极坐标与直角坐标的互化
直角坐标和极坐标互化公式
直角坐标和极坐标互化公式在我们学习数学的奇妙世界里，直角坐标和极坐标就像是两个独特的小伙伴，它们有着自己的特点和魅力，还能相互转化呢！先来说说直角坐标，它就像是我们熟悉的小地图，用横坐标 x 和纵坐标 y 就能准确地找到一个点的位置。
比如说，（3，4）这个点，我们一下子就能在平面上找到它的位置。
而极坐标呢，则像是一个有方向有距离的小导航。
它用极径 r 和极角θ 来确定点的位置。
比如说，（5，60°），这就表示从极点出发，沿着 60°的方向走 5 个单位长度就能找到这个点啦。
那它们怎么相互转化呢？这就得靠神奇的公式啦！从直角坐标（x，y）转化为极坐标（r，θ），公式是r = √(x² + y²) ，θ = arctan(y / x) 。
这里要注意哦，如果 x 是 0 ，那θ就得单独讨论啦。
比如说，有个点的直角坐标是（4，3），那 r 就等于√(4² + 3²) = 5 ，θ 等于 arctan(3 / 4) ，大概是 36.87°。
反过来，从极坐标（r，θ）转化为直角坐标（x，y），公式就是 x= r * cosθ ，y = r * sinθ 。
举个例子，一个点的极坐标是（6，120°），那 x 就等于 6 * cos120°= -3 ，y 等于6 * sin120° = 3√3 。
我记得有一次，在课堂上，老师出了一道题：一个点的极坐标是（8，45°），让我们转化为直角坐标。
同学们都埋头苦算，我也不例外。
我心里想着公式，嘴里念念有词：“x 等于 r 乘以cosθ ，y 等于 r乘以sinθ 。
” 我先算 x ，8 乘以 cos45°，我赶紧在草稿纸上写下计算过程，得出 x 等于4√2 。
再算 y ，8 乘以 sin45°，又是一阵紧张的计算，得出 y 也等于4√2 。
当我算出答案的时候，心里别提多有成就感啦！直角坐标和极坐标的互化公式在很多实际问题中都特别有用呢。
极坐标与直角坐标的互化推导公式
极坐标与直角坐标的互化推导公式在数学中，极坐标和直角坐标是两种不同的坐标系，它们可以互相转换并描述同一点的位置。
下面将通过推导公式，介绍极坐标与直角坐标之间的转换关系。
极坐标与直角坐标的基本概念首先，我们先来了解一下极坐标和直角坐标的基本概念。
•极坐标：极坐标使用极径和极角来表示平面上的点的位置。
其中，极径表示点到原点的距离，极角表示点与正半轴之间的角度。
•直角坐标：直角坐标使用横坐标和纵坐标来表示平面上的点的位置。
其中，横坐标表示点在 x 轴上的投影，纵坐标表示点在 y 轴上的投影。
极坐标转直角坐标接下来，我们将推导出将极坐标转换为直角坐标的公式。
设点 P 在极坐标系中的坐标为(r, θ)，在直角坐标系中的坐标为 (x, y)。
利用三角函数的关系可得：$$x = r \\cos(\\theta)$$$$y = r \\sin(\\theta)$$这两个公式将极坐标系中的点的坐标转换为直角坐标系中的坐标。
直角坐标转极坐标同样地，我们也可以推导出将直角坐标转换为极坐标的公式。
设点 P 在直角坐标系中的坐标为 (x, y)，在极坐标系中的坐标为(r, θ)。
利用三角函数的反函数可得：$$r = \\sqrt{x^2 + y^2}$$$$\\theta = \\arctan\\left(\\frac{y}{x}\\right)$$这两个公式将直角坐标系中的点的坐标转换为极坐标系中的坐标。
推导过程下面，我们将推导出上述的转换公式。
极坐标转直角坐标首先，考虑直角三角形 OPX，如下图所示：|| O|-----------|-----r | x||P根据三角函数的定义，我们可以得到：$$\\cos(\\theta) = \\frac{x}{r}$$$$\\sin(\\theta) = \\frac{y}{r}$$将上面两个等式进行整理，可以得到：$$x = r \\cos(\\theta)$$$$y = r \\sin(\\theta)$$这就是将极坐标转换为直角坐标的公式。
极坐标和直角坐标的互化公式
极坐标和直角坐标的互化公式
极坐标和直角坐标是两种不同的坐标系，它们在数学和物理学中都有广泛的应用。
极坐标是一种描述平面上点位置的坐标系，它由极径和极角两个参数组成。
直角坐标是另一种描述平面上点位置的坐标系，它由x轴和y轴两个参数组成。
在实际应用中，我们经常需要将极坐标和直角坐标进行互化，以便更好地理解和计算。
极坐标和直角坐标的互化公式如下：
直角坐标系中的点(x,y)可以表示为极坐标系中的点(r,θ)，其中：
r = √(x² + y²)
θ = arctan(y/x)
反之，极坐标系中的点(r,θ)可以表示为直角坐标系中的点(x,y)，其中：
x = r cos(θ)
y = r sin(θ)
这些公式可以帮助我们在不同的坐标系之间进行转换。
例如，如果我们知道一个点在极坐标系中的位置，但需要将其转换为直角坐标系中的位置，我们可以使用上述公式计算出x和y的值。
同样地，如果我们知道一个点在直角坐标系中的位置，但需要将其转换为极
坐标系中的位置，我们也可以使用上述公式计算出r和θ的值。
极坐标和直角坐标的互化公式在物理学和工程学中有广泛的应用。
例如，在机械工程中，我们经常需要计算旋转物体的位置和速度。
这些计算通常使用极坐标系，因为它更适合描述旋转运动。
然而，在计算机辅助设计和制造中，我们通常使用直角坐标系，因为它更适合描述平面上的几何形状。
极坐标和直角坐标是两种不同的坐标系，它们在数学和物理学中都有广泛的应用。
通过使用极坐标和直角坐标的互化公式，我们可以在不同的坐标系之间进行转换，以便更好地理解和计算。
极坐标与直角坐标的互化公式例题
极坐标与直角坐标的互化公式例题引言在解决数学问题时，我们常常会遇到不同坐标系之间的转换问题。
极坐标和直角坐标是常用的两种坐标系，它们之间存在着互化公式。
本文将通过几个例子来介绍极坐标与直角坐标的互化公式，以帮助读者更好地理解和运用这些公式。
例一：极坐标转直角坐标已知一个点P的极坐标表示为(r, θ)，其中r表示点P到原点的距离，θ表示点P与正方向x轴的夹角。
我们需要将该点的极坐标转换为直角坐标表示。
假设点P的极坐标为(3, π/6)，现在我们来求其对应的直角坐标。
根据极坐标与直角坐标之间的关系，点P的直角坐标表示为(x, y)。
根据互化公式，可以得到以下关系：x = r * cos(θ) y = r * sin(θ)将已知的极坐标(3, π/6)代入上述公式，可以计算出点P的直角坐标：x = 3 * cos(π/6) = 3 * √3 / 2 = 3√3 / 2 y = 3 * sin(π/6) = 3 * 1/2 = 3/2所以，点P的直角坐标为(x, y) = (3√3/2, 3/2)。
例二：直角坐标转极坐标现在，我们考虑将直角坐标转换为极坐标的情况。
给定一个点Q的直角坐标表示为(x, y)，我们需要求出其对应的极坐标。
假设点Q的直角坐标为(4, 4√3)，我们来求解其极坐标。
根据互化公式，我们得到以下关系：r = √(x^2 + y^2) θ = atan(y/x)将已知的直角坐标(4, 4√3)代入上述公式，可以计算出点Q的极坐标：r = √(4^2 + (4√3)^2) = √(16 + 48) = √64 = 8 θ = atan((4√3)/4) = atan(√3) =π/3因此，点Q的极坐标为(r, θ) = (8, π/3)。
例三：极坐标系与直角坐标系图示通过以上两个例题的互化，我们可以更好地理解极坐标和直角坐标之间的转换关系。
下面我将通过图示来展示这种转换。
首先，我们绘制一个以极坐标为基准的坐标系。
点的极坐标与直角坐标的互化
)，则
5 3 ，|AB|= ______ 21 。 △OAB的面积是______
探究新知
平面内的一个点的直角坐标是(1, 3 )
这个点如何用极坐标表示?
在直角坐标系中, 以原点作为极点, x轴的正半轴作为极轴, 并且两种坐标系中取相 同的长度单位
练习: 已知点的直角坐标, 求它们 的极坐标.
A (3, 3 )
C (5,0) E ( 3,3)
B (1, 3 )
D (0,2)
2 1、已知A（3，6 ），B（4， 3 ），求线段AB 的长度。
如果上题中的坐标改为A（3， ），B（5， ）呢？ 6 3
你能给出极坐标系下的两点间的距离公式么？
若 A（1，1），B（2，2），除了你已经使 用的方法以外， 则 | AB | 2 cos( ) 你还会用其他
2 1 2 2 1 2 1 2
方法解决么？
OX到OM 的角度， 叫做点M的 ， 叫 极径 做点 M的 ，有序数对极角就叫
M
做M的极坐标。 （ ， ）
O X
（1）一般地，不作特殊说明时，我们认为ρ≥0， 可取 任意实数。 （2）当M在极点时，它的极坐标为（0，θ）， 可 取任意值。
三、极坐标系下点与它的极坐标的对应情况
P
课堂练习 1、已知下列点的极坐标，求它们的直角坐标。
A ( 3, ) 6
B ( 2, ) 2
C (1,
2
)
3 D ( , ) 2 4
3 E ( 2, ) 4
例2. 将点M ( 3, 1)的直角坐标化成极坐标.
1.2.2极坐标和直角坐标的互化
例1.
2 将点M的极坐标 (5, ) 3
化成直角坐标.
2 5 解: x 5 cos 3 2 2 5 3 y 5 sin 3 2 5 5 3 ) 所以, 点M的直角坐标为( , 2 2
已知下列点的极坐标，求它们的直 角坐标。
17 ) 6
D. (3,
5 － 6
)
2.在极坐标系中,与(ρ,θ)关于极轴对称 的点是( ) B A.(ρ,θ) B.(ρ, － θ) C.(ρ,θ＋π) D.(ρ,π－θ)
3.在极坐标系中,与点(8, )关于极 6
点对称的点 的一个坐标是( A )
A.(－ 8, 6 )
5 B. (－ 8, － ) 6
练习: 已知点的直角坐标, 求它们 的极坐标.
A ( 3, 3 )
B (1, 3 )
C (5,0) E ( 3,3)
D (0,2)
F (3,0)
题组三 1. 在极坐标系中，与点 (3, )重合 6 的点是( A ) 13 A.(3, 6 ) B. (3, － 6 )
C. (3,
5 C. (－8, 6 )
D.(－8, － ) 6
A ( 3, ) 6
B ( 2, ) 2
C (1, ) 2
3 3 D ( , ) E ( 2, ) 2 4 4
3 F (0, ) 4
例2. 将点M的直角坐标
( 3, 1)
化成极坐标.
（ 1 ）2 解: ( 3 )
2 2
1 3 tan 3 3 7 因为点在第三象限, 所以 6 7 因此, 点M的极坐标为( 2, ) 6
直线极坐标与直角坐标的互化问题
直线极坐标与直角坐标的互化问题直线极坐标和直角坐标是数学中常见的两种坐标系，它们在表示平面上的点或空间中的物体位置时具有不同的优势和应用场景。
直线极坐标系由极径和极角两个参数组成，可以描述一个点到原点的距离和与正半轴的夹角；而直角坐标系则由直角坐标轴上的横轴和纵轴两个参数组成，可以描述一个点在平面上的具体位置。
因此，如何将直线极坐标和直角坐标互相转换是一个重要的问题。
1.直线极坐标转直角坐标直线极坐标转换为直角坐标可以简化为以下步骤： - 根据给定的极角θ和极径r，计算出直线极坐标系下的点的横坐标x和纵坐标y。
- 利用三角函数的关系，x = r * cos(θ)，y = r * sin(θ)。
2.直角坐标转直线极坐标直角坐标转换为直线极坐标可以简化为以下步骤： - 根据给定的直角坐标系下的点的横坐标x和纵坐标y，计算出直线极坐标系下的极径r和极角θ。
- 利用三角函数的反函数，r = √(x2+y2)，θ = arctan(y/x)。
综上所述，直线极坐标与直角坐标的互化问题可以通过以上步骤进行转换。
这种转换在不同的数学问题和应用中具有重要的意义和作用。
例如，在工程计算中，直角坐标系常用于描述平面上的工程结构，而直线极坐标系则用于描述圆形或者具有对称结构的工程问题。
在同一个工程问题中，可能需要在直角坐标系和直线极坐标系之间进行转换，以便更好地分析和解决工程问题。
比如，在计算机图形学中，直线极坐标系可以优化圆形图形的表示和计算，而直角坐标系则适合表示和计算任意形状的图形。
总之，直线极坐标与直角坐标的互化问题是数学中的基本问题之一，它们在数学、工程、物理等领域都有广泛的应用。
了解如何进行直线极坐标和直角坐标的转换，可以帮助我们更好地理解和应用不同坐标系下的数学模型和理论。
极坐标系与直角坐标的互化 课件
点的极坐标和直角坐标的互化 1．互化背景：把直角坐标系的原点作为极点 ，x 轴的正半轴作为 极轴 ，并在两
种坐标系中取相同的 长度单位 ，如图所示．
2．互化公式：设 M 是坐标平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(ρ， θ)(ρ≥0)，于是极坐标与直角坐标的互化公式如表：
故点的极坐标为2
2，34π.
(2)由 ρ＝ x2＋y2＝1，
tan θ＝xy＝－ 33，
且角 θ 的终边经过点 23，－12， 当 θ∈[0,2π)时，θ＝116π，
故点的极坐标为1，116π. (3)由 ρ＝ x2＋y2＝ 6，且角 θ 的终边经过点(0，－ 6)，当 θ∈[0,2π)时，θ＝32π，
故点的极坐标为
6，32π.
点的直角坐标化为极坐标的注意事项 化点的直角坐标为极坐标时，一般取 ρ≥0，θ∈[0,2π)，即 θ 取最小正角，由 tan θ＝xy(x≠0)求 θ 时，必须根据角 θ 的终边经过点(x，y)所在的象限来确定 θ 的值．
2．已知点的直角坐标分别为 A(3，－ 3)，B0， 35，C(－2,2 3)，求它们的极坐标， 其中极角 θ∈[0,2π)． 解析：根据 ρ2＝x2＋y2，tan θ＝xy(x≠0)，
[解析] (1)∵x＝ρcos θ＝2cosπ3＝1， y＝ρsin θ＝2sinπ3＝ 3， ∴点的极坐标2，π3化为直角坐标为(1， 3)． (2)∵x＝ρcos θ＝4cos－π2＝0， y＝ρsin θ＝4sin－π2＝－4， ∴点的极坐标4，－π2化为直角坐标为(0，－4)．
(3)∵x＝ρcos θ＝5cos(－5)＝5cos 5， y＝ρsin θ＝5sin(－5)＝－5sin 5， ∴点的极坐标(5，－5)化为直角坐标为(5cos 5，－5sin 5)．
点的极坐标与直角坐标的互化
(2)∵ρ＝ 62＋－ 22＝2 2， tan θ＝xy＝－ 33，θ∈R. 由于点( 6，－ 2)在第四象限，所以 θ＝161π＋2kπ，(k ∈Z)． ∴点的直角坐标( 6，－ 2)化为极坐标为 (2 2，161π＋2kπ)，(k∈Z).
在极坐标系中， A(2，π4)，B(2，54π)，且△ABC 为等腰直角三角形，如何求直角顶点 C 的极坐标与该三角形 的面积？
2．互化公式
设 M 是坐标平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，
极坐标是(ρ，θ)(ρ≥0)，于是极坐标与直角坐标的互化公式如
下表：
点 M 直角坐标(x，y) 极坐标(ρ，θ)
互化公式
x＝ρcos θ y＝ ρsin θ
ρ2＝ x2＋y2 tan θ＝xy(x≠0)
在一般情况下，由 tan θ 确定角时，可根据点 M 所在的
(2013·洛阳质检)把下列各点的极坐标化为直角坐标，并 判断所表示的点在第几象限．
(1)(2，43π)；(2)(2，23π)；(3)(2，－3π)；(4)(2，－2)．
【解】 (1)由题意知 x＝2cos43π＝2×(－12)＝－1，y＝ 2sin43π＝2×(－ 23)＝－ 3.
∴点(2，43π)的直角坐标为(－1，－ 3)，是第三象限内 的点．
2．将直角坐标化为极坐标时如何确定 ρ 和 θ 的值？
【提示】 由 ρ2＝x2＋y2 求 ρ 时，ρ 不取负值；由 tan θ ＝yx(x≠0)确定 θ 时，根据点(x，y)所在的象限取得最小正角．当 x≠0 时，θ 角才能由 tan θ＝yx按上述方法确定．当 x＝0 时， tan θ 没有意义，这时又分三种情况：(1)当 x＝0，y＝0 时，θ 可取任何值；(2)当 x＝0，y＞0 时，可取 θ＝2π；(3)当 x＝0， y＜0 时，可取 θ＝32π.
极坐标和直角坐标的互化 课件
(2)A舰发射炮弹的仰角θ应为多少？ (注：射程公式 s v02sin 2 )
g
【解题探究】1.如何求旋转后的点B的极坐标与向量的直角坐
标？
2.如何建立直角坐标系定位目标的直角坐标以及极坐标？
探究提示：
1.极坐标中的ρ不变，角度θ再由 加6上 即2得, .向量
OB
的坐标即终点B的直角坐标.
2.根据直线与二次曲线的交点的直角坐标定位目标，联想二
极坐标和直角坐标的互化
极坐标与直角坐标的互化公式 以平面直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且 在两坐标系中取相同的长度单位.平面内任意一点M的直角坐 标与极坐标分别为(x,y)和(ρ,θ)，则由三角函数的定义可 以得到如下两组公式：
图示
直角坐标(x,y)
极坐标(ρ,θ)
x _ρ__c_o_s__θ___， y _ρ__s_i_n__θ___
x2 y2
2，且tan角θ的xy终边1，经
当θ∈［0,2π)时， 由于，θ∈R,
4
故点的极坐标为 (
2, 4
2k ), k
Z.
答案： (
2, 4
2k ), k
Z
2.(1)由
x2 y2
2，t且an角θ的y 终－边1，经过
x
点(1,－1)，
当θ∈［0,2π)时，
7， 4
故点的极坐标为 (
2, 7 ). 4
2.将下列点的极坐标化为直角坐标：
(1)(2,0).(2)(2, 2 ).(3)(3, 3 ).
3
2
(4)(4,－3 ).(5)(5,6).(6)(4, ).
2
12
【解题探究】1.点的极坐标化为直角坐标惟一吗？ 2.点的极坐标化为直角坐标的公式是什么？ 探究提示： 1.极坐标化为直角坐标是惟一的. 2.x=ρcos θ,y=ρsin θ.
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典例
易错点：直角坐标与极坐标的互化. 【易错点辨析】由直角坐标化为极坐标要注意点位于哪一个象
限，才能确定 θ 的大小．
题型二 极坐标与直角坐标的互化
2 例2：1.把M（8， ）的极坐标化为直角坐标 3
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2.把M（ 6，- 2）的直角坐标化为极坐标
典例
2 例 2 (1)把点 M 的极坐标8，3π 化为直角坐标形式是________；
练习1
分析：如果某个极坐标与某个直角坐标表示的同一个点的坐标，
2 2
栏 目 链 接
ρ ＝ x ＋ y ， x＝ρcos θ， 那么它们之间可以互化，则 或 y y＝ρsin θ tan θ＝ （x≠0）. x
解析：(1)∵x＝1，y＝－ 3，∴ρ＝2，tan θ＝－ 3. 5π 又∵点 P 在第四象限，∴θ＝ . 3
(2)由坐标变换公式 y tan θ＝x（x≠0）， 得 ρ＝ （－ 3）2＋（－1）2＝2 2， － 3 tan θ＝ ＝ . 3 － 2 6 ∵点 M 在第四象限，ρ＞0， 11π ∴最小正角 θ＝ . 6
11π . 因此，点 M 的极坐标是2 2， 6
栏 目 链 接
2 2 2 ρ ＝ x ＋ y ，
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(1)A、B 两点间的距离； (2)△AOB 的面积； (3)直线 AB 与极轴正方向所成的角． 解析：如下图所示：
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典例
π π π ∵OA＝OB＝3，∠AOB＝ － ＝ ， 2 6 3 ∴△AOB 为正三角形． (1)A，B 两点间的距离为 3. 1 9 3 (2)△AOB 的面积 S＝ ×3×3sin 60°＝ . 2 4 π 5π (3)直线 AB 与极轴正方向所成的角为π－ ＝ . 6 6
(2)把点 M 的直角坐标( 6，－ 2)化成极坐标(ρ ≥0，0≤θ ＜2 π )是________． 解析：(1)由坐标变换公式
x＝ρcos θ， 得 y＝ρsin θ
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典例
2 y＝8sin3π＝4
2 x＝8cos π＝－4， 3 3.
即点 M 的直角坐标为(－4，4 3)．
2 2 2
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典例
典例一
例一 1.将点M的极坐标（2， ）化为直角坐标。 6
3 解：x 2 cos 2 3, 6 2 1 y 2sin 2 1 6 2
例一 2.将点M的直角坐标（1，3）化为极坐标。
解： 1 ( 3) 2,
栏 目 链 接
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典例
小结：理解极坐标与直角坐标的转化公式。 特别是直角坐标转化极坐标时，极角的取值， 要注意点所在的象限。 作业：12页第4、5题
1．2 极 坐 标 与直角坐标的互化
高二数学 吴照射
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典例
1．了解极坐标的基本概念． 2．体会在极坐标系和平面直角坐标系中
刻画点的位置的区别．
3．能进行极坐标与平面直角坐标的互化．
x cos , y sin
y x y , tan ( x 0) x
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预习Leabharlann 典例 5π 故点 P(1，－ 3)的极坐标为2， . 3
π (2)∵ρ＝3，θ＝－ ， 4 3 2 3 2 ∴x＝ρcos θ＝ ，y＝ρsin θ＝－ ， 2 2
3 2 π 3 2 ∴点 P3，－ 的直角坐标为 ，－ . 4 2 2
栏 目 链 接
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预习
答案：2 点评：在极坐标系中我们没有定义两点间的距离，我们只要画出 图形便可以得到结果或把两点极坐标转化为直角坐标， 用直角坐标的 两点间的距离公式求解．
典例
学习
提 能 力 链 高 考
栏 目 链 接
预习
典例
►变式训练
π π 3．已知两点的极坐标 A3， ，B3， ，求： 2 6
点间的距离． 解析：解法一 如图所示，
栏 目 链 接
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典例
π ∵∠AOB＝ ，又 OA＝OB＝2， 3 ∴△ABO 为等边三角形．∴AB 的长度为 2.
解法二 将点 A 化为直角坐标为( 3，1)，点 B 化为直角坐标为 ( 3，－1)． ∴A、B 两点间的距离 d＝
(
2 3－ 3) ＋[1－（－1）]2＝2.
2 2
3 tan 3.因为点M 在第一象限，所以 1 = .因此，点M 的极坐标是（2， ） 3 3
1.点P的直角坐标（1，- 3），则点P的极坐标是什么?
2.点P的极坐标（3，- ），则点P的直角坐标是什么? 4
π (2)点 P 的极坐标为3，－ ，则点 P 的直角坐标是什么？ 4
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典例
答案：(1)(－4，4 3)
11π (2)2 2， 6
点评：直角坐标化极坐标时， 先求出tan θ的值，再由直角坐 标确定θ所在的象限，然后求出 符合条件的极角，一般只要取 θ∈[0，2π)。
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典例
►变式训练
3π 2．(1)把点 M 的极坐标2， 化成直角坐标是________． 4
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(2)把点 P 的直角坐标(0，－2)化成极坐标是________． ．(1)(－ 2， 2)
3π (2)2， 2
预习
典例
预备练习
1. 3
O
B(2, ) 3
2. 2
B (1, ) 2
A(1, 0)
O
A(1, 0)
π π 例 3 在极坐标系中，已知 A2， ，B2，－ ，求 A，B 两 6 6