中考数学复习指导：动态几何问题的求解策略

中考数学试题中动态几何问题的求解策略近年来，随着九年义务教育课程标准的深入实施，动态几何已悄悄进入到中考数学试题中，而且要求越来越高，越来越突出探究能力的考查。

编制好的动态几何的题已成为中考命题者努力追求的目标之一。

下面谈谈中考数学中动态几何的一些解题策略。

例1：已知⊙O 的弦AB 的长等于⊙O 的半径，点C 在⊙O 上变化（不与A 、B ）重合，求∠ACB 的大小 .分析：点C 的变化是否影响∠ACB 的大小的变化呢?我们不妨将点C 改变一下,如何变化呢？可能在优弧AB 上，也可能在劣弧AB 上变化，显然这两者的结果不一样。

那么，当点C 在优弧AB 上变化时，∠ACB 所对的弧是劣弧AB ，它的大小为劣弧AB 的一半，因此很自然地想到它的圆心角，连结AO 、BO ，则由于AB=OA=OB ，即三角形ABC 为等边三角形，则∠AOB=600，则由同弧所对的圆心角与圆周角的关系得出：∠ACB=21∠AOB=300， 当点C 在劣弧AB 上变化时，∠ACB 所对的弧是优弧AB ，它的大小为优弧AB 的一半，由∠AOB=600得，优弧AB 的度数为3600-600=3000，则由同弧所对的圆心角与圆周角的关系得出：∠ACB=1500，因此，本题的答案有两个，分别为300或1500.反思：本题通过点C 在圆上运动的不确定性而引起结果的不唯一性。

从而需要分类讨论。

这样由点C 的运动变化性而引起的分类讨论在解题中经常出现。

变式1：已知△ABC 是半径为2的圆内接三角形，若32=AB ，求∠C 的大小.本题与例1的区别只是AB 与圆的半径的关系发生了一些变化,其解题方法与上面一致,在三角形AOB中,232121sin ==∠OB ABAOB ,则06021=∠AOB ,即0120=∠AOB , 从而当点C 在优弧AB 上变化时，∠C 所对的弧是劣弧AB ，它的大小为劣弧AB 的一半，即060=∠C ,当点C 在劣弧AB 上变化时，∠C 所对的弧是优弧AB ，它的大小为优弧AB 的一半，由∠AOB=1200得，优弧AB 的度数为3600-1200=2400，则由同弧所对的圆心角与圆周角的关系得出：∠C=1200，因此060=∠C 或∠C=1200.变式2: 如图,半经为1的半圆O 上有两个动点A 、B ，若AB=1，（1） 判断∠AOB 的大小是否会随点A 、B 的变化而变化，若变化，求出变化范围，若不变化，求出它的值。

（2） 四边形ABCD 的面积的最大值。

解：（1）由于AB=OA=OB ，所以三角形AOB 为等边三角形，则∠AOB=600，即∠AOB 的大小不会随点A 、B 的变化而变化。

（2）四边形ABCD 的面积由三个三角形组成，其中三角形AOB 的面积为43，而三角 形AOD 与三角形BOC 的面积之和为)(212121BG AF BG OC AF OD +=⨯+⨯，又由梯形 的中位线定理得三角形AOD 与三角形BOC 的面积之和EH BG AF =+)(21，要四边形ABCD 的面积最大，只需EH 最大，显然EH≤OE=23，当AB ∥CD 时，EH=OE ，因此 四边形ABCD 的面积最大值为43+23=433. 对于本题同学们还可以继续思考:四边形ABCD 的周长的变化范围.变式3: 如图,有一块半圆形的木板,现要把它截成三角形板块.三角形的两个顶点分别为A 、B ，另一个顶点C 在半圆上，问怎样截取才能使截出的三角形的面积最大？要求说明理由.分析：要使三角形ABC 的面积最大，而三角形ABC 的底边AB 为圆的直径为常量，只需AB 边上的高最大即可。

过点C 作CD ⊥AB 于点D ，连结CO ，由于CD≤CO ，当O 与D 重合，CD=CO ，因此，当CO 与AB 垂直时，即C 为半圆弧 的中点时，其三角形ABC 的面积最大。

本题也可以先猜想，点C 为半圆弧的中点时，三角形ABC 的面积最大，故只需另选一个位置C 1（不与C 重合），，证明三角形ABC 的面积大于三角形ABC 1的面积即可。

如图 显然三角形 ABC 1的面积=21AB×C 1D ，而C 1D< C 1O=CO,则三角形 ABC 1的面积=21AB×C 1D<21AB×C 1O=三角形 ABC 的面积,因此,对于除点C 外的任意点C 1,都有三角形 ABC 1的面积小于三角形三角形 ABC 的面积,故点C 为半圆中点时,三角形ABC 面积最大.本题还可研究三角形ABC 的周长何时最大的问题。

提示：利用周长与面积之间的关系。

要三角形ABC 的周长最大，AB 为常数，只需AC+BC 最大，而（AC+BC ）2=AC 2+CB 2+2AC×BC=AB 2+4×ΔABC 的面积，因此ΔABC 的面积最大时，AC+BC 最大，从而ΔABC 的周长最大。

从以上一道题及其三个变式的研究我们不难发现,解决动态几何问题的常见方法有: 一、 特殊探路，一般推证例2 如图，⊙O 1和⊙O 2内切于A ，⊙O 1的半径为3，⊙O 2的半径为2，点P 为⊙O 1上的任一点（与点A 不重合），直线PA 交⊙O 2于点C ，PB 切⊙O 2于点B ，则PCBP的值为 （A ）2 （B ）3 （C ）23 （D ）26分析：本题是一道选择题，给出四个答案有且只有一个是正确的，因此可以取一个特殊位置进行研究，当点P 满足PB ⊥AB 时，可以通过计算得出PB=221322=-ABC×AP=BP×AB ，因此 BC=62462288162822==+=+⨯BPAB BP AB ，在三角形BPC 中，PC=36222=-BC BP ，所以，PCBP=3选（B ） 当然，本题还可以根据三角形相似得BPAPPC BP =，即可计算出结论。

作为一道选择题，到此已经完成，但如果是一道解答题，我们得出的结论只是一个特殊情况，还要进一步证明对一般情况也成立。

例3 如图，在等腰直角三角形ABC 中，斜边BC=4，OA ⊥BC 于O,点E 和点F 分别在边AB 、AC 上滑动并保持AE=CF,但点F 不与A 、C 重合，点E 不与B 、A 重合。

（1） 判断∆OEF 的形状，并加以证明。

（2） 判断四边形AEOF 的面积是否随点E 、F 的变化而变化，若变化，求其变化范围，若不变化，求它的值.（3） ∆AEF 的面积是否随着点E 、F 的变化而变化，若变化，求其变化范围，若不变化，求它的值。

分析：本题结论很难发现，先从特殊情况入手。

最特殊情况为E 、F 分别为AB 、AC 中点，显然有ΔEOF 为等腰直角三角形。

还可发现当点E 与A 无限接近时，点F 与点C 无限接近，此时ΔEOF 无限接近ΔAOC ，而ΔAOC 为等腰直角三角形，几种特殊情况都可以得出ΔEOF 为等腰直角三角形。

一般情况下成立吗？OE 与OF 相等吗？∠EOF 为直角吗？能否证明。

如果它们成立，便可以推出三角形OFC 与三角形OEA 全等，一般情况下这两个三角形全等吗？不难从题目的条件可得：OA=OC ，∠OCF=∠OAE ，而AE=CF ，则ΔOEA ≌ΔOFC ，则OE=OF ，且∠FOC=∠EOA ，所以∠EOF=∠EOA+∠AOF=∠FOC+∠FOA=900，则∠EOF 为直角，故ΔEOF 为等腰直角三角形。

AFEOCBA二、 动手实践，操作确认例4 在⊙O 中，C 为弧AB 的中点，D 为弧AC 上任一点（与A 、C 不重合），则（A ）AC+CB=AD+DB (B) AC+CB<AD+DB (C) AC+CB>AD+DB (D) AC+CB 与AD+DB 的大小关系不确定分析:本题可以通过动手操作一下,度量AC 、CB 、AD 、DB 的长度，可以尝试换几个位置量一量，得出结论（C ）例5：如图，过两同心圆的小圆上任一点C 分别作小圆的直径CA 和非直径的弦CD ，延长CA 和CD 与大圆分别交于点B 、E ，则下列结论中正确的是（ * ）（A ）AB DE = （B ）AB DE >（C ）AB DE <（D ）AB DE ,的大小不确定 分析：本题可以通过度量的方法进行，选（B ）本题也可以可以证明得出结论，连结DO 、EO ，则在三角形OED 中，由于两边之差小于第三边，则OE —OD<DE,即OB —OA<DE,因此ED AB <,即AB DE >三、 建立联系，计算说明例6：如图，正方形ABCD 的边长为4，点M 在边DC 上，且DM=1，N 为对角线AC 上任意一点，则DN+MN 的最小值为 .分析：能否将DN 和NM 进行转化，与建立三角形两边之和大于第三边等问题，很自然地想到轴对称问题，由于ABCD 为正方形，因此连结BN ，显然有ND=NB ，则问题就转化为BN+NM 的最小值问题了，一般情况下：BN+NM≥BM,只有在B 、N 、M 三点共线时，BN+NM=BM ，因此DN+MN 的最小值为BM=522=+CM BC本题通过建立平面上三个点中构成的三角形中的两边之和大于第三边及共线时的两边之和等于第三BMND CBA边的特殊情况求最小值，最后通过勾股定理计算得出结论。

例7：如图，在等腰直角三角形ABC 中，斜边BC=4，OA ⊥BC 于O,点E 和点F 分别在边AB 、AC 上滑动并保持AE=CF,但点F 不与A 、C 重合，点E 不与B 、A 重合。

（2） 判断四边形AEOF 的面积是否随点E 、F 的变化而变化，若变化，求其变化范围，若不变化，求它的值.（3） ∆AEF 的面积是否随着点E 、F 的变化而变化，若变化，求其变化范围，若不变化，求它的值。

（即例3的第2、第3问）分析：(2)本题的方法很多，其一，可以建立四边形AEOF 与AE 长的函数关系式，如设AE=x ，则AF=x -22，而三角形AOB 的面积与三角形AOE 的面积之比=x22，而三角形AOB 的面积=221=⨯⨯OA OB ，则三角形AOE 的面积=2x ，同理三角形AOF 的面积=222x-，因此四边形AEOF 的面积=22)22(=-+x x ；即AEOF 的面积不会随点E 、F 的变化而变化，是一个定值，且为2.当然，本题也可以这样思考，由于三角形AOE 与三角形COF 全等，则四边形AEOF 的面积与三角形AOC 的面积相等，而AOC 的面积为2，因此AEOF 的面积不会随点E 、F 的变化而变化，是一个定值，且为2.本题通过建立函数关系或有关图形之间的关系,然后通过简单的计算得出结论的方法应用比较广泛.第(3)问,也可以通过建立函数关系求得, ∆AEF 的面积=1)2(21)22(212+--=-x x x ,又x 的变化范围为220<<x ,由二次函数知识得∆AEF 的面积的范围为:<0∆AEF 的面积1≤.FEOCBA本题也可以根据三角形AEF 与三角形OEF 的面积关系确定∆AEF 的面积范围:不难证明∆AEF 的面积≤∆OEF 的面积，它们公用边EF ，取EF 的中点H ，显然由于∆OEF 为等腰直角三角形，则OH ⊥EF ，作AG ⊥EF ，显然AG≤AH=AG （=EF 21），所以∆AEF 的面积≤∆OEF 的面积，而它们的和为2，因此<0∆AEF 的面积1≤.本题包容的内涵十分丰富，还可以提出很多问题研究：比如，比较线段EF 与AO 长度大小等（可以通过A 、E 、O 、F 四点在以EF 为直径的圆上得出很多结论）例8：如图，在矩形ABCD 中，AB=12cm ，BC=6cm ，点P 沿AB 边从点A 开始向点B 以2厘米/秒的速度移动；点Q 沿DA 边从点D 开始向点A 以1厘米/秒的速度移动。