江西省宜春市奉新一中2016-2017学年高二数学下学期期末试卷 文
2016年奉新一中高二下学期数学期末试题(理科带解析)
2016年奉新一中高二下学期数学期末试题（理科带解析）2015-2016学年江西省宜春市奉新一中高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知集合M={x|x＜1}，N={x|2x＞1}，则M∩N=（） A．∅ B．{x|x＜0} C．{x|x＜1} D．{x|0＜x＜1} 2．下列说法错误的是（） A．命题“若x2�5x+6=0，则x=2”的逆否命题是“若x≠2，则x2�5x+6≠0” B．已知命题p和q，若p∨q为假命题，则命题p与q中必一真一假C．若x，y∈R，则“x=y”是“xy≥ ”的充要条件 D．若命题p：∃x0∈R，x02+x0+1＜0，则�Vp：∀x∈R，x2+x+1≥0 3．设随机变量ξ服从正态分布N（3，4），若P（ξ＜2a�3）=P（ξ＞a+2），则a的值为（） A． B． C．5 D．3 4．已知具有线性相关的两个变量x，y之间的一组数据如表： x 0 1 2 3 4 y 2.2 4.3 t 4.8 6.7 且回归方程是 =0.95x+2.6，则t=（） A．2.5 B．3.5 C．4.5 D．5.5 5．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c（a、b、c∈（0，1）），已知他投篮一次得分的数学期望为2（不计其它得分情况），则ab的最大值为（）A． B． C． D． 6．一牧场有10头牛，因误食含有病毒的饲料而被感染，已知该病的发病率为0.02．设发病的牛的头数为ξ，则Dξ等于（） A．0.2 B．0.8 C．0.196 D．0.804 7．已知定义在R上的奇函数f（x）和偶函数g（x）满足f（x）+g（x）=ax�a�x+2，若g（2）=a，则f（2）=（） A．2 B． C． D．a2 8．从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有（） A．140种 B．120种 C．35种 D．34种 9．从0，1，2，3，4，5共6个数中任取三个组成的无重复数字的三位数，其中能被5整除的有（） A．40个 B．36个 C．28个 D．60个 10．在直角坐标平面内，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系（单位长度相同）．已知曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ，直线l的参数方程为（t为参数）．若点P在曲线C上，且P到直线l的距离为1，则满足这样条件的点P的个数为（） A．1 B．2 C．3 D．4 11．函数f（x）= 的最大值为M，最小值为N，则（） A．M�N=4 B．M+N=4 C．M�N=2 D．M+N=2 12．函数f（x）=|ex+ |（a∈R）在区间[0，1]上单调递增，则a的取值范围是（） A．a∈[�1，1] B．a∈[�1，0] C．a∈[0，1] D．a∈[�，e] 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案涂在答题卡上） 13．在二项式的展开式中，含x5的项的系数是（用数字作答） 14．有5名数学实习老师，现将他们分配到高二年级的三个班实习，每班至少1名，最多2名，则不同的分配方案有种（用数字作答）． 15．已知a＞b，且ab=1，则的最小值是． 16．已知函数f（x）=|2x�1|+|2x+a|，g（x）=x+3，设a＞�1，且当x∈[�， ]时，f （x）≤g（x），则a的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17．已知幂函数f（x）=（m�1）2x 在（0，+∞）上单调递增，函数g（x）=2x�k．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）当x∈[1，2]时，记f（x），g（x）的值域分别为集合A，B，若A∪B=A，求实数k 的取值范围． 18．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．已知曲线C1：（t为参数），C2：（θ为参数）．（Ⅰ）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（Ⅱ）若C1上的点P对应的参数为t= ，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：ρ（cosθ�2sinθ）=7距离的最小值． 19．已知函数f（x）=k�|x�3|，k∈R，且f（x+3）≥0的解集为[�1，1]．（Ⅰ）求k的值；（Ⅱ）若a、b、c是正实数，且，求证：． 20．袋中装有大小相同标号不同的白球4个，黑球5个，从中任取3个球．（1）共有多少种不同结果？（2）取出的3球中有2个白球，1个黑球的结果有几个？（3）取出的3球中至少有2个白球的结果有几个？（4）计算第（2）、（3）小题表示的事件的概率． 21．心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同学（男30女20），给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答．选题情况如右表：（单位：人）几何题代数题总计男同学 22 8 30 女同学 8 12 20 总计 30 20 50 （1）能否据此判断有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关？（2）经过多次测试后，甲每次解答一道几何题所用的时间在5～7分钟，乙每次解答一道几何题所用的时间在6～8分钟，现甲、乙各解同一道几何题，求乙比甲先解答完的概率．（3）现从选择做几何题的8名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究，记甲、乙两女生被抽到的人数为 X，求 X的分布列及数学期望 EX．附表及公式 P（k2≥k） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 K2= ． 22．已知函数f（x）=（）x，（1）当x∈[�1，1]时，求函数y=[f（x）]2�2af（x）+3的最小值g（a）；（2）是否存在实数m＞n＞3，使得g（x）的定义域为[n，m]，值域为[n2，m2]？若存在，求出m、n的值；若不存在，请说明理由．2015-2016学年江西省宜春市奉新一中高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知集合M={x|x＜1}，N={x|2x＞1}，则M∩N=（）A．∅ B．{x|x＜0} C．{x|x＜1} D．{x|0＜x＜1} 【考点】交集及其运算．【分析】利用指数函数的单调性求出集合N中的解集；利用交集的定义求出M∩N．【解答】解：N={x|2x＞1}={x|x＞0} ∵M={x|x ＜1}，∴M∩N={X|0＜X＜1} 故选D 2．下列说法错误的是（）A．命题“若x2�5x+6=0，则x=2”的逆否命题是“若x≠2，则x2�5x+6≠0” B．已知命题p和q，若p∨q为假命题，则命题p与q中必一真一假 C．若x，y∈R，则“x=y”是“xy≥ ”的充要条件D．若命题p：∃x0∈R，x02+x0+1＜0，则�Vp：∀x∈R，x2+x+1≥0 【考点】命题的真假判断与应用．【分析】由四种命题及关系判断A；根据复合命题p∨q的真假，可判断B；由充分必要条件的定义来判断C；由存在性命题的否定是全称性命题，可判断D．【解答】解：A．由“若p则q”的逆否命题是“若�Vq则�Vp”，得A正确； B．已知命题p和q，若p∨q为假命题，则p，q均为假命题，若p∨q为真命题，则p，q中至少一个为真命题，故B不正确； C．若x，y∈R，则“x=y”．可推出“xy≥ ”，又“xy≥ ”可推出“x2+y2�2xy≤0”即“（x�y）2≤0”即“x=y”，故C正确； D．由命题的否定方法得D正确．故选：B． 3．设随机变量ξ服从正态分布N（3，4），若P（ξ＜2a�3）=P（ξ＞a+2），则a的值为（） A． B． C．5 D．3 【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】根据随机变量符合正态分布，又知正态曲线关于x=3对称，得到两个概率相等的区间关于x=3对称，得到关于a的方程，解方程即可．【解答】解：∵随机变量ξ服从正态分布N（3，4），∵P（ξ＜2a�3）=P（ξ＞a+2），∴2a�3与a+2关于x=3对称，∴2a�3+a+2=6，∴3a=7，∴a= ，故选A． 4．已知具有线性相关的两个变量x，y之间的一组数据如表： x 0 1 2 3 4 y 2.2 4.3 t 4.8 6.7 且回归方程是 =0.95x+2.6，则t=（） A．2.5 B．3.5 C．4.5 D．5.5 【考点】线性回归方程．【分析】根据表中数据，求出、，代人回归直线方程，即可求出结果．【解答】解：根据表中数据，得； = ×（0+1+2+3+4）=2，= ×（2.2+4.3+t+4.8+6.7）= ，又样本中心点在回归直线 =0.95x+2.6上，所以=0.95×2+2.6，解得t=4.5．故选：C． 5．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c（a、b、c∈（0，1）），已知他投篮一次得分的数学期望为2（不计其它得分情况），则ab的最大值为（） A． B． C． D．【考点】离散型随机变量的期望与方差；基本不等式．【分析】利用数学期望的概念，建立等式，再利用基本不等式，即可求得ab的最大值【解答】解：由题意，投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c（a、b、c∈（0，1）），∴3a+2b=2，∴2≥2 ∴ab≤ （当且仅当a= ，b= 时取等号）∴ab的最大值为故选D． 6．一牧场有10头牛，因误食含有病毒的饲料而被感染，已知该病的发病率为0.02．设发病的牛的头数为ξ，则Dξ等于（） A．0.2 B．0.8 C．0.196 D．0.804 【考点】离散型随机变量的期望与方差．【分析】把每个牛是否得病作为一个实验，牛发病的概率是0.02，且牛是否发病相互之间没有影响，得到发病的牛的头数为ξ服从二项分布，根据方差的公式Dξ=npq，得到结果．【解答】解：∵由题意知该病的发病率为0.02，且每次实验结果都是相互独立的，∴ξ～B（10，0.02），∴由二项分布的方差公式得到 Dξ=10×0.02×0.98=0.196．故选C 7．已知定义在R上的奇函数f（x）和偶函数g（x）满足f（x）+g （x）=ax�a�x+2，若g（2）=a，则f（2）=（） A．2 B． C． D．a2 【考点】函数奇偶性的性质．【分析】利用函数f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，由条件f（x）+g（x）=ax�a�x+2，构建方程组，然后求解即可．【解答】解：∵f（x）+g（x）=ax�a�x+2，g（2）=a，∴f（2）+g（2）=a2�a�2+2．①，∵f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，∴当x=�2时，f（�2）+g（�2）=a�2�a2+2 ② 即�f（2）+g（2）=a�2�a2+2，③ ①+③得：2g（2）=4，即g（2）=2，又g（2）=a，∴a=2．代入①得：f（2）+2=22�2�2+2，∴f （2）=22�2�2=4�= ．故选：B． 8．从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有（） A．140种 B．120种 C．35种 D．34种【考点】排列、组合及简单计数问题．【分析】从7个人中选4人共C74种选法，本题不可能只有女生这种情况，去掉不合题意的只有男生的选法C44就可得有既有男生，又有女生的选法．【解答】解：∵7人中任选4人共C74种选法，去掉只有男生的选法C44，就可得有既有男生，又有女生的选法C74�C44=34．故选D． 9．从0，1，2，3，4，5共6个数中任取三个组成的无重复数字的三位数，其中能被5整除的有（） A．40个 B．36个 C．28个 D．60个【考点】排列、组合及简单计数问题．【分析】由题意知能被5整除的三位数末位必为0或5．当末位是0时，没有问题，但当末位是5时，注意0不能放在第一位，所以要分类解决，①末位为0的三位数其首次两位从1～5的5个数中任取2个排列②末位为5的三位数，首位从非0，5的4个数中选1个，再挑十位，相加得到结果．【解答】解：其中能被5整除的三位数末位必为0或5．①末位为0的三位数其首次两位从1～5的5个数中任取2个排列而成方法数为A52=20，②末位为5的三位数，首位从非0，5的4个数中选1个，有C41种挑法，再挑十位，还有C41种挑法，∴合要求的数有C41•C41=16种．∴共有20+16=36个合要求的数，故选：B． 10．在直角坐标平面内，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系（单位长度相同）．已知曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ，直线l 的参数方程为（t为参数）．若点P在曲线C上，且P到直线l的距离为1，则满足这样条件的点P的个数为（） A．1 B．2 C．3 D．4 【考点】参数方程化成普通方程．【分析】把极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离即可判断出结论．【解答】解：曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ，即ρ2=4ρcosθ，化为x2+y2=4x，化为（x�2）2+y2=4，可得圆心C（2，0），半径r=2．直线l的参数方程为（t 为参数）．化为�4=0．则圆心C到直线l的距离d= =1．∴若点P 在曲线C上，且P到直线l的距离为1，则满足这样条件的点P的个数为3．故选：C． 11．函数f（x）= 的最大值为M，最小值为N，则（） A．M�N=4 B．M+N=4 C．M�N=2 D．M+N=2 【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】利用分式函数的性质进行分解，结合奇函数的对称性即可得到结论．【解答】解：f（x）= = = +1，设g（x）= ，则g（�x）=�g（x），即g（x）是奇函数，则gmax （x）+gmin（x）=0，∴M=gmax（x）+1，N=gmin（x）+1，∴M+N=gmax （x）+gmin（x）+2=2，故选：D． 12．函数f（x）=|ex+ |（a∈R）在区间[0，1]上单调递增，则a的取值范围是（） A．a∈[�1，1] B．a∈[�1，0] C．a∈[0，1] D．a∈[�，e] 【考点】函数单调性的性质．【分析】为去绝对值，先将f（x）变成f（x）= ，所以a≥�1时，可去掉绝对值，f（x）= ，f′（x）= ，所以�1≤a≤1时便有f′（x）≥0，即此时f（x）在[0，1]上单调递增，所以a的取值范围便是[�1，1]．【解答】解：f（x）= ；∵x∈[0，1]；∴a≥�1时，f（x）= ，；∴a≤1时，f′（x）≥0；即�1≤a≤1时，f′（x）≥0，f（x）在[0，1]上单调递增；即a的取值范围是[�1，1]．故选A．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案涂在答题卡上） 13．在二项式的展开式中，含x5的项的系数是28 （用数字作答）【考点】二项式定理．【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令通项中的x的指数为5，列出方程求出r的值，将r的值代入通项，求出展开式中，含x5的项的系数．【解答】解：展开式的通项为令得r=2 ∴展开式中，含x5的项的系数是C82=28 故答案为：28． 14．有5名数学实习老师，现将他们分配到高二年级的三个班实习，每班至少1名，最多2名，则不同的分配方案有90 种（用数字作答）．【考点】计数原理的应用．【分析】根据题意，先把5名实习老师分成三组，一组1人，另两组都是2人，计算其分组的方法种数，进而将三个组分到3个班，即进行全排列，计算可得答案．【解答】解：把5名实习老师分成三组，一组1人，另两组都是2人，有 =15种方法，再将3组分到3个班，共有•A33=90种不同的分配方案，故答案为：90． 15．已知a＞b，且ab=1，则的最小值是 2 ．【考点】基本不等式．【分析】变形利用基本不等式即可得出．【解答】解：∵a＞b，且ab=1，∴ = =（a�b）+ =2 ．当且仅当，即，时取等号．∴ 的最小值是．故答案为：． 16．已知函数f （x）=|2x�1|+|2x+a|，g（x）=x+3，设a＞�1，且当x∈[�， ]时，f（x）≤g（x），则a的取值范围是（�1， ] ．【考点】分段函数的应用．【分析】由x的范围，化简f（x）=1+a，由恒成立思想可得a≤x+2的最小值，运用一次函数的单调性，可得最小值，解不等式即可得到a的范围．【解答】解：当x∈[�， ]时，f（x）=|2x�1|+|2x+a|=1�2x+2x+a=1+a，由a＞�1，当x∈[�， ]时，f（x）≤g（x），即为1+a≤x+3，即a≤x+2，由x∈[�， ]，可得x+2∈[2�， ]，即有a≤2�，解得�1＜a≤ ．则a的取值范围是（�1， ]．故答案为：（�1， ]．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．已知幂函数f（x）=（m�1）2x 在（0，+∞）上单调递增，函数g（x）=2x�k．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）当x∈[1，2]时，记f （x），g（x）的值域分别为集合A，B，若A∪B=A，求实数k的取值范围．【考点】幂函数的性质．【分析】（Ⅰ）根据幂函数的定义和性质即可求出m的值，（Ⅱ）先求出f（x），g（x）的值域，再根据若A∪B⊆A，得到关于k的不等式组，解的即可．【解答】解：（Ⅰ）依题意得：（m�1）2=1，解得m=0或m=2 当m=2时，f（x）=x�2在（0，+∞）上单调递减，与题设矛盾，舍去∴m=0．（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=x2，当x∈[1，2]时，f（x），g（x）单调递增，∴A=[1，4]，B=[2�k，4�k]，∵A∪B⊆A，∴ 解得，0≤k≤1 故实数K的取值范围为[0，1] 18．在直角坐标系xOy中，以原点O 为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．已知曲线C1：（t为参数），C2：（θ为参数）．（Ⅰ）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（Ⅱ）若C1上的点P对应的参数为t= ，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：ρ（cosθ�2sinθ）=7距离的最小值．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）曲线C1：（t为参数），利用sin2t+cos2t=1即可化为普通方程；C2：（θ为参数），利用cos2θ+sin2θ=1化为普通方程．（Ⅱ）当t= 时，P（�4，4），Q（8cosθ，3sinθ），故M ，直线C3：ρ（cosθ�2sinθ）=7化为x�2y=7，利用点到直线的距离公式与三角函数的单调性即可得出．【解答】解：（Ⅰ）曲线C1：（t为参数），化为（x+4）2+（y�3）2=1，∴C1为圆心是（�4，3），半径是1的圆． C2：（θ为参数），化为． C2为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆．（Ⅱ）当t= 时，P（�4，4），Q（8cosθ，3sinθ），故M ，直线C3：ρ（cosθ�2sinθ）=7化为x�2y=7， M到C3的距离d= = |5sin（θ+φ）+13|，从而当cossinθ= ，sinθ=�时，d取得最小值． 19．已知函数f（x）=k�|x�3|，k∈R，且f（x+3）≥0的解集为[�1，1]．（Ⅰ）求k的值；（Ⅱ）若a、b、c是正实数，且，求证：．【考点】绝对值不等式的解法；二维形式的柯西不等式．【分析】（Ⅰ）由题意可得|x|≤k的解集为[�1，1]，（k＞0），由绝对值不等式的解法，即可求得k=1；（Ⅱ）将k=1代入，再由乘1法，可得a+2b+3c=（a+2b+3c）（ + + ），展开运用基本不等式即可得证．【解答】（Ⅰ）解：f（x+3）≥0的解集为[�1，1]，即为|x|≤k的解集为[�1，1]，（k＞0），即有[�k，k]=[�1，1]，解得k=1；（Ⅱ）证明：将k=1代入可得， + + =1（a，b，c＞0），则a+2b+3c=（a+2b+3c）（ + + ）=3+（ + ）+（ + ）+（ + ）≥3+2 +2 +2 =3+2+2+2=9，当且仅当a=2b=3c，上式取得等号．则有． 20．袋中装有大小相同标号不同的白球4个，黑球5个，从中任取3个球．（1）共有多少种不同结果？（2）取出的3球中有2个白球，1个黑球的结果有几个？（3）取出的3球中至少有2个白球的结果有几个？（4）计算第（2）、（3）小题表示的事件的概率．【考点】计数原理的应用．【分析】（1）本题是从9个元素中任取3个，利用组合数表示出结果，写出组合数表示的结果数．（2）取出的3球中有2个白球，1个黑球的结果，可以用分步计数原理来表示，先从4个白球中选2个，再从5个黑球中选1个，相乘得到结果．（3）取出的3球中至少有2个白球包含2白1黑和3个白球，先分步写出，再分类相加，得到结果．（4）从4个白球，5个黑球中，任取3个球的所有结果的出现可能性都相同，这是一个等可能事件的概率，结合前三问做出的结果，利用概率公式得到结论．【解答】解：（1）设从4个白球，5个黑球中任取3个的所有结果有C93．∴共有C93=84个不同结果．（2）设事件：“取出3球中有2个白球，1个黑球”的所有结果组成的集合为A、∴A所包含的事件数C42C51．∴共有C42C51=30种不同的结果．（3）设事件：“取出3球中至少有2个白球”的所有结果组成集合为B、∴事件B包含的结果数是C43+C42C51．∴共有C43+C42C51=34种不同的结果．（4）∵从4个白球，5个黑球中，任取3个球的所有结果的出现可能性都相同，∴第（2）小题的事件发生的概率为 = ，第（3）小题的事件发生的概率为 = ． 21．心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同学（男30女20），给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答．选题情况如右表：（单位：人）几何题代数题总计男同学 22 8 30 女同学 8 12 20 总计 30 20 50 （1）能否据此判断有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关？（2）经过多次测试后，甲每次解答一道几何题所用的时间在5～7分钟，乙每次解答一道几何题所用的时间在6～8分钟，现甲、乙各解同一道几何题，求乙比甲先解答完的概率．（3）现从选择做几何题的8名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究，记甲、乙两女生被抽到的人数为 X，求 X的分布列及数学期望 EX．附表及公式 P（k2≥k） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828K2= ．【考点】独立性检验的应用；离散型随机变量的期望与方差．【分析】（1）根据所给的列联表得到求观测值所用的数据，把数据代入观测值公式中，做出观测值，同所给的临界值表进行比较，得到所求的值所处的位置，得到结论；（2）利用面积比，求出乙比甲先解答完的概率；（3）确定X的可能值有0，1，2．依次求出相应的概率求分布列，再求期望即可．【解答】解：（1）由表中数据得K2的观测值，所以根据统计有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关；（2）设甲、乙解答一道几何题的时间分别为x、y分钟，则基本事件满足的区域为（如图所示）设事件A为“乙比甲先做完此道题”则满足的区域为x＞y，∴由几何概型即乙比甲先解答完的概率为；（3）由题可知在选择做几何题的8名女生中任意抽取两人，抽取方法有种，其中甲、乙两人没有一个人被抽到有种；恰有一人被抽到有种；两人都被抽到有种，∴X可能取值为0，1，2，，， X的分布列为：X 0 1 2 P ∴ ． 22．已知函数f（x）=（）x，（1）当x∈[�1，1]时，求函数y=[f（x）]2�2af（x）+3的最小值g（a）；（2）是否存在实数m＞n＞3，使得g（x）的定义域为[n，m]，值域为[n2，m2]？若存在，求出m、n的值；若不存在，请说明理由．【考点】指数函数的图象与性质．【分析】（1）由x的范围和指数函数的单调性，求出f（x）的值域，利用配方法化简y=[f （x）]2�2af（x）+3，根据一元二次函数的性质对a进行分类讨论，由单调性求出最小值即可；（2）假设存在满足题意的m、n，由一次函数的单调性和题意列出方程组，化简后由m＞n＞3判断出结论不成立．【解答】解：（1）∵x∈[�1，1]，∴f（x）=（）x∈[ ，3]，… y=[f（x）]2�2af（x）+3=[（）x]2�2a（）x+3 =[（）x�a]2+3�a2，… 由一元二次函数的性质分三种情况：当a＜时，ymin=g（a）= �；… 当≤a≤3时，ymin=g（a）=3�a2；… 当a ＞3时，ymin=g（a）=12�6a… ∴g（a）= … （2）假设存在满足题意的m、n，∵m＞n＞3，且g（x）=12�6x在（3，+∞）上是减函数… 又g（x）的定义域为[n，m]，值域为[n2，m2]．∴ … 两式相减得：6（m�n）=（m+n）（m�n），∵m＞n＞3，∴m+n=6，但这实用精品文献资料分享与“m＞n＞3”矛盾… ∴满足题意的m、n不存在…．2016年8月12日。
江西省奉新县第一中学2017-2018学年高二下学期期末考试数学(理)试题
奉新一中2019届高二下学期期末考试数 学（理科）试 题一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分）1.已知全集=U R ，集合{}{}23,1或=≤-≥=≥A x x x B x x ，则()=U C A B （ ）A. {}23≤<x xB. {}13≤<x xC.{}3>x x D.∅ 2．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，算得，χ2≈7.8.附表：A.有99.9%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”B.有99.9%以上的把握认为 “爱好该项运动与性别无关”C.有99%以上的把握认为“爱好该项运动和性别有关”D.有99%以上的把握认为“爱好该项运动和性别无关” 3. 点的直角坐标是()3,1-，则点的极坐标是（ ）A.B.C.D.4.以下有关命题的说法错误的是（ ） A.“x=1”是“x 2-3x+2=0”的充分不必要条件B.命题“若x 2-3x+2=0,则x=1”的逆否命题为“若x ≠1,则x 2-3x+2≠0” C.对于命题p:0>∃x ,使得x 2+x+1<0,则0:≤∀⌝x p ,均有x 2+x+1≥0 D.若p ∨q 为假命题,则p 、q 均为假命题5.设复数z 满足z ＋2z －＝6＋i(i 是虚数单位)，则复数z 在复平面内所对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 6.下列函数中，既是偶函数又在(0,)+∞单调递增的函数是（ ）A 、3y x = B 、21y x =-+ C 、||2x y -= D 、||1y x =+7.从0,1,2,3,4,5中任取三个组成的无重复数字的三位数，其中能被5整除的有 （ ） A.40个B.36个C.28个D.60个8.某单位对某村的贫困户进行“精准扶贫”，若甲、乙贫困户获得扶持资金的概率分别为25和35， 两户是否获得扶持资金相互独立，则这两户中至少有一户获得扶持资金的概率为（ ） A ．215 B ． 25 C ． 815 D ．19259.在3nx ⎫⎪⎭的二项展开式中，各项系数之和为A ，二项式系数之和为B ，若72A B +=，则二项展开式中常数项的值为（ ） A ．6B ．9C ．12D ．1810. 观察下列各式：a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4，a 4＋b 4＝7，a 5＋b 5＝11，…，则a 10＋b10＝( )A. 28B. 76C. 123D. 199 11.在高校自主招生中，某中学获得6个推荐名额，其中中南大学2名，湖南大学2名，湖南师范大学2名，并且湖南大学和中南大学都要求必须有男生参加，学校通过选拔定下3男3女共6个推荐对象，则不同的推荐方法共有( )A. 54B.45C.24D.72 12. 已知定义在R 上的函数()(),'f x f x 是其导数，且满足()()()'2,124f x f x ef e +>=+，则不等式 ()42xxe f x e >+（其中e 为自然对数的底数）的解集为 （ ）A ． ()1,+∞B ． ()(),01,-∞⋃+∞C ． ()(),00,-∞⋃+∞D ． (),1-∞ 二、填空题：(本题共4小题，每小题5分，共20分)13. 已知函数)(x f y =的图象在点))2(,2(f M 处的切线方程是4+=x y ，则=+)2()2('f f14．已知函数()xf x a b =+()0,1a a >≠的定义域和值域都是[]1,0-，则ba =15.已知⎰-=22cos ππxdx a ，是以为周期的奇函数，且定义域为，则的值为16.已知函数31()2sin (),3f x x x x x R =++∈ 若函数2(2)(2)y f x f x m =++--只有一个零点，则函数4()(1)1g x mx x x =+>-的最小值是_________三、解答题：(本大题共6小题，满分70分)17.（本小题满分10分）以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线1C 的极坐标方程2)4sin(=-πθρ，曲线2C 的极坐标方程为)4cos(2πθρ-=.（1）写出曲线1C 的普通方程和曲线2C 的参数方程；（2）设N M ,分别是曲线21,C C 上的两个动点，求||MN 的最小值. 18．（本小题满分12分）已知⎩⎨⎧≤-≥+0701x x p ：，}011|{<-≤≤+m m x m x q ，：（1）若p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，求实数m 的取值范围;（2）当6-=m 时，若p 或q 为真，p 且q 为假，求实数x 的取值范围.19.（本小题满分12分）已知幂函数2422)1()(+--=m m x m x f 在),0(+∞上单调递增，函数.2)(k x g x-= (1)求m 的值；(2)当]2,1[∈x 时，记)(),(x g x f 的值域分别为B A ,，若A B A =⋃，求实数k 的取值范围．20.（本小题满分12分）一中科普兴趣小组通过查阅生物科普资料统计某花卉种子的发芽率与昼夜温差之间的关系，他们分别从近十年3月份的数据中随机抽取了5天记录昼夜温差及每天30颗种子的发芽数，并列表如下：参考数据：552122111832,615,i ii i i i ni i ii x ynx y x y x b xnx====-===-∑∑∑∑x b y a -= （1）请根据以上5组数据，求出y 关于x 的线性回归方程；（2）假如现在要对（1）问中的线性回归方程的可靠性进行研究：如果由线性回归方程得到的估计数据与另外抽取的两组数据的误差的平方和不超过2，即认为此线性回归方程可靠的。
2015-2016学年江西省宜春市奉新一中高二(下)期末数学试卷(理科)(解析版)
2015-2016学年江西省宜春市奉新一中高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知集合M＝{x|x＜1}，N＝{x|2x＞1}，则M∩N＝（）A．∅B．{x|x＜0}C．{x|x＜1}D．{x|0＜x＜1} 2．（5分）下列说法错误的是（）A．命题“若x2﹣5x+6＝0，则x＝2”的逆否命题是“若x≠2，则x2﹣5x+6≠0”B．已知命题p和q，若p∨q为假命题，则命题p与q中必一真一假C．若x，y∈R，则“x＝y”是“xy≥”的充要条件D．若命题p：∃x0∈R，x02+x0+1＜0，则￢p：∀x∈R，x2+x+1≥03．（5分）设随机变量ξ服从正态分布N（3，4），若P（ξ＜2a﹣3）＝P（ξ＞a+2），则a 的值为（）A．B．C．5D．34．（5分）已知具有线性相关的两个变量x，y之间的一组数据如表：且回归方程是＝0.95x+2.6，则t＝（）A．2.5B．3.5C．4.5D．5.55．（5分）一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c（a、b、c∈（0，1）），已知他投篮一次得分的数学期望为2（不计其它得分情况），则ab的最大值为（）A．B．C．D．6．（5分）一牧场有10头牛，因误食含有病毒的饲料而被感染，已知该病的发病率为0.02．设发病的牛的头数为ξ，则Dξ等于（）A．0.2B．0.8C．0.196D．0.8047．（5分）已知定义在R上的奇函数f（x）和偶函数g（x）满足f（x）+g（x）＝a x﹣a﹣x+2（a＞0，且a≠1），若g（2）＝a，则f（2）＝（）A．2B．C．D．{x∈R|﹣2＜x＜2} 8．（5分）从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有（）A．140种B．120种C．35种D．34种9．（5分）从0，1，2，3，4，5共6个数中任取三个组成的无重复数字的三位数，其中能被5整除的有（）A．40个B．36个C．28个D．60个10．（5分）在直角坐标平面内，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系（单位长度相同）．已知曲线C的极坐标方程为ρ＝4cosθ，直线l的参数方程为（t为参数）．若点P在曲线C上，且P到直线l的距离为1，则满足这样条件的点P的个数为（）A．1B．2C．3D．411．（5分）函数f（x）＝的最大值为M，最小值为N，则（）A．M﹣N＝4B．M+N＝4C．M﹣N＝2D．M+N＝2 12．（5分）函数f（x）＝|e x+|（a∈R）在区间[0，1]上单调递增，则a的取值范围是（）A．a∈[﹣1，1]B．a∈[﹣1，0]C．a∈[0，1]D．a∈[﹣，e]二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案涂在答题卡上）13．（5分）在二项式的展开式中，含x5的项的系数是（用数字作答）14．（5分）有5名数学实习老师，现将他们分配到高二年级的三个班实习，每班至少1名，最多2名，则不同的分配方案有种（用数字作答）．15．（5分）已知a＞b，且ab＝1，则的最小值是．16．（5分）已知函数f（x）＝|2x﹣1|+|2x+a|，g（x）＝x+3，设a＞﹣1，且当x∈[﹣，]时，f（x）≤g（x），则a的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．（10分）已知幂函数f（x）＝（m﹣1）2在（0，+∞）上单调递增，函数g（x）＝2x﹣k．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）当x∈[1，2]时，记f（x），g（x）的值域分别为集合A，B，若A∪B＝A，求实数k的取值范围．18．（12分）在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．已知曲线C1：（t为参数），C2：（θ为参数）．（Ⅰ）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（Ⅱ）若C1上的点P对应的参数为t＝，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：ρ（cosθ﹣2sinθ）＝7距离的最小值．19．（12分）已知函数f（x）＝k﹣|x﹣3|，k∈R，且f（x+3）≥0的解集为[﹣1，1]．（Ⅰ）求k的值；（Ⅱ）若a、b、c是正实数，且，求证：．20．（12分）袋中装有大小相同标号不同的白球4个，黑球5个，从中任取3个球．（1）共有多少种不同结果？（2）取出的3球中有2个白球，1个黑球的结果有几个？（3）取出的3球中至少有2个白球的结果有几个？（4）计算第（2）、（3）小题表示的事件的概率．21．（12分）心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同学（男30女20），给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答．选题情况如右表：（单位：人）（1）能否据此判断有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关？（2）经过多次测试后，甲每次解答一道几何题所用的时间在5～7分钟，乙每次解答一道几何题所用的时间在6～8分钟，现甲、乙各解同一道几何题，求乙比甲先解答完的概率．（3）现从选择做几何题的8名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究，记甲、乙两女生被抽到的人数为X，求X的分布列及数学期望EX．附表及公式K2＝．22．（12分）已知函数f（x）＝（）x，（1）当x∈[﹣1，1]时，求函数y＝[f（x）]2﹣2af（x）+3的最小值g（a）；（2）是否存在实数m＞n＞3，使得g（x）的定义域为[n，m]，值域为[n2，m2]？若存在，求出m、n的值；若不存在，请说明理由．2015-2016学年江西省宜春市奉新一中高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．【解答】解：N＝{x|2x＞1}＝{x|x＞0}∵M＝{x|x＜1}，∴M∩N＝{X|0＜X＜1}故选：D．2．【解答】解：A．由“若p则q”的逆否命题是“若￢q则￢p”，得A正确；B．已知命题p和q，若p∨q为假命题，则p，q均为假命题，若p∨q为真命题，则p，q 中至少一个为真命题，故B不正确；C．若x，y∈R，则“x＝y”．可推出“xy≥”，又“xy≥”可推出“x2+y2﹣2xy≤0”即“（x﹣y）2≤0”即“x＝y”，故C正确；D．由命题的否定方法得D正确．故选：B．3．【解答】解：∵随机变量ξ服从正态分布N（3，4），∵P（ξ＜2a﹣3）＝P（ξ＞a+2），∴2a﹣3与a+2关于x＝3对称，∴2a﹣3+a+2＝6，∴3a＝7，∴a＝，故选：A．4．【解答】解：根据表中数据，得；＝×（0+1+2+3+4）＝2，＝×（2.2+4.3+t+4.8+6.7）＝，又样本中心点在回归直线＝0.95x+2.6上，所以＝0.95×2+2.6，解得t＝4.5．故选：C．5．【解答】解：由题意，投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c（a、b、c∈（0，1）），∴3a+2b＝2，∴2≥2∴ab≤（当且仅当a＝，b＝时取等号）∴ab的最大值为故选：D．6．【解答】解：∵由题意知该病的发病率为0.02，且每次实验结果都是相互独立的，∴ξ～B（10，0.02），∴由二项分布的方差公式得到Dξ＝10×0.02×0.98＝0.196．故选：C．7．【解答】解：因为f（x）+g（x）＝a x﹣a﹣x+2，所以，因为f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，所以，上述方程组中两式相加得：2g（2）＝4，即g（2）＝2，因为g（2）＝a，所以a＝2，将g（2）＝2，a＝2代入方程组中任意一个可求得f（2）＝，故选：C．8．【解答】解：∵7人中任选4人共C74种选法，去掉只有男生的选法C44，就可得有既有男生，又有女生的选法C74﹣C44＝34．故选：D．9．【解答】解：其中能被5整除的三位数末位必为0或5．①末位为0的三位数其首次两位从1～5的5个数中任取2个排列而成方法数为A52＝20，②末位为5的三位数，首位从非0，5的4个数中选1个，有C41种挑法，再挑十位，还有C41种挑法，∴合要求的数有C41•C41＝16种．∴共有20+16＝36个合要求的数，故选：B．10．【解答】解：曲线C的极坐标方程为ρ＝4cosθ，即ρ2＝4ρcosθ，化为x2+y2＝4x，化为（x﹣2）2+y2＝4，可得圆心C（2，0），半径r＝2．直线l的参数方程为（t为参数）．化为﹣4＝0．则圆心C到直线l的距离d＝＝1．∴若点P在曲线C上，且P到直线l的距离为1，则满足这样条件的点P的个数为3．故选：C．11．【解答】解：f（x）＝＝＝+1，设g（x）＝，则g（﹣x）＝﹣g（x），即g（x）是奇函数，则g max（x）+g min （x）＝0，∴M＝g max（x）+1，N＝g min（x）+1，∴M+N＝g max（x）+g min（x）+2＝2，故选：D．12．【解答】解：f（x）＝；∵x∈[0，1]；∴a≥﹣1时，f（x）＝，；∴a≤1时，f′（x）≥0；即﹣1≤a≤1时，f′（x）≥0，f（x）在[0，1]上单调递增；即a的取值范围是[﹣1，1]．故选：A．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案涂在答题卡上）13．【解答】解：展开式的通项为令得r＝2∴展开式中，含x5的项的系数是C82＝28故答案为：28．14．【解答】解：把5名实习老师分成三组，一组1人，另两组都是2人，有＝15种方法，再将3组分到3个班，共有•A33＝90种不同的分配方案，故答案为：90．15．【解答】解：∵a＞b，且ab＝1，∴＝＝（a﹣b）+＝2．当且仅当，即，时取等号．∴的最小值是．故答案为：．16．【解答】解：当x∈[﹣，]时，f（x）＝|2x﹣1|+|2x+a|＝1﹣2x+2x+a＝1+a，由a＞﹣1，当x∈[﹣，]时，f（x）≤g（x），即为1+a≤x+3，即a≤x+2，由x∈[﹣，]，可得x+2∈[2﹣，]，即有a≤2﹣，解得﹣1＜a≤．则a的取值范围是（﹣1，]．故答案为：（﹣1，]．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．【解答】解：（Ⅰ）依题意得：（m﹣1）2＝1，解得m＝0或m＝2当m＝2时，f（x）＝x﹣2在（0，+∞）上单调递减，与题设矛盾，舍去∴m＝0．（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）＝x2，当x∈[1，2]时，f（x），g（x）单调递增，∴A＝[1，4]，B＝[2﹣k，4﹣k]，∵A∪B⊆A，∴解得，0≤k≤1故实数K的取值范围为[0，1]18．【解答】解：（Ⅰ）曲线C1：（t为参数），化为（x+4）2+（y﹣3）2＝1，∴C1为圆心是（﹣4，3），半径是1的圆．C2：（θ为参数），化为．C2为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆．（Ⅱ）当t＝时，P（﹣4，4），Q（8cosθ，3sinθ），故M，直线C3：ρ（cosθ﹣2sinθ）＝7化为x﹣2y＝7，M到C3的距离d＝＝|5sin（θ+φ）﹣13|，从而当cosθsinθ＝，sinθ＝﹣时，d取得最小值．19．【解答】（Ⅰ）解：f（x+3）≥0的解集为[﹣1，1]，即为|x|≤k的解集为[﹣1，1]，（k＞0），即有[﹣k，k]＝[﹣1，1]，解得k＝1；（Ⅱ）证明：将k＝1代入可得，++＝1（a，b，c＞0），则a+2b+3c＝（a+2b+3c）（++）＝3+（+）+（+）+（+）≥3+2+2+2＝3+2+2+2＝9，当且仅当a＝2b＝3c，上式取得等号．则有．20．【解答】解：（1）设从4个白球，5个黑球中任取3个的所有结果有C93．∴共有C93＝84个不同结果．（2）设事件：“取出3球中有2个白球，1个黑球”的所有结果组成的集合为A、∴A所包含的事件数C42C51．∴共有C42C51＝30种不同的结果．（3）设事件：“取出3球中至少有2个白球”的所有结果组成集合为B、∴事件B包含的结果数是C43+C42C51．∴共有C43+C42C51＝34种不同的结果．（4）∵从4个白球，5个黑球中，任取3个球的所有结果的出现可能性都相同，∴第（2）小题的事件发生的概率为＝，第（3）小题的事件发生的概率为＝．21．【解答】解：（1）由表中数据得K2的观测值，所以根据统计有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关；（2）设甲、乙解答一道几何题的时间分别为x、y分钟，则基本事件满足的区域为（如图所示）设事件A为“乙比甲先做完此道题”则满足的区域为x＞y，∴由几何概型即乙比甲先解答完的概率为；（3）由题可知在选择做几何题的8名女生中任意抽取两人，抽取方法有种，其中甲、乙两人没有一个人被抽到有种；恰有一人被抽到有种；两人都被抽到有种，∴X可能取值为0，1，2，，，X的分布列为：∴．22．【解答】解：（1）∵x∈[﹣1，1]，∴f（x）＝（）x∈[，3]，…（1分）y＝[f（x）]2﹣2af（x）+3＝[（）x]2﹣2a（）x+3＝[（）x﹣a]2+3﹣a2，…（3分）由一元二次函数的性质分三种情况：当a＜时，y min＝g（a）＝﹣；…（5分）当≤a≤3时，y min＝g（a）＝3﹣a2；…（6分）当a＞3时，y min＝g（a）＝12﹣6a…（7分）∴g（a）＝…（8分）（2）假设存在满足题意的m、n，∵m＞n＞3，且g（x）＝12﹣6x在（3，+∞）上是减函数…（9分）又g（x）的定义域为[n，m]，值域为[n2，m2]．∴…（10分）两式相减得：6（m﹣n）＝（m+n）（m﹣n），∵m＞n＞3，∴m+n＝6，但这与“m＞n＞3”矛盾…（11分）∴满足题意的m、n不存在…（12分）．。
江西省宜市高二数学下学期期末试卷 文(含解析)
2016-2017学年江西省宜春市高二（下）期末数学试卷（文科）一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．命题“对任意x∈R，都有x2﹣2x+4≤0”的否定为（）A．对任意x∈R，都有x2﹣2x+4≥0 B．对任意x∈R，都有x2﹣2x+4≤0C．存在x0∈R，使得x02﹣2x0+4＞0 D．存在x0∈R，使x02﹣2x0+4≤02．已知全集U=R，集合M={x|（x﹣1）（x+2）≥0}，N={x|﹣1≤x≤2}，则（∁∪M）∩N=（）A．[﹣2，﹣1] B．[﹣1，2] C．[﹣1，1）D．[1，2]3．已知，则复数z的虚部为（）A．B．C．D．4．已知a∈R，“2a≥2”是|a|≥1的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．若曲线y=x2+alnx在点（1，1）处的切线方程为y=3x﹣2，则a=（）A．1 B．C．2 D．36．二次函数y=f（x）满足f（x+3）=f（3﹣x），x∈R且f（x）=0有两个实根x1，x2，则x1+x2=（）A．6 B．﹣6 C．.3 D．﹣37．已知函数，则将f（x）的图象向右平移个单位所得曲线的一条对称轴的方程是（）A．x=π B．x=C．x=D．x=8．若椭圆上一点P与椭圆的两个焦点F1、F2的连线互相垂直，则△PF1F2的面积为（）A．36 B．16 C．20 D．249．宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．下图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b分别为5，2，则输出的n=（）A．2 B．3 C．4 D．510．已知指数函数y=f（x）、对数函数y=g（x）和幂函数y=h（x）的图象都经过点P（），如果f（x1）=g（x2）=h（x3）=4，那么x1+x2+x3=（）A．B．C．D．11．设P为双曲线右支上一点，M，N分别是圆（x+4）2+y2=4和（x﹣4）2+y2=1上的点，设|PM|﹣|PN|的最大值和最小值分别为m，n，则|m﹣n|=（）A．4 B．5 C．6 D．712．在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，AB=BC=2AD=2，E，F分别为BC，CD的中点，以A为圆心，AD为半径的圆交AB于G，点P在上运动（如图）．若=λ+μ，其中λ，μ∈R，则6λ+μ的取值范围是（）A．[1，] B．[，2] C．[2，2] D．[1，2]二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．设向量=（x，x+1），=（1，2），且⊥，则x= ．14．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，c=2，，则b= ．15．甲、乙、丙三人到户外植树，三人分工合作，一人挖坑和填土，一人施肥，一人浇水，他们的身高各不同，现了解到以下情况：①甲不是最高的；②最高的没浇水；③最矮的施肥；④乙不是最矮的，也没挖坑和填土．可以判断丙的分工是（从挖坑，施肥，浇水中选一项）．16．直线x=a分别与曲线y=2x+1，y=x+lnx交于A，B，则|AB|的最小值为．三.解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知c＞0，且c≠1，设p：函数y=c x在R上单调递减；q：函数f（x）=x2﹣2cx+1在（，+∞）上为增函数，若“p且q”为假，“p或q”为真，求实数c的取值范围．18．已知△ABC中，a，b，c是三个内角A，B，C的对边，关于x的不等式的解集是空集．（1）求角C的最大值；（2）若，△ABC的面积，求当角C取最大值时a+b的值．19．为了研究“教学方式”对教学质量的影响，某高中数学老师分别用两种不同的教学方式对入学数学平均分数和优秀率都相同的甲、乙两个高一新班进行教学（勤奋程度和自觉性都一样）．如图所示茎叶图为甲、乙两班（每班均为20人）学生的数学期末考试成绩．（1）现从甲班数学成绩不低于80分的同学中随机抽取两名同学，求成绩为87分的同学至少有一名被抽中的概率；（2）学校规定：成绩不低于75分的为优秀．请填写下面的2×2表，并判断有多大把握认为“成绩优秀与教学方式有关”．甲班乙班合计优秀不优秀合计下面临界值表仅供参考：P（x2≥k）0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.79 10.828（参考公式：x2=）20．已知椭圆的右焦点为F（1，0），且点在椭圆C 上，O为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设过定点T（0，2）的直线l与椭圆C交于不同的两点A、B，且∠AOB为锐角，求直线l的斜率k的取值范围．21．已知函数f（x）=alnx+b（a，b∈R），曲线f（x）在x=1处的切线方程为x﹣y﹣1=0．（1）求a，b的值；（2）证明：f（x）+≥1；（3）已知满足xlnx=1的常数为k．令函数g（x）=me x+f（x）（其中e是自然对数的底数，e=2.71828…），若x=x0是g（x）的极值点，且g（x）≤0恒成立，求实数m的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数）．以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．（Ⅰ）求直线l的直角坐标方程和曲线C的普通方程；（Ⅱ）设点P为曲线C上任意一点，求点P到直线l的距离的最大值．23．已知f（x）=|x﹣1|+|x+1|．（1）求f（x）≤x+2的解集；（2）若任意x∈R使不等式成立，求实数a的取值范围．2016-2017学年江西省宜春市高安中学高二（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．命题“对任意x∈R，都有x2﹣2x+4≤0”的否定为（）A．对任意x∈R，都有x2﹣2x+4≥0 B．对任意x∈R，都有x2﹣2x+4≤0C．存在x0∈R，使得x02﹣2x0+4＞0 D．存在x0∈R，使x02﹣2x0+4≤0【考点】2J：命题的否定．【分析】根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论．【解答】解：根据全称命题的否定是特称命题得：存在x0∈R，使得x02﹣2x0+4＞0，故选：C2．已知全集U=R，集合M={x|（x﹣1）（x+2）≥0}，N={x|﹣1≤x≤2}，则（∁∪M）∩N=（）A．[﹣2，﹣1] B．[﹣1，2] C．[﹣1，1）D．[1，2]【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【分析】运用二次不等式的解法，化简集合M，再由补集和交集的定义，即可得到所求集合．【解答】解：全集U=R，集合M={x|（x﹣1）（x+2）≥0}={x|x≥1或x≤﹣2}，N={x|﹣1≤x≤2}，则（∁∪M）∩N={x|﹣2＜x＜1}∩{x|﹣1≤x≤2}={x||﹣1≤x＜1}=[﹣1，1），故选：C．3．已知，则复数z的虚部为（）A．B．C．D．【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出．【解答】解： ==+i，则复数z的虚部为．故选：B．4．已知a∈R，“2a≥2”是|a|≥1的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】分别解出不等式，即可判断出结论．【解答】解：2a≥2⇔a≥1．|a|≥1⇔a≥1，或a≤﹣1．∴“2a≥2”是|a|≥1的充分不必要条件．故选：B．5．若曲线y=x2+alnx在点（1，1）处的切线方程为y=3x﹣2，则a=（）A．1 B．C．2 D．3【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】利用函数的导数，通过切线的斜率列出方程求解即可．【解答】解：曲线y=x2+alnx，可得y′=2x+，曲线y=x2+alnx在点（1，1）处的切线方程为y=3x﹣2，可得：，解得a=1．故选：A．6．二次函数y=f（x）满足f（x+3）=f（3﹣x），x∈R且f（x）=0有两个实根x1，x2，则x1+x2=（）A．6 B．﹣6 C．.3 D．﹣3【考点】3W：二次函数的性质．【分析】利用二次函数的对称轴，直接求解即可．【解答】解：二次函数y=f（x）满足f（x+3）=f（3﹣x），x∈R，可知二次函数的对称轴为：x=3，f（x）=0有两个实根x1，x2，则x1+x2=6．故选：A．7．已知函数，则将f（x）的图象向右平移个单位所得曲线的一条对称轴的方程是（）A．x=π B．x=C．x=D．x=【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】由条件利用两角和的差的正弦公式化简f（x）的解析式、再利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，得出结论．【解答】解：∵函数f（x）=sin2x﹣cos2x=2sin（2x﹣），则将f（x）向右平移个单位所得图象对应的函数的解析式为 y=2sin[2（x﹣）﹣]=2sin（2x﹣），则由2x﹣=kπ+，k∈Z，求得x=+，故所得图象的一条对称轴方程为x=，故选：D．8．若椭圆上一点P与椭圆的两个焦点F1、F2的连线互相垂直，则△PF1F2的面积为（）A．36 B．16 C．20 D．24【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】由题意可知：a=6，b=4，c=2．利用椭圆的定义及勾股定理即可求得|PF1||PF2|=32．根据三角形的面积公式，即可求得△PF1F2的面积．【解答】解：∵椭圆的方程：，则a=6，b=4，c==2．由椭圆的定义：|PF1|+|PF2|=2a=12，由勾股定理可知：|PF1|2+|PF2|2=（2c）2=80，∴|PF1||PF2|=32．∴△PF1F2的面积=|PF1||PF2|=16．△PF1F2的面积为16，故选B．9．宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．下图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b分别为5，2，则输出的n=（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】EF：程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：当n=1时，a=，b=4，满足进行循环的条件，当n=2时，a=，b=8满足进行循环的条件，当n=3时，a=，b=16满足进行循环的条件，当n=4时，a=，b=32不满足进行循环的条件，故输出的n值为4，故选C．10．已知指数函数y=f（x）、对数函数y=g（x）和幂函数y=h（x）的图象都经过点P（），如果f（x1）=g（x2）=h（x3）=4，那么x1+x2+x3=（）A．B．C．D．【考点】51：函数的零点；48：指数函数的定义、解析式、定义域和值域；4U：幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【分析】利用待定系数法分别求出，指数函数，对数函数和幂函数的表达式，然后解方程即可．【解答】解：分别设f（x）=a x，g（x）=log a x，h（x）=xα，∵函数的图象都经过点P（），∴f（）==2，g（）=log b=2，h（）=（）α=2，即a=4，b=，α=﹣1，∴f（x）=4x，g（x）=log，h（x）=x﹣1，∵f（x1）=g（x2）=h（x3）=4，∴4x1=4， x2=4，（x3）﹣1=4，解得x1=1，x2=（）4=，x3=，∴x1+x2+x3=1++=，故选：D．11．设P为双曲线右支上一点，M，N分别是圆（x+4）2+y2=4和（x﹣4）2+y2=1上的点，设|PM|﹣|PN|的最大值和最小值分别为m，n，则|m﹣n|=（）A．4 B．5 C．6 D．7【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】求得两圆的圆心和半径，设双曲线的左右焦点为F1（﹣4，0），F2（4，0），连接PF1，PF2，F1M，F2N，运用勾股定理和双曲线的定义，结合三点共线时，距离之和取得最小值，计算即可得到所求值．【解答】解：圆C1：（x+4）2+y2=4的圆心为（﹣4，0），半径为r1=2；圆C2：（x﹣4）2+y2=1的圆心为（4，0），半径为r2=1，设双曲线的左右焦点为F1（﹣4，0），F2（4，0），连接PF1，PF2，F1M，F2N，可得|PF1|﹣|PF2|=2是定值，|PM|=|PF1|+r1，|PN|=（|PF2|﹣r2），所以|PM|﹣|PN|的最大值2a+r1+r2=5，|PM|=|PF1|﹣r1，|PN|=（|PF2|+r2），所以|PM|﹣|PN|的最小值：2a﹣r1﹣r2=﹣1．可得m=5，n=﹣1，则|m﹣n|=6．故选：C．12．在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，AB=BC=2AD=2，E，F分别为BC，CD的中点，以A为圆心，AD为半径的圆交AB于G，点P在上运动（如图）．若=λ+μ，其中λ，μ∈R，则6λ+μ的取值范围是（）A．[1，] B．[，2] C．[2，2] D．[1，2]【考点】9H：平面向量的基本定理及其意义．【分析】建立如图所示的坐标系，则A（0，0），B（2，0），D（0，1），C（2，2），E（2，1），F（1，1.5），P（cosα，sinα）（0≤α≤），由=λ+μ得，（cosα，sinα）=λ（2，1）+μ（﹣1，），λ，μ用参数α进行表示，利用辅助角公式化简，即可得出结论．【解答】解：建立如图所示的坐标系，则A（0，0），B（2，0），D（0，1），C（2，2），E（2，1），F（1，1.5），P（cosα，sinα）（0≤α≤），由=λ+μ得，（cosα，sinα）=λ（2，1）+μ（﹣1，）⇒cosα=2λ﹣μ，sinα=λ+⇒λ=，∴6λ+μ=6（）+=2（sinα+cosα）=2sin（）∵，∴sin（）∴2sin（）∈[2，2]，即6λ+μ的取值范围是[2，2]．故选：C二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．设向量=（x，x+1），=（1，2），且⊥，则x= ．【考点】9T：数量积判断两个平面向量的垂直关系．【分析】根据向量垂直的充要条件便可得出，进行向量数量积的坐标运算即可得出关于x的方程，解方程便可得出x的值．【解答】解：∵；∴；即x+2（x+1）=0；∴．故答案为：．14．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，c=2，，则b= 3 ．【考点】HR：余弦定理；HP：正弦定理．【分析】利用余弦定理即可得出．【解答】解：由余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2cbcosA，∴5=22+b2﹣4b×，化为：3b2﹣8b﹣3=0，b＞0，解得b=3．故答案为：3．15．甲、乙、丙三人到户外植树，三人分工合作，一人挖坑和填土，一人施肥，一人浇水，他们的身高各不同，现了解到以下情况：①甲不是最高的；②最高的没浇水；③最矮的施肥；④乙不是最矮的，也没挖坑和填土．可以判断丙的分工是挖坑和填土（从挖坑，施肥，浇水中选一项）．【考点】F4：进行简单的合情推理．【分析】先推导出乙的分工是浇水，再推导出丙是最高的，甲是最矮的，由此能求出丙的分工．【解答】解：甲、乙、丙三人到户外植树，三人分工合作，一人挖坑和填土，一人施肥，一人浇水，最矮的施肥，乙不是最矮的，也没挖坑和填土，由此得到乙的分工是浇水，再由甲不是最高的，最高的没浇水，得到丙是最高的，甲是最矮的，∴甲的分工是施肥，丙的分工是挖坑和填土．故答案为：挖坑和填土．16．直线x=a分别与曲线y=2x+1，y=x+lnx交于A，B，则|AB|的最小值为 2 ．【考点】3O：函数的图象．【分析】|AB|的最小值为两函数差的极值绝对值．【解答】解：令f（x）=2x+1﹣x﹣lnx=x﹣lnx+1，则f′（x）=1﹣，∴当0＜x＜1时，f′（x）＜0，当x＞1时，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，∴当x=1时，f（x）取得最小值f（1）=2，∴|AB|的最小值为2．故答案为：2．三.解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知c＞0，且c≠1，设p：函数y=c x在R上单调递减；q：函数f（x）=x2﹣2cx+1在（，+∞）上为增函数，若“p且q”为假，“p或q”为真，求实数c的取值范围．【考点】2E：复合命题的真假．【分析】由函数y=c x在R上单调递减，知p：0＜c＜1，￢p：c＞1；由f（x）=x2﹣2cx+1在（，+∞）上为增函数，知q：0＜c≤，￢q：c＞且c≠1．由“p或q”为真，“p 且q”为假，知p真q假，或p假q真，由此能求出实数c的取值范围．【解答】解∵函数y=c x在R上单调递减，∴0＜c＜1．即p：0＜c＜1，∵c＞0且c≠1，∴￢p：c＞1．又∵f（x）=x2﹣2cx+1在（，+∞）上为增函数，∴c≤．即q：0＜c≤，∵c＞0且c≠1，∴￢q：c＞且c≠1．又∵“p或q”为真，“p且q”为假，∴p真q假，或p假q真．①当p真，q假时，{c|0＜c＜1}∩{c|c＞，且c≠1}={c|}．②当p假，q真时，{c|c＞1}∩{c|0＜c}=∅．[]综上所述，实数c的取值范围是{c|}．18．已知△ABC中，a，b，c是三个内角A，B，C的对边，关于x的不等式的解集是空集．（1）求角C的最大值；（2）若，△ABC的面积，求当角C取最大值时a+b的值．【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理．【分析】（1）由题意可得，解得cosC，从而解得C 的最大值．（2）由题意： =，得ab=6，由余弦定理得：，即可得解a+b的值．【解答】解：（1）∵的解集是空集．∴，即2cos2C+3cosC﹣2≥0，即（cosC+2）（2cosC﹣1）≥0，∴cosC，…..所以0＜C，…..即C的最大值为．…（2）∵=，…∴得ab=6，…由余弦定理得：，从而得，则．…19．为了研究“教学方式”对教学质量的影响，某高中数学老师分别用两种不同的教学方式对入学数学平均分数和优秀率都相同的甲、乙两个高一新班进行教学（勤奋程度和自觉性都一样）．如图所示茎叶图为甲、乙两班（每班均为20人）学生的数学期末考试成绩．（1）现从甲班数学成绩不低于80分的同学中随机抽取两名同学，求成绩为87分的同学至少有一名被抽中的概率；（2）学校规定：成绩不低于75分的为优秀．请填写下面的2×2表，并判断有多大把握认为“成绩优秀与教学方式有关”．甲班乙班合计优秀不优秀合计下面临界值表仅供参考：P（x2≥k）0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.79 10.828（参考公式：x2=）【考点】BL：独立性检验．【分析】（1）先求得甲班数学成绩不低于80分的同学人数及成绩为87分的同学人数，利用排列组合求得基本事件的个数，利用古典概型的概率公式计算；（2）根据茎叶图分别求出甲、乙班优秀的人数与不优秀的人数，列出列联表，利用相关指数公式计算K2的观测值，比较与临界值的大小，判断成绩优秀与教学方式有关的可靠性程度．【解答】解：（1）甲班数学成绩不低于80分的同学有5名，其中成绩为87分的同学有2名，从5名同学中抽取2名，共有=10种方法，其中至少有一名同学87分的抽法有+=7种，∴所求概率P=；（2）2×2列联表为：甲班乙班合计优秀 6 14 20不优秀14 6 20合计20 20 40∴K2==6.4＞5.024，有97.5%以上的把握认为成绩优秀与教学方式有关．20．已知椭圆的右焦点为F（1，0），且点在椭圆C 上，O为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设过定点T（0，2）的直线l与椭圆C交于不同的两点A、B，且∠AOB为锐角，求直线l的斜率k的取值范围．【考点】KP：圆锥曲线的范围问题；K3：椭圆的标准方程．【分析】（Ⅰ）利用已知条件求出c=1，得到a2=b2+1．通过点在椭圆C上，得到，可解椭圆C的标准方程．（Ⅱ）设直线l的方程为y=kx+2，点A（x1，y1），B（x2，y2），通过联立直线与椭圆方程，利用韦达定理以及x1x2+y1y2＞0．判别式的符号，求解k的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）由题意，得c=1，所以a2=b2+1．因为点在椭圆C上，所以，可解得a2=4，b2=3．则椭圆C的标准方程为．（Ⅱ）设直线l的方程为y=kx+2，点A（x1，y1），B（x2，y2），由，得（4k2+3）x2+16kx+4=0．因为△=48（4k2﹣1）＞0，所以，由根与系数的关系，得．因为∠AOB为锐角，所以，即x1x2+y1y2＞0．所以x1x2+（kx1+2）（kx2+2）＞0，即（1+k2）x1x2+2k（x1+x2）+4＞0，所以．综上，解得或．所以，所求直线的斜率的取值范围为或．21．已知函数f（x）=alnx+b（a，b∈R），曲线f（x）在x=1处的切线方程为x﹣y﹣1=0．（1）求a，b的值；（2）证明：f（x）+≥1；（3）已知满足xlnx=1的常数为k．令函数g（x）=me x+f（x）（其中e是自然对数的底数，e=2.71828…），若x=x0是g（x）的极值点，且g（x）≤0恒成立，求实数m的取值范围．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程；3R：函数恒成立问题．【分析】（1）求出f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，由已知切线的方程，可得a，b 的值；（2）令=，求出导数和单调区间，可得极小值且为最小值，即可得证；（3）g（x）=me x+lnx（x＞0），求出g（x）的导数，讨论m的符号，判断g（x）的单调性，得到x的方程一定有解，其解为x0（x0＞0），判断为g（x）的最大值点，考察函数，求出导数，由零点存在定理可得k是方程的唯一根，即可得到所求m的范围．【解答】解：（1）f（x）的导函数，由曲线f（x）在x=1处的切线方程为x﹣y﹣1=0，知f'（1）=1，f（1）=0，所以a=1，b=0．（2）证明：令=，则=，当0＜x＜1时，u'（x）＜0，u（x）单调递减；当x＞1时，u'（x）＞0，u（x）单调递增，所以，当x=1时，u（x）取得极小值，也即最小值，该最小值为u（1）=0，所以u（x）≥0，即不等式成立．（3）函数g（x）=me x+lnx（x＞0），则，当m≥0时，g′（x）＞0，函数g（x）在（0，+∞）内单调递增，g（x）无极值，不符合题意；当m＜0时，由，得，结合y=e x，在（0，+∞）上的图象可知，关于x的方程一定有解，其解为x0（x0＞0），且当0＜x＜x0时，g'（x）＞0，g（x）在（0，x0）内单调递增；当x＞x0时，g'（x）＜0，g（x）在（x0，+∞）内单调递减．则x=x0是函数g（x）的唯一极值点，也是它的唯一最大值点，x=x0也是g'（x）=0在（0，+∞）上的唯一零点，即，则．所以g（x）max=g（x0）==．由于g（x）≤0恒成立，则g（x）max≤0，即，（*）考察函数，则，所以h（x）为（0，+∞）内的增函数，且，，又常数k满足klnk=1，即，所以，k是方程的唯一根，于是不等式（*）的解为x0≤k，又函数（x＞0）为增函数，故，所以m的取值范围是．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数）．以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．（Ⅰ）求直线l的直角坐标方程和曲线C的普通方程；（Ⅱ）设点P为曲线C上任意一点，求点P到直线l的距离的最大值．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）直线l的极坐标方程转化为，由此能求出直线l的直角坐标方程．曲线C的参数方程消去参数α，能求出曲线C的普通方程．（Ⅱ）设点为曲线C上任意一点，利用点到直线的距离公式及三角函数性质能求出点P到直线l的距离的最大值．【解答】解：（Ⅰ）因为直线l的极坐标方程为，即，∴直线l的直角坐标方程为．曲线C的参数方程为（α是参数），利用同角三角函数的基本关系消去α，可得曲线C的普通方程为．（Ⅱ）设点为曲线C上任意一点，则点P到直线l的距离，故当时，d取最大值为．23．已知f（x）=|x﹣1|+|x+1|．（1）求f（x）≤x+2的解集；（2）若任意x∈R使不等式成立，求实数a的取值范围．【考点】R5：绝对值不等式的解法；3R：函数恒成立问题．【分析】（1）通过讨论x的范围，得到各个区间上的x的范围，取并集即可；（2）求出f（x）的最小值，得到关于a的不等式，解出即可．【解答】解：（1）由f（x）≤x+2，得或或，解之得0≤x≤2，∴f（x）≤x+2的解集为{x|0≤x≤2}．（2）由题可得，f（x）min≥（a2++9），而f（x）=，∵f（x）min=2，∴，∴．21。
2016-2017学年江西省宜春市奉新一中高二(下)期末数学试卷(理科)(解析版)
2016-2017学年江西省宜春市奉新一中高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，，则A∩B＝（）A．{x|1＜x＜3}B．{x|﹣1＜x＜3}C．{x|﹣1＜x＜0或0＜x＜3}D．{x|﹣1＜x＜0或1＜x＜3}2．（5分）下列有关命题的叙述错误的是（）A．若非p是q的必要条件，则p是非q的充分条件B．“x＞2”是“”的充分不必要条件C．命题“∀x∈R，x2﹣x≥0”的否定是“∃x∈R，x2﹣x＜0”D．若p且q为假命题，则p，q均为假命题3．（5分）从10名大学生毕业生中选3个人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数位（）A．85B．56C．49D．284．（5分）设α∈，则使函数y＝xα为奇函数且在（0，+∞）为增函数的所有α的值为（）A．1，3B．﹣1，1，2C．，1，3D．﹣1，1，3 5．（5分）已知函数y＝﹣x2+4ax在[1，3]是单调递减的，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，]B．（﹣∞，1）C．[，]D．[，+∞）6．（5分）下列命题中，真命题的个数为（）①从容量为20的总体中的用简单随机抽样逐个抽取容量为5的样本，则个体甲第一次被抽到或第二次被抽到的概率均为；②线性相关系数r是刻画变量之间线性相关程度的量，r越大则两变量间的线性相关程度越强；③离散型随机变量X，Y满足Y＝﹣2X+1，方差DX＝，则方差DY＝﹣1．A．0B．1C．2D．37．（5分）已知函数，则函数的定义域为（）A．[0，+∞）B．[0，16]C．[0，4]D．[0，2]8．（5分）定义在R上的奇函数f（x），满足f（1）＝0，且在（0，+∞）上单调递增，则xf（x）＞0的解集为（）A．{x|x＜﹣1或x＞1}B．{x|0＜x＜1或﹣1＜x＜0}C．{x|0＜x＜1或x＜﹣1}D．{x|﹣1＜x＜0或x＞1}9．（5分）曲线C1的极坐标方程为ρsin2θ＝cosθ，曲线C2的参数方程为，（t为参数），以极点为原点、极轴为x轴正半轴、相同的单位长度建立直角坐标系，则曲线C1与曲线C2的交点个数为（）A．3B．2C．1D．010．（5分）已知函数f（x）＝2cos22x﹣2，给出下列命题：①∃β∈R，f（x+β）为奇函数；②∃α∈（0，），f（x）＝f（x+2α）对x∈R恒成立；③∀x1，x2∈R，若|f（x1）﹣f（x2）|＝2，则|x1﹣x2|的最小值为；④∀x1，x2∈R，若f（x1）＝f（x2）＝0，则x1﹣x2＝kπ（k∈Z）．其中的真命题有（）A．①②B．③④C．②③D．①④11．（5分）定义在R上的奇函数f（x）满足：当x＞0时，f（x）＝2013x+log2013x，则方程f（x）＝0的实数根的个数是（）A．1B．2C．3D．512．（5分）函数f（x）的定义域为D，满足：①f（x）在D内是单调函数；②存在[]⊆D，使得f（x）在[]上的值域为[a，b]，那么就称函数y＝f（x）为“优美函数”，若函数f（x）＝log c（c x﹣t）（c＞0，c≠1）是“优美函数”，则t的取值范围为（）A．（0，1）B．（0，）C．（﹣∞，）D．（0，）二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），已知P（ξ＜0）＝0.3，则P（ξ＜2）＝．14．（5分）若a＝（x|x|+sin x+5）dx，则（x﹣）6（3x﹣1）a展开式的系数和为．15．（5分）已知函数f（x）＝log2（2﹣ax）在[﹣1，+∞）为单调增函数，则a的取值范围是．16．（5分）已知函数f（x）＝若关于x的函数y＝f2（x）﹣bf（x）+1有8个不同的零点，则实数b的取值范围是．三、解答题：（本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）. 17．（10分）已知（1﹣2x）7＝a0+a1x+a2x2+…a7x7，求：（1）a0+a1+a2+…+a7；（2）|a0|+|a1|+|a2|+…+|a7|（3）a1+a3+a5+a7．18．（12分）已知p：，q：{x|1+m≤x≤1﹣m，m＜0}（1）若￢p是￢q的必要不充分条件，求实数m的取值范围；（2）当m＝﹣6时，若p或q为真，p且q为假，求实数x的取值范围．19．（12分）已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ＝12，且曲线C 的左焦点F在直线l上．（Ⅰ）若直线l与曲线C交于A、B两点．求|F A|•|FB|的值；（Ⅱ）设曲线C的内接矩形的周长为P，求P的最大值．20．（12分）一中科普兴趣小组通过查阅生物科普资料统计某花卉种子的发芽率与昼夜温差之间的关系，他们分别从近十年3月份的数据中随机抽取了5天记录昼夜温差及每天30颗种子的发芽数，并列表如下：参考数据：＝832，＝615，b＝，a＝（1）请根据以上5组数据，求出y关于x的线性回归方程；（2）假如现在要对（1）问中的线性回归方程的可靠性进行研究：如果由线性回归方程得到的估计数据与另外抽取的两组数据的误差的平方和不超过2，即认为此线性回归方程可靠的．如果另外随机抽取的两组数据为：温差8℃，发芽数为12和温差14℃，发芽数为18．请由此判断（1）中的线性回归方程是否可靠；（3）如果将以上5天数据中30颗种子发芽数超过15颗（包含15颗）的天数的频率作为整个2017年3月份的30颗种子发芽数超过15颗（包含15颗）的天数的概率，求从2017年3月份的1号到31号的31天中任选5天，记种子发芽数超过15颗（包含15颗）的天数为随机变量X，求X的期望和方差．21．（12分）已知y＝f（x）为二次函数，若y＝f（x）在x＝2处取得最小值﹣4，且y＝f（x）的图象经过原点，（1）求f（x）的表达式；（2）求函数在区间上的最大值和最小值．22．（12分）已知函数f（x）＝2|x﹣m|和函数g（x）＝x|x﹣m|+2m﹣8，其中m为参数．（1）若m＝2，写出函数g（x）的单调区间（无需证明）；（2）若方程f（x）＝2|m|在x∈[﹣2，+∞）上有唯一解，求实数m的取值范围；（3）当m＜4时，若对任意x1∈[4，+∞），存在x2∈（﹣∞，4]，使得f（x2）＝g（x1）成立，求实数m的取值范围．2016-2017学年江西省宜春市奉新一中高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分）1．【解答】解：∵集合A＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}＝{x|﹣1＜x＜3}，＝{x|x＜0或x＞1}，∴A∩B＝{x|﹣1＜x＜0或1＜x＜3}．故选：D．2．【解答】解：若非p是q的必要条件，则q⇒￢p，∴p⇒￢q，即p是￢q的充分条件．故A正确；由x＞2⇒，但由，不一定有x＞2，如x＜0．∴“x＞2”是“”的充分不必要条件．故B正确；命题“∀x∈R，x2﹣x≥0”的否定是“∃x∈R，x2﹣x＜0”．故C正确；若p且q为假命题，则p，q中至少一个为假命题．故D错误．故选：D．3．【解答】解：∵丙没有入选，∴只要把丙去掉，把总的元素个数变为9个，∵甲、乙至少有1人入选，∴由条件可分为两类：一类是甲乙两人只选一个的选法有：C21•C72＝42，另一类是甲乙都选的选法有C22•C71＝7，根据分类计数原理知共有42+7＝49，故选：C．4．【解答】解：因为函数是R+上的增函数，所以指数大于0，又因为是奇函数，所以指数为1或3，结合1，3都大于0，所以y＝x与y＝x3都是R+上的增函数．故α的值为1，3．故选：A．5．【解答】解：对函数求导y′＝﹣2x+4a，函数在[1，3]单调递减，则导数在[1，3]的值≤0，因函数导数是一次函数，且在[1，3]递减，最大值为y′＝﹣2+4a，则﹣2+4a≤0，解得，故选：A．6．【解答】解：对于①，根据抽签有先后，对每一个个体被抽到的概率相等知，甲第一次被抽到或第二次被抽到的概率均为，∴（1）正确；对于②，线性相关系数r是刻画变量之间线性相关程度的量，|r|越接近1，两变量间的线性相关程度越强，∴（2）错误；对于③，由Y＝﹣2X+1，方差DX＝，则方差DY＝（﹣2）2×＝2，∴（3）错误；综上，正确的命题是（1），有1个．故选：B．7．【解答】解：由4﹣x2≥0，解得，﹣2≤x≤2，即y＝f（2﹣x）的定义域是[﹣2，2]，则2﹣x∈[0，4]，即函数f（x）的定义域为[0，4]，令∈[0，4]，解得x∈[0，16]．则函数y＝f（）的定义域为[0，16]．故选：B．8．【解答】解：∵定义在R上的奇函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，且f（1）＝0，∴函数f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，且f（﹣1）＝0，∴不等式xf（x）＞0等价于或∴x＞1或﹣1≤x＜﹣1∴不等式xf（x）＞0的解集为{x|x＞1或x＜﹣1}．故选：A．9．【解答】解：曲线C1的极坐标方程为ρsin2θ＝cosθ，转化为普通方程为y2＝x．曲线C2的参数方程为，（t为参数）转化为普通方程为y＝x﹣2．建立方程组得：整理得到：x2﹣5x＝4＝0由于△＝25﹣16＝9＞0所以曲线C1与曲线C2的交点个数为2故选：B．10．【解答】解：由题意，f（x）＝2cos22x﹣2＝cos4x﹣1；对于①，∵f（x）＝cos4x﹣1的图象如图所示；函数f（x+β）的图象是f（x）的图象向左或向右平移|β|个单位，它不会是奇函数的，故①错误；对于②，f（x）＝f（x+2α），∴cos4x﹣1＝cos（4x+8α）﹣1，∴8α＝2kπ，∴α＝，k∈Z；又α∈（0，），∴取α＝或时，∴f（x）＝f（x+2α）对x∈R恒成立，②正确；对于③，|f（x1）﹣f（x2）|＝|cos4x1﹣cos4x2|＝2时，|x1﹣x2|的最小值为＝＝，∴③正确；对于④，当f（x1）＝f（x2）＝0时，x1﹣x2＝kT＝k•＝（k∈Z），∴④错误；综上，真命题是②③．故选：C．11．【解答】解：∵在R上的奇函数f（x），∴f（0）＝0，∴x＝0是方程f（x）＝0的一个实根，当x＞0时，f（x）＝2013x+log2013x＝0，∴﹣2013x＝log2013x，设函数y＝﹣2013x y＝log2013x，在同一坐标系中作出它们的图象如下：∴当x＞0时，该方程有一个实根，又∵函数为奇函数，∴它们的图象关于坐标原点对称，∴当x＜0时，该方程也有一个实根，总之，该方程有三个实根，故选：C．12．【解答】解：若c＞1，则函数y＝c x﹣t为增函数，y＝log c x，为增函数，∴函数f（x）＝log c（c x﹣t）为增函数，若0＜c＜1，则函数y＝c x﹣t为减函数，y＝log c x，为减函数，∴函数f（x）＝log c（c x﹣t）为增函数，综上：函数f（x）＝log c（c x﹣t）为增函数，若函数f（x）＝log c（c x﹣t）（c＞0，c≠1）是“优美函数”，则，即，即，是方程x2﹣x+t＝0上的两个不同的正根，则，解得0＜t＜，故选：D．二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．【解答】解：随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），∴曲线关于x＝1对称，∴P（ξ＜0）＝P（ξ＞2）＝0.3，∴P（ξ＜2）＝1﹣0.3＝0.7，故答案为：0.714．【解答】解：函数f（x）＝x|x|+sin x是定义在区间[﹣1，1]上的奇函数，则：，据此可得：，则所考查的代数式为：，令x＝1可得其展开式的系数和为：．故答案为：16．15．【解答】解：由于函数f（x）＝log2（2﹣ax）在[﹣1，+∞）为单调增函数，可得y＝2﹣ax在[﹣1，+∞）为单调增函数，且为正值，故有，求得﹣2＜a＜0，故答案为：（﹣2，0）．16．【解答】解：作函数f（x）＝的图象如右图，∵关于x的函数y＝f2（x）﹣bf（x）+1有8个不同的零点，∴方程x2﹣bx+1＝0有2个不同的正解，且在（0，4]上；∴，解得，2＜b≤；故答案为：（2，]．三、解答题：（本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）. 17．【解答】解：已知（1﹣2x）7＝a0+a1x+a2x2+ (7x7)（1）令x＝1可得a0+a1+a2+a3+…+a7＝﹣1①，（2）令x＝﹣1可得|a0|+|a1|+|a2|+…+|a7|＝a0﹣a1+a2﹣a3+…﹣a7＝37②，（3）用①减去②再除以2可得a1+a3+a5+a7＝．18．【解答】解：（1）可得p：：{x|﹣1≤x≤7}，￢p：{x|x＞7或x＜﹣1}，￢q：：{x|x＜1+m或x＞1﹣m，m＜0}∵￢p是￢q的必要不充分条件，∴{x|x＜1+m或x＞1﹣m，m＜0}⊆{x|x＞7或x＜﹣1}，∴或，解得：m≤﹣6．∴m的取值范围是：{m|m≤﹣6}（2）当m＝﹣6时，q：﹣5≤x≤7∵p或q为真，p且q为假，∴p与q一真一假当p真q假时，⇒x∈∅，当p假q真时，⇒﹣5≤x＜﹣1综上可知：实数x的取值范围为：[﹣5，﹣1）19．【解答】解：（I）曲线C的直角坐标方程为x2+3y2＝12，即．∴曲线C的左焦点F的坐标为F（﹣2，0）．∵F（﹣2，0）在直线l上，∴直线l的参数方程为（t为参数）．将直线l的参数方程代入x2+3y2＝12得：t2﹣2t﹣2＝0，∴|F A|•|FB|＝|t1t2|＝2．（II）设曲线C的内接矩形的第一象限内的顶点为M（x，y）（0，0＜y＜2），则x2+3y2＝12，∴x＝．∴P＝4x+4y＝4+4y．令f（y）＝4+4y，则f′（y）＝．令f′（y）＝0得y＝1，当0＜y＜1时，f′（y）＞0，当1＜y＜2时，f′（y）＜0．∴当y＝1时，f（y）取得最大值16．∴P的最大值为16．20．【解答】解：（1）由记录昼夜温差及每天30颗种子的发芽数列表，得：＝＝11，＝＝15，＝832，＝615，∴b＝＝0.7，a＝＝7.3，∴y关于x的线性回归方程为＝0.7x+7.3．（2）由（1）知，当x＝8时，＝0.7×8+7.3＝12.9，当14时，＝0.7×14+7.3＝17.1，∴由线性回归方程得到的估计数据与另外抽取的两组数据的误差的平方和为：（12.9﹣12）2+（17.1﹣18）2＝1.62＜2，∴（1）中的线性回归方程是可靠的．（3）由题意得X的可能取值为0，1，2从2017年3月份的1号到31号的31天抽取的5天中每天30颗种子发芽数超过15颗（包含15颗）的天数的概率均为，且每天的发芽是否超过15颗（包含15颗）互相不影响，∴X～B（5，），∴EX＝5×＝3，DX＝．21．【解答】解：（1）设二次函数f（x）＝a（x﹣2）2﹣4，∵函数图象过原点，∴f（0）＝0，解得a＝1，∴f（x）＝（x﹣2）2﹣4．（2）∵x∈，∴，设t＝，则t∈[﹣1，3]，则g（t）＝（t﹣2）2﹣4．且t∈[﹣1，3]，∴当t＝2即x＝时，函数y有最小值﹣4，当t＝﹣1，即x＝2时，函数y有最大值5．22．【解答】解：（1）函数g（x）＝x|x﹣m|+2m﹣8，m为参数；m＝2时，g（x）＝＝；函数g（x）的单调增区间为（﹣∞，1），（2，+∞），单调减区间为（1，2）；（开闭均可）…（3分）（2）由f（x）＝2|x﹣m|在x∈[﹣2，+∞）上有唯一解，得|x﹣m|＝|m|在x∈[﹣2，+∞）上有唯一解；即（x﹣m）2＝m2，解得x＝0或x＝2m，由题意知2m＝0或2m＜﹣2，即m＜﹣1或m＝0；综上，m的取值范围是m＜﹣1或m＝0；…（7分）（3）由题意，f（x）＝，则g（x）的值域应是f（x）的值域的子集；…（9分）当m＜4时，f（x）在（﹣∞，m）上单调递减，[m，4]上单调递增，故f（x）≥f（m）＝1；g（x）在[4，+∞）上单调递增，故g（x）≥g（4）＝8﹣2m；所以8﹣2m≥1，即m≤．…（12分）。
宜春市2016~2017学年第二学期期末统考
宜春市2016~2017学年第二学期期末统考高二年级数学（文科）答案与提示一、选择题BAADC BBABC CB二、填空题13. i-5 14.153115.π4 16.0三、解答题17.解：（1）1cos sin)62πρθρθθ⎛⎫-=+=⎪⎝⎭化简得到直线ly+=3分曲线C的普通方程为223x y+=……6分（2）：设) Pαα|)|3cos322dπααα+--==……8分≤10分18.解：（1）：当21-≤x时，2)2(12>-++-xx）（,解得5-<x；当221<<-x时，2)2(12>-++xx）（,解得21<<x；当2≥x时，2)2(-12>-+xx）（,解得2≥x；综上可知，不等式解集为：)(1,,-5)(-+∞∞ ……6分（2）：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥+<<---≤--=--+=)2(;3)221(;13)21(;3|2||12|)(xxxxxxxxxf当21-=x时，)(xf取得最小值25-，即252112-≤-tt解得：521≤≤t……12分19.解（1）当0a=时方程无解，不符合题意；当 0a ≠时，解得两根为1212,x x a a ==- ，∴ 101a <≤或201a<-≤ 解得2a ≤-或1a ≥……………………5分（2）：若p 真，则2(28)(24)(42)f a f a f a -≤--=- 即22842a a -≤-，解得13a -≤≤……………………9分 由题意可知,p q 一真一假当p q 真假时：13a -≤≤且21a -<<，得到11a -≤<；当p q 假真时：-13a a <>或且21a a ≤-≥或得到23a a ≤->或； 综上可知(,2][1,1)(3,)a ∈-∞--+∞……………………12分 20.解：（1）定义域为R，则2()202u x ax x =++>恒成立， 当0a =时，()2u x x =不符合题意； 当0a ≠时，必有040a >⎧⎪⎨∆=-<⎪⎩，解得a >综上可知a >6分（2）. 12()log f u u =为减函数，2()22u x ax x =++在(1)+∞递增且满足()0u x >恒成立。
江西省奉新县第一中学20172018学年高二数学下学期期末考试试题理
奉新一中2019届高二下学期期末考试数 学（理科）试 题一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分）1.已知全集=U R ，集合{}{}23,1或=≤-≥=≥A x x x B x x ，则()=U C A B （ ）A. {}23≤<x x B. {}13≤<x x C.{}3>x x D.∅ 2．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，算得，χ2≈7.8.附表：P (χ2≥k )0.050 0. 010 0.001 k3.8416.63510.828参照附表，得到的正确结论是( )A.有99.9%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”B.有99.9%以上的把握认为 “爱好该项运动与性别无关”C.有99%以上的把握认为“爱好该项运动和性别有关”D.有99%以上的把握认为“爱好该项运动和性别无关” 3. 点的直角坐标是()3,1-，则点的极坐标是（ ）A.B.C.D.4.以下有关命题的说法错误的是（ ） A.“x=1”是“x 2-3x+2=0”的充分不必要条件B.命题“若x 2-3x+2=0,则x=1”的逆否命题为“若x ≠1,则x 2-3x+2≠0” C.对于命题p:0>∃x ,使得x 2+x+1<0,则0:≤∀⌝x p ,均有x 2+x+1≥0 D.若p ∨q 为假命题,则p 、q 均为假命题5.设复数z 满足z ＋2z －＝6＋i(i 是虚数单位)，则复数z 在复平面内所对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 6.下列函数中，既是偶函数又在(0,)+∞单调递增的函数是（ ）A 、3y x =B 、21y x =-+C 、||2x y -= D 、||1y x =+7.从0,1,2,3,4,5中任取三个组成的无重复数字的三位数，其中能被5整除的有 （ ） A.40个B.36个C.28个D.60个8.某单位对某村的贫困户进行“精准扶贫”，若甲、乙贫困户获得扶持资金的概率分别为25和35， 两 户是否获得扶持资金相互独立，则这两户中至少有一户获得扶持资金的概率为（ ） A ．215 B ． 25 C ． 815 D ．19259.在3nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中，各项系数之和为A ，二项式系数之和为B ，若72A B +=，则二项展开式中常数项的值为（ ） A ．6B ．9C ．12D ．1810. 观察下列各式：a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4，a 4＋b 4＝7，a 5＋b 5＝11，…，则a 10＋b 10＝( )A. 28B. 76C. 123D. 199 11.在高校自主招生中，某中学获得6个推荐名额，其中中南大学2名，湖南大学2名，湖南师范大学2名，并且湖南大学和中南大学都要求必须有男生参加，学校通过选拔定下3男3女共6个推荐对象，则不同的推荐方法共有( )A. 54B.45C.24D.72 12. 已知定义在R 上的函数()(),'f x f x 是其导数，且满足()()()'2,124f x f x ef e +>=+，则不等式 ()42xxe f x e >+（其中e 为自然对数的底数）的解集为 （ ）A ． ()1,+∞B ． ()(),01,-∞⋃+∞C ． ()(),00,-∞⋃+∞D ． (),1-∞ 二、填空题：(本题共4小题，每小题5分，共20分)13. 已知函数)(x f y =的图象在点))2(,2(f M 处的切线方程是4+=x y ，则=+)2()2('f f14．已知函数()xf x a b =+()0,1a a >≠的定义域和值域都是[]1,0-，则ba =15.已知⎰-=22cos ππxdx a ，是以为周期的奇函数，且定义域为，则的值为 16.已知函数31()2sin (),3f x x x x x R =++∈ 若函数2(2)(2)y f x f x m =++--只有一个零点，则函数4()(1)1g x mx x x =+>-的最小值是_________三、解答题：(本大题共6小题，满分70分)17.（本小题满分10分）以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线1C 的极坐标方程2)4sin(=-πθρ，曲线2C 的极坐标方程为)4cos(2πθρ-=.（1）写出曲线1C 的普通方程和曲线2C 的参数方程；（2）设N M ,分别是曲线21,C C 上的两个动点，求||MN 的最小值.18．（本小题满分12分）已知⎩⎨⎧≤-≥+0701x x p ：，}011|{<-≤≤+m m x m x q ，： （1）若p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，求实数m 的取值范围;（2）当6-=m 时，若p 或q 为真，p 且q 为假，求实数x 的取值范围.19.（本小题满分12分）已知幂函数2422)1()(+--=m m xm x f 在),0(+∞上单调递增，函数.2)(k x g x-=(1)求m 的值；(2)当]2,1[∈x 时，记)(),(x g x f 的值域分别为B A ,，若A B A =⋃，求实数k 的取值范围．20.（本小题满分12分）一中科普兴趣小组通过查阅生物科普资料统计某花卉种子的发芽率与昼夜温差之间的关系，他们分别从近十年3月份的数据中随机抽取了5天记录昼夜温差及每天30颗种子的发芽数，并列表如下：日期 2012-3-1 2013-3-5 2008-3-15 2009-3-20 2016-3-29 温差x 10 11 13 12 9 发芽数y1516171413参考数据：552122111832,615,i ii i i i ni i ii x ynx y x y x b a y bx xnx====-====--∑∑∑∑x b y a -= （1）请根据以上5组数据，求出y 关于x 的线性回归方程；（2）假如现在要对（1）问中的线性回归方程的可靠性进行研究：如果由线性回归方程得到的估计数据与另外抽取的两组数据的误差的平方和不超过2，即认为此线性回归方程可靠的。
江西省宜春市奉新一中2016-2017学年高二下学期第一次月考数学试卷(文科)
2016-2017学年江西省宜春市奉新一中高二（下）第一次月考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．在极坐标系中，曲线ρ=4cosθ围成的图形面积为（）A．πB．4 C．4πD．162．在极坐标系中，已知点P（2，），则过点P且平行于极轴的直线的方程是（）A．ρsinθ=1B．ρsinθ=C．ρcosθ=1 D．ρcosθ=3．如图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是，，则|z1+z2|=（）A．2 B．3 C．2 D．34．不等式x2﹣|x|﹣2＜0的解集是（）A．{x|﹣2＜x＜2}B．{x|x＜﹣2或x＞2}C．{x|﹣1＜x＜1}D．{x|x＜﹣1或x＞1}5．不等式|x|•（1﹣2x）＞0的解集是（）A．B．（﹣∞，0）∪C．D．6．不等式3≤|5﹣2x|＜9的解集为（）A．[﹣2，1）∪[4，7）B．（﹣2，1]∪（4，7]C．（﹣2，﹣1]∪[4，7）D．（﹣2，1]∪[4，7）7．与参数方程为（t为参数）等价的普通方程为（）A．x2+=1 B．x2+=1（0≤x≤1）C．x2+=1（0≤y≤2）D．x2+=1（0≤x≤1，0≤y≤2）8．若复数z=a2﹣1+（a+1）i（a∈R）是纯虚数，则的虚部为（）A．﹣ B．﹣C．D．9．用反证法证明命题：“若a，b∈N，ab能被3整除，那么a，b中至少有一个能被3整除”时，假设应为（）A．a，b都能被3整除B．a，b都不能被3整除C．a，b不都能被3整除D．a不能被3整除10．如a+b＞a+b，则a，b必须满足的条件是（）A．a＞b＞0 B．a＜b＜0C．a＞b D．a≥0，b≥0，且a≠b11．在平面几何中有如下结论：正三角形ABC的内切圆面积为S1，外接圆面积为S2，则=，推广到空间可以得到类似结论，已知正四面体P﹣ABC的内切球体积为V1，外接球体积为V2，则=（）A．B．C．D．12．将自然数0，1，2，…按照如下形式进行摆列：根据以上规律判定，从2016到2018的箭头方向是（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．设平面上的伸缩变换的坐标表达式为，则在这一坐标变换下正弦曲线y=sinx的方程变为．14．在极坐标系中，设P是直线l：ρ（cosθ+sinθ）=4上任一点，Q是圆C：ρ2=4ρcosθ﹣3上任一点，则|PQ|的最小值是．15．已知直线l：（t为参数且t∈R）与曲线C：（α是参数且α∈[0，2π）），则直线l与曲线C的交点坐标为．16．以下三个命题：①若|a﹣b|＜1，则|a|＜|b|+1；②若a，b∈R，则|a+b|﹣2|a|≤|a﹣b|；③若|x|＜2，|y|＞3，则，其中正确命题的序号是．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρcos（）=1，M，N分别为C与x轴，y轴的交点．（1）写出C的直角坐标方程，并求M，N的极坐标；（2）设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程．18．已知复数z=bi（b∈R），是实数，i是虚数单位．（1）求复数z；（2）若复数（m+z）2所表示的点在第一象限，求实数m的取值范围．19．在直角坐标系xOy中，过点作倾斜角为α的直线L与曲线C：x2+y2=1相交于不同的两点M，N．（1）若以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，写出C的极坐标方程和直线L的参数方程；（2）求的取值范围．20．设不等式|2x﹣1|＜1的解集为M，且a∈M，b∈M．（1）试比较ab+1与a+b的大小．（2）设max{A}表示数集A中的最大数，且，求证：h＞2．21．设函数f（x）=|x﹣1|+|2x﹣1|．（Ⅰ）求不等式f（x）≥2的解集；（Ⅱ）若∀x∈R，不等式f（x）≥a|x|恒成立，求实数a的取值范围．22．已知b=a3+，a∈[0，1]．证明：（1）b≥1﹣a+a2．（2）＜b≤．2016-2017学年江西省宜春市奉新一中高二（下）第一次月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．在极坐标系中，曲线ρ=4cosθ围成的图形面积为（）A．πB．4 C．4πD．16【考点】Q8：点的极坐标和直角坐标的互化．【分析】先将原极坐标方程两边同乘以ρ后化成直角坐标方程，再利用直角坐标方程进行求解圆的面积即可．【解答】解：将原极坐标方程为ρ=4cosθ，化成：ρ2=4ρcosθ，其直角坐标方程为：∴x2+y2=4x，是一个半径为2的圆，其面积为4π．故选C．2．在极坐标系中，已知点P（2，），则过点P且平行于极轴的直线的方程是（）A．ρsinθ=1B．ρsinθ=C．ρcosθ=1 D．ρcosθ=【考点】Q8：点的极坐标和直角坐标的互化；Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】求出点P（2，）的直角坐标，可得此点到极轴的距离为1，从而求得所求直线的极坐标方程．【解答】解：∵点P（2，）的直角坐标为（，1），此点到x轴的距离为1，故经过此点到x轴的距离为1的直线的方程是y=1，故过点P且平行于极轴的直线的方程是ρsinθ=1，故选A．3．如图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是，，则|z1+z2|=（）A．2 B．3 C．2 D．3【考点】A8：复数求模．【分析】利用复数的几何意义和复数的模的计算公式即可得出．【解答】解：由图可知：=（﹣2，﹣1），=（0，1）．∴z1=﹣2﹣i，z2=i．∴z1+z2=﹣2﹣i+i=﹣2．∴|z1+z2|=2．故选：A4．不等式x2﹣|x|﹣2＜0的解集是（）A．{x|﹣2＜x＜2}B．{x|x＜﹣2或x＞2}C．{x|﹣1＜x＜1}D．{x|x＜﹣1或x＞1}【考点】74：一元二次不等式的解法．【分析】把原不等式中的x2变为|x|2，则不等式变为关于|x|的一元二次不等式，求出解集得到关于x的绝对值不等式，解出绝对值不等式即可得到x的解集．【解答】解：原不等式化为|x|2﹣|x|﹣2＜0因式分解得（|x|﹣2）（|x|+1）＜0因为|x|+1＞0，所以|x|﹣2＜0即|x|＜2解得：﹣2＜x＜2．故选A5．不等式|x|•（1﹣2x）＞0的解集是（）A．B．（﹣∞，0）∪C．D．【考点】7E：其他不等式的解法．【分析】将不等式等价变形为1﹣2x＞0且x≠0然后求解集．【解答】解：不等式变形为1﹣2x＞0且x≠0，解得x＜且x≠0，所以不等式的解集为（﹣∞，0）∪（0，）；故选B．6．不等式3≤|5﹣2x|＜9的解集为（）A．[﹣2，1）∪[4，7）B．（﹣2，1]∪（4，7]C．（﹣2，﹣1]∪[4，7）D．（﹣2，1]∪[4，7）【考点】R5：绝对值不等式的解法．【分析】由原不等式得3≤2x﹣5＜9 ①，或﹣9＜2x﹣5≤﹣3 ②，分别求出①和②的解集，取并集即得所求．【解答】解：∵3≤|5﹣2x|＜9，∴3≤2x﹣5＜9 ①，或﹣9＜2x﹣5≤﹣3 ②．解①得4≤x＜7，解②得﹣2＜x≤1．故不等式的解集为（﹣2，1]∪[4，7），故选D．7．与参数方程为（t为参数）等价的普通方程为（）A．x2+=1 B．x2+=1（0≤x≤1）C．x2+=1（0≤y≤2）D．x2+=1（0≤x≤1，0≤y≤2）【考点】QH：参数方程化成普通方程．【分析】先由参数方程求出参数t得取值范围，进而求出x、y的取值范围，再通过变形平方即可消去参数t．【解答】解：由参数方程为，∴，解得0≤t ≤1，从而得0≤x ≤1，0≤y ≤2；将参数方程中参数消去得x2+=1．因此与参数方程为等价的普通方程为．故选D ．8．若复数z=a 2﹣1+（a +1）i （a ∈R ）是纯虚数，则的虚部为（ ）A ．﹣B ．﹣C ．D ．【考点】A5：复数代数形式的乘除运算；A2：复数的基本概念．【分析】由已知中复数z=a 2﹣1+（a +1）i （a ∈R ）是纯虚数，根据其虚部不为0，实部为0，可以构造关于a 的方程组，解方程求出a 值，进而可得，再由复数除法的运算法则，将复数化为a +bi （a ，b ∈R ）的形式，即可得到的虚部．【解答】解：∵复数z=a 2﹣1+（a +1）i （a ∈R ）是纯虚数， ∴a 2﹣1=0，且a +1≠0 故a=1 则Z=2i∴==﹣i故的虚部为故选A9．用反证法证明命题：“若a ，b ∈N ，ab 能被3整除，那么a ，b 中至少有一个能被3整除”时，假设应为（ ）A ．a ，b 都能被3整除B ．a ，b 都不能被3整除C ．a ，b 不都能被3整除D ．a 不能被3整除【考点】R9：反证法与放缩法．【分析】“a，b中至少有一个能被3整除”的反面是：“a，b都不能被3整除”，故应假设a，b都不能被3整除．【解答】解：反证法证明命题时，应假设命题的反面成立．“a，b中至少有一个能被3整除”的反面是：“a，b都不能被3整除”，故应假设a，b都不能被3整除，故选B．10．如a+b＞a+b，则a，b必须满足的条件是（）A．a＞b＞0 B．a＜b＜0C．a＞b D．a≥0，b≥0，且a≠b【考点】72：不等式比较大小．【分析】通过作差、利用根式的意义即可得出．【解答】解：a+b﹣（a+b）=（a﹣b）=，又a+b＞a+b，则a，b必须满足的条件是a，b≥0，a≠b．故选：D．11．在平面几何中有如下结论：正三角形ABC的内切圆面积为S1，外接圆面积为S2，则=，推广到空间可以得到类似结论，已知正四面体P﹣ABC的内切球体积为V1，外接球体积为V2，则=（）A．B．C．D．【考点】F3：类比推理．【分析】平面图形类比空间图形，二维类比三维得到，类比平面几何的结论，确定正四面体的外接球和内切球的半径之比，即可求得结论．【解答】解：从平面图形类比空间图形，从二维类比三维，如图，设正四面体的棱长为a，则AE=，DE=设OA=R，OE=r，则∴R=，r=∴正四面体的外接球和内切球的半径之比是3：1故正四面体P﹣ABC的内切球体积为V1，外接球体积为V2之比等于故选C12．将自然数0，1，2，…按照如下形式进行摆列：根据以上规律判定，从2016到2018的箭头方向是（）A．B．C．D．【考点】F1：归纳推理．【分析】这是一个简单的合情推理问题，我们根据已知图形中数的箭头指向，分析其变化的规律，不难求出正确的答案．【解答】解：由图中连接数据之间的箭头判断情况我们不难得到：箭头的变化情况以4为周期变化：4n→4n+1：向下4n+1→4n+2：向右4n+2→4n+3：向上4n+3→4（n+1）：向右∵2016为4的倍数，故从2016到2018，箭头的方向依次是向下再向右故选A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．设平面上的伸缩变换的坐标表达式为，则在这一坐标变换下正弦曲线y=sinx的方程变为y=3sin2x．【考点】O7：伸缩变换．【分析】根据伸缩变换的关系，利用代入法进行化简求解即可求得答案．【解答】解：由，得，代入y=sinx得y′=sin2x′，即y′=3sin2x′，则正弦曲线y=sinx的方程变换为y=3sin2x，故答案为y=3sin2x．14．在极坐标系中，设P是直线l：ρ（cosθ+sinθ）=4上任一点，Q是圆C：ρ2=4ρcosθ﹣3上任一点，则|PQ|的最小值是．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；IR：两点间的距离公式．【分析】把直线和圆的极坐标方程化为直角坐标方程，求出圆心到直线的距离，将此距离减去半径即为所求．【解答】解：直线l：ρ（cosθ+sinθ）=4 即x+y﹣4=0，圆C：ρ2=4ρcosθ﹣3 即x2+y2=4x﹣3，即（x﹣2）2+y2=1，表示圆心为（2，0），半径等于1的圆．圆心到直线的距离等于=，故|PQ|的最小值是﹣1，故答案为﹣1．15．已知直线l：（t为参数且t∈R）与曲线C：（α是参数且α∈[0，2π）），则直线l与曲线C的交点坐标为（1，3）．【考点】QH：参数方程化成普通方程．【分析】把直线l的参数方程化为普通方程，曲线C的参数方程化为普通方程，两方程联立，即可求出直线l与曲线C的交点坐标．【解答】解：直线l：（t为参数且t∈R），化为普通方程是：2x+y﹣5=0；曲线C：（α是参数且α∈[0，2π）），化为普通方程是：y=2x2+1（其中﹣1≤x≤1）；由，解得x=1，y=3；∴直线l与曲线C的交点坐标为（1，3）．故答案为：（1，3）．16．以下三个命题：①若|a﹣b|＜1，则|a|＜|b|+1；②若a，b∈R，则|a+b|﹣2|a|≤|a﹣b|；③若|x|＜2，|y|＞3，则，其中正确命题的序号是①②③．【考点】R4：绝对值三角不等式；2K：命题的真假判断与应用；71：不等关系与不等式．【分析】利用绝对值三角不等式判断①的正误；绝对值不等式判断②的正误；不等式的性质判断③的正误；【解答】解：因为|a﹣b|＜1，所以|a|﹣|b|＜1，则|a|＜|b|+1，所以①正确；若a，b∈R，则|a+b|﹣2|a|≤|a﹣b|；所以|a+b|﹣2|a|≤a+b﹣2a|=|a﹣b|；所以②正确；若|x|＜2，|y|＞3，，所以，③正确；正确命题的序号：①②③．故答案为：①②③．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρcos（）=1，M，N分别为C与x轴，y轴的交点．（1）写出C的直角坐标方程，并求M，N的极坐标；（2）设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程．【考点】Q8：点的极坐标和直角坐标的互化；Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）先利用三角函数的差角公式展开曲线C的极坐标方程的左式，再利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得．（2）先在直角坐标系中算出中点P的坐标，再利用直角坐标与极坐标间的关系求出其极坐标和直线OP的极坐标方程即可．【解答】解：（Ⅰ）由从而C的直角坐标方程为即θ=0时，ρ=2，所以M（2，0）（Ⅱ）M点的直角坐标为（2，0）N点的直角坐标为所以P点的直角坐标为，则P点的极坐标为，所以直线OP的极坐标方程为，ρ∈（﹣∞，+∞）18．已知复数z=bi（b∈R），是实数，i是虚数单位．（1）求复数z；（2）若复数（m+z）2所表示的点在第一象限，求实数m的取值范围．【考点】A7：复数代数形式的混合运算；A2：复数的基本概念．【分析】（1）由z=bi（b∈R），化简为．根据是实数，可得，求得b的值，可得z的值．（2）化简（m+z）2为（m2﹣4）﹣4mi，根据复数f（4）所表示的点在第一象限，可得，解不等式组求得实数m的取值范围．【解答】解：（1）∵z=bi（b∈R），∴===．又∵是实数，∴，∴b=﹣2，即z=﹣2i．（2）∵z=﹣2i，m∈R，∴（m+z）2=（m﹣2i）2=m2﹣4mi+4i2=（m2﹣4）﹣4mi，又∵复数f（4）所表示的点在第一象限，∴，…解得m＜﹣2，即m∈（﹣∞，﹣2）时，复数f（4）所表示的点在第一象限．19．在直角坐标系xOy中，过点作倾斜角为α的直线L与曲线C：x2+y2=1相交于不同的两点M，N．（1）若以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，写出C的极坐标方程和直线L的参数方程；（2）求的取值范围．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．【分析】（1）由曲线C：x2+y2=1，可得极坐标方程：ρ2=1．由题意可得直线L的参数方程：（t为参数）．（2）把直线L的参数方程代入圆C的直角坐标方程可得：t2t+2=0，由△＞0，可得＞．于是=+=，把根与系数的关系代入即可得出．【解答】解：（1）由曲线C：x2+y2=1，可得极坐标方程：ρ2=1，即ρ=1．直线L的参数方程：（t为参数）．（2）把直线L的参数方程代入圆C的直角坐标方程可得：t2t+2=0，由△＞0，可得＞．t1t2=2．∴=+===∈．20．设不等式|2x﹣1|＜1的解集为M，且a∈M，b∈M．（1）试比较ab+1与a+b的大小．（2）设max{A}表示数集A中的最大数，且，求证：h＞2．【考点】R6：不等式的证明；3H：函数的最值及其几何意义．【分析】（1）利用绝对值不等式的解法求解可得M，然后利用作差法证明不等式即可．（2）判断三个数都是正数，然后求解3个数的乘积，推出h的范围，即可得到结果．【解答】解（1）不等式|2x﹣1|＜1，可得﹣1＜2x﹣1＜1，即0＜x＜1，所以不等式的解集为：M={x|0＜x＜1}，∵a，b∈M，∴ab+1﹣a﹣b=（a﹣1）（b﹣1）＞0，∴ab+1＞a+b…..（2）设max{A}表示数集A中的最大数，且，∵，3个数都是正数，∴由（1）ab+1＞a+b∴，h＞2…..，∴（∵0＜a＜1，0＜b＜1，∴等号取不到）∴h＞2．21．设函数f（x）=|x﹣1|+|2x﹣1|．（Ⅰ）求不等式f（x）≥2的解集；（Ⅱ）若∀x∈R，不等式f（x）≥a|x|恒成立，求实数a的取值范围．【考点】R4：绝对值三角不等式；R5：绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）分类讨论，利用绝对值的几何意义求不等式f（x）≥2的解集；（Ⅱ）若∀x∈R，不等式f（x）≥a|x|恒成立，分类讨论，分离参数，即可求实数a的取值范围．【解答】解：（1）不等式f（x）≥2可化为|x﹣1|+|2x﹣1|≥2，x＜，不等式化为1﹣x+1﹣2x≥2，∴x≤0，∴x≤0；，不等式化为1﹣x+2x﹣1≥2，∴x≥2，不成立；x＞1，不等式化为x﹣1+2x﹣1≥2，∴x≥，∴x≥；综上所述，不等式f（x）≥2的解集为{x|x≤0或．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2）当x=0时，f（x）=2，a|x|=0，原式恒成立；当x≠0时，原式等价转换为恒成立，即．∵，当且仅当即时取等，∴a≤1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣22．已知b=a3+，a∈[0，1]．证明：（1）b≥1﹣a+a2．（2）＜b≤．【考点】R6：不等式的证明．【分析】（1）利用作差法，即可证明结论；（2）利用配方法，即可证明结论．【解答】证明：（1）因为1﹣a+a2﹣a3=，由于0≤a≤1，有，即1﹣a+a2﹣a3≤，所以b≥1﹣a+a2．…..（2）由0≤a≤1得a3≤a，故b=a3+≤a+=a+﹣+=，所以b≤，由（1）得b≥1﹣a+a2=，又因为当时，b=＞，所以b＞，综上，＜b≤．…..2017年6月12日。
2015-2016学年江西省宜春市奉新一中高二(下)期末数学试卷(文科)(解析版)
2015-2016学年江西省宜春市奉新一中高二（下）期末数学试卷（文科）一.选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．）1．（5分）设集合A＝{﹣1，0，1}，B＝{x∈R|x＞0}，则A∩B＝（）A．{﹣1，0}B．{﹣1}C．{0，1}D．{1}2．（5分）设（1+2i）（a+i）的实部与虚部相等，其中a为实数，则a等于（）A．﹣3B．﹣2C．2D．33．（5分）执行如图所示的程序框图，输出s的值为（）A．8B．9C．27D．364．（5分）小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M，I，N中的一个字母，第二位是1，2，3，4，5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是（）A．B．C．D．5．（5分）下列说法正确的是（）A．命题“p∨q”为真命题，则命题“p”和命题“q”均为真命题B．已知x∈R，则“x＞1”是“x＞2”的充分不必要条件C．命题“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题是真命题D．命题“∃x∈R，x2﹣x＞0”的否定是：“∀x∈R，x2﹣x≤0”6．（5分）设p：实数x，y满足x＞1且y＞1，q：实数x，y满足x+y＞2，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．（5分）函数f（x）＝lgx﹣的零点所在的区间是（）A．（0，1]B．（1，10]C．（10，100]D．（100，+∞）8．（5分）某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（）（参考数据：lg1.12＝0.05，lg1.3＝0.11，lg2＝0.30）A．2018年B．2019年C．2020年D．2021年9．（5分）已知a，b为正实数，函数y＝2ae x+b的图象经过点（0，1），则+的最小值为（）A．3+2B．3﹣2C．4D．210．（5分）函数f（x）＝cos2x+6cos（﹣x）的最大值为（）A．4B．5C．6D．711．（5分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（﹣∞，0）上单调递增，若实数a满足f（2|a﹣1|）＞f（﹣），则a的取值范围是（）A．（﹣∞，）B．（﹣∞，）∪（，+∞）C．（，）D．（，+∞）12．（5分）已知函数f（x）（x∈R）满足f（x）＝f（2﹣x），若函数y＝|x2﹣2x﹣3|与y＝f（x）图象的交点为（x1，y1），（x2，y2），…，（x m，y m），则x i＝（）A．0B．m C．2m D．4m二.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上）. 13．（5分）sin750°＝．14．（5分）函数f（x）＝（x≥2）的最大值为．15．（5分）已知函数f（x）＝（2x+1）e x，f′（x）为f（x）的导函数，则f′（0）的值为．16．（5分）已知a＝，b＝，c＝，则a，b，c按从小到大的顺序排列为．三.解答题（本大题共6小题，12+12+12+12+12+10＝70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．）17．（12分）已知函数的定义域集合是A，函数的定义域集合是B．（1）求集合A、B；（2）若A∩B＝A，求实数a的取值范围．18．（12分）已知角α终边经过点P（x，﹣）（x≠0），且cosα＝x，求sinα+的值．19．（12分）我国是世界上严重缺水的国家．某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨）．将数据按照[0，0.5），[0.5，1），…，[4，4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）求直方图中a的值；（Ⅱ）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；（Ⅲ）估计居民月均水量的中位数．20．（12分）已知函数（a＞0且a≠1）是定义在（﹣∞，+∞）上的奇函数．（1）求a的值；（2）当x∈（0，1]时，t•f（x）≥2x﹣2恒成立，求实数t的取值范围．21．（12分）设函数f（x）＝ax2﹣a﹣lnx，g（x）＝﹣，其中a∈R，e＝2.718…为自然对数的底数．（1）讨论f（x）的单调性；（2）证明：当x＞1时，g（x）＞0；（3）确定a的所有可能取值，使得f（x）＞g（x）在区间（1，+∞）内恒成立．22．（10分）在直角坐标系xOy中，圆C的方程为（x+6）2+y2＝25．（Ⅰ）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；（Ⅱ）直线l的参数方程是（t为参数），l与C交与A，B两点，|AB|＝，求l的斜率．2015-2016学年江西省宜春市奉新一中高二（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一.选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．）1．【解答】解：∵A＝{﹣1，0，1}，B＝{x∈R|x＞0}，∴A∩B＝{1}，故选：D．2．【解答】解：（1+2i）（a+i）＝a﹣2+（2a+1）i的实部与虚部相等，可得：a﹣2＝2a+1，解得a＝﹣3．故选：A．3．【解答】解：当k＝0时，满足进行循环的条件，故S＝0，k＝1，当k＝1时，满足进行循环的条件，故S＝1，k＝2，当k＝2时，满足进行循环的条件，故S＝9，k＝3，当k＝3时，不满足进行循环的条件，故输出的S值为9，故选：B．4．【解答】解：从M，I，N中任取一个字母，再从1，2，3，4，5中任取一个数字，取法总数为：（M，1），（M，2），（M，3），（M，4），（M，5），（I，1），（I，2），（I，3），（I，4），（I，5），（N，1），（N，2），（N，3），（N，4），（N，5）共15种．其中只有一个是小敏的密码前两位．由随机事件发生的概率可得，小敏输入一次密码能够成功开机的概率是．故选：C．5．【解答】解：对于A，命题“p∨q”为真命题，则命题“p”和命题“q”均为真命题，显然不正确，应该推出至少一个是真命题，所以A不正确．对于B，已知x∈R，则“x＞1”不能推出“x＞2”，反之成立，所以前者是后者的必要不充分条件，不是充分不必要条件，所以B不正确．对于C，命题“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题是：a＜b则am2＜bm2，逆命题显然不正确，因为m＝0时不成立．判断为逆命题是真命题，是错误的，所以C不正确；对于D，命题“∃x∈R，x2﹣x＞0”的否定是：“∀x∈R，x2﹣x≤0”符号特称命题与全称命题的否定关系，是正确的，所以D正确．故选：D．6．【解答】解：由x＞1且y＞1，可得：x+y＞2，反之不成立：例如取x＝3，y＝．∴p是q的充分不必要条件．故选：A．7．【解答】解：由于f（1）f（10）＝（0﹣）（1﹣）＝（﹣1）×＜0，根据二分法，得函数在区间（1，10]内存在零点．故选：B．8．【解答】解：设第n年开始超过200万元，则130×（1+12%）n﹣2015＞200，化为：（n﹣2015）lg1.12＞lg2﹣lg1.3，n﹣2015＞＝3.8．取n＝2019．因此开始超过200万元的年份是2019年．故选：B．9．【解答】解：∵函数y＝2ae x+b的图象经过点（O，1），∴1＝2a•e0+b，即2a+b＝1（a＞0，b＞0）．∴＝（）•1＝（）•（2a+b）＝（2+1++）≥3+2（当且仅当b＝a ＝﹣1时取到“＝”）．故选：A．10．【解答】解：函数f（x）＝cos2x+6cos（﹣x）＝1﹣2sin2x+6sin x，令t＝sin x（﹣1≤t≤1），可得函数y＝﹣2t2+6t+1＝﹣2（t﹣）2+，由∉[﹣1，1]，可得函数在[﹣1，1]递增，即有t＝1即x＝2kπ+，k∈Z时，函数取得最大值5．故选：B．11．【解答】解：∵f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（﹣∞，0）上单调递增，∴f（x）在（0，+∞）上单调递减．∵2|a﹣1|＞0，f（﹣）＝f（），∴2|a﹣1|＜＝．∴|a﹣1|，解得．故选：C．12．【解答】解：∵函数f（x）（x∈R）满足f（x）＝f（2﹣x），故函数f（x）的图象关于直线x＝1对称，函数y＝|x2﹣2x﹣3|的图象也关于直线x＝1对称，故函数y＝|x2﹣2x﹣3|与y＝f（x）图象的交点也关于直线x＝1对称，故x i＝×2＝m，故选：B．二.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上）. 13．【解答】解：sin750°＝sin（2×360°+30°）＝sin30°＝，故答案为：．14．【解答】解：；∴f（x）在[2，+∞）上单调递减；∴x＝2时，f（x）取最大值2．故答案为：2．15．【解答】解：∵f（x）＝（2x+1）e x，∴f′（x）＝2e x+（2x+1）e x，∴f′（0）＝2e0+（2×0+1）e0＝2+1＝3．故答案为：3．16．【解答】解：∵a＝＝，b＝＝，c＝＝，∴b＜a＜c．故答案为：b＜a＜c．三.解答题（本大题共6小题，12+12+12+12+12+10＝70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．）17．【解答】解：（1）由（x+1）（x﹣2）≥0，解得x≤﹣1或x≥2，∴A＝{x|x≤﹣1或x≥2}；由x2﹣（2a+1）x+a2+a＞0，得到（x﹣a）（x﹣a﹣1）＞0，解得x＜a，或x＞a+1，∴B＝{x|x＜a，或x＞a+1}；（2）由A∩B＝A得A⊆B，因此，解得﹣1＜a＜1，所以，所以实数a的取值范围是（﹣1，1）．18．【解答】解∵P（x，﹣）（x≠0），∴点P到原点的距离r＝．又cosα＝x，∴cosα＝＝x．∵x≠0，∴x＝±，∴r＝2．当x＝时，P点坐标为（，﹣），由三角函数的定义，有sinα＝﹣，＝﹣，∴sinα+＝﹣﹣＝﹣；当x＝﹣时，同样可求得sinα+＝．19．【解答】解：（I）∵1＝（0.08+0.16+a+0.40+0.52+a+0.12+0.08+0.04）×0.5，整理可得：2＝1.4+2a，∴解得：a＝0.3．（II）估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数为3.6万，理由如下：由已知中的频率分布直方图可得月均用水量不低于3吨的频率为（0.12+0.08+0.04）×0.5＝0.12，又样本容量为30万，则样本中月均用水量不低于3吨的户数为30×0.12＝3.6万．（Ⅲ）根据频率分布直方图，得；0.08×0.5+0.16×0.5+0.30×0.5+0.42×0.5＝0.48＜0.5，0.48+0.5×0.5＝0.74＞0.5，∴中位数应在[2，2.5）组内，设出未知数x，令0.08×0.5+0.16×0.5+0.30×0.5+0.42×0.5+0.5×x＝0.5，解得x＝0.04；∴中位数是2+0.04＝2.04．20．【解答】解：（1）∵函数（a＞0且a≠1）是定义在（﹣∞，+∞）上的奇函数，∴，解得a＝2．（2）由（1）得，当0＜x≤1时，f（x）＞0．∴当0＜x≤1时，t•f（x）≥2x﹣2恒成立，则等价于对x∈（0，1]时恒成立，令m＝2x﹣1，0＜m≤1，即，当0＜m≤1时恒成立，既在（0，1]上的最大值，易知在（0，1]上单调递增，∴当m＝1时有最大值0，所以t≥0，故所求的t范围是：t≥0．21．【解答】（Ⅰ）解：由f（x）＝ax2﹣a﹣lnx，得f′（x）＝2ax﹣＝（x＞0），当a≤0时，f′（x）＜0在（0，+∞）成立，则f（x）为（0，+∞）上的减函数；当a＞0时，由f′（x）＝0，得x＝＝，∴当x∈（0，）时，f′（x）＜0，当x∈（，+∞）时，f′（x）＞0，则f（x）在（0，）上为减函数，在（，+∞）上为增函数；综上，当a≤0时，f（x）为（0，+∞）上的减函数，当a＞0时，f（x）在（0，）上为减函数，在（，+∞）上为增函数；（Ⅱ）证明：要证g（x）＞0（x＞1），即﹣＞0，即证，也就是证，令h（x）＝，则h′（x）＝，∴h（x）在（1，+∞）上单调递增，则h（x）min＝h（1）＝e，即当x＞1时，h（x）＞e，∴当x＞1时，g（x）＞0；（Ⅲ）解：由f（x）＞g（x），得，设t（x）＝，由题意知，t（x）＞0在（1，+∞）内恒成立，∵t（1）＝0，∴有t′（x）＝2ax＝≥0在（1，+∞）内恒成立，令φ（x）＝，则φ′（x）＝2a＝，当x≥2时，φ′（x）＞0，令h（x ）＝，h′（x ）＝，函数在[1，2）上单调递增，∴h（x）min＝h（1）＝﹣1．e1﹣x＞0，∴1＜x＜2，φ′（x）＞0，综上所述，x＞1，φ′（x）＞0，φ（x）在区间（1，+∞）单调递增，∴t′（x）＞t′（1）≥0，即t（x）在区间（1，+∞）单调递增，由2a﹣1≥0，∴a ≥．22．【解答】解：（Ⅰ）∵圆C的方程为（x+6）2+y2＝25，∴x2+y2+12x+11＝0，∵ρ2＝x2+y2，x＝ρcosα，y＝ρsinα，∴C的极坐标方程为ρ2+12ρcosα+11＝0．（Ⅱ）∵直线l 的参数方程是（t为参数），∴t ＝，代入y＝t sinα，得：直线l的一般方程y＝tanα•x，∵l与C交与A，B两点，|AB|＝，圆C的圆心C（﹣6，0），半径r＝5，圆心到直线的距离d ＝．∴圆心C（﹣6，0）到直线距离d ＝＝，解得tan2α＝，∴tanα＝±＝±．∴l的斜率k ＝±．第11页（共11页）。
2016-2017年江西省宜春市奉新一中高二(下)第一次月考数学试卷(文科)(解析版)
第 3 页（共 14 页）
（2）设 max{A}表示数集 A 中的最大数，且
21．（12 分）设函数 f（x）＝|x﹣1|+|2x﹣1|． （Ⅰ）求不等式 f（x）≥2 的解集； （Ⅱ）若∀x∈R，不等式 f（x）≥a|x|恒成立，求实数 a 的取值范围． 22．（12 分）已知 b＝a3+ ，a∈[0，1]． 证明： （1）b≥1﹣a+a2． （2） ＜b≤ ．
A．π
B．4
C．4π
D．16
【解答】解：将原极坐标方程为 ρ＝4cosθ，化成： ρ2＝4ρcosθ，其直角坐标方程为： ∴x2+y2＝4x，是一个半径为 2 的圆，其面积为 4π．
故选：C．
2．（5 分）在极坐标系中，已知点 P（2， ），则过点 P 且平行于极轴的直线的方程是（ ）
A．ρsinθ＝1
B．ρsinθ＝
C．ρcosθ＝1
D．ρcosθ＝
【解答】解：∵点 P（2， ）的直角坐标为（ ，1），此点到 x 轴的距离为 1，
故经过此点到 x 轴的距离为 1 的直线的方程是 y＝1， 故过点 P 且平行于极轴的直线的方程是 ρsinθ＝1， 故选：A．
3．（5 分）如图，在复平面内，复数 z1，z2 对应的向量分别是 ， ，则|z1+z2|＝（ ）
12．（5 分）将自然数 0，1，2，…按照如下形式进行摆列：
根据以上规律判定，从 2016 到 2018 的箭头方向是（ ）
A．
B．
C．
D．
第 2 页（共 14 页）
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分
13．（5 分）设平面上的伸缩变换的坐标表达式为
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2016-2017学年江西省宜春市奉新一中高二（下）期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A={x|x=3n+2，n∈N}，B={6，8，10，12，14}，则集合A∩B中元素的个数为（ ） A． 5 B． 4 C． 3 D． 22．下列有关命题的说法错误的是（ ） A．命题“若x2﹣3x+2=0则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0” B． “x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件 C．若p∧q为假命题，则p、q均为假命题 D．对于命题p：∃x∈R，使得x2+x+1＜0．则￢p：∀x∈R，均有x2+x+1≥03．两个变量x，y与其线性相关系数r有下列说法：（1）若r＞0，则x增大时，y也相应增大；（2）若|r|越趋近于1，则x，y线性相关程度越强；（3）若r=1或r=﹣1，则x与y的关系完全对应（有函数关系），在散点图上各个散点均在一条直线上，其中正确的有（ ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③4．下列函数中，既是偶函数，又在区间（1，2）内是增函数的为（ ） A． y=log2 B． y=cos2x C． y= D． y=log2|x|5．按图所示的程序框图运算：若输出k=2，则输入x的取值范围是（ ） A．（20，25] B．（30，32] C．（28，57] D．（30，57]6．函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）=3，对任意x∈R，f′（x）＜3，则f（x ）＞3x+6的解集为（ ） A．（﹣1，1） B．（﹣1，+∞） C．（﹣∞，﹣1） D．（﹣∞，+∞） 7．幂函数f（x）=（m2﹣m﹣1）x在（0，+∞）上是减函数，则实数m的值为（ ） A． 2 B． 3 C． 4 D． 58．一名小学生的年龄和身高（单位：cm）的数据如下表：年龄x 6 7 8 9身高y 118 126 136 144由散点图可知，身高y与年龄x之间的线性回归方程为=8.8x+，预测该学生10岁时的身高为（ ） A． 154 B． 153 C． 152 D． 1519．已知a，b∈R+，且2a+b=2，则使得取得最小值的a，b分别是（ ） A． 2，2 B． C． D．10．已知点A（2，0），抛物线C：x2=4y的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M ，与其准线相交于点N，则|FM|：|MN|=（ ） A． 2： B． 1：2 C． 1： D． 1：311．已知a=1+，b=+，c=4，则a，b，c的大小关系为（ ） A． a＞b＞c B． c＞a＞b C． c＞b＞a D． b＞c＞a12．已知定义在（0，+∞）上的单调函数f（x），对∀x∈（0，+∞），都有f=3，则方程f（x）﹣f′（x）=2的解所在的区间是（ ） A．（0，） B．（1，2） C．（，1） D．（2，3）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．设复数z满足，则z= ．14．设△ABC的三边长分别为a、b、c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r=；类比这个结论可知：四面体P﹣ABC的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，内切球的半径为r，四面体P﹣ABC的体积为V，则r= ．15．设F1、F2分别为双曲线=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P，满足|PF2|=|F1F2|，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率是 ．16．偶函数f（x）满足f（x）=f（2﹣x），且当x∈时，f（x）=cos﹣1，若函数g（x）=f（x）﹣log a x有且仅有三个零点，则实数a的取值范围是 ．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程）17．（10分）（2015春•宜春校级期末）已知命题p：∃x0∈，ax0＜1；命题q：函数f（x）=的定义域是R；若p∧q为假命题，p∨q为真命题，求实数a的取值范围．18．（12分）（2015•沈阳一模）设函数f（x）=|2x+1|﹣|x﹣4|．（1）解不等式f（x）＞0；（2）若f（x）+3|x﹣4|＞m对一切实数x均成立，求m的取值范围．19．（12分）（2015春•宜春校级期末）某企业有两个分厂生产某种零件，按规定内径尺寸（单位：mm）的值落在（29.94，30.06）的零件为优质品．从两个分厂生产的零件中抽出500件，量其内径尺寸的结果如表：甲厂分组的极值．21．（12分）（2015春•宜春校级期末）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，且以长轴和短轴为对角线的四边形的面积为6．（1）求椭圆C的方程；（2）过点Q（1，0）作直线l（不与x轴垂直）与该椭圆交于M，N两点，与y轴交于点R，若=λ，=μ，求λ+μ的值．22．（12分）（2013•揭阳二模）已知a＞0，函数f（x）=ax2﹣lnx．（1）求f（x）的单调区间；（2）当时，证明：方程在区间（2，+∞）上有唯一解；（3）若存在均属于区间的α，β且β﹣α≥1，使f（α）=f（β），证明：．2016-2017学年江西省宜春市奉新一中高二（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A={x|x=3n+2，n∈N}，B={6，8，10，12，14}，则集合A∩B中元素的个数为（ ） A． 5 B． 4 C． 3 D． 2考点：交集及其运算．专题：集合．分析：根据集合的基本运算进行求解．解答：解：A={x|x=3n+2，n∈N}={2，5，8，11，14，17，…}，则A∩B={8，14}，故集合A∩B中元素的个数为2个，故选：D．点评：本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2．下列有关命题的说法错误的是（ ） A．命题“若x2﹣3x+2=0则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0” B． “x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件 C．若p∧q为假命题，则p、q均为假命题 D．对于命题p：∃x∈R，使得x2+x+1＜0．则￢p：∀x∈R，均有x2+x+1≥0考点：命题的真假判断与应用；四种命题间的逆否关系；必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：综合题．分析：根据四种命题的定义，我们可以判断A的真假；根据充要条件的定义，我们可以判断B的真假；根据复合命题的真值表，我们可以判断C的真假；根据特称命题的否定方法，我们可以判断D的真假，进而得到答案．解答：解：命题“若x2﹣3x+2=0则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”故A 为真命题；“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件．故B为真命题；若p∧q为假命题，则p、q存在至少一个假命题，但p、q不一定均为假命题，故C 为假命题；命题p：∃x∈R，使得x2+x+1＜0．则非p：∀x∈R，均有x2+x+1≥0，故D为真命题；故选C．点评：本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，四种命题间的逆否关系，充要条件，是对简单逻辑综合的考查，属于简单题型．3．两个变量x，y与其线性相关系数r有下列说法：（1）若r＞0，则x增大时，y也相应增大；（2）若|r|越趋近于1，则x，y线性相关程度越强；（3）若r=1或r=﹣1，则x与y的关系完全对应（有函数关系），在散点图上各个散点均在一条直线上，其中正确的有（ ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③考点：相关系数．专题：计算题；概率与统计．分析：两个变量之间的相关性和相关系数的大小有关，r的绝对值越接近于1，表面两个变量的线性相关性越强，r的绝对值越接近于0，两个变量之间几乎不存在线性相关．解答：解：根据相关系数的定义，变量之间的相关关系可利用相关系数r进行判断：当r为正数时，表示变量x，y正相关，说明一变量随另一变量增减而增减，方向相同；当r为负数时，表示两个变量x，y负相关，|r|越接近于1，相关程度越强；|r|越接近于0，相关程度越弱，故可知①③正确．故选：C．点评：本题考查相关指数，这里不用求相关指数，而是根据所给的相关指数判断模型的拟合效果，这种题目解题的关键是理解相关指数越大拟合效果越好．4．下列函数中，既是偶函数，又在区间（1，2）内是增函数的为（ ） A． y=log2 B． y=cos2x C． y= D． y=log2|x|考点：函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．专题：函数的性质及应用．分析：根据基本初等函数的奇偶性与单调性，即可判断符合条件的函数是哪一个．解答：解：对于A，y=log2是奇函数，∴不满足题意；对于B，y=cos2x是定义域R上的偶函数，在（1，）上是减函数，在（，2）上是增函数，∴不满足题意；对于C，y=是定义域R上的奇函数，∴不满足题意；对于D，y=log2|x|是定义域（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数，且在（1，2）上是增函数，满足题意．故选：D．点评：本题考查了基本初等函数的图象与性质的应用问题，是基础题目．5．按图所示的程序框图运算：若输出k=2，则输入x的取值范围是（ ） A．（20，25] B．（30，32] C．（28，57] D．（30，57]考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：根据框图的流程计算k=1时输出x值与k=2时输出x的值，利用k=1时不满足条件x＞115，k=2时满足条件x＞11，求得x的范围．解答：解：由程序框图知：第一次循环x=2x+1，k=1；第二次循环x=2（2x+1）+1，k=2，当输出k=2时，应满足，得28＜x≤57．故选：C．点评：本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断循环中x值满足的条件是解答本题的关键．6．函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）=3，对任意x∈R，f′（x）＜3，则f（x ）＞3x+6的解集为（ ） A．（﹣1，1） B．（﹣1，+∞） C．（﹣∞，﹣1） D．（﹣∞，+∞）考点：利用导数研究函数的单调性；导数的运算．专题：导数的综合应用．分析：构造函数g（x）=f（x）﹣（3x+6）求函数的导数，判断函数g（x）的单调性，则不等式f（x）＞3x+6等价为g（x）＞g（﹣1），根据单调性进行求解即可．解答：解：设g（x）=f（x）﹣（3x+6），则g′（x）=f′（x）﹣3，∵任意x∈R，f′（x）＜3，∴g′（x）=f′（x）﹣3＜0，即函数g（x）为减函数，∵f（﹣1）=3，∴g（﹣1）=f（﹣1）﹣（﹣3+6）=3﹣3=0，则，f（x）＞3x+6等价为f（x）﹣（3x+6）＞0，即g（x）＞g（﹣1），则x＜﹣1，即f（x）＞3x+6的解集为为（﹣∞，﹣1），故选：C点评：本题主要考查不等式的求解，构造函数，求函数的导数，判断函数的单调性是解决本题的关键．7．幂函数f（x）=（m2﹣m﹣1）x在（0，+∞）上是减函数，则实数m的值为（ ） A． 2 B． 3 C． 4 D． 5考点：幂函数的性质．专题：函数的性质及应用．分析：根据幂函数的定义与性质，即可求出m的值．解答：解：∵f（x）=（m2﹣m﹣1）x是幂函数，∴m2﹣m﹣1=1，解得m=﹣1或m=2；又f（x）在（0，+∞）上是减函数，∴m2﹣2m﹣3＜0，解得﹣1＜m＜3；∴实数m的值为2．故选：A．点评：本题考查了幂函数的图象与性质的应用问题，是基础题目．8．一名小学生的年龄和身高（单位：cm）的数据如下表：年龄x 6 7 8 9身高y 118 126 136 144由散点图可知，身高y与年龄x之间的线性回归方程为=8.8x+，预测该学生10岁时的身高为（ ） A． 154 B． 153 C． 152 D． 151考点：线性回归方程．专题：概率与统计．分析：先计算样本中心点，进而可求线性回归方程，由此可预测该学生10岁时的身高．解答：解：由题意，=7.5，=131代入线性回归直线方程为，131=8.8×7.5+，可得=65，∴∴x=10时，=153故选B．点评：本题考查回归分析的运用，考查学生的计算能力，确定线性回归直线方程是关键，属于基础题．9．已知a，b∈R+，且2a+b=2，则使得取得最小值的a，b分别是（ ） A． 2，2 B． C． D．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：利用“乘1法”和基本不等式的性质即可得出．解答：解：∵a，b∈R+，且2a+b=2，∴===4，当且仅当b=2a =1时取等号．因此使得取得最小值的a，b分别是，1．故选：B．点评：本题考查了“乘1法”和基本不等式的性质，属于基础题．10．已知点A（2，0），抛物线C：x2=4y的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M ，与其准线相交于点N，则|FM|：|MN|=（ ） A． 2： B． 1：2 C． 1： D． 1：3考点：抛物线的简单性质．专题：计算题；压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求出抛物线C的焦点F的坐标，从而得到AF的斜率k=﹣．过M作MP⊥l于P，根据抛物线物定义得|FM|=|PM|．Rt△MPN中，根据tan∠MNP=，从而得到|PN|=2|PM|，进而算出|MN|=|PM|，由此即可得到|FM|：|MN|的值．解答：解：∵抛物线C：x2=4y的焦点为F（0，1），点A坐标为（2，0）∴抛物线的准线方程为l：y=﹣1，直线AF的斜率为k==﹣，过M作MP⊥l于P，根据抛物线物定义得|FM|=|PM|∵Rt△MPN中，tan∠MNP=﹣k=，∴=，可得|PN|=2|PM|，得|MN|==|PM|因此，，可得|FM|：|MN|=|PM|：|MN|=1：故选：C点评：本题给出抛物线方程和射线FA，求线段的比值．着重考查了直线的斜率、抛物线的定义、标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题．11．已知a=1+，b=+，c=4，则a，b，c的大小关系为（ ） A． a＞b＞c B． c＞a＞b C． c＞b＞a D． b＞c＞a考点：不等式的实际应用；不等式比较大小．专题：转化思想．分析：根据，则比较a，b，c的大小关系即可转化为比较2 ，2 ，2×4的大小关系即可．解答：解：，∵∴∴∴a2＜b2＜c2∴a＜b＜c．故选C．点评：此题主要考查了无理数的估算能力，两个正的二次根式比较大小可以通过平方的方法进行，两个式子平方的值大的，对应的式子的值就大．12．已知定义在（0，+∞）上的单调函数f（x），对∀x∈（0，+∞），都有f=3，则方程f（x）﹣f′（x）=2的解所在的区间是（ ） A．（0，） B．（1，2） C．（，1） D．（2，3）考点：导数的运算．专题：导数的综合应用．分析：设t=f（x）﹣log2x，则f（x）=log2x+t，又由f（t）=3，即log2t+t=3，解可得t 的值，可得f（x）的解析式，由二分法分析可得h（x）的零点所在的区间为（1，2），结合函数的零点与方程的根的关系，即可得答案．解答：解：根据题意，对任意的x∈（0，+∞），都有f=3，又由f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，则f（x）﹣log2x为定值，设t=f（x）﹣log2x，则f（x）=log2x+t，又由f（t）=3，即log2t+t=3，解可得，t=2；则f（x）=log2x+2，f′（x）=，将f（x）=log2x+2，f′（x）=代入f（x）﹣f′（x）=2，可得log2x+2﹣=2，即log2x﹣=0，令h（x）=log2x﹣，分析易得h（1）=＜0，h（2）=1﹣＞0，则h（x）=log2x﹣的零点在（1，2）之间，则方程log2x﹣=0，即f（x）﹣f′（x）=2的根在（1，2）上，故选：B．点评：本题考查二分法求函数的零点与函数零点与方程根的关系的应用，关键点和难点是求出f（x）的解析式．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．设复数z满足，则z= 2﹣i ．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：直接化简复数方程，复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，求出复数z即可．解答：解：，可得z=故答案为：2﹣i点评：本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．14．设△ABC的三边长分别为a、b、c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r=；类比这个结论可知：四面体P﹣ABC的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，内切球的半径为r，四面体P﹣ABC的体积为V，则r= ．考点：类比推理．专题：计算题；推理和证明．分析：根据平面与空间之间的类比推理，由点类比点或直线，由直线类比直线或平面，由内切圆类比内切球，由平面图形面积类比立体图形的体积，结合求三角形的面积的方法类比求四面体的体积即可．解答：解：设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是R，所以四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．则四面体的体积为（S1+S2+S3+S4）r∴r=．故答案为：．点评：类比推理是指依据两类数学对象的相似性，将已知的一类数学对象的性质类比迁移到另一类数学对象上去．一般步骤：①找出两类事物之间的相似性或者一致性．②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（或猜想）．15．设F1、F2分别为双曲线=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P，满足|PF2|=|F1F2|，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率是 ．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用题设条件和双曲线性质在三角形中寻找等量关系，得出a与b之间的等量关系，进而求出离心率．解答：解：依题意|PF2|=|F1F2|，可知三角形PF2F1是一个等腰三角形，F2在直线PF1的投影是其中点，由勾股定理可知|PF1|=2=4b，根据双曲定义可知4b﹣2c=2a，整理得c=2b﹣a，代入c2=a2+b2整理得3b2﹣4ab=0，求得=，∴e=═．故答案为：．点评：本题主要考查三角与双曲线的相关知识点，突出了对计算能力和综合运用知识能力的考查，属中档题．16．偶函数f（x）满足f（x）=f（2﹣x），且当x∈时，f（x）=cos﹣1，若函数g（x）=f（x）﹣log a x有且仅有三个零点，则实数a的取值范围是 （，） ．考点：函数零点的判定定理．专题：函数的性质及应用．分析：由题意可得，函数f（x）的图象既关于y轴对称又关于x=1对称，函数f（x）是周期为2，函数y=f（x）的图象和函数y=log a x有的图象有且仅有3个交点，数形结合可得，由此求得a的范围．解答：解：∵偶函数f（x）满足f（x）=f（2﹣x），∴函数的图象既关于y轴对称又关于x=1对称，∴函数f（x）是周期为2．由当x∈时，f（x）=cos﹣1，可得函数f（x）的图象，如图所示：由题意可得，函数y=f（x）的图象和函数y=log a x有的图象有且仅有3个交点，故有，求得＜a＜，即a的取值范围为（，）．故答案是：（，）．点评：本题主要考查方程根的存在性以及个数判断，体现了转化、数形结合的数学思想，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程）17．（10分）（2015春•宜春校级期末）已知命题p：∃x0∈，ax0＜1；命题q：函数f（x）=的定义域是R；若p∧q为假命题，p∨q为真命题，求实数a 的取值范围．考点：复合命题的真假．专题：函数的性质及应用；简易逻辑．分析：先由命题p得到，∃，，容易得出函数在上的最大值为2，从而有a＜2；由命题q得到，从而得到a≥1，而根据条件知道p真q假，或p假q真，从而求出这两种情况下a的取值范围再求并集即可．解答：解：若命题p为真，则：∃x0∈，；函数在上为减函数；∴该函数的最大值为2；∴a＜2；若命题q为真，则ax2+2x+1≥0恒成立；若a=0，2x+1≥0不恒成立；∴a≠0；∴；解得a≥1；而由p∧q为假命题，p∨q为真命题知，p，q一真一假；∴，或；∴a＜1，或a≥2；∴实数a的取值范围为（﹣∞，1）∪的极值．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的极值．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）把a=1代入原函数解析式，求出函数的导函数，得到f′（1）与f（1），然后由直线方程的点斜式得答案；（Ⅱ）求出原函数的导函数，求出导函数的两个零点，由零点对定义域分段，得到在各区间段内导函数的符号，判断出原函数的单调性，从而求出原函数在上的极值点，进一步求得函数的极值．解答：解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=x3﹣x2+，f′（x）=x2﹣2x，∴f′（1）=﹣1，f（1）=0．则函数f（x）在点（1，f（1）处的切线方程为y﹣0=﹣1×（x﹣1），即x+y﹣1=0；（Ⅱ）由f（x）=a2x3﹣ax2+，得f′（x）=a2x2﹣2ax．由f′（x）=0，得．当，即a＞2时，x∈（﹣∞，0），（）时f′（x）＞0，x∈（0，）时f′（x）＜0，∴函数f（x）在上有极大值f（0）=，极小值；当，即a=2时，x∈（﹣∞，0），（1，+∞）时f′（x）＞0，x∈（0，1）时f′（x）＜0，∴函数f（x）在上有极大值f（0）=，极小值f（1）=；当，即0＜a＜2时，x∈（﹣∞，0），（）时f′（x）＞0，x∈（0，）时f′（x）＜0，∴函数f（x）在上有极大值f（0）=．综上，当a＞2时，函数f（x）在上有极大值f（0）=，极小值；当a=2时，函数f（x）在上有极大值f（0）=，极小值f（1）=；当0＜a＜2时，函数f（x）在上有极大值f（0）=．点评：本题考查利用导数研究曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数求函数的极值，体现了分类讨论的数学思想方法，是压轴题．21．（12分）（2015春•宜春校级期末）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，且以长轴和短轴为对角线的四边形的面积为6．（1）求椭圆C的方程；（2）过点Q（1，0）作直线l（不与x轴垂直）与该椭圆交于M，N两点，与y轴交于点R，若=λ，=μ，求λ+μ的值．考点：椭圆的简单性质．专题：向量与圆锥曲线；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）由题意设出椭圆C的方程，结合已知和隐含条件列式求出长半轴和短半轴的长，则椭圆方程可求；（2）设出直线l的方程，和椭圆方程联立，化为关于x的一元二次方程，把=λ，=μ转化为坐标表示，代入根与系数的关系求得λ+μ的值．解答：解：（1）设椭圆的标准方程是，则，解得：a=3，b=1，故椭圆的方程是：；（2）设直线l的方程为y=k（x﹣1），由，得：（9k2+1）x2﹣18k2x+9k2﹣9=0．设M（x1，y1），N（x2，y2），则，而R（0，﹣k）．由=λ，有：（x1，y1+k）=λ（1﹣x1，y1），故，由=μ，有：（x2，y2+k）=μ（1﹣x2，y2），故．∴λ+μ===．故．点评：本题考查椭圆方程的求法，考查了椭圆的简单性质，把向量共线转化为坐标表示是解答该题的关键，是中档题．22．（12分）（2013•揭阳二模）已知a＞0，函数f（x）=ax2﹣lnx．（1）求f（x）的单调区间；（2）当时，证明：方程在区间（2，+∞）上有唯一解；（3）若存在均属于区间的α，β且β﹣α≥1，使f（α）=f（β），证明：．考点：利用导数研究函数的单调性；函数的零点；不等式的证明．专题：导数的综合应用．分析：（1）先求出f′（x），利用导数与函数单调性的关系即可得出；（2）利用（1）的结论可知：f（x）﹣在区间（2，+∞）上单调递增，再验证函数零点存在定理的条件即可证明；（3）由f（α）=f（β）及（1）的结论知，从而f（x）在上的最大值为f（α）（或f（β）），又由β﹣α≥1，α，β∈，知1≤α≤2≤β≤3．利用其单调性解出即可．解答：解：（1）函数f（x）的定义域（0，+∞），．∵a＞0，令f'（x）＞0得：，令f'（x）＜0得：．∴函数f（x）的单调递减区间为，单调递增区间为．（2）证明：当时，，由（1）知f（x）的单调递减区间为（0，2），单调递增区间为（2，+∞），令，则g（x）在区间（2，+∞）单调递增且g（2）=f（2）﹣==＜0，＞0．∴方程在区间（2，+∞）上有唯一解．（3）证明：由f（α）=f（β）及（1）的结论知，从而f（x）在上的最大值为f（α）（或f（β）），又由β﹣α≥1，α，β∈，知1≤α≤2≤β≤3．故，即从而．点评：本题考查了利用导数研究函数单调性、极值、最值得方法，函数零点判定定理等基础知识与基本技能，灵活构造函数和善于利用已经证明的结论是解题的关键． 。