2014高考数学新编：第23讲 三角函数的图象与性质
2014年全国高考数学理科(三角函数部分)解析汇编
= sin(x + ϕ) cosϕ + cos(x + ϕ)sinϕ ∴ f (x) = sin(x + ϕ) cosϕ − cos(x + ϕ) sinϕ
= sin[(x + ϕ) −ϕ] = sin x
为
解：由正弦定理 a = b = c = 2R 化简题式得： sin A sin B sin C
∵b−c = 1 a 4
∴b = 3a，c = 1 a
4
2
由余弦定理得：
cos A =
b2
+ c2
− a2
=
9 a2 16
+
1 a2 4
− a2
=−1
2bc
2⋅3a⋅1 a
4
42
= 1 cos x sin x − 3 cos2 x + 3
2
2
4
= 1 sin 2x − 3 (2 cos2 x −1)
= 43.612 + 352 − 2 × 43.61× 35× cos 38.12o ≈26.93 米
【天津市·第 12 题】在△ABC 中，内角 A，B，C 所
对的边分别是 a，b，c，已知 b-c= 1 a，2sinB=3sinC， 4
则 cosA 的值为
解：由正弦定理和 2sinB=3sinC 得： c = 2 b 3
解：由
tan α
=
1+ sin β cos β
得：
sin α cosα
=
1+ sin β cos β
即 sinα cos β − cosα sin β = cosα
∴ sin(α
−β)
2014届高考数学(北师大版)一轮复习讲义课件：2.3三角函数的性质
⑥y＝asinxcosx＋b(sinx±cosx)＋c. 这类问题的一般方法是：
设 t＝sinx＋cosx，t∈[－ 2， 2]，则 sinxcosx＝t2－2 1转化为求 二次函数在[－ 2， 2]上的最值问题．
3．三角函数的周期性 求三角函数的周期，通常应将函数式化为只有一个函数名，且 角度唯一，最高次数为一次的形式，然后借助于常见三角函数的周 期来求解． y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)，y＝Atan(ωx＋φ)(A＞0，ω≠0) 的最小正周期分别为 T＝|2ωπ|，T＝|2ωπ|，T＝|ωπ|.
所以原函数定义域为： {x|0＜x＜π2或 π≤x≤4}(如图)．
题型二 三角函数的单调性 例 2(1)求函数 y＝sin(π3－2x)的单调递减区间； (2)求 y＝3tan(π6－x4)的周期及单调区间．
解析 (1)由已知函数得 y＝－sin(2x－π3)，欲求函数的单调递减 区间，只需求 y＝sin(2x－π3)的单调递增区间．
若函数 y＝Asin(ωx＋φ)中 A＞0，ω＜0，可用诱导公式将函数变为 y ＝－Asin(－ωx－φ)．则 y＝－Asin(－ωx－φ)的增区间为原函数的减区间；
减区间为原函数的增区间，如 y＝sin(π4－x)＝－sin(x－π4)，解 2kπ－π2≤x －π4≤2kπ＋π2⇒2kπ－π4≤x≤2kπ＋34π为原函数的减区间．
点评 比较三角函数值大小的一般步骤是：(1)先判断正负；(2) 不同名函数化为同名函数；(3)自变量不在同一单调区间的化为同一 单调区间.
变式迁移 2 求函数 y＝log 1 (sin2x)的单调性．
2
2014版高考命题探究数学知识点讲座15三角函数的图像与性质(解析版)
考点十五：三角函数的图像与性质2014年河北省某重点中学高三补习理科快班知识点讲座内部资料，请勿外传 主讲人：孟老师加（*）号的知识点为了解内容，供学有余力的学生学习使用一.考纲目标了解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质，会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin(ωx+φ)的简图，理解A.ω、φ的物理意义 二.知识梳理1. 正弦函数、余弦函数、正切函数的图像2.三角函数的单调区间x y sin =的递增区间是⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-2222ππππk k ，)(Z k ∈， 递减区间是⎥⎦⎤⎢⎣⎡++23222ππππk k ，)(Z k ∈； x y cos =的递增区间是[]πππk k 22，-)(Z k ∈， 递减区间是[]πππ+k k 22，)(Z k ∈， tan y x =的递增区间是⎪⎭⎫ ⎝⎛+-22ππππk k ，)(Z k ∈，3.函数B x A y ++=)sin(ϕω），（其中00>>ωA最大值是B A +，最小值是A B -，周期是ωπ2=T ，频率是πω2=f ，相位是ϕω+x ，初相是ϕ；其图象的对称轴是直线)(2Z k k x ∈+=+ππϕω，凡是该图象与直线B y =的交点都是该图象的对称中心4.由y ＝sinx 的图象变换出y ＝sin(ωx ＋ϕ)的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现.无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母x 而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少.途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换)先将y ＝sinx 的图象向左(ϕ＞0)或向右(ϕ＜0)平移｜ϕ｜个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的ω1倍(ω＞0)，便得y ＝sin(ωx ＋ϕ)的图象 途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换先将y ＝sinx 的图象上各点的横坐标变为原来的ω1倍(ω＞0),再沿x 轴向左(ϕ＞0)或向右(ϕ＜0＝平移ωϕ||个单位，便得y ＝sin(ωx ＋ϕ)的图象5. 由y ＝Asin(ωx ＋ϕ)的图象求其函数式给出图象确定解析式y=Asin （ωx+ϕ）的题型，有时从寻找“五点”中的第一零点（－ωϕ，0）作为突破口，要从图象的升降情况找准．．第一个零点的位置.6.对称轴与对称中心：sin y x =的对称轴为2x k ππ=+，对称中心为(,0) k k Z π∈；cos y x =的对称轴为x k π=，对称中心为2(,0)k ππ+；对于sin()y A x ωφ=+和cos()y A x ωφ=+来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系7. 求三角函数的单调区间一般先将函数式化为基本三角函数的标准式，要特别注意A 、ω的正负.利用单调性三角函数大小一般要化为同名函数,并且在同一单调区间； 8. 求三角函数的周期的常用方法经过恒等变形化成“sin()y A x ωφ=+、cos()y A x ωφ=+”的形式，在利用周期公式，另外还有图像法和定义法9.五点法作y=Asin （ωx+ϕ）的简图 五点取法是设x=ωx+ϕ，由x 取0、2π、π、2π3、2π来求相应的x 值及对应的y 值，再描点作图.三．考点逐个突破 1.平移变换问题 例1.定义12142334a a a a a a a a =-,若函数sin 2 cos2x () 1 x f x =,则将()f x 的图象向右平移3π个单位所得曲线的一条对称轴的方程是A ．6x π=B ．4x π=C ．2x π=D ．x π=【答案】A 由定义可知,()2cos 22sin(2)6f x x x x π=-=-,将()f x 的图象向右平移3π个单位得到52sin[2()]2sin(2)366y x x πππ=--=-,由52,62x k k Z πππ-=+∈得对称轴为2,32k x k Z ππ=+∈,当1k =-时,对称轴为2326x πππ=-=,选A ．例2.关于函数()=2()f x sin x -cos x cos x 的四个结论:P 1:;P 2:把函数()21f x x =-的图象向右平移4π个单位后可得到函数2f (x )(sin x cos x )cos x =-的图 象;P 3:单调递增区间为[71188k ,k ππππ++],k Z ∈; P 4:图象的对称中心为 (128k ,ππ+-),k Z ∈.其中正确的结论有 A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【解析】因为2()=22221(2)14f x sin x cos x cos x sin x cos x x π-=--=--,所以最大值为1,所以P 1错误.将()21f x x =-的图象向右平移4π个单位后得到()2()2(2)142f x x x ππ=--=--,所以P 2错误.由222242k x k πππππ-+≤-≤+,解得增区间为388k x k ,k Z ππππ-+≤≤+∈,即3[]88k ,k k Z ππππ-++∈,所以3p 正确.由24x k ,k Z ππ-=∈,得,28k x k Z ππ=+∈,所以此时的对称中心为(1)28k ,ππ+-,所以4p 正确,所以选B ．例3. 已知函数()()21cos cos 02f x x x x ωωωω=+->,其最小正周期为.2π(I)求()f x 的表达式;(II)将函数()f x 的图象向右平移8π个单位,再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到函数()y g x =的图象,若关于x 的方程()0g x k +=,在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有且只有一个实数解,求实数k 的取值范围.【答案】解:(I)21()cos cos 2f x x x x ωωω=⋅+-cos2112sin(2)226x x x ωπωω+=+-=+ 由题意知)(x f 的最小正周期2T π=,222T πωπωπ===所以2=ω 所以()sin 46f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭(Ⅱ)将()f x 的图象向右平移个8π个单位后,得到)34sin(π-=x y 的图象,再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,得到)32sin(π-=x y 的图象.所以)32sin()(π-=x x g 因为02x π≤≤,所以22333x πππ-≤-≤.()0g x k +=在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有且只有一个实数解,即函数()y g x =与y k =-在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有且只有一个交点,由正弦函数的图象可知22k -≤-<或1k -=所以k <≤1k =-. 2.三角函数的性质 （1）单调性、周期性例4. 设x x x x f cos sin 32cos 6)(2-=. (Ⅰ)求)(x f 的最小正周期及单调递增区间;(Ⅱ)将函数)(x f 的图象向右平移3π个单位,得)(x g y =的图象,求x x g x F 323)()(-=在4π=x 处的切线方程.【答案】解:(Ⅰ)(1cos 2)()62)326x f x x x π+==++,故f (x )的最小正周期π=T , 由ππππk x k 2622≤+≤+-得f (x )的单调递增区间为()Z k k k ∈--]12,127[ππππ (Ⅱ)由题意:())]32336g x x x ππ=-++=+, x x xx g x F 2sin 323)()(=-=, 2'2sin 2cos 2)(x xx x x F -=, 因此切线斜率2'16)4(ππ-==F k , 切点坐标为)4,4(ππ, 故所求切线方程为)4(1642πππ--=-x y , 即08162=-+ππy x（2）最值例5.已知函数2()2sin ()21,,442f x x x x πππ⎡⎤=+--∈⎢⎥⎣⎦,则)(x f 的最小值为_________ 【答案】1【解析】2()2sin ()211cos 2()2144f x x x x x ππ=+-=-+--cos(2)2sin 222sin(2)23x x x x x ππ=-+==-,因为42x ππ≤≤,所以22633x πππ≤-≤,所以sin sin(2)sin 632x πππ≤-≤,即1sin(2)123x π≤-≤,所以12sin(2)23x π≤-≤,即1()2f x ≤≤,所以)(x f 的最小值为1.（3）奇偶性例6. 函数x xy sin 3+=的图象大致是【答案】C【 解析】函数()sin 3xy f x x ==+为奇函数,所以图象关于原点对称,排除B ．当x →+∞时,0y >,排除D ．1'()cos 3f x x =+,由1'()cos 03f x x =+=,得1cos 3x =-,所以函数()sin 3xy f x x ==+的极值有很多个,所以选C ．（4）对称性例7.已知函数()sin()(0)6f x x ωω=+π＞的最小正周期为4π,则A ．函数()f x 的图象关于点(,03π)对称 B ．函数()f x 的图象关于直线3x =π对称C ．函数()f x 的图象向右平移3π个单位后,图象关于原点对称D ．函数()f x 在区间(0,)π内单调递增【答案】C 因为函数的周期24T ππω==,所以12ω=,所以1()sin()26f x x π=+.当3x π=时,1()sin()sin 32363f ππππ=⨯+==所以A ,B 错误.将函数()f x 的图象向右平移3π个单位后得到11()sin[()]sin()2362f x x x ππ=-+=,此时为奇函数,所以选C ．（5）定义域、值域例8.已知函数f （x ）=xx x 2cos 1cos 5cos 624+-，求f （x ）的定义域，判断它的奇偶性，并求其值域.剖析：此题便于入手，求定义域、判断奇偶性靠定义便可解决，求值域要对函数化简整理. 解：由cos2x ≠0得2x ≠k π+2π，解得x ≠2πk +4π（k ∈Z ）.所以f （x ）的定义域为{x|x ∈R 且x ≠2πk +4π，k ∈Z}. 因为f （x ）的定义域关于原点对称，且f （－x ）=）（－）（）（x x x 2cos 1cos 5cos 624+---=xx x 2cos 1cos 5cos 624+-=f （x ），所以f （x ）是偶函数. 又当x ≠2πk +4π（k ∈Z ）时， f （x ）=xx x 2cos 1cos 5cos 624+-=x x x 2cos 1cos 31cos 222））（（--=3cos 2x －1，所以f （x ）的值域为{y|－1≤y ＜21或21＜y ≤2}.3.简单的应用问题例9.已知电流I 与时间t 的关系式为sin()I A t ωϕ=+． （１）右图是sin()I A t ωϕ=+（ω＞0，||2πϕ<）在一个周期内的图象，根据图中数据求sin()I A t ωϕ=+的解析式；（２）如果t 在任意一段1150秒的时间内，电流sin()I A t ωϕ=+都能取得最大值和最小值，那么ω的最小正整数值是多少？解:本小题主要考查三角函数的图象与性质等基础知识，考查运算能力和逻辑推理能力．（１）由图可知 A ＝300．设t 1＝－1900，t 2＝1180， 则周期T ＝2（t 2－t 1）＝2（1180＋1900）＝175．∴ ω＝2T π＝150π．又当t ＝1180时，I ＝0，即sin （150π·1180＋ϕ）＝0，而||2πϕ<， ∴ ϕ＝6π．故所求的解析式为300sin(150)6I t ππ=+．（２）依题意，周期T ≤1150，即2πω≤1150，（ω>0） ∴ ω≥300π＞942，又ω∈N *，故最小正整数ω＝943．。
2014高考数学提分秘籍 必记篇 三角函数的图象与性质
2014高考数学提分秘籍 必记篇：三角函数的图象与性质1.对三角函数的图象和性质的考查中，以图象的变换，函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值等作为热点内容，并且往往与三角变换公式相互联系，有时也与平面向量，解三角形或不等式内容相互交汇.2.题型多以小而活的选择题、填空题来呈现，如果设置解答题一般与三角变换、解三角形、平面向量等知识进行综合考查，题目难度为中、低档．1．三角函数定义、同角关系与诱导公式(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，则sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝y x.各象限角的三角函数值的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦． (2)同角关系：sin 2α＋cos 2α＝1，sin αcos α＝tan α.(3)诱导公式：在k π2＋α，k ∈Z 的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限”．2．三角函数的图象及常用性质函数y ＝sin xy ＝cos x y ＝tan x单调性在[－π2＋2k π，π2＋2k π](k ∈Z )上单调递增；在[π2＋2k π，3π2＋2k π](k ∈Z )上单调递减 在[－π＋2k π，2k π](k ∈Z )上单调递增；在[2k π，π＋2k π](k ∈Z )上单调递减在(－π2＋k π，π2＋k π)(k ∈Z )上单调递增对称性对称中心：(k π，0)(k ∈Z )；对称轴：x ＝π2＋k π(k ∈Z )对称中心：(π2＋k π，0)(k ∈Z )；对称轴：x ＝k π(k ∈Z )对称中心：(k π2，0)(k ∈Z )3． 三角函数的两种常见变换考点一 三角函数的概念、诱导公式及同角三角函数的基本关系问题 例1 (1)如图，为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针针尖位置P (x ，y )．若初始位置为P 0⎝⎛⎭⎪⎫32，12，当秒针 从P 0(此时t ＝0)正常开始走时，那么点P 的纵坐标y 与时间t 的函 数关系为( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π30t ＋π6B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫－π60t －π6C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π30t ＋π6D ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π30t －π3 (2)已知点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π4，cos 3π4落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为( ) A.π4B.3π4C.5π4 D.7π4弄清三角函数的概念是解答本题的关键．答案 (1)C (2)D解析 (1)由三角函数的定义可知，初始位置点P 0的弧度为π6，由于秒针每秒转过的弧度为－π30，针尖位置P 到坐标原点的距离为1，故点P 的纵坐标y 与时间t 的函数关系可能为y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π30t ＋π6.(2)tan θ＝cos 34πsin 34π＝－cosπ4sinπ4＝－1，又sin 3π4>0，cos 3π4<0，所以θ为第四象限角且θ∈[0,2π)，所以θ＝7π4.(1)涉及与圆及角有关的函数建模问题(如钟表、摩天轮、水车等)，常常借助三角函数的定义求解．应用定义时，注意三角函数值仅与终边位置有关，与终边上点的位置无关．(2)应用诱导公式时要弄清三角函数在各个象限内的符号；利用同角三角函数的关系化简过程要遵循一定的原则，如切化弦、化异为同、化高为低、化繁为简等．(1)已知α∈(－π，0)，tan(3π＋α)＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π＋α的值为( ) A.1010B ．－1010 C.31010D ．－31010答案 B解析 由tan(3π＋α)＝13，得tan α＝13，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π＋α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin α. ∵α∈(－π，0)，∴sin α＝－1010. (2)如图，以Ox 为始边作角α(0<α<π)，终边与单位圆相交于点P ，已知点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45.求sin 2α＋cos 2α＋11＋tan α的值．解 由三角函数定义， 得cos α＝－35，sin α＝45，∴原式＝2sin αcos α＋2cos 2α1＋sin αcos α＝2cos αsin α＋cos αsin α＋cos αcos α＝2cos 2α＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝1825.考点二 三角函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及解析式例2 函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(其中|φ|<π2)的图象如图所示，为了得到g (x )＝sin ωx 的图象，则只要将f (x )的图象( )A ．向右平移π6个单位B ．向右平移π12个单位C ．向左平移π6个单位D ．向左平移π12个单位答案 A解析 由图象可知，T 4＝7π12－π3＝π4，∴T ＝π，∴ω＝2ππ＝2，再由2×π3＋φ＝π，得φ＝π3，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.故只需将f (x )＝sin 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6向右平移π6个单位，就可得到g (x )＝sin 2x .(1)已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求A ；由函数的周期确定ω；确定φ常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置．(2)在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换．变换只是相对于其中的自变量x 而言的，如果x 的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向．(1)(2013·某某)函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2<φ<π2)的部 分图象如图所示，则ω，φ的值分别是( ) A ．2，－π3B ．2，－π6C ．4，－π6D ．4，π3答案 A解析 ∵34T ＝5π12－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，T ＝π，∴ω＝2，又2×5π12＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，∴φ＝2k π－π3，又φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∴φ＝－π3，选A.(2)(2012·某某)把函数y ＝cos 2x ＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是( )答案 A解析 利用三角函数的图象与变换求解．y ＝cos 2x ＋1――→横坐标伸长2倍纵坐标不变 y ＝cos x ＋1――→向左平移1个单位长度y ＝cos(x ＋1)＋1――→向下平移1个单位长度y ＝cos(x ＋1)．结合选项可知应选A.(3)已知函数f (x )＝3sin 2x －2sin 2x ＋2，x ∈R .①求函数f (x )的最大值及对应的x 的取值集合； ②画出函数y ＝f (x )在[0，π]上的图象．解 ①f (x )＝3sin 2x ＋cos 2x ＋1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋1， 当2x ＋π6＝2k π＋π2 (k ∈Z )时，f (x )取最大值3，此时x 的取值集合为{x |x ＝k π＋π6，k ∈Z }．②列表如下：x0 π6 5π12 2π3 11π12 π 2x ＋π6π6 π2 π 3π2 2π 13π6 y231－112图象如下：考点三 三角函数的性质 例3 (2012·)已知函数f (x )＝sin x －cos x sin 2xsin x.(1)求f (x )的定义域及最小正周期； (2)求f (x )的单调递增区间．先化简函数解析式，再求函数的性质． 解 (1)由sin x ≠0得x ≠k π(k ∈Z )， 故f (x )的定义域为{x ∈R |x ≠k π，k ∈Z }． 因为f (x )＝sin x －cos x sin 2xsin x＝2cos x (sin x －cos x ) ＝sin 2x －cos 2x －1 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4－1， 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)函数y ＝sin x 的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )．由2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2，x ≠k π(k ∈Z )，得k π－π8≤x ≤k π＋3π8，x ≠k π(k ∈Z )．所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎭⎪⎫k π－π8，k π和⎝ ⎛⎦⎥⎤k π，k π＋3π8(k ∈Z )．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质及应用的求解思路第一步：先借助三角恒等变换及相应三角函数公式把待求函数化成y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的形式；第二步：把“ωx ＋φ”视为一个整体，借助复合函数性质求y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的单调性及奇偶性、最值、对称性等问题．(1)已知函数f (x )＝sin x ＋cos x ，g (x )＝sin x －cos x ，有下列四个命题： ①将f (x )的图象向右平移π2个单位可得到g (x )的图象；②y ＝f (x )g (x )是偶函数；③f (x )与g (x )均在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上单调递增； ④y ＝f xg x的最小正周期为2π. 其中真命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 C解析 f (x )＝2sin(x ＋π4)，g (x )＝sin x －cos x ＝2sin(x －π4)，显然①正确；函数y ＝f (x )g (x )＝sin 2x －cos 2x ＝－cos 2x ， 其为偶函数，故②正确；由0≤x ＋π4≤π2及－π2≤x －π4≤0都可得－π4≤x ≤π4，所以由图象可判断函数f (x )＝2sin(x ＋π4)和函数g (x )＝2sin(x －π4)在[－π4，π4]上都为增函数，故③正确； 函数y ＝f xg x ＝sin x ＋cos x sin x －cos x ＝1＋tan x tan x －1＝－tan(x ＋π4)，由周期性定义可判断其周期为π，故④不正确．(2)(2013·某某)已知函数f (x )＝4cos ωx ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω>0)的最小正周期为π. ①求ω的值；②讨论f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的单调性．解 ①f (x )＝4cos ωx ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4＝22sin ωx ·cos ωx ＋22cos 2ωx ＝2(sin 2ωx ＋cos 2ωx )＋ 2 ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π4＋ 2.因为f (x )的最小正周期为π，且ω>0. 从而有2π2ω＝π，故ω＝1.②由①知，f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋ 2. 若0≤x ≤π2，则π4≤2x ＋π4≤5π4. 当π4≤2x ＋π4≤π2， 即0≤x ≤π8时，f (x )单调递增；当π2≤2x ＋π4≤5π4， 即π8≤x ≤π2时，f (x )单调递减． 综上可知，f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π8上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，π2上单调递减．1．求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(或y ＝A cos(ωx ＋φ)，或y ＝A tan(ωx ＋φ))的单调区间(1)将ω化为正．(2)将ωx ＋φ看成一个整体，由三角函数的单调性求解． 2．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0，ω>0)的图象求解析式(1)A ＝y max －y min2，B ＝y max ＋y min2.(2)由函数的周期T 求ω，ω＝2πT.(3)利用与“五点法”中相对应的特殊点求φ.3．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的对称轴一定经过图象的最高点或最低点． 4．求三角函数式最值的方法(1)将三角函数式化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的形式，进而结合三角函数的性质求解． (2)将三角函数式化为关于sin x ，cos x 的二次函数的形式，进而借助二次函数的性质求解． 5．特别提醒：进行三角函数的图象变换时，要注意无论进行什么样的变换都是变换变量本身.1．假设若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“互为生成函数”．给出下列函数：①f (x )＝sin x －cos x ；②f (x )＝2(sin x ＋cos x )； ③f (x )＝2sin x ＋2；④f (x )＝sin x . 则其中属于“互为生成函数”的是( ) A ．①② B．①③ C．③④ D．②④ 答案 B2．已知函数f (x )＝sin ωx ·cos ωx ＋3cos 2ωx －32(ω>0)，直线x ＝x 1，x ＝x 2是y ＝f (x )图象的任意两条对称轴，且|x 1－x 2|的最小值为π4.(1)求f (x )的表达式；(2)将函数f (x )的图象向右平移π8个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，若关于x 的方程g (x )＋k ＝0在区间[0，π2]上有且只有一个实数解，某某数k 的取值X 围． 解 (1)f (x )＝12sin 2ωx ＋3×1＋cos 2ωx 2－32＝12sin 2ωx ＋32cos 2ωx ＝sin(2ωx ＋π3)，由题意知，最小正周期T ＝2×π4＝π2，T ＝2π2ω＝πω＝π2，所以ω＝2， ∴f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π3. (2)将f (x )的图象向右平移π8个单位后， 得到y ＝sin(4x －π6)的图象，再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍， 纵坐标不变，得到y ＝sin(2x －π6)的图象．所以g (x )＝sin(2x －π6)．令2x －π6＝t ，∵0≤x ≤π2，∴－π6≤t ≤5π6.g (x )＋k ＝0在区间[0，π2]上有且只有一个实数解，即函数g (t )＝sin t 与y ＝－k 在区间[－π6，5π6]上有且只有一个交点．如图，由正弦函数的图象可知－12≤－k <12或－k ＝1.∴－12<k ≤12或k ＝－1.(推荐时间：60分钟)一、选择题1．点P 从(1,0)出发，沿单位圆x 2＋y 2＝1逆时针方向运动2π3弧长到达Q 点，则Q 点的坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12答案 A解析 记α＝∠POQ ，由三角函数的定义可知，Q 点的坐标(x ，y )满足x ＝cos α＝cos 2π3＝－12， y ＝sin α＝sin2π3＝32. 2．已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝33，则cos 2α等于( ) A ．－53B ．－59C.59D.53答案 A解析 因为sin α＋cos α＝33， 两边平方得1＋2sin αcos α＝13，所以sin 2α＝－23.由于sin α＋cos α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝33>0， 且α为第二象限角，所以2k π＋π2<α<2k π＋3π4，k ∈Z ，所以4k π＋π<2α<4k π＋3π2，k ∈Z ，所以cos 2α＝－1－sin 22α＝－1－49＝－53. 3．将函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3的图象上各点横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移π6个单位，所得函数图象的一条对称轴是( ) A ．x ＝π4 B ．x ＝π6C ．x ＝π D．x ＝π2答案 D解析 y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3―――――――――→横坐标伸长到原来的2倍纵坐标不变y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π3 y ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6－π3，即y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4. 因为当x ＝π2时，y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12×π2－π4＝1， 所以对称轴可以是x ＝π2. 4．若函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)在一个周期内的图象如图所示，M ，N 分别是这段图象的最高点与最低点，且OM →·ON →＝0，则A ·ω等于( )A.π6B.7π12C.7π6D.7π3答案 C解析 由题中图象知T 4＝π3－π12， 所以T ＝π，所以ω＝2.则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，A ，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12，－A 由OM →·ON →＝0，得7π2122＝A 2， 所以A ＝7π12，所以A ·ω＝7π6. 5．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ) (ω>0)的图象关于直线x ＝π3对称，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝0，则ω的最小值为( )A ．2B ．4C ．6D ．8答案 A解析 由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝0知⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0是f (x )图象的一个对称中心，又x ＝π3是一条对称轴，所以应有⎩⎪⎨⎪⎧ ω>02πω≤4⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－π12，解得ω≥2，即ω的最小值为2，故选A.6．(2013·某某)如图，已知l 1⊥l 2，圆心在l 1上、半径为1 m 的圆O 在t＝0时与l 2相切于点A ，圆O 沿l 1以1 m/s 的速度匀速向上移动，圆被直线l 2所截上方圆弧长记为x ，令y ＝cos x ，则y 与时间t (0≤t ≤1，单位：s)的函数y ＝f (t )的图象大致为( )答案 B解析 方法一 (排除法)当t ＝0时，y ＝cos 0＝1，否定A 、D.当t ＝12时，l 2上方弧长为23π. y ＝cos 23π＝－12.∴否定C ，只能选B.方法二 (直接法)由题意知∠AOB ＝x ，OH ＝1－t ，cos∠AOH ＝cos x 2＝OH OA＝1－t ， ∴y ＝cos x ＝2cos 2x 2－1 ＝2(1－t )2－1(0≤t ≤1)．∴选B.二、填空题7．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，若P (4，y )是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y ＝________. 答案 －8解析 因为sin θ＝y 42＋y 2＝－255， 所以y <0，且y 2＝64，所以y ＝－8.8．函数f (x )＝sin πx ＋cos πx ＋|sin πx －cos πx |对任意的x ∈R 都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)成立，则|x 2－x 1|的最小值为________．答案 34解析 依题意得，当sin πx －cos πx ≥0，即sin πx ≥cos πx 时，f (x )＝2sin πx ；当sin πx －cos πx <0， 即sin πx <cos πx 时，f (x )＝2cos πx . 令f (x 1)、f (x 2)分别是函数f (x )的最小值与最大值，结合函数y ＝f (x )的图象可知，|x 2－x 1|的最小值是34. 9．已知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6－m 在x ∈[0，π2]上有两个不同的零点，则m 的取值X 围为________．答案 [1,2)解析 函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6－m 在x ∈[0，π2]上有两个不同的零点，等价于方程m ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6在区间[0，π2]上有两解． 作出如图的图象，由于右端点的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，由图可知， m ∈[1,2)．10．关于函数f (x )＝sin 2x －cos 2x 有下列命题：①y ＝f (x )的周期为π；②x ＝π4是y ＝f (x )的一条对称轴；③⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，0是y ＝f (x )的一个对称中心；④将y ＝f (x )的图象向左平移π4个单位，可得到y ＝2sin 2x 的图象，其中正确命题的序号是______(把你认为正确命题的序号都写上)．答案 ①③解析 由f (x )＝sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4， 得T ＝2π2＝π，故①对； f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2sin π4≠±2，故②错； f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝2sin 0＝0，故③对； y ＝f (x )的图象向左平移π4个单位，得y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4－π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4， 故④错．故填①③.三、解答题11．(2013·某某)设函数f (x )＝32－3sin 2ωx －sin ωx cos ωx (ω>0)，且y ＝f (x )图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4. (1)求ω的值；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2上的最大值和最小值． 解 (1)f (x )＝32－3sin 2ωx －sin ωx cos ωx ＝32－3×1－cos 2ωx 2－12sin 2ωx ＝32cos 2ωx －12sin 2ωx ＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx －π3. 依题意知2π2ω＝4×π4，ω>0，所以ω＝1. (2)由(1)知f (x )＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3. 当π≤x ≤3π2时，5π3≤2x －π3≤8π3. 所以－32≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3≤1. 所以－1≤f (x )≤32. 故f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2上的最大值和最小值分别为32，－1. 12．(2012·某某)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫x ∈R ，ω>0，0<φ<π2的部分图象如图所示．(1)求函数f (x )的解析式；(2)求函数g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12的单调递增区间． 解 (1)由题设图象知，周期T ＝2⎝⎛⎭⎪⎫11π12－5π12＝π， 所以ω＝2πT＝2.因为点⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，0在函数图象上， 所以A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×5π12＋φ＝0， 即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋φ＝0. 又因为0<φ<π2，所以5π6<5π6＋φ<4π3. 从而5π6＋φ＝π，即φ＝π6. 又点(0,1)在函数图象上，所以A sin π6＝1，解得A ＝2. 故函数f (x )的解析式为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. (2)g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＋π6－2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＋π6 ＝2sin 2x －2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 ＝2sin 2x －2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin 2x ＋32cos 2x ＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3. 由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ， 得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z . 所以函数g (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z .。
2014版高考数学一轮总复习 第23讲 三角函数的性质课件 理 新人教A版
素材1
1 π 函数 y＝2cos( x－ )的图象的对称 2 8 5π 中心是 (2kπ＋ ，0)(k∈Z) 4 .
1 π 【解析】令 2cos( x－ )＝0， 2 8 1 π π 得 x－ ＝kπ＋ (k∈Z)， 2 8 2 5π 即 x＝2kπ＋ (k∈Z)， 4 1 π 所以函数 y＝2cos( x－ )的图象的对称中心是(2kπ＋ 2 8 5π ，0)(k∈Z)． 4
17 要使 1≤f(x)≤ 恒成立， 4
a－4≤0 只需 3 9 a－ ≥ 4 4
⇔3≤a≤4，所以 a∈[3,4]为所求．
三
三角函数的单调性与周期性
1 π 2x 【例 3】(1)求函数 y＝ sin( － )的最小正周期和单调区间； 2 4 3 (2)函数 y＝xcosx－sinx 在下面哪个区间内是增函数( ) π 3π A．( ， ) 2 2 3π 5π C．( ， ) 2 2 B．(π，2π) D．(2π，3π)
x π A．y＝2sin( ＋ ) 2 3 π C．y＝2sin(2x＋ ) 6
2π 【解析】根据 T＝ ，容易得出选项 B、C 中的函数 ω π 周期均为 π， 然后可利用求对称轴的表达式 ωx＋φ＝kπ＋ 2 (k∈Z)，将选项 B、C 中的函数依次代入求解验证即可得 答案 B 符合题意．
4.将函数 f(x)＝ 3sinx－cosx 的图象向右平移 φ(φ>0)个 单位， 所得图象对应的函数为奇函数， φ 的最小值为( 则 π A. 6 2π C. 3 π B. 3 5π D. 6 )
1．三角函数奇偶性的判断与其他函数奇偶性 的判断步骤一致：
1 首先看定义域是否关于原点对称； 2 在满足 1 后，再看f x 与f x 的关系．
三角函数的图像和性质讲解(定义域,值域,周期,单调性等)
三角函数的图象与性质教学目标：1、掌握正、余弦函数的定义域和值域；2、进一步理解三角函数的周期性和奇偶性的概念，会求它们的周期，会判断它们的奇偶性；3、能正确求出正、余弦函数的单调区间教学重点：正、余弦函数的性质教学难点：正、余弦函数的单调性知识要点：1、定义域：函数sin y x =及cos y x =的定义域都是(),-∞+∞，即实数集R2、值域：函数sin y x =，x R ∈及cos y x =，x R ∈的值域都是[]1,1-理解：（1）在单位圆中，正弦线、余弦线的长都是等于或小于半径的长1的，所以sin 1x ≤，cos 1x ≤，即1sin 1x -≤≤，1cos 1-≤≤。
（2）函数sin y x =在2,()2x k k Z ππ=+∈时，y 取最大值1，当22x k ππ=-，()k Z ∈时，y 取最小值-1；函数cos y x =在2x k π=，()k Z ∈时，y 取最大值1，当2x k ππ=+，()k Z ∈时，y 取最小值-1。
正弦函数s i n y x =，x R ∈和余弦函数cos y x =，x R ∈是周期函数，2k π(0)k Z k ∈≠且都是它们的周期，最小正周期是2π。
4、奇偶性正弦函数sin y x =，x R ∈是奇函数，余弦函数cos y x =，x R ∈是偶函数。
理解：（1）由诱导公式()sin sin x x -=-，cos()cos x x -=可知以上结论成立；（2）反映在图象上，正弦曲线关于原点O 对称，余弦曲线关于y 轴对称。
5、单调性（1）由正弦曲线可以看出：当x 由2π-增大到2π时，曲线逐渐上升，sin x 由-1增大到1；当x 由2π增大到32π时，曲线逐渐下降，sin x 由1减至-1，由正弦函数的周期性知道：①正弦函数sin y x =在每一个闭区间2,222k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦()k Z ∈上，都从-1增大到1，是增函数； ②在每一个闭区间32,222k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦()k Z ∈上，都从1减小到-1，是减函数。
高中数学人教新课标A版：三角函数的图象与性质 课件
三、“基本思想”很重要
1．(多选·整体代换)关于函数 y＝tan2x－π3，下列说法正确的是
(
)
A．是奇函数
B．在区间0，π3上单调递减 C．π6，0为其图象的一个对称中心 D．最小正周期为π2
) ，对 (k∈Z )
对称中心是
k2π，0(k∈Z
)
性
(k∈Z )
谨记结论·谨防易错 (1)对称与周期 ①正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半 个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14个周期． ②正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期． (2)要注意求函数 y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时 A 和 ω 的符号，尽量化 成 ω>0 的情况，避免出现增减区间的混淆． (3)对于 y＝tan x，不能认为其在定义域上为增函数，而是在每个区间 kπ－π2，kπ＋π2 (k∈Z )内为增函数．
()
A．－π2，π2
B．[0，π]
C．π，32π
D．32π，2π
解析：将 y＝cos x 的图象位于 x 轴下方的部分关于 x 轴对称向上翻折，x
轴上方(或 x 轴上)的部分不变，即得 y＝|cos x|的图象(如图)．故选 D.
答案：D
四、“基本活动经验”不可少 容易知道，正弦函数 y＝sin x 是奇函数，正弦曲线关于原点对称，即原点 是正弦曲线的对称中心．除原点外，正弦曲线还有其他对称中心吗？如果 有，那么对称中心的坐标是什么？另外，正弦曲线是轴对称图形吗？如果 是，那么对称轴的方程是什么？你能用已经学过的正弦函数性质解释上述 现象吗？对余弦函数和正切函数，讨论上述同样的问题． 解：由正弦函数的周期性可知，除原点外，正弦曲线还有其他对称中心， 其对称中心坐标为(kπ，0)，k∈Z.正弦曲线是轴对称图形，其对称轴方程 是 x＝π2＋kπ，k∈Z.由余弦函数和正切函数的周期性可知，余弦曲线的对 称中心坐标为π2＋kπ，0，k∈Z，对称轴方程是 x＝kπ，k∈Z；正切曲线 的对称中心坐标为k2π，0，k∈Z，正切曲线不是轴对称图形．
【优化方案】2014届高考数学(理科-大纲版)一轮复习配套课程：4.5-三角函数性质
【解】 (1)要使原函数有意义，必须有 2sin x－1＞0， 即 sin x＞12. 作出单位圆中的三角函数线，由图知，原函数的定义域为(2kπ ＋π6，2kπ＋56π)(k∈Z)． 又∵0＜2sin x－1≤1. ∴y＝lg(2sin x－1)≤0，即值域为(－∞，0]．
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(2)要使函数有意义 sin x＋1≠0，∴sin x≠－1， ∴x≠2kπ－π2，k∈Z. ∴原函数的定义域为{x|x≠2kπ－π2，k∈Z}．
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例3 已知函数 f(x)＝sinx2cosx2＋cos2x2－2. (1)将函数 f(x)化简成 Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0，φ∈[0,2π)) 的形式，并指出 f(x)的周期； (2)写出 f(x)的单调区间． 【思路分析】 首先化简函数 f(x)为 asin x＋bcos x，再提取
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法二：y＝ 2 sin(2x－π4)的对称轴为 2x－π4＝kπ＋π2， ∴x＝k2π＋38π(k∈Z)． 在 y 轴两侧，与 y 轴最近的两条对称轴为 x＝38π 或 x＝－π8， ∴向右平移π8个单位，对称轴 x＝－π8移到 y 轴位置，成为偶函 数 y＝－ 2cos 2x.
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考点 3 函数的周期性及单调性 求三角函数的周期，一般通过恒等变形为 y＝Asin(ωx＋φ)(或 y ＝Atan(ωx＋φ))借用公式 T＝|2ωπ|(T＝|ωπ|)．但要注意定义域，否 则，通过周期定义 f(x＋T)＝f(x)结合图象来求． 对函数 y＝Asin(ωx＋φ)的单调性，主要思想是将 ωx＋φ 视为一 个角度 X，利用 y＝Asin X 的单调性求解 x 的区间．
kωπ－ωφ，0(k∈Z)．
而 y＝Atan(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的对称中心为(kωπ－ωφ，0)(k∈Z)．
2014届高考人教A版数学(理)一轮复习讲义4.3三角函数的图象与性质
第3讲三角函数的图象与性质【2014年高考会这样考】1．考查三角函数的单调性、奇偶性、周期性和对称性．2．考查三角函数的图象在研究三角函数性质中的应用．对应学生56考点梳理正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z).一点提醒求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时，应注意ω的符号，只有当ω>0时，才能把ωx ＋φ看作一个整体，代入y ＝sin t 的相应单调区间求解，否则将出现错误． 两种方法求三角函数值域(最值)的两种方法(1)将所给函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式，通过分析ωx ＋φ的范围，结合图象写出函数的值域；(2)换元法：把sin x (cos x )看作一个整体，化为二次函数来解决．考点自测1．(2011·新课标全国)设函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋cos(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的最小正周期为π，且f (－x )＝f (x )，则( )． A ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2单调递减B ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4单调递减C ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2单调递增D ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4单调递增解析 先将f (x )化为单一函数形式： f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋φ＋π4，∵f (x )的最小正周期为π，∴ω＝2. ∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋φ＋π4.由f (x )＝f (－x )知f (x )是偶函数， 因此φ＋π4＝k π＋π2(k ∈Z )．又|φ|<π2，∴φ＝π4，∴f (x )＝2cos 2x .由0<2x <π，得0<x <π2时，f (x )单调递减，故选A. 答案 A2．(2012·湖南)函数f (x )＝sin x －cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6的值域为( )．A ．[－2,2]B ．[－3，3]C ．[－1,1] D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，32解析 因为f (x )＝sin x －32cos x ＋12sin x ＝ 3×⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin x －12cos x ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，所以函数f (x )的值域为[－3，3]． 答案 B3．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图象( )．A ．关于直线x ＝π3对称B ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称C ．关于直线x ＝－π6对称D ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0对称解析 由题意知T ＝2πω＝π，则ω＝2，所以f (x )＝ sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π＋π3＝sin π＝0. 答案 B4．(2013·郑州模拟)已知ω是正实数，且函数f (x )＝2sin ωx 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上是增函数，那么( )． A ．0<ω≤32 B ．0<ω≤2 C ．0<ω≤247 D ．ω≥2解析 由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4且ω>0，得ωx ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－ωπ3，ωπ4.又y ＝sin x 是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上的单调增函数，则⎩⎪⎨⎪⎧ωπ4≤π2，－ωπ3≥－π2，解得0<ω≤32.答案 A5．(2012·全国)当函数y ＝sin x －3cos x (0≤x ＜2π)取得最大值时，x ＝________.解析 y ＝sin x －3cos x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x －32cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3的最大值为2，又0≤x ＜2π，故当x －π3＝π2，即x ＝5π6时，y 取得最大值． 答案 5π6对应学生57考向一 与三角函数有关的定义域和值域问题【例1】►(1)函数y ＝sin x －cos x 的定义域为________．(2)函数f (x )＝2cos x (sin x －cos x )＋1在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，3π4上的最大值为________，最小值为________．[审题视点] (1)求使sin x ≥cos x 的x 的集合即可；(2)先化成形如f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的形式，再由x 的范围求解． 解析 (1)sin x －cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4≥0，将x －π4视为一个整体，由正弦函数y ＝sin x 的图象和性质可知2k π≤x －π4≤π＋2k π，k ∈Z ，解得2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4，k ∈Z .所以定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4，k ∈Z. (2)f (x )＝2cos x sin x －2cos 2x ＋1＝sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，3π4，∴2x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π4，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，1，故f (x )max ＝2，f (x )min ＝－1. 答案(1)⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4，k ∈Z (2)2 －1(1)求与三角函数有关的定义域问题实际上是解简单的三角不等式，也可借助三角函数线或三角函数图象来求解．(2)求解三角函数的值域(最值)首先把三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，再求最值(值域)，或用换元法(令t ＝sin x ，或t ＝sin x ±cos x )化为关于t 的二次函数求值域(最值)．【训练1】 (1)函数y ＝1tan x －1的定义域为________；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6时，函数y ＝3－sin x －2cos 2x 的最小值为________，最大值为________． 解析(1)由题意知：tan x ≠1，即⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠π4＋k π，k ∈Z， 又⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠π2＋k π，k ∈Z ， 故函数的定义域为：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠π4＋k π且x ≠π2＋k π，k ∈Z. (2)y ＝3－sin x －2cos 2x ＝3－sin x －2(1－sin 2x )＝2sin 2x －sin x ＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －142＋78.又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6，∴sin x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1， ∴当sin x ＝14时，y min ＝78； 当sin x ＝－12时，y max ＝2. 答案(1)⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠π4＋k π且x ≠π2＋k π，k ∈Z (2)78 2考向二 三角函数的单调性【例2】►(2012·北京)已知函数f (x )＝(sin x －cos x )sin 2xsin x .(1)求f (x )的定义域及最小正周期； (2)求f (x )的单调递增区间．[审题视点] 求原函数的定义域，只要使得原函数式有意义即可；先化简原函数为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的形式，再求周期及单调区间． 解 (1)由sin x ≠0，得x ≠k π(k ∈Z )， 故f (x )的定义域为{x ∈R |x ≠k π，k ∈Z }， 因为f (x )＝(sin x －cos x )sin 2xsin x＝2cos x (sin x －cos x )＝sin 2x －cos 2x －1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4－1，所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)函数y ＝sin x 的单调递增区间为 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )． 由2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2，x ≠k π(k ∈Z )， 得k π－π8≤x ≤k π＋3π8，x ≠k π(k ∈Z )． 所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎭⎪⎫k π－π8，k π和⎝ ⎛⎦⎥⎤k π，k π＋3π8(k ∈Z )．求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成y ＝A sin(ωx ＋φ)形式，再求y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间，只需把ωx ＋φ看作一个整体代入y ＝sin x 的相应单调区间内即可，注意要先把ω化为正数． 【训练2】 求下列函数的单调递增区间： (1)y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6；(2)y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x 2.解 (1)将2x ＋π6看做一个整体，根据y ＝cos x 的单调递增区间列不等式求解．函数y ＝cos x 的单调递增区间为[2k π－π，2k π]，k ∈Z .由2k π－π≤2x ＋π6≤2k π，k ∈Z ，得k π－7π12≤x ≤k π－π12，k ∈Z .故y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的单调递增区间为k π－7π12，k π－π12(k ∈Z )．(2)y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x 2＝－3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3，∴由π2＋2k π≤x 2－π3≤2k π＋3π2，k ∈Z ， 得4k π＋5π3≤x ≤4k π＋11π3，k ∈Z . 故y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x 2的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤4k π＋5π3，4k π＋11π3(k ∈Z )． 考向三 三角函数的奇偶性、周期性及对称性【例3】►(1)若0＜α＜π2，g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋α是偶函数，则α的值为________．(2)函数y ＝2sin(3x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫||φ＜π2的一条对称轴为x ＝π12，则φ＝________.[审题视点] (1)只需令π4＋α＝π2＋k π(k ∈Z )； (2)应满足3×π12＋φ＝k π＋π2，k ∈Z .解析 (1)要使g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋α为偶函数，则需π4＋α＝k π＋π2，k ∈Z ，α＝k π＋π4，k ∈Z ，∵0<α<π2，∴α＝π4.(2)由y ＝sin x 的对称轴为x ＝k π＋π2(k ∈Z )， 即3×π12＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，得φ＝k π＋π4(k ∈Z )， 又|φ|＜π2，∴k ＝0，故φ＝π4. 答案 (1)π4 (2)π4函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(ω≠0)，(1)函数f (x )为奇函数的充要条件为φ＝k π(k ∈Z )；为偶函数的充要条件为φ＝k π＋π2(k ∈Z )．(2)求f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(ω≠0)的对称轴，只需令ωx ＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )，求x ；如要求f (x )的对称中心的横坐标，只需令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )即可．【训练3】 (2013·银川联考)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3π2 (x ∈R )，下面结论错误的是( )． A ．函数f (x )的最小正周期为π B ．函数f (x )是偶函数C ．函数f (x )的图象关于直线x ＝π4对称 D ．函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是增函数解析 f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3π2＝－cos 2x ，故其最小正周期为π，故A 正确；易知函数f (x )是偶函数，B 正确；由函数f (x )＝－cos 2x 的图象可知，函数f (x )的图象不关于直线x ＝π4对称，C 错误；由函数f (x )的图象易知，函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是增函数，D 正确，故选C.答案 C对应学生58规范解答6——如何解决三角函数的值域(或最值)问题【命题研究】 通过近三年的高考试题分析，对三角函数的值域(或最值)的考查特别青睐，主要考查y ＝A sin(ωx ＋φ)形式的三角函数在R 上或给定的闭区间[a ，b ]上的值域(或最值)，往往作为某一种答题的其中一问，题目难度不大． 【真题探究】► (本小题满分12分)(2012·湖北)已知向量a ＝(cos ωx －sin ωx ，sin ωx )，b ＝(－cos ωx －sin ωx,23cos ωx )，设函数f (x )＝a ·b ＋λ(x ∈R )的图象关于直线x ＝π对称，其中ω、λ为常数，且ω∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若y ＝f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0，求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3π5上的取值范围．[教你审题] 一审 准确化成形如f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋h 的形式； 二审 充分利用对称轴x ＝π； 三审 确定λ的值．[规范解答] (1)f (x )＝sin 2ωx －cos 2ωx ＋23sin ωx ·cos ωx ＋λ＝－cos 2ωx ＋3sin 2ωx ＋λ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π6＋λ.(3分)由直线x ＝π是y ＝f (x )图象的一条对称轴， 可得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π6＝±1，所以2ωπ－π6＝k π＋π2(k ∈Z )，即ω＝k 2＋13(k ∈Z )， 又ω∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，k ∈Z ，所以k ＝1，故ω＝56.(5分)所以f (x )的最小正周期是6π5.(6分)(2)由y ＝f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝0，即λ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫56×π2－π6＝－2sin π4＝－2，故f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫53x －π6－ 2.(9分)由0≤x ≤3π5，有－π6≤53x －π6≤5π6， 所以－12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫53x －π6≤1，得－1－2≤2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫53x －π6－2≤2－2，(11分)故函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3π5上的取值范围为[－1－2，2－2]．(12分)[阅卷老师手记] (1)将所给函数变换到f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋h 的形式时由于变换公式和变换方法不熟造成失分．(2)有的考生混淆了对称轴与对称中心，导致失分．第一步：三角函数式的化简，一般化成形如y ＝A sin(ωx ＋φ)＋h 的形式或y ＝A cos(ωx ＋φ)＋k 的形式．第二步：根据题设条件求出y ＝A sin(ωx ＋φ)＋h 中有关的参数．第三步：由x 的取值范围确定ωx ＋φ的取值范围，再确定sin(ωx ＋φ)的取值范围．第四步：求出所求函数的值域(或最值)．【试一试】 (2011·北京)已知函数f (x )＝4cos x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6－1.(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π4上的最大值和最小值．解 (1)因为f (x )＝4cos x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6－1＝4cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin x ＋12cos x －1＝3sin 2x ＋2cos 2x －1＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，所以f (x )的最小正周期为π.(2)因为－π6≤x ≤π4，所以－π6≤2x ＋π6≤2π3.于是，当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时，f (x )取得最大值2； 当2x ＋π6＝－π6，即x ＝－π6时，f (x )取得最小值－1.对应学生255A 级 基础演练(时间：30分钟 满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．(2011·山东)若函数f (x )＝sin ωx (ω＞0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上单调递减，则ω＝( )．A.23B.32C ．2D ．3解析 由题意知f (x )的一条对称轴为x ＝π3，和它相邻的一个对称中心为原点，则f (x )的周期T ＝4π3，从而ω＝32. 答案 B2．已知函数f (x )＝sin(x ＋θ)＋3cos(x ＋θ)⎝ ⎛⎭⎪⎫θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2是偶函数，则θ的值为( )．A ．0B.π6C.π4D.π3解析 据已知可得f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋θ＋π3，若函数为偶函数，则必有θ＋π3＝k π＋π2(k ∈Z )，又由于θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，故有θ＋π3＝π2，解得θ＝π6，经代入检验符合题意． 答案 B3．函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x －π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为( )．A ．2－ 3B ．0C ．－1D ．－1－ 3解析 ∵0≤x ≤9，∴－π3≤π6x －π3≤7π6，∴－32≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x －π3≤1，∴－3≤2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x －π3≤2.∴函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为2－ 3. 答案 A4．(2011·安徽)已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)，其中φ为实数．若f (x )≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6对x ∈R恒成立，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＞f (π)，则f (x )的单调递增区间是( )．A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z ) B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π，k π＋π2(k ∈Z ) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z ) D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π2，k π(k ∈Z ) 解析 由f (x )＝sin(2x ＋φ)，且f (x )≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6对x ∈R 恒成立，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝±1，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋φ＝±1. ∴π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )．∴φ＝k π＋π6(k ∈Z )． 又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2>f (π)，即sin(π＋φ)>sin(2π＋φ)，∴－sin φ>sin φ.∴sin φ<0.∴对于φ＝k π＋π6(k ∈Z )，k 为奇数．∴f (x )＝sin(2x ＋φ)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋k π＋π6＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.∴由2m π＋π2≤2x ＋π6≤2m π＋3π2(m ∈Z )， 得m π＋π6≤x ≤m π＋2π3(m ∈Z )，∴f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤m π＋π6，m π＋2π3(m ∈Z )． 答案 C二、填空题(每小题5分，共10分)5．定义在R 上的函数f (x )既是偶函数又是周期函数，若f (x )的最小正周期是π，且当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )＝sin x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3的值为________． 解析 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝sin π3＝32.答案 326．若f (x )＝2sin ωx (0<ω<1)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上的最大值是2，则ω＝________.解析 由0≤x ≤π3，得0≤ωx ≤ωπ3<π3，则f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递增，且在这个区间上的最大值是2，所以2sin ωπ3＝2，且0<ωπ3<π3， 所以ωπ3＝π4，解得ω＝34. 答案 34三、解答题(共25分) 7．(12分)设f (x )＝1－2sin x . (1)求f (x )的定义域；(2)求f (x )的值域及取最大值时x 的值．解 (1)由1－2sin x ≥0，根据正弦函数图象知： 定义域为{x |2k π＋56π≤x ≤2k π＋13π6，k ∈Z }． (2)∵－1≤sin x ≤1，∴－1≤1－2sin x ≤3， ∵1－2sin x ≥0，∴0≤1－2sin x ≤3， ∴f (x )的值域为[0，3]，当x ＝2k π＋3π2，k ∈Z 时，f (x )取得最大值．8．(13分)(2013·东营模拟)已知函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4. (1)求函数f (x )的最小正周期和图象的对称轴； (2)求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π2上的值域．解 (1)f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4 ＝12cos 2x ＋32sin 2x ＋(sin x －cos x )(sin x ＋cos x ) ＝12cos 2x ＋32sin 2x ＋sin 2x －cos 2x ＝12cos 2x ＋32sin 2x －cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6.∴最小正周期T ＝2π2＝π，由2x －π6＝k π＋π2(k ∈Z )， 得x ＝k π2＋π3(k ∈Z )．∴函数图象的对称轴为x ＝k π2＋π3(k ∈Z )． (2)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π2，∴2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，5π6，∴－32≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6≤1.即函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π2上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1.B 级 能力突破(时间：30分钟 满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．(2012·新课标全国)已知ω>0，函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π单调递减，则ω的取值范围是( )．A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，54 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，34 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 D ．(0,2]解析 取ω＝54，f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫54x ＋π4，其减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤85k π＋π5，85k π＋π，k ∈Z ，显然⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π⊆85k π＋π5，85k π＋π，k ∈Z ，排除B ，C.取ω＝2，f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，其减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋58π，k ∈Z ，显然⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π ⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋58π，k ∈Z ，排除D. 答案 A2．已知ω>0,0<φ<π，直线x ＝π4和x ＝5π4是函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)图象的两条相邻的对称轴，则φ＝( )．A.π4B.π3C.π2 D.3π4解析 由题意可知函数f (x )的周期T ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4－π4＝2π，故ω＝1，∴f (x )＝sin(x＋φ)，令x ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，将x ＝π4代入可得φ＝k π＋π4(k ∈Z )，∵0<φ<π，∴φ＝π4. 答案 A二、填空题(每小题5分，共10分)3．(2013·徐州模拟)已知函数f (x )＝12(sin x ＋cos x )－12|sin x －cos x |，则f (x )的值域是________．解析 f (x )＝12(sin x ＋cos x )－12|sin x －cos x |＝⎩⎪⎨⎪⎧cos x (sin x ≥cos x )，sin x (sin x <cos x ).画出函数f (x )的图象，可得函数的最小值为－1，最大值为22，故值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，22.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，224．(2012·西安模拟)下列命题中：①α＝2k π＋π3(k ∈Z )是tan α＝3的充分不必要条件； ②函数f (x )＝|2cos x －1|的最小正周期是π；③在△ABC 中，若cos A cos B >sin A sin B ，则△ABC 为钝角三角形； ④若a ＋b ＝0，则函数y ＝a sin x －b cos x 的图象的一条对称轴方程为x ＝π4. 其中是真命题的序号为________． 解析 ①∵α＝2k π＋π3(k ∈Z )⇒tan α＝3， 而tan α＝3⇒/ α＝2k π＋π3(k ∈Z )，∴①正确． ②∵f (x ＋π)＝|2cos(x ＋π)－1|＝|－2cos x －1|＝|2cos x ＋1|≠f (x )，∴②错误． ③∵cos A cos B >sin A sin B ，∴cos A cos B －sin A sin B >0， 即cos(A ＋B )>0，∵0<A ＋B <π，∴0<A ＋B <π2， ∴C 为钝角，∴③正确．④∵a ＋b ＝0，∴b ＝－a ，y ＝a sin x －b cos x ＝a sin x ＋a cos x ＝2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，∴x ＝π4是它的一条对称轴，∴④正确． 答案 ①③④ 三、解答题(共25分)5．(12分)已知函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ，g (x )＝12sin 2x －14.(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求函数h (x )＝f (x )－g (x )的最大值，并求使h (x )取得最大值的x 的集合． 解 (1)∵f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos x －32sin x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos x ＋32sin x ＝14cos 2x －34sin 2x ＝1＋cos 2x 8－3－3cos 2x 8＝12cos 2x －14，∴f (x )的最小正周期为2π2＝π. (2)由(1)知h (x )＝f (x )－g (x )＝12cos 2x －12sin 2x ＝22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，当2x ＋π4＝2k π(k ∈Z )，即x ＝k π－π8(k ∈Z )时，h (x )取得最大值22.故h (x )取得最大值时，对应的x 的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝k π－π8，k ∈Z. 6．(13分)已知a ＞0，函数f (x )＝－2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋2a ＋b ，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，－5≤f (x )≤1.(1)求常数a ，b 的值；(2)设g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2且lg g (x )＞0，求g (x )的单调区间．解 (1)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6.∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，又∵a >0，∴－2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈[－2a ，a ]．∴f (x )∈[b,3a ＋b ]，又∵－5≤f (x )≤1，∴b ＝－5,3a ＋b ＝1， 因此a ＝2，b ＝－5.(2)由(1)得a ＝2，b ＝－5，∴f (x )＝－4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1，g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝－4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋7π6－1 ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1，又由lg g (x )＞0，得g (x )＞1，∴4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1＞1，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＞12，∴2k π＋π6＜2x ＋π6＜2k π＋5π6，k ∈Z ，其中当2k π＋π6＜2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z 时，g (x )单调递增，即k π＜x ≤k π＋π6，k ∈Z ，∴g (x )的单调增区间为⎝ ⎛⎦⎥⎤k π，k π＋π6，k ∈Z . 又∵当2k π＋π2＜2x ＋π6＜2k π＋5π6，k ∈Z 时，g (x )单调递减，即k π＋π6＜x ＜k π＋π3，k ∈Z . ∴g (x )的单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋π3，k ∈Z . 综上，g (x )的递增区间为⎝ ⎛⎦⎥⎤k π，k π＋π6(k ∈Z )；递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋π3(k ∈Z )．。
2014届高考人教A版数学(理)一轮复习讲义：4.3 三角函数的图象与性质
第3讲 三角函数的图象与性质【2014年高考会这样考】1．考查三角函数的单调性、奇偶性、周期性和对称性． 2．考查三角函数的图象在研究三角函数性质中的应用．对应学生56考点梳理正弦、余弦、正切函数的图象与性质 (下表中k ∈Z ). 函数 y ＝sin xy ＝cos xy ＝tan x图象定义域RR{x | x ∈R ，且x ≠⎭⎬⎫k π＋π2，k ∈Z值域 [－1,1] [－1,1] R 周期性 2π 2π π 奇偶性奇函数偶函数奇函数 单调性2k π－π2，2k π＋π2为增；2k π＋π2，2k π＋3π2为减[2k π，2k π＋π]为减；[2k π－π，2k π]为增 k π－π2，k π＋π2为增对称中心 (k π，0) ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π2，0 ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2，0 对称轴 x ＝k π＋π2x ＝k π无一点提醒求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时，应注意ω的符号，只有当ω>0时，才能把ωx ＋φ看作一个整体，代入y ＝sin t 的相应单调区间求解，否则将出现错误． 两种方法求三角函数值域(最值)的两种方法(1)将所给函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式，通过分析ωx ＋φ的范围，结合图象写出函数的值域；(2)换元法：把sin x (cos x )看作一个整体，化为二次函数来解决．考点自测1．(2011·新课标全国)设函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋cos(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的最小正周期为π，且f (－x )＝f (x )，则( )． A ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2单调递减B ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4单调递减C ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2单调递增D ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4单调递增解析 先将f (x )化为单一函数形式： f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋φ＋π4，∵f (x )的最小正周期为π，∴ω＝2. ∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋φ＋π4.由f (x )＝f (－x )知f (x )是偶函数， 因此φ＋π4＝k π＋π2(k ∈Z )．又|φ|<π2，∴φ＝π4，∴f (x )＝2cos 2x .由0<2x <π，得0<x <π2时，f (x )单调递减，故选A. 答案 A2．(2012·湖南)函数f (x )＝sin x －cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6的值域为( )．A ．[－2,2]B ．[－3，3]C ．[－1,1] D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，32解析 因为f (x )＝sin x －32cos x ＋12sin x ＝ 3×⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin x －12cos x ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，所以函数f (x )的值域为[－3，3]． 答案 B3．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图象( )． A ．关于直线x ＝π3对称 B ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称C ．关于直线x ＝－π6对称D ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0对称解析 由题意知T ＝2πω＝π，则ω＝2，所以f (x )＝ sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π＋π3＝sin π＝0. 答案 B4．(2013·郑州模拟)已知ω是正实数，且函数f (x )＝2sin ωx 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上是增函数，那么( )． A ．0<ω≤32 B ．0<ω≤2 C ．0<ω≤247 D ．ω≥2解析 由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4且ω>0，得ωx ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－ωπ3，ωπ4.又y ＝sin x 是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上的单调增函数，则⎩⎪⎨⎪⎧ωπ4≤π2，－ωπ3≥－π2，解得0<ω≤32.答案 A5．(2012·全国)当函数y ＝sin x －3cos x (0≤x ＜2π)取得最大值时，x ＝________.解析 y ＝sin x －3cos x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x －32cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3的最大值为2，又0≤x ＜2π，故当x －π3＝π2，即x ＝5π6时，y 取得最大值． 答案 5π6对应学生57考向一 与三角函数有关的定义域和值域问题【例1】►(1)函数y ＝sin x －cos x 的定义域为________．(2)函数f (x )＝2cos x (sin x －cos x )＋1在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，3π4上的最大值为________，最小值为________．[审题视点] (1)求使sin x ≥cos x 的x 的集合即可；(2)先化成形如f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的形式，再由x 的范围求解． 解析 (1)sin x －cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4≥0，将x －π4视为一个整体，由正弦函数y ＝sin x 的图象和性质可知2k π≤x －π4≤π＋2k π，k ∈Z ，解得2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4，k ∈Z .所以定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4，k ∈Z. (2)f (x )＝2cos x sin x －2cos 2x ＋1＝sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，3π4，∴2x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π4，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，1，故f (x )max ＝2，f (x )min ＝－1. 答案(1)⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4，k ∈Z (2)2 －1(1)求与三角函数有关的定义域问题实际上是解简单的三角不等式，也可借助三角函数线或三角函数图象来求解．(2)求解三角函数的值域(最值)首先把三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，再求最值(值域)，或用换元法(令t ＝sin x ，或t ＝sin x ±cos x )化为关于t 的二次函数求值域(最值)．【训练1】 (1)函数y ＝1tan x －1的定义域为________；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6时，函数y ＝3－sin x －2cos 2x 的最小值为________，最大值为________． 解析(1)由题意知：tan x ≠1，即⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠π4＋k π，k ∈Z， 又⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠π2＋k π，k ∈Z ， 故函数的定义域为：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠π4＋k π且x ≠π2＋k π，k ∈Z . (2)y ＝3－sin x －2cos 2x ＝3－sin x －2(1－sin 2x )＝2sin 2x －sin x ＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －142＋78.又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6，∴sin x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，∴当sin x ＝14时，y min ＝78； 当sin x ＝－12时，y max ＝2. 答案(1)⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠π4＋k π且x ≠π2＋k π，k ∈Z (2)78 2考向二 三角函数的单调性【例2】►(2012·北京)已知函数f (x )＝(sin x －cos x )sin 2xsin x .(1)求f (x )的定义域及最小正周期； (2)求f (x )的单调递增区间．[审题视点] 求原函数的定义域，只要使得原函数式有意义即可；先化简原函数为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的形式，再求周期及单调区间． 解 (1)由sin x ≠0，得x ≠k π(k ∈Z )， 故f (x )的定义域为{x ∈R |x ≠k π，k ∈Z }， 因为f (x )＝(sin x －cos x )sin 2xsin x＝2cos x (sin x －cos x )＝sin 2x －cos 2x －1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4－1，所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)函数y ＝sin x 的单调递增区间为 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )． 由2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2，x ≠k π(k ∈Z )， 得k π－π8≤x ≤k π＋3π8，x ≠k π(k ∈Z )． 所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎭⎪⎫k π－π8，k π和⎝ ⎛⎦⎥⎤k π，k π＋3π8(k ∈Z )． 求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成y ＝A sin(ωx ＋φ)形式，再求y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间，只需把ωx ＋φ看作一个整体代入y ＝sin x 的相应单调区间内即可，注意要先把ω化为正数． 【训练2】 求下列函数的单调递增区间： (1)y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6；(2)y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x 2. 解 (1)将2x ＋π6看做一个整体，根据y ＝cos x 的单调递增区间列不等式求解．函数y ＝cos x 的单调递增区间为[2k π－π，2k π]，k ∈Z .由2k π－π≤2x ＋π6≤2k π，k ∈Z ，得k π－7π12≤x ≤k π－π12，k ∈Z .故y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的单调递增区间为k π－7π12，k π－π12(k ∈Z )．(2)y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x 2＝－3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3，∴由π2＋2k π≤x 2－π3≤2k π＋3π2，k ∈Z ， 得4k π＋5π3≤x ≤4k π＋11π3，k ∈Z . 故y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x 2的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤4k π＋5π3，4k π＋11π3(k ∈Z )． 考向三 三角函数的奇偶性、周期性及对称性【例3】►(1)若0＜α＜π2，g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋α是偶函数，则α的值为________．(2)函数y ＝2sin(3x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫||φ＜π2的一条对称轴为x ＝π12，则φ＝________.[审题视点] (1)只需令π4＋α＝π2＋k π(k ∈Z )； (2)应满足3×π12＋φ＝k π＋π2，k ∈Z .解析 (1)要使g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋α为偶函数，则需π4＋α＝k π＋π2，k ∈Z ，α＝k π＋π4，k ∈Z ，∵0<α<π2，∴α＝π4.(2)由y ＝sin x 的对称轴为x ＝k π＋π2(k ∈Z )， 即3×π12＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，得φ＝k π＋π4(k ∈Z )， 又|φ|＜π2，∴k ＝0，故φ＝π4. 答案 (1)π4 (2)π4函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(ω≠0)，(1)函数f (x )为奇函数的充要条件为φ＝k π(k ∈Z )；为偶函数的充要条件为φ＝k π＋π2(k ∈Z )．(2)求f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(ω≠0)的对称轴，只需令ωx ＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )，求x ；如要求f (x )的对称中心的横坐标，只需令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )即可．【训练3】 (2013·银川联考)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3π2(x ∈R )，下面结论错误的是( )． A ．函数f (x )的最小正周期为π B ．函数f (x )是偶函数C ．函数f (x )的图象关于直线x ＝π4对称 D ．函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是增函数解析 f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3π2＝－cos 2x ，故其最小正周期为π，故A 正确；易知函数f (x )是偶函数，B 正确；由函数f (x )＝－cos 2x 的图象可知，函数f (x )的图象不关于直线x ＝π4对称，C 错误；由函数f (x )的图象易知，函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是增函数，D 正确，故选C.答案 C对应学生58规范解答6——如何解决三角函数的值域(或最值)问题【命题研究】 通过近三年的高考试题分析，对三角函数的值域(或最值)的考查特别青睐，主要考查y ＝A sin(ωx ＋φ)形式的三角函数在R 上或给定的闭区间[a ，b ]上的值域(或最值)，往往作为某一种答题的其中一问，题目难度不大． 【真题探究】► (本小题满分12分)(2012·湖北)已知向量a ＝(cos ωx －sin ωx ，sin ωx )，b ＝(－cos ωx －sin ωx,23cos ωx )，设函数f (x )＝a ·b ＋λ(x ∈R )的图象关于直线x ＝π对称，其中ω、λ为常数，且ω∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若y ＝f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0，求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3π5上的取值范围．[教你审题] 一审 准确化成形如f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋h 的形式； 二审 充分利用对称轴x ＝π； 三审 确定λ的值．[规范解答] (1)f (x )＝sin 2ωx －cos 2ωx ＋23sin ωx ·cos ωx ＋λ＝－cos 2ωx ＋3sin 2ωx ＋λ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π6＋λ.(3分) 由直线x ＝π是y ＝f (x )图象的一条对称轴， 可得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π6＝±1，所以2ωπ－π6＝k π＋π2(k ∈Z )，即ω＝k 2＋13(k ∈Z )， 又ω∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，k ∈Z ，所以k ＝1，故ω＝56.(5分)所以f (x )的最小正周期是6π5.(6分)(2)由y ＝f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝0，即λ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫56×π2－π6＝－2sin π4＝－2，故f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫53x －π6－ 2.(9分)由0≤x ≤3π5，有－π6≤53x －π6≤5π6， 所以－12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫53x －π6≤1，得－1－2≤2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫53x －π6－2≤2－2，(11分)故函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3π5上的取值范围为[－1－2，2－2]．(12分) [阅卷老师手记] (1)将所给函数变换到f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋h 的形式时由于变换公式和变换方法不熟造成失分．(2)有的考生混淆了对称轴与对称中心，导致失分．第一步：三角函数式的化简，一般化成形如y ＝A sin(ωx ＋φ)＋h 的形式或y ＝A cos(ωx ＋φ)＋k 的形式．第二步：根据题设条件求出y ＝A sin(ωx ＋φ)＋h 中有关的参数．第三步：由x 的取值范围确定ωx ＋φ的取值范围，再确定sin(ωx ＋φ)的取值范围．第四步：求出所求函数的值域(或最值)．【试一试】 (2011·北京)已知函数f (x )＝4cos x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6－1.(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π4上的最大值和最小值．解 (1)因为f (x )＝4cos x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6－1＝4cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin x ＋12cos x －1＝3sin 2x ＋2cos 2x －1＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，所以f (x )的最小正周期为π.(2)因为－π6≤x ≤π4，所以－π6≤2x ＋π6≤2π3.于是，当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时，f (x )取得最大值2； 当2x ＋π6＝－π6，即x ＝－π6时，f (x )取得最小值－1.对应学生255A 级 基础演练(时间：30分钟 满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．(2011·山东)若函数f (x )＝sin ωx (ω＞0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上单调递减，则ω＝( )．A.23B.32C ．2D ．3解析 由题意知f (x )的一条对称轴为x ＝π3，和它相邻的一个对称中心为原点，则f (x )的周期T ＝4π3，从而ω＝32. 答案 B2．已知函数f (x )＝sin(x ＋θ)＋3cos(x ＋θ)⎝ ⎛⎭⎪⎫θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2是偶函数，则θ的值为( )．A ．0B.π6C.π4D.π3解析 据已知可得f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋θ＋π3，若函数为偶函数，则必有θ＋π3＝k π＋π2(k ∈Z )，又由于θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，故有θ＋π3＝π2，解得θ＝π6，经代入检验符合题意． 答案 B3．函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x －π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为( )．A ．2－ 3B ．0C ．－1D ．－1－ 3解析 ∵0≤x ≤9，∴－π3≤π6x －π3≤7π6，∴－32≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x －π3≤1，∴－3≤2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x －π3≤2.∴函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为2－ 3. 答案 A4．(2011·安徽)已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)，其中φ为实数．若f (x )≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6对x ∈R恒成立，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＞f (π)，则f (x )的单调递增区间是( )．A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z ) B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π，k π＋π2(k ∈Z ) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z ) D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π2，k π(k ∈Z ) 解析 由f (x )＝sin(2x ＋φ)，且f (x )≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6对x ∈R 恒成立，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝±1，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋φ＝±1. ∴π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )．∴φ＝k π＋π6(k ∈Z )． 又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2>f (π)，即sin(π＋φ)>sin(2π＋φ)，∴－sin φ>sin φ.∴sin φ<0.∴对于φ＝k π＋π6(k ∈Z )，k 为奇数．∴f (x )＝sin(2x ＋φ)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋k π＋π6＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.∴由2m π＋π2≤2x ＋π6≤2m π＋3π2(m ∈Z )， 得m π＋π6≤x ≤m π＋2π3(m ∈Z )，∴f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤m π＋π6，m π＋2π3(m ∈Z )．答案 C二、填空题(每小题5分，共10分)5．定义在R 上的函数f (x )既是偶函数又是周期函数，若f (x )的最小正周期是π，且当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )＝sin x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3的值为________．解析 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝sin π3＝32.答案 326．若f (x )＝2sin ωx (0<ω<1)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上的最大值是2，则ω＝________.解析 由0≤x ≤π3，得0≤ωx ≤ωπ3<π3，则f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递增，且在这个区间上的最大值是2，所以2sin ωπ3＝2，且0<ωπ3<π3， 所以ωπ3＝π4，解得ω＝34. 答案 34三、解答题(共25分) 7．(12分)设f (x )＝1－2sin x . (1)求f (x )的定义域；(2)求f (x )的值域及取最大值时x 的值．解 (1)由1－2sin x ≥0，根据正弦函数图象知： 定义域为{x |2k π＋56π≤x ≤2k π＋13π6，k ∈Z }． (2)∵－1≤sin x ≤1，∴－1≤1－2sin x ≤3， ∵1－2sin x ≥0，∴0≤1－2sin x ≤3， ∴f (x )的值域为[0，3]，当x ＝2k π＋3π2，k ∈Z 时，f (x )取得最大值．8．(13分)(2013·东营模拟)已知函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4. (1)求函数f (x )的最小正周期和图象的对称轴； (2)求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π2上的值域．解 (1)f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝12cos 2x ＋32sin 2x ＋(sin x －cos x )(sin x ＋cos x ) ＝12cos 2x ＋32sin 2x ＋sin 2x －cos 2x ＝12cos 2x ＋32sin 2x －cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6.∴最小正周期T ＝2π2＝π，由2x －π6＝k π＋π2(k ∈Z )， 得x ＝k π2＋π3(k ∈Z )．∴函数图象的对称轴为x ＝k π2＋π3(k ∈Z )． (2)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π2，∴2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，5π6，∴－32≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6≤1.即函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π2上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1.B 级 能力突破(时间：30分钟 满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．(2012·新课标全国)已知ω>0，函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π单调递减，则ω的取值范围是( )．A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，54 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，34 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 D ．(0,2]解析 取ω＝54，f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫54x ＋π4，其减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤85k π＋π5，85k π＋π，k ∈Z ，显然⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π⊆85k π＋π5，85k π＋π，k ∈Z ，排除B ，C.取ω＝2，f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，其减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋58π，k ∈Z ，显然⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π⃘⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋58π，k ∈Z ，排除D.答案 A2．已知ω>0,0<φ<π，直线x ＝π4和x ＝5π4是函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)图象的两条相邻的对称轴，则φ＝( )．A.π4B.π3C.π2 D.3π4解析 由题意可知函数f (x )的周期T ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4－π4＝2π，故ω＝1，∴f (x )＝sin(x＋φ)，令x ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，将x ＝π4代入可得φ＝k π＋π4(k ∈Z )，∵0<φ<π，∴φ＝π4. 答案 A二、填空题(每小题5分，共10分)3．(2013·徐州模拟)已知函数f (x )＝12(sin x ＋cos x )－12|sin x －cos x |，则f (x )的值域是________．解析 f (x )＝12(sin x ＋cos x )－12|sin x －cos x |＝⎩⎪⎨⎪⎧cos x (sin x ≥cos x )，sin x (sin x <cos x ).画出函数f (x )的图象，可得函数的最小值为－1，最大值为22，故值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，22.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，224．(2012·西安模拟)下列命题中：①α＝2k π＋π3(k ∈Z )是tan α＝3的充分不必要条件； ②函数f (x )＝|2cos x －1|的最小正周期是π；③在△ABC 中，若cos A cos B >sin A sin B ，则△ABC 为钝角三角形； ④若a ＋b ＝0，则函数y ＝a sin x －b cos x 的图象的一条对称轴方程为x ＝π4. 其中是真命题的序号为________． 解析 ①∵α＝2k π＋π3(k ∈Z )⇒tan α＝3， 而tan α＝3⇒/ α＝2k π＋π3(k ∈Z )，∴①正确． ②∵f (x ＋π)＝|2cos(x ＋π)－1|＝|－2cos x －1|＝|2cos x ＋1|≠f (x )，∴②错误． ③∵cos A cos B >sin A sin B ，∴cos A cos B －sin A sin B >0， 即cos(A ＋B )>0，∵0<A ＋B <π，∴0<A ＋B <π2， ∴C 为钝角，∴③正确．④∵a ＋b ＝0，∴b ＝－a ，y ＝a sin x －b cos x ＝a sin x ＋a cos x ＝2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，∴x ＝π4是它的一条对称轴，∴④正确． 答案 ①③④ 三、解答题(共25分)5．(12分)已知函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ，g (x )＝12sin 2x －14.(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求函数h (x )＝f (x )－g (x )的最大值，并求使h (x )取得最大值的x 的集合． 解 (1)∵f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos x －32sin x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos x ＋32sin x ＝14cos 2x －34sin 2x ＝1＋cos 2x 8－3－3cos 2x 8＝12cos 2x －14，∴f (x )的最小正周期为2π2＝π. (2)由(1)知h (x )＝f (x )－g (x )＝12cos 2x －12sin 2x ＝22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，当2x ＋π4＝2k π(k ∈Z )，即x ＝k π－π8(k ∈Z )时，h (x )取得最大值22.故h (x )取得最大值时，对应的x 的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝k π－π8，k ∈Z. 6．(13分)已知a ＞0，函数f (x )＝－2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋2a ＋b ，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，－5≤f (x )≤1.(1)求常数a ，b 的值；(2)设g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2且lg g (x )＞0，求g (x )的单调区间．解 (1)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6. ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，又∵a >0，∴－2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈[－2a ，a ]．∴f (x )∈[b,3a ＋b ]，又∵－5≤f (x )≤1，∴b ＝－5,3a ＋b ＝1， 因此a ＝2，b ＝－5.(2)由(1)得a ＝2，b ＝－5，∴f (x )＝－4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1，g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝－4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋7π6－1＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1，又由lg g (x )＞0，得g (x )＞1，∴4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1＞1，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＞12，∴2k π＋π6＜2x ＋π6＜2k π＋5π6，k ∈Z ，其中当2k π＋π6＜2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z 时，g (x )单调递增，即k π＜x ≤k π＋π6，k ∈Z ，∴g (x )的单调增区间为⎝ ⎛⎦⎥⎤k π，k π＋π6，k ∈Z .又∵当2k π＋π2＜2x ＋π6＜2k π＋5π6，k ∈Z 时，g (x )单调递减，即k π＋π6＜x ＜k π＋π3，k ∈Z . ∴g (x )的单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋π3，k ∈Z . 综上，g (x )的递增区间为⎝ ⎛⎦⎥⎤k π，k π＋π6(k ∈Z )；递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋π3(k ∈Z )．。
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第二十三讲三角函数的图象与性质一．课标要求： (2)二．命题走向 (2)三．要点精讲 (2)四．典例解析 (5)题型1：三角函数的图象 (5)题型2：三角函数图象的变换 (5)题型3：三角函数图象的应用 (6)题型4：三角函数的定义域、值域 (8)题型5：三角函数的单调性 (9)题型6：三角函数的奇偶性 (11)题型7：三角函数的周期性 (11)题型8：三角函数的最值 (12)五．思维总结 (13)第二十三讲三角函数的图象与性质一．课标要求：1．能画出y=sin x, y=c os x, y=t a n x的图像，了解三角函数的周期性；2．借助图像理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]，正切函数在（－π/2，π/2）上的性质（如单调性、最大和最小值、图像与x轴交点等）；3．结合具体实例，了解y=A sin（w x+φ）的实际意义；能借助计算器或计算机画出y=A sin （w x+φ）的图像，观察参数A，w，φ对函数图像变化的影响。
二．命题走向近几年高考降低了对三角变换的考查要求，而加强了对三角函数的图象与性质的考查，因为函数的性质是研究函数的一个重要内容，是学习高等数学和应用技术学科的基础，又是解决生产实际问题的工具，因此三角函数的性质是本章复习的重点。
在复习时要充分运用数形结合的思想，把图象与性质结合起来，即利用图象的直观性得出函数的性质，或由单位圆上线段表示的三角函数值来获得函数的性质，同时也要能利用函数的性质来描绘函数的图象，这样既有利于掌握函数的图象与性质，又能熟练地运用数形结合的思想方法。
预测今年高考对本讲内容的考察为：1．题型为1道选择题（求值或图象变换），1道解答题（求值或图像变换）；2．热点问题是三角函数的图象和性质，特别是y=A sin（w x+φ）的图象及其变换；三．要点精讲1．正弦函数、余弦函数、正切函数的图像2．三角函数的单调区间：x y sin =的递增区间是⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-2222ππππk k ，)(Z k ∈，递减区间是⎥⎦⎤⎢⎣⎡++23222ππππk k ，)(Z k ∈； x y cos =的递增区间是[]πππk k 22，-)(Z k ∈，递减区间是[]πππ+k k 22，)(Z k ∈， x y tan =的递增区间是⎪⎭⎫ ⎝⎛+-22ππππk k ，)(Z k ∈，3．函数B x A y ++=)sin(ϕω），（其中00>>ωA最大值是B A +，最小值是A B -，周期是ωπ2=T ，频率是πω2=f ，相位是ϕω+x ，初相是ϕ；其图象的对称轴是直线)(2Z k k x ∈+=+ππϕω，凡是该图象与直线By =的交点都是该图象的对称中心。
4．由y ＝sin x 的图象变换出y ＝sin(ωx ＋ϕ)的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换。
利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母x 而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少。
途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换)先将y ＝sin x 的图象向左(ϕ＞0)或向右(ϕ＜0＝平移｜ϕ｜个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的ω1倍(ω＞0)，便得y ＝sin(ωx ＋ϕ)的图象。
途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换。
先将y ＝sin x 的图象上各点的横坐标变为原来的ω1倍(ω＞0)，再沿x 轴向左(ϕ＞0)或向右(ϕ＜0＝平移ωϕ||个单位，便得y ＝sin(ωx ＋ϕ)的图象。
5．由y ＝A sin(ωx ＋ϕ)的图象求其函数式：给出图象确定解析式y =A sin （ωx +ϕ）的题型，有时从寻找“五点”中的第一零点（－ωϕ，0）作为突破口，要从图象的升降情况找准．．第一个零点的位置。
6．对称轴与对称中心：sin y x =的对称轴为2x k ππ=+，对称中心为(,0) k k Z π∈； cos y x =的对称轴为x k π=，对称中心为2(,0)k ππ+； 对于sin()y A x ωφ=+和cos()y A x ωφ=+来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系。
7．求三角函数的单调区间：一般先将函数式化为基本三角函数的标准式，要特别注意A 、ω的正负利用单调性三角函数大小一般要化为同名函数,并且在同一单调区间； 8．求三角函数的周期的常用方法：经过恒等变形化成“sin()y A x ωφ=+、cos()y A x ωφ=+”的形式，在利用周期公式，另外还有图像法和定义法。
9．五点法作y =A sin （ωx +ϕ）的简图：五点取法是设x =ωx +ϕ，由x 取0、2π、π、2π3、2π来求相应的x 值及对应的y 值，再描点作图。
四．典例解析题型1：三角函数的图象例1．函数y ＝－xc os x 的部分图象是（ ）解析：因为函数y ＝－xc os x 是奇函数，它的图象关于原点对称，所以排除A 、C ，当x ∈（0，2π）时，y ＝－xc os x ＜0。
答案为D 。
例2．函数y =x +sin|x |，x ∈［－π，π］的大致图象是（ ）解析：由奇偶性定义可知函数y =x +sin|x |，x ∈［－π，π］为非奇非偶函数。
选项A 、D 为奇函数，B 为偶函数，C 为非奇非偶函数。
点评：利用函数的性质来描绘函数的图象，这样既有利于掌握函数的图象与性质，又能熟练地运用数形结合的思想方法。
题型2：三角函数图象的变换例3．试述如何由y =31sin （2x +3π）的图象得到y =sin x 的图象。
解析：y =31sin （2x +3π））（纵坐标不变倍横坐标扩大为原来的3πsin 312+=−−−−−−−−−→−x y x y sin 31π=−−−−−−−−→−纵坐标不变个单位图象向右平移x y sin 3=−−−−−−−−−→−横坐标不变倍纵坐标扩大到原来的另法答案：（1）先将y =31sin （2x +3π）的图象向右平移6π个单位，得y =31sin2x 的图象；（2）再将y =31sin2x 上各点的横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变），得y =31sin x 的图象；（3）再将y =31sin x 图象上各点的纵坐标扩大为原来的3倍（横坐标不变），即可得到y =sin x的图象。
例4．把曲线yc os x +2y －1=0先沿x 轴向右平移2π个单位，再沿y 轴向下平移1个单位，得到的曲线方程是（ ） A ．（1－y ）sin x +2y －3=0 B ．（y －1）sin x +2y －3=0 C ．（y +1）sin x +2y +1=0 D ．－(y +1)sin x +2y +1=0解析：将原方程整理为：y =xcos 21+，因为要将原曲线向右、向下分别移动2π个单位和1个单位，因此可得y =)2cos(21π-+x －1为所求方程.整理得（y +1）sin x +2y +1=0.点评：本题考查了曲线平移的基本方法及三角函数中的诱导公式。
如果对平移有深刻理解，可直接化为：（y +1）c os （x －2π）+2（y +1）－1=0，即得C 选项。
题型3：三角函数图象的应用例5．已知电流I 与时间t 的关系式为sin()I A t ωϕ=+。
（１）右图是sin()I A t ωϕ=+（ω＞0，||2πϕ<） 在一个周期内的图象，根据图中数据求sin()I A t ωϕ=+ 的解析式；（２）如果t 在任意一段1150秒的时间内，电流sin()I A t ωϕ=+都能取得最大值和最小值，那么ω的最小正整数值是多少？解析:本小题主要考查三角函数的图象与性质等基础知识，考查运算能力和逻辑推理能力．（１）由图可知 A ＝300。
设t 1＝－1900，t 2＝1180， 则周期T ＝2（t 2－t 1）＝2（1180＋1900）＝175。
∴ ω＝2T π＝150π。
又当t ＝1180时，I ＝0，即sin （150π·1180＋ϕ）＝0，而||2πϕ<， ∴ ϕ＝6π。
故所求的解析式为300sin(150)6I t ππ=+。
（２）依题意，周期T ≤1150，即2πω≤1150，（ω>0） ∴ ω≥300π＞942，又ω∈N *，故最小正整数ω＝943。
点评:本题解答的开窍点是将图形语言转化为符号语言．其中，读图、识图、用图是形数结合的有效途径。
例6．（1）已知函数f （x ）=A sin （ωx +ϕ）（A >0，ω>0，x ∈R ）在一个周期内的图象如图所示，求直线y =3与函数f （x ）图象的所有交点的坐标。
解析：根据图象得A =2，T =27π－（－2π）=4π， ∴ω=21，∴y =2sin （2x+ϕ）， 又由图象可得相位移为－2π，∴－21ϕ=－2π，∴ϕ=4π.即y =2sin （21x +4π）。
根据条件3=2sin （421π+x ），∴421π+x =2k π+3π(k ∈Z )或421π+x =2k π+32π（k ∈Z ），∴x =4k π+6π（k ∈Z ）或x =4k π+65π（k ∈Z ）。
∴所有交点坐标为（4k π+3,6π）或（4k π+3,65π）（k ∈Z ）。
点评：本题主要考查三角函数的基本知识，考查逻辑思维能力、分析和解决问题的能力。
（2）在（0，2π）内，使sin x ＞c os x 成立的x 取值范围为（ ） A ．（4π，2π）∪（π，45π） B ．（4π，π） C ．（4π，45π） D ．（4π，π）∪（45π，23π） 解析：C ；解法一：作出在（0，2π）区间上正弦和余弦函数的图象，解出两交点的横坐标4π和45π，由图1可得C 答案。
图1 图2解法二：在单位圆上作出一、三象限的对角线，由正弦线、余弦线知应选C 。
（如图2）题型4：三角函数的定义域、值域例7．（1）已知f （x ）的定义域为［0，1］，求f （c os x ）的定义域； （2）求函数y =lgsin （c os x ）的定义域； 分析：求函数的定义域：（1）要使0≤c os x ≤1，（2）要使sin （c os x ）＞0，这里的c os x 以它的值充当角。
解析：（1）0≤c os x ＜1⇒2k π－2π≤x ≤2k π+2π，且x ≠2k π（k ∈Z ）。
∴所求函数的定义域为{x ｜x ∈［2k π－2π，2k π+2π］且x ≠2k π，k ∈Z }。
（2）由sin （c os x ）＞0⇒2k π＜c os x ＜2k π+π（k ∈Z ）。
又∵－1≤c os x ≤1，∴0＜c os x ≤1。