江苏省灌云高中、曲塘中学、姜堰二中2021届高三下学期联考 数学 含答案
2021届江苏省新高考基地学校高三第二学期4月第二次大联考数学【含答案】
2021届江苏省新高考基地学校高三第二学期4月第二次大联考数学2021年4月注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小是，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1．设全集为R，集合A＝{x|2＜x＜5}，B＝{x|2x＞16}，则A∩( R B)＝A．{x|4＜x≤5} B．{x|4＜x＜5} C．{x|2＜x≤4} D．{x|2＜x＜4}2．某校组建了甲、乙、丙3支羽毛球球队参加男女混合双打比赛，其中男队员有小王、小张、小李，女队员有小红、小芳、小丽．若小王和小红不是搭档，小张和小丽不是搭档，小李和小芳不是搭档，则A．小王的搭档一定是小芳B．小芳的搭档不可能是小张C．小张的搭档不可能是小红D．小李的搭档可能是小丽3．根据2010~2019年我国16~59岁人口比重统计数据y(%)，拟合了y与年份x的回归方程为ŷ＝－0.74x＋1551，试据此估计我国约从哪一年开始16~59岁人口比重低于50%A．2023 B．2026 C．2029D．20324．碌碡是我国古代人民发明的一种把米、麦、豆等粮食加工成粉末的器具，如图，近似圆柱形碌碡的轴固定在经过圆盘圆心且垂直于圆盘的木桩上，当人推动木柄时，碌碡在圆盘上滚动．若人推动木柄绕圆盘转动1周，碌碡恰好滚动了3圈，则该圆柱形碌碡的高与其底面圆的直径之比约为A ．3：1B ．3：2C ．1：3D ．2：35．若存在复数z 同时满足|z －i|＝1，|z －3＋3i|＝t ，则实数t 的取值范围是A ．[0，4]B ．(4，6)C ．[4，6]D ．(6，＋∞)6．香农定理是所有通信制式最基本的原理，它可以用香农公式C ＝B log 2(1＋SN )来表示，其中C 是信道支持的最大速度或者叫信道容量，B 是信道的带宽(Hz)，S 是平均信号功率(W)，N 是平均噪声功率(W)．已知平均信号功率为1000W ，平均噪声功率为10W ，在不改变平均信号功率和信道带宽的前提下，要使信道容量增大到原来的2倍，则平均噪声功率约降为A ．0.1WB ．1.0WC ．3.2WD ．5.0W7．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的焦距为2c (c ＞0)，右焦点为F ，过C 上一点P 作直线x ＝32c的垂线，垂足为Q ．若四边形OPQF 为菱形，则C 的离心率为A ．23B ．63C ．4－2 3D ．3－18．已知函数f (x )＝x －a ex ，且e a＝ln b ＝c ，则 A ．f (a )＜f (b )＜f (c ) B ．f (b )＜f (c )＜f (a ) C ．f (a )＜f (c )＜f (b ) D ．f (c )＜f (b )＜f (a )二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．已知无穷等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＞0，d ＜0，则A ．数列{a n }单调递减B ．数列{a n }没有最小值C ．数列{S n }单调递减D ．数列{S n }有最大值10．已知a ，b 均为正数，且a －b ＝1，则A ．2a －2b ＞1B ．a 3－b 3＜1C ．4a －1b≤1 D ．2log 2a －log 2b <211．已知函数f (x )＝sin 3xx 2＋1，x ∈(－π，π)，则A ．∀x ∈(－π，π)，f (x )f (－x )≥0B ．∀x ∈(－π，π)，|f (x )|≤1C ． x 1，x 2∈(－π，π)，x 1≠x 2，f (x 1)＝f (x 2)D ．∃x 0∈(－π，π)，∀x ∈(－π，π)，|f (x )|≤f (x 0)12．由倍角公式3cos2x ＝2cos 2x －1，可知cos2x 可以表示为cos x 的二次多项式．一般地，存在一个n (n ∈N *)次多项式P n (t )＝a 0＋a 1t ＋a 2t 2＋…＋a n t n (a 0，a 1，a 2，…，a n ∈R )，使得cos nx ＝P n (cos x )，这些多项式P n (t )称为切比雪夫(P ．L ．T s chebyscheff )多项式．则 A ．P 3(t )＝4t 3－3t B ．当n ≥3时，a 0＝0 C ．|a 1＋a 2＋a 2＋…＋a n |≤2 D ．sin18°＝5－14二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．某志愿者服务大队计划在今年“五一”小长假这5天中安排3天到社区进行劳动法宣讲，则这3天中恰有2天连排的概率为_______．14．已知正方形ABCD 的边长为2，当点P 满足_______时，→AP ·→AC ＝4． (注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况) 15．设(x －1x )( x ＋1x)6＝1470ii i a x-=∑，则(a 0＋a 2＋a 4＋a 6)－(a 7＋a 9＋a 11＋a 13)＝_______．16．已知等边三角形ABC 的边长为2，点D ，E 分别在边AC ，BC 上，且DE //AB ，将△CDE 沿DE 折起，则四棱锥C －DABE 的体积的最大值为_______，此时四棱锥C －DABE 的外接球的表面积为_______．三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(10分)在①4a sin B cos A ＝3b ，②b sin 2B ＋c sin 2C ＝(b ＋c ) sin 2A ，③3sin A ＋cos A ＝b a ＋ab．这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求出cos B 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos C ＝13， ．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．18．(12分)已知数列{a n }满足a 1＝2，(n ＋2)a n ＝3(n ＋1)a n ＋1． (1)求数列{a n }的通项公式(2)设S n 为数列{a n }的前n 项和，求证S n ＜154．19．(12分)阳澄湖大闸蟹又名金爪蟹，产于江苏苏州，蟹身青壳白肚，体大膘肥，肉质膏腻，营养丰富，深受消费者喜爱．某水产品超市购进一批重量为100千克的阳澄湖大闸蟹，随机抽取了50只统计其重量，得到的结果如下表所示： 规格 中蟹大蟹特大蟹重量(单位：克) [160，180)[180，200)[200，220)[220，240)[240，260) [260，280]数量(单位：只)32 15 20 7 3(1)试用组中值来估计该批大闸蟹的有名少只?(所得结果四舍五入保留整数)(2)某顾客从抽取的10只特大蟹中随机购买了4只，记重量在区间[260，280]上的大闸蟹数量为X ，求X 的概率分布和数学期望．20．(12分)已知AB 是圆O 的直径，且长为4，C 是圆O 上异于A 、B 的一点，点P 到A ，B ，C 的距离2 3.设二面角P －AC －B 与二面角P －BC －A 的大小分别为α，β． (1)求1tan 2a ＋1tan 2β的值； (2)若tan β＝3tan α，求二面角A －PC B 的余弦值．21．(12分)在平面直角坐标系xOy 中，过点M (0，－1)的直线交抛物y 2＝4x 于A ，B 两点． (1)设OA ，OB 的斜率分别为k 1，k 2，求k 1＋k 2的值；(2)过点A ，B 分别作直线x ＝－4的垂线，垂足为C 、D ，试探究∠AOB 和∠COD 的关系，并说明理由．POC BA22．(12分)已知函数f (x )＝－32x 2＋6x ＋3log a x (a ＞0，且a ≠1)为单调减函数，f (x )的导函数f ′(x )的最大值不小于0． (1) 求a 的值；(2)若f (x 1)＋f (x 2)＝9，求证：x 1＋x 2≥2．数 学 解析版 2021年4月注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
2021届江苏省百校联考高三下学期4月第三次考试数学试题(解析版)
2020~2021学年度江苏省百校联考高三年级第三次考试数学2021年4月注意事项：1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分．2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上．一、选择题：本题共8小是，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1．“虚数”这个词是17世纪著名数学家、哲学家笛卡尔创制的，当时的观念认为这是不存在的数．人们发现，最简单的二次方程x2＋1＝0在实数范围内没有解．已知复数z满足z2＋4i＝0则|z|＝A．4 B．2 C． 2 D．12．已知集合A＝{x∈R|x2－x＋t＜0，t∈R}，B＝{x∈R|x2＋x－6＜0}，若A∪B＝{x|x2＜9}，则A∩B＝A．(－3，3) B．(－2，2) C．(－2，3) D．(－3，2)3．《数术记遗》是东汉时期徐岳编撰的一本数学专著，内有中国特色的十四种算法它最早记录中国古代关于大数的记法：“黄帝为法，数有十等．及其用也，乃有三焉．十等者，亿、兆、京、垓、秭、壤、沟、涧、正、载．三等者，谓上、中、下也，其下数者，十十变之，若言十万曰亿，十亿曰兆，十兆曰京也．中数者，万万变之，若言万万曰亿，万万亿曰兆，万万兆曰京．上数者，数穷则变，若言万万曰亿，亿亿曰兆，兆兆曰京也．从亿至载，终于大衍．下数浅短，计事则不尽，上数宏阔，世不可用．故其传业，唯以中数耳．”我们现在用的是中数之法：万万为亿，万亿为兆，万兆为京，……，即104＝1万，108＝1亿，1012＝1兆，1016＝1京，……，地球的质量大约是5.965秭千克，5.965秭的位数是A ．21B ．20C ．25D ．244．已知由正整数组成的无穷等差数列中有三项是13、25、41，下列各数一定是该数列的项的是A ．2019B ．2020C ．2021D ．20225．已知a ，b 是不共面向量，设→OA ＝2a ＋b ，→OB ＝a ＋2b ，→OC ＝3a ＋b ，→OD ＝a ＋3b ， 若△OAB 的面积为3，则△OCD 的面积为A ．4B ．5C ．6D ．86．正实数a ，b ，c 满足a ＋sin a ＝2，b ＋3b＝3，c ＋log 4c ＝4，则实数a ，b ，c 之间的大小关系为A ．b ＜a ＜cB ．a ＜b ＜cC ．a ＜c ＜bD ．b ＜c ＜a7．已知四面体ABCD 的四个顶点都在以AB 为直径的球R 面上，且BC ＝CD ＝DB ＝2，若面面体ABCD 的体积是423，则这个球面的面积是A ．16πB ．323πC ．4πD ．763π8．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ＞114x ＋1，x ≤1，g (x )＝f (x )－kx ，若函数g (x )有两个零点，则k 的取值范围是A ．⎝⎛⎦⎤0，14B ．(0，1e ln2)C ．⎣⎡⎭⎫0，1e D ．[14，1e ln2)二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．在平面直角坐标xOy 中，已知圆O 过点，A (3，4) 、B 、C 、且→BC ＝→OA ，则 A ．直线BC 的斜率为34B ．∠AOC ＝60°C ．△ABC 的面积2532 D ．点B 、C 在同一象限内10．在平面直角坐标系xOy 中，设曲线C 的方程是xy ＝1，下列结论正确的是 A ．曲线C 上的点与定点F (2，2)距离的最小值是2－ 2B ．曲线C 上的点和定点F (2，2)的距离与到定直线l ：x ＋y －2＝0的距离的比是 2 C ．曲线C 绕原点顺时针旋转45°，所得曲线方程是x 2－y 2＝2 D ．曲线C 的切线与坐标轴围成的三三角形的面积是411．设(1－2x )29＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 29x 29，则下列结论正确的是 A ．a 15＋a 16＞0B ．a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 29＝－1C ．a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 29＝－1＋3292D ．a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋29a 29＝－5812．下列结论正确的是A ．存在这样的四面体ABCD ，四个面都是直角三角形B ．存在这样的四面体ABCD ，∠BAC ＝∠CAD ＝∠DAB ＝∠BCD ＝90° C ．存在不共面的四点A 、B 、C 、D ，使∠ABC ＝∠BCD ＝∠CDA ＝90° D ．存在不共面的四点A 、B 、C 、D ，使∠ABC ＝∠BCD ＝∠CDA ＝∠DAB ＝90° 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知f (x )＝sin(2x ＋φ)＋3cos(2x ＋φ)(|φ|＜π2)是奇函数，若 x ∈[0，π2]，m ≤sin(2x ＋φ)≤n ，则n －m 的最小值是______．14．集合A中有4个等差数列，集合B中有5个等比数列，A∩B的元素个数是1，在A∪B 中任取两个数列，这两个数列中既有等差数列又有等比数列的概率是______．5．设数列a1，a2，a3，a4各项互不相同，且a i∈{1，2，3，4}(i＝1，2，3，4)．若下列四个关系①a1＝1；②a2≠1；③a3＝2；④a4≠4中恰有一个正确，则(10a1＋a2)－(10a3＋a4)的最大值是______．16．设抛物线C1：y＝x2－2x＋2和C2：y＝－x2＋ax＋b在它们的一个交点处的切线互相垂直，则C2过定点_____．三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(10分)(1)写出一个等差数列{a n}的通项公式，使{a n}满足①a1≠0，②{S n}是等差数列，其中S n是{a n}的前n项和．(写出一个就可以，不必证明)(2)对于(1)中的{a n}，设b n＝2n a n，求数列{b n}的前n项和T n．18．(12分)如图，在平面四边形ABCD 中，已知AB ＝3，AD ＝DC ＝CB ＝1． (1)当A 、B 、C 、D 共圆时，求cos A 的值；(2)若cos ∠ADB ＝36，求sin ∠ABC 的值．19．(12分)某奶茶店推出一款新品奶茶，每杯成本4元，售价6元．如果当天卖不完，剩下的奶茶只能倒掉．奶茶店记录了60天这款新品奶茶的日需求量，整理得下表：以60天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．(1)从这60天中任取2天，求这2天的日需求量至少有一天为35的概率；(2)①若奶茶店一天准备了35杯这款新品奶茶，用ξ表示当天销售这款新品奶茶的利润(单 位：元)，求ξ的分布列和数学期望；DCBA②假设奶茶店每天准备的这款新品奶茶倍数都是5的倍数，有顾客建议店主每天准备40杯这款新品奶茶，你认为店主应该接受这个建议吗?请说明理由．20．(12分)如图，矩形BCDE 所在平面与△ABC 所在平面垂直，∠ACB ＝90°，BE ＝2． (1)证明：DE ⊥平面ACD ；(2)若平面ADE 与平面ABC 所成锐二面角的余弦值是55，且直线AE 与平面BCDE 所 成角的正弦值是13，求异面直线DE 与AB 所成角的余弦值．EDC BA21． (12分)在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率是12，焦点到相应准线的距离是3． (1)求a ，b 的值；(2)已知A 、B 是椭圆C 上关于原点对称的两点，A 在x 轴的上方，F (1，0)，连接AF 、BF 并分别延长交椭圆C 于D 、E 两点，证明：直线DE 过定点．22．(12分) 设0＜x ＜1．(1)证明： 1－x 26＜sin xx＜1；(2)若ax －x36＜sin x ，求a 的取值范围．2020~2021学年度江苏省百校联考高三年级第三次考试数学2021年4月注意事项：1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分．2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上．一、选择题：本题共8小是，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1．“虚数”这个词是17世纪著名数学家、哲学家笛卡尔创制的，当时的观念认为这是不存在的数．人们发现，最简单的二次方程x2＋1＝0在实数范围内没有解．已知复数z满足z2＋4i＝0则|z|＝A．4 B．2 C． 2 D．1【考点】复数的运算【答案】B2．已知集合A＝{x∈R|x2－x＋t＜0，t∈R}，B＝{x∈R|x2＋x－6＜0}，若A∪B＝{x|x2＜9}，则A∩B＝A．(－3，3) B．(－2，2) C．(－2，3) D．(－3，2)【考点】集合的运算【答案】B3．《数术记遗》是东汉时期徐岳编撰的一本数学专著，内有中国特色的十四种算法它最早记录中国古代关于大数的记法：“黄帝为法，数有十等．及其用也，乃有三焉．十等者，亿、兆、京、垓、秭、壤、沟、涧、正、载．三等者，谓上、中、下也，其下数者，十十变之，若言十万曰亿，十亿曰兆，十兆曰京也．中数者，万万变之，若言万万曰亿，万万亿曰兆，万万兆曰京．上数者，数穷则变，若言万万曰亿，亿亿曰兆，兆兆曰京也．从亿至载，终于大衍．下数浅短，计事则不尽，上数宏阔，世不可用．故其传业，唯以中数耳．”我们现在用的是中数之法：万万为亿，万亿为兆，万兆为京，……，即104＝1万，108＝1亿，1012＝1兆，1016＝1京，……，地球的质量大约是5.965秭千克，5.965秭的位数是A ．21B ．20C ．25D ．24 【考点】新情境下的文化题：计数的位数 【答案】C4．已知由正整数组成的无穷等差数列中有三项是13、25、41，下列各数一定是该数列的项的是A ．2019B ．2020C ．2021D ．2022 【考点】等差数列的性质 【答案】C5．已知a ，b 是不共面向量，设→OA ＝2a ＋b ，→OB ＝a ＋2b ，→OC ＝3a ＋b ，→OD ＝a ＋3b ， 若△OAB 的面积为3，则△OCD 的面积为A ．4B ．5C ．6D ．8 【考点】平面向量的几何应用 【答案】D6．正实数a ，b ，c 满足a ＋sin a ＝2，b ＋3b＝3，c ＋log 4c ＝4，则实数a ，b ，c 之间的大小关系为A ．b ＜a ＜cB ．a ＜b ＜cC ．a ＜c ＜bD ．b ＜c ＜a 【考点】大小比较【答案】A7．已知四面体ABCD 的四个顶点都在以AB 为直径的球R 面上，且BC ＝CD ＝DB ＝2，若面面体ABCD 的体积是423，则这个球面的面积是A ．16πB ．323πC ．4πD ．763π【答案】A【考点】立体几何的外接球问题【解析】由题意可知S △BCD ＝3，所以点A 到平面BCD 的距离为463，可设AB 的中点为O ，△BCD 的外心为点E ，则可得到OE ＝263，又BE ＝233，所以OB ＝2，则S 球＝4πR 2＝16π，故答案选A.8．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ＞114x ＋1，x ≤1，g (x )＝f (x )－kx ，若函数g (x )有两个零点，则k 的取值范围是A ．⎝⎛⎦⎤0，14B ．(0，1e ln2)C ．⎣⎡⎭⎫0，1eD ．[14，1e ln2)【答案】B【考点】函数的零点问题【解析】当y ＝kx 与y ＝log 2x 相切时，可得k ＝1e ln2，将函数y ＝kx 的图象顺时针旋转，当k＞0时，f (x )与y ＝kx 都有2个交点，故答案选B ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．在平面直角坐标xOy 中，已知圆O 过点，A (3，4) 、B 、C 、且→BC ＝→OA ，则 A ．直线BC 的斜率为34B ．∠AOC ＝60°C ．△ABC 的面积2532 D ．点B 、C 在同一象限内【考点】直线与圆的应用 【答案】BD10．在平面直角坐标系xOy 中，设曲线C 的方程是xy ＝1，下列结论正确的是 A ．曲线C 上的点与定点F (2，2)距离的最小值是2－ 2B ．曲线C 上的点和定点F (2，2)的距离与到定直线l ：x ＋y －2＝0的距离的比是 2 C ．曲线C 绕原点顺时针旋转45°，所得曲线方程是x 2－y 2＝2 D ．曲线C 的切线与坐标轴围成的三三角形的面积是4 【考点】曲线的切线方程、导数的几何意义综合应用 【答案】ABC11．设(1－2x )29＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 29x 29，则下列结论正确的是 A ．a 15＋a 16＞0B ．a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 29＝－1C ．a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 29＝－1＋3292D ．a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋29a 29＝－58 【答案】ACD【考点】二项式定理展开式定理的应用【解析】对于选项A ，a 15＋a 16＝C 1529(－2)15＋C 1629(－2)16＞0，故选项A 正确；对于选项B ，可令x ＝0，可得a 0＝1，令x ＝1，得a 0＋a 1＋…＋a 29＝－1，所以a 1＋…＋a 29＝－2，故选项B 错误；对于选项C ，令x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－a 3＋…－a 29＝329，则2(a 1＋a 3＋…＋a 29)＝－1－329，故选项C 正确；对于选项D ，由[(1－2x )29]′＝－58(1－2x )28，可令x ＝1，可得a 1＋2a 2＋…＋29a 29＝－58，故选项D 正确；综上，答案选ACD. 12．下列结论正确的是A ．存在这样的四面体ABCD ，四个面都是直角三角形B ．存在这样的四面体ABCD ，∠BAC ＝∠CAD ＝∠DAB ＝∠BCD ＝90° C ．存在不共面的四点A 、B 、C 、D ，使∠ABC ＝∠BCD ＝∠CDA ＝90° D ．存在不共面的四点A 、B 、C 、D ，使∠ABC ＝∠BCD ＝∠CDA ＝∠DAB ＝90° 【答案】AC【考点】立体几何中四面体的应用【解析】对于选项B ，三个直角以A 为顶点，那么△BCD 为锐角三角形，故错误；对于选项D ，此时A ，B ，C ，D 四点共面，故错误；综上，答案选AC. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知f (x )＝sin(2x ＋φ)＋3cos(2x ＋φ)(|φ|＜π2)是奇函数，若 x ∈[0，π2]，m ≤sin(2x ＋φ)≤n ，则n －m 的最小值是______．【答案】1＋32【考点】三角函数的图象与性质应用14．集合A 中有4个等差数列，集合B 中有5个等比数列，A ∩B 的元素个数是1，在A ∪B 中任取两个数列，这两个数列中既有等差数列又有等比数列的概率是______． 【答案】1928【考点】数列与概率综合应用5．设数列a 1，a 2，a 3，a 4各项互不相同，且a i ∈{1，2，3，4}(i ＝1，2，3，4)．若下列四个关系①a 1＝1；②a 2≠1；③a 3＝2；④a 4≠4中恰有一个正确，则(10a 1＋a 2)－(10a 3＋a 4)的最大值是______． 【答案】18【考点】逻辑推断题：数列的项与最值问题【解析】若①正确，②也正确，则不符合题意；若②正确，此时a 4＝4，a 3＝1，a 1＝3，a 2＝2，(10a 1＋a 2)－(10a 3＋a 4)的最大值为18；若③正确，此时a 4＝4，a 2＝1，a 1＝3，(10a 1＋a 2)－(10a 3＋a 4)的最大值为7；若④正确，此时a 4＝2，a 3＝3，a 1＝4，a 2＝1，(10a 1＋a 2)－(10a 3＋a 4)的最大值为9；综上，(10a 1＋a 2)－(10a 3＋a 4)的最大值为18.16．设抛物线C 1：y ＝x 2－2x ＋2和C 2：y ＝－x 2＋ax ＋b 在它们的一个交点处的切线互相垂直，则C 2过定点_____． 【答案】(1，32)【考点】抛物线与二次函数的交点问题【解析】设交点为(x 0，y 0)，则(2x 0－2)(－2x 0＋a )＝－1，且x 02－2x 0＋2＝－x 02＋ax 0＋b ，联立化简可得a ＋b ＝52，所以C 2过定点(1，32)．三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(10分)(1)写出一个等差数列{a n }的通项公式，使{a n }满足①a 1≠0，②{S n }是等差数列，其中S n 是{a n }的前n 项和．(写出一个就可以，不必证明)(2)对于(1)中的{a n }，设b n ＝2na n ，求数列{b n }的前n 项和T n ． 【考点】等差数列的通项公式、错位相减法求和【解】(1)可写a n ＝2n －1，则有S n ＝n ()a 1＋a n 2＝n 2，所以S n ＝n ，即{S n }是等差数列(2)由(1)得b n ＝2na n ＝(2n －1)2n ＝(2n －3)2n ＋1－(2n －5)2n ，所以T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝(2n －3)2n ＋1＋6． 18．(12分)如图，在平面四边形ABCD 中，已知AB ＝3，AD ＝DC ＝CB ＝1． (1)当A 、B 、C 、D 共圆时，求cos A 的值；(2)若cos ∠ADB ＝36，求sin ∠ABC 的值．【考点】三角恒等变换与解三角形【解】(1)在△ABD 中，由余弦定理可得BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD cos A ＝4－23cos A ， 在△BCD 中，由余弦定理可得BD 2＝BC 2＋DC 2－2BC ·DC cos C ＝2＋2cos A ，所以解得cos A ＝3－12． (2) 在△ABD 中，由余弦定理可得AB 2＝AD 2＋DB 2－2AD ·DB cos ∠ADB ，化简可得3＝1＋BD 2－33BD ，解得BD ＝3，则∠ACB ＝2π3，所以∠CBD ＝π6， 且cos ∠ABD ＝AB 2＋BD 2－AD 22AB ·BD ＝56，所以sin ∠ABC ＝sin(∠ABD+∠CBD)=12×56+32×116=5+331219．(12分)DCBA某奶茶店推出一款新品奶茶，每杯成本4元，售价6元．如果当天卖不完，剩下的奶茶只能倒掉．奶茶店记录了60天这款新品奶茶的日需求量，整理得下表：以60天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．(1)从这60天中任取2天，求这2天的日需求量至少有一天为35的概率；(2)①若奶茶店一天准备了35杯这款新品奶茶，用ξ表示当天销售这款新品奶茶的利润(单 位：元)，求ξ的分布列和数学期望；②假设奶茶店每天准备的这款新品奶茶倍数都是5的倍数，有顾客建议店主每天准备40杯这款新品奶茶，你认为店主应该接受这个建议吗?请说明理由． 【考点】随机变量的概率、期望与分布列【解】(1)由题意得从60天中任取2天的日需求量至少有一天为35的概率P ＝1－C 245C 260＝2959；(2)①由题意ξ＝－20，10，40，70，其分布列为：则E (ξ)＝－20×112＋10×112＋40×16＋70×23＝1052②由题意每天准备40杯这款新品奶茶的数学期望为 E (ξ)＝－40×112＋(－10)×112＋20×16＋50×14＋80×512＝45，因为45＜1052，所以每天准备40杯这款新品奶茶的利润较少，则不应该接受这个建议20．(12分)如图，矩形BCDE 所在平面与△ABC 所在平面垂直，∠ACB ＝90°，BE ＝2． (1)证明：DE ⊥平面ACD ；(2)若平面ADE 与平面ABC 所成锐二面角的余弦值是55，且直线AE 与平面BCDE 所 成角的正弦值是13，求异面直线DE 与AB 所成角的余弦值．【考点】立体几何中位置关系的证明、空间角(二面角、异面直线所成的角)的求解 【解】(1)由题意可知DE ⊥DC ，又∠ACB ＝90°，则BC ⊥AC ， 又DE //BC ，所以DE ⊥AC ，且AC ∩DC ＝C ，所以DE ⊥平面AC D ． (2)由题意可知AC ⊥平面BCDE ，连结CE ，则有sin ∠AEC ＝AC AE ＝13，又平面ADE 与平面ABC 所成的锐二面角的平面角为∠DAC ， 所以cos ∠DAC ＝AC AD ＝55,且DC ＝BE ＝2，可得AC ＝1，所以AE ＝3，则可知CF ＝72，所以BC ＝2，则AB ＝5， 而异面直线DE 与AB 所成的角为∠ABC ， 所以其余弦值为cos ∠ABC=BC AB =255.21． (12分)EDC BA在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率是12，焦点到相应准线的距离是3． (1)求a ，b 的值；(2)已知A 、B 是椭圆C 上关于原点对称的两点，A 在x 轴的上方，F (1，0)，连接AF 、BF 并分别延长交椭圆C 于D 、E 两点，证明：直线DE 过定点．【考点】圆锥曲线中椭圆的几何性质、椭圆与直线的位置关系中求直线的过定点问题 【解】(1)由题意有c a ＝12，a 2c －c ＝3，解得a ＝2，c ＝1，所以b ＝a 2－c 2＝ 3.(2)由题意可设A (x 1，y 1)，B (－x 1，－y 1)，D (x 2，y 2)，E (x 3，y 3)， 由A ，F ，D 三点共线，得y 1x 1－1＝y 2x 2－1，所以y 1x 2－y 2x 1＝y 1－y 2，又因为y 12x 22－y 22x 124＝y 12－y 22，所以y 1x 2＋y 2x 1＝4(y 1＋y 2)，解得⎩⎨⎧x 2＝5x 1－82x 1－5y 2＝3x 12x －5，同理可得⎩⎨⎧x 1＝5x 1＋52x ＋5y 2＝3x 1＋52x ＋5，又直线DE 的方程为y ＝y 3－y 2x 3－x 2x ＋y 2x 3－y 3x 2x 3－x 2，且y 3－y 2x 3－x 2＝5y 13x 1,y 2x 3－y 3x 2x 3－x 2＝－8y 13x 1，即有直线DE 的方程为y ＝y 13x 1(5x －8)，所以过定点(85，0).22．(12分) 设0＜x ＜1．(1)证明： 1－x 26＜sin xx＜1；(2)若ax －x36＜sin x ，求a 的取值范围．【考点】函数与导数：利用函数的单调性证明不等式、利用函数的零点求参数范围 【解】(1)由题意可设f (x )＝sin x －x (0＜x ＜1)，有f ′(x )＝cos x －1＜0，则f (x )＜0，得sin x x ＜1，设g (x )＝sin x ＋x 36－x (0＜x ＜1)g '(x )＝cos x ＋x 22－1,g ''(x )＝x －sin x ＞0，则有g '(x )＞0，g (x )单调递增，得g (x )＞0，所以sin x x ＞1－x26得证；(2)由(1)可知a ≤1时，ax －x 36≤x －x36＜sin x 成立，则当a ＞1时，设h (x )＝sin x ＋x 36－ax ，则h '(x )＝cos x ＋x 22－a ，h ''(x )＝x －sin x ＞0,h '(x )单调递增，则h '(x )max ＝cos1＋12－a ，② 若a ≥cos1＋12，h '(x )＜0，h (x )单调递减，则有h (x )＜0，此时不符合题意；②若1＜a ＜cos1＋12，h '(0)＝1－a ＜0，h '(1)＝cos1＋12－a ＞0，所以h '(x )有唯一零点，可记为x 0，则0＜x ＜x 0，h '(x )＜0，此时h (x )单调递减，有h (x )＜0，则不符合题意； 综上可知a ≤1，即a 的取值范围为(－ ，1]．。
2021-2022年高三下学期毕业班联考(二)数学(理)试题 含答案
C EF 2021年高三下学期毕业班联考（二）数学（理）试题 含答案本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟．第Ⅰ卷 选择题 (共40分)注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目填涂在答题卡规定的位置上．2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑； 参考公式：·如果事件、互斥，那么柱体的体积公式. 其中表示柱体的底面积,表示柱体的高.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．1. 已知复数，则复数的虚部是A ．B ．iC ．－D ．－i2. 设实数满足约束条件22010220x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≥⎩，则的最小值是A ．B ．1C ．2D ．7 3. 执行如图所示的程序框图，若输入,则输出的A ．B ．C ．D ．4. 下列说法正确的是A ．命题“或”为真命题，则命题和命题均为真命题；B ．命题“已知、为一个三角形的两内角，若，则”的逆命题为真命题；C ．“若，则”的否命题为“若，则”；D ．“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件.5. 已知双曲线的左顶点与抛物线的焦点的距离为3,且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为,则双曲线的标准方程为 A ． B ． C ． D ．6. 函数在定义域内可导，若，且当时，有，设，，，则 A ． B ． C ． D ．7. 已知为圆的直径，于，为的中点，与相交于点，切线与的延长线交 于点.若圆的半径为1，则的长为A ．B ．C ．D ． 8. 已知菱形的边长为2,,点、分别在边、上，，.若, 则的最小值 A ． B ． C ． D ．第Ⅱ卷 非选择题 (共110分)二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡中的相应横线上. 9. 某学院的三个专业共有1500名学生，为了调查这些学生勤工俭学的情况，拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为150的样本．已知该学院的专业有420名学生，专业有580名学生，则在该学院的专业应抽取____________名学生．10.设区域{(,)|01,01},x y x y Ω=≤≤≤≤区域{(,)|,(,)}A x y y x x y =≤∈Ω,在区域中随机取一个点,则该点在中的概率___________11. 某几何体的三视图如图所示，其俯视图是由一个 半圆与其直径组成的图形，则此几何体的体积是____12. 在中，内角，，所对的边分别是,,3))((bc a c b c b a =-+++则的值为_________13．极坐标系与直角坐标系有相同的长度单位，以原点为极点，以轴正半轴为极轴.已知直线的参数方程为（为参数），曲线的极坐标方程为.设直线与曲线交于两点，弦长___________ 14．若函数的图象与函数的图象恰有五个交点，则实数的取值范围是________．三、解答题：本大题6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知函数2()2sin cos 23cos 3f x x x x =+-．(I)求函数的最小正周期； (II)若006(),,12542f x x πππ⎡⎤-=∈⎢⎥⎣⎦，求的值. 16．（本小题满分13分）国家旅游局确定xx 以“丝绸之路旅游年”为xx 旅游宣传主题，甘肃武威为配合国家旅游局，在每张门票后印有不同的“丝绸之路徽章”。
2021年高三下学期期初联考试题 数学 含答案
2021年高三下学期期初联考试题数学含答案注意事项：所有试题的答案均填写在答题纸上，答案写在试卷上的无效．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答．题卡相应位置上．．．．．．．．1．设集合则▲．2．某学校共有师生2 400人，现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为160的样本，已知从学生中抽取的人数为150，那么该学校的教师人数是____▲____．3．计算复数＝▲（为虚数单位）．4. 连续抛掷一个骰子（一种各面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具）两次，则出现向上点数之和大于9的概率是▲．Array 5．若，则的最小值是___▲______.6．已知直线平面，直线平面，给出下列命题：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则.其中正确命题的序号是▲．7．已知满足约束条件,则的最大值为▲.8．程序框图如图(右)所示,其输出结果是____▲____.9．已知条件p：，条件q：，若p是q的充分不必要条件，则实数的取值范围是____▲____．10．若正四棱锥的底面边长为，体积为，则它的侧面积为▲.11．已知抛物线的焦点恰好是双曲线的右焦点，则双曲线的渐近线方程为▲. 12．已知函数的图像的对称中心为，函数的图像的对称中心为，函数的图像的对称中心为，……，由此推测函数的图像的对称中心为▲．13．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ．已知a ＝2，3b sin C －5c sin B cos A ＝0，则△ABC 面积的最大值是 ▲ ．14．已知是锐角的外接圆圆心，，，则 ▲ .二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.（本题满分14分）如图，斜三棱柱中，侧面是菱形，与交于点，E 是AB 的中点． （I ）求证：平面；（II ）若，求证：．16．(本小题满分14分)已知函数的最小正周期为. （I ）求.（II ）在图中给定的平面直角坐标系中,画出函数在区间上的图象,并根据图象写出其在上的单调递减区间.17. (本小题满分14分)光在某处的照度与光的强度成正比，与光源距离的平方成反比，假设比例系数都为1。
2021年高三下学期第一次联考(2月)理数试题 含解析
2021年高三下学期第一次联考（2月）理数试题含解析一.选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一是符合题目要求的.1.已知集合，，则为A. (0，＋)B. (1，＋)C. [2，＋)D.［1，＋)【答案】B【解析】试题分析：因为，，所以；故选B．考点：集合的交并运算．2.已知一个几何体的三视图是三个全等的边长为1的正方形，如图所示，则它的体积为A. B.C. D.【答案】C【解析】试题分析：该三视图对应的空间几何体为边长为1的正方体去掉一个三棱锥如下图所示：所以它的体积为；故选C ． 考点：三视图的应用．3.已知倾斜角为的直线l 与直线垂直，则的值为A .B .C .D .【答案】A 【解析】 试题分析：由题意可得：，所以541tan tan 2cos sin cos sin 22sin 222015cos 222=+=+==⎪⎭⎫⎝⎛-ααααααααπ；故选A ． 考点：1.两直线的位置关系；2.诱导公式．4.已知是两条不同．．的直线，是三个不同．．的平面，则下列命题中正确的是 A . 若 B . 若 C . 若 D . 若【答案】C 【解析】试题分析：A . 若 或相交；B . 若或相交；D . 若或在平面内；故选C ．考点：空间几何元素的位置关系．5.如图所示，点是函数图象的最高点，M 、N 是图象与轴的交点，若，则等于【答案】B【解析】试题分析：由题意可得：，,所以；所以函数的周期为16即故选B．考点：1.三角函数的性质；2.向量运算．6.外接圆圆心O，半径为1，且，则向量在向量方向的投影为A. B. C. D.【答案】A考点：平面向量数量积的含义及其物理意义．7.若非零向量满足，且，则与的夹角为A.B .C. D.【答案】D【解析】试题分析：由可得，所以，所以与的夹角为；故选D．考点：向量的运算及夹角．8.不等式组表示的点集记为M，不等式组表示的点集记为N，在M中任取一点P，则P∈N的概率为A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：列出相应的区域如下所示：区域M是正方形区域，区域N是阴影区域，，所以P∈N的概率为；故选B．考点：几何概型的应用．9.一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，若该球的体积是，则这个三棱柱的体积是A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：由球的体积是，可得，所以正三棱柱的高为4，底面是边长为的正三角形，所以三棱柱的体积是；故选D．考点：空间几何体的体积．10.已知函数,n∈N*的图象与直线交于点P，若图象在点P处的切线与x轴交点的横坐标，则＋＋…＋的值为A. 1B. 1－log xxC. -log xxD. －1 【答案】D【解析】试题分析：由题意可得：点，，所以点P处的切线切线的斜率为故可得切线的方程为，所以与x轴交点的横坐标，则＋＋…＋；故选D．考点：1.导数的几何意义；2.对数运算．11.已知函数,若函数有且只有两个零点,则k 的取值范围为A .B .C .D .【答案】C 【解析】试题分析：由题意可得当时为双曲线在第一象限的部分，渐近线方程为，当时有可得，所以即在出的切线方程为此时函数有且只有一个交点若；故选．若函数有且只有两个零点,则k 的取值范围为. 考点：函数零点与方程根的关系． 12.已知函数对任意的满足 (其中是函数 的导函数)，则下列不等式成立的是A . B. C. D.【答案】A 【解析】试题分析：令()()()()()()()()xx x f x x f x x x f x x f x g x x f x g 2'2'''cos sin cos cos cos cos ,cos -=-==则，由对任意的满足可得，即函数在上为增函数，则即即；故选A ． 考点：导数与函数单调性的关系．二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.已知数列为等差数列，，，则 . 【答案】2 【解析】试题分析：因为数列为等差数列且，，所以；故填2． 考点：等差数列的性质．14.设，若的最小值为 . 【答案】9 【解析】试题分析：由题意可得：，令则，所以在上为减函数，在上为增函数，所以；故填9． 考点：函数的性质及其导数的应用． 15.已知数列满足,且，则 . 【答案】【解析】试题分析：①，②， ②—①，得，即，又，所以数列是以为首项、公差为2的等差数列，则，即； 则， ， ， ， ，上述式子相加，得]3)1(2353433[21321-⋅++⋅⋅⋅+⨯+⨯+⨯=-n n n a a ，则]3)1(232353433[21432n n n n ⋅++⋅+⋅⋅⋅+⨯+⨯+⨯-，两式相减除以2，得nn n n a a 2)1()3333(914321⋅+-+⋅⋅⋅++++=--，即293)21(2)1(31)31(3921-⋅+=⋅+---+=--n n n n n n a a ； 则；故填.考点：1.由数列的递推式求通项；2.累加法；3.错位相减法. 16.有下列4个命题:①若函数定义域为R ,则是奇函数;②若函数是定义在R 上的奇函数,,,则图像关于x =1对称;③已知x 1和x 2是函数定义域内的两个值(x 1<x 2),若,则在定义域内单调递减; ④若是定义在R 上的奇函数, 也是奇函数,则是以4为周期的周期函数. 其中,正确命题是 （把所有正确结论的序号都填上）. 【答案】 (1)(4)考点：命题真假的判断．三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.（本小题满分12分）设数列{a n}满足：a1=1，a n+1=3a n，n∈N*．设S n为数列{b n}的前n项和，已知b1≠0，2b n–b1=S1•S n，n∈N*．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）设，求数列{c n}的前n项和T n；（Ⅲ）证明：对任意n∈N*且n≥2，有++…+＜．【答案】（Ⅰ）a n=3n–1 b n=2n–1；（Ⅱ）T n=(n–2)2n+2；（Ⅲ）略．【解析】试题分析：（1）给出与的关系，求，常用思路：一是利用转化为的递推关系，再求其通项公式；二是转化为的递推关系，先求出与的关系，再求；由推时，别漏掉这种情况，大部分学生好遗忘;(2)一般地，如果数列是等差数列，是等比数列，求数列的前项的和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列的公比，然后做差求解；（3）利用不等式放缩时掌握好规律，怎样从条件证明出结论．试题解析：（Ⅰ）∵a n+1=3a n，∴{a n}是公比为3，首项a1=1的等比数列，∴通项公式为a n=3n–1．∵2b n–b1=S1•S n，∴当n=1时，2b1–b1=S1•S1，∵S1=b1，b1≠0，∴b1=1．∴当n＞1时，b n=S n–S n–1=2b n–2b n–1，∴b n=2b n–1，∴{b n}是公比为2，首项a1=1的等比数列，∴通项公式为b n=2n–1．…………4分（Ⅱ）c n=b n•log3a n=2n–1log33n–1=(n–1)2n–1，T n=0•20+1•21+2•22+…+(n–2)2n–2+(n–1)2n–1 ……①2T n= 0•21+1•22+2•23+……+(n–2)2n–1+(n–1) 2n ……②①–②得：–T n=0•20+21+22+23+……+2n–1–(n–1)2n=2n–2–(n–1)2n =–2–(n–2)2n∴T n=(n–2)2n+2．………… 8分（Ⅲ）===≤++…+＜++…+==(1–)＜．…………12分考点：(1)求数列的通项公式；（2）错位相减求数列的和；（3）证明恒成立的问题．18.（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，AD‖BC，，平面⊥底面，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，PA=PD=AD=2，BC=1，CD=．（Ⅰ）求证：平面PQB⊥平面PAD；（Ⅱ）若二面角M-BQ-C为，设PM=tMC，试确定t的值．【答案】（Ⅰ）略；（Ⅱ）3．【解析】试题分析：(1)利用已知的线面垂直关系建立空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量运算.其中灵活建系是解题的关键.(2)证明面面垂直，需证线线垂直，只需要证明直线的方向向量垂直；（3)把向量夹角的余弦值转化为两平面法向量夹角的余弦值;(4）空间向量将空间位置关系转化为向量运算，应用的核心是要充分认识形体特征，建立恰当的坐标系，实施几何问题代数化.同时注意两点：一是正确写出点、向量的坐标，准确运算；二是空间位置关系中判定定理与性质定理条件要完备.．试题解析：（Ⅰ）∵AD∥BC，BC=AD，Q为AD的中点，∴四边形BCDQ为平行四边形，∴CD∥BQ．∵∠ADC=90°，∴∠AQB=90°，即QB⊥AD．又∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，∴BQ⊥平面PAD．∵BQ⊂平面PQB，∴平面PQB⊥平面PAD．（Ⅱ）∵PA=PD，Q为AD的中点，∴PQ⊥AD．∵面PAD⊥面ABCD，且面PAD∩面ABCD=AD，∴PQ⊥面ABCD．如图，以Q为原点建立空间直角坐标系．则平面BQC的法向量为；，，，．设，则，1(1)3(3)13()31txtx t xty t y ytz t zzt⎧=-⎪+=--⎧⎪⎪⎪=-⇒=⎨⎨+⎪⎪-=-⎩⎪=⎪+⎩,∴，在平面MBQ中，，，∴平面MBQ法向量为.∵二面角为30°，∴，得………………………………………………………………12分考点：（1）证明平面与平面垂直；（2）利用空间向量解决二面角问题.．19.（本小题满分12分）心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同学（男30女20），给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答.选题情况如下表：（单位：人）（Ⅰ）能否据此判断有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关？（Ⅱ）经过多次测试后，甲每次解答一道几何题所用的时间在5—7分钟，乙每次解答一道几何题所用的时间在6—8分钟，现甲、乙各解同一道几何题,求乙比甲先解答完的概率．（Ⅲ）现从选择做几何题的8名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究，记甲、乙两女生被抽到的人数为X，求X的分布列及数学期望E（X）．附表及公式【答案】（Ⅰ）有的把握认为视觉和空间能力与性别有关.；（Ⅱ）；(Ⅲ)0.5．【解析】试题分析：(1)独立性检验是考察两个分类变量是否有关系，根据表中的数据计算随机变量的观测值，越大说明两个分类变量有关系的可能性越大.（2）注意判断是古典概型还是几何概型，基本事件前者是有限的，后者是无限的，两者都是等可能性.(3)在几何概型中注意区域是线段，平面图形，立体图形.（4）求解离散随机变量分布列和方差，首先要理解问题的关键，其次要准确无误的找出随机变量的所有可能值，计算出相对应的概率，写成随机变量的分布列，正确运用均值、方差公式进行计算.．试题解析：(Ⅰ)由表中数据得的观测值()2250221288505.556 5.024302030209K⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯所以根据统计有的把握认为视觉和空间能力与性别有关.(Ⅱ)设甲、乙解答一道几何题的时间分别为分钟，则基本事件满足的区域为(如图所示)y1O设事件为“乙比甲先做完此道题” 则满足的区域为由几何概型即乙比甲先解答完的概率为.(Ⅲ)由题可知在选择做几何题的8名女生中任意抽取两人，抽取方法有种，其中甲、乙两人没有一个人被抽到有种；恰有一人被抽到有种；两人都被抽到有种可能取值为，，，的分布列为：1.考点：1.检验；2.几何概型，超几何分布 20.（本小题满分12分）已知椭圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形， 直线与以椭圆C 的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆相切. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设P 为椭圆C 上一点，若过点的直线与椭圆C 相交于不同的两点S 和T ， 满足（O 为坐标原点），求实数的取值范围. 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）． 【解析】试题分析：（1）设椭圆的方程，用待定系数法求出的值；（2）解决直线和椭圆的综合问题时注意：第一步：根据题意设直线方程，有的题设条件已知点，而斜率未知；有的题设条件已知斜率，点不定，可由点斜式设直线方程.第二步：联立方程：把所设直线方程与椭圆的方程联立，消去一个元，得到一个一元二次方程.第三步：求解判别式：计算一元二次方程根.第四步：写出根与系数的关系.第五步：根据题设条件求解问题中结论.．试题解析：（Ⅰ）由题意，以椭圆的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆的方程为， ∴圆心到直线的距离（*）………………………………1分 ∵椭圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形， ∴,， 代入（*）式得， ∴，故所求椭圆方程为……………………………………………………4分（Ⅱ）由题意知直线的斜率存在，设直线方程为，设， 将直线方程代入椭圆方程得：， ∴()()081628214642224>+-=-+-=∆k kk k ，∴.设,，则， 由，当,直线为轴，点在椭圆上适合题意； 当，得∴.将上式代入椭圆方程得：， 整理得：，由知，，所以，综上可得. ………………………………………………………12分 考点：(1)椭圆的方程； （2）直线与椭圆的综合问题．21.（本小题满分12分）已知函数f（x）=，曲线在点（0,2）处的切线与轴交点的横坐标为-2.（Ⅰ）求a；（Ⅱ）当时，曲线与直线只有一个交点,求x的取值范围.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】试题分析：利用导数的几何意义求曲线在点处的斜率，然后根据直线过两点再次得到直线的斜率，列出方程得到的值.(2)根据曲线与直线只有一个交点,可以得到方程有唯一解,构造函数，然后利用函数的性质得到x的取值范围(3)分类讨论是学生在学习过程中的难点，要找好临界条件进行讨论.．试题解析：（I）由,知,而曲线在点处的切线过点, ，……………6分（II）法一时，曲线与直线只有一个交点,时方程有唯一解,即有唯一解.当x=0时，显然无解.当时，变形为，……………………………………①令，由，知时，为增函数，时，为减函数，故时，.而，故方程①无解.若,，为减函数,且,即时，故时，方程①有唯一解，综上知，所求x的取值范围是.………………………………………………12分法二时，曲线与直线只有一个交点,时方程 ()有唯一解,当x=0时，显然无解.当时，变形为，解32232 34(2)(1)34100 x x x x x x xx x x-++-+-+<⇔<⇔<得.令,知,当，时，在，单调递减，故，，有唯一解.综上知，所求x的取植范围是 .…………………………………………12分考点：函数与导数性质的应用．四．请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．22.（本小题满分10分）选修4—1: 几何证明选讲的延长线于P，已知.证明（Ⅰ）；（Ⅱ）．【答案】（Ⅰ）略；（Ⅱ）略．【解析】试题分析：（1）根据圆的切线性质可得：又由已知进而可得所以可以得出；（2）由内接圆的性质可得三角形相似故可以得出所以得到．试题解析：（Ⅰ）∵与⊙相切于点，∴. …………………2分又，∴，∴. …………………………5分（Ⅱ）∵四边形内接于⊙，∴，又，∴∽.∴，即，∴. ………………………10分考点：圆的性质的综合应用.23.（本小题满分10分）选修4-4: 坐标系与参数方程已知平面直角坐标系中，以为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线方程为．的参数方程为（为参数）．（Ⅰ）写出曲线的直角坐标方程和的普通方程；（Ⅱ）设点为曲线上的任意一点，求点到曲线距离的取值范围．【答案】（Ⅰ）：，：；（Ⅱ）．【解析】试题分析：(1)掌握常见的参数方程与普通方程相互转化的方法；（2）根据圆的性质得到点到曲线的最大值和最小值即可得到点到曲线距离的取值范围．试题解析：（I ）的直角坐标方程：， 的普通方程：．5分 （II ）由（I ）知，为以为圆心，为半径的圆，的圆心到的距离为，则与相交，到曲线距离最小值为0，最大值为，则点到曲线距离的取值范围为 ．………………………………………………………10分考点：(1)参数方程的应用；（2）两点间的距离公式. 24.（本小题满分10分） 选修4—5:不等式选讲 已知关于的不等式，其解集为. （Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，均为正实数，且满足，求的最小值. 【答案】（Ⅰ）3；（Ⅱ）． 【解析】试题分析：（Ⅰ）将不等式转化为，脱去绝对值即可得到，然后根据解集为得到的值；（Ⅱ）利用不等式的性质或构造二次函数的性质即可得到的取值范围． 试题解析：（Ⅰ）不等式可化为， ………1分 ∴，即,∵其解集为，∴ ，. ………………………………………5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，（方法一：利用基本不等式） ∵ ，∴ ，∴当且仅当时，取最小值为.……………10分 .（方法二：利用柯西不等式）∵ 222222()(11)(11)()9a b a b a b +⋅+≥⨯+⨯=+=， ∴ ，∴当且仅当时，取最小值为.……………10分 （方法三：消元法求二次函数的最值） ∵，∴，∴222222399(3)2692()222a b a a a a a +=+-=-+=-+≥， ∴当且仅当时，取最小值为.………………………………10分考点：（1）含绝对值不等式的解法；（2）不等式的性质.*39583 9A9F 骟34841 8819 蠙25464 6378 捸B38859 97CB 韋I32693 7FB5 羵22785 5901 夁'Q27612 6BDC 毜21808 5530 唰。
2021年高三下学期联合考试数学(理)试题 含答案
2021年高三下学期联合考试数学（理）试题含答案一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数满足，在复平面内复数对应的点在第一象限（其中为虚数单位），则实数的取值可以为（）A.0B.1C.﹣1D.22.已知实数满足约束条件则的最大值为( )A. -2B. -1C. 1D. 23.“”是“命题‘，不等式成立’为真命题”的（）A．充分不必要条件 B.必要不充分条件 C．充要条件 D.既不充分也不必要条件4.设，则的取值范围为（）A. B. C. D.5.《九章算术》卷5《商功》记载一个问题“今有圆堡瑽，周四丈八尺，高一丈一尺.问积几何？答曰：二千一百一十二尺.术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一” .这里所说的圆堡瑽就是圆柱体，它的体积为“周自相乘，以高乘之，十二而一.”就是说：圆堡瑽(圆柱体)的体积为：V＝×(底面的圆周长的平方×高)．则由此可推得圆周率的取值为Array（）A.3B.3.14D.3.36.已知双曲线：的左顶点为，右焦点为，点，且，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.7.右图给出了一个程序框图，其作用是输入x的值，输出相应的y值．若要使输入的x值与输出的y值相等，则这样的x值有 ( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个8.已知等差数列的前项和为，且，，则过点和的直线的一个方向向量的坐标可以是( )A． B． C． D．9.若为偶函数，则的解集为（）A. B. C. D.10.如图所示，函数离轴最近的零点与最大值均在抛物线上，则＝（）A. B.C. D.11.如右下图所示为某几何体形状的纸盒的三视图，在此纸盒内放一个小正四面体，若小正四面体在纸盒内可以任意转动，则小正四面体的棱长的最大值为（）A. B. C. D.12.已知函数,,则的取值范围为（）A. B. C. D.二．填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分。
2021年高三下学期第二次联考数学(文)试题 含答案
1 1 正(主)视侧(左)视2021年高三下学期第二次联考数学（文）试题 含答案本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分。
考试时间120分钟。
一、选择题：本大题共l2小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知全集,集合，集合，则 （ ）A. B. C. D.2.已知复数为虚数单位，则的共轭复数是A. B. C. D.3.已知各项均为正数的等比数列中，成等差数列，则=（ ）A.27B.3C.-1或3D.1或274.已知平面向量,,,则的值为( )A. B. C.2 D.15.已知的取值如下表:若y 与x 线性相关，且，则=（ ）x0 1 3 4 y 2.2 3.3 4.8 5.7A.2.2B.2.6C.2.8D.3.06.已知命题使；命题，下列是真命题的是 ( )A. B.C. D.7.如果执行如图的程序框图，那么输出的值是( )A. xxB. 2C. D.8.如图， 一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则这个 四棱锥的体积为（ ）A 1B 2C 3D 49.已知函数的最小正周期为, 若将其图像向右平移个单位后得到的图像关于原点对称,则函数的图像( )A.关于直线对称B.关于直线对称C.关于点对称D.关于点对称10.已知变量满足以下条件,,若的最大值为3,则实数的值为( )A.2或5B.-4或2C.2D.511.定义在R 上的函数24)(,42)1(,2)()()(+>+=>'+xe xf e ef x f x f x f 则不等式满足 (其中e 为自然对数的底数）的解集为（ ）A. B. C. D.12．已知椭圆C:的左右焦点为，若椭圆C 上恰好有6个不B 同的点，使得为等腰三角形，则椭圆C 的离心率的取值范围是（ ）A ． B. C. D.第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题．每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．13.点，则的概率___________． 14.设数列满足，点对任意的，都有向量，则数列的前项和 .15.在半径为的球面上有三点，如果，，则球心到平面的距离为___________．16.已知函数有两个极值点，若，则关于的方程 的不同实根个数为三、解答题：本大题共5小题，共60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2021年高三下学期期初联考数学理试题 含答案
2021年高三下学期期初联考数学理试题 含答案一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.1. 复数z ＝1＋i ，为z 的共轭复数，则 ( )．A ．－2iB ．－iC ．iD ．2i2. 已知是两个不同的平面，是不同的直线，下列命题不正确．．．的是( )． A ．若则 B ．若则C ．若则D ．若，则3. 为了解一片速生林的生长情况，随机测量了其中100株树木的底部周长（单位：cm ）．根据所得数据画出了样本的频率分布直方图（如图 1），那么在这100株树木中，底部周长小于110cm 的株数是（ ）． A ．30 B ．60 C ．70 D ．804．某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为（ ）. A.14 B.24 C.28 D.485. 某程序框图如图 2所示，现将输出（值依次记为：若程序运行中输出的一个数组是则数组中的 ( )．A ．32B ．24C ．18D ．166. 抛物线的焦点为F ，点为该抛物线上的动点，又点则的最小值是（ ）． A ． B ． C ． D ．7. 设，点为所表示的平面区域内任意一点，，为坐标原点，为的最小值，则的最大值为（ ）．A ．B ．C ．D ．8. 将边长为的等边三角形沿轴滚动，某时刻与坐标原点重合（如图 3），设顶点的轨迹方程是，关于函数的有下列说法： ①的值域为；②是周期函数； ③；④.周长(cm)频率/组距0.010.02 0.04 图 1y其中正确的说法个数为：（ ）A ．0B ．C ．D ．二．填空题：本大题共7小题，每小题5分，共30分．本大题分为必做题和选做题两部分.（一）必做题：第9、10、11、12、13题为必做题，每道试题考生都必须做答. 9. 已知向量，，若，则实数的值等于 ． 10. 不等式的解集为 ．11. 设为等比数列的前n 项和，，则 .12. 函数的部分图象如图 4所示，点,，若，则等于 ．13. 如图 5，圆O ：内的正弦曲线与x 轴围成的区域记为M （图中阴影部分）随机往圆O 内投一个点A ，则点A 落在区域M 内的概率为 ．（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做一题，两题全答只计算前一题的得分.14.（极坐标系与参数方程）在极坐标系中，圆上的点到直线的最大距离为 ．15.（几何证明选讲）如图 6，⊙O 中，直径AB 和弦DE 互相垂直，C 是DE 延长线上一点，连结BC 与圆O 交于F ，若,,，则________．三．解答题：本大题6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.（本题满分12分）已知函数且函数的最小正周期为．(1)求的最大值及取得最大值的值； (2)若且，求的值．17.（本题满分12分）学校文娱队的每位队员唱歌、跳舞至少会一项，已知会唱歌的有2人，会跳舞的有5人，现从中选2人．设为选出的人中既会唱歌又会跳舞的人数，且．(1) 求文娱队的人数；(2) 写出的概率分布列并计算．18.（本题满分14分）等边三角形的边长为,点、分别是边、上的点,且满足(如图7甲).将△沿折起到△的位置,使二面角成直二面角,连结、 (如图7乙).(1)求证:平面；（2)在线段上是否存在点,使直线与平面所成的角为?若存在,求出的长,若不存在,请说明理由.19.（本题满分14分）已知数列满足，．（1）求的值；（2）求证：数列是等比数列；Oxy AB C图 4图 6图 5BCE D1A 图乙图甲ABC DE（3）设，数列的前项和为．求证：对任意的，．20.（本题满分14分）在平面直角坐标系xoy 中，已知曲线C 1上的任一点到点（1，0）的距离与到直线的距离之比为，动点Q 是动圆C 2：上一点．（1）求曲线C 1的轨迹方程；（2）若点P 为曲线C 1上的点，直线PQ 与曲线C 1和动圆C 2均只有一个公共点，求P 、Q 两点的距离｜PQ ｜的最大值．21．（本题满分14分）已知函数，.（1）若函数在处取到极值,且成等差数列，求的值；（2）若存在实数，使对任意的，不等式 恒成立.求正整数 的最大值．xx 学年度高三理科数学测试题参考答案三．解答题：16. 解：24f (x )sin x sin(x )sin x cos x x )ππωωωωω=++=+=+……2分的最小正周期为，………………………………4分（1）的最大值为，当即时取得最大值；…………………………………………………………………………………………6分（2）因为，即①, ………………………………7分 且………………………………………………9分272311616(cos sin ),cos sin αααα-=+=∴-=②， (11)分由①、②解得…………………………………………………………12分17. (1)解法1：∵，∴． ……………………………………………………………………2分 即， ∴， ∴x=2．………………………………5分故文娱队共有5人． ……………………………………………………………………6分 解法2：因为会唱歌的有2人，故两项都会的可能1人或2人。