线性代数第6讲
线性代数(同济大学第五版)二次型讲义、例题
第六章 二次型本章主要包括二次型的矩阵及其矩阵,化二次型为标准型和规范形,二次型及实对称矩阵的正定性问题,学习本章内容需要结合矩阵的特征值与特征向量的相关知识.§1 二次型及其矩阵一、二次型及其矩阵定义1 关于n 个变量n x x x ,,,21 的二次齐次函数+++= 2222211121),,,(x a x a x x x f n n n n n n nn x x a x x a x x a x a 1,1313121122222--++++ (1)若取ji ij a a =,则i j ji j i ij j i ij x x a x x a x x a +=2于是(1)式可写成j i nj i ij n x x a x x x f ∑==1,21),,,( (2)称为n 元二次型,所有系数均为实数的二次型称为实二次型.记,212222111211⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n n n a a a a a a a a a A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n x x x x21 则二次型),,,(21n x x x f 又表示为Ax x x x x f T n =),,,(21 ,其中A 为对称矩阵,叫做二次型 ),,,(21n x x x f 的矩阵,也把),,,(21n x x x f 叫做对称矩阵A 的二次型.对称矩阵A 的秩,叫做二次型Ax x x x x f T n =),,,(21 的秩. 例1 写出二次型32312123222132184422),,(x x x x x x x x x x x x f ++---=的矩阵，并求出二次型的秩.解 写出二次型所对应的对称矩阵为A ,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=242422221A因为二次型的秩就是对称矩阵A 的秩.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=14002202214~6808602212~224242222123321312r r r r r r r r A ∴二次型的秩为3.§2 化二次型为标准型一、二次型合同矩阵二次型),,,(21n x x x f 经过可逆的线性变换⎪⎩⎪⎨⎧+++=+++=+++=nnn n n n nn n n y c y c y c x y c y c y c x y c y c y c x 22112222121212121111 (3) 即用(3)代入(1),还是变成二次型. 那么新二次型的矩阵与原二次型的矩阵A 的关系是什么？可逆线性变换 (3),记作Cy x =,其中矩阵)(ij c C =,把可逆的线性变换Cy x =代入二次型Ax x x x x f T n =),,,(21 ,得二次型ACy C y Cy A Cy Ax x x x x f T T T T n ===)()(),,,(21定义 1 两个同阶方阵A B 、,若存在可逆矩阵C ,使B AC C T=,则称矩阵A B 、合同.若A 为对称矩阵,C 为可逆矩阵,且B AC C T=.则B 亦为对称矩阵,且).()(A r B r =证 因为A 是对称矩阵, 即A A T=,所以B AC C C A C AC C B T T T T T T T T ====)()(即B 为对称矩阵. 因为AC C B T =,所以)()()(A r AC r B r ≤≤.因为11)(--=BC C A T ,所以)()()(1B r BC r A r ≤≤-, 故得).()(B r A r = 主要问题：求可逆的线性变换⎪⎩⎪⎨⎧+++=+++=+++=nnn n n n nn n n y c y c y c x y c y c y c x y c y c y c x 22112222121212121111 (3) 将二次型(1)化为只含平方项,即用(3)代入(1),能使222221121),,,(nn n y k y k y k x x x f +++= (4) 称(4)为二次型的标准形.也就是说,已知对称矩阵A ,求一个可逆矩阵C 使Λ=AC C T为对角矩阵.定理2 任意二次型j inj i ij x x af ∑==1,)(ji ij a a =,总有正交变换Py x =,使f 化为标准形2222211nn y y y f λλλ+++= ,其中n λλλ,,,21 是f 的矩阵)(ij a A =的特征值.推论 任给n 元二次型Ax x x f T=)(,总有可逆变换Cz x =使)(Cz f 为规范形.二、二次型的合同标准形1、拉格朗日配方法化二次型成标准型(1) 对有完全平方的二次型,每一次配方都应将某个变量的平方项以及涉及这一变量的所有混合项配成完全平方,而使得这个完全平方式的外面不再出现这个变量.然后对剩下的不是完全平方的部分再按照此处理,直到全部配成完全平方为止,这样做,是为了保证所得的线性变换是非异的.如果不这样做,最后就需要检验所得的线性变换是否非异.例2 用配方法化二此型32312123222132182292),,(x x x x x x x x x x x x f +++++=为标准形.解 由于f 中含变量型1x 的平方项，故把含1x 的项归并起来，配方可得32312123222182292x x x x x x x x x f +++++=322322232168)(x x x x x x x +++++=上式右端除第一项外已不再含1x .继续配方，可得232322321)3()(x x x x x x f -++++= 令⎪⎩⎪⎨⎧=+=++=3332232113x y x x y x x x y 即⎪⎩⎪⎨⎧=-=+-=33322321132y x y y x y y y x 就把f 化成标准形（规范形）,232221y y y f -+=所用的变换矩阵为).0(100310211≠⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=C C(2) 如果所给的二次型全由混合项组成,而没有平方项,例如133221321),,(x x x x x x x x x f ++=,则需要先做类似于⎪⎩⎪⎨⎧=-=+=33212211y x y y x y y x 之类的非异线性变换,使变换后的二次型由平方项,再按(1)处理.二次型经非异线性变换化为标准型后,还可以再作非异线性变换,化为标准形.例3化二次型3231212x x x x x x f -+=成标准型，并求所用的变换矩阵.解 由于所给二次型中无平方项，所以令 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=-=33212211yx y y x y y x 即⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321321100011011y y y x x x 代入3231212x x x x x x f -+=得323122213y y y y y y f ++-=在配方,得.2)23()21(23232231y y y y y f +--+= 令⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=-=⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=+=333223113332231123212321z y z z y z z y y z y y z y y z即.10023102101321321⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛z z z y y y得2322212z z z f +-= 所用变换矩阵为.10011121110023102101100011011⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=C )02(≠=C2、正交变换化二次型成标准型寻求正交变换,化二次型为标准型,其步骤如下： (1) 写出二次型的矩阵A ,求0-=A E λ的所有相异的根n λλλ,,,21 (n s ≤,n 为A 的阶数)；(2) 对每个i λ(s ,,2,1 =i )求齐次线性方程组0)(=-x A E i λ的基础解系.如果i λ,基础解系只含1个解向量,则单位化.如果i λ,基础解系含有多于1个的解向量,则规范化,这样,总共得到n 个两两正交的单位向量.(3) 以所得的n 个两两正交的列向量得到矩阵P ,则P 为正交矩阵,正交变换Py x =化二次型Ax x T为标准形y y TΛ为对角阵,主对角线上第i ),,2,1(n i =个元素是P 的第i 个列向量所对应的特征值(k 重特征值出现k 次).经正交变换得到的标准形后,还可以再作非异的线性变换将标准后,还可以再作非异的线性变换将标准形化为规范形.但这一变换已不再是正交变换了.换言之,经正交变换,二次型一定可以化为标准型,但未必能化规范形.例4求一个正交变换Py x =，化二次型32312123222132184422),,(x x x x x x x x x x x x f ++---=为标准形.解 (1)写出二次型f 矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=242422221A (2) 求矩阵A 的特征值,写出特征多项式λλλλλλλλλλ------=-------=-------204622412204222212424222212)2)(7(6241)2(λλλλλ-+-=------=故特征值为2,7321==-=λλλ(3) 求矩阵A 的特征值所对应的特征向量 ①当71-=λ时, 解方程0)7(=+x E A ,由⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+0001102101~5424522287r E A 得基础解系⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2211ξ.②当232==λλ时, 解方程0)2(=-x E A ,由⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=-000000221~4424422212r E A得基础解系⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=102,01232ξξ.(4) 将32,ξξ正交化：取22ξη=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-=5425101254102],[],[2223233ηηηξηξη(5) 将321,,ηηξ单位化,得,22131111⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==ξξp ,01251222⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==ηηp .542531333⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==ηηp(5) 可得正交矩阵P.53503253451325325231),,(321⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--==p p p P 若令Py x =则Ax x x x x x x x x x x x x x f T =++---=32312123222132184422),,(233222211y y y APy P y T T λλλ++== 2322212271y y y ++-= 注 用正交变换法化二次型成标准型后,其平方项的系数就是矩阵A的特征值.而变换矩阵的各列,分别是这些特征值对应的规范正交的特征向量.例 5 已知,1001110101⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=a a A 二次型x A A x x x x f T T )(),,(321=的秩为2.(1) 求实数a 的值.(2) 求正交变换Qy x =将f 化为标准型. 解(1),3111101021001110101111010010122⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+---+-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=a a a a a a a a a a A A T x A A x T T )( 秩为22)()(==∴A r A A r T可得 1-=a .(2) 令⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==422220202B A A T由0)6)(2(422220202=--=-------=-λλλλλλλE B解之得.6,2,0321===λλλ① 当01=λ时,由0)0(=⋅-x E B ,可解得特征值为⎪⎪⎭⎫⎝⎛=11-1-1ξ.②当22=λ时,由0)2(=⋅-x E B ,可解得特征值为⎪⎪⎭⎫⎝⎛=011-2ξ.③当63=λ时,由0)6(=⋅-x E B ,可解得特征值为⎪⎪⎭⎫⎝⎛=2113ξ.将321,,ξξξ单位化,得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==211613,011-212,11-1-313322111ξξξξξξr r r令⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--==6203161210612131),,(321r r r Q . 则Qy x =时,可得标准型232262y y Bx x f T +==. 例6 设二次型2221231231323(,,)(1)22f x x x ax ax a x x x x x =++-+-,若二次型f 的规范形为2212y y +,求a 的值. 解 若二次型f 的规范形为2212y y +,说明f 两个特征值为正,一个为0.当2=a 时,三个特征值为 0,2,3,这时,二次型的规范形为2212y y +.§3 二次型及实对称矩阵的正定性二次型的标准形不是唯一的.标准形中所含项数是确定的(即是二次型的秩).限定变换为实变换时,标准形中正系数的个数是不变的.一、惯性定理定理3(惯性定理) 设有实二次型Ax x f T =它的秩是r ,有两个实的可逆变换Cy x =与Pz x =.使)0(,2222211≠+++i r r k y k y k y k 及,2222211r r y z z z +++ λλ)0(≠i λ则r k k k ,,,21 中正数的个数与r λλλ,,,21 中正数的个数相等. 正数的个数称为正惯性指数,负数的个数称为负惯性指数.例7 二次型,2223),,(323121232221321x x x x x x x x x x x x f +++++=求f 的正惯性指数.解：方法一：3231212322213212223),,(x x x x x x x x x x x x f +++++= 2223212)(x x x x +++= 令⎪⎩⎪⎨⎧==++=33223211xy x y x x x y , 则22212y y f +=.故f 的正惯性指数为2.方法二：f 的正惯性指数为所对应矩阵特征值正数的个数,由于二次型f 对应矩阵.111131111⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=A所以λλλλλλλλλλλ---=---=---=-211231001111310111131111E A λλλ---=2112310)4)(1(2123---=---=λλλλλλ=0 故4,1,0321===λλλ.故f 的正惯性指数为2. 二、正定性的判别定义10 设有实二次型Ax x f T=如果对于任何0≠x ,都有0)(>x f ,(显然0)0(=f ),则称f 为正定二次型,并称对称阵A 是正定的.记作0>A ；如果对任何0≠x ,都有0)(<x f ,则称f 为负定二次型,并称对称阵A 是负定的,记作0<A .定理4 实二次型Ax x f T=为正定的充分必要条件是:它的标准形的n 个系数全为正,即f 的正惯性指数为n .证 设可逆变换Cy x =使21)()(ini i yk Cy f x f ∑===.先证充分性：设0>i k ),,2,1(n i =,任给0≠x ,故.0)(21>=∑=i ni i y k x f再证必要性: 用反证法,假设有0≤s k ,则当s e y =(单位坐标向量)时,0)(≤=s s k Ce f ,显然0≠s Ce 这与假设f 正定矛盾,故.0>i k推论 对称阵A 为正定的充分必要条件是: A 的特征值全为正.定理5 对称阵A 为正定的充分必要条件是：A 的各阶主子式都为正.即011>a ,022211211>a a a a,01111>nnn na a a a ; 对称阵A 为负定的充分必要条件是:奇数阶主子式为负,而偶数阶主子式为正.即，0)1(1111>-nrn rra a a a ),,2,1(n r =.这个定理称为霍尔维兹定理.注：对于二次型,除了有正定和负定以外,还有半正定和半负定及不定二次型等概念.例8设实二次型312322212x cx ax bx ax f +++=,当该二次型为正定二次型,c b a ,,应满足的条件?解 写出f 的矩阵 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=a c b c a A 0000因为该二次型为正定二次型,所以0)(,0,022>-=>>∴b c a A ab ac b a ,,∴应满足0,>>b c a .定理6实二次型Ax x f T =为正定的充分必要条件是:存在可逆矩阵C ,使C C A T =,即矩阵A 与单位矩阵合同.证明 先证充分性：若存在可逆矩阵C ,使C C A T=,任取非零向量x ,则0≠Cx (如果0=Cx ,由C 可逆,则0=x 矛盾),对任取的0≠x ,有0)()()(T >====Cx Cx Cx Cx C x Ax x x f T T T,从而矩阵A 正定.再证必要性：设对称矩阵A 为正定矩阵,因为A 为对称矩阵,则存在正交矩阵Q ,使A 对角化,即),,,(21n T diag AQ Q λλλ =Λ=,其中n λλλ,,,21 为A 的特征值,而A 是正定矩阵,所以0>i λ,记),,,(211n diag λλλ =Λ.则Λ=Λ21,从而T T T Q Q Q Q Q Q A ))((1111ΛΛ=ΛΛ=Λ=令T Q C )(1Λ=,则C 可逆,而且得到C C A T=. 所以可得EC C A T=,故矩阵A 与单位矩阵合同.定理7实二次型Ax x f T =为正定的充分必要条件是:存在正定矩阵B ,使2B A =.证明 因为A 是正定矩阵，所以矩阵A 可以正交相似对角化。
《线性代数讲义》课件
在工程学中，性变换也得到了广泛的应用。例如，在图像处理中，可
以通过线性变换对图像进行缩放、旋转等操作；在线性控制系统分析中
，可以通过线性变换对系统进行建模和分析。
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特征向量的性质
特征向量与特征值一一对应，不同的 特征值对应的特征向量线性无关。
特征值与特征向量的计算方法
01
定义法
根据特征值的定义，通过解方程 组Av=λv来计算特征值和特征向 量。
02
03
公式法
幂法
对于某些特殊的矩阵，可以利用 公式直接计算特征值和特征向量 。
通过迭代的方式，不断计算矩阵 的幂，最终得到特征值和特征向 量。
矩阵表示线性变换的方法
矩阵的定义与性质
矩阵是线性代数中一个基本概念，它可以表示线性变 换。矩阵具有一些重要的性质，如矩阵的加法、标量 乘法、乘法等都是封闭的。
矩阵表示线性变换的方法
通过将线性变换表示为矩阵，可以更方便地研究线性 变换的性质和计算。具体来说，如果一个矩阵A表示 一个线性变换L，那么对于任意向量x，有L(x)=Ax。
特征值与特征向量的应用
数值分析
在求解微分方程、积分方程等数值问题时， 可以利用特征值和特征向量的性质进行求解 。
信号处理
在信号处理中，可以利用特征值和特征向量的性质 进行信号的滤波、降噪等处理。
图像处理
在图像处理中，可以利用特征值和特征向量 的性质进行图像的压缩、识别等处理。
05
二次型与矩阵的相似性
矩阵的定义与性质
数学工具
矩阵是一个由数字组成的矩形阵列，表示为二维数组。矩阵具有行数和列数。矩阵可以进行加法、数 乘、乘法等运算，并具有相应的性质和定理。矩阵是线性代数中重要的数学工具，用于表示线性变换 、线性方程组等。
《线性代数》考点强化班 配套讲义 第六章 二次型
2 0 2 E AT A 0 2 2 ( 2)( 6) 。
2 2 4
故 AT A 的特征值为 1 0, 2 2, 3 6 ．
2 0 2 1 0 1
由 E
AT
A
0
2 2 0 1 1 ，得 AT A 的对应于特征值 1 0 的特征量
2 2 4 0 0 0
则原二次型化为标准形 f 2z12 2z22 ,
1 0 1
【例 4】
已知 A
0
1
1 0
1 a
，二次型
f
(x1 ,
x2 ,
x3 )
xT
AT A x 的秩为 2。
பைடு நூலகம் 0 a 1
（1）求实数 a 的值；
（2）求正交变换 x Qy 将 f 化为标准形，
【分析】第一问利用秩的结论 r AT A r( A) 简化计算，第二问是一个常规的化为标准
0 02
1 1 0 （Ⅱ）这里 A 1 1 0 ，可求出其特征值为 1 2 2, 3 0 .
0 0 2
解 (2E A)x 0 ，得特征向量为：1 1,1, 0T ,2 0, 0,1T ，
解 (0E A)x 0 ，得特征向量为：3 1, 1, 0T
由于1, 2 已经正交，直接将1,2 ,3 单位化，得：
形问题。
【详解】（1）由 f (x1 , x2 , x3 ) xT AT A x 的秩为 2，即 r AT A 2 ，于是 r( A) 2 ，因此
A 的任意 3 阶子式都为 0．故
1 01 10 1 0 1 1 0 1 1 1 a 0， 1 0 a 0 0 1 a
解得 a 1．
2 0 2 （2）当 a 1时， AT A 0 2 2 ，
线性代数 5-6 第5章6讲-正交相似(2)
第五章 矩阵的特征值与特征向量
第六讲 实对称矩阵及其对角化(2)
主讲教师 |
本讲内容
01 实对称矩阵的特征值与特征向量 02 实对称矩阵的正交相似对角化(2)
实对称矩阵的正交相似对角化(2)
性质5.6
(1) 实对称矩阵A 的特征值一定为实数；
(2) 实对称矩阵对应于不同特征值的特征向量必相互正交；
1 0 1 0 0 1 1 0 1
0
0
1
1 0 0
1 3
1 3
1
3
0 0
1 0
1 3
0 1
1 1
1
0
2
0
1 0
1 1
0 1
3
1 1
3
1 2
3
0 0
1 0
0 1
1 3
1 3
2 3 1 3
1 3
2
3
10
实对称矩阵的正交相似对角化(2)
设3 阶实对称矩阵A 的特征值为6,3,3, 与特征值6 对应的特征向量为
1 0 0
1 1 1
(2) P1AP 0 2 0，其中P 1 2 0
0 0 3
1 1 1
1 0 0 矩阵A P 0 2 0 P1
0 0 3
1/ 3 1/ 3 1/ 3
1 0 0
13 2 5
P 1
1/
6
1/ 3 1/ 6
可见 A P 0
2
0
P 1
1 6
2
10
2
1/ 2 0 1/ 2
1 1
即
x1
x2
x3
0，得基础解系为
p2
线性代数 3-6 第3章6讲-极大线性无关组和秩(2)
0 0
1 0
1 0
1 4
0
B
4
(3) 将其余向量用该极大无关组线性表示.
0 0 0 0
0
化为梯形阵后每个阶梯选一个向量得一个极大无关组：1,2,5 ；
(3) 把矩阵B继续作初等行变换：
1 0 3 2 1 1 0 3 2 1 1 0 3 1 0
B 0 1 1 1
0
0
1
1
1
0 0
1
1
1
0
0 0 0 4 4 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1
所以向量组1，
，
2
， n 与向量组e1，e2，
，en等价.
5
本讲内容
01 极大线性无关组和向量组的秩 02 向量组的秩和矩阵的秩的关系
二、向量组的秩和矩阵的秩的关系
定理3.7 设A是一个m n矩阵，则A 的秩等于A 的行秩，也等于A 的列秩.
记1，
，
2
， n
是A
的列向量组 (m
维)，1，2，
，m是A
的行向量组 (n
维)，
则
r( A)
r
(1，
，
2
，n )
r
(1，
，
2
，m ).
7
二、向量组的秩和矩阵的秩的关系
例3 求向量组的秩与极大无关组：
1 (1,1, 4)T ,2 (1, 0, 4)T ,3 (1, 2, 4)T ,4 (1,3, 4)T .
1 1 1 1 1 1 1 1
解
A 1,2,3,4 1 0 2 3 0 1 1 2
b11
b1s
AB (1, 2,, s )=(1,2,, Nhomakorabean
线性代数5
所以 2 x , y
即
2
4 x , x y , y 0
（５．１）
x , y
2
x , x y , y
上式被称为许瓦兹（Schwarz）不等式.
西安建大
二．正交向量组与正交化方法
１．正交向量组
１．正交向量组
当 x
y 0 时，定义向量
cos
２．施密特正交化方法
西安建大
三．正交矩阵与正交变化
1. 正交矩阵 定义５．２ 定理５．３
1.正交矩阵
2.正交变换
如果 n阶方阵 A 满足 AT A 则称 A 为正交矩阵．
I
如果 A , B均为 n阶正交矩阵，
T
1
那么：⑴ A1 AT ⑵ A 即 A 为正交矩阵
1 A A ⑶ 2 A A 为 2n 阶正交矩阵
量两两正交，从而这 n 个向量就构成了向量空 间 R n的一组正交基．
西安建大
例５．１
T 已知 R 3的一个向量 1 1 ,1 ,1， 求 R 3的一组正交基． T T 解：求 2 x21 , x22 , x23 ，使 1 2 0
即： x21 x22 x23 0
bi ( i 1 ,2 , , r ) 再取 i bi
显然 1 , 2 , , r为正交规范化的向量组， 且与 1 , 2 , , r 等价．
西安建大
T T T 例5.2：已知 1 1 ,1 ,1 , 2 1, 2 ,1 , 3 1 ,1 ,2
西安建大
定义５．１
设n 维向量 1 , 2 , , r是向量空间 V ( V R n )的一组正交基，如果它们均为单位向 量，则称 1 , 2 , , r 为V 的一组正交规范基 或标准正交基．
高等代数 讲义 第六章
则称σ是M到M´的一个单射（或称σ为1—1的）；
3）若σ既是单射，又是满射，则称σ为双射, （或称σ为 1—1对应）
§6.1 集合 映射
☆集合的表示方法一般有两种：描述法、列举法 描述法：给出这个集合的元素所具有的特征性质.
M＝｛x | x具有性质P｝ 列举法：把构成集合的全部元素一一列举出来.
M＝｛a1，a2，…，an｝
例1 M = {( x, y) x2 + y2 = 4, x, y ∈ R} 例2 N＝ {0,1, 2, 3,LL}， 2Z＝ {0, ±2,±4,±6,LL} 例3 M = { x x2 − 1 = 0, x ∈ R} = {−1,1}
A U B ⊆ B. 又因 B ⊆ A U B，∴ A U B = B．
§6.1 集合 映射
二、映射
1、定义
设M、M´是给定的两个非空集合，如果有 一个对 应法则σ，通过这个法则σ对于M中的每一个元素a， 都有M´中一个唯一确定的元素a´与它对应, 则称 σ为
M到M´的一个映射，记作 :σ : M → M'或 M ⎯σ⎯→M' 称 a´为 a 在映射σ下的象，而 a´ 称为a在映射σ下的 原象，记作σ(a)＝a´ 或 σ : a a a′.
又对∀a ∈ R+，存在
x
=
log
a 2
∈
R
，使
σ
(log
a 2
)
=
2log
a 2
=a
考研线性代数讲义及其答案
例 4 设 A, B, I 为同阶矩阵，下列命题哪些是正确的？ (1) ( A + B ) 2 = A2 + 2 AB + B 2 不正确 正确 正确
(2) ( A + λ I )3 = A3 + 3λ A2 + 3λ 2 A + λ 3 I ( λ 为数)
(3)若 A, B 可交换，则 ( A + B ) 与 ( A − B ) 相乘也可交换. (4) ( AB ) 2 = A2 B 2 当且仅当 AB = BA
也即 ( A − E ) ⋅
2012 届普鸣学员个性化学习方案 例 11 下列矩阵 A, B 是否可逆？若可逆，求其逆矩阵，其中
⎛ 3 2 1⎞ ⎛ b1 ⎜ ⎟ A = ⎜ 1 1 1⎟ , B = ⎜ b2 ⎜ ⎜ 1 0 1⎟ ⎜ ⎝ ⎠ ⎝
⎞ ⎟ ⎟ b3 ⎟ ⎠
解： A = 2 ≠ 0 ，故 A 可逆，记 A = ( aij )3×3 ，各元素的代数余子式分别为
答案： An = ( −8) n −1 A
⎛λ ⎜ 例9 A= ⎜ ⎜ ⎝
⎞ n λ 1⎟ ⎟ ，求 A λ⎟ ⎠
1
⎛λ 1 ⎞ ⎛0 1 ⎞ ⎛0 1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 解： A = λ 1 ⎟ = λE + ⎜ 0 1 ⎟ ，记 B = ⎜ 0 1⎟ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ λ⎟ 0⎟ 0⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛0 0 1⎞ ⎛0 0 0⎞ ⎜ ⎟， 3 ⎜ ⎟ B =⎜ 0 0⎟ B = ⎜ 0 0⎟ ⎜ ⎜ 0⎟ 0⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
例 4 设行列式
⋯ ⋯
⋱ ⋮ ⋯ an
, ai ≠ 0, i = 1, 2,⋯ , n
1 1 a1 − − ⋯ − ⋯ 1 a2 an ⋯ 0 0 = ⋱ ⋮ ⋮ ⋯ an 0
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a
3
b3
c3
d
3
5
则
0 1 0 0 a b c d
AB
0
0
1
0
a1
b1
c1
d
1
0 0 0 1 a2 b2 c2 d 2
0
0
0
0
a
3
b3
c3
d
3
a1 b1 c1 d 1
a
2
b2
c2
d
2
a3 b3 c3 d 3
0
0
0
0
6
a b c d 0 1 0 0
BA
字母a,b,x,y,…表示.
例如, ai (ai1 ai2
b1 x1
ain),bb2
,
xx2
bm
xn
等.
12
例9. 在线性方程组
a11x1a12x2 a21x1a22x2 am1x1am2x2
a1nxn b1 a2nxn b2
amnxn bm
(2.7)
令 a11 a12 Aa21 a22
15
2 x
x1
11
1
2
x x
2 2
1 1
1 1
(1) (2)
2 x
x1
12
2
2
x x
2 2
2 2
2 4
(3) (4)
分别解(1),(2)和(3),(4)两个方程组得
x11=1, x211, x12=0, x22=2 所以
X
1
1
0 2
.
16
矩阵乘法有下列性质(设下列矩阵都可以 进行有关运算): (1) (AB)C=A(BC) (2) (A+B)C=AC+BC (3) C(A+B)=CA+CB (4) k(AB)=(kA)B=A(kB)
am1 am2
a1n x1 b1
a2n
,xx2,bb2
amn xn bm
方程组可以表示为矩阵形式Ax=b.
13
例 10. 解矩阵方程
2
1
1 1
2
Байду номын сангаас
X
1
2 4
,X
为二阶矩阵.
解:
设X
x11 x21
x12
x22
由题设, 有
2
1
1 x11
2
x21
x12 x22
0
0
0
0
0
a3
b3
c3
a1=0, b1=a, c1=b, d1=c a2=0, b2=a1=0, c2=b1=a, d2=c1=b a3=0, b3=a2=0, c3=b2=0, d3=c2=a
8
a1=0, b1=a, c1=b, d1=c a2=0, b2=a1=0, c2=b1=a, d2=c1=b a3=0, b3=a2=0, c3=b2=0, d3=c2=a
a11b11a21b12 a11b11a22b22 a12b21a b 21 12 a12b21a22b22 a11b12a21b11 a11b12a22b21 a12b22a21b11 a12b22a22b21
a11a22 (b11b22 b12b21 ) a12a21 (b11b22 b12b21 ) (a11a22 a12a21 )(b11b22 b12b21 ) | A | | B |
a12b21 a22b21
a11b12 a12b22
a21b12
a22b22
20
| AB | a11b11 a12b21 a11b12 a12b22 a b21 11 a22b21 a21b12 a22b22
(a11b11 a12b21 )(a21b12 a22b22 ) (a11b12 a12b22 )(a21b11 a22b21 )
a1
b1
c1
d
1
0
0
1
0
a2 b2 c2 d 2 0 0 0 1
a
3
b3
c3
d
3
0
0
0
0
0 a b c
0
a1
b1
c1
0 a2 b2 c2
0
a3
b3
c
3
7
由AB=BA, 即
a1 b1 c1 d1 0 a b c
a2
b2
c2
d2
0
a1
b1
c1
a3 b3 c3 d3 0 a2 b2 c2
a b c d a b c d
Ba1
b1
c1
d1
0
a
b
c
a2 b2 c2 d2 0 0 a b
a3
b3
c3
d3
0
0
0
a
其中a,b,c,d为任意数.
9
例 8.
若
A
1 0
2 3
,
B
1 0
0 4 , C
1
0
1
0
,
有:
AC
1
0
21
3
0
1 0
1 0
1
0
1 01 1 1 1
线性代数第6讲
1
例 6.
若
A
1 0
1 1
1
,
B
0
2 1
,求
AB
与
BA.
解:
AB
1 0
1 1 1 0
2 1
1 0
3
1
1 21 1 1 3
BA
0
1
0
1
0
1
显见
AB=BA
2
解: 显然与矩阵A可交换的矩阵必为4阶 矩阵, 设为
a b c d
B
a1
b1
c1
d1
a2 b2 c2 d 2
m n
l k 1
bik ckj
m n
AC BC
同理可证(1),(3),(4)成立.
18
例11. 证明: 如果CA=AC, CB=BC, 则有 (A+B)C=C(A+B), (AB)C=C(AB). 证: 因为CA=AC, CB=BC 故有 (A+B)C=AC+BC=CA+CB
=C(A+B) (AB)C=A(BC)=A(CB)=(AC)B
=(CA)B=C(AB)
19
关于矩阵乘法还有下面一个重要性质: 同
阶方阵A与B的乘积的行列式, 等于矩阵A
的行列式与矩阵B的行列式的乘积. 即
|AB|=|A|•|B|
我们略去证明, 只用二阶矩阵为例加以验
证. 设 Aaa1211
a12 a22
,
B
bb1211
b12
b22
AB
aa1211bb1111
17
证: 现在证明(2), (A+B)C=AC+BC
设A=(aik)ml, B=(bik)ml, C=(ckj)ln 则 (A+B)C=((aik)ml+(bik)ml)(ckj)ln
=(aik+bik)ml(ckj)ln
l k 1
(aik
bik
)ckj
m n
l k 1
aik ckj
1 1
2
4
,
14
2 1x11 1 2x21
xx1 22 211
2 4,
2x11x21 x112x21
2 x1 x 212 2x x2 22 2 112 4 ,
即
2 x
x1
11
1
2
x21 x21
1 1
(1) (2)
2 x
x1
12
2
2
x x
2 2
2 2
2 4
(3) (4)
BC
0
4
0
0
0
0
即 AC=BC, 但 AB.
可以看出矩阵乘法也不满足消去律.
10
既然矩阵乘法不满足交换律, 因之矩阵相 乘时必须注意顺序, AX称为用X右乘A, XA称为用X左乘A.
11
一般矩阵用大写黑体字母A,B,X,Y,…表
示, 但一行n列或n行一列的矩阵, 为了与
后面章节的符号一致, 有时也用小写黑体