数学思想与方法

一、填空题(本大题满分30分)本大题共有10题，每个空格填对得3分，否则一律得零分。1．在数学中建立公理体系最早的是几何学，而这方面的代表著作是古希腊学者欧几里得的（《几何原本》）。

2．变量数学产生的数学基础是（解析几何），标志是微积分。

3．数学的统一性是客观世界统一性的反映，是数学中各个分支固有的内在联系的体现。它表现为（数学的各个分支相互渗透和相互结合）的趋势。

4．一个概括过程包括（比较、区分、扩张和分析）等几个主要环节。

5．匀速直线运动的数学模型是（一次函数）。

6．反例反驳的理论依据是形式逻辑的（矛盾律）。

7．19世纪在公理法方面取得了突破性进展，在这个基础上，抽象的公理法进一步向（形式化方向）发展。

8．化归方法的基本原则是（简单化原则、熟悉化原则、和谐化原则）。

9．所谓数形结合方法是指在研究数学问题时，（由数思形、见形思数、数形结合考虑问题）的一种思想方法。

10．（数学思想方法）是联系数学知识与数学能力的纽带，是数学科学的灵魂，它对发展学生的数学能力，提高学生的思维品质都具有十分重要的作用。

二、判断题(本大题满分10分)本大题共有5题，请在每题后面的圆括号内填写“是”或“否”，答对得2分，其余一律得零分。

1．计算机是数学的创造物，又是数学的创造者。〔答〕( 是)

2．一个数学理论体系内的每一个命题都必须给出证明。〔答〕(否)

3．如果某一类问题存在算法，并且构造出这个算法，就一定能求出该问题的精确解。〔答〕(否)

4．对同一数学对象，若选取不同的标准，可以得到不同的分类。〔答〕(是)

5．数学思想方法教学隶属数学教学范畴，只要贯彻通常的数学教学原则就可实现数学思想方法教学目标。〔答〕(否)

三、简答题(本大题满分30分)本大题共有5题，只要简明扼要地写出答案，每题均为6分。

1．试对《九章算术》思想方法的一个特点“算法化的内容”加以说明。

〔答〕、《九章算术》在每一章内都先列举若干实际问题，并对每个问题给出答案，然后再给出“术”，作为一类问题的共同解法。以后遇到同类问题，只要按“术”给出的程序去做就一定能求出问题的答案；书中的“术”其实就是算法。

2．简述数学抽象的特征。

〔答〕数学抽象有以下特征：①无物质性；②层次性；③数学抽象过程要凭借分析或直觉；

④数学抽象不仅有概念抽象还有方法抽象。

3．为什么将“化隐为显”列为数学思想方法教学的一条原则？

〔答〕由于数学思想方法往往隐含在数学知识的背后，知识教学虽然蕴含着思想方法，但如果不是有意识地把数学思想方法作为教学对象，在数学学习时，学生常常只注意到处于表层的数学知识，而注意不到处于深层的思想方法。因此，进行数学思想方法教学时必须以数学知识为载体，把隐藏在知识背后的思想方法显示出来，使之明朗化，才能通过知识教学过程达到思想方法教学的目的。

4．简述用MM方法解决实际问题的基本步骤。

〔答〕用MM方法解决实际问题的基本步骤为：

①从现实原型抽象概括出数学模型；

②在数学模型上进行逻辑推理、论证或演算，求得数学问题的解；

③从数学模型再过渡到现实原型，即将研究数学模型所得到的结论，返回到现实原型上去，求得实际问题的解答。

5．试用框图表示用特殊化方法解决问题的一般过程。

〔答〕用特殊化解决问题的一般过程，可以用框图表示，若我们面对的问题A解决起来比较困难，可以先将A特殊化为，因为与A相比较，外延变小，因此内涵势必增多，所以由所导出的结论，它包含的内涵一般也会比较多。把信息反馈到问题A中，就会为问题解决提供一些新的信息，再去推导结论B就会比较容易一些。若解决问题A仍有困难，即可对A 再次进行特殊化，进一步增加信息量，如此反复多次，最终推得结论B，使问题A得以解决。

对象A

对象A’（＜A）

A+B’

结论B‘

结论B

特殊化

（若信息不够则重复进行）有的符号不会打）

四、解答题(本大题满分30分)本大题共有2题，每题均为15分。

1．(1)什么是类比推理？(2)写出类比推理的表示形式。(3)怎样才能增加由类比得出的结论的可靠性？

〔答〕：(1)类比推理是指，由一类事物所具有的某种属性，可以推测与其类似的事物也具有这种属性的一种推理方法。

(2)类比推理的表示形式为：

A具有性质

B具有性质

因此，B也可能具有性质。

(3)尽量满足下列条件可增加类比结论的可靠性：

①A与B共同(或相似)的属性尽可能多些；

②这些共同(或相似)的属性应是类比对象A与B的主要属性；

③这些共同(或相似)的属性应包括类比对象的不同方面，并且尽可能是多方面的；

④可迁移的属性d应是和属于同一类型。

2．以“三角形内角和是180 ”为内容，设计一个教学片断。

(要求：①教学过程要比较具体、合理，且有一定的层次；②要有与数学知识教学相联系的本课程中学习的数学思想方法教学内容；③不少于300字)

〔答〕教学设计如下：

一、内角引入，激趣导学

1课件演示

师：这是我们熟悉的什么图形？它有什么特征？

这是其中的一个直角，也是长方形的内角，那么长方形有几个内角？内角和是多少度？今天我们一起研究三角形的内角和（板书）。

二、观察与操作，初步感知

师：（课件演示）刚才我们说正方形的内角和是360°，请同学们认真观察，老师将正方形纸沿着对角线剪开后会怎样呢？拿出你们手中的正方形也来试一试，你们又能发现什么呢？

三、实践验证，深入新知

1引入活动。

我们用什么方法能知道三角形内角和是多少度呢？（验证三角形内角和是180°呢？）

我们不防拭一试，现在请大家分组合作，共同验证三角形内角和是不是一定等于180°。2实践总结。

⑴生看书、想、议、做、说，师巡视指导。

⑵学生汇报（测量的同学边汇报边板书，剪拼的同学利用投影汇报。）

⑶师小结：

同学们用锐角三角形、直角三角形、钝角三角形、以及等边三角形和等腰三角形验证了三角形的内角和是180°，有的小组是通过测量得到的，有的是通过剪拼摆将三个不同位置的内角转化成我们熟悉的平角或直角，（演示课件）这是一种很好的学习方法，可以帮助我们更好的学习知识。

3新知应用，自学例题。

我们知道了三角形的内角和是180°，你们又在思考些什么呢？它又能帮助我们解决那些实际问题呢？

⑴自学77页例1、例2。

⑵学生质疑问难。

⑶完成77页想一想，练一练。

运用本阶段所学的数学思想方法（抽象与概括、猜想与反驳、演绎与化归）设计一个小学数学教学片段。完成800字左右的案例设计。可参考截取下列片断

猜想验证是一种重要的数学思想方法，正如荷兰数学教育家弗赖登塔尔所说“真正的数学家——常常凭借数学的直觉思维做出各种猜想，然后加以证实。”因此，小学数学教学中教师要重视猜想验证思想方法的渗透，以增强学生主动探索、获取数学知识的能力，促进学生创新能力的发展。那么，教学中如何渗透猜想验证的思想方法呢？现举例说明如下：

课例1：“长方形面积计算公式”教学片断

1、操作感知。

多媒体演示：长方形平面图由图①逐渐变成图②（长方形的宽不变长扩大）；图①逐渐变成图③（长方形的长不变宽扩大）；由图①逐渐变成图④（长方形的长扩大，长方形的宽也扩大）。

图①