求均匀带电圆盘的中心轴线上的场强
三种均匀带电的圆面中心轴线上的电场强度赏析
1图 1图2三种均匀带电的圆面中心轴线上的电场强度赏析——兼析三道高考选择题周林（宁波市鄞州区正始中学， 浙江 宁波 315131）近几年高考题中，有些问题的结论不一定必须通过计算才能验证，有时只需通过一定的物理分析就可以判断结论是否正确。
因此，不仅要提升物理关系式的分析鉴别能力，而且更要挖掘出其中蕴含的物理思想和方法。
让学生知其然还要知其所以然，本文拟用高等数学的定积分推导出三种均匀带电的圆面中心轴线上的电场强度的表达式，并分析三道高考选择题。
模型1：均匀带电的圆圈中心轴线上的电场强度如图1所示，均匀带电且单位长度带电量为λ的一个半径为R 的圆圈，求其中心轴线上任意一点P （坐标为x ）的电场强度在圆环上选取长为dl 的带电微元圆弧，根据点电荷的电场强度，在点P 产生的电场方向与x 轴的夹角为θ，沿x 轴方向的大小为θλcos 22xR dlkdE +=2222xR x xR dlk+⨯+=λ()2322xRxdlk +=λ由定积分得 ()232220xRxdlk E R +=⎰λπ ()23222xRxkR +=λπ根据对称性和叠加性，均匀带电圆圈在点P 产生的合场强必沿x 轴方向，正负由电荷符号决定，大小为()23222xRxkR E +=λπ。
若均匀带电圆圈的电量为q ，即λπR q 2=，则()2322xRkqxE +=。
讨论1：（1）当x 《R 时，则E =0，相当于圆圈中心处的场强，根据对称性可得场强为零。
（2）当x 》R 时，则2xkqE =，相当于点电荷的场强。
若x →∞时，则有E →0。
模型拓展1：两个彼此平行且共轴的均匀带电圆圈中心轴线上的电场强度 （1）两圆圈带同种电荷例1：（2010年福建卷）物理学中有些问题的结论不一定必须通过计算才能验证，有时只需通过一定的分析就可以判断结论是否正确。
如图2所示为两个彼此平行且共轴的半径分别为R 1和R 2的圆环，两圆环上的电荷量均为q (q >0)，而且电荷均匀分布。
大学物理：2第二讲 电场强度计算续、高斯定理
2
R
r
x
p dE// x
E
qx
4 0 r 3
iˆ
dE dE
cos x / r
1
讨论：1. x 0 : Eo 0
E
qx
40 (R2
x2 )3/2
iˆ
o
y
r
圆环中心电场为零
2.
x R :
Ep
q
40 x2
iˆ
R
o
z
E
x px
p
R
x
●无论带电体形状如何，在离其足够远处均可视为
点电荷。 2
例4：半径为R的簿圆盘均匀带电，面电荷密度为。
求中心轴线上一点 p处的电场强度。
解：将圆盘分割成许多带 电细圆环，其电量
dq ds 2 rdr
细圆环电场
dr
l
r
Ep
o xpx
dE
dqx
40 (r2
x2 )3/2
2 rxdr rxdr 40 (r2 x2 )3/2 20 (r2 x2 )3/2
3
dE
rxdr 20 (r2 x2
二、电通量
●通过某一曲面的电力线数，叫做 通过该曲面的电通量。记为“e”.
电通量的计算
s
de E dS
e
E dS
S
通过闭合曲面的电通量
e S E dS
规定：曲面正法线由曲面指向外
E de dSn
ds E
ds
E
q
s
11
例：点电荷q位于球面内球心处，求通过该球面的
电通量。
解：球面上的电场强度
各点产生的电场。
解：由对称性可知，该球壳产生的
探究几种均匀带电体的场强及最大值
探究几种均匀带电体的场强及最大值郑金【摘要】利用多种方法推导了均匀带电的圆环线、圆环面和圆形面在轴线上一点的场强公式，探究了场强取最大值的条件以及场强的变化规律是否具有相似性。
【期刊名称】《物理通报》【年(卷),期】2014(000)0z2【总页数】3页(P57-59)【关键词】均匀带电体;圆环;轴线;场强;相似性【作者】郑金【作者单位】凌源市职教中心辽宁朝阳 122500【正文语种】中文文献［1］认为，对于均匀带电圆盘，在中心处场强为零，在无穷远处场强为零，那么沿着过中心的轴线从中心到无穷远处的场强是先变大后变小，这种观点是否正确呢？或者说，在均匀带电的圆环线、圆环面和圆形面一侧轴线上的场强变化规律是否都与两个等量同号点电荷连线的中垂线上的场强变化规律相似呢？在近年高考题中多次考查了有关带电圆环线、圆环面和圆形面一侧轴线上一点的场强大小关系式，那么这些公式是怎么得来的？下面分别进行探讨.【例1】如图1所示，有两个带电荷量均为＋Q的点电荷固定于相距为d＝2a的两点，求在连线的中垂线上距中点O为x点的场强大小.解析：由对称性和正交分解法可知，在连线的中垂线上距中点O为x处的合场强的方向沿中垂线方向，合场强的大小为由于两个等量同号点电荷连线中点处的场强为零，而无穷远处的场强也为零，因此在一条中垂线上各点的场强存在最大值.极值条件为即θ＝35.3°，亦即两个等量同号点电荷连线的中垂线上的场强公式还可写成【例2】如图2所示，均匀带电圆环所带电荷量为Q，半径为R，圆心为O点，在垂直于圆环平面的对称轴上有一点P，OP＝x，试求P点的场强为多大？解析：由对称性可知，对于圆环上每两个对称点的电荷在P产生的场强，其垂直于轴线方向的分量相互抵消，而沿着轴线方向的分量大小相等，方向相同，因此整个圆环产生的电场沿着轴线方向，等于各点电荷场强沿着轴线方向的分量的叠加. 在圆环上取其中很小一段Δl，带电荷量为可视为点电荷，在P点产生的场强为则整个圆环上各电荷在P点产生的场强沿轴线方向的分量为由于合场强为各分量的叠加，所以整个圆环上的电荷在P点产生的场强为或者设想将圆环等分为n小段，当n数值足够大时，每一小段都可视为点电荷，所带电荷量为由点电荷场强公式可求得每一点电荷在P处的场强为每一点电荷在P处的场强沿着轴线方向的分量为均匀带电荷量为q，半径为r的圆环在其轴线上到圆心的距离为x处的场强公式有多种形式，还可写为由此可知，均匀带电圆环在其轴线上某点产生的场强相当于电荷集中于圆环上一点所产生的场强沿轴线方向的分量.考虑到则场强可用角度θ表示，即由于在圆心场强为零，在无穷远处场强为零，因此在轴线上场强存在最大值.所以说均匀带电圆环线的轴线上的场强分布规律与两个等量同号点电荷连线的中垂线上的场强分布规律相似.或者说，由于场强公式相似，因此场强分布相似.【例3】如图3所示，均匀带电圆环面的内径为R1，外径为R2，单位面积带电荷量为σ，其轴线上任意一点P（坐标为x）的电场强度为多大？解析：带电圆环线在轴线上的场强为E＝若x保持不变，那么在圆环面上取宽度为dr的圆环的面积约为ΔS＝2πrdr，则电荷量为q＝2πσrdr，因此在轴线上x处产生的场强为对于均匀带电圆环面产生的场强，可视为由无限多个宽度为dr的圆环产生场强的叠加，由于圆环面上所有带电细圆环在P点的场强都沿轴线方向，所以带电圆环面轴线上P点的场强为区间［R1，R2］上的积分，即由于在圆心处场强为零，在无穷远处场强为零，因此在轴线上场强存在最大值.这与两个等量同号点电荷连线的中垂线上的场强分布规律相似.下面利用导数求最大值及条件.如图4所示，均匀带电的半径为R的圆形面，相当于图3的均匀带电圆环面取R1＝0，可得均匀带电圆形面一侧轴线上一点的场强公式该式也可利用积分法推导：对于半径为R的圆面，坐标原点O在圆心，位于带电导体板的上表面.由于场强等于各微元圆环场强的叠加，则积分为可知随着x的增大，场强单调减小.所以在带电圆形面的圆心处的外表面的场强最大.但根据对称性可知，在圆形面的圆心处的内部场强为零.对于均匀带电的圆形面一侧轴线上的场强，如果说“由于在圆心内部场强为零，在无穷远处场强为零，因此在沿着过中心O的轴线从O点到无穷远处的场强是先变大后变小，即在圆形面一侧轴线上的场强存在最大值.”则是错误的.因为在圆心内部场强为零，但在圆心表面的场强却最大，因此在圆形面一侧的轴线上，场强单调减小.这与两个等量同号点电荷连线的中垂线上的场强分布规律完全不同.设球面均匀带电量为Q，球外一点到球心的距离为r，由于球面电荷等效于集中在球心的点电荷，则球外一点的场强为要注意均匀带电球壳内部场强为零，球壳上的场强为而球壳外表面附近的场强为由此可知，在球面附近场强最大，离球面越远，场强越小.对于均匀带电球体，除球心外，球内场强不为零，球外一点的场强与均匀带电球面之外一点的场强公式形式相同.因此在均匀带电球面或球体一侧的轴线上，场强单调减小.这与两个等量同号点电荷连线的中垂线上的场强变化规律完全不同，也没有相似性，所以在进行类比时要注意科学性.【相关文献】1 边良.教学离高考有多远.物理通报，2010（9）：412 何崇荣，魏勇.再谈2010年高考江苏卷第5题电场特点.物理通报，2012（7）：1123 夏亚春.关于均匀带电球壳表面场强的研究.物理通报，2012（9）：107。
均匀带电球面上的电场强度
Ｅ＝÷（Ｅ一＋Ｅ＋）
Ｅ＋＝忐ｎ。
场强的这种性质是傅利叶级数收敛定理的体现，在函数 间断点傅氏级数的值等于该函数左右极限的平均值。这一特 性还可以用于求其他形状面电荷处的场强。如无限大均匀带 电平面面上的场强。根据无限大均匀带电平面场强公式
层＝蠹厅
（１２）
其中，ｎ为背离带电平面的单位矢量嘲僧“７－１１”。由（１２）式求 得无限大均匀带电平面面上的电场强度为零。我们再用点电 荷迭加原理来求解，并与上述结果进行比较。求无限大带电 平面上任意一点Ｐ处的场强。以Ｐ点为圆心在平面内作两 个半径为ｒ及ｒ＋ｄｒ的圆，如图５所示，并求这个细圆环在Ｐ 点产生的场强。由对称性可知均匀带电细圆环在，点产生的 场强为零。对ｒ从０至ｃｘ３整个平面积分可求得无限大均匀带 电平面面上任意一点Ｐ的场强为零。这与用（１２）式求出的结
万 方数据
第】７卷
胜利油田师范专科学校学报
２００３年第４期
＝杀肛
（１ ｏ）
＝南疗（１
其中一品
于球面两侧极靠近球面点的场强Ｅ一和Ｅ＋的平均值。即
图３电场强度随ｒ变化发生突变
１）
比较（１）、（２）与（１１）式，会发现球面上的电场强度Ｅ等
高斯定理适用电荷分布具有某种对称性的情况。均匀带 电球面虽然具有球对称性，但用高斯定理求场强是过所求场 强的点作适合的高斯面，高斯面是几何面，无论何种电荷（包 括点电荷）与其相交都被分为面内和面外两部分，因此，对于 所作高斯面来讲均匀带电薄球壳不能再抽象为均匀带电的 几何球面了，无法用高斯定理求出球面上的电场强度。 既然高斯定理不能完成这一任务，我们只能用点电荷迭 加原理来求均匀带电球面上的电场强度。设均匀带电球面的 电荷面密度为盯，求球面上任一点Ｐ处的电场强度。作过Ｐ 点的直径将均匀带电球面分成若干以ＯＰ为轴的均匀带电 细圆环，如图４所示。 其中，Ｅ一一０，
叠加法求均匀带电球体电场问题
叠加法求均匀带电球体电场问题郭泓昊;张雅男;李庆芳【摘要】In the existing textbooks,the formula for calculating the electric field intensity on the axis of a uniform charged disk is introduced without the relationship between the relative position of field point to disk and the direction of electric field intensity.If the formula is used to calculate the field intensity distribution of a uniform charged sphere,it will get erroneous results.By introducing symbolic function into the formula of electric field intensity on the axis of the uniform charged disk,the field strength and the direction can be obtained together.Applying the new method to the calculation of electric field of the uniform charged sphere,results are exactly same as the results obtained by Gauss theorem.It is suggested that the formula of electric field intensity on the axis of charged discs should be improved in current textbooks.%现有教材中计算均匀带电圆盘轴线电场强度公式,只得到场强大小,没有明确给出场点和圆盘的相对位置与场强方向之间的关系.若根据场强叠加的方法利用此公式计算均匀带电球体的场强分布,容易得到错误的结果.将符号函数引入均匀带电圆盘轴线上电场强度计算式,可以得到场强大小及相对于圆盘的方向,清楚而准确地给出均匀带电圆盘轴线电场强度.利用该公式再次求解均匀带电球体电场,结果与利用高斯定理得到的结果完全相符.【期刊名称】《物理与工程》【年(卷),期】2018(028)001【总页数】4页(P119-122)【关键词】带电圆盘;叠加法;带电球体;静电场【作者】郭泓昊;张雅男;李庆芳【作者单位】南京信息工程大学,江苏南京 210044;南京信息工程大学,江苏南京210044;南京信息工程大学,江苏南京 210044【正文语种】中文大学物理在静电场章节中，先是讲解了点电荷的电场强度计算方法，然后利用场强叠加原理先后求出均匀带电圆环、均匀带电圆盘等电荷均匀分布的带电体轴线上的电场分布。
用Desmos直观展示均匀带电圆环中轴线上电场与电势分布规律
V〇1.49 No.7Jul.2020A糾f教•学参考教育7技术用Desmos直观展示均匀带电圆环中轴线上欧阳荣华，欧阳子琪2(1.荆门市龙泉中学湖北荆门448000;2.武汉大学测绘学院2017级湖北武汉430000)文章编号：l〇〇2-218X(2020)07-0047-04中图分类号：G632.0文献标识码：B摘要：对在高中物理教学中碰到均匀带电圆环（非点电荷）中轴线上的电场与电势分布的问题展开研究，通过典型问题解析，合理猜想，初步检验及利用D e s m o s工具严密验证的思路，得到均 匀带电圆环中轴线上的电场与电势分布规律。
关键词：D e s m o s软件；均匀带电绝缘圆环；电场强度分布；电势分布均勻带电绝缘圆环中轴线上的场强与电势分别有什么规律？两个共轴放置的绝缘均匀带电圆环中心轴线上的场强与电势又分别有什么规律？这是教师在教学过程中会碰到的教学难点。
由于此阶段学生的数学知识不够完备，函数处理工具不够充分，严重制约了师生对这一类问题开展深人研究，也谈不上对此类问题的深人理解，大大弱化学生对问题研究的兴趣。
D e s m o s是一款实用的手机应用软件，它具有便捷的计算器服务功能，能绘制已知函数的图像及对其求解。
本文从高中教学中碰到的此类问题出发，经过合理猜想，初步图像验证，最后通过D e s m o s对场强与电势叠加后的图景及合场强为零的解的个数的直观显示，完美解决这一难题，激发师生对此类物理问题的研究兴趣。
—、问题举例1.单个带电圆环中轴线上的场强大小求解问题例1如图1所示，一半径为尺的圆环上，均匀地带有电荷量为Q的电荷，在垂直于圆环平面的对称轴上有一点P，它与环心〇的距离C>P =L。
设静电力常量为々，关于P点的场强£：，下列四个表达式中只有一个是正确的，请你根据所学的物理知识，通过一定的分析，判断正确的表达式是A.kQR2+L2B.kQLR2+L2kQR d kQLV(R Z+L2y■V(R Z+L zy处理方法将环等分为《个小段，当》相当大时，每一小段都可以看成点电荷，其所带电荷量为q=Q/n①由点电荷场强公式可求得每一点电荷在P处的场强为Ep=k^=k n(R^+L2l②由对称性可知，各小段带电环在P处的场强垂直于轴向的分量£v相互抵消，而轴向分量&之和即为带电环在P处的场强£：，故E=nE，n. ,7〇7+^.c o s5=kz7+F)③而 r=y U T W④由①②③④式得选项正确。
求均匀带电圆盘的中心轴线上的场强
对于偶极子中点o M M M
M
M
M
2
2
qE sin
qE sin
M q E
P q
M PE
§1.5 电场线
1.5.1.电场线（E 线）
为形 象地描写场强的分布，引入 E 线。
1. E线上某点的切向
切线
即为该点
E 的方向 ；
E E线
2. E 线的密度给出 E 的大小。
N
S
N d N
E lim
解：设棒长 2 带电量为q
则电荷密度为 q 2
dE
如图建立坐标，考察中垂面上任一点p，根 据对称性，带电棒电荷在p点的场强在x方 向为零，合成的场强只有在y方向的分布。
y
p
r
dE
x+dx
棒上dx电荷元所产生的场强为
dx o x dx
x
dE
4
dq 0(x2
r2)
4
dx
0(x2
r2)
dE
cos r
2 0
R 0
(x2
rdr r2 )3 2
2 0
1
(
x2
x R2 )1 2
2
q
R 2 0
1
(x2
x R2 )1
2
方向为x轴
讨论：上述结论可推广
（1）均匀带电环形板中心轴线上的场强
R1
E
x 2 0
(
x
2
1 R12 )1
2
(x2
1 R22 )1
2
R2
（2）带圆孔的均匀带电无限大平板中心轴线上的场强
因高斯面内无净电
E
荷
e E ds Es 1 0
均匀带电圆盘轴线上的电场强度
均匀带电圆盘轴线上的电场强度可以通过库仑定律来计算。
假设我们有一个半径为R的均匀带电圆盘，电荷面密度为σ，我们想要在盘的轴线上计算电场强度。
在轴线上选取一个与盘中心重合的点作为参考点。
假设我们要计算离盘中心距离为z处的电场强度。
根据库仑定律，轴线上的电场强度可以由下式给出：
E = (1 / (4πε₀)) * (2πσz / (z²+ R²)^(3/2))
其中，ε₀是真空中的介电常数（ε₀≈8.854 ×10^(-12) C²/(N·m²))。
这个公式表明，轴线上的电场强度随着离盘中心距离z的增加而减小。
当z远大于R时，电场强度的减小趋势变得更加明显。
需要注意的是，当z = 0时，即在圆盘上的中心点上，由于对称性的原因，电场强度为零。
而在z = R时，即在圆盘上的表面上，电场强度为最大值。
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各点电荷在P点单独产生的场强为:
E1
q1
4 0 r 2
r10
E2
q1
4 0 r 2
r20
En
q1
4 0 r 2
rn0
矢量迭加
P点的总场强为
E
i
Ei
i
Hale Waihona Puke 14 0qi ri2
ri0
(4) 电荷连续分布的带电体产生的场强
任意带电体上的电荷分布,可看作由许多极小的电荷元dq的集合
2q cos
4
0
(r
2
2 4
)
Ey E y Ey 0
cos
(r 2
2 2
1
)2
4
E p
Ex (i)
4
2q 0 (r2
2 4
)
(r 2
2
2 4
)1
2
i
4
qi 0 (r2
2 4
)3
2
讨 r
2
2
q
r
E
px
q
4 0
(r 2
2r 2
)2
i
4
讨
r
论
P q
Ep
2
4 0
q r3
i
2
4 0
P r3
电偶极矩的方向为负
电偶极矩 电荷指向正电荷
（2）解：中垂线上点的场强 Ep E E
根据对称性有：
Ex
E x
E x
2 E x
试验电荷应满足: (1) 电荷量足够小,不影响原电场 (2) 几何线度充分小,可祝为点电荷
将q0 放入场中不同点, q0 所受力的大小和方向一般不同,说明场是空间分布
若放置在同一点, q0 增加一倍,电场力F也增加一倍,
即: F q0
F q0 常矢量
说明这个常矢量只与电场中处位置有关,而与q0 的大小.正负无关,它反映
dq在P点产生的场强
dE 1 dq r 0
4 0 r 2
整个带电体在P点产生的场强
电荷分布的三种形式:
E dE 1 dqr 0
4 0 r 2
体密度为
体分布
dq dv
E 1 dvr 0
4 0 r 2
面分布 面密度为 dq ds
E 1 dsr 0
了各确定点电场本身的性质
定义: 电场强度
E F q0
若 q0 1
EF
即E的大小与方向等于单位正电荷 在该点所受的力的大小与方向
E 的单位是 N.C 1 或 V .m1
场强叠加原理
若电场是由点电荷系 q1 , q2 qn 产生, q0 所受力分别为f1 , f2 , , fn
q0 受合力
求电偶极子中垂线和延长线上点的场强。
解：（1）求延长线上点的场强 Ep E E
E
4
q 0(r
)2 2
i
E
4
q 0(r
)2 2
i
E
E
E
r
y
p
r
E
o
Ep
E
E
q
4 0
1
(r
)2
1 (r )2
i
q
y
p
r
dE
x+dx
棒上dx电荷元所产生的场强为
dx o x dx
x
dE
4
dq 0(x2
r2)
4
dx
0(x2
r2)
dE
cos r
x2 r2
E
L
2dE
cos
2
dx 0 4 0 (x2 r 2 )
讨论
E
2 0r
r
§1.3 静电场
电荷之间存在相互作用力, 这种作用如何实现?
最早,有“超距”作用说,,认为其作用力不需介 质传递, 也不需时间传递
电荷
电荷
电场传播速度有限否定了“超距”说
本世纪初,一系列作为狭义相对论基础的实验事实,否定 了“以太”存在,提出了场的概念,认为带电体周围存在 电场,其他带电体所受电力是电场给予的.
放在距q为r处的p点
q0 受力:
F 1 qq0 r 0
4 0 r 2
P点场强
E
F q0
1
4 0
q r2
r0
(2) 点电荷系的场强
q
r 0
r 0
q0
P点
q0
点电荷产生的电场分布具有球对称性
电场由 q1 , q2 , , qn 产生,P点相对于各点电荷矢径为 r1 , r2 , , rn
dEyz 0
电荷分布关于x轴对称
E
l
dEx
cos 4 0 r 2
l
dq
q
4 0
(x2
x R2 )3/2
x0 E0
讨论 x R
E
q
4 0 x2
y
d
q
R P dEx
o
x
dE
dE yz
cos x
x2 R2
方向为x轴
相当于点电荷电场
4 0 r 2
线分布 线密度为 dq dl
E 1 dlr 0
4 0 r 2
例1.电偶极子 （electric dipole）的场强
电偶极子：一对靠得很近的等量异号的 P× 点电荷所组成的电荷系
电偶极子是个相对的概念，
r >> l
它也是一种实际的物理模型
·· -q l +q （如有极分子） 。
F f1 f2 fn
两边同除q 0
F f1 f2 fn
q0 q0 q0
q0
E E1 E2 En 场强叠加原理
表述: 电场中任一点处的总场强等于各个点电荷单独存 在时在该点产生的场强的矢量和
五. 场强的计箅
(1) 点电荷的场强
若电场由q产生,把一电荷 q 0
x2 r 2 2 0r 2 r 2
E1
r
例3、求均匀带电圆环中心轴上任意点的场强
解：已知圆环半径R，带电量q 如图建立坐标系，取电荷元
dq
qd
电荷元在P点场强
2R
dE
dq
4 0r 3
r
dEx
dq
4 0r 2
cos
dEyz
dq
4 0r 2
sin
z
整个带电圆环在P的场强
P
论
E p 4 0r 3
说明：（1）电偶极子的电场
1 Ep r3
（2）电偶极子应用广泛，如原子分子物理，无线电物理中应用极大
例2、求均匀带电细棒中垂面上电强的分布
解：设棒长 2 带电量为q
则电荷密度为 q 2
dE
如图建立坐标，考察中垂面上任一点p，根 据对称性，带电棒电荷在p点的场强在x方 向为零，合成的场强只有在y方向的分布。
电荷
场
电荷
场是一种客观存在, 是物质的一种形态
静电场对外表现有:
(1) 引入电场中的任何带电体都将受到电场所作用的力
(2) 电场使引入电场中的导体或电介质产生静电感应或极 化现象
(3) 带电体在电场中移动时,电场对带电体作功,表示电场 有能量
电场强度
电场中任一处电场的性质,可引入试验正电荷 q0 来进行研究