伽罗华理论逆问题
浅谈拓扑伽罗华理论
浅谈拓扑伽罗华理论原创顾险峰老顾谈几何和汪浩然探讨Arnold所创立的拓扑Galois理论，汪浩然比较认同Arnold的观点，Arnold认为应该用初等古典的观点讲解现代数学，而非用故弄玄虚的现代抽象观点讲解初等数学。
这里，我们用Arnold的拓扑方法来解释抽象的Galois理论。
可解群求解多项式方程是代数学的基本问题之一。
Abel证明五次方程无“代数”解（即解无法由方程的系数通过算术运算与求根运算表达），Galois完整地解决了多项式的根求解问题：他给出了多项式根式可解的充分必要条件。
与多项式可解性密切相关的群是对称群。
所谓群是一个集合和一个乘法算子, 满足条件1.封闭性：2.单位元：, , 都有3.可逆性：, , 使得4.结合律：, 都有例如考察数列的所有排列，以排列的复合为乘法，构成所谓的对称群。
对称群由所谓的对换生成，所有由偶数个对换生成的排列构成所谓的交错群。
我们注意到，群的条件中不包含可交换性，即可能。
如果乘法可交换，那么群被称为是Abel群，否则是非Abel群。
衡量一个群到Abel群的距离，要用到换位子群的概念。
设为群，称由集合生成的子群为的换位子群（Communtator Group），记作. 如果是Abel群，则换位子群为. 我们递归构造如下：如果存在一个整数，使得，那么我们说群是一个可解群。
（这里可解群的定义和传统定义不同，但是彼此等价）。
例如，令，直接计算中元素的个数，群GG'G''G'''S221S3631S4241241S5120606060这意味着，是可解群，但不是可解群，其交错群的换位子群等于自身，，因此不是可解群。
根式解存在性给定一个多项式我们将复平面并上一个无穷远点,通过球极投影映到单位球面上. 再将：看成是从球面到自身全纯映射，. 当时，，我们在平面上围绕无穷远点画一个小圆，由最高项，是平面上围绕点的转了圈的圆。
我永远理解不透的伽罗华理论
我永远理解不透的伽罗华理论
(2006-08-15 22:16:27)
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杂谈
说到伽罗华理论，不得不先从下面的一段话说起：
“我请求我的爱国同胞们，我的朋友们，不要指责我不是为我的国家而死。
我是作为一个不名誉的风骚女人和她的两个受骗者的牺牲品而死的。
我将在可耻的诽谤中结束我的生命。
噢！为什么要为这么微不足道的，这么可鄙的事去死呢？我恳求苍天为我作证，只有武力和强迫才使我在我曾想方设法避开的挑衅中倒下。
我亲爱的朋友，
我已经得到分析学方面的一些新发现……
在我一生中，我常常敢于预言当时我还不十分有把握的一些命题。
但是我在这里写下的这一切已经清清楚楚地在我的脑海里一年多了，我不愿意使人怀疑我宣布了自己未完全证明的定理。
请公开请求雅可比或高斯就这些定理的重要性（不是就定理的正确与否）发表他们的看法。
然后，我希望有人会发现将这一堆东西整理清楚会是很有益处的一件事。
热烈地拥抱你！”
写下这封遗书的就是富有传奇色彩的天才数学家——E·伽罗华（E·Calois，1811-1832）每个方程对应于一个域，即含有方程全部根的域，称为这方程的伽罗华域，这个域对应一个群，即这个方程根的置换群，称为这方程的伽罗华群。
伽罗华域的子域和伽罗华群的子群有一一对应关系；当且仅当一个方程的伽罗华群是可解群时，这方程是根式可解的。
作为推论，可以得出五次以上一般代数方程根式不可解以及用圆规、直尺（无刻度的尺）三等分任意角和作倍立方体不可能等结论。
也就是这样一个理论，在1960年代发展出了通信上很重要的BCH编码。
伽罗华理论逆问题
伽罗华理论逆问题——未解决的5次以上方程求根难题2010-4-27 15:53:44【字体大小：大中小】在数学中，代数方程的求解有悠久的历史。
很早就会解1次和2次方程，16世纪也会解3次和4次方程，它们的根都可以表示为系数的根的四则运算，我们称它们有根式解。
5次和5次以上代数方程求解遇到了严重的障碍，经过300年的努力仍然得不出求解公式。
经过多次失败之后，阿贝尔和伽罗华从反方向来看问题。
在19世纪20年代，他们证明：一般的5次和5次以上代数方程没有根式解。
而伽罗华走得更远，他引进群的概念来判断一个5次或5次以上方程是否有根式解。
关于代数方程理论，许多人对于伽罗华的结果往往有误解。
第一个误解是以为5次和5次以上方程就没有根了，这是大错特错了。
因为根据代数基本定理，次方程总有个根（实根、复根以及重根统统计算在内），只不过一般这些根不能表示为系数的根式而已。
第二个误解是认为所有5次和5次以上方程都不可能用根式解，实际上并非如此。
有相当数量的5次和5次以上代数方程是可以用根式解。
现在的问题是：给定一个方程，如何判定它能否用根式解。
伽罗华的贡献在于他给出一个明确的判据，他把每一个方程同一个根的置换群联系起来，这个群称为该方程的伽罗华群，是一个有限群，可由方程具体地计算出来。
如果伽罗华群是可解群，则方程可以用根式解，如果伽罗华群不是可解群，特别是单群（非交换），则方程不能用根式解。
那么伽罗华理论的逆问题就是，是否任何有限君都是某一个有理系数代数方程的伽罗华群？这个问题在100多年前首先由大数学家希尔伯特取得突破。
他证明如果群是对称群Sn 和交错群An,则答案是肯定的,也就是有这样的有理系数代数方程,以Sn或An为其伽罗华群。
到本世纪10年代，有史以来最伟大的女数学家爱米•诺特建立了一般的理论。
1954年苏联数学家沙法列维奇对可解群肯定解决伽罗华逆问题（证明中的一些错误后来补正），现在问题更集中于单群了。
1980年随着声称有限单群分类完成，对单群的伽罗华理论逆问题开始热起来，有不少单群已得到肯定的结果。
精品科普讲座—英年早逝的数学家伽罗华
伽罗华还是忘不了数学。 1832年5月30日，伽罗华在决斗中身受重伤，第二天去世，年仅21岁。 伽罗华的一生是极其短暂的，然而却为数学做出了重大贡献。 伽罗华的主要成就，是彻底解决了用根式解代数方程的可能性的判断问题。他发 现了每个方程必有反映其特性的置换群存在，从而应用群论的方法解决了代数方程可 用根式求解的条件。 从此，代数学的中心问题不再是解方程，而渐渐转向代数结构本身的研究。
谢谢大家！
伽罗华积极参加这一革命，走在人民斗争的前列，并组织同学共同为推翻封建国王 的独裁统治而斗争。他还揭发学校的校长在“七月革命”中的两面派行为，而被学校 开除。
被开除后，伽罗华并没有改变自己的主张，而是更积极地投身到反对路易·菲力浦 的斗争中，还参加了激进的共和主义组织“人民之友”，经常串联一些进步青年，进 行革命宣传和集会，上街游行示威。
代的数学思想，于是写下了他的审查结论：“完全不能理解！”
伽罗华生不逢时，他的光芒四射的论文就这样被否定了。 伽罗华的论文三次遭到厄运，是很不公平的，这个20岁的年轻人能经受住这种挫
折和打击吗？伽罗华没有退缩，倔强的性格使他继续向方程论、群论、函数等领域进 军。
伽罗华在勤奋研究数学的同时，积极参加政治活动。 1830年7月，法国人民掀起了推翻波旁王朝的第二次资产阶级革命，革命取得了 胜利，推翻了波旁王朝复辟的封建专制制度，但是革命的成果落到了金融资产阶级的 代理人路易·菲力浦的手中。
监狱生活没有阻止伽罗华的数学研究。监狱里虽然生活苦，条件差，但伽罗华仍 能静下心来，抓紧一切时间刻苦钻研数学。
9个月的监狱生活，伽罗华的身体遭受了严重的摧残，1832年4月，因病出狱就 医，不久期满释放。
伽罗华出狱后，打算继续从事数学研究，可是，由于受人挑斗和爱情的原因，伽 罗华与人相约在5月30日决斗。
抽象代数中的伽罗瓦理论应用实例分析
抽象代数中的伽罗瓦理论应用实例分析在抽象代数学中，伽罗瓦理论是一种研究域拓扑和代数结构之间联系的重要工具。
它的核心思想是通过研究代数方程的根的对称性，来揭示方程的基本性质和求解方法。
伽罗瓦理论的广泛应用涵盖了数学、密码学、电子工程等领域。
本文将从三个实际问题的角度，详细分析抽象代数中伽罗瓦理论的应用实例。
第一部分：密码学中的伽罗瓦理论应用密码学是伽罗瓦理论的一个重要应用领域。
在现代密码学中，加密算法的设计和分析很大程度上依赖于伽罗瓦理论的相关理论和方法。
其中一种常见的应用是利用伽罗瓦理论来构造可逆密码。
可逆密码在加密和解密时使用相同的密钥，具有高效和安全的特点。
通过伽罗瓦理论的帮助，我们可以构造出满足一定安全性要求的可逆密码算法，保护敏感信息的安全。
第二部分：代数方程的求解中的伽罗瓦理论应用伽罗瓦理论也广泛应用于代数方程的求解。
传统的求解代数方程的方法往往耗时且复杂，而伽罗瓦理论提供了一种更加简洁和高效的方法。
通过研究方程的对称性，并运用伽罗瓦理论相关的理论和定理，我们可以确定方程的可解性，并给出求解方程的具体方法。
这种基于伽罗瓦理论的求解方法在代数方程的求解和数论中有着广泛的应用。
第三部分：信号处理中的伽罗瓦理论应用伽罗瓦理论还在信号处理领域得到了广泛的应用。
在数字通信中，信号的表示和传输往往需要用到循环码、布尔函数等代数结构，而伽罗瓦理论提供了处理这些代数结构的有效工具。
通过运用伽罗瓦理论的相关方法和技巧，可以设计出高效可靠的数字通信方案，保证信号传输过程中的数据完整性和可靠性。
因此，伽罗瓦理论在信号处理中的应用有着重要的实际意义。
结论：抽象代数中的伽罗瓦理论在密码学、代数方程的求解和信号处理等领域有着广泛的应用。
这种理论通过研究方程的对称性，揭示了代数结构和拓扑结构之间潜在的联系，提供了解决实际问题的有效工具和方法。
伽罗瓦理论的深入研究和应用将对相关学科的发展和实际应用产生深远的影响。
因此，研究人员和工程师们应当加强对伽罗瓦理论的理解和应用，以推动相关领域的发展和创新。
走向抽象——伽罗瓦理论
走向抽象——伽罗瓦理论最古老的数学问题在数学史上，一个最古老也最自然的问题是：求解一元多项式的根。
二次多项式的根可以很容易地写成，我们每个人在中学都见过其系数的根号表达式。
二次多项式的解最早可以追溯到古巴比伦时期，而三次和四次多项式的情形直到16世纪才被解决。
求解五次及以上的多项式的情形则复杂得多，几百年间有无数人试图解决它，然而得到的结果都被证明有错误。
在那个年代这一问题看来似乎遥不可及，甚至连高斯都不相信它能被解答，以至于当他收到阿贝尔宣称证明存在五次多项式不可解的信时将其弃之一旁，只留下一句这又是那种怪物的评论。
阿贝尔的工作揭示了高次方程与低次方程的根本不同，寻找一般的系数根号表达式的解的努力成为幻影，然而仍然存在一些特殊的高次多项式能够用根式求解，如何区分能够求解的和不能求解的多项式仍然是一个未决的问题。
直到伽罗瓦的出现，才给出了这一问题的完全解答，彻底地解决了这一有着数千年历史的难题。
然而，伽罗瓦的贡献远远超过了这一问题本身，他为了解决它所发展出来的方法要远比问题本身更重要。
历史上许多曾经盛行一时的理论和思想都渐渐淹没在历史的尘埃中被人遗忘，而那些大浪淘沙留下的东西却往往历久弥新，在今天依然闪闪发光。
现在我们称之为伽罗瓦理论的方法是数学发展的一个里程碑，它的意义和影响在其之后的历史中不断深化，指引我们走向某些最深刻的东西。
不安分的数学天才伽罗瓦于1811年生于法国，他很早就显现出了数学天赋，同时还有他不安分的性格。
传闻他曾在大学入学面试中将黑板擦扔向考官，只因为无法忍受对方的理解缓慢。
他在政治上也十分活跃，并曾被赶出学校甚至被捕入狱。
伽罗瓦在18岁时便发现了后来以他名字命名的理论，并解决了多项式是否可解的问题，然而他的论文因为太过超前未被当时人们理解并被拒绝发表。
他于20岁时便死于一场传闻是与情敌间的决斗。
在决斗的前夜，他似乎就预感到了自己的死亡，因此他将他的数学思想连夜写下来寄给了一位朋友，而这些思想在他死后几十年才渐渐地被人们吸收。
伽罗华域上的乘法运算和逆运算计算示例
伽罗华域上的乘法运算和逆运算计算示例伽罗华域是数学中的一个重要概念，也被称为“代数闭域”。
伽罗华域的乘法运算和逆运算是伽罗华域上的基本运算，下面我将对这两个运算进行详细的解释和计算示例。
一、伽罗华域的乘法运算：伽罗华域上的乘法运算是指在伽罗华域中两个元素之间进行乘法运算。
伽罗华域上的乘法运算满足封闭性、结合律、交换律和分配律。
1.封闭性：伽罗华域中的两个元素相乘结果仍然是伽罗华域中的元素。
2.结合律：对于伽罗华域上的任意三个元素a，b和c，有(a*b)*c=a*(b*c)。
3.交换律：对于伽罗华域上的任意两个元素a和b，有a*b=b*a。
4.分配律：对于伽罗华域上的任意三个元素a，b和c，有a*(b+c)=a*b+a*c。
为了更好地理解伽罗华域上的乘法运算，我们可以以复数域为例。
复数域中的元素可表示为a+bi的形式，其中a和b分别为实数。
复数域上的乘法运算满足以上所述的性质。
示例：假设有两个复数：z1 = 2 + 3i和z2 = 4 + 5i，我们可以计算它们的乘积。
z1 * z2 = (2 + 3i) * (4 + 5i)= 2 * 4 + 2 * 5i + 3i * 4 + 3i * 5i= 8 + 10i + 12i + 15i^2= 8 + 22i - 15= -7 + 22i所以，(2 + 3i) * (4 + 5i) = -7 + 22i。
二、伽罗华域的逆运算：伽罗华域上的逆运算是指在伽罗华域中找到一个元素的逆元素，使得它们的乘积等于伽罗华域上的单位元素（通常表示为1）。
1.存在性：对于伽罗华域中的任意一个非零元素a，都存在逆元素b，使得a * b = 1。
2.唯一性：伽罗华域中的逆元素是唯一的，即不存在两个不同的逆元素。
为了更好地理解伽罗华域上的逆运算，我们还是以复数域为例。
示例：假设有一个复数z = a + bi，并且z的逆元素为z'，即z * z' = 1。
我们可以通过求解方程来找到z的逆元素。
中国古代八卦、哈密顿问题及伽罗华理论
㊀㊀㊀㊀㊀１５６数学学习与研究㊀２０２１ ３６中国古代八卦哈密顿问题及伽罗华理论中国古代八卦、哈密顿问题及伽罗华理论Һ郭㊀民㊀秦德生㊀（东北师范大学，吉林㊀长春㊀１３００２４）㊀㊀ʌ摘要ɔ本文探讨了数的发展，古代八卦㊁进位制，哥尼斯堡七桥问题，哈密顿问题及伽罗华理论．中国古代八卦作为一种神秘的古代文字，曾出现在许多奇妙的图形中，它是中国人民智慧的结晶，在科技史中占有重要地位．ʌ关键词ɔ进位制；数论；平方数数的概念产生于 数数 ，最早的 数数 方法就是积攒小石子㊁小木棍，以对应的原则进行．随着社会的发展和更广泛的计数需要， 数数 就很不方便了，人们开始把数排成简单方便的基本群，即选定某个数ａ作为 基数 ，对于比ａ大的数，用１，２， ，ｂ的组合来命名，这就是我们今天所说的进位制．进位制中最常用的是十进制，这是由于人的手指为它提供了一个对应的最方便的工具，此外，还有二进制㊁十二进制和六十进制，在我们的日常生活中也常能见到，历史上还曾有过三㊁四㊁五㊁二十这样的进位制，但现在似乎已见不到了．２０世纪４０年代以后，随着电子计算机的诞生及迅速发展，与通路和闭路相对应的二进制法使电子计算机产生了神奇的速度和能力，人们在赞叹计算机巨大威力的同时，不得不对二进制的作用刮目相看．一些数学家把最早倡导二进制的荣誉归功于１７世纪德国的哲学家㊁数学家莱布尼茨，而莱布尼茨却毫不隐讳地说明，他是从八卦中发现二进制的．那么，什么是八卦呢？它怎么会蕴含二进制思想呢？要回答这个问题，就要追溯到我国周代出现的一部哲学著作‘易经“，这部内容丰富的著作不仅蕴含了许多深刻哲理，还蕴含了许多数学思想，也是第一部讨论排列的书．‘易经“中曾列出来两种符号：阳爻和阴爻，这两种爻合称 两爻 ，把两种爻按照不同的次序排列，便得到四种不同形式，分别是：㊁㊁㊁（太阳㊁少阴㊁少阳㊁太阴），合称为四象，如果再增加一爻排列，便得到八种不同排列形式，分别是：☰㊁☷㊁☳㊁☶㊁☲㊁☵㊁☱㊁☴（乾㊁坤㊁震㊁艮㊁离㊁坎㊁兑㊁巽），这八个符号就称为八卦．八卦常用来代表８种不同的事物，如：西㊁西北㊁北㊁东北㊁东㊁东南㊁南㊁西南八个方向；或水㊁火㊁山㊁泽㊁天㊁地㊁风㊁雷８种自然物等．由八卦中符号的两两可重复排列，还可以得到６４种不同的形式，称为６４卦，它们可以代表由上述８种自然物衍生出来的宇宙中更多的事物及其关系．如果我们将阳爻和阴爻分别用１和０来表示，那么八卦就可以用来表示二进制数：０００，００１，０１０，０１１，１００，１０１，１１０，１１１．它们相当于十进制数０，１，２，３，４，５，６，７．如果接着用四个爻，五个爻 进行排列，就可以对应得到所有的自然数，莱布尼茨正是从阳爻和阴爻的排列中产生了二进制数的思想．如果我们将阳爻和阴爻分别看作正号 ＋ 和负号 － ，那么 四象 就可以表示平面直角坐标系的四个象限中点的坐标符号， 八卦 就可以表示空间直角坐标系的八个卦限中点的坐标符号，由此可见坐标系中象限㊁卦限是由 四象 八卦 演绎而来的．八卦作为一种神秘的古代文字，曾出现在许多奇妙的图形中，它是中国人民智慧的结晶，它的科学思想还在不断地被后人挖掘出来．１７３６年，哥尼斯堡七桥问题被解决．欧拉非凡的思考方法大大开阔了人们的视野．用点来表示研究对象，如果两研究对象间有关系，就把两点间连成一条线，研究这些对象在上述表示法中的特性就形成了 图论 ，它可以用来解决许多与对象的离散安排有关的问题．在图论的发展中，最初的成果基本上是借助 图 来解决一些具体问题而产生的各种想法，这些问题往往是容易看懂的难题，研究它们可能不需要掌握很多知识，但一般需要较新颖的想法．因此，它们常常使优秀的数学家百思不得其解．由英国数学家哈密顿发明的 环球旅行 游戏而引起的 哈密顿问题 就是这类问题中的一例．１８５９年，哈密顿在给他的朋友的信中提出了环球旅行问题：我们用一个正十二面体的２０个顶点代表２０个大城市，要求沿着正十二面体的棱，从一个城市出发，经过每个城市恰好一次，最后回到出发地．环球旅行问题从表面看与七桥问题很类似，但实际上它们之间有着本质的差别．这个具体的问题只要通过逐步地试探，不断地总结规律，就会找出是否存在一条路线，从正十二面体的某个顶点出发，依次. All Rights Reserved.㊀㊀㊀１５７㊀数学学习与研究㊀２０２１ ３６经过每个顶点，最后回到出发点．环球旅行问题可用图论的方法来解答，为叙述方便我们给出图论中的一个基本概念 圈．在一个图中，一组不同的边组成的边序列为ｅ１，ｅ２， ，ｅｎ，如果边ｅ１＝（ｖ０，ｖ１），ｅ２＝（ｖ１，ｖ２）， ，ｅｎ＝（ｖｎ－１，ｖｎ）（ｖｉ为图中的顶点，ｉ＝０，１， ，ｎ），则称这个边序列是从ｖ０到ｖｎ的链，ｖ０与ｖｎ被称为链的端点．如果一条链的两个端点重合，称这条链为圈．环球旅行问题可以转化为：以正十二面体的顶点和棱分别为顶点和边作图，在图中确定一个圈，使它过各顶点正好一次．通过直接试探，我们可以找出这样的圈，哈密顿发明的这种圈展示了一类图所具有的特性．环球旅行问题可以推广到任意多面体上，这种情况下是否还存在问题中所要求的路线呢？显然，这个问题可以转化为判断与多面体相应的图是否为哈密顿图的问题．然而，当图中顶点和边数较多时，尤其是对那些原本就不存在哈密顿圈的图来说，直接试探的方法一般是行不通的．于是，寻求判断一个图是否为哈密顿图的充分必要条件就成为人们关注的热点，这就是哈密顿问题的由来．多年来，判断哈密顿图的许多必要条件㊁充分条件陆续被发现．与哈密顿圈有关的问题还有许多，这些问题似乎并没有多大的实际意义，但是对它的研究却往往会诱导人们进行超常的思考．抓住这样的问题，以自己独特的眼光和思维去探索，说不定你也能想出一些新方法，进而得到意想不到的成果呢！数学中有许多重要发现都源于实际的观察，这种情况在数论中尤为突出，正如欧拉所说： 今天已知的数的许多性质，大部分都是经过观察发现的，而且在它的真实性被严格证明以前很久，就已被发现了． 虽然有许多数的性质，我们都非常熟悉，但至今还不能证明，只能靠观察获得这些知识．与哥德巴赫猜想和费马定理一样，数论中许多问题的研究大都经历了观察㊁发现㊁概括㊁猜想㊁论证这样一个过程．这里我们再介绍一下数论中关于完全数㊁亲和数以及华林猜想的一些研究情况．公元前６世纪，毕达哥拉斯学派在研究整数的性质时发现这样一种情况：一个正整数等于它的所有真因数之和．例如，６＝１＋２＋３，２８＝１＋２＋４＋７＋１４，他们将具有这种性质的数称为完全数．公元前３世纪，欧几里得在他的‘几何原本“中给出了求完全数的一种方法，即他证明了：如果２ｎ－１为素数，那么２ｎ－１（２ｎ－１）是完全数．显然用这种方法得到的完全数都是偶数，大约两千年后，欧拉证明了每个偶完全数必是这种形式的．１９５２年以前，人们总共才发现了１２个完全数，自１９５２年起，人们借助计算机又陆续发现一些完全数，到现在，已知的完全数达到了５１个．完全数还有一个有趣的性质，即完全数的所有因数的倒数之和是２，例如，以６和２８为例：１１＋１２＋１３＋１６＝２，１１＋１２＋１４＋１７＋１１４＋１２８＝２，但是，偶完全数的个数是否有无穷多？奇完全数是否存在？这两个问题在数论中仍然没有解决．将完全数的性质进行推广，毕达哥拉斯学派发现正整数２２０和２８４，它们彼此等于对方所有的真因数之和，他们将这两个正整数命名为亲和数，毕达哥拉斯学派只发现２２０和２８４这对亲和数．到１６３６年，费马找到第二对亲和数：１７２９６和１８４１６．１６３８年，笛卡儿找到第三对亲和数：９３６３５８４和９４３７０５６．欧拉系统地寻找亲和数，找到亲和数６０对．１８８６年，１６岁的意大利男孩帕格尼尼发现了一对被人疏漏掉的亲和数：１１８４和１２１０．目前已知的亲和数最大的一对均为１５２位数．关于完全数和亲和数的研究不仅促进了数论的发展，也促进了代数学的发展．华林猜想是勾股定理的推广，即考虑将任一正整数表示为若干个正整数的平方和㊁三次方和㊁四次方和的形式等．１７７０年，华林提出猜想：每个正整数是不多于４个平方数之和㊁不多于９个立方数之和㊁不多于１９个四次方数之和．拉格朗日和欧拉都先后证明了平方和的形式，韦伊费列治证明了立方和的形式，关于四次方和的形式，数学家哈代先证明大于１０１０的数都可以表示为小于或等于１９个四次方数之和，但小于１０１０的数没办法证明，刘维尔证明对于每一个正整数，５３个四次方数足够表示其正整数之和，韦伊费列治证明３７个整数足够表示其正整数之和，我国数学家陈景润证明２７个整数足够表示其正整数之和，１９８５年，巴拉萨布雷尼安和德雷斯证明对于每个正整数，不超过１９个整数足够表示其四次方数之和．到此为止，华林猜想的研究基本完成．与其他数学分支相比，数论中的发现与猜想是比较多的，这与数论中的问题内容易懂表述简明有很大关系．当然，观察得到的发现与猜想并不能直接形成新理论，但它为新理论的创立提供了最基本㊁最重要的前提，数论中的许多问题看似简单的初等数学内容，然而用初等数学的方法却无法解决．它蕴含的深刻理论促使人们创造出深刻的方法，不仅推动着数论及其他数学分支的发展，也为培养人的观察发现能力㊁创造性思维能力提供了一条有效途径．难怪伟大的数学家高斯在评价数论的地位时发出赞叹： 数学是科学. All Rights Reserved.㊀㊀㊀㊀㊀１５８数学学习与研究㊀２０２１ ３６的皇后，数论是数学中的皇后．数学史上记录着一位法国青年，他的一生只有短暂的２０年，他的遗稿共计不过６０页，而他的工作却为代数学的发展提供了全新的思想，这颗数学天空中闪电般的流星，就是埃瓦利斯特㊃伽罗华．伽罗华于１８１１年出生于巴黎，自幼性情刚直，执着追求真理，无论做什么事情，都有一种坚持不懈的精神．少年时代的伽罗华并没有显露出超常的天赋，但他对自己的学习非常自信，尤其是对数学学科，有着浓厚的兴趣和惊人的理解能力．到中学后，伽罗华就开始自学柯西㊁拉格朗日㊁高斯㊁勒让德等当代名师的原著，从中汲取宝贵的思想，培养洞察事物本质的能力．然而伽罗华的才能并没有被发现．后来，他进入了多科工艺学校的预备学校，在那里继续刻苦钻研数学．伽罗华所处的时代，正是方程论的研究取得重大进展的时代，自１６世纪诞生了一元三㊁四次方程求根公式，为寻求一元五次方程的求根公式，人类已经苦苦探索了二百多年．公元１７７０年，拉格朗日提出五次方程没有求解公式，拉格朗日的结论虽然没给出严格证明，但却给人们以很大的启发．１８２４年，２２岁的数学家阿贝尔给出了高于一元四次代数方程不可能有根式解的严格证明，为人们寻求五次方程求根公式的漫长历史画上了句号．高于四次的方程没有根式解，阿贝尔试图刻画出全部能用根式求解的方程的特性．然而，１８２９年，年仅２７岁的阿贝尔在贫病交困中过早地离开了人世，未能实现他的愿望．年仅１６岁的中学生伽罗华在攻读了拉格朗日的‘关于代数方程解法的思考“和阿贝尔的有关成果后，倍受启发和促动，他接受并改进了拉格朗日的思想，用了方程根的置换即排列概念，认为方程的可解性可在根的置换集合上构建的某些性质中反映出来，伽罗华引入了现在称之为 群 的概念，成功地给出了判断一个代数方程可否有根式解的充要条件．１８２９年，１８岁的伽罗华写出了 关于代数方程论的研究报告 并交到了法国科学院．伽罗华在数学研究中较早地获得了突破性的成果，但对这一成果的认定却充满了坎坷．他第一次呈交的论文由于法国科学院的不重视而丢失了，第二次重写的论文因审稿人傅里叶去世而再次丢失．１８３１年，伽罗华又写了 关于用根式解方程的可解性条件 ，交由院士普阿松审阅，四个月后，论文以 完全不可理解 的结果被退回，不过普阿松建议他再详细阐述．面对种种挫折，伽罗华虽然很伤心，但决不气馁．１８３２年，伽罗华被牵扯进一场无谓的手枪决斗，并由此而丧生，在决斗前夜，他赶写出一份关于自己见解的说明，连同原稿一起交给一位好友保存，这份遗稿在伽罗华死后１４年才被发表，且直到１８７０年后才逐渐被数学家们所理解，它的应用价值和潜在的理论成为更广泛的代数理论的基础，也是抽象代数在２０世纪兴起的重要因素．伽罗华认为，数学乃至整个科学研究中偶然性所起的作用并非微不足道．实事求是，奋发进取，是伽罗华展现给世人的一种精神，也是他成才的力量源泉．ʌ参考文献ɔ［１］欧阳绛．数学方法溯源［Ｍ］．大连：大连理工大学出版社，２００８．［２］张楚廷．数学方法论［Ｍ］．长沙：湖南科学技术出版社，１９８９．［３］金岷．文物与数学［Ｍ］．北京：东方出版社，２０００．［４］欧阳绛．数学科学文化理念传播丛书：数学方法溯源［Ｍ］．大连：大连理工大学出版社，２０１６．［５］冯克诚．中学数学课堂教学方法实用全书［Ｍ］．呼和浩特：内蒙古大学出版社，１９９９．［６］欧阳绛．数学方法溯源［Ｍ］．南京：江苏教育出版社，１９９１．［７］朱家生．数学史［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２０１１．［８］张楚廷．张楚廷教育文集：第十六卷数学文化与教育卷［Ｍ］．长沙：湖南人民出版社，２０１２．［９］薛平．数学史选讲［Ｍ］．上海：上海社会科学院出版社，２００７．［１０］李祎．数学教学方法论［Ｍ］．福州：福建教育出版社，２０１０．［１１］崔连香．数学学习方法概论［Ｍ］．天津：天津科学技术出版社，２０１３．［１２］沈世云．数学建模理论与方法［Ｍ］．北京：清华大学出版社，２０１６．［１３］逄增玉，石晓峰．青少年素质教育丛书：科技修养［Ｍ］．长春：吉林教育出版社，１９９９．［１４］钱伟长．２０世纪中国知名科学家学术成就概览［Ｍ］．北京：科学出版社，２０１０．. All Rights Reserved.。
谈伽罗瓦理论的漏洞
论伽罗华理论中的漏洞在百度文库里,仔细阅读了伽罗华理论关于一元五次以上高次方程不能建立一般代数公式的论术,我发现了字里行间隐藏了不少漏洞,总结起来有以下几点1、用猜想代替证明。
2、错误地理解牛顿对称性多项式定理。
3、站在实数的角度解释问题。
4、忽视方程换元配方可漏解的情况。
首先我们来看看第一个问题为什么说他是用猜想代替证明,因为他所论术中的预解式根本就是猜想,他用预解式来说明问题,他必须应当说明如果能推导出公式.第一个预解式应当是什么样的结构,并且要证明只能是这样的结构。
可是他什么也不清楚.更谈不上是否清楚其他预解是何种结构。
就好比皇帝的新装,骗子把新衣说得如何如何美丽一样,可是大家都看不到的。
再谈第二个问题伽罗华说所有预解式都应当符合牛顿多项式对称性定理。
那么我们要问,如果有一种方法可以使方程漏解,变成不再包含所有解的方程,他还会是原来那种对称关系吗?如果你事先就认定所有预解式都必须保持对称性,说明,你未经证明就肯定了方程不会漏解。
这也叫证明吗?接下来谈第三个问题复数的出现是由于二次及二以上方程出现而出现,可是伽罗华很少分析复数问题。
阿贝尔的收剑和发散完全是站在实数角度来分析的,超越实数范围的就认为做不到。
如果站在实数范围,一元三次方程也没有一般代数公式呀。
因为有很多一元三次方程套用卡丹公式,结果套出了复数.最后谈第四个问题我们在解低次方程的时候,常要分析方程漏解的问题。
可是到了高次方程伽罗华却只字未提,因为他根本就没有更好的降次方法。
那么有人会问高次方程也能做到配方漏解吗?回答是肯定的,但过程是非常复杂的哟。
而且是换元进行的哟。
现在用事实说明高次方程在扩展到复数范围同样可以做到配方漏解。
为简便说明问题,那么一元五次方程是否也能做到换元配方的办法实现漏解吗?回答是肯定的,现在论证它的可行性。
假设X5＋a X4＋b X3＋c X2＋d X＋e =0的五个根分别为X１；X２；X３；X４；X５、分别代入方程X11＋g X10＋hX9＋jX8＋kX7＋m X6＋nX5＋rX4＋sX3＋tX2＋wX＋z=0的左边，每个根代入情况做一个因式，共５个因式相乘，即：（X１11＋g X１10＋h X１9＋j X１8＋k X１7＋m X１6＋n X１5＋r X１4＋s X１3＋t X１2＋w X１＋z）（X２11＋g X２10＋h X２9＋j X２8＋k X２7＋m X２6＋n X２5＋r X２4＋s X２3＋t X２2＋w X２＋z）（X３11＋g X３10＋h X３9＋j X３8＋k X３7＋m X３6＋n X３5＋r X３4＋s X３3＋t X３2＋w X３＋z）（X４11＋g X４10＋h X４9＋j X４8＋k X４7＋m X４6＋n X４5＋r X４4＋s X４3＋t X４2＋w X４＋z）（X５11＋g X５10＋h X５9＋j X５8＋k X５7＋m X５6＋n X５5＋r X５4＋s X５3＋t X５2＋w X５＋z）我们知道，只要上面一个因式会是零，那么上面五个因式之积都会是零，方程间必有公共解如果没有一个因式会等于零，它们之积不会是零，二方程间必无公共解。
的证明伽罗瓦对五次方程不可解白
的证明伽罗瓦对五次方程不可解白
【原创版】
目录
1.伽罗华理论的背景和意义
2.五次方程的求解问题
3.伽罗华的证明方法
4.伽罗华理论对数学发展的影响
正文
1.伽罗华理论的背景和意义
伽罗华理论是 19 世纪法国数学家埃瓦里斯特·伽罗华（variste Galois）提出的一种数学理论，主要研究代数方程的解的性质。
在数学史上，伽罗华理论具有重要地位，它解决了许多代数方程求解的难题，并对现代数学的发展产生了深远影响。
2.五次方程的求解问题
在代数学中，五次方程是一个具有挑战性的问题。
自文艺复兴时期以来，许多数学家都尝试寻找五次方程的通解公式，但一直无法找到。
五次方程的求解问题成为当时数学界的一个重要挑战。
3.伽罗华的证明方法
伽罗华通过引入“群”的概念，证明了五次方程无法通过常规代数方法求解。
他发现，代数方程的解与一个称为“群”的数学结构之间存在密切关系。
通过研究群的性质，伽罗华证明了五次方程没有实数解，即不存在满足代数方程的实数解。
他的证明方法为后来的数学家提供了一个通用的框架，用以解决类似的问题。
4.伽罗华理论对数学发展的影响
伽罗华的理论不仅解决了五次方程的求解问题，而且开创了代数学的一个新篇章。
他的群论方法被广泛应用于数学的各个领域，如几何、拓扑、量子力学等。
伽罗华理论为代数学的发展奠定了坚实的基础，并对现代数学产生了深远的影响。
综上所述，伽罗华对五次方程不可解的证明，展示了他卓越的数学才华和创新思维。
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伽罗华理论逆问题——未解决的5次以上方程求根难题
2010-4-27 15:53:44
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在数学中，代数方程的求解有悠久的历史。
很早就会解1次和2次方程，16世纪也会解3次和4次方程，它们的根都可以表示为系数的根的四则运算，我们称它们有根式解。
5次和5次以上代数方程求解遇到了严重的障碍，经过300年的努力仍然得不出求解公式。
经过多次失败之后，阿贝尔和伽罗华从反方向来看问题。
在19世纪20年代，他们证明：一般的5次和5次以上代数方程没有根式解。
而伽罗华走得更远，他引进群的概念来判断一个5次或5次以上方程是否有根式解。
关于代数方程理论，许多人对于伽罗华的结果往往有误解。
第一个误解是以为5次和5次以上方程就没有根了，这是大错特错了。
因为根据代数基本定理，次方程总有个根（实根、复根以及重根统统计算在内），只不过一般这些根不能表示为系数的根式而已。
第二个误解是认为所有5次和5次以上方程都不可能用根式解，实际上并非如此。
有相当数量的5次和5次以上代数方程是可以用根式解。
现在的问题是：给定一个方程，如何判定它能否用根式解。
伽罗华的贡献在于他给出一个明确的判据，他把每一个方程同一个根的置换群联系起来，这个群称为该方程的伽罗华群，是一个有限群，可由方程具体地计算出来。
如果伽罗华群是可解群，则方程可以用根式解，如果伽罗华群不是可解群，特别是单群（非交换），则方程不能用根式解。
那么伽罗华理论的逆问题就是，是否任何有限君都是某一个有理系数代数方程的伽罗华群？这个问题在100多年前首先由大数学家希尔伯特取得突破。
他证明如果群是对称群Sn 和交错群An,则答案是肯定的,也就是有这样的有理系数代数方程,以Sn或An为其伽罗华群。
到本世纪10年代，有史以来最伟大的女数学家爱米•诺特建立了一般的理论。
1954年苏联数学家沙法列维奇对可解群肯定解决伽罗华逆问题（证明中的一些错误后来补正），现在问题更集中于单群了。
1980年随着声称有限单群分类完成，对单群的伽罗华理论逆问题开始热起来，有不少单群已得到肯定的结果。
但是，整个问题还没有解决，特别是还没有统一的证明方法。