中考二次函数压轴题及答案

26. (彬州市）如图（1），抛物线42

y x x =+-与y 轴交于点A ，E （0，b ）为y 轴上一动点，过点E 的直线y x b =+与抛物线交于点B 、C .

b ；若

分

（2）当b ＝0时，直线为y x =，由2

4

y x y x x =⎧⎨=+-⎩解得1122x y =⎧⎨=⎩，222

2x y =-⎧⎨=-⎩ 所以B 、C 的坐标分别为（－2，－2），（2，2）

1

4242

ABE

S

=⨯⨯=，1

4242

ACE

S =⨯⨯= 所以ABE

ACE

S S

=当4b >-时，仍有ABE

ACE

S S

=成立. 理由如下

由2

4y x b y x x =+⎧⎨=+-⎩，解得11x y b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，22x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩所以B 、C b 作BF y ⊥轴，CG y ⊥轴，垂足分别为F 、G ，则而ABE 和ACE 是同底的两个三角形， 所以ABE

ACE

S

S

=. （3）存在这样的b .

因为90BF CG,BEF CEG,BFE CGE =∠=∠∠=∠=︒ 所以BEF CEG ≅

所以BE CE =，即E 为BC 的中点

所以当OE =CE 时，OBC 为直角三角形 …………………..8分

因为GE b b GC =-== 所以

CE =

OE b =

b =，解得124,

2b b ==-，

所以当b ＝4或－2时，ΔOBC 为直角三角形.………………….10分 25.(常德）如图9，已知抛物线2

12

y x bx c x =++与轴交于点A （-4，0）和B （1，0）两点，与y 轴交于C 点. (1)求此抛物线的解析式；

(2)设E 是线段AB 上的动点，作EF ∥AC 交BC 于F ，连接CE ，当CEF 的面积是BEF 面积的2倍时，求E 点的坐标；

(3)若P 为抛物线上A 、C 两点间的一个动点，过P 作y 轴的平行线，交AC 于Q ，当P 点运动到什么位置时，线段PQ 的值最大，并求此时P 点的坐标.

25．解：（1）由二次函数2

12

y x bx c =

++与x 轴交于(4,0)A -、(1,0)B 两点可得： 221

(4)402

1102

b c b c ⎧--+=⎪⎪⎨

⎪⋅++=⎪⎩，． 解得： 322b c ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，． 故所求二次函数的解析式为213

222

y x x =+-．………………3分

（2）∵S △CEF =2 S △BEF , ∴1,2BF CF =1

.3

BF BC =………………4分

∵EF //AC , ∴B ,EF BAC BFE BCA ∠=∠∠=∠ , ∴△BEF ～△BAC , ………………5分

图9

x

∴

1,3BE BF BA BC ==得5

,3

BE =………………6分 故E 点的坐标为(2

3

-,0).………………7分

（3）解法一：由抛物线与y 轴的交点为C ，则C 点的坐标为（0，－2）．若设直线AC

的解析式为y kx b =+，则有20,04b k b -=+⎧⎨=-+⎩． 解得：1,

22k b ⎧

=-⎪⎨⎪=-⎩．

故直线AC 的解析式为122

y x =-－．………………8分

若设P 点的坐标为213,222a a a ⎛⎫

+- ⎪⎝⎭

，又Q 点是过点P 所作y 轴的平行线与直线

AC 的交点，则Q 点的坐标为（1

,2)2

a a --．则有：

2131[(2)](2)222

PQ a a a =-+----＝21

22a a --

＝()2

1222

a -++

即当2a =-时，线段PQ 取大值，此时P 点的坐标为（－2，－3）………10分 解法二：延长PQ 交x 轴于D 点，则PD AB ⊥．要使线段PQ 最长，则只须△APC

的面积取大值时即可.………………8分 设P 点坐标为（),00y x ，则有: ACO DPCO S APC

ADP S

S S =+-梯形

＝

111

()222AD PD PD OC OD OA OC ⋅++⋅-⋅ ＝()()00000111

2242222x y y y x --+-+⋅--⨯⨯

＝0024y x ---

＝20001322422x x x ⎛⎫

-+--- ⎪⎝⎭

＝2

004x

x --＝－()2

2

024x ++

即02x =-时，△APC 的面积取大值，此时线段PQ 最长，则P 点坐标

为（－2，－3）

25．（长沙）已知：二次函数2

2y ax bx =+-的图象经过点（1，0），一次函数图象经过原点和点（1，－b ），其中0a b >>且a 、b 为实数． （1）求一次函数的表达式（用含b 的式子表示）； （2）试说明：这两个函数的图象交于不同的两点；

（3）设（2）中的两个交点的横坐标分别为x 1、x 2，求| x 1－x 2 |的范围．

25．解：（1）∵一次函数过原点∴设一次函数的解析式为y =kx

∵一次函数过（1，－b ） ∴y =－bx ……………………………3分