矩阵可对角化的判定条件及推广

矩阵可对角化的判定条件及推广数学与计算机科学学院 数学与应用数学（S ） 学号：2011031103 姓名：方守强 指导教师：梁俊平摘要：矩阵是否可以对角化，是矩阵的一条很重要的性质。

对相似可对角化的充分必要条件的理解，一直是线性代数学习中的一个困难问题。

本文给出了矩阵可对角化的几个充分必要条件和相应的证明。

关键词：方阵；特征值；特征向量；对角化引言：矩阵是高等代数中的重要组成部分，是许多数学分支研究的重要工具。

而对角矩阵作为矩阵中比较特殊的一类，其形式简单，研究起来也非常方便。

研究矩阵的对角化及其理论意义也很明显，矩阵相似是一种等价关系，对角化相当于对一类矩阵在相似意义下给出了一种简单的等价形式，这对理论分析是方便的。

相似的矩阵拥有很多相同的性质，比如特征多项式、特征根、行列式……如果只关心这类性质，那么相似的矩阵可以看作是没有区别的，这时研究一个一般的可对角化矩阵，只要研究它的标准形式——一个对角形矩阵就可以了。

而对角矩阵是最简单的一类矩阵，研究起来非常方便。

在本课题中通过阅读参考文献、查阅相关资料，初步总结出了矩阵可对角化的若干充分必要条件，并给予了相应的证明过程。

一、矩阵可对角化的概念1 特征值、特征向量的概念定义1 设A 是数域P 上线性空间V 的一个线性变换, 如果对于数域P 中的一个数0λ存在一个非零向量ε使得ελε0=A ,那么0λ称为A 的一个特征值，而ε 称为A 的属于特征值0λ的一个特征向量。

求方阵A 的特征值与特征向量的步骤：(1)由特征方程A E -λ=0求得A 的n 个特征值，设t λλλ,,,21 是A 的互异特征值,其重数分别为t n n n ,,,21 则n n n n t =+++ 21。

(2)求解齐次线性方程组()0=-X A E i λ()t i ,,2,1 =,其基础解系s i i i p p p ,,,21 (t i n s i i ,,2,11 =≤≤，)就是A 所对应特征值i λ的线性无关的特征向量。

2 矩阵可对角化的概念定义2 设A 是矩阵F 上一个n 阶方阵，如果存在数域F 上的一个可逆矩阵P ,使得AP P 1-为对角形矩阵，那么就说矩阵A 可以对角化。

任意方阵A 的每一个特征值i λ都有一个与之相对应的特征向量i P 满足i i i P AP λ=()n ,1,2,i =，则这个方程可以写成()()n n P P P P P P A ,,,,,,2121 =⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n λλλ21 , （1） 我们定义矩阵()n P P P P ,,,21 =,()n diag B λλλ,,,21 =则（1）式可写成PB AP =,若矩阵P 是可逆阵，则有()n diag B AP P λλλ,,,211 ==-引理1 设A 、B 都是n 阶矩阵,则有秩()AB ≥秩()A +秩()n B - 。

引理2 设s λλλ,,,21 (n s ≤)为n 阶方阵A 的所有互异特征值，则矩阵A 的线性无关的特征向量的最大个数为()()()I A r I A r I A r sn s λλλ------- 21。

证明 设s λλλ,,,21 (n s ≤)为n 阶方阵A 的所有互异特征值，因为特征值i λ()s ,1,2,i =相应的线性无关的特征向量的最大个数即为线性方程组()0=-XI A i λ的基础解析所含向量的个数，所以特征值()n s s ≤λλλ,,,21 相应的线性无关的特征向量的最大个数分别为()I A r n i λ--，()I A r n 2λ--，…，()I A r n s λ--，而矩阵A 的不同特征值的线性无关的特征向量并在一起仍然线性无关，从而,矩阵A 线性无关的特征向的最大个数为()()()I A r I A r I A r sn s λλλ------- 21。

引理3 设A 为n 阶方阵,s λλλ,,,21 是任意两两互异的数,则()()()()()()()n s I A r I A r I A r I A I A I A r s s 1][2121---++-+-=---λλλλλλ 。

二、矩阵可对角化的充分必要条件1 矩阵可对角化的充分必要条件及其证明定理1 数域P 上n 阶方阵A 可对角化的充分必要条件是A 有n 个线性无关的特征向量。

证明（1）充分性 假设n P P P ,,,21 是矩阵A 的n 个线性无关的特征向量，即有i i i P AP λ=()n ,1,2,i =,令矩阵()n P P P P ,,,21 =由特征向量n P P P ,,,21 组成，因为n P P P ,,,21 是线性无关的，因此矩阵P 是非奇异矩阵，其逆矩阵记为1-P ，根据逆矩阵的定义有P P 1-=()n P P P P P P 12111,,,--- ，另一方面，由i i i P AP λ=易知,()n AP AP AP AP ,,,21 = =()n n P P P λλλ,,,2211 ,给此式左乘矩阵1-P ，则有n I AP P =-1⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n λλλ21=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n λλλ21， 即充分性得证。

（2）必要性 令矩阵A 和对角形矩阵D 相似，即存在可逆矩阵P 使得D AP P =-1,则有PD AP =,于是记P =(n P P P ,,,21 )，()Tn d d d D ,,,21 =则PD AP =可以写成()n AP AP AP ,,,21 =(n n P d P d P d ,,,2211 )即有i i i P d AP =()n ,1,2,i =,这说明矩阵P 的列向量i P 是矩阵A 的特征向量，而已知P 是可逆阵，故P 的n 个列向量n P P P ,,,21 线性无关，必要性得证。

定理2 设 n n P A ⨯=，则A 可以对角化的充分必要条件是： (1)A 的特征根都在数域P 内, (2)对A 的每个特征根λ,有，()k =--A E n λ秩，其中k 是λ的重数。

条件(2) 也可改述为：特征根λ的重数等于齐次线性方程组()0=-X A E λ的基础解系所含向量的个数(简称为代数重数等于几何重数)。

条件(2)还可改述为：令有()[]n A n ri i =-∑=1-E λ秩，即属于A 的不同特征根的线性无关的特征向量总数是n 。

条件(1)，(2)还可改述为:A 的属于不同特征值的特征子空间的维数之和等于n 。

证明 设r λλλ,,,21 是A 的所有不同的特征根,j jt j αα,,1 是齐次线性方程组()0=-X A E j λ()r j ,,2,1 =的一个基础解系，则A 的特征向量rrrt r t t ααααα,,,,,,,,111111一定线性无关。

如果n t t t r =+++ 21, 则A 有n 个线性无关的特征向量, 从而A 可以对角化。

若A 可以对角化, 则属于A 的不同特征根的线性无关的特征向量总数一定是n 。

若不然, 则由定理1可设A 的n 个线性无关的特征向量为n ηηη,,,21 ,设j η是属于特征根j λ的特征向量，则j η可由j t j j αα,,1 线性表出，从而可由向量组rrrt r t t ααααα,,,,,,,,111111线性表出，于是，rank{n ηηη,,,21 }≤rank{ttr t r αααα,,,,,,11111}=n t t t r <+++ 21与n ηηη,,,21 线性无关矛盾。

定理3 设A 是n 阶复矩阵, 则A 与对角形矩阵相似的充分必要条件是A 的最小多项式()λm 无重根。

证明 充分性 因())(λλn d m =无重根,由)(λi d |)(1λ+i d 知,A 的每个不变因子)(λi d 都不能有重根，从而特征矩阵A E -λ作为复数域上的λ矩阵,其初等因子全为一次式，故A 必与对角阵相似。

必要性 因A 与对角阵相似,特征矩阵A E -λ的初等因子必均为一次式,故最后一个不变因子()λn d 也只能是不同的一次因式之积，这就证明了最小多项式())(λλn d m =无重根。

此定理3所给出的判别矩阵与对角矩阵相似的条件,形式上还可削弱,我有: 定理4 设σ是n 维向量空间V 的一个线性变换，σ的矩阵可以对角化的充分必要条件是V 可以分解为n 个在σ之下不变的一维子空间n W W W ,,,21 的直和。

证明 :必要性 若σ可以对角化，则存在V 的一组基n ααα,,,21 使得σ在这组基下的矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n λλλ21， 令()()()n n L W L W L W ααα===,,,2211 ,则 n W W W V ⊕⊕⊕= 21， 事实上：（1）V ∈∀η，则n n k k k αααη+++= 2211，又i i i W k ∈α()n ,1,2,i =, n W W W +++∈ 21η， 即n W W W V +++= 21。

（2）()n i i i W W W W W W ++++++∈∀+- 1121ξ,()n ,1,2,i =，i W ∈ξ且n i i W W W W W ++++++∈+- 1121ξ，i ξξ=且n i i ξξξξξξ++++++=+- 1121,()n j W j j ,,2,1, =∈ξ ， 又j j W ∈ξ()n ,1,2,j =，j j j W L =ξ，()n ,1,2,j =,i i n n i i i i L L L L L L ααααααξ=++++++=++-- 11112211,即i i n n i i i i i i L L L L L L L ααααααα=+++-+++++-- 11112211又n ααα,,,21 线性无关j L =0,()n ,1,2,j =, 即ξ=0。

充分性:若V 可分解为n 个在σ之下不变的一维子空间n W W W ,,,21 的直和,即n W W W V +++= 21,设n W W W ,,,21 的基分别为n ηηη,,,21 则n ηηη,,,21 可构成V 的一组基。

令()()()n n n ηλησηλησηλησ===,,,222111 ，σ在基n ηηη,,,21 下的矩阵为 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n λλλ21， 即σ可以对角化。

定理5 设A 是数域F 上的一个n 阶矩阵，A 的特征根全在F 内，若n λλλ,,,21 是A 的全部不同的特征根，其重数分别为n r r r ,,,21 ，则A 可对角化的充要条件是秩()j ji i r A I =-∑≠λ()k ,1,2,j =。

证明 :设A 可对角化，则存在可逆矩阵T ,使{}n n I I I diag AT T λλλ,,,22111 =-这里右边是分块对角矩阵，i I 为i r 阶单位阵，于是有秩()⎪⎪⎭⎫⎝⎛-∏≠j i i A I λ =秩()⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∏≠-T A I T ji i λ1=秩()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∏≠-j i i AT T I 1λ =秩{}⎪⎪⎭⎫⎝⎛-∏≠j i k k iI I I diag I λλλλ,,,,2211 =秩()()(){}⎪⎪⎭⎫⎝⎛---∏≠j i k k i i I I I diag λλλλλλ,,,22111 =秩()⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎭⎬⎫⎩⎨⎧-∏≠j i j j i I diag 0,,0,,,0,0 λλ =jr 。