基于方位离散线性化的上限原理有限元法
有限元法介绍
通俗地说，有限元法就是一种计算机模拟技术，使人们能够在计算机上用软件模拟一个工程问题的发生过程而无需把东西真的做出来。
这项技术带来的好处就是，在图纸设计阶段就能够让人们在计算机上观察到设计出的产品将来在使用中可能会出现什么问题，不用把样机做出来在实验中检验会出现什么问题，可以有效降低产品开发的成本，缩短产品设计的周期。
有限元法也叫有限单元法（finite element m ethod, FEM），是随着电子计算机的发展而迅速发展起来的一种弹性力学问题的数值求解方法。
五十年代初，它首先应用于连续体力学领域—飞机结构静、动态特性分析中，用以求得结构的变形、应力、固有频率以及振型。
由于这种方法的有效性，有限单元法的应用已从线性问题扩展到非线性问题，分析的对象从弹性材料扩展到塑性、粘弹性、粘塑性和复合材料，从连续体扩展到非连续体。
有限元法最初的思想是把一个大的结构划分为有限个称为单元的小区域，在每一个小区域里，假定结构的变形和应力都是简单的，小区域内的变形和应力都容易通过计算机求解出来，进而可以获得整个结构的变形和应力。
事实上，当划分的区域足够小，每个区域内的变形和应力总是趋于简单，计算的结果也就越接近真实情况。
理论上可以证明，当单元数目足够多时，有限单元解将收敛于问题的精确解，但是计算量相应增大。
为此，实际工作中总是要在计算量和计算精度之间找到一个平衡点。
有限元法中的相邻的小区域通过边界上的结点联接起来，可以用一个简单的插值函数描述每个小区域内的变形和应力，求解过程只需要计算出结点处的应力或者变形，非结点处的应力或者变形是通过函数插值获得的，换句话说，有限元法并不求解区域内任意一点的变形或者应力。
大多数有限元程序都是以结点位移作为基本变量，求出结点位移后再计算单元内的应力，这种方法称为位移法。
有限元法本质上是一种微分方程的数值求解方法，认识到这一点以后，从70年代开始，有限元法的应用领域逐渐从固体力学领域扩展到其它需要求解微分方程的领域，如流体力学、传热学、电磁学、声学等。
有限元法的基本原理
有限元法的基本原理
有限元法是一种用于求解物体结构和材料行为的数值分析方法。
它将连续的物理问题离散化为一个由一系列小的单元构成的简化模型，每个单元都有自己的特性和行为。
有限元法的基本原理是将物体分割成离散的有限元素，并在每个元素上建立适当的数学模型。
这些数学模型可以描述元素的行为以及相邻元素之间的相互作用。
然后，通过在元素级别上求解这些模型，得到整个物体的行为。
在有限元法中，首先将物体网格化成一系列有限元素。
常用的有限元素包括三角形、四边形和六面体等。
然后，在每个元素上构建适当的数学模型，通常使用微分方程或代数方程来描述元素的行为。
这些方程可以是弹性、塑性、热传导等物理现象的方程。
为了求解整个物体的行为，有限元法需要在每个元素上求解数学模型。
一般来说，这涉及到在每个元素的内部和边界上施加恰当的边界条件，并使用数值方法进行求解。
常用的数值方法包括有限差分方法、有限体积方法和有限元法等。
通过在每个元素上求解数学模型，并根据元素之间的相互作用来求解整个物体的行为，有限元法可以提供物体的应力、应变、位移等各种物理量的分布和变化情况。
这对于分析和设计工程结构、优化材料性能等都具有重要意义。
总的来说，有限元法的基本原理是将物体离散化，并在每个元
素上构建适当的数学模型，然后通过数值方法求解这些模型，以获得整个物体的行为。
它是一种强大的工具，可以在工程和科学领域中广泛应用。
第一章概述 有限元法基本原理及应用课件
1.3.2 有限元法的应用领域
线性静力分析
静力分析
非线性静力分析
数控立式加工中心床身位移云图
1.3.2 有限元法的应用领域
动力分析
模态分析。 瞬态响应分析。 谐响应分析。 频谱响应分析和随机振动分析。 屈曲和失稳分析。 自动接触分析。
美国的Daniel S Pipkinsay & Satya N Atlurib提出了 FEAM。
西班牙的Onate E和波兰的Rojek J将DEM 和FEM结 合解决地质力学中的动态分析问题；
瑞典的Birgersson F和英国的Finnveden S针对FEM 在频域中的应用提出了SFEM 。
1.3.1 有限元法的发展
整机模态分析
反挤压成型过程
1.3.2 有限元法的应用领域
失效和破坏分析
框架 结构 地震 倒塌 模拟
框架 结构 地震 倒塌 模拟
汽 车 正 撞 刚 性 墙
New Structural system and design method
1.3.2 有限元法的应用领域
热传导分析
发动机进排气流场温度
铸造成型：温度变化和气泡
20世纪90年代以来，大批FEA系统纷纷向微机移植， 出现了基于各种微机版FEA系统。有限元法向流体力学、 温度场、电传导、磁场、渗流和声场等问题的求解计算 方面发展，并发展到求解一些交叉学科的问题。
1.3.1 有限元法的发展
3．有限元法的研究现状பைடு நூலகம்
美国的HeoFanis Strouboulis等人提出用GFEM 解决 分析域内含有大量孔洞特征的问题；比利时的Nguyen Dang Hung 和越南的Tran Thanh Ngoc 提出用HSM解 决实际开裂问题
有限元法原理
有限元法原理
有限元法是一种工程计算方法，主要用于求解连续介质的力学问题。
它的基本原理是将连续介质离散成有限个小单元，然后利用有限元的形状函数对每个小单元进行近似，最终利用这些近似解来求解整个连续介质的力学问题。
有限元法的主要思想是将问题的解表示为一个有限个数的基函数的线性组合。
这些基函数与小单元的形状函数相联系，通过对小单元的形状函数进行合适的选取和调整，可以确保解在小单元内满足边界条件。
然后，通过将所有的小单元的解进行组合，就可以得到整个连续介质的解。
在实际的计算中，有限元法通常分为以下几个步骤：首先，需要根据实际问题确定合适的有限元模型，包括选择适当数量和类型的有限元单元。
然后，需要确定边界条件，即确定整个连续介质的边界约束条件。
接下来，根据小单元的形状函数和基函数，可以建立刚度矩阵和荷载向量。
最后，通过求解线性方程组，可以得到整个连续介质的解。
有限元法具有广泛的应用范围，在工程领域中可以用于求解各种静力学、动力学、热力学、流体力学等问题。
它不仅能够提供精确的解，同时也具有较高的计算效率和灵活性。
因此，有限元法已经成为工程计算领域中一种非常重要的数值分析方法。
有限元法基本原理
有限元法基本原理
有限元法是最先应用于航空工程结构的矩阵分析方法，主要用来解决复杂结构中力与位移的关系。
有限元法的基本思想:将具有无限个自由度的连续的求解区域离散为具有有限个自由度、且按一定方式(节点)相互连接在一起的离散体(单元)，即将连续体假想划分为数目有限的离散单元，而单元之间只在数目有限的指定点处相互联结，用离散单元的集合体代替原来的连续体。
一般情况下，有限元方程是一组以节点位移为未知量的线性方程组，解次方程组可得到连续体上有限个节点上的位移，进而可求得各单元上的应力分布规律。
有限元法主要分为以下步骤：（1）结构离散化
将连续体离散成为单元组合体；（2）选择位移模式
也就是说，假设单元中的位移分布是坐标的函数，通常选择位移模式作为多项式的函数；
（3）单元力学特性分析
利用弹性力学的平衡方程、几何方程、物理方程和虚功原理，得到单元节点力与节点位移之间的力学关系，即建立单元刚度矩阵；
（4）计算等效节点力根据虚功相等原则，用等效节点力来代替所有作用于单元边界或单元内部的载荷；
（5）建立整个结构的所有节点荷载和节点位移之间的关系（整体结构平衡方程），即建立结构的整体刚度矩阵；
（6）边界条件
消除结构整体刚性位移的可能性。
（7）解线性方程组
方程组有唯一解，即得到结构中各节点的位移，单元内部位移通过插值得到。
（8）计算结果的后处理和评估。
有限元法
于是有
u ui 1 , ui B u ,
i T i
从而（1.17）右端第一个和式为
1 n i u 2 i 1
一、有限元方法解题分析 为了说明应用有限元方法的解题步 骤，以及每一步骤中的要点，下面我们
以两点边值问题为例进行具体分析。
考虑两点边值问题
d du Lu p qu f , a x b dx dx u a 0, u ' b 0
V 从以上可以看出， h 是满足下列条件的所有 函数 uh 的集合：
(1)、uh在 a, b 上连续，且uh，uh L2 a, b ; (3)、uh a 0. (2)、uh在ei 上是次数不超过1的多项式;
1 Vh 是 H E 的一个n维子空间，称为试探函数空间 故 uh Vh 称为试探函数。
T
K u
i i
1 n T i i i u [( B )T K B ]u 2 i 1 1 u T Ku 2
其中，
K (B ) K B
i
T i 1 n
i i
K
i i 1
n
i n ai1,i 1 i i 1 ai,i1
4、有限元方程的形成
1 Vh 代替 H E ，在 Vh 上解泛函数 与Ritz法一样，以
（1.3）的极小问题。 将（1.5）代入（1.3），得
1 J uh a uh , uh f , uh 2 n 1 n = a i , j ui u j u j f , j . 2 i, j j 1
有限元法的基本原理
第二章有限元法的基本原理有限元法吸取了有限差分法中的离散处理内核，又继承了变分计算中选择试探函数并对区域积分的合理方法。
有限元法的理论基础是加权余量法和变分原理，因此这里首先介绍加权余量法和变分原理。
2.1等效积分形式与加权余量法加权余量法的原理是基于微分方程等效积分的提法，同时它也是求解线性和非线性微分方程近似解的一种有效方法。
在有限元分析中，加权余量法可以被用于建立有限元方程，但加权余量法本身又是一种独立的数值求解方法。
2.1.1 微分方程的等效积分形式工程或物理学中的许多问题，通常是以未知场函数应满足的微分方程和边界条件的形式提出来的，可以一般地表示为未知函数u 应满足微分方程组12()()()0A A A ⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭u u u （在Ω内） （2-1）域Ω可以是体积域、面积域等，如图2-1所示。
同时未知函数u 还应满足边界条件12()()()0B B B ⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭u u u （在Γ内） （2-2）要求解的未知函数u 可以是标量场（例如压力或温度），也可以是几个变量组成的向量场（例如位移、应变、应力等）。
A ，B 是表示对于独立变量（例如空间坐标、时间坐标等）的微分算子。
微分方程数目应和未知场函数的数目相对应，因此，上述微分方程可以是单个的方程，也可以是一组方程。
所以在以上两式中采用了矩阵形式。
以二维稳态的热传导方程为例，其控制方程和定解条件如下：()()()0A k k q x x y yφφφ∂∂∂∂=++=∂∂∂∂ （在Ω内） （2-3）0()0q B k q n φφφφφ⎧-=Γ⎪=⎨∂-=Γ⎪∂⎩（在上）（在上） （2-4）这里φ表示温度（在渗流问题中对应压力）；k 是流度或热传导系数（在渗流问题中对应流度/K μ）；φ和q 是边界上温度和热流的给定值（在渗流问题中分别对应边界上的压力和边界上的流速）；n 是有关边界Γ的外法线方向；q 是源密度（在渗流问题中对应井的产量）。
有限单元法
（1.11）
AE ⎡α 2 αβ ⎤ AE ⎡ − α 2 [k ii ] = ⎢ ⎥ ， [k ij ] = [k ji ] = ⎢ l ⎣αβ β 2 ⎦ l ⎣− αβ AE ⎡α 2 αβ ⎤ [k jj ] = ⎢ ⎥ ， α = cosθ , β = sin θ l ⎣αβ β 2 ⎦ 我们注意到，上式中的单元刚度矩阵 [K ]e 具有对称性。
或写成
（1.15a） （1.15b）
[ F ]e = [T]e [F]e
其中
（1.16）
⎡ cosθ ⎢− sin θ [T]e = ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎣ 0
为转换矩阵。Leabharlann sin θ cosθ 0 0
0 0 cosθ − sin θ
0 ⎤ 0 ⎥ ⎥ sin θ ⎥ ⎥ cosθ ⎦
（1.17）
对于节点位移，在局部坐标与整体坐标之间，也存在着类似的关系：
（1.1）
其中 u i , vi （或 u j , v j ）分别表示节点 i （或 j ）沿坐标轴 x 方向和 y 方向的节点位移分量；
f x i , f yi （或 f x j , f yj ）为相应的 x 方向和 y 方向的节点力分量。并且规定：节点位移和节点
力的符号与坐标轴 x, y 取向一致为正，反之为负。 首先分析杆的应变-位移关系。杆的长度 l 可表示为
（1.6）
单元内的轴向力（规定拉力为正）为
N = AEε =
（1.7）
这里 A 和 E 分别表示杆的横截面积和弹性模量。节点力与轴力的关系可表示为
f xi = − N cosθ , f yi = − N sin θ ; f xj = N cosθ , f yj = N sin θ
有限元法介绍
有限元法介绍周宇 2012330300302 12机制（1）班理论研究、科学实验以及计算分析是人们进行科学研究和解决实际工程问题的重要手段，随着计算机技术及数值分析方法的发展，以有限元方法为代表的数值计算技术得到越来越广泛的应用。
有限元法是一种高效能、常用的数值计算方法。
科学计算领域，常常需要求解各类微分方程，而许多微分方程的解析解一般很难得到，使用有限元法将微分方程离散化后，可以编制程序，使用计算机辅助求解。
有限元法可应用于以任何微分方程所描述的各类物理场中，而不再要求这类物理场和泛函的极值问题有所联系。
一、基本思想有限元方法是一种求解复杂对象方程的方法，基本思想来源于“化整为零”、“化弧为直”的直观思路，将实体的对象分割成不同大小、种类、小区域称为有限元。
根据不同领域的需求推导出每一个元素的作用力方程，组合整个系统的元素并构成系统方程组，最后将方程组求解。
由有限元的发展，该法具有下列的特色：1、整个系统散为有限个元素；2、利用能量最低原理与泛函数值定理（见附录）转换成一组线性联立方程；3、处理过程简明；4、整个区域左离散处理，需庞大的资料输出空间与计算机内存，解题耗时；5、线性、非线性均适用；6、无限区域的问题较难仿真。
二、基本概念1、有限元法是把分析的连续体假想地分割成有限个单元所组合成的组合体；2、这些单元仅在顶角处相互联接，这些联接点称为结点。
离散化的组合体和真实的弹性体的区别在于：组合体中单元与单元之间的联接除了结点之外再无任何关联。
但是这种联接要满足变形协调条件，即不能出现裂缝，也不允许发生重叠——单元之间只能通过结点来传递内力。
通过结点来传递的内力称为结点力，作用在结点上的载荷称为结点载荷。
当连续体受到外力作用发生变形时，组成它的各个单元也将发生变形，因而各个结点要产生不同程度的位移，称为结点位移。
在有限元中，常以结点位移作为基本未知量。
并对每个单元根据分块近似的思想，假设一个简单的函数近似地表示单元内位移的分布规律，再利用力学理论中的变分原理（见附录）或其他方法，建立结点里与位移之间的力学特性关系，得到一组以结点位移为未知量的代数方程，从而求解结点的位移分量。
(有限元法)
有限元法1.有限元法概述实际工程计算中所涉及到的物理元器件本身结构非常复杂，部分材料的属性还存在非线性问题，难以有效地得到问题对应的解析解。
随着计算机技术的发展，一些数值计算方法在攻克科学技术难题时发挥了巨大的作用，其中比较常用的包括有限元法、边界元法、模拟电荷法、有限差分法等。
有限元的核心思想在于能够将复杂场域的计算问题等效为进行简单的方程组求解问题[22]。
有限元法将连续的求解区域进行剖分，得到有限数量的离散性质的单元体，选择较为简单的并且合适的插值函数进行插值，那么问题就转化为数学上求解一个普通的多元函数极值的问题，求解该多元函数方程组，便可以得到求解域的数值解[23-25]。
有限元法得到的单元体集合可以按照不同的方式进行组合，单个单元针对不同方向的计算问题也存在几种不同的单元形状，可有效地使复杂计算几何模型转变为有限元计算模型。
总的来说，有限元法相对于其它电磁场数值方法主要有以下优点：（1）能够处理复杂边界。
有限元法强大的网格划分功能能够合理的划分复杂边界，保证计算的精确度。
（2）异类介质的存在对计算无影响。
有限元法计算分析问题时，模型中可以同时存在不同种的介质材料，仅需要在网格划分前设定好各种介质的材料属性。
（3）场域维数可为三维。
二维计算虽具有一定的适应性，但是如果需要更加贴近实际的进行三维模型计算，就得采用有限元法将计算求解场域离散。
（4）电场计算更简单。
有限元法在处理形状简单的三角形单元或者四面体单元时，可以认为电场强度在单元内部是均匀不变的，计算更加简单。
目前，有限元法作为一种数值计算方法，比其他方法更适用于分析不同介质性质和不同边界形状的复杂问题，已经成为解决电磁场和电磁波工程问题的主流方法。
如电学中的汤姆逊定理，变分原理解释了物理学中的最小作用原理，为数值解的存在与稳定提供了前提条件。
变分原理通过将问题的物理特性离散化，列出相应的公式，简化了编写通用计算程序的难度，使解决问题的计算程序能构成模块化的子程序集合。
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利用解析方法寻求边坡上限解；Michalowski[2]建议 采用与传统的极限平衡法类似的破坏机构，即将滑 体离散成为一系列垂直的条块，在相关联流动法则 的理论框架下， 对所有条块构造一个许可的速度场， 然后根据功能平衡方程， 迭代求解边坡的安全系数； [3] 陈祖煜等 推出了基于斜条分思想的斜条分上限解 法， 并在 2000 年， 将塑性极限的求解范围从二维扩 大到三维，对小湾高拱坝的稳定性进行了三维极限 － 分析[4 5]等。此类方法虽然直观明了，对特定问题 的研究十分有效，但当模型边界条件复杂时，破坏 模式将难以构建。
1
引
言
塑性极限分析由于具有清楚的物理意义和严 密的理论基础，已经成为众多岩土工程领域的有效 研究手段。相对下限法的应力场，上限法速度场更 易构造，且由于其可得到边坡临界状态的滑动失稳 面，具有更广阔的应用前景。 目前，上限法的实现途径主要有两种。第 1 种 是预先假定破坏模式，最后通过数学优化得到上限 解，如 Chen[1]提出了一种用于求解二维边坡旋转破 坏的上限解方法，滑裂面仅限于对数螺旋曲线，并
第 36 卷第 6 期 2015 年 6 月
DOI： 10.16285/j.rsm.2015.06.033
岩 土 力 学 Rock and Soil Mechanics
Vol.36 No. 6 Jun. 2015
基于方，孙冠华
（中国科学院武汉岩土力学研究所 岩土力学与工程国家重点实验室，湖北 武汉 430071）
如图 1 所示，把方位角以 x 轴为基准，从 0 到 π 分 成 n 等份，则第 k 个离散方位与 x 轴的夹角为 π k k （ 2） n
τ 1 2 2π/n n-1 n F(α, τ)
φ
k
图 1 摩尔应力圆的离散 Fig.1 Discretization of Mohr stress circle
该方位平面上的 Mohr-Coulomb 屈服准则为
Fk ( n , ) n tan k ck
（ 7）
式中： k 和 ck 为该方位平面上的摩擦角和黏聚力。 将式（5） 、 （6）代入式（7） ，则形成了每个离 （ 1） 散方位上的屈服条件。 在全部方位的[0， 2π]区间上， 可以得到 2n 个线性化的屈服函数：
An upper-bound limit finite element method based on linearized spatial discretization
SUN Cong, LI Chun-guang, ZHENG Hong, SUN Guan-hua
( State Key Laboratory of Geomechanics and Geotechnical Engineering, Institute of Rock and Soil Mechanics, Chinese Academy of Sciences, Wuhan, Hubei 430071, China)
收稿日期：2014-03-02 基金项目：973 项目(No.2011CB013505)；国家自然科学基金资助项目 (No.11172313)。 第一作者简介：孙聪，男，1989 年生，博士研究生，主要从事计算岩土力学方面的研究工作。E-mail： sunson0324@
第6期
孙 聪等：基于方位离散线性化的上限原理有限元法
式中：ci 为第 i 个方位上的黏聚力。 且当 i=2k-1 时（k=1,2…n） ：
1 M 2 k 1 tan k cos2 k sin 2 k 2 1 N 2 k 1 tan k sin 2 k sin 2 k 2 P2 k 1 tan k sin 2 k cos 2 k
（ 9）
当 i=2k 时（k=1,2…n） ：
1786
岩
土
力
学
2015 年
1 M 2 k tan k cos 2 k sin 2 k 2 1 2 N 2 k tan k sin k sin 2 k 2 P2 k tan k sin 2 k cos 2 k
2n v 2 n Fi N y i i i y i 1 y i 1 2n 2n F v u i P xy i i i x y i 1 xy i 1 i ≥ 0 x
摘 要： 上限原理有限元法不仅可以得到边坡的安全系数， 还可以给出临界滑动面， 且具有比极限平衡法更严谨的理论基础， 因此，拥有更广阔的应用前景。针对传统的上限有限元法不能考虑强度各向异性的问题，提出了一种新的摩尔-库仑屈服面 线性化方法。该方法在对方位角离散化的基础上，建立了线性化的方位离散塑性流动约束方程，丰富了基于线性规划的上限 法理论。两个算例结果表明：该方法可以稳定地从极限解的上方收敛；且对边坡进行稳定性分析，若忽略了边坡的强度各向 异性，则会高估边坡的稳定性，得到较大的安全系数。 关 键 词：上限有限元法；方位离散；各向异性；线性规划 中图分类号：TD824.7 文献标识码：A 文章编号：1000－7598 (2015) 06－1784－07
1785
第 2 种是结合有限元、边界元、无网格法等数 值计算方法离散系统构建速度场，其中有限元则是 最常用的离散手段。此类方法不需要事先假设破坏 模式，可考虑复杂的边界条件和不同的力学参数， 通过数学规划自动搜索出破坏方式，从而得到上限 解。由于此种方法是对整个系统进行离散，变量较 多，若最终数学模型为非线性规划，那么求解过程 － 将相当耗时。Sloan[6 7]采用外切多边形对屈服函数 进行逼近，实现了上限法的线性化，随后许多学者 － 采用这一思路对上限有限元法展开了研究[8 12]。该 方法虽然随着外切正多边形边数的增加，可很好地 展现出数值解从上方逼近真实值的性质，但却难以 考虑材料的各向异性。针对此问题，本文从空间方 位出发，对于任意应力点建立基于方位离散的线性 化 Mohr-Coulomb 塑性流动方程，为各向异性的上 限法分析打下基础，并采用两个算例验证了本文方 法的正确性和优势。
3 基于方位离散的塑性流动约束方程
上限法要求受力体满足相关联流动法则和速 度相容条件，对平面应变条件下的理想弹塑性体， 相关流动法则表示为
v F ≥ 0 y y y v u F xy x y xy x u F x x
Fi M i x N i y Pi xy ci ， i 1, 2,3....2n
（ 8）
为塑性乘子； 、 分 式中：F 为塑性势函数； 别为应变和应力；u、v 分别为 x、y 方向的速度。 为了利用高效的线性规划求解，需要形成节点速度 和塑性乘子之间的线性关系， 并将屈服函数线性化， 下面来详细介绍基于方位离散的线性化塑性流动约 束方程的推导过程。 平面问题中的任意应力点对应的摩尔应力圆
中的一个点，当相切时（见图 3(a)） ，该应力状态正 （10） 好位于屈服面上，对应于 Sloan 方法中外切线与屈 服圆相切的点 （图 2 中 A 点） ； 当相交时 （见图 3(b)） ， 处于屈服状态，则应力状态位于屈服面外，对应于 Sloan 方法中屈服圆以外的某一点（图 2 中 B 点） 。 随着方位离散点数量的增多，位于屈服面外的应力 状态会减少，所有应力点从上方逼近屈服面，与 Sloan 的屈服面逼近方法有着异曲同工之妙，因此， 这两种情况均严格满足上限性质。 用 2n 个线性化的方程代替屈服函数，代入式 （ 1） ，即可得基于方位离散的塑性流动约束方程为
Abstract: With a theoretical basis more rigorous than the limit equilibrium method, the upper-bound limit finite element method can be used to determine not only the safety factor of slope but also the critical slip surface so that it will have a broad prospect of application. To remove the limitation that the traditional upper-bound limit finite element method cannot address the effect of heterogeneity, a new Mohr-Coulomb yield surface linearization method is proposed herein, based on the linearized spatial discretization. Within this context, the linearized constraint equations for plastic flow are developed, which enriches the upper-bound limit method based on linear programming and lays a solid foundation for the application of linear programming technics to the upper-bound limit analysis. Two examples are analyzed, showing that the proposed method stably yields a convergent solution from above the upper-bound solution. In analyzing the stability of a slope, if the strength anisotropy is ignored, the factor of safety is overestimated, resulting in a larger factor of safety of the slope. Keywords: upper bound finite element method; spatial discretization; anisotropy; linear programming