一般有限元原理
有限元方法的基本原理
有限元方法的基本原理
有限元方法是一种数值分析方法，用于求解复杂结构的力学问题。
其基本原理如下：
1. 将结构离散化：首先将结构分割成许多小的单元（有限元），每个单元可视作一个简单的结构部件。
这样可以将原始连续结构的复杂问题简化为每个小单元的简单问题。
2. 定义弯曲关系：对每个单元建立力学模型，包括定义材料的弹性模量、泊松比、截面积等力学性质参数。
3. 建立单元的位移方程：利用有限元方法，采用适当的形函数，建立每个单元的位移方程，一般为不定位移分析。
4. 组装全局方程：将所有单元的位移方程组装成整个结构的全局方程。
5. 求解方程组：通过数值方法（如高斯消元法、迭代法等），求解结构的位移和应力等力学量。
6. 分析结果：根据结构的位移和应力等力学量，可对结构的强度、刚度、振动等进行分析和评价。
有限元方法的基本原理是将复杂结构的力学问题通过离散化处理，化为易于计算的小单元问题，再通过数值方法求解整个结构的力学行为。
有限元计算原理
有限元计算原理
有限元计算原理是一种工程分析的方法，用于求解各种结构及连续体的力学问题。
其基本思想是将结构或连续体分割成有限数量的小单元，然后通过对这些小单元进行计算，再将其组合起来求解整体问题。
这种方法可以将结构或连续体的力学行为分析得非常精确，可以获得结构的应力应变分布、位移分布等信息。
有限元计算的原理可以概括为以下几个步骤：
1. 网格划分：将结构或连续体划分成许多小单元，即有限元，这些小单元通过节点连接起来构成整个结构。
2. 求解力学方程：根据结构或连续体的几何形状和物理特性，建立相应的力学方程组。
通常采用弹性力学理论来描述结构或连续体的力学行为。
3. 边界条件的处理：给定结构或连续体的边界条件，如固支、约束力等，在有限元网格中对应的节点上施加相应的约束。
4. 单元刚度矩阵的组装：通过计算每个小单元的刚度矩阵，将其组装成整个结构或连续体的整体刚度矩阵。
5. 单元荷载向量的组装：根据给定的荷载条件，在每个小单元上计算相应的荷载向量，将其组装成整个结构或连续体的荷载向量。
6. 求解位移和应力：根据组装好的整体刚度矩阵和荷载向量，通过求解线性方程组，得到结构或连续体中每个节点的位移和应力。
7. 后处理：根据求解得到的位移和应力，可以计算出结构或连续体的各种物理量，比如应变、应力、变形等。
通过这种有限元计算的方法，可以对各种复杂的结构或连续体进行力学分析和优化设计。
有限元的原理
有限元的原理
有限元分析是一种数值计算方法，用于求解复杂结构的应力、变形和振动等问题。
它将结构分割成有限个小单元，然后通过对这些小单元的力学行为进行数值计算，最终得到整个结构的应力和变形等信息。
有限元分析在工程领域得到了广泛的应用，可以有效地解决各种复杂结构的工程问题。
有限元分析的原理主要包括以下几个方面：
首先，有限元分析需要将结构离散化为有限个小单元。
这些小单元可以是线性的、四边形的、三角形的或者其他形状的，具体选择取决于结构的几何形状和材料性质。
通过将结构离散化，可以更加准确地描述结构的力学行为。
其次，有限元分析需要建立每个小单元的本构关系。
本构关系描述了材料在受
力情况下的应力-应变关系，是有限元分析的基础。
根据结构的材料性质和几何形状，可以选择合适的本构关系来描述小单元的力学行为。
然后，有限元分析需要建立整个结构的总体刚度矩阵。
刚度矩阵描述了结构在
受力情况下的整体力学行为，是有限元分析的核心。
通过将每个小单元的本构关系组装成整个结构的刚度矩阵，可以得到结构的总体力学行为。
最后，有限元分析需要对结构施加外部载荷，并求解结构的位移和应力等信息。
通过在刚度矩阵中施加外部载荷，可以求解出结构的位移和应力等信息，从而得到结构在受力情况下的力学行为。
总的来说，有限元分析的原理是将结构离散化、建立本构关系、组装刚度矩阵、施加外部载荷并求解结构的力学行为。
通过这一系列步骤，可以有效地分析复杂结构的应力、变形和振动等问题，为工程实践提供重要的理论支持和计算手段。
有限元分析的基本原理
有限元分析的基本原理有限元分析是一种工程数值分析方法，它通过将连续的物理问题离散化为有限个简单的单元，再通过数学方法求解每个单元的行为，最终得到整个结构的行为。
有限元分析的基本原理包括离散化、建立有限元模型、求解和后处理等几个方面。
首先，离散化是有限元分析的基础，它将连续的结构或物理问题划分为有限个单元。
这些单元可以是一维的杆件单元、二维的三角形或四边形单元，也可以是三维的四面体或六面体单元。
通过将结构离散化为这些单元，可以更加方便地进行数学建模和求解。
其次，建立有限元模型是有限元分析的关键步骤。
在建立有限元模型时，需要确定每个单元的材料性质、几何形状、边界条件等信息，并将这些信息输入到有限元分析软件中进行建模。
有限元模型的建立需要考虑到结构的实际工作状态，以确保分析结果的准确性。
然后，求解是有限元分析的核心步骤。
在建立好有限元模型后，需要对模型进行求解，得到结构在不同工况下的应力、位移、变形等信息。
求解的过程需要借助于数值方法，如有限元法、有限差分法等，通过计算机进行大量的数值计算，以获得结构的响应。
最后，后处理是有限元分析的最后一步。
在获得了结构的应力、位移等结果后，需要对这些结果进行后处理，如绘制应力云图、位移曲线等，以便工程师对结构的性能有更直观的了解。
后处理结果也可以作为设计和优化的依据，帮助工程师改进结构设计。
综上所述，有限元分析的基本原理包括离散化、建立有限元模型、求解和后处理。
通过这些步骤，工程师可以对结构进行全面的分析和评估，为工程设计和优化提供有力的支持。
有限元分析方法已经成为工程领域中不可或缺的工具，为工程师们提供了更多的可能性和便利性。
有限元法的基本原理
有限元法的基本原理
有限元法是一种用于求解物体结构和材料行为的数值分析方法。
它将连续的物理问题离散化为一个由一系列小的单元构成的简化模型，每个单元都有自己的特性和行为。
有限元法的基本原理是将物体分割成离散的有限元素，并在每个元素上建立适当的数学模型。
这些数学模型可以描述元素的行为以及相邻元素之间的相互作用。
然后，通过在元素级别上求解这些模型，得到整个物体的行为。
在有限元法中，首先将物体网格化成一系列有限元素。
常用的有限元素包括三角形、四边形和六面体等。
然后，在每个元素上构建适当的数学模型，通常使用微分方程或代数方程来描述元素的行为。
这些方程可以是弹性、塑性、热传导等物理现象的方程。
为了求解整个物体的行为，有限元法需要在每个元素上求解数学模型。
一般来说，这涉及到在每个元素的内部和边界上施加恰当的边界条件，并使用数值方法进行求解。
常用的数值方法包括有限差分方法、有限体积方法和有限元法等。
通过在每个元素上求解数学模型，并根据元素之间的相互作用来求解整个物体的行为，有限元法可以提供物体的应力、应变、位移等各种物理量的分布和变化情况。
这对于分析和设计工程结构、优化材料性能等都具有重要意义。
总的来说，有限元法的基本原理是将物体离散化，并在每个元
素上构建适当的数学模型，然后通过数值方法求解这些模型，以获得整个物体的行为。
它是一种强大的工具，可以在工程和科学领域中广泛应用。
有限元分析的基本原理
有限元分析的基本原理有限元分析法是一种通用的数值分析技术，它利用有限数目的计算元素来对结构的应力、变形以及失效的可能性进行分析，它简化了复杂的工程结构在实际受力情况下的模拟计算，可以预测出构件的性能、变形和可能失效等。
有限元分析是用数学模型来模拟生活用来模拟工程中结构抗压、抗弯、抗剪、抗疲劳等性能。
有限元分析有三个基本原理：结构变形、力学方程和材料本构方程。
首先，有限元分析的基础原理是结构变形。
结构变形是指在施加外力作用下，受力的结构的空间变形和大小的变化，它是有限元分析的基础，该原理说明了满足力学方程的解决方法如何以有限元的形式出现。
通常情况下，我们会把构件的耦合变形分成很多小的计算元(这些计算元之间有连接约束)，减少变形的不确定性，从而提高分析的准确性。
其次，有限元分析的基础原理是力学方程。
满足力学方程条件的解决方案就是有限元分析，也就是把问题分解成很多小的子问题来求解。
力学方程最常见的形式是基于有限元技术的动态和静态结构分析。
动态结构分析是指结构在某个加载下的振动反应，涉及到施加外力、弹性和惯性效应。
静态结构分析则指结构在不同类型外力作用下的变形。
最后，有限元分析的基础原理是材料本构方程。
材料本构方程是指材料受拉力作用而形成变形和应力的关系，它可以用来描述材料在承受外力时的作用。
本构方程有很多不同的形式，最常用的形式是弹性体的本构方程，它说明了当受到外力作用时，材料的拉伸和压缩的反应，从而将其应用于有限元分析技术。
以上就是有限元分析的基本原理，它是构成有限元分析的基础，而且这些基本原理也被广泛应用于工程中对结构性能进行模拟和分析。
有限元分析可以帮助工程师准确地估算出结构在特定加载条件下的变形和应力，也可以帮助他们判断结构在疲劳荷载作用下是否会发生破坏。
有限元分析也可以帮助设计者更好地分析结构在复杂（多变）条件下的性能，以确定结构的最优设计。
所以，有限元分析的基本原理是工程分析的基础，合理的运用可以节约大量的时间和精力，从而达到性能最优的结构设计。
有限元计算原理与方法
有限元计算原理与方法有限元法（Finite Element Method，简称FEM）是一种通过将复杂的物理系统离散成有限的简单子域，并在每个子域上建立适当的解析函数，最终通过数值解法计算系统性质的方法。
它是目前工程界最常用的一种数值分析方法，适用于各种不同领域的问题求解。
有限元法的核心思想是将连续问题转化为离散问题，将复杂的物理系统划分成有限数量的简单几何单元，称为有限元。
每个有限元内只需要考虑有限自由度的变量，然后通过建立方程组，求解出系统的响应。
有限元法的优点是适用于各种复杂的几何形状和边界条件，并且可以处理非线性、动力学和多物理场等问题。
有限元法的基本步骤包括以下几个方面：1.几何建模：根据实际问题，将物体的几何形状抽象为有限的简单几何单元，如线段、三角形、四边形单元等。
2.离散化：将物体划分成有限元，并建立有限元网格。
有限元网格的划分应该足够细致，以保证对模型进行准确的描述。
3.单元及节点自由度的确定：确定每个有限元的节点，以及每个节点对应的自由度，自由度包括位移、应力、温度等。
4.建立元素刚度矩阵和载荷向量：根据单元的几何关系和物理性质，建立单元刚度矩阵和载荷向量。
单元刚度矩阵描述了单元内各个节点之间的相互作用关系，载荷向量描述了单元受到的外部力和边界条件。
5.组装：将各个单元的刚度矩阵和载荷向量组装成整个系统的刚度矩阵和载荷向量。
6.施加边界条件：根据实际问题，将边界条件施加到系统方程中，通常为位移或载荷。
7.解方程：根据边界条件和施加的载荷，求解系统方程，得到节点的位移和应力等解。
8.后处理：根据求解的结果，计算出物体的各种性质，并对结果进行分析和可视化显示。
有限元法具有广泛的应用，例如结构力学、流体力学、电磁场等领域。
它的研究包括有限元离散化方法、有限元解法和计算误差分析等。
随着计算机技术的发展和计算能力的提高，有限元法在科学研究和工程实践中的应用将会更加广泛和深入。
有限元分析原理
有限元分析原理
有限元分析原理是一种通过划分连续物体为有限个小单元来近似计算连续系统行为的数值分析方法。
该方法将连续系统离散化为离散单元，每个单元通过节点相互连接成为网格结构。
在每个单元内，通过数学模型和物理方程，求解节点处的未知变量值，最终得到整个系统的行为。
有限元分析基于以下原理进行计算：
1. 可分割性原理：连续物体可以被分割为有限个小单元，每个单元的形状和尺寸可以根据问题的要求和特点进行选取。
2. 小单元原理：每个单元内的物理行为可以用简单的数学模型来描述，如线性弹性模型、非线性模型等，这些模型可通过数学方程来表示。
3. 节点连接原理：通过连接网格节点，将各个小单元组合成系统，节点间的连接方式可以根据物体的几何形状和要求来决定。
4. 平衡原理：在每个节点处，根据物体受力平衡条件建立方程，通过求解这些方程可以得到节点处的未知变量值。
5. 组装原理：通过连接不同单元的节点，并将各个单元的方程组装在一起，形成整个系统的方程。
6. 边界条件原理：根据问题的边界条件，将边界节点上的已知变量固定或设定初值。
7. 求解原理：通过数值计算方法，如有限差分法、有限元法等，求解得到整个系统的未知变量分布。
通过以上原理，有限元分析可以对各种连续物体在不同载荷和边界条件下的行为进行定量分析，例如结构的变形、应力分布、热传导、电磁场分布等。
有限元分析广泛应用于工程领域，如结构力学、流体力学、电磁学等。
它不仅能提供准确的数值计算结果，还能为工程师提供辅助设计和优化的依据。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
一般有限元原理
一、基本理论
有限元单元法是数值计算方法中发展较早、应用最广的一种方法。
利用有限元法，可以解决经典的传统的方法难以解决或无法求解的许多实际问题。
其优点是部分地考虑边坡岩土体的非均质、不连续的介质特征，考虑岩土体的应力应变特征，可以避免将坡体视为刚体，过于简化边界条件的缺点，能够接近实际从应力应变的角度分析边坡的变形破坏机制。
对了解边坡的应力分布及应变位移变化很有利。
有限单元法实质是变分法的一种特殊的有效形式，其基本思想是：把连续体离散化为一系列的连接单元，每个单元内可以任意指定各种不同的力学形态，从而可以在一定程度上更好地模拟地质体的实际情况，特殊的节理元，可以有效地模拟岩土体中的结构面。
在大多数情况下岩土体材料应采用非线形模型，其中包括岩体弹塑性、蠕变、不抗拉特性以及结构面性质的影响。
下面简要叙述有限元法的求解过程和原理。
有限单元法的基本原理
1.有限单元法的实施步骤
有限元的重要步骤归纳起来，主要有以下几步：
（1）建立离散化的计算模型，包括以一定型式的单元进行离散化，按照求解问题的具体条件确定荷载及边界条件；
（2）建立单元的刚度矩阵；
（3）由单元刚度矩阵组集总体刚度矩阵，并建立系统的整体方程组；
（4）引入边界条件，解方程组，求得节点位移；
（5）求各单元的应变、应力及主应力。
2位移模式与单元类型
在一般的有限单元法问题中，我们常以位移作为未知数，称为位移法。
为保证解的收敛性，要求位移模式必须满足以下三条：
（1）位移模式必须能包含单元的刚体位移。
即当节点位移是由某个刚体位移所引起时，弹性体内不会有应变。
（2）位移模式必须能包含单元的常应变，即与位置坐标无关的那部分应变。
（3）位移模式在单元内要连续，并使相邻单元间的位移必须协调。
同时，还要求所选的位移模式与局部坐标系的方位无关，即具有几何各向同性。
对于线形多项式，各向同性的要求通常就等价于必须包含常应变状态，对于高次模式，就是位移模式不应随局部坐标的更换而改变。
对于常应变三角形单元，其位移模式十分简单。
这里以常用的四边形等参数单元为例。
等参数单元的概念已普遍地应用于有限单元公式中。
“等参数”这个术语意味着单元的未知位移和几何形状有着共同的参数表述，其基本思想使用同样的内插函数N 来表达单元的位移和几何形状。
如果把单元中点的位移表示为：
}]{[}{q N u =
在等参概念中，用同样的函数N 来表示单元中某点的坐标
}]{[}{n x N x =
式中，],[}{y x x T =，],,[}{21 x x x T n =由节点坐标所构成。
先以四节点的四边形等参元为例，为了便于积分运算，采用了自然坐标系
η-
3对于二维应力－应变问题来说，单元上的每个节点有两个自由度，x 方向的位移u 和y 方向位移v ，在矩阵记号中
],[}{v u u T =
用节点位移表示就可以写作
}{u =⎥
⎦
⎤⎢⎣⎡4433221100000000N N N N N N N N }{q 此处i N 有上面方程给出，而，
[]44
3
3
2
2
1
1
}{v u v u v u v u q T =
单元的几何形态可用同样的[N]表示为
T y x
x }{}{==⎥⎦
⎤⎢⎣⎡][]0[]0[][N N }{n x 此处[]43
2
1
4321
}{y y y y x x x x x T n =，在平面应变条间下的应变位移
关系为{}}]{[////}{}{q B y u x u y u x u T
xy y x =∂∂+∂∂∂∂∂∂==τεεε式中[]B 可有
N 的某种适当求导而得
=][B ⎥⎥⎥
⎥⎥⎥⎥
⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂x N y N y N x N x N y N y N x N x N y N y
N x N x N y N y N x N 434433332222111100000000 以及][i B =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂x Ni y Ni y Ni x Ni 00
下面使用变分法来推导单元的刚度方程。
位移法得变分泛函系统的势能p ∏可以表示为
p ∏＝11
)()(),(ds u T u T du u Y u X v u du S y x V
V
⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+-+-
式中),(v u du ――单位体积的应变能；
X 、Y ――规定的体积力分量，即物体的重量；
x T 、y T ――规定的表面牵引力；
V ――单元体积；
1S ---有规定牵引力作用的曲面。
根据材料是线性的假设，利用弹性理论的结果，将du 表示为
{}{}dV du T
σε2
1=
此处，{}T xy x x
τσσσ=}{为应力分量向量。
利用广义虎克定律，应力--应变关系是
}]{[}{εσD =
式中，}{D 为应力－应变矩阵，对于各向同性线弹性材料来说，它有一对参数构成，这对参数为杨氏模量E 和泊松比μ，或为体积模量K 和剪切模量G 或为拉梅常数λ和υ。
考虑各向同性线性弹性性状，方程
p ∏＝11
)()(),(ds u T u T du u Y u X v u du S y x V
V
⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+-+-变为
p ∏＝
11}{}{}){}{2}}{{}({21ds T u dV x u D S T
V T T ⎰⎰⎰⎰⎰--εε 式中，T Z Y
X x }{}{=，{}{}z y x
T T T T =分别是体力和表面牵引力向量。
将{}{}T xy y x τεεε=={}T
y u x u y u x u ∂∂+∂∂∂∂∂∂////=[]{}q B 代入方程上式得：
p ∏＝
⎰⎰⎰⎰⎰--1
1}{][}{})]{[}{2}]{][[][}({21
S T T V
T T T ds T N q dV x N q q B D B q 对节点位移取p ∏得一级变分，以及引用最小势能原理，从而得到
0=∏p δ
[]{}{}Q q K =
此式对于四边形等参单元来说有
[]h K =dsdt J B D B T ⎰⎰+-+-111
1
]][[][
{}h q =dsdt J x N T ⎰⎰+-+-111
1
][][+⎰1
1}{][s T ds x N
式中，J ――雅克比矩阵[]J 的行列式，导出整体坐标与局部坐标之间的关系。
[]⎭
⎬
⎫
⎩⎨⎧∂∂⎭⎬⎫⎩⎨⎧∂∂=⎭⎬⎫⎩⎨⎧∂∂⎭⎬⎫⎩⎨⎧∂∂-ηξi i T
i i N N J y N x N 1，()4,3,2,1=I
[]1-J ＝4
[]J =⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂ηη
ξξy x
y x
＝i n i n
j j i j i i y N N N N x ∑∑==∂∂∂∂-∂∂∂∂11)(
ξηηξ h 为单元的等厚度常数。
对于平面应变情形来说，取1-h ，因此，对于平面问题，图1给出的四边形等参单元的刚度矩阵就可以写成
[]
e
K 4
＝ηξd d J B D B T ⎰⎰+-+-111
1
]][[][
上式的积分在程序中用高斯积分实现。
相同的推导，可以得到常应变三角形单元的刚度矩阵
[]e K 3
＝ηξd d J B D B T ⎰⎰+-+-111
1]][[][
对于[]D 及[]B 为常量的常应变三角形单元有
[][][][]t B D B K T e *∆=3
式中 ∆――三角形单元面积 t ――单元厚度 4.非线性有限元法的求解
岩土工程问题大都为非线性问题，应力应变关系呈非线性状态，非线性算法是有限元解题步骤中非常重要的一步。
求解非线性问题的方法可分为三类：增量法、迭代法和混合法。
这里主要介绍迭代法，迭代法在每次迭代过程中都施加全部荷载，但逐步修改位移和应变，使之满足非线性的应力应变关系，即荷载也划分为若干增量，而对每一个荷载增量进行迭代计算。
迭代法又称牛顿法，这种方法的特点是全部荷载一次施加，逐步调整位移进行迭代，最终使方程得到满足。
这里主要介绍牛顿法和修正牛顿法。
(1)牛顿法
由非线性方程[]{}{}P u u K =∆)(出发，从初始刚度[]0K 求得位移}{1u ∆，
{}[][]P K u 101-=∆ (4-12)
由}{1u ∆求得}{u ∆，由}{1u 从u P -曲线上求得割线刚度][1K ，再由
[]{}P u u K =∆)(1求得}{u ∆的第二次}{2u ∆，如此重复计算，直到}{1u 与}{1-∆i u 充
分接近，使得{}{}[]εε≤=∆-∆∆-u i u u 11，即给定精度为止，这一过程可由表示，这种方法收敛快，但每一次迭代都要形成新的刚度矩阵，计算量较大。
(2)修正牛顿法
对上述方法的一种修正是每一步迭代步骤均采用初始刚度[]0K ，迭代方程可写为[]{}{}{}10--=∆i i P P u K (4-13)
{}{}{}i i i u u u ∆=-1。