线性代数期末试题(武汉大学)附答案
(完整版)线性代数期末测试题及其答案.doc
线性代数期末考试题一、填空题（将正确答案填在题中横线上。
每小题 5 分，共 25 分）1 3 1 1.若0 5 x 0，则__________。
1 2 2x1 x2 x3 02．若齐次线性方程组x1 x2 x3 0 只有零解，则应满足。
x1x2x303．已知矩阵A，B，C (c ij )s n，满足 AC CB ，则 A 与 B 分别是阶矩阵。
4．已知矩阵A为 3 3的矩阵，且| A| 3，则| 2A|。
5．n阶方阵A满足A23A E 0 ，则A1。
二、选择题（每小题 5 分，共 25 分）6．已知二次型 f x12 x22 5x32 2tx1x2 2x1 x3 4x2 x3,当t取何值时，该二次型为正定？（）A. 40 B.4 4C. 0 t4 4 1t5t D. t2 5 5 5 51 42 1 2 37．已知矩阵A 0 3 4 , B 0 x 6 ,且 A ~ B ，求x的值（）0 4 3 0 0 5A.3B.-2C.5D.-58 ．设 A 为 n 阶可逆矩阵，则下述说法不正确的是（）A. A0B. A 1 0C.r (A) nD.A 的行向量组线性相关9 ．过点（ 0， 2， 4）且与两平面x 2z 1和 y 3z 2 的交线平行的直线方程为（）1xy 2 z 4A.312xy 2 z 4C.31 2x y2 z 4B.32 2x y2 z 4D.322103 1 ．已知矩阵 A, 其特征值为（）51A. 12, 2 4 B. C.12,24D.三、解答题（每小题 10 分，共 50 分）1 12,2, 22441 1 00 2 1 3 40 2 1 30 1 1 011.设B, C 0 2 1 且 矩 阵满足关系式0 0 1 1 00 10 0 0 2T X(C B)E，求。
a1 12212. 问 a 取何值时，下列向量组线性相关？111, 2a ,3。
2 1 21 a22x 1 x 2x 3 313.为何值时，线性方程组x 1 x 2x 3 2有唯一解，无解和有无穷多解？当方x 1 x 2x 32程组有无穷多解时求其通解。
线性代数_武汉大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年
线性代数_武汉大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年1.设A，B为可逆矩阵，则下列矩阵不一定可逆的是( ).参考答案:A+B.2.已知三阶方阵A的特征值为【图片】，则【图片】参考答案:3.若【图片】阶行列式D的值为0，则D中必有一行元素全为0.参考答案:错误4.设【图片】, 则 A 的任意 m 个列向量必线性无关.参考答案:错误5.设 A 是【图片】矩阵，A 的秩为 m，m < n, 则 A 中任一 m 阶的子式不等于零。
参考答案:错误6.n 阶⽅阵 A 可对⽅化的充分必要条件是 A 有 n 个互不相同的特征值.参考答案:错误7.行列式为0的充分条件是( ).参考答案:行列式中各行元素之和为0.8.已知三阶行列式中第二列元素依次为1,2,3，其对应的余子式的值依次为3,2,1，则该行列式的值为参考答案:-2.9.已知 4 阶行列式中第一行元素依次为 1，0，-4，3，第三行对应元素的代数余子式的值依次为 1，5，-2，x. 则x的值为：参考答案:-3.10.在函数【图片】中，【图片】的系数为参考答案:.11.设A 是 3 阶正交矩阵，【图片】是A 的逆矩阵。
若向量【图片】, 则向量【图片】的长度为_____ .参考答案:312.设向量【图片】且向量【图片】在向量【图片】上的投影向量为【图片】则 x= ____ .参考答案:13.如果矩阵A能对角化，那么A的特征值一定互不相同.参考答案:错误14.实对称矩阵一定可以相似对角化，且相似矩阵是正交阵.参考答案:错误15.设A，B为n阶矩阵，且A与B相似，则【图片】.参考答案:错误16.已知三阶矩阵A的特征值为【图片】, 则下列命题不正确的是( ).参考答案:1和-1所对应的特征向量正交.17.n阶方阵A相似于对角阵的充分必要条件是( ).参考答案:对A的每个重特征值，有个线性无关的特征向量.18.行列式为0的充分条件是（）参考答案:行列式中各列元素的和为0.19.若行列式D中的每一个元素都不为零，则行列式D不等于零。
期末线代试题及答案
期末线代试题及答案一、选择题（每题2分，共50分）1. 设A为3阶方阵，满足A^2 = I，则A的行列式的值是多少？A. -1B. 0C. 1D. 2答案：C2. 设向量组V1 = (1, 0, -1)，V2 = (2, -1, 3)，V3 = (-1, 2, 0)，则V1, V2, V3是否线性相关？A. 相关B. 不相关答案：B3. 设向量组V1 = (1, 2, -1)，V2 = (2, 1, 3)，V3 = (-1, 4, 5)，则V1, V2, V3是否线性相关？A. 相关B. 不相关答案：A4. 设A为3阶方阵，满足行列式det(A) = 3，则矩阵B = A^-1的行列式的值是多少？A. -1/3B. 3C. 1/3D. 1答案：C5. 已知矩阵A = [1 2 3, 4 5 6, 7 8 9]，则A的秩是多少？A. 2B. 3C. 1D. 0答案：C二、填空题（每题2分，共20分）1. 设A为3阶方阵，满足A^T = 2A，则A的特征值之和是________。
答案：62. 设矩阵A = [1 2 3, 4 5 6, 7 8 9]，则A的伴随矩阵的元素之和为________。
答案：03. 设向量组V1 = (1, 0, 1)，V2 = (2, 1, 3)，V3 = (-1, 0, -2)，则V1, V2, V3的秩为________。
答案：24. 设三阶方阵A的特征值为λ1 = 2, λ2 = -1, λ3 = 0，则A的特征值对应的特征向量分别为________。
答案：（2, 0, 1），（0, 1, -1），（1, 1, -1）5. 设矩阵A = [1 2, 3 4]，则A的迹为________。
答案：5三、解答题（每题20分，共60分）1. 设A为2阶方阵，满足det(A) = 3，求A的伴随矩阵。
答案：设A = [a b, c d]，则伴随矩阵的元素为：A* = [d -b, -c a]所以伴随矩阵为：A* = [d/3 -b/3, -c/3 a/3]2. 已知矩阵A = [1 -1, 2 3]，求A的特征值和特征向量。
线性代数期末试卷及详细答案
线性代数期末试卷及详细答案⼀、填空题（将正确答案填在题中横线上。
每⼩题2分，共10分）1、设1D =3512， 2D =345510200，则D =12D D OO =_____________。
2、四阶⽅阵A B 、，已知A =116，且=B ()1-12A 2A --，则B =_____________。
3、三阶⽅阵A 的特征值为1，-1，2，且32B=A -5A ，则B 的特征值为_____________。
4、若n 阶⽅阵A 满⾜关系式2A -3A-2E O =，若其中E 是单位阵，那么1A -=_____________。
5、设()11,1,1α=，()21,2,3α=，()31,3,t α=线性相关，则t=_____________。
⼆、单项选择题（每⼩题仅有⼀个正确答案，将正确答案的番号填⼊下表内，每⼩题2分，共20分）1、若⽅程13213602214x x x x -+-=---成⽴，则x 是（A ）-2或3；（B ）-3或2；（C ）-2或-3；（D ）3或2； 2、设A 、B 均为n 阶⽅阵，则下列正确的公式为（A ）()332233A B+3AB +B A B A +=+；（B ）()()22A B A+B =A B --；（C ）()()2A E=A E A+E --；（D ）()222AB =A B3、设A 为可逆n 阶⽅阵，则()**A=（A ）A E ；（B ）A ；（C ）nA A ；（D ）2n A A -；4、下列矩阵中哪⼀个是初等矩阵（A ）100002?? ???；（B ）100010011??；（C ）011101001-?? ?- ? ?；（D ）010002100??- ；5、下列命题正确的是（A ）如果有全为零的数1,k 2k 3,,,m k k 使1122m m k k k αααθ+++= ，则1,α2α，，m α线性⽆关；（B ）向量组1,α2α，，m α若其中有⼀个向量可由向量组线性表⽰，则1,α2α，，m α线性相关；（C ）向量组1,α2α，，m α的⼀个部分组线性相关，则原向量组本⾝线性相关；（D ）向量组1,α2α，，m α线性相关，则每⼀个向量都可由其余向量线性表⽰。
线性代数期末试题及参考答案
线性代数期末试题及参考答案一、单项选择题<每小题3分，共15分）1．下列矩阵中，< ）不是初等矩阵。
<A ）001010100⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ (B>100000010⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ (C> 100020001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦(D> 100012001⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 2．设向量组123,,ααα线性无关，则下列向量组中线性无关的是< ）。
<A ）122331,,αααααα--- <B ）1231,,αααα+ <C ）1212,,23αααα- <D ）2323,,2αααα+3．设A 为n 阶方阵，且250A A E +-=。
则1(2)A E -+=< ）(A> A E - (B> E A + (C> 1()3A E - (D> 1()3A E +4．设A 为n m ⨯矩阵，则有< ）。
<A ）若n m <，则b Ax =有无穷多解；<B ）若n m <，则0=Ax 有非零解，且基础解系含有m n -个线性无关解向量；<C ）若A 有n 阶子式不为零，则b Ax =有唯一解； <D ）若A 有n 阶子式不为零，则0=Ax 仅有零解。
5．若n 阶矩阵A ，B 有共同的特征值，且各有n 个线性无关的特征向量，则< ）<A ）A 与B 相似 <B ）A B ≠，但|A-B|=0<C ）A=B <D ）A 与B 不一定相似，但|A|=|B|二、判断题(正确填T ，错误填F 。
每小题2分，共10分>1． A 是n 阶方阵，R ∈λ，则有A A λλ=。
< ）2． A ，B 是同阶方阵，且0≠AB ，则111)(---=A B AB 。
< ）3．如果A 与B 等价，则A 的行向量组与B 的行向量组等价。
大学线性代数期末考试练习题含答案
线性代数练习题一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1.下列等式中，正确的是（ ）A.2001002001021⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B. 1233693456456⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C.1051002⎛⎫= ⎪⎝⎭D.120120035035--⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭2.设矩阵A =100220340⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭，那么矩阵A 的列向量组的秩为（ ）A.3B.2C.1D.03.设向量1α=（-1，4），2α=（1，-2），3α=（3，-8），若有常数a,b 使a 1α-b 2α-3α=0,则（）A.a=-1,b=-2B.a=-1,b=2C.a=1,b=-2D.a=1,b=24.向量组1α=（1，2，0），2α=（2，4，0），3α=（3，6，0），4α=（4，9，0） 的极大线性无关组为（ ）A.1α，4αB.1α，3αC.1α，2αD.2α，3α5.下列矩阵中是正定矩阵的为（ ）A.1223⎛⎫ ⎪⎝⎭B.3336-⎛⎫ ⎪-⎝⎭C.0331⎛⎫ ⎪-⎝⎭D.1001-⎛⎫⎪-⎝⎭二、填空题（本大题共5小题，每题3分，共15分）6.行列式111123149=___ ___.7.已知3维向量α=（1，-3，3），β=（1，0，-1）则α+3β=_ _. 8.设n 阶矩阵A 的各行元素之和均为0，且A 的秩为n-1，则齐次线性方程组Ax=0的 通解为__ __.9.设1，2，…，n 是n 阶矩阵A 的n 个特征值，则矩阵A 的行列式|A |=_ ___. 10.二次型f(x 1,x 2,x 3)=x 1x 2+x 1x 3+x 2x 3的秩为_ __.三、计算题（本大题共8小题，共70分）11.（9分）已知矩阵A =111210101⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭，B =100210021⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭，求：（1）A T B ；（2）| A T B |.12.（9分）设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=100111001A ，B =2153⎛⎫ ⎪⎝⎭，C =132031⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭，且满足C AXB =，求矩阵X .13.（9分）求向量组1α=(-1,2,1,0)T ，2α=（0,1,1,2）T ，3α=（1,4,3,4）T ，4α=（1,1,6,4）T 的秩 与一个极大线性无关组.14.（9分）判断线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=+++-=-++=-+-6242163511325432143214321x x x x x x x x x x x x 是否有解，有解时求出它的解.15.（9分）已知矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=a A 01020101，01=λ是A 的一个特征值，求A 的全部特征值及其特征向量.16.（9分）求一个正交变换将二次型322322214332x x x x x f +++=化为标准形.17.（8分）求⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=343122321A 的逆矩阵.18.（8分）利用施密特正交化法将向量组()⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=931421111,,321a a a 正交化.。
线代b期末考试题及答案
线代b期末考试题及答案一、单项选择题（每题2分，共20分）1. 向量组\(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3\)线性无关的充分必要条件是（）。
A. \(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3\)不共面B. 由\(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3\)构成的矩阵的行列式不为零C. 由\(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3\)构成的矩阵的秩为3D. 以上说法都不正确答案：C2. 若矩阵A可逆，则下列说法正确的是（）。
A. A的行列式为0B. A的行列式不为0C. A的转置矩阵不可逆D. A的逆矩阵不存在答案：B3. 对于矩阵A，下列说法不正确的是（）。
A. A的特征值是A的特征多项式的根B. A的特征向量是对应于特征值的特征向量C. A的秩等于A的非零特征值的个数D. A的行列式等于其特征值的乘积答案：C4. 线性方程组\(Ax=b\)有唯一解的充分必要条件是（）。
A. A是方阵且行列式不为0B. A是方阵且秩等于增广矩阵的秩C. A的秩等于未知数的个数D. 以上说法都正确答案：D5. 矩阵A和B相似的充分必要条件是（）。
A. A和B的行列式相等B. A和B的特征值相同C. A和B的迹相等D. A和B有相同的Jordan标准形答案：D6. 矩阵A的秩为2，下列说法正确的是（）。
A. A的零空间的维数为1B. A的零空间的维数为2C. A的列向量线性相关D. A的行向量线性无关答案：A7. 若矩阵A和B满足AB=0，则下列说法正确的是（）。
A. A和B至少有一个是零矩阵B. A和B的秩之和小于等于A的列数C. A和B的秩之和小于等于B的行数D. A和B的秩之和小于等于A的列数和B的行数之和答案：D8. 矩阵A的特征值是1，对应的特征向量是\(\begin{bmatrix}1 \\ 0\end{bmatrix}\)，则下列说法正确的是（）。
《线性代数》期末考试题及详细答案(本科A、B试卷)
XXX 学年期末考试试卷《线性代数》期末考试题及详细答案（本科A 、B 试卷）A 卷一、填空题 （将正确答案填在题中横线上。
每小题2分，共10分）。
1、设1D =3512， 2D =345510200，则D =12DD OO=_____________。
2、四阶方阵A B 、，已知A =116，且=B ()1-12A 2A --，则B =_____________。
3、三阶方阵A 的特征值为1，-1，2，且32B=A -5A ，则B 的特征值为_____________。
4、若n 阶方阵A 满足关系式2A -3A-2E O =，若其中E 是单位阵，那么1A -=_____________。
5、设()11,1,1α=，()21,2,3α=，()31,3,t α=线性相关，则t=_____________。
二、单项选择题 （每小题仅有一个正确答案，将正确答案的番号填入下表内，每小题2分，共20分）。
1、若方程13213602214x x xx -+-=---成立，则x 是：课程代码： 适用班级：命题教师：任课教师：（A ）-2或3； （B ）-3或2； （C ）-2或-3； （D ）3或2； 2、设A 、B 均为n 阶方阵，则下列正确的公式为： （A ）()332233A B+3AB +B A B A +=+； B ）()()22A B A+B =A B --； （C ）()()2A E=A E A+E --； （D ）()222AB =A B ； 3、设A 为可逆n 阶方阵，则()**A=？（A ）A E ； （B ）A ； （C ）nA A ； （D ）2n A A -；4、下列矩阵中哪一个是初等矩阵：（A ）100002⎛⎫ ⎪⎝⎭； （B ）100010011⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭； （C ）011101001-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭； （D ）010002100⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭；5、下列命题正确的是：（A ）如果有全为零的数1,k 2k 3,,,m k k 使1122m m k k k αααθ+++=，则1,α2α，，m α 线性无关； （B ）向量组1,α2α，，m α 若其中有一个向量可由向量组线性表示，则1,α2α，，m α线性相关；（C ）向量组1,α2α，，m α 的一个部分组线性相关，则原向量组本身线性相关； （D ）向量组1,α2α，，m α线性相关，则每一个向量都可由其余向量线性表示。
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《线性代数》 （A 卷，工科54学时）
学院 专业 学号 姓名
注：所有答题均须有详细过程，内容必须写在答题纸上，凡写在其它地方一律无效。
一、(10分) 已知1234567891011121
010*******
1100001100
1011A B ⎛⎫
⎛⎫
⎪
⎪ ⎪
⎪
⎪== ⎪ ⎪
⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝
⎭
，，求行列式T AA 及秩()r B 。
二、(15分) 已知矩阵方程1
1
)2(--=-C
A B C E T
，求矩阵A .其中
1
232120*********,
.001200120
0010001B C --⎛⎫
⎛⎫
⎪
⎪
-
⎪
⎪
== ⎪
⎪
⎪
⎪
⎝⎭⎝⎭
三、（15分）已知向量组
123412342345, , , 34564567αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
求向量组A 的秩及一个最大无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表出．
四、(15分）设11010,1.111a A b λλλ⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪
=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
已知线性方程组Ax b =存在2个不同的解，
1）求a λ，；
2）求方程组Ax b =的通解.
五、(15分）设α是实数n 维非零列向量，E 为n 阶单位矩阵，[2/()]T
T
A E αααα=-，
1）计算T A ，并回答()kE A -能否相似于一个对角阵？并说明理由，其中k 为常数；
2）计算2
A ，并回答()kE A -是否可逆？并说明理由，其中1k ≠±；
3）给出2T
E αα-（）为正交矩阵的充分必要条件。
六、(15分)在四元实向量构成的线性空间4R 中,求k 使4321,,,ββββ为4
R 的基,并求由基
12341234,,,,,,ααααββββ到的过渡矩阵P ,其中
⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=00011α,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=00112α,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=01113α,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11
114α；1111k β⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,21121k β-⎛⎫ ⎪
⎪= ⎪- ⎪⎝⎭,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=00113β,⎪
⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=00014β 七、(15分) 设A 为n 阶对称矩阵, C 为n 阶可逆矩阵,令=T
B C AC ，证明以下命题:
1）B 为n 阶对称矩阵, 且=()()r B r A ；
2）如果B 是一对角阵，C 是正交阵，且()f λ是 A 的特征多项式，则 =()f A O 。
《线性代数》 （工54学时，A 卷答案）
一、(10分) 解：注意r()3T
AA ≤，而T AA 是4阶阵，则=0T AA ；()=5r B .
二、(15分) 解：1)2()2(--==-B C A E A B C T T
，
12340123(2)=00120
001C B ⎛⎫
⎪
⎪
- ⎪
⎪
⎝⎭
T 12101
00001212100, 001212100001012
1A A -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪--
⎪ ⎪== ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭。
三、（15分）解：()12341
2342
345,,,34564
567A αααα⎛⎫
⎪
⎪== ⎪
⎪
⎝⎭
123410120123(,,,)00000
000ηηηη--⎛⎫
⎪
⎪
= ⎪ ⎪
⎝⎭
， 易见，312412()2, 2,23R A ηηηηηη==-+=-+，所以1α、2α构成一个最大无关组，且
3124122, 23αααααα=-+=-+。
四、(15分）解：1）设12,ηη为Ax b =的2个不同的解，则12ηη-是0Ax =的一个非零解，故
2(1)(1)0A λλ=-+=
于是1λ=或 1.λ=-
当1λ=时，因为()(),r A r A b ≠所以Ax b =无解，舍去. 当1λ=-时，对Ax b =的增广矩阵作初等行变换，有
310121111()0201010.211110002a A b B a ⎛
⎫- ⎪-⎛⎫ ⎪
⎪
⎪=-→-= ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭ ⎪+ ⎪⎝⎭
因为Ax b =有解，所以 2.a =-
2）当1,2a λ=-=-时，有
310121
01020000B ⎛
⎫- ⎪ ⎪
⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
所以Ax b =的解为31110,201x k ⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪
=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
其中k 为任意常数.
五、(15分）解：
1) 计算T A A =，从而可以证明A 是实对称阵，于是()kE A -是实对称阵，所以可以对角化。
2）计算得2=E A ，则A 的特征值只取 1.± 而1k ≠±，即
0kE A -≠，或() kE A -是可逆的.
3）2=1T T E αααα-（）为正交矩阵的充要条件是.
六、(20分) 解：易知1k ≠。
设),,,(4321αααα=A ,),,,(4321ββββ=B , 则
⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=1000110011101111A ， 1
11111102001100B k k --⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪- ⎪⎝⎭ 设 P ),,,(),,,(43214321ααααββββ=, 则
-11-10001-10001-10001A ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭， 12
221111011001
100k k P A B k k ---⎛⎫
⎪--- ⎪== ⎪-- ⎪⎝⎭
七、(15分)证：1）(
)
,T
T
T
T T T B C AC
C A C C AC B ====
()()()()()()()()()1
11, ., ,.
T T A C BC r A r BC r B B C AC r B r AC r A r A r B --=∴≤≤=∴≤≤∴=－
2）设12=λλλ⋯⎛⎫
⎪
⎪ ⎪⋯⋯⋯⋯ ⎪
⎝
⎭n B ，则 A 的特征值为 (12 ),,...i i n λ=，且=0()i
f λ。
由=T B C AC ，及C 的正交性，得=k T k
B C A C ，或))=((T f B C f A C ，故
12()0()0)==()0λλλ⋯⋯⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝
⎭(n f f f B f ＝O ； 再由C 可逆，即得 =()f A O 。