高考数学二轮复习考点解析7：数列的综合考查

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高考数学二轮复习数列求和及其综合应用

(2)在各项均为正数的数列{an}中，a1＝1，a2n＋1－2an＋1an－3a2n＝0，Sn 是数列 {an}的前 n 项和，若对 n∈N*，不等式 an(λ－2Sn)≤27 恒成立，则实数 λ 的取值范围为_(－__∞__，__1_7_]_.
∵a2n＋1－2an＋1an－3a2n＝0， ∴(an＋1＋an)(an＋1－3an)＝0， ∵an>0，∴an＋1＝3an，又a1＝1， ∴数列{an}是首项为1，公比为3的等比数列， ∴an＝3n－1， Sn＝11－－33n＝32n－12， ∴不等式 an(λ－2Sn)≤27 即 λ≤2Sn＋2a7n＝3n＋32n－71－1 对 n∈N*恒成立，
所以 2an1
2an
＝4，
所以an＋1－an＝2，
所以数列{an}是公差为2的等差数列，
因为a2，a4，a7成等比数列，
所以 a24＝a2a7，
所以(a1＋6)2＝(a1＋2)(a1＋12)，解得a1＝6，
所以an＝6＋2(n－1)＝2n＋4，因为Sn为数列{bn}的前n项和，且bn是1和Sn的等差中项，所以Sn＋1＝2bn，当n≥2时，有Sn－1＋1＝2bn－1，两式相减得bn＝2bn－2bn－1，即bn＝2bn－1，当n＝1时，有S1＋1＝b1＋1＝2b1，所以b1＝1，所以数列{bn}是首项为1，公比为2的等比数列，所以bn＝2n－1，
考向3 错位相减法
例3 (2022·上饶模拟)从①b5－b4＝18b2，②S5＝b4－2，③log3bn＋1－1＝ log3bn这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答. 已知数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}是正项等比数列，且2an＝an＋1＋ an－1(n≥2)，S3＝b3＝9，b4＝a14，________. (1)求数列{an}和{bn}的通项公式；注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

山东高考数列知识点梳理

山东高考数列知识点梳理1. 引言数列是高中数学中的重要内容，也是高考考试中的常见题型。

在山东高考中，数列相关的知识点经常出现，掌握好这些知识点对于提高数学成绩至关重要。

本文将梳理山东高考数列的知识点，帮助同学们更好地理解和应用数列。

2. 数列的概念数列是指按照一定规律排列的一串数。

在数列中，每个数称为项，用字母a表示，而项的位置称为索引，用自然数n表示。

数列可以分为等差数列、等比数列以及其他特殊数列。

3. 等差数列等差数列是指相邻项之间具有相同差值的数列。

在山东高考中，等差数列相关的考点较多，主要包括以下内容：- 公式推导：根据等差数列的定义，可以推导出等差数列的通项公式和前n项求和公式。

深入理解这些公式的推导过程可以帮助同学们更好地掌握等差数列的性质和应用。

- 应用题：山东高考中常常出现一些应用题，要求同学们通过等差数列的知识解决实际问题。

这类题目需要同学们能够灵活运用等差数列的概念和公式，从中提取关键信息，进行合理推断和计算。

4. 等比数列等比数列是指相邻项之间具有相同比值的数列。

在山东高考中，等比数列也是一个重要的考点，主要包括以下内容：- 公式推导：与等差数列类似，等比数列也有通项公式和前n项求和公式。

同学们需要通过公比来推导出这些公式，掌握它们的推导过程，便于在解题时应用。

- 应用题：等比数列在实际问题中的应用也是经常出现的。

同学们需要学会识别等比数列，并能够根据题目中的条件和要求，灵活运用等比数列的概念和公式解决问题。

5. 其他特殊数列除了等差数列和等比数列，山东高考中还会考察一些其他特殊的数列，如斐波那契数列、等差（等比）数列的混合数列等。

同学们需要了解这些数列的定义和特点，并熟悉它们的应用。

6. 总结在山东高考中，数列是一个常见且重要的考点。

同学们需要掌握数列的概念和性质，熟练运用等差数列和等比数列的公式，灵活应用数列解决实际问题。

此外，同学们还需了解其他特殊数列的定义和特点。

通过系统学习和练习，相信同学们一定能够在山东高考中取得好成绩！以上简要梳理了山东高考数列的知识点，希望对同学们的学习有所帮助。

高考数学二轮复习考点知识专题讲解20---数列综合问题的探究(含解析)

9、设数列{an}是首项为 1，公差不为零的等差数列，Sn 为其前 n 项和，若 S1，S2，S4 成
等比数列，则数列{an}的公差为________．
【答案】：. 2
思路分析先用公差 d 分别表示 S2，S4，列方程求出 d.
设公差为 d，其中 d≠0，则 S1，S2，S4分别为 1,2＋d,4＋6d.由 S1，S2，S4成等比数列，
2
2
得(2＋d) ＝4＋6d，即 d ＝2d.因为 d≠0，所以 d＝2.
10、设公差为 d(d 为奇数，且 d>1)的等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 Sm－1＝－9，Sm
*
＝0，其中 m>3，且 m∈N ，则 an＝________.
3 / 25
【答案】： 3n－12
ma1＋am
【解析】：因为 Sm－1＝－9，Sm＝0，所以 am＝9.又 Sm＝
32 项之和的比为，则这个数列的公差为__________．
27
【答案】：5
【解析】由题意偶数项和为 192，奇数项和为 162，又的公差为 5．
，所以这个数列
4、已知数列 {an} 是递增的等比数列，
，则数列{an}的前 n 项和等
1 / 25
于．
【答案】： 2n −1
a7
5、已知数列{an}是等差数列，且＜－1，它的前 n 项和 Sn 有最小值，则 Sn 取到最小正 a6
6 / 25
3
5
解法 2 因为 S6＝S3(1＋q )，所以由 S6－2S3＝5 得 S3＝ 3 >0，从而 q>1，故 S9－S6＝
q －1
6
6
3
3
6 5q

数列的高考知识点总结

数列的高考知识点总结数列是高中数学中的一个重要知识点，也是高考考试中常常出现的题型。

掌握好数列的概念、性质以及解题方法，对于高考取得较好的成绩非常重要。

本文将对数列的相关知识进行总结归纳，希望对高中生进行复习和备考提供一定的帮助。

一、概念与性质数列是由一系列按照一定规律排列的数所组成的。

数列中的每个数称为数列的项，用$a_n$表示第n项。

数列中的规律可以通过数列的通项公式来表示。

1.1 等差数列等差数列的特点是每一项与它的前一项的差值都相等。

设首项为$a_1$，公差为$d$，则等差数列的通项公式为$a_n=a_1+(n-1)d$。

1.2 等比数列等比数列的特点是每一项与它的前一项的比值都相等。

设首项为$a_1$，公比为$q$，则等比数列的通项公式为$a_n=a_1q^{(n-1)}$。

1.3 递推数列递推数列是指根据前几项的值，通过某种规律得到后面的项。

递推数列的通项公式一般比较复杂，常见的有斐波那契数列、阶乘数列等。

1.4 序列极限当$n$趋向于无穷大时，数列可能会趋向于某个常数或无穷大。

这个常数或无穷大就是数列的极限。

数列的极限有正无穷大、负无穷大以及存在有限极限三种情况。

二、数列求和求和是数列相关题目中的常见题型，也是高中数学考试必考的内容之一。

对于等差数列和等比数列，求和的方法有所不同。

2.1 等差数列求和对于首项为$a_1$，公差为$d$的等差数列，前n项的和可以通过以下公式求得：$S_n=\frac{n}{2}(a_1+a_n)$。

其中，$a_n$为第n项的值。

2.2 等比数列求和对于首项为$a_1$，公比为$q$的等比数列，当$q \neq 1$时，前n项的和可以通过以下公式求得：$S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$。

当$q =1$时，等比数列求和的公式为$S_n=na_1$。

三、数列的应用数列的应用非常广泛，它可以用于解决很多实际问题。

3.1 约瑟夫环问题约瑟夫环问题是数列应用的一个典型例子。

2024年高考数学专项复习数列求和与递推综合归类 (解析版)

数列求和与递推综合归类目录重难点题型归纳 1【题型一】等差与等比型累加法 1【题型二】换元型累加、累积法 3【题型三】周期数列型递推 4【题型四】二阶等比数列型递推 6【题型五】分式型求递推 7【题型六】前n 项积型递推 8【题型七】“和”定值型递推 9【题型八】分段型等差等比求和 11【题型九】函数中心型倒序求和 12【题型十】分组求和型 14【题型十一】错位相减型求和 16【题型十二】正负相间型求和 19【题型十三】无理根式型裂项相消求和 20【题型十四】指数型裂项相消 22【题型十五】等差指数混合型裂项 23【题型十六】裂和型裂项相消 26【题型十七】分离常数型裂项 27好题演练29重难点题型归纳重难点题型归纳题型一等差与等比型累加法【典例分析】1.(等差累加法)已知数列a n 中，已知a 1=2，a n +1-a n =2n ，则a 50等于()A.2451B.2452C.2449D.24502.(等比累加法)已知数列a n 满足a 1=2，a n +1-a n =2n ，则a 9=()A.510B.512C.1022D.10242024年高考数学专项复习数列求和与递推综合归类（解析版）【技法指引】对于递推公式为a n -a n -1=f n ，一般利用累加法求出数列的通项公式；累乘法：若在已知数列中相邻两项存在：a na n -1=g (n )(n ≥2)的关系，可用“累乘法”求通项.【变式演练】1.已知数列a n n ∈N * 是首项为1的正项等差数列，公差不为0，若a 1、数列a 2n 的第2项、数列a n 2 的第5项恰好构成等比数列，则数列a n 的通项公式为()A.a n =2n -1B.a n =2n +1C.a n =n -1D.a n =n +12.已知数列a n 中，a 1=1，前n 项和S n =n +23a n ，则a n 的通项公式为.题型二换元型累加、累积法【典例分析】1.已知数列a n 满足：a 1=13，(n +1)a n +1-na n =2n +1，n ∈N *，则下列说法正确的是()A.a n +1≥a nB.a n +1≤a nC.数列a n 的最小项为a 3和a 4D.数列a n 的最大项为a 3和a 4【变式演练】1.(换元对数累加法)在数列a n 中，a 1=2，a n +1n +1=a n n +ln 1+1n ，则a n =()A.a 8B.2+n -1 ln nC.1+n +ln nD.2n +n ln n2.已知数列a n 满足a 1=32，a n =n n -1a n -1-n2n .(1)求数列a n 的通项公式；(2)设数列a n 的前n 项和为S n ，求满足S n <12的所有正整数n 的取值集合.【典例分析】1.已知数列a n满足a1=2，a n+1=1+a n1-a n，(n∈N*)，则a1⋅a2⋅a3⋅⋯a2009⋅a2010=_________．【变式演练】1.数列{a n}中，a1=1，a2=3，a n+1=a n-a n-1(n≥2,n∈N*)，那么a2019=()A.1B.2C.3D.-32.数列a n的首项a1=3，且a n=2-2a n-1n≥2，则a2021=()A.3B.43C.12D.-2题型四【二阶等比数列型递推【典例分析】1.已知数列a n满足a1=2,且a n=2a n-1-1(n≥2,n∈N+)，则a n=______________【变式演练】1.已知数列a n中，a1=1，a n=3a n-1+4(n∈N∗且n≥2)，则数列a n通项公式a n为() A.3n-1 B.3n+1-2 C.3n-2 D.3n2.已知数列{a n}满足：a n+1=2a n-n+1(n∈N*)，a1=3.(1)证明数列b n=a n-n(n∈N*)是等比数列，并求数列{a n}的通项；(2)设c n=a n+1-a na n a n+1，数列{c n}的前n项和为{S n}，求证：S n<1.【典例分析】1.在数列{a n}中，a1=1，a n+1=2a na n+2(n∈N*)，则22019是这个数列的第________________项．【变式演练】1.已知数列a n满足a1=1,a n+1=2a na n+2.记C n=2na n，则数列Cn的前n项和C1+C2+...+Cn=．2.数列a n满足：a1=13，且na n=2a n-1+n-1a n-1(n∈N*,n≥2)，则数列a n的通项公式是a n=．题型六前n项积型递推【典例分析】1.设等比数列a n的公比为q，其前n项和为S n，前n项积为T n，并且满足条件a1>1，a7a8>1，a7-1a8-1<0.则下列结论正确的是(多选题)A.0<q<1B.a7a9<1C.T n的最大值为T7D.S n的最大值为S7【技法指引】类比前n项和求通项过程来求数列前n项积：1.n=1，得a12.n≥2时，a n=T n T n-1所以a n=T1，(n=1) T nT n-1,(n≥2)【变式演练】1.若数列a n满足a n+2=2⋅a n+1a n(n∈N*)，且a1=1,a2=2，则数列a n的前2016项之积为()A.22014B.22015C.22016D.220172.设等比数列a n的公比为q，其前n项和为S n，前n项积为T n，并满足条件a1>1，且a2020a2021> 1，a2020-1a2021-1<0，下列结论正确的是(多选题)A.S2020<S2021B.a2020a2022-1<0C.数列T n无最大值 D.T2020是数列T n中的最大值题型七“和”定值型递推【典例分析】1.若数列a n满足a n+2a n+1+a n+1a n=k(k为常数)，则称数列a n为等比和数列，k称为公比和，已知数列a n是以3为公比和的等比和数列，其中a1=1，a2=2，则a2019=______.【变式演练】1.已知数列{a n}满足a n+a n+1=12(n∈N*)，a2=2，S n是数列{a n}的前n项和，则S21为()A.5B.72C.92D.1322.知数列{a n}满足：a n+1+a n=4n-3(n∈N*)，且a1=2，则a n=．题型八分段型等差等比求和【典例分析】1.已知数列a n满足a1=2，a n+1=32a n,n为奇数2a n,n为偶数 .(1)记b n=a2n，写出b1，b2，并求数列b n的通项公式；(2)求a n的前12项和.【变式演练】1.已知数列a n满足a1=1,a n+1=a n+1,n=2k-1, a n,n=2k.(1)求a2,a5的值；(2)求a n的前50项和S50．题型九函数中心型倒序求和【典例分析】1.已知A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 是函数f (x )=2x 1-2x,x ≠12-1,x =12的图象上的任意两点(可以重合)，点M为AB 的中点，且M 在直线x =12上．(1)求x 1+x 2的值及y 1+y 2的值；(2)已知S 1=0，当n ≥2时，S n =f 1n +f 2n +f 3n +⋯+f n -1n，求S n ；(3)若在(2)的条件下，存在n 使得对任意的x ，不等式S n >-x 2+2x +t 成立，求t 的范围．【变式演练】2.已知a n 为等比数列，且a 1a 2021=1，若f x =21+x2，求f a 1 +f a 2 +f a 3 +⋯+f a 2021 的值．题型十分组求和型【典例分析】1.已知等比数列a n 的公比大于1，a 2=6，a 1+a 3=20.(1)求a n 的通项公式；(2)若b n =a n +1log 3a n +12log 3a n +22，求b n 的前n 项和T n .【技法指引】对于a n +b n 结构，利用分组求和法【变式演练】1.设S n 为数列a n 的前n 项和，已知a n >0，a 2n +2a n =4S n +3n ∈N *，若数列b n 满足b 1=2，b 2=4，b 2n +1=b n b n +2n ∈N *(1)求数列a n 和b n 的通项公式；(2)设c n =1S n,n =2k -1,k ∈N * b n,n =2k ,k ∈N *求数列c n 的前n 项的和T n .【典例分析】1.已知数列a n 满足a 1=2，且a n +1-3 ⋅a n +1 +4=0，n ∈N *.(1)求证：数列1a n -1是等差数列；(2)若数列b n 满足b n =2n +1a n -1，求b n 的前n 项和.【技法指引】对于a n b n 结构，其中a n 是等差数列，b n 是等比数列，用错位相减法求和；思维结构结构图示如下【变式演练】1.已知等比数列a n 的首项a 1=1，公比为q ，b n 是公差为d d >0 的等差数列，b 1=a 1，b 3=a 3，b 2是b 1与b 7的等比中项．(1)求数列a n 的通项公式；(2)设b n 的前n 项和为S n ，数列c n 满足nc n =a 2n S n ，求数列c n 的前n 项和T n ．【典例分析】1.已知数列a n各项均为正数，且a1=2，a n+12-2a n+1=a n2+2a n．(1)求a n的通项公式(2)设b n=-1n a n，求b1+b2+b1+⋯+b20．【变式演练】1.设等差数列a n的前n项和为S n，已知a3+a5=8,S3+S5=10. (1)求a n的通项公式；(2)令b n=(-1)n a n，求数列b n的前n项和T n.题型十三无理根式型裂项相消求和【典例分析】1.设数列a n的前n项和为S n，且满足2S n=3a n-3．(1)求数列a n的通项公式：(2)若b n=a n3,n为奇数1log3a n+log3a n+2,n为偶数，求数列和b n 的前10项的和．【变式演练】1.设数列a n的前n项和S n满足2S n=na n+n，n∈N+，a2=2，(1)证明：数列a n是等差数列，并求其通项公式﹔(2)设b n=1a n a n+1+a n+1a n，求证：T n=b1+b2+⋯+b n<1.题型十四指数型裂项相消【典例分析】1.已知数列a n 的前n 项和为S n ，且S n =2a n -1.(1)求a n ；(2)设b n =a n a n +1-1 ⋅a n +2-1 ，求数列b n 的前n 项和T n .【变式演练】1.数列a n 满足：a 1+2a 2+3a 3+⋅⋅⋅+n -1 a n -1=2+n -2 ⋅2n n ≥2 .(1)求数列a n 的通项公式；(2)设b n =a n a n -1 a n +1-1，T n 为数列b n 的前n 项和，若T n <m 2-3m +3恒成立，求实数m 的取值范围.题型十五等差指数混合型裂项【典例分析】1.已知数列a n 满足S n =n a 1+a n 2，其中S n 是a n 的前n 项和.(1)求证：a n 是等差数列；(2)若a 1=1,a 2=2，求b n =2n 1-a n a n a n +1的前n 项和T n .【变式演练】2.已知等比数列a n 的各项均为正数，2a 5，a 4，4a 6成等差数列，且满足a 4=4a 23，数列S n 的前n 项之积为b n ，且1S n +2b n=1．(1)求数列a n 和b n 的通项公式；(2)设d n =b n +2⋅a n b n ⋅b n +1，若数列d n 的前n 项和M n ，证明：730≤M n <13．【典例分析】1.已知数列a n 的满足a 1=1，a m +n =a m +a n m ,n ∈N * .(1)求a n 的通项公式；(2)记b n =(-1)n ⋅2n +1a n a n +1，数列b n 的前2n 项和为T 2n ，证明：-1<T 2n ≤-23.【技法指引】正负相间型裂和，裂项公式思维供参考：-1 n ⋅pn +q kn +b k (n +1)+b=-1 n ⋅t 1kn +b +1k (n +1)+b【变式演练】1.记正项数列a n 的前n 项积为T n ，且1a n =1-2T n ．(1)证明：数列T n 是等差数列；(2)记b n =-1 n ⋅4n +4T n T n +1，求数列b n 的前2n 项和S 2n ．【典例分析】1.已知等差数列a n 的前n 项和为S n ，若S 8=4a 4+20，且a 5+a 6=11.(1)求a n 的通项公式；(2)设b n =n 2+n +1a n a n +1，求b n 的前n 项和T n .【变式演练】1.已知等差数列a n 的通项公式为a n =2n -c c <2 ，记数列a n 的前n 项和为S n n ∈N * ，且数列S n 为等差数列．(1)求数列a n 的通项公式；(2)设数列4S n a n a n +1的前n 项和为T n n ∈N * ，求T n 的通项公式．好题演练好题演练1.(山东省泰安市2023届高三二模数学试题)已知数列a n 的前n 项和为S n ，a 1=2，a n ≠0，a n a n +1=4S n .(1)求a n ；(2)设b n =-1 n ⋅3n -1 ，数列b n 的前n 项和为T n ，若∀k ∈N *，都有T 2k -1<λ<T 2k 成立，求实数λ的范围.2.(2023·全国·模拟预测)已知正项数列a n 满足a 1=1，a n +1a n =1+1n.(1)求证：数列a 2n 为等差数列；(2)设b n =1a 2n a n +1+a n a 2n +1，求数列b n 的前n 项和T n .3.(2023·全国·学军中学校联考二模)设数列a n 满足a n +1=3a n -2a n -1n ≥2 ,a 1=1,a 2=2.(1)求数列a n 的通项公式；(2)在数列a n 的任意a k 与a k +1项之间，都插入k k ∈N * 个相同的数(-1)k k ，组成数列b n ，记数列b n 的前n 项的和为T n ，求T 27的值.4.(2023·全国·长郡中学校联考二模)已知正项数列a n 的前n 项和为S n ，且a 1=1，a n =S n +S n -1(n ∈N *且n ≥2).(1)求数列a n 的通项公式；(2)设数列a n +22n a n a n +1 的前n 项和为T n ，求证：T n <1.5.(2023·四川攀枝花·统考三模)已知等差数列a n的公差为d d≠0，前n项和为S n，现给出下列三个条件：①S1,S2,S4成等比数列；②S4=32；③S6=3a6+2.请你从这三个条件中任选两个解答下列问题.(1)求数列a n的通项公式；(2)若b n-b n-1=2a n n≥2，且b1=3，设数列1b n的前n项和为Tn，求证：13≤T n<12.6.(2023春·江西抚州·高二金溪一中校联考期中)已知数列a n满足a1=2,a n+1= 2a n+2,n为奇数,1 2a n+1,n为偶数.(1)记b n=a2n，证明：数列b n为等差数列；(2)若把满足a m=a k的项a m,a k称为数列a n中的重复项，求数列a n的前100项中所有重复项的和.7.(河北省2023届高三下学期大数据应用调研联合测评(Ⅲ)数学试题)已知数列a n 满足：a 1=12，3a n +1a n =1+a n +11+a n.(1)求证：1a n +1 是等比数列，并求出数列a n 的通项公式；(2)设b n =3n ⋅a n a n +1，求数列b n 的前n 项和S n .8.(2023·全国·模拟预测)已知数列a n 的前n 项和S n 满足S n =n 2-1+a n .(1)求a 1及a n ；(2)令b n =4S n a n a n +1，求数列b n 的前n 项和T n .数列求和与递推综合归类目录重难点题型归纳 1【题型一】等差与等比型累加法 1【题型二】换元型累加、累积法 3【题型三】周期数列型递推 4【题型四】二阶等比数列型递推 6【题型五】分式型求递推 7【题型六】前n项积型递推 8【题型七】“和”定值型递推 9【题型八】分段型等差等比求和 11【题型九】函数中心型倒序求和 12【题型十】分组求和型 14【题型十一】错位相减型求和 16【题型十二】正负相间型求和 19【题型十三】无理根式型裂项相消求和 20【题型十四】指数型裂项相消 22【题型十五】等差指数混合型裂项 23【题型十六】裂和型裂项相消 26【题型十七】分离常数型裂项 27好题演练 29重难点题型归纳重难点题型归纳题型一等差与等比型累加法【典例分析】1.(等差累加法)已知数列a n中，已知a1=2，a n+1-a n=2n，则a50等于()A.2451B.2452C.2449D.2450【答案】B【详解】由a n+1-a n=2n得：a n-a n-1=2n-1，a n-1-a n-2=2n-2，⋯⋯，a3-a2=2×2，a2-a1=2×1，各式相加可得：a n-a1=2×1+2+⋅⋅⋅+n-1=2×n n-12=n n-1，又a1=2，∴a n=2+n n-1=n2-n+2，∴a50=2500-50+2=2452.故选：B.2.(等比累加法)已知数列a n满足a1=2，a n+1-a n=2n，则a9=()A.510B.512C.1022D.1024【答案】B【详解】由a1=2,a n+1-a n=2n得a2-a1=2，a3-a2=22，a4-a3=23，⋮a n -a n -1=2n -1，以上各式相加得，a n -a 1=2+22+⋯+2n -1=21-2n -11-2=2n -2，所以a n =2n -2+a 1=2n ，所以a 9=29=512.故选：B .【技法指引】对于递推公式为a n -a n -1=f n ，一般利用累加法求出数列的通项公式；累乘法：若在已知数列中相邻两项存在：a na n -1=g (n )(n ≥2)的关系，可用“累乘法”求通项.【变式演练】1.已知数列a n n ∈N * 是首项为1的正项等差数列，公差不为0，若a 1、数列a 2n 的第2项、数列a n 2 的第5项恰好构成等比数列，则数列a n 的通项公式为()A.a n =2n -1B.a n =2n +1C.a n =n -1D.a n =n +1【答案】A【分析】根据题意设a n =1+n -1 d ，所以a 2n =1+2n -1 d ，a n 2=1+n 2-1 d ，所以1，1+3d ，1+24d 构成等比数列，即1+3d 2=1×1+24d ，求出d 即可求解.【详解】设等差数列a n 的公差为d d >0 ，所以a n =1+n -1 d ，所以a 2n =1+2n -1 d ，a n 2=1+n 2-1 d ，又a 1、数列a 2n 的第2项、数列a n 2的第5项恰好构成等比数列，即1，1+3d ，1+24d 构成等比数列，所以1+3d 2=1×1+24d ，解得d =2，d =0(舍去)，所以a n =2n -1.故选：A .2.已知数列a n 中，a 1=1，前n 项和S n =n +23a n ，则a n 的通项公式为.【答案】a n =n n +12【分析】由S n =n +23a n ，变形可得则S n -1=n +13a n -1，两式相减变形可得a n a n -1=n +1n -1，又由a n =a n a n -1 ×a n -1a n -2 ×⋯⋯×a2a 1×a 1，计算可得a n =n (n +1)2，验证a 1即可得答案．【详解】根据题意，数列{a n }中，a 1=1，S n =n +23a n (n ∈N *)，S n =n +23a n ①，S n -1=n +13a n -1②，①-②可得：a n =(n +2)a n 3-(n +1)a n -13，变形可得：a n a n -1=n +1n -1，则a n =a n a n -1 ×a n -1a n -2 ×⋯⋯×a 2a 1×a 1=n +1n -1 ×n n -2 ×⋯⋯×31 ×1=n (n +1)2；n =1时，a 1=1符合a n =n (n +1)2；故答案为：a n =n (n +1)2．题型二换元型累加、累积法【典例分析】1.已知数列a n 满足：a 1=13，(n +1)a n +1-na n =2n +1，n ∈N *，则下列说法正确的是()A.a n +1≥a nB.a n +1≤a nC.数列a n 的最小项为a 3和a 4D.数列a n 的最大项为a 3和a 4【答案】C【详解】令b n =na n ，则b n +1-b n =2n +1，又a 1=13，所以b 1=13，b 2-b 1=3，b 3-b 2=5，⋯，b n -b n -1=2n -1，所以累加得b n =13+n -1 3+2n -1 2=n 2+12，所以a n =b n n =n 2+12n =n +12n，所以a n +1-a n =n +1 +12n +1-n +12n =n -3 n +4 n n +1，所以当n <3时，a n +1<a n ，当n =3时，a n +1=a n ，即a 3=a 4，当n >3时，a n +1>a n ，即a 1>a 2>a 3=a 4<a 5<⋯<a n ，所以数列a n 的最小项为a 3和a 4，故选：C .【变式演练】1.(换元对数累加法)在数列a n 中，a 1=2，a n +1n +1=a n n +ln 1+1n ，则a n =()A.a 8B.2+n -1 ln nC.1+n +ln nD.2n +n ln n【答案】D【详解】由题意得，a n +1n +1=a n n +ln n +1n ，则a n n =a n -1n -1+ln n n -1，a n -1n -1=a n -2n -2+lnn -1n -2⋯，a 22=a 11+ln 21，由累加法得，a n n =a 11+ln n n -1+ln n -1n -2⋯+ln 21，即a n n =a 1+ln n n -1⋅n -1n -2⋅⋯⋅21，则an n=2+ln n ，所以a n =2n +n ln n ，故选：D2.已知数列a n 满足a 1=32，a n =n n -1a n -1-n 2n .(1)求数列a n 的通项公式；(2)设数列a n 的前n 项和为S n ，求满足S n <12的所有正整数n 的取值集合.【答案】(1)a n =n +n2n ；(2)1,2,3,4 .【详解】(1)因为a n =n n -1a n -1-n 2n ，所以a n n -a n -1n -1=-12n .因为a 22-a 11=-122，a33-a 22=-123，⋯，a n n -a n -1n -1=-12n ，所以a n n -a 11=-122+123+⋯+12n=-1221-12 n -11-12=12n-12，于是a n=n+n 2n .当n=1时，a1=1+12=32，所以a n=n+n2n.(2)因为S n-S n-1=a n=n+n2n >0，所以S n是递增数列.因为a1=1+12=32，a2=2+24=52，a3=3+323=278，a4=4+424=174，a5=5+525=16532，所以S1=32，S2=4，S3=598，S4=938<12，S5=53732>12，于是所有正整数n的取值集合为1,2,3,4.题型三周期数列型递推【典例分析】1.已知数列a n满足a1=2，a n+1=1+a n1-a n，(n∈N*)，则a1⋅a2⋅a3⋅⋯a2009⋅a2010=_________．【答案】-6【解析】由已知有a2=1+a11-a1=-3,a3=1-31+3=-12,a4=1-121+12=13,a5=1+131-13=2，所以a5=a1=2，所以数列a n是周期数列，且周期为4，a1a2a3a4=a5a6a7a8=⋯=a2005a2006a2007a2008=1，而a2009a2010= a1a2=2×(-3)=-6，所以a1a2a3⋯a2010=-6。

高三数学二轮复习数列的综合应用课件

P2
P1
Pn＋1(xn＋1，n＋1)得到折线P1P2…Pn＋1，
求由该折线与直线y＝0，x＝x1，x＝xn＋1
所围成的区域的面积Tn．
O
x 1 x2
x3
x4
x
已知{xn}是各项均为正数的等比数列，且x1＋x2＝3，x3－x2＝2．
（1）求数列{xn}的通项公式；
（2）如图，在平面直角坐标系xOy中，依次连接点P1(x1，1)，P2(x2，2)，…，
（1）求S1，S2及数列{Sn}的通项公式；
（2）若数列{bn}满足bn ＝
1
7
≤|Tn|≤ ．
3
9
−1

，且{bn}的前n项和为Tn，求证：当n≥2时，
已知数列{an}满足a1＝1，Sn＝2an＋1，其中Sn为{an}的前n项和(n∈N*)．
（1）求S1，S2及数列{Sn}的通项公式；
（2）若数列{bn}满足bn ＝
Pn＋1(xn＋1，n＋1)得到折线P1P2…Pn＋1，求由该折线与直线y＝0，x＝x1，x＝
xn＋1所围成的区域的面积Tn．
y
P4
P3
P2
P1
O
x1 x2
x3
x4
x
数列求和的
基本方法
01
公式法
02
分组求和法
03
错位相减法
04
倒序相加法
05
裂项相消法
考点2：数列与不等式综合问题
已知数列{an}满足a1＝1，Sn＝2an＋1，其中Sn为{an}的前n项和(n∈N*)．
1
7
≤|Tn|≤ ．
3
9
−1

，且{bn}的前n项和为Tn，求证：当n≥2时，

高三数学第二轮复习专题数列数列通项的求法(教案及测试;含详解答案)

城东蜊市阳光实验学校数列通项的求法考纲要求：1. 理解数列的概念和几种简单的表示方法〔列表、图像、通项公式〕;2. 可以根据数列的前几项归纳出其通项公式；3. 会应用递推公式求数列中的项或者者.通项；4. 掌握n n s a 求的一般方法和步骤.考点回忆：回忆近几年高考，对数列概念以及通项一般很少单独考察，往往与等差、等比数列或者者者与数列其它知识综合考察.一般作为考察其他知识的铺垫知识，因此，假设这一部分掌握不好，对解决其他问题也是非常不利的. 根底知识过关：数列的概念1.按照一定排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的，数列中的每一项都和他的有关.排在第一位的数称为这个数列的第一项〔通常也叫做〕.往后的各项依次叫做这个数列的第2项，……第n 项……，数列的一般形式可以写成12,n a a a …………，其中是数列的第n 项，我们把上面数列简记为. 数列的分类：1.根据数列的项数，数列可分为数列、数列.2.根据数列的每一项随序号变化的情况，数列可分为数列、数列、数列、数列.数列的通项公式：1.假设数列{}n a 的可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式，通项公式可以看成数列的函数. 递推公式; 1.假设数列{}n a 的首项〔或者者者前几项〕，且任意一项1n n a a -与〔或者者其前面的项〕之间的关系可以，那么这个公式就做数列的递推公式.它是数列的一种表示法. 数列与函数的关系：1.从函数的观点看，数列可以看成以为定义域的函数()na f n =，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，所对应的一列函数值，反过来，对于函数y=f(x)，假设f(i)(i=1,2,3,……)有意义，那么我们可以得到一个数列f(1),f(2),f(3)……f(n)…… 答案：数列的概念 1.顺序项序号首项n a {}n a数列的分类 1.有限无限 2.递增递减常摆动数列的通项公式1.第n 项与它的序号n 之间的关系n a =f(n)解析式递推公式1. 可以用一个公式来表示数列与函数的关系1. 正整数集N*〔或者者它的有限子集{}1,2,3,n ……〕高考题型归纳：题型1.观察法求通项观察法是求数列通项公式的最根本的方法，其本质就是通过观察数列的特征，找出各项一一共同的构成规律，横向看各项之间的关系构造，纵向看各项与项数之间的关系，从而确定出数列的通项.例1.数列12，14，58-，1316，2932-，6164，…．写出数列的一个通项公式．分析：通过观察可以发现这个数列的各项由以下三部分组成的特征：符号、分子、分母，所以应逐个考察其规律．解析：先看符号，第一项有点违犯规律，需改写为12--，由此整体考虑得数列的符号规律是{(1)}n-；再看分母，都是偶数，且呈现的数列规律是{2}n；最后看分子，其规律是每个分子的数比分母都小３，即{23}n -．所以数列的通项公式为23(1)2n nn n a -=-．点评：观察法一般适用于给出了数列的前几项，根据这些项来写出数列的通项公式，一般的，所给的数列的前几项规律性特别强，并且规律也特别明显，要么能直接看出，要么只需略作变形即可. 题型2.定义法求通项直接利用等差数列或者者等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于数列类型的题目．例2．等差数列{}n a 是递增数列，前n 项和为n S ，且931,,a a a 成等比数列，255a S =．求数列{}n a 的通项公式.分析：对于数列{}n a ，是等差数列，所以要求其通项公式，只需要求出首项与公差即可.解析：设数列{}n a 公差为)0(>d d∵931,,a a a 成等比数列，∴9123a a a =，即)8()2(1121d a a d a +=+d a d 12=⇒ ∵0≠d，∴d a =1………………………………①∵255aS =∴211)4(2455d a d a +=⋅⨯+…………②由①②得：531=a ，53=d∴n n a n 5353)1(53=⨯-+=点评：利用定义法求数列通项时要注意不要用错定义，设法求出首项与公差〔公比〕后再写出通项.题型3.应用nS 与na 的关系求通项有些数列给出{na }的前n 项和nS 与na 的关系式n S =()n f a ，利用该式写出11()n n S f a ++=，两式做差，再利用11n n na S S ++=-导出1n a +与na 的递推式，从而求出na 。

备战2025年高考理科数学考点一遍过：数列的综合应用

数列的综合应用能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题.对等差、等比数列的综合问题的分析，应重点分析等差、等比数列的通项及前n 项和；分析等差、等比数列项之间的关系，往往用到转化与化归的思想方法．考向一等差、等比数列的综合应用解决等差数列与等比数列的综合问题，关键是理清两个数列的关系：（1）如果同一数列中部分项成等差数列，部分项成等比数列，则要把成等差数列和成等比数列的项分别抽出来，研究这些项与序号之间的关系；（2）如果两个数列是通过运算综合在一起的，就要从分析运算入手，把两个数列分割开，再根据两个数列各自的特征进行求解．典例1已知各项均为正数的数列{}n a 是公差为2的等差数列，若数列141231,,,,,,,,n a a b b b b 成等比数列，则32b a =A ．27B ．81C ．275D ．2435【答案】D【解析】由141,,a a 成等比数列，得2141a a =⨯，又因为正数的数列{}n a 是公差为2的等差数列，所以214116a a a =⨯=+，解得31=a 或12a =-（舍去），所以2325a =+=，因为数列1411,,,,a a b 23,,,,n b b b 成等比数列，设其公比为q ，则131a q ==，所以5313243b =⨯=，所以322435b a =.故选D ．【名师点睛】本题考查了等比、等差数列的通项公式的应用，属于基础题.求解时，由141231,,,,,,,,n a a b b b b 成等比数列，结合{}n a 是公差为2的等差数列，得31=a ，进而求出23,a b ，即可得答案.典例2已知等差数列{}n a 中，1242,16a a a =+=.（1）设2n a n b =，求证：数列{}n b 是等比数列；（2）求{}n n a b +的前n 项和.【答案】（1）见解析；（2）()3231142277n n n +++⋅-.【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由2416a a +=，可得()()11316a d a d +++=，即12416a d +=.又由12a =，可得3d =.故()()1121331n a a n d n n =+-=+-⋅=-，依题意，312n n b -=，因为323131222n n n n b b ++-==（常数），故{}n b 是首项为4，公比8q =的等比数列.（2）因为{}n a 的前n 项和为()()13122n n a a n n ++=，{}n b 的前n 项和为31332142214211877n n n b b q q -+--⋅==⋅---，故{}n n a b +的前n 项和为()3231142277n n n +++⋅-.【名师点睛】本题主要考查了等差数列和等比数列的通项公式，以及等差、等比数列的求和的应用，其中熟记等差、等比数列的通项公式和求和公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.求解本题时，（1）设{}n a 的公差为d ，由题意求得3d =，即可求得数列的通项公式，进而得到数列{}n b 的通项公式，利用等比数列的定义，即可作出证明；（2）由（1）可得{}n a 的前n 项和和{}n b 的前n 项和，即可得到数列{}n n a b +的前n 项和.1．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的前n 项和为n T ．若113a b ==，42a b =，4212S T -=．（1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；（2）求数列{}n n a b +的前n 项和．考向二数列与函数、不等式等的综合应用1．数列可看作是自变量为正整数的一类函数，数列的通项公式相当于函数的解析式，所以我们可以用函数的观点来研究数列．解决数列与函数综合问题的注意点：（1）数列是一类特殊的函数，其定义域是正整数集，而不是某个区间上的连续实数，所以它的图象是一群孤立的点．（2）转化为以函数为背景的条件时，应注意题中的限制条件，如函数的定义域，这往往是非常容易忽视的问题．（3）利用函数的方法研究数列中相关问题时，应准确构造函数，注意数列中相关限制条件的转化．2．数列与不等式的综合问题是高考考查的热点．考查方式主要有三种：（1）判断数列问题中的一些不等关系；（2）以数列为载体，考查不等式的恒成立问题；（3）考查与数列问题有关的不等式的证明问题．在解决这些问题时，要充分利用数列自身的特点，例如在需要用到数列的单调性的时候，可以通过比较相邻两项的大小进行判断．在与不等式的证明相结合时，注意构造函数，结合函数的单调性来证明不等式．典例3已知函数()x f x a =的图象过点11,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，且点()*21,n a n n n ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭N 在函数()x f x a =的图象上，又{}n b 为等比数列，3144,b a b a ==.（1）求数列{}n a 及{}n b 的通项公式；（2）若()31n n n n a b c n +⋅⋅=，数列1n c ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，求证：4n S <.【答案】（1）212n n n a -=，32n n b -=；（2）见解析.【解析】（1）函数()x f x a =的图象过点11,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，()11,22x a f x ⎛⎫∴== ⎪⎝⎭.又点()*21,n a n n n ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭N 在函数()x f x a =的图象上，从而2112n n a n -=，即212n n n a -=，∴31441,2,b a b a ====∴公比2,q =3332n n n b b q --∴=⋅=.（2）()()()231312313124n n n n n n n n a b n n c n n --+⋅⋅+⋅⋅+⋅===，()()141211111112124313313313331n c n n n n n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴===<-=- ⎪ ⎪ ⎪+⋅++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭，121111111114141422311n n S c c c n n n ⎛⎫⎛⎫∴=+++<-+++-=-< ⎪++⎝⎭⎝⎭.【名师点睛】本题考查了通过点在函数图象上求出函数解析式、以及考查求等比数列的通项公式、利用裂项相消法求数列的前n 项和.2．已知数列{}n a 为等比数列，数列{}n b 为等差数列，且111b a ==，212b a a =+，3326a b =-.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）设21n n n c b b +=，数列{}n c 的前n 项和为n T ，证明：1153n T ≤<.考向三等差、等比数列的实际应用1．数列实际应用中的常见模型①等差模型：增加或减少的量是一个固定的常数c ，c 是公差；②等比模型：后一个量与前一个量的比是一个固定的常数q ，q 是公比；③递推数列模型：题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化，由此列递推关系式．2．解答数列实际应用题的步骤①审题：仔细阅读题干，认真理解题意；②建模：将已知条件翻译成数学语言，将实际问题转化为数学问题；③求解：求出该问题的数学解；④还原：将所求结果还原到实际问题中．在实际问题中建立数学模型时，一般有两种途径：①从特例入手，归纳猜想，再推广到一般结论；②从一般入手，找到递推关系，再进行求解．典例4某台商到大陆一创业园投资72万美元建起一座蔬菜加工厂,第一年各种经费12万美元,以后每年比上一年增加4万美元,每年销售蔬菜收入50万美元,设f (n )表示前n 年的纯利润(f (n )=前n 年的总收入-前n 年的总支出-投资额).（1）从第几年开始获得纯利润?（2）若五年后,该台商为开发新项目,决定出售该厂,现有两种方案：①年平均利润最大时,以48万美元出售该厂；②纯利润总和最大时,以16万美元出售该厂.问哪种方案较合算?【解析】由题意,知每年的经费构成了以12为首项,4为公差的等差数列,则f (n )=50n-[12n+()12n n -×4]-72=-2n 2+40n-72.（1）获得纯利润就是要求f (n )>0,即-2n 2+40n-72>0,解得2<n <18.又n ∈N *,故从第三年开始获得纯利润.（2）①年平均利润为op =40-2(n+36)=16-2(-2≤16,当且仅当n =6时取等号.故此方案获利6×16+48=144万美元,此时n =6.②f (n )=-2n 2+40n-72=-2(n-10)2+128,当n =10时,f (n )max =128.故此方案共获利128+16=144万美元.比较两种方案,在获利相同的前提下,第①种方案只需六年,第②种方案需要十年,故选择第①种方案.3．某人的月工资由基础工资和绩效工资组成，2010年每月的基础工资为2100元、绩效工资为2000元，从2011年起每月基础工资比上一年增加210元，绩效工资为上一年的110%.照此推算，此人2019年的年薪为______万元(结果精确到0.1).考向四数列中的探索性问题对于数列中的探索性问题主要表现为存在型，解答此类问题的一般策略是：（1）先假设所探求对象存在或结论成立，以此假设为前提进行运算或逻辑推理，若由此推出矛盾，则假设不成立，从而得到“否定”的结论，即不存在；（2）若推不出矛盾，能求得符合题意的数值或取值范围，则能得到肯定的结论，即得到存在的结果．典例5已知数列{}满足1=0，218a =，且对任意，∈∗都有()221211324m n m n a a a m n --+-+=+-．（1）求3，5；（2）设=2r1−2K1(∈∗)．①求数列{}的通项公式；②设数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前项和为，是否存在正整数，，且1<<，使得1，，成等比数列？若存在，求出，的值，若不存在，请说明理由．【解析】（1）由题意，令=2，=1，则()231232214a a a +=+-，解得3=1．令=3，=1，则()251332314a a a +=+-，解得5=5．（2）①以+2代替，得2r3+2K1=22r1+3．则[2(r1)+1−2(r1)−1]−(2r1−2K1)=3，即r1−=3．所以数列{}是以3为公差的等差数列．1=3−1=1，∴=1+(−1)×3=3−2．②因为()()111111323133231n n b b n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭，所以11111111113447323133131n n S n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ，则1=14，=3r1，=3r1．因为1，，成等比数列，所以2131431p q p q ⎛⎫=⋅ ⎪++⎝⎭，即26134p q p q ++=．又1<<，所以34433q q q +=+>，则2613p p +>，解得3333p -+<<．又1<，且∈∗，则=2，=16．所以存在正整数=2，=16，使得1，，成等比数列．4．已知公差不为零的等差数列{}n a 满足11a =，2a 是1a 与5a 的等比中项.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2n an b =，判断数列{}n b 是否为等比数列.如果是，求数列{}n b 的前n 项和n S ，如果不是，请说明理由.考向五数列的求和求数列的前n 项和，根据数列的不同特点，通常有以下几种方法：（1）公式法，即直接利用等差数列、等比数列的求和公式求解；（2）倒序相加法，即如果一个数列的前n 项中，距首末两项“等距离”的两项之和都相等，则可使用倒序相加法求数列的前n 项和.（3）裂项相消法，即将数列的通项拆成结构相同的两式之差，然后消去相同的项求和.使用此方法时必须注意消去了哪些项，保留了哪些项，一般未被消去的项有前后对称的特点.常见的裂项方法有：（4）错位相减法，若数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，且公比为(1)q q ≠，求{}n n a b ⋅的前n 项和时，常用错位相减法求和.基本步骤是：列出和式，两边同乘以公比，两式相减并求和.在写出n S 与n qS 的表达式时，要将两式“错项对齐”，便于准确写出n n S qS -的表达式.在运用错位相减法求和时需注意：①合理选取乘数（或乘式）；②对公比q 的讨论；③两式相减后的未消项及相消项呈现的规律；④相消项中构成数列的项数.（5）分组求和法，如果一个数列可写成n n n c a b =±的形式，而数列{}n a ，{}n b 是等差数列或等比数列或可转化为能够求和的数列，那么可用分组求和法.典例6已知等比数列的前n 项和为，且满足.（1）求的值及数列的通项公式；（2）若数列满足，求数列的前n 项和.【解析】（1）由题意知1122222,2n n n n n n a S S p p n +-=-=+--=³，则234,8a a ==，又1142a S p ==+，且{}n a 成等比数列，则48424p =+，解得1p =-.则112,222n n n a a -==⨯=.（2）由1(3),2n n a b n a p +=+可得2n n n b =，则212222n n n T =+++ ，2311122222n n n T +=+++ ，两式相减得231111(1)11111221222222212n n n n n n n T ++-=++++-=-- ，则11222n n n n T -=--.典例7已知数列{}n a 是公差不为0的等差数列，12a =，且2a ，3a ，41a +成等比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2{}n b 的前n 项和n S .【解析】（1）设数列{}n a 的公差为d ，由12a =和2a ，3a ，41a +成等比数列，得，解得，或.当时，，与成等比数列矛盾，舍去，，即数列的通项公式为（2）=，1211111111223111n n n S b b b n n n n =+++=-+-++=-=+++.5．设数列{}n a 满足*123232()n n a a na a n ⋅⋅⋅⋅=∈ N ．（1）求{}n a 的通项公式；（2）求数列122n n a +⎧⎫+⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S ．1．在等差数列{}n a 中，11a =，且21a a -，31a a -，41a a +成等比数列，则5a =A ．7B ．8C ．9D ．102．已知{}n a 是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是n S ，若3a ，4a ，8a 成等比数列，则A ．10a d >，40dS >B ．10a d <，40dS <C ．10a d >，40dS <D ．10a d <，40dS >3．已知等比数列{}n a 中，23a =，581a =，3log n n b a =，数列{}n b 的前n 项和为n T ，则8T =A ．36B ．28C ．45D ．324．在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做“等和数列”，这个数叫做数列的公和．已知等和数列{a n }中，12a =，公和为5，则18=a A ．2B ．﹣2C ．3D ．﹣35．中国人在很早就开始研究数列，中国古代数学著作《九章算术》、《算法统宗》中都有大量古人研究数列的记载.现有数列题目如下：数列{}n a 的前n 项和214n S n =，*n ∈N ，等比数列{}n b 满足112b a a =+，234b a a =+，则3b =A ．4B ．5C ．9D ．166．如图所示的三角形数阵满足：其中第一行共有一项：02，第二行共有二项：12，22，第三行共有三项：32，42，52，依此类推，第n 行共有n 项，若该数阵的第15行中的第5个数是2m ，则m =A ．105B ．109C ．110D ．2157．已知数列{}n a 的通项公式)*11n a n n n =∈++N ，数列{}n a 的前n 项和n S 满足()*9n S n >∈N ，则n 的最小值为A ．98B ．99C ．100D ．1018．已知数列{}n a 是等差数列，数列{}n b 是等比数列，且满足：100010182πa a +=，620122b b =，则2201632015tan 1a a b b +=+__________．9．在等比数列{}n a 中，14a ，42a ，7a 成等差数列，则35119a a a a +=+_______.10．已知函数2()cos(π)f n n n =，且()(1)n a f n f n =++，则1220a a a +++= __________．11．设n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知37a =，()12222n n a a a n -=+-≥.（1）证明：{}1n a +为等比数列；（2）求{}n a 的通项公式，并判断n ，n a ，n S 是否成等差数列？12．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，公比0q >，2222S a =-，342S a =-．（1）求等比数列{}n a 的通项公式；（2）设2log n n b a =，求11{}n n b b +的前n 项和n T ．13．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，点()()*,n n S n ∈N在函数2()2f x x x =+的图象上.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设12n a n n b a -=，求数列{}n b 的前n 项和n T .14．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且534,,2S S S 成等差数列，521322a a a =+-.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设12n n b -=，求数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .15．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S，1n a =-.（1）求1a 的值，并求数列{}n a 的通项公式n a ;（2）设2n an n b a =+，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求使不等式2626n n T n <+- 成立的正整数n 组成的集合.1．（2018浙江）已知1234,,,a a a a 成等比数列，且1234123ln()a a a a a a a +++=++．若11a >，则A ．1324,a a a a <<B ．1324,a a a a ><C ．1324,a a a a <>D ．1324,a a a a >>2．（2017新课标全国Ⅲ理科）等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0．若a 2，a 3，a 6成等比数列，则{}n a 前6项的和为A ．24-B ．3-C ．3D ．83．【2017年高考全国I 卷理数】几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推.求满足如下条件的最小整数N ：N >100且该数列的前N 项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是A ．440B ．330C ．220D ．1104．（2017北京理科）若等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足11–1a b ==，448a b ==，则22a b =___________．5．（2019年高考全国II 卷理数）已知数列{a n }和{b n }满足a 1=1，b 1=0，1434n n n a a b +-=+，1434n n n b b a +-=-.（1）证明：{a n +b n }是等比数列，{a n –b n }是等差数列；（2）求{a n }和{b n }的通项公式.6．（2017天津理科）已知{}n a 为等差数列，前n 项和为()n S n *∈N ，{}n b 是首项为2的等比数列，且公比大于0，2312b b +=，3412b a a =-，11411S b =．（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）求数列221{}n n a b -的前n 项和()n *∈N ．7．（2019年高考浙江卷）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，34a =，43a S =，数列{}n b 满足：对每个12,,,n n n n n n n S b S b S b *++∈+++N 成等比数列．（1）求数列{},{}n n a b 的通项公式；（2）记,n c n *=∈N证明：12+.n c c c n *++<∈N8．（2019年高考天津卷理数）设{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列．已知1122334,622,24a b b a b a ===-=+，．（Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）设数列{}n c 满足111,22,2,1,,k k n k k c n c b n +=⎧<<=⎨=⎩其中*k ∈N ．（i ）求数列(){}221n n a c -的通项公式；（ii ）求()2*1ni i i a c n =∈∑N ．变式拓展1．【答案】（1）21,3n n n a n b =+=；（2）()331(2)2n n n -++.【解析】（1）由11a b =，42a b =，得4212341223()()12S T a a a a b b a a -=+++-+=+=，设等差数列{}n a 的公差为d ，则231236312a a a d d +=+=+=，所以2d =.所以32(1)21n a n n =+-=+.设等比数列{}n b 的公比为q ，由题249b a ==，即2139b b q q ===，所以3q =.所以3n n b =.（2）由（1）知(21)3n n n a b n +=++，所以{}n n a b +的前n 项和为1212()()n n a a a b b b +++++++ 2(3521)(333)n n =++++++++ (321)3(13)213n n n ++-=+-3(31)(2)2n n n -=++.【名师点睛】本题主要考查等差数列与等比数列，熟记通项公式、前n 项和公式即可，属于常考题型.（1）先由题中条件得到422312S T a a -=+=，再设等差数列{}n a 的公差为d ，结合题中数据求出公差，进而可得{}n a 的通项公式；设等比数列{}n b 的公比为q ，求出公比，即可得出{}n b 的通项公式；（2）先由（1）的结果，得到(21)3n n n a b n +=++，再由分组求和法，结合等差数列与等比数列前n 项和公式，即可得出结果.2．【答案】（1）12,21n n n a b n -==-；（2）1153n T ≤<.【解析】（1）设数列{}n a 的公比为q ，数列{}n b 的公差为d ，由题意得11d q +=+，()22126q d =+-，解得2d q ==，所以12,21n n n a b n -==-.（2）因为21n n n c b b +=()()1111212342123n n n n ⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭，所以111111111453723212123n T n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 111111111432123342123n n n n ⎛⎫⎛⎫=+--=-+ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭，因为111042123n n ⎛⎫+> ⎪++⎝⎭，所以13n T <，又因为{}n T 在[)1,+∞上单调递增，所以当1n =时，n T 取最小值115T =，所以1153n T ≤<.【名师点睛】裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是熟悉式子的结构特点，常见的裂项技巧：（1）()1111n n k k n n k⎛⎫=- ⎪++⎝⎭；（21k =；（3）()()1111212122121n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭；（4）()()11122n n n =++()()()11112n n n n ⎡⎤-⎢⎥+++⎢⎥⎣⎦.此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.3．【答案】10.4【解析】由题意可得，基础工资构成以2100元为首项，以210元公差的等差数列，绩效工资构成以2000元为首项，以公比为1.1的等比数列，则此人2019年每月的基础工资为()21002101013990+⨯-=元，每月的绩效工资为92000 1.14715.90⨯≈元，则此人2019年的年薪为()1239904715.9010.4⨯+≈万元，故答案为：10.4．【名师点睛】本题考查了等差数列和等比数列在实际生活中的应用，属于中档题．4．【答案】（1）21n a n =-；（2）是，()2413n n S =⨯-.【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为()d d ≠0，则由11a =得21511;414a a d d a a d d =+=+=+=+，因为2a 是1a 与5a 的等比中项，所以2215a a a =⋅，即2(1)14d d +=+，解得0d =（舍）或2d =，故数列{}n a 的通项公式为1(1)21n a a n d n =+-⋅=-.（2）由2n a n b =，得①当1n =时，11220a b ==≠；②当2n ≥时，12123122422n n a n n a n n b b ----===，故数列{}n b 是以2为首项，4为公比的等比数列，所以()111422411143n n n n q S b q --=⋅=⋅=⨯---.【名师点睛】本题主要考查等差数列与等比数列，熟记等差数列与等比数列的通项公式以及求和公式即可，属于常考题型.（1）先设等差数列{}n a 的公差为()d d ≠0，根据题中条件求出公差，即可得到通项公式；（2）根据2n an b =，结合等比数列的定义，可判断出{}n b 为以2为首项，4为公比的等比数列，进而可求出结果.5．【答案】（1）2n a n =；（2）()()111222n n n n ++-⋅++.【解析】（1）由n ＝1得12a =，因为*123232()n n a a na a n ⋅⋅⋅⋅=∈ N ，所以当n ≥2时，()()1123123122n n a a a n a n --⋅⋅⋅⋅-=≥ ，由两式作商得：2n a n=（n ＞1且n ∈N *），又因为1a =2符合上式，所以2n a n=（n ∈N *）．（2）设122n n nb a ++=，则b n ＝n ＋n ·2n ，所以S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝（1＋2＋…＋n ）＋23122232(1)22n n n n -⎡⎤+⋅+⋅++-+⋅⎣⎦设T n ＝2＋2·22＋3·23＋…+（n －1）·2n －1＋n ·2n ，①所以2T n ＝22＋2·23＋…+（n －2）·2n －1＋（n －1）·2n ＋n ·2n ＋1，②①－②得：－T n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ·2n ＋1，所以T n ＝（n －1）·2n ＋1＋2．所以()12n n n n S T +=+，即()()111222n n n n S n ++=-⋅++．【名师点睛】本题主要考查了赋值法及方程思想，还考查了分组求和法及乘公比错位相减法求和，考查计算能力及转化能力，属于中档题.求解时，（1）在*123232()n n a a na a n ⋅⋅⋅⋅=∈ N 中，将1n -代n 得：()()1123123122n n a a a n a n --⋅⋅⋅⋅-=≥ ，由两式作商得：2n a n=，问题得解.（2）利用（1）中结果求得b n ＝n ＋n ·2n ，分组求和，再利用等差数列前n 项和公式及乘公比错位相减法分别求和即可得解.专题冲关1．【答案】C【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，由213141,,a a a a a a --+成等比数列，得()()()2312141a a a a a a -=-+，即()()2223d d d =⋅+，解得2d =或0d =（舍去），所以5141429a a d =+=+⨯=，故选C.【名师点睛】本题主要考查了等比中项的应用，以及等差数列通项公式的应用，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.由213141,,a a a a a a --+成等比数列，求得2d =，再由等差数列的通项公式，即可求解.2．【答案】B【解析】()()()224381111327530a a a a d a d a d d a =⨯⇒+=++⇒+=，不妨令15a =-，3d =，42S =-.故选B.【名师点睛】本小题主要考查等比中项的性质，考查等差数列基本量的计算，属于基础题.根据等比中项列方程，然后利用基本元的思想，将已知转化为1,a d 的形式，用特殊值法选出正确选项.3．【答案】B【解析】由题可得：352273a q q a ==⇒=，所以2212333n n n n a a q ---==⋅=，故13log 31n n b n -==-，所以{}n b 是以公差为1的等差数列，故()1888282b b T +==，故选B ．【名师点睛】本题考查等比数列和等差数列的通项和前n 项和，先求出q =3，得到等比数列的通项是解题的关键，属于基础题.根据23a =，581a =可以先求出公比q ，然后根据等比数列通项公式得到n a ，从而得到{}n b 为等差数列，再根据等差求和公式即可.4．【答案】C【解析】根据题意，等和数列{a n }中，12a =，公和为5，则125a a +=，可得23a =，又由a n −1+a n ＝5，则n a 23n n ⎧=⎨⎩，为奇数，为偶数，则18=a 3.故选C ．【名师点睛】本题主要考查了新概念知识，考查理解能力及转化能力，还考查了数列的周期性，属于中档题.5．【答案】C【解析】由题意可得：211221214b a a S =+==⨯=，22234421142344b a a S S =+=-=-⨯=，则等比数列的公比21331b q b ===，故32339b b q ==⨯=.本题选择C 选项.6．【答案】B【解析】由题中三角形数阵中可知，第一行有1个数字，第二行有2个数字，第三行由3个数字，，第n 行有n 个数字，由等差数列的前n 项和公式可得前14行共有()141141052⨯+=个数字，即第14行的最后一个数字为1042，所以第15行的第1个数字为1052，第15行的第5个数字为1092，故选B ．【名师点睛】本题主要考查了数表、数阵数列的应用，其中根据数表、数阵数列的数字排列规律，合理利用等差、等比数列的通项公式和前n 项和公式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及转化与化归思想的应用.解本题时，根据三角形数阵的数字的排列规律，利用等差数列的求和公式，可计算得出第14行的最后一个数字，从而求得第15行的第5个数字的值.7．【答案】C【解析】化简n a，得到通项公式为：n a =n a =-，1n a -=，11a =，则有1n S =10>99n ⇒>，则n 的最小值为100.故选C.【名师点睛】本题考查累加法求和，属于基础题.对于本题，化简n a ，利用累加法直接求n S 得值即可.8．【答案】【解析】∵数列{}n a 是等差数列，数列{}n b 是等比数列，∴10001018100922πa a a +==，即1009πa =；26201210092b b b ⋅==.∴220161009232015100922πtantan tan 113a a ab b b +===++.故答案为.9．【答案】14【解析】14a ，42a ，7a 成等差数列，17444a a a ∴+=，即6311144a a q a q +=，解得：32q =，243511108611911114a a a q a q a a a q a q q ++∴===++.本题正确结果：14.【名师点睛】本题考查等差数列和等比数列的综合应用问题，关键是能够求解出等比数列的基本量，属于基础题.求解时，根据三项成等差数列可构造方程求得等比数列的公比q 满足32q =，将所求式子化为1a 和q 的形式，化简可得结果.10．【答案】20-【解析】当n 为奇数时，()()1n a f n f n =++()()()()2222cos π1cos 1π121n n n n n n n -⎡⎤==++=+⎣⎦++.当n 为偶数时，()()1n a f n f n =++()()()()2222cos π1cos 1π121n n n n n n n ⎡⎤=+-=-+++⎣⎦-=.()21,21n n n a n n 为奇数，为偶数+⎧⎪∴=⎨-+⎪⎩.所以1220357911133941a a a +++=-+-+-++- ()()()()()35791113394121020-+-+-++-=-⨯=-= .【名师点睛】本题主要考查了分类思想及分组求和方法，考查计算能力，属于中档题.求解时，对n 的取值分奇数、偶数求得n a ，再利用分组求和法求和即可.11．【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】∵37a =，3232a a =-，∴23a =，∴121n n a a -=+，∴11a =，()1111222211n n n n a a n a a ---++==≥++，∴{}1n a +是首项为2，公比为2的等比数列.（2）由（1）知，12nn a +=，∴21nn a =-，∴11222212n n n S n n ++-=-=---，∴()12222210n n n n n S a n n ++-=+----=，∴2n n n S a +=，即n ，n a ，n S 成等差数列.【思路点拨】（1）根据条件构造等比数列：1121n n a a -+=+（），再根据等比数列的定义给予证明；（2）先根据等比数列通项公式求得12nn a +=，即得{}n a 的通项公式，再根据分组求和法得n S ，最后判断2n n n S a +=是否成立.12．【答案】（1）2nn a =；（2）1n nT n =+.【解析】（1）等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，公比0q >，2222S a =-①，342S a =-②．②﹣①，得3422a a a =-，则220q q --=，又0q >，所以2q =，因为2222S a =-，所以12222a a a +=-，所以12a =，所以2n n a =.（2）由（1）得22log log 2nn n b a n ===，所以11111(1)1n n b b n n n n +==-++，所以11{}n n b b +的前n 项和11111111223111n n T n n n n =-+-++-=-=+++ ．【名师点睛】裂项相消法适用于形如1n n c a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭(其中{}n a 是各项均不为零的等差数列，c 为常数)的数列.裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和，还有一类隔一项的裂项求和，如1(1)(3)n n ++或1(2)n n +.13．【答案】（1）21n a n =+()*n ∈N ；（2）1614499n n n T ++=-.【解析】（1）把点()()*,n n S n ∈N 代入2()2f x xx =+得22n S n n =+，*n ∈N ，则1n =时，13a =，2n ≥时，2212(1)2(1)21n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=+--+-=+⎣⎦，经验证，1n =也满足21n a n =+()*n ∈N ，所以21n a n =+()*n ∈N .（2）由（1）得21n a n =+，所以12(21)4n a n n n b a n -==+，则123434547494(21)4nn T n =⨯+⨯+⨯+⨯+++ ，①23414345474(21)4(21)4n n n T n n +=⨯+⨯+⨯++-++ ，②①-②得1234133424242424(21)4n n n T n +-=⨯+⨯+⨯+⨯++⨯-+ ()124144(21)414n n n +⨯-=+-+-故1614499n n n T ++=-.【名师点睛】本题主要考查了数列通项的求法，以及数列前n 项和的方法.求数列通项常用的方法有：累加法、累乘法、定义法、配凑法等.求数列前n 项和常用的方法有：错位相减、裂项相消、公式法、分组求和等.属于中等题.14．【答案】（1）a n =2n −1；（2）12362n n n T -+=-.【解析】（1）设等差数列{}n a 的首项为1a ,公差为d ,由534,,2S S S 成等差数列，可知345S S S +=,即120,a d -=①由521322a a a =+-得：1420a d --=，②联立①②解得11,2a d ==.因此，()*21n a n n =-∈N.（2）令()11212n n n n a c n b -⎛⎫==- ⎪⎝⎭，则12n n T c c c =+++ ，∴()21111113521222n n T n -⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅+⋅++-⋅ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，③()23111111352122222nn T n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅+⋅++-⋅ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭，④③−④,得()2111111122122222n nn T n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⋅+++--⋅⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 111212n -⎡⎤⎛⎫=+-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦()1212n n ⎛⎫--⋅ ⎪⎝⎭=2332nn +-，所以12362n n n T -+=-．【名师点睛】本题主要考查等差数列的公差及首项的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质、错位相减法的合理运用．15．【答案】（1）11,21n a a n ==-；（2）{}1,2.【解析】（1）由1n a =-，得当1n =时，11a =；当2n时，1n n n a S S -=-，代入已知有11n n S S -=-+，即211)n S -=-．又0n a >，1=-（舍）1=-1(2)n -=，由定义得是以1为首项，1为公差的等差数列，n =，则21n a n =-.（2）由题得212=212n an n n b a n -=+-+，所以数列{}n b 的前n 项和212122222=(121)233n n n n T n n ++--+-+=+.因为2626nn T n <+- ，所以2(2)9280,n n -⋅+<即128n <<，所以03n <<.所以正整数n 组成的集合为{1,2}.【名师点睛】本题主要考查数列的通项，考查等差、等比数列求和，考查数列分组求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.求解时，（1）由数列递推式求出首项，进一步得到是以1为首项，1为公差的等差数列，求出等差数列的通项公式可得n S ，代入1n a =求得数列{}n a 的通项公式；（2）先求出212223n n T n +-=+，再代入不等式解不等式即得解.直通高考1．【答案】B 【解析】令()ln 1,f x x x =--则()11f x x'=-，令()0,f x '=得1x =，所以当1x >时，()0f x '>，当01x <<时，()0f x '<，因此()()10,ln 1f x f x x ≥=∴≥+.若公比0q >，则()1234123123ln a a a a a a a a a a +++>++>++，不合题意；若公比1q ≤-，则()()212341110,a a a a a q q+++=++≤但()()212311ln ln 1ln 0a a a a q q a ⎡⎤++=++>>⎣⎦，即()12341230ln a a a a a a a +++≤<++，不合题意；因此()210,0,1q q -<<∈，22113224,0a a q a a a q a ∴>=<=<，故选B.【名师点睛】构造函数对不等式进行放缩，进而限制参数取值范围，是一个有效方法.如()2ln 1,e 1,e 10.x x x x x x x ≥+≥+≥+≥2．【答案】A【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，由a 2，a 3，a 6成等比数列可得2326a a a =，即()()()212115d d d +=++，整理可得220d d +=，又公差不为0，则2d =-，故{}n a 前6项的和为()()()6166166166122422S a d ⨯-⨯-=+=⨯+⨯-=-.故选A ．【名师点睛】（1）等差数列的通项公式及前n 项和公式共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题.（2）数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而a 1和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法.3．【答案】A【解析】由题意得，数列如下：11,1,2,1,2,4,1,2,4,,2k -则该数列的前(1)122k k k ++++=项和为11(1)1(12)(122)222k k k k S k -++⎛⎫=+++++++=-- ⎪⎝⎭，要使(1)1002k k +>，有14k ≥，此时122k k ++<，所以2k +是第1k +组等比数列1,2,,2k 的部分和，设1212221t t k -+=+++=- ，所以2314t k =-≥，则5t ≥，此时52329k =-=，所以对应满足条件的最小整数293054402N ⨯=+=，故选A.【名师点睛】本题非常巧妙地将实际问题和数列融合在一起，首先需要读懂题目所表达的具体含义，以及观察所给定数列的特征，进而判断出该数列的通项和求和.另外，本题的难点在于数列里面套数列，第一个数列的和又作为下一个数列的通项，而且最后几项并不能放在一个数列中，需要进行判断.4．【答案】1【解析】设等差数列的公差和等比数列的公比分别为d 和q ，则3138d q -+=-=，求得2,3q d =-=，那么221312a b -+==．【名师点睛】等差、等比数列各有五个基本量,两组基本公式,而这两组公式可看作多元方程,利用这些方程可将等差、等比数列中的运算问题转化为解关于基本量的方程（组）问题,因此可以说数列中的绝大部分运算题可看作方程应用题,所以用方程思想解决数列问题是一种行之有效的方法.5．【答案】（1）见解析；（2）1122n n a n =+-，1122n n b n =-+.【解析】（1）由题设得114()2()n n n n a b a b +++=+，即111()2n n n n a b a b +++=+．又因为a 1+b 1=l ，所以{}n n a b +是首项为1，公比为12的等比数列．由题设得114()4()8n n n n a b a b ++-=-+，即112n n n n a b a b ++-=-+．又因为a 1–b 1=l ，所以{}n n a b -是首项为1，公差为2的等差数列．（2）由（1）知，112n n n a b -+=，21n n a b n -=-．所以111[()()]222n n n n n n a a b a b n =++-=+-，111[()()]222n n n n n n b a b a b n =+--=-+．【名师点睛】本题考查了数列的相关性质，主要考查了等差数列以及等比数列的相关证明，证明数列是等差数列或者等比数列一定要结合等差数列或者等比数列的定义，考查推理能力，考查化归与转化思想，是中档题.6．【思路分析】（1）根据等差数列和等比数列通项公式及前n 项和公式列方程求出等差数列的首项1a 和公差d 及等比数列的公比q ，即可写出等差数列和等比数列的通项公式；（2）利用错位相减法即可求出数列221{}n n a b -的前n 项和．【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ．由已知2312b b +=，得21()12b q q +=，而12b =，所以260q q +-=．又因为0q >，解得2q =，所以2nn b =．由3412b a a =-，可得138d a -=①．由114=11S b ，可得1516a d +=②，联立①②，解得11a =，3d =，由此可得32n a n =-．所以数列{}n a 的通项公式为32n a n =-，数列{}n b 的通项公式为2nn b =．（2）设数列221{}n n a b -的前n 项和为n T ，由262n a n =-，12124n n b --=⨯，有221(31)4nn n a b n -=-⨯，故23245484(31)4nn T n =⨯+⨯+⨯++-⨯ ，23414245484(34)4(31)4n n n T n n +=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯ ，上述两式相减，得231324343434(31)4n n n T n +-=⨯+⨯+⨯++⨯--⨯ 112(14)4(31)414n n n +⨯-=---⨯-1(32)48n n +=--⨯-，即1328433n n n T +-=⨯+，所以数列221{}n n a b -的前n 项和为1328433n n +-⨯+．【名师点睛】利用等差数列和等比数列通项公式及前n 项和公式列方程组求数列的首项和公差或公比，进而写出通项公式及前n 项和公式，这是等差数列、等比数列的基本要求，数列求和的方法有倒序相加法、错位相减法、裂项相消法和分组求和法等，本题考查的是错位相减法求和．7．【答案】（1）()21n a n =-，()1n b n n =+；（2）证明见解析.【解析】（1）设数列{}n a 的公差为d ，由题意得11124,333a d a d a d +=+=+，解得10,2a d ==．从而*22,n a n n =-∈N ．所以2*n S n n n =-∈N ，，由12,,n n n n n n S b S b S b +++++成等比数列得()()()212n n n n n n S b S b S b +++=++．解得()2121n n n n b S S S d++=-．所以2*,n b n n n =+∈N ．（2）*n c n ===∈N ．我们用数学归纳法证明．（i ）当n =1时，c 1=0<2，不等式成立；（ii ）假设()*n k k =∈N时不等式成立，即12k c c c +++< ．那么，当1n k =+时，121k k c c c c +++++<<<=-=．即当1n k =+时不等式也成立．根据（i ）和（ii），不等式12n c c c +++< 对任意*n ∈N 成立．【名师点睛】本题主要考查等差数列、等比数列、数列求和、数学归纳法等基础知识，同时考查运算求解能力和综合应用能力.8．【答案】（1）31n a n =+；32n n b =⨯；（2）（i ）()221941n n na c -=⨯-；（ii ）()()2*211*12725212nn n i i i a c n n n --=∈=⨯+⨯--∈∑N N .【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ．依题意得2662,6124,q d q d =+⎧⎨=+⎩解得3,2,d q =⎧⎨=⎩故14(1)331,6232n n n n a n n b -=+-⨯=+=⨯=⨯．所以，{}n a 的通项公式为{}31,n n a n b =+的通项公式为32n n b =⨯．。

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湖北黄岗中学高考数学二轮复习考点解析7：数列的综合考查数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础。

高考对本章的考查比较全面，等差数列，等比数列的考查每年都不会遗漏。

有关数列的试题经常是综合题，经常把数列知识和指数函数、对数函数和不等式的知识综合起来，试题也常把等差数列、等比数列，求极限和数学归纳法综合在一起。

探索性问题是高考的热点，常在数列解答题中出现。

本章中还蕴含着丰富的数学思想，在主观题中着重考查函数与方程、转化与化归、分类讨论等重要思想，以及配方法、换元法、待定系数法等基本数学方法。

近几年来，高考关于数列方面的命题主要有以下三个方面；（1）数列本身的有关知识，其中有等差数列与等比数列的概念、性质、通项公式及求和公式。

（2）数列与其它知识的结合，其中有数列与函数、方程、不等式、三角、几何的结合。

（3）数列的应用问题，其中主要是以增长率问题为主。

试题的难度有三个层次，小题大都以基础题为主，解答题大都以基础题和中档题为主，只有个别地方用数列与几何的综合与函数、不等式的综合作为最后一题难度较大。

（文科考查以基础为主，有可能是压轴题）一、知识整合1．在掌握等差数列、等比数列的定义、性质、通项公式、前n 项和公式的基础上，系统掌握解等差数列与等比数列综合题的规律，深化数学思想方法在解题实践中的指导作用，灵活地运用数列知识和方法解决数学和实际生活中的有关问题；2．在解决综合题和探索性问题实践中加深对基础知识、基本技能和基本数学思想方法的认识，沟通各类知识的联系，形成更完整的知识网络，提高分析问题和解决问题的能力，进一步培养学生阅读理解和创新能力，综合运用数学思想方法分析问题与解决问题的能力．3．培养学生善于分析题意，富于联想，以适应新的背景，新的设问方式，提高学生用函数的思想、方程的思想研究数列问题的自觉性、培养学生主动探索的精神和科学理性的思维方法．二、方法技巧1．判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：(1)定义法：对于n≥2的任意自然数,验证11(/)n n n n a a a a ---为同一常数。

(2)通项公式法： ①若 =+（n-1）d=+（n-k ）d ，则{}n a 为等差数列；②若，则{}n a 为等比数列。

(3)中项公式法：验证中项公式成立。

2. 在等差数列{}n a 中,有关n S 的最值问题——常用邻项变号法求解： (1)当1a >0,d<0时，满足10m m a a +≥⎧⎨≤⎩的项数m 使得m S 取最大值.(2)当1a <0,d>0时，满足10m m a a +≤⎧⎨≥⎩的项数m 使得取最小值。

在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。

3.数列求和的常用方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等。

三、注意事项1．证明数列{}n a 是等差或等比数列常用定义，即通过证明11-+-=-n n n n a a a a 或11-+=n n n n a aa a 而得。

2．在解决等差数列或等比数列的相关问题时，“基本量法”是常用的方法，但有时灵活地运用性质，可使运算简便，而一般数列的问题常转化为等差、等比数列求解。

3．注意n s 与n a 之间关系的转化。

如：n a =1100nn S S S -≤⎧⎨-≥⎩ 21≥=n n ， n a =∑=--+nk k k a a a 211)(．4．数列极限的综合题形式多样，解题思路灵活，但万变不离其宗，就是离不开数列极限的概念和性质，离不开数学思想方法，只要能把握这两方面，就会迅速打通解题思路． 5．解综合题的成败在于审清题目，弄懂来龙去脉，透过给定信息的表象，抓住问题的本质，揭示问题的内在联系和隐含条件，明确解题方向，形成解题策略．四．典型考例【问题1】等差、等比数列的项与和特征问题P 49 例1 3。

P 50 例2 P 56 例1 P 59 T 6．【注1】文中所列例题如末给题目原文均为广州市二轮复习资料上例题例（四川卷）数列{}n a 的前n 项和记为()11,1,211n n n S a a S n +==+≥（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）等差数列{}n b 的各项为正，其前n 项和为n T ，且315T =，又112233,,a b a b a b +++成等比数列，求n T本小题主要考察等差数列、等比数列的基础知识，以及推理能力与运算能力。

满分12分。

解：（Ⅰ）由121n n a S +=+可得()1212n n a S n -=+≥，两式相减得()112,32n n n n n a a a a a n ++-==≥又21213a S =+= ∴213a a = 故{}n a 是首项为1，公比为3得等比数列 ∴13n n a -=（Ⅱ）设{}n b 的公比为d 由315T =得，可得12315b b b ++=，可得故可设135,5b d b d =-=+ 又1231,3,9a a a ===由题意可得()()()2515953d d -+++=+ 解得122,10d d == ∵等差数列{}n b 的各项为正，∴0d > ∴2d = ∴()213222n n n T n n n-=+⨯=+1.设等差数列{a n }的首项a 1及公差d 都为整数，前n 项和为S n . (Ⅰ)若a 11=0,S 14=98,求数列｛a n ｝的通项公式；(Ⅱ)若a 1≥6，a 11＞0，S 14≤77，求所有可能的数列｛a n ｝的通项公式2．(上海卷)设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且对任意正整数n ，4096n n a S +=。

（1）求数列{}n a 的通项公式？（2）设数列2{log }n a 的前n 项和为n T ,对数列{}n T ，从第几项起509n T <-？.解(1) ∵a n + S n =4096, ∴a 1+ S 1=4096, a 1 =.当n ≥2时, a n = S n －S n －1=(4096－a n )－(4096－a n －1)= a n －1－a n ∴1-n n a a =21 a n =(21)n－1.(2) ∵log 2a n =log 2[(21)n －1]=12－n, ∴T n =21(－n 2+23n ). 25b =由T n <－509,解得n>2460123+,而n 是正整数,于是,n ≥46. ∴从第46项起T n <－509.3. (全国卷Ⅰ) 设正项等比数列{}n a 的首项211=a ，前n 项和为n S ，且0)12(21020103010=++-S S S 。

（Ⅰ）求{}n a 的通项；（Ⅱ）求{}n nS 的前n 项和n T 。

解：（Ⅰ）由 0)12(21020103010=++-S S S 得 ,)(21020203010S S S S -=-即,)(220121*********a a a a a a +++=+++可得.)(220121*********10a a a a a a q +++=+++⋅因为0>n a ，所以 ,121010=q 解得21=q ，因而 .,2,1,2111 ===-n q a a n n n （Ⅱ）因为}{n a 是首项211=a 、公比21=q 的等比数列，故 .2,211211)211(21n n n n n n n nS S -=-=--= 则数列}{n nS 的前n 项和 ),22221()21(2n n n n T +++-+++= ).2212221()21(212132++-+++-+++=n n n nn n T 前两式相减，得122)212121()21(212+++++-+++=n n n nn T 12211)211(214)1(++---+=n n n n n 即 .22212)1(1-+++=-n n nn n n T 【问题2】等差、等比数列的判定问题．P 53 T 7 例P 54 T 9[例]P 54 T 9(上海卷)已知有穷数列{n a }共有2k 项（整数k ≥2），首项1a ＝2．设该数列的前n 项和为n S ，且1+n a ＝n S a )1(-＋2（n ＝1，2，┅，2k －1），其中常数a ＞1．（1）求证：数列{n a }是等比数列；（2）若a ＝2122-k ，数列{n b }满足n b ＝)(log 1212n a a a n⋅⋅⋅（n ＝1，2，┅，2k ），求数列{n b }的通项公式；（3）若（2）中的数列{n b }满足不等式|1b －23|＋|2b －23|＋┅＋|12-k b －23|＋|k b 2－23|≤4，求k 的值．(1) [证明] 当n=1时,a 2=2a,则12a a =a ； 2≤n≤2k －1时, a n+1=(a －1) S n +2, a n =(a －1) S n －1+2, a n+1－a n =(a －1) a n , ∴nn a a 1+=a, ∴数列{a n }是等比数列. (2) 解：由(1) 得a n =2a1-n , ∴a 1a 2…a n =2n a )1(21-+++n =2n a2)1(-n n =212)1(--+k n n n ,b n =1121]12)1([1+--=--+k n k n n n n(n=1,2,…,2k).（3）设b n ≤23,解得n≤k+21,又n 是正整数,于是当n≤k 时, b n <23；当n≥k+1时, b n >23.原式=(23－b 1)+(23－b 2)+…+(23－b k )+(b k+1－23)+…+(b 2k －23)=(b k+1+…+b 2k )－(b 1+…+b k )=]12)10(21[]12)12(21[k k kk k k k k k +--+-+--+=122-k k . 当122-k k ≤4,得k 2－8k+4≤0, 4－23≤k≤4+23,又k≥2,∴当k=2,3,4,5,6,7时,原不等式成立.4．[例]，已知数列{}n a 中，n S 是其前n 项和，并且1142(1,2,),1n n S a n a +=+==，⑴设数列),2,1(21 =-=+n a a b n n n ，求证：数列{}n b 是等比数列；⑵设数列),2,1(,2 ==n a c nnn ，求证：数列{}n c 是等差数列；⑶求数列{}n a 的通项公式及前n 项和。

分析：由于{b n }和{c n }中的项都和{a n }中的项有关，{a n }中又有S 1n +=4a n +2，可由S 2n +-S1n +作切入点探索解题的途径．【注2】本题立意与高考题文科20题结构相似.解：(1)由S 1n +=4a 2n +，S 2n +=4a 1n ++2，两式相减，得S 2n +-S 1n +=4(a 1n +-a n )，即a 2n +=4a 1n +-4a n ．(根据b n 的构造，如何把该式表示成b 1n +与b n 的关系是证明的关键，注意加强恒等变形能力的训练)a 2n +-2a 1n +=2(a 1n +-2a n )，又b n =a 1n +-2a n ，所以b 1n +=2b n ① 已知S 2=4a 1+2，a 1=1，a 1+a 2=4a 1+2，解得a 2=5，b 1=a 2-2a 1=3 ② 由①和②得，数列{b n }是首项为3，公比为2的等比数列，故b n =3·21n -．当n ≥2时，S n =4a 1n -+2=21n -(3n-4)+2；当n=1时，S 1=a 1=1也适合上式．综上可知，所求的求和公式为S n =21n -(3n-4)+2．说明：1．本例主要复习用等差、等比数列的定义证明一个数列为等差，等比数列，求数列通项与前n 项和。