轨迹看似毫无规律可寻，在函数中体现出一些随机的性质。
2.非周期振荡非周期振荡是非线性动力学的另一个重要方向。
它是指系统为适应外部环境和内部自身反馈机制作出的一种非线性动态的运动状态。
非周期振荡可以被看作是一种自适应的机制，可以在动态环境中寻找到对稳定性更好的点，也可以用于刻画非线性振动系统的动态特性。
3.射影演化动力学射影演化动力学是指在相空间上进行射影变换，通过将相空间上的点映射到下一时刻的点来描述系统的真实运行情况。
射影动力学模型的研究主要涉及轨道的几何特征和混沌现象的显现。
第三章应用非线性动力学在实际中有广泛的应用场景，其主要应用包括：1.天气气候预测天气气象研究是非线性动力学应用的早期领域之一。
天气系统本身包含着复杂的非线性特性，可以用非线性动力学方法来研究气象系统的稳定性和不稳定性，进而提高天气预报的精度。
2.生物学研究在生物学中，非线性动力学在神经生理学、心理学、进化生物学、群体生物学、生态学等方面都有很重要的应用，可以帮助揭示复杂的生物系统中的动态机制和交互关系。
非线性动力学
即non-linear 是指输出输入既不是正比例也不是反比例的情形。
如宇宙形成初的混沌状态。
自变量与变量之间不成线性关系，成曲线或抛物线关系或不能定量,这种关系叫非线性关系。
“线性”与“非线性”，常用于区别函数y = f (x)对自变量x的依赖关系。
线性函数即一次函数，其图像为一条直线。
其它函数则为非线性函数，其图像不是直线。
线性，指量与量之间按比例、成直线的关系，在空间和时间上代表规则和光滑的运动；而非线性则指不按比例、不成直线的关系，代表不规则的运动和突变。
如问：两个眼睛的视敏度是一个眼睛的几倍？很容易想到的是两倍，可实际是 6－10倍！这就是非线性：1＋1不等于2。
非线性关系虽然千变万化，但还是具有某些不同于线性关系的共性。
线性关系是互不相干的独立关系，而非线性则是相互作用，而正是这种相互作用，使得整体不再是简单地等于部分之和，而可能出现不同于"线性叠加"的增益或亏损。
激光的生成就是非线性的！当外加电压较小时，激光器犹如普通电灯，光向四面八方散射；而当外加电压达到某一定值时，会突然出现一种全新现象：受激原子好像听到“向右看齐”的命令，发射出相位和方向都一致的单色光，就是激光。
迄今为止，对非线性的概念、非线性的性质，并没有清晰的、完整的认识，对其哲学意义也没有充分地开掘。
线性：从相互关联的两个角度来界定，其一：叠加原理成立；其二：物理变量间的函数关系是直线，变量间的变化率是恒量。
在明确了线性的含义后，相应地非线性概念就易于界定：其—，“定义非线性算符N(φ)为对一些a、b或φ、ψ不满足L（aφ+bψ）=aL(φ)+bL(ψ)的算符”，即叠加原理不成立，这意味着φ与ψ间存在着耦合，对（aφ+bψ）的*作，等于分别对φ和ψ*作外，再加上对φ与ψ的交叉项(耦合项)的*作，或者φ、ψ是不连续(有突变或断裂)、不可微(有折点)的。
其二，作为等价的另—种表述，我们可以从另一个角度来理解非线性：在用于描述—个系统的一套确定的物理变量中，一个系统的—个变量最初的变化所造成的此变量或其它变量的相应变化是不成比例的，换言之，变量间的变化率不是恒量，函数的斜率在其定义域中有不存在或不相等的地方，概括地说，就是物理变量间的一级增量关系在变量的定义域内是不对称的。
非线性动力学在现代物理学中的应用
非线性动力学在现代物理学中的应用在现代物理学中，非线性动力学是一项极为重要的分支。
它被广泛应用于许多领域，如天文学、化学、力学、生物学等等。
非线性动力学的研究主要是从一些不规则的、混沌的系统开始的。
这种系统非常复杂，不易被理解，对于这种系统的特征和判别方法的研究是非线性动力学的主要内容之一。
下面我们来详细了解一下非线性动力学在现代物理学中的应用。
一、混沌理论混沌理论是非线性动力学的重要分支之一。
它是研究混沌现象及其规律的科学。
所谓的混沌现象指的是一种无序的、复杂的、高度敏感的动态系统状态。
混沌系统没有精确的预测能力，即便在非常小的偏差下也会引发错误积累，进而导致无法预测的复杂行为。
非线性动力学的发展，主要是从对这种混沌现象的研究开始的。
混沌理论的研究成果对于现代物理学和工程学有着重要的意义。
二、天文学中的应用在天文学中，非线性动力学应用非常广泛。
例如，研究行星的运动轨迹，就需要用到非线性动力学。
太阳系中的天体运动绝大部分是非线性运动，而非线性动力学为研究它们的运动提供了一个有效的工具。
三、化学反应动力学化学反应动力学是研究化学反应的机理和动力学过程的一门学科。
非线性动力学作为一种强有力的工具在化学反应动力学中得到了广泛应用。
例如，在反应动力学中，非线性动力学被用来研究燃烧反应、自催化反应和自组装等过程。
四、生物学中的应用生物学是非线性动力学的一个高度相关领域。
通常，生物系统中的多因素交往，导致了非线性行为的显现。
因此，非线性动力学被用来研究生物系统的发展和演变。
例如，计算神经科学的一个重要领域是研究神经元网络，而这些网络锥非常复杂，需要非线性动力学的工具来研究。
五、材料科学中的应用材料科学是非线性动力学又一重要的应用领域。
通过非线性动力学模型的研究，可以深入了解材料的力学性能。
例如，非线性动力学被广泛用于研究材料的刚性和破裂性。
综上所述，非线性动力学除了在上述几个领域中有着广泛的应用外，还被广泛用于信号处理、低速运动模式研究，以及其他各种工程问题的解决上。
非线性动力学系统的分析与控制
非线性动力学系统的分析与控制随着科学技术的不断发展，人们对复杂系统的研究日益深入。
非线性系统时常出现在自然界和工程技术中，例如气象系统、化学反应、电路、生物系统、机械系统等等。
非线性系统具有极其丰富的动态行为，不同的系统之间存在着很大的差异性。
面对这些复杂多样的非线性系统，如何进行分析与控制是非常重要的。
一、非线性动力学系统的定义及特点非线性动力学系统是指在时间和空间上均发生动态行为的系统，其系统关系不是线性关系。
由于非线性因素的存在导致了系统的复杂性和不可预测性，系统可能表现出各种奇异的动态行为。
这些动态行为包括周期性运动、混沌、周期倍增等等。
一个非线性系统通常由多个部分组成，每个部分之间有相互作用，这种相互作用可以是线性的，也可以是非线性的。
与线性系统不同的是，非线性系统的各种状态和运动是非简单叠加的，微小的扰动可能会导致系统出现完全不同的行为，所以非线性系统的行为很难被准确地预测和控制。
二、非线性动力学系统的分析方法1. 数值方法数值方法是研究非线性系统的基本工具之一。
数值方法的核心是计算机程序，基本思路就是用计算机模拟系统的行为，通过计算机的演算，得出系统的动态变化。
在数值模拟中，巨大的数据量和模拟误差可能导致计算结果的不确定性。
为了解决这个问题，可以采用随机性和模糊性来描述不确定性，将非确定性的信息融入到模型和模拟中。
2. 动力学分析动力学分析是利用动力学知识进行对非线性系统的分析和研究。
通过对系统的本质特性进行分析，了解系统的发展趋势和行为特征。
动力学分析主要通过相空间画图、稳定性分析、流形理论等方法对非线性系统进行分析。
其中，相空间画图是研究非线性系统最常用的方法之一。
它可以将非线性系统的状态表示为相空间中的一点，通过画出系统在相空间中的运动轨迹，了解系统在不同初态下的动态行为。
3. 控制方法控制方法是为了改变非线性系统的行为，使其达到预期目标或保持稳定状态。
非线性系统的控制可以分为开环控制和反馈控制。
非线性动力学培训课件
粒子群优化算法具有简单、易于实现、全局搜索能力强等优点，但可能存在局部最优解的问题，且对于大规模问题的求解效率可能较低。
粒子群优化算法
03
非线性动力系统的混沌现象
混沌是一种具有高度不确定性、非周期性、非线性、非稳定性的自然现象。
混沌现象的定义
混沌具有敏感的初始条件、拓扑混沌、统计的均匀性、普适性等特征。
非线性动力学在物理、生…
研究非线性动力学在物理、化学、生物、工程等领域的应用，深入探索非线性科学在解决实际问题中的潜力。
高维非线性动力学的数值…
针对高维非线性动力学问题，研究高效的数值模拟方法和算法设计技巧，以提高计算效率和准确性。
非线性动力学的研究前沿和挑战
智能制造与机器人技术的非线性动…
非线性动力学在未来的应用前景和发展趋势
电力工程
研究飞行器的非线性动态行为，如航天器姿态动力学和控制、空间碎片的动力学行为等。
航天工程
社会动力学
研究社会系统的演化和行为，如人口动力学、社会网络分析和人类行为等。
经济动力学
探究经济系统的非线性动态演化，如经济周期、金融危机和国际经济等。
决策科学
探究决策过程中的非线性现象和规律，如群体决策、风险评估和非线性思维等。
非线性动力学涉及到许多基本概念，如平衡点、稳定性、分岔点、混沌等，这些概念在研究非线性系统时具有重要的意义。
基本概念
非线性动力学的定义和基本概念
研究内容
非线性动力学的研究内容包括研究非线性微分方程的定性理论、研究非线性系统的稳定性、分岔、混沌等动力学行为，以及研究非线性动力学的数值方法和计算技术。
非线性动力学方法和思想在其他领域的应用
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非线性动力学方法
非线性动力学方法
非线性动力学方法是一种用于研究复杂系统的数学和计算方法。
它可以描述非线性系统中随时间演化的行为，并揭示系统的动力学性质。
非线性动力学方法包括以下几个方面:
1. 非线性微分方程: 非线性动力学方法主要研究非线性微分方程的解，这些方程描述了系统中各个变量之间的相互作用关系。
2. 相空间分析: 相空间是描述系统状态的空间，非线性动力学方法通过绘制相轨迹来分析系统在相空间中的运动轨迹，以揭示系统的稳定性、周期性和混沌行为等。
3. 分岔理论: 分岔理论研究系统在参数变化过程中出现的稳定性变化和态势的转变。
通过分析系统在不同参数值下的解的性质，可以确定系统的分岔点和分岔类型。
4. 混沌分析: 非线性动力学方法还研究系统中的混沌行为。
混沌是一种高度不确定和敏感依赖于初始条件的动力学行为，通过混沌分析方法，可以确定系统的Lyapunov指数和分岔图等。
非线性动力学方法在物理学、生物学、化学、经济学等众多领域具有重要应用，它可以揭示复杂系统的内在规律和行为特征，帮助人们更好地理解和预测自然和
人类活动中的各种现象。
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不动点的稳定性
Lyapunov 稳定:对任意ε,存在δ>0，使得所有满足 ||x0-x*||<δ的x0，对于任意t≥0有||φ(t;x0)-x* ||<ε.
弱渐进稳定:若存在δ>0使得当t→∞时，所有满足 ||x0-x*||<δ的x0有||φ(t;x0)-x* ||→0，
非线性‘时间’信号处理
陶超
2010.3.17
第二章 非线性动力学初步
2.6 吸引子
吸引子是动力学系统 演化很长时间后到达 的一种状态
不动点(Fixed point)
不动点/平衡点
若x*满足F(x*)=0则称x*为不动点.从不动点出发的 解的速度为零，因此它会停留在该点而且对所有的t 都有φ(t; x*)=x*
-3
-4
-5
-3
-2
-1
0
1
2
3
x1/pi
极限环-孤立的周期轨 (附近的轨道不是周期)
吸引的 排斥的 半稳的
120 150 180
90 4 60 3
2
1
30 0
210
330
240
300
270
实际条件下， 我们能观察到什么样的信号？
L-稳定不动点？周期轨？
弱渐进稳定不动点？周期轨？
渐进稳定的不动点？周期轨？
50
45
40
35
30
25
20
15
10
5
0
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
50
45
40
35
30
25
20
15
10
5
0
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
45
40
35
30
25
20
15
10
5
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
初始敏感依赖性
15 10
5 0 -5 -10 -15 -20
0
40 30 20 10
点的初始值敏感依赖性：存在 r > 0,使得对任意的 δ>0，存在y0,满足||y0-x0||< δ ，及时间τ> 0,使得 ||φ(τ ;x0)-φ(τ ;y0) || ≥r
点集的初始值敏感依赖性：系统限制在不变集S上
具有对初值的敏感依赖性是指，存在 r>0,对任意的
x间0 τin>
S0以,使及得δ|>|φ0(，τ ;存x0)在-φy(τ0
in S,满足||y0-x0||< ;y0) || ≥r
δ
，及时
A is forward invariant under f: if a is an
element of A then so is f(t,a), for all t > 0.
举例
稳定不动点不具有初始敏感性 不稳定不动点具有初始敏感性 不动点点集不具有初始敏感性
渐进稳定(吸引 attracting)： L-稳定 + 弱渐进稳 定
周期轨(闭轨)
满足φ(T;x0)=x0, φ(t;x0)≠x0 (0<t<T)的点 称为周期为T的周期点。如果x0是这样的点，则 集合{φ(t;x0)：0≤t≤T}成为周期轨或者闭轨
周期轨的稳定性
Lyapunov 稳定:对于周期轨γ={φ(t;x0)：0≤t≤T}, 若对任意ε>0,存在δ>0，使得对于γ的δ邻域内的任一 点x0,都有φ(t;x0) t≥0 位于γ的ε邻域内,则称 γ为依 轨道L稳定 (钟摆的轨道)
稳定周期轨上的点不具有初始敏感性 不稳定周期轨上的点具有初始敏感性 周期轨点集不具有初始敏感性
准周期轨点集不具有初始敏感性
周期轨的初始敏感依耐性
稳定周期轨上的点不 120 具有初始敏感性
150
不稳定周期轨上的点 具有初始敏感性
180
90 2.5 60 2
rho=2.0001 rho=1.9999
弱渐进稳定:若存在δ>0使得当t→∞时，使得对于γ的δ 邻域内的任一点x0,都有φ(t;x0)与γ之间的距离趋于0， 则称 γ为依轨道弱渐进稳定。
渐进稳定(吸引 attracting)： L-稳定 + 弱渐进稳定 渐进稳定的周期轨又称为吸引的周期轨
钟摆的周期轨(周期轨族)
x2
5
4
32ຫໍສະໝຸດ 10-1-2
吸引子是指相空间上这样的一个集合A：在相空间上 存在一个俘获区B(trapping region)，当时间趋于无 穷大时，从其出发的所有轨道φ(t,B)都趋于集合A， 则集合A称为吸引子.
渐进稳定的不动点(吸引子)
渐进稳定的周期轨(吸引子)
Van der Pol oscillator
敏感依耐性!!!!!
1.5 30
1
0.5
0
周期轨点集不具有初
始敏感性
210
330
240
300
270
奇异(strange)吸引子
若某系统有吸引子A，且限制在A上具有对初始值的 敏感依赖性，则称集合A为混沌吸引子
x ( y x) y x( z) y z xy z 10, 8 / 3, 28
混沌吸引子
不稳定的不动点？周期轨？
吸引子-不可分的吸引集A
An attractor is a subset A of the phase space characterized by the following three conditions: 1. A is forward invariant under f: if a is an element of A then so is f(t,a), for all t > 0. 2. There exists a neighborhood of A, called the basin of attraction (trapping region) for A and denoted B(A), which consists of all points b that "enter A in the limit t → ∞". 3. There is no proper subset of A having the first two properties.
0 -10 -20 -30
0
500 500
1000 1000
1500 1500
2000
2500
3000
2000
2500
3000
Lorenz attractor
吸引子的类型
平庸的吸引子 不动点(Fixed Point) 极限环(Limit Cycle) 极限环面(Limit Tori)
奇异吸引子(Strange attractor)