徐州市2014届高三第三次质量检测数学试题含答案
徐州市第一中学(徐州市)2014届高三考前模拟数学试题word版 含答案
徐州市2014届高考信息卷数学Ⅰ一、填空题：本大题共14题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题纸相应位置上．．．．．．．．． 1．设集合{}2340A x x x =--≤，{}04B x x =≤≤，则A B =ð ▲ ． 【答案】[)1,0-2．复数i (1i)z =⋅+（i 为虚数单位）在复平面上对应的点位于第 ▲ 象限． 【答案】二 ．4．甲、乙两个学习小组各有10名学生，他们在一次数学测验中成绩的茎叶图如图所示，则在这次测验中成绩较好的是 ▲ 组．．【答案】甲5．已知某算法的伪代码如图所示，则可算得(1)(e)f f -+的值为 ▲ ．注 意 事 项 考生在答题前认真阅读本注意事项及各题答题要求 1.本试卷共4页，包含填空题(第1题～第14题)、解答题(第15题～第20题)两部分。
本试卷满分160分，考试时间为120分钟。
考试结束后，请将本试卷和答题纸一并交回。
2.答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在试卷及答题纸上。
3.作答时必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题纸上的指定位置，在其它位置作答一律无效。
4.如有作图需要，可用2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚。
甲乙5678984745669023948664310（第4题图）【知识点】伪代码．6．一个袋中装有2只红球、3只绿球，从中随机抽取3只球，则恰有1只红球的 概率是 ▲ ． 【答案】357．已知正三棱柱111ABC A B C -的底面边长与侧棱长相等．蚂蚁甲从A 点沿表面经过棱1BB ，1CC 爬到点1A ，蚂蚁乙从B 点沿表面经过棱1CC 爬到点1A ．如图，设PAB α∠=，QBC β∠=，若两只蚂蚁各自爬过的路程最短，则αβ+= ▲ ．【答案】4π 8．已知函数212,1,()e , 1x x x f x x -⎧-≤⎪=⎨>⎪⎩，则不等式()1f x >的解集是 ▲ ．【答案】(1,1)(1,)-+∞ 9．若过点(3,4)P 的直线与圆22(2)(2)4x y -+-=相切，且与直线10ax y -+=垂直，则实数a 的值为 ▲ ． 【答案】3410．已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（A ，ω，ϕ是常数，0A >，0ω>）的部分图象如图所示．若()1f α=，π(0,)3α∈则sin 2α= ▲ ．12．已知平面向量a ，b ，e 满足||1=e ，1⋅=a e ，2⋅=b e ， |2a ，则⋅a b 的最小值为 ▲ ． （第7题图）AB CQ R A 1 PB 1C 113．已知11(,)A x y ，22(,)B x y 12()x x >是函数3()f x x x =-图象上的两个不同点，且在A ，B 两点处的切线互相平行，则12x x 的取值范围为 ▲ ． 【答案】(1,0)-14．设等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，且11a ≥，2424a ≥，12168S ≤，则29a d -的取值范围是 ▲ ．【答案】249[8,]16 解： 由题意得1111232421128a a d a d ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩ 作出()1,d a 的可行域又令29a d t -=，则()2218416a d d t d t =-+=-+-T 的几何意义即为二次函数218a d d t =-+的纵截距，所以当二次函数218a d d t =-+过A （1,1）时，t 取得最小值8；当二次函数218a d d t =-+与直线121128a d +=，t 取得最大值24916. 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（本小题满分14分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，向量(tan tan A C =+m ，(tan tan 1,1)A C =-n ，且//m n ．（1）求角B ；（2）若2b =，求ABC Δ的面积的最大值． 【答案】（1）3B π=（2）ABC Δ的面积的最大值为．解：（1）因为//m n，所以tan tan tan 1)A C A C +=-，所以tan tan 1tan tan A CA C+=-，即tan()A C +=， ………………………………4分所以tan tan()B A C =-+=又(0,)B π∈，所以3B π=． ………………………………7分（2）在ABC Δ中，由余弦定理有，2221cos 22a cb B ac +-==，所以224a c ac +=+，由基本不等式，222a c ac +≥，可得4ac ≤，当且仅当2a c ==时，取等，…12分所以ABC Δ的面积1sin 42S ac B ==，故ABC Δ． ………………………………14分【思路点拨】（1）先根据//m n，得到tan()A C +=，解得3B π=即 可.（2）由余弦定理得，2221cos 22a cb B ac +-==，所以224a c ac +=+，再通过基本不等式可得4ac ≤，最后得到ABC Δ的面积的最小值.16．（本小题满分14分）如图，在梯形ABCD 中，//AB CD ，AD DC CB a ===，o 60ABC ∠=．平面ACEF ⊥平面ABCD ，四边形ACEF 是矩形，AE a =，点M 在线段EF 上． （1）求证：BC ⊥平面ACEF ；（2）当FM 为何值时，//AM 平面BDE ？证明你的结论．【答案】（1）略（2）当FM =，//AM 平面BDE ． 解：（1）由题意知，ABCD 为等腰梯形，且2AB a =，AC =，所以AC BC ⊥，又平面ACEF ⊥平面ABCD ，平面ACEF 平面ABCD AC =，所以BC ⊥平面ACEF ． …………………6分（2）当FM =，//AM 平面BDE ．…………………8分 在梯形ABCD 中，设N BD AC = ，连结EN ，则:1:2CN NA =，因为FM =，EF AC ==， 所以EM AN =，又//EM AN ，所以四边形EMAN 为平行四边形，…………11分 所以//AM NE ，又NE ⊂平面BDE ，AM ⊄平面BDE ，所以//AM 平面BDE ． …………………14分M BACDE（第16题图） FNM BACDE（第16题图）F17．（本小题满分14分）第十八届省运会将于2014年9月在徐州市举办．为营造优美的环境，举办方决定在某“葫芦”形花坛中建喷泉．如图，该花坛的边界是两个半径为10米的圆弧围成，两圆心1O 、2O 之间的距离为10米．（1）如图甲，在花坛中建矩形喷泉，四个顶点A ，B ，C ，D 均在圆弧上，12O O AB ⊥于点M ．设2AO M q ?，求矩形的宽AB 为多少时，可使喷泉ABCD 的面积最大；（2）如图乙，在花坛中间铺设一条宽为2米的观赏长廊以作休闲之用，则矩形喷泉变为两个全等的等腰三角形，其中NA NB =，24NO =米．若2[,]64AO M p pq ? ，求喷泉的面积的取值范围．【答案】（1）AB =ABCD 的面积最大．（2）喷泉的面积的取值范围是40,100++（单位：平方米）． 解：（1）在直角2AO M Δ中，10sin AM θ=，210cos O M θ=，则20cos 10AD θ=+， 所以矩形ABCD 的面积20sin (20cos 10)200(2sin cos sin )S θθθθθ=+=+，………4分令()2sin cos sin f θθθθ=+，03pq <， 则2'()2cos 2cos 4cos cos 2f θθθθθ=+=+-，令'()0f θ=，得cosθ=0cos θ=，且003pq < ，列表如下：所以当0θθ=的面积最大． ………………10分（2）由（1）易得，喷泉的面积20sin (10cos 4)100sin 280sin S θθθθ=+=+，由[,]64p p q Î知，2[,]32p pq Î，所以函数()100sin 280sin g θθθ=+是单调增函数，所以40,100S∈++． (13)分答：（1）矩形的宽AB =ABCD 的面积最大；（2）喷泉的面积的取值范围是40,100++（单位：平方米）． ……14分（第17题图乙）（第17题图20sin (20cos 10)200(2sin cos sin )S θθθθθ=+=+，然后利用导数求其最大值 （2）由（1）易得，喷泉的面积20sin (10cos 4)100sin 280sin S θθθθ=+=+， 然后利用函数()100sin 280sin g θθθ=+是单调增函数，求出范围. 18．（本小题满分16分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，过2F 作直线l 与椭圆C交于点M 、N ．（1）若椭圆C 的离心率为12，右准线的方程为4x =，M 为椭圆C 上顶点，直线l 交右准线于点P ，求11PM PN+的值； （2）当224a b +=时，设M 为椭圆C 上第一象限内的点，直线l 交y 轴于点Q ，11F M F Q ⊥，证明：点M 在定直线上． 【答案】（1）13（2）略解：（1）设2(,0)F c ，则21,24c a a c⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得2,1a c =⎧⎨=⎩，所以椭圆C 的方程为22143x y +=，……………………………2分则直线l的方程为1)y x =-，令4x =，可得(4,P -，联立221),143y x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，得25204x x -=，所以M ，8(,5N ， ……4分所以111518243PM PN +=+=+=． …………………………6分（2）设0000(,)(0,0)M x y x y >>，2(,0)F c ，则直线l 的方程为00()y y x c x c=--，令0x =，可得00(0,)cy Q x c--， …………………………8分由11F M F Q ⊥可知，1100001F M F Q cy y x ck k x c c--⋅=⋅=-+，整理得22200y x c =-，又222224c a b a =-=-，联立22200220022(24),14y x a x y a a ⎧=--⎪⎨+=⎪-⎩，解得2020,222a x a y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， …………………………14分 所以点M 在定直线2x y +=上． …………………………16分 19．（本小题满分16分）在数列{}n a ，{}n b 中，已知12a =，14b =，且n a ，n b -，1n a +成等差数列，n b ，n a -，1n b +也成等差数列．（1）求证：{}n n a b +是等比数列；（2）设m 是不超过100的正整数，求使1144n mn m a m a a m a ++-+=-+成立的所有数对(,)m n ． 【答案】（1）略（2）所有数对(,)m n 为(8,9)，(80,83)． 解：（1）由n a ，n b -，1n a +成等差数列可得，12n n n b a a +-=+，①由n b ，n a -，1n b +成等差数列可得，12n n n a b b +-=+， ② ①+②得，113()n n n n a b a b +++=-+，所以{}n n a b +是以6为首项、3-为公比的等比数列． ……………………4分 （2）由（1）知，16(3)n n n a b -+=⨯-，③ ①-②得，112n n n n a b a b ++-=-=-， ④③+④得，116(3)23(3)12n n n a --⨯--==⨯--， ……………………8分代入1144n m n m a m a a m a ++-+=-+，得113(3)13(3)33(3)13(3)3n m n mm m --⨯---⨯-+=⨯---⨯-+， 所以11[3(3)1][3(3)3][3(3)1][3(3)3]n m n m m m --⨯---⨯-+=⨯---⨯-+， 整理得，(1)(3)3(3)0m n m +-+⨯-=，所以11(3)n m m -++=-， ………………………………12分 由m 是不超过100的正整数，可得12(3)101n m -+-≤≤， 所以12n m -+=或4，当12n m -+=时，19m +=，此时8m =，则9n =，符合题意； 当14n m -+=时，181m +=，此时80m =，则83n =，符合题意．故使1144n m n m a m a a m a ++-+=-+成立的所有数对(,)m n 为(8,9)，(80,83)． …………16分20．（本小题满分16分）已知函数()ln ()f x a x x c x c =+--，0a <，0c >．（1）当34a =-，14c =时，求函数()f x 的单调区间；（2）当12a c =+时，若1()4f x ≥对(,)x c ∈+∞恒成立，求实数a 的取值范围；（3）设函数()f x 的图象在点11(,())P x f x 、22(,())Q x f x 两处的切线分别为1l 、2l．若1x ，2x c =，且12l l ⊥，求实数c 的最小值． 【答案】（1）函数()f x 的单调减区间是3(0,)4，单调增区间是3(,)4+∞．（2）实数a 的取值范围是(2,1]--．(3) 实数c． 解：函数22ln (),,()ln (),a x x c x c f x a x x c x c⎧+-⎪=⎨--<⎪⎩≥，求导得2222,,'()22,x cx ax c xf x x cx a x c x ⎧-+⎪⎪=⎨-++⎪<⎪⎩≥．（1）当34a =-，14c =时，228231,,44'()8231,44x x x x f x x x x x ⎧--⎪⎪=⎨-+-⎪<⎪⎩≥， 若14x <，则2823'()04x x f x x -+-=<恒成立，所以()f x 在1(0,)4上单调减；若14x ≥，则(21)(43)'()4x x f x x +-=，令'()0f x =，解得34x =或12x =-（舍），当1344x <≤时，'()0f x <，()f x 在13[,)44上单调减； 当34x >时，'()0f x >，()f x 在3(,)4+∞上单调增．所以函数()f x 的单调减区间是3(0,)4，单调增区间是3(,)4+∞． ………………4分（2）当x c >，12a c =+时，(1)(2)'()x x a f x x--=，而112a c =+<，所以当1c x <<时，'()0f x <，()f x 在(,1)c 上单调减； 当1x >时，'()0f x >，()f x 在(1,)+∞上单调增．所以函数()f x 在(,)c +∞上的最小值为2(1)4a f =，所以2144a ≥恒成立，解得1a ≤-或1a ≥，又由102ac =+>，得2a >-，所以实数a 的取值范围是(2,1]--． ……………9分（3）由12l l ⊥知，'()1f f c =-，而'()af c c=，则c f a =-，c ≥，则2f c ==-，所以2c c a -=-， 解得12a =，不符合题意； ……………………………11分c <，则2c f c a ==+=-，整理得，c =，由0c >得，12a <-， …………………………13分t =，则28t a =-，2t >，所以232282814t tt c t t -⋅==--+， 设32()28tg t t =-，则22222(12)'()(28)t t g t t -=-，当2t <<时，'()0g t <，()g t在上单调减；当t >'()0g t >，()g t 在)+∞上单调增．所以，函数()g t 的最小值为g =c ． ……16分徐州市2014届高考信息卷数学Ⅱ（附加题）21.【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在答题纸指．．．．．．．．．．．．．．定区域内作答．．．．．．，若多做，则按作答的前两题评分. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A ．选修4-1：几何证明选讲（本小题满分10分）在ABC Δ中，23AB AC =，BM 是ABC ∠的平分线，AMC Δ的外接圆交BC 边于点N ．求证：32CN AM =．【答案】略解：在ABC Δ中，因为BM 是ABC ∠的平分线，所以AB AM BC MC =． 又23AB AC =，所以23AC AMBC MC=． ① …………………… 4分 因为CA 与CB 是圆O 过同一点C 的弦，所以，CM CA CN CB ⋅=⋅，即CA CNCB CM=． ② ……………………8分 由①、②可知 23CN AM =，所以32CN AM =． ……………………10分 B ．选修4-2：矩阵与变换（本小题满分10分）已知矩阵13a b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M 的一个特征值13λ=及对应的一个特征向量111⎡⎤=⎢⎥⎣⎦e ． （1）求,a b 的值；（2）求曲线22:4131C x xy y ++=在M 对应的变换作用下的新曲线的方程．【答案】（1）2,a b =⎧⎨=⎩（2） 221x y +=解：（1）由已知13a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦11⎡⎤⎢⎥⎣⎦133=13⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以13,33a b +=⎧⎨+=⎩，解得2,0a b =⎧⎨=⎩．…………5分 （2）设曲线C 上任一点(,)P x y 在M 对应的变换作用下对应点(,)P x y '''，则1203x x y y '⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即2,3x x y y y '=+⎧⎨'=⎩，C （第21-A 题图）解得2,313x x y y y ⎧''=-⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩，代入曲线C 得221x y ''+=．即曲线C 在M 对应的变换作用下的新曲线的方程是221x y +=．……………10分C ．选修4-4:坐标系与参数方程（本小题满分10分）在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．直线l 的参数方程为22,x t y t =-⎧⎨=⎩（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=．若直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，试求线段AB 的垂直平分线的极坐标方程． 【答案】2cos sin 20ρθρθ--=解：直线l 的普通方程为220x y +-=，曲线C 的直角坐标方程为22(1)1x y -+=， ……………………5分 所以线段AB 的垂直平分线是过圆心(1,0)C 且与直线220x y +-=垂直的直线， 其方程为220x y --=，故线段AB 的垂直平分线的极坐标方程为2cos sin 20ρθρθ--=．…………10分 D ．选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分）已知,,a b c 均为正数，且243a b c ++=，求111111a b c +++++的最小值，并指出取得最小值时,,a b c 的值．【答案】a b c =解：因为243a b c ++=，所以(1)2(1)4(1)10a b c +++++=，因为,,a b c为正数，所以由柯西不等式得2111[(1)2(1)4(1)]()(12)111a b c a b c +++++⋅++++++≥，当且仅当222(1)2(1)4(1)a b c +=+=+等式成立．所以111111a b c +++++， 所以111111a b c +++++ ……………………8分 此时a b c = ……………………10分 【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答题纸指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22．（本小题满分10分）徐州古称彭城，三面环山，历来是兵家必争之地，拥有云龙山、户部山、子房山和九里山等四大名山．一位游客来徐州游览，已知该游客游览云龙山的概率为23，游览户部山、子房山和九里山的概率都是12，且该游客是否游览这四座山相互独立．（1）求该游客至多游览一座山的概率；（2）用随机变量X 表示该游客游览的山数，求X 的概率分布和数学期望()E X ．【答案】（1）14（2）136解：（1）记“该游客游览i 座山”为事件i A ，0,1i =，则()021111(1)(1)(1)(1)322224P A =-⨯-⨯-⨯-=，()31213212115(1)(1)(1)3232224P A C =⨯-+-⨯⨯⨯-=， 所以该游客至多游览一座山的概率为()()0115124244P A P A +=+=． ………4分 （2）随机变量X 的可能取值为0，1，2，3，4，()()01024P X P A ===，()()15124P X P A ===， ()12223321121132(1)(1)()(1)3223228P X C C ==⨯⨯⨯-+-⨯⨯⨯-=，()2233332112173()(1)(1)()3223224P X C C ==⨯⨯⨯-+-⨯⨯=， ()32114()3212P X ==⨯=，所以X故()0123424242424246E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． ……………………10分23.（本小题满分10分）已知数列{}n a 的各项均为正整数，且11a =，24a =，n a=，2n ≥，*n ∈N ． （1）求3a ，4a 的值；（2）求证：对一切正整数n ，121n n a a ++是完全平方数． 【答案】（1）315a =，456a = （2）略 解：（1）由2a =315a =，由3a 得，456a =． …………………………2分 （2）21221219()a a a a +==-，2233221121()a a a a +==-，23443211681()a a a a +==-， 猜想：21121()n n n n a a a a +++=-．下面用数学归纳法证明． ……………………5分 证明：①当1,2n =时，已证；②假设当*(2,)n k k k =≥∈N 时，21121()k k k k a a a a +++=-成立， 那么，当1n k =+时，由1k a +=2121k k k aa a ++-=，即2121k k ka a a ++-=， 又由21121()k k k k a a a a +++=-知，221114k k k k a a a a ++-=-， 所以212144k k k k k k ka a a a a a a +++-==-，所以222122121441k k k k k k k k a a a a a a a a +++++++=-=-+， 所以22112()21k k k k a a a a ++++-=+，即当1n k =+时，命题也成立．综上可得，对一切正整数n ，121n n a a ++是完全平方数．………………………10分【思路点拨】（1）把11a =，24a =，代入n a 即可. （2）先猜想：21121()n n n n a a a a +++=-．再用数学归纳法证明即可．。
江苏省徐州市届高三数学第三次质量检测
徐州市2010～2011学年度高三第三次质量检测数 学 Ⅰ一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．． 1.复数(1)(z i i i =-为虚数单位）的共轭复数为 ▲ ；答案：1i -。
2.在空间直角坐标系O xyz -中，点(4,3,7)P -关于坐标平面yOz 的对称点的坐标为 ▲ ； 答案：(4,3,7)--。
3.已知函数22,0,(),0x x x f x ax bx x ⎧+≤⎪=⎨+>⎪⎩为奇函数，则a b += ▲ ；解析：0 解题思路：利用奇函数的定义()()f x f x -=-求出,a b 。
当0x <时，则0x ->，∴2()f x x x =+，2()f x ax bx -=-，而()()f x f x -=-， 即22x x ax bx --=-，∴1,1a b =-=，故0a b +=。
4.在某个容量为300的样本的频率分布直方图中，共有9个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他8个小长方形面积和的15，则中间一组的频数为 ▲ ； 解析：50 解题思路：在直方图中，小长方形的面积等于这组数的频率，小长方形的面积之和为1.设中间一个小长方形面积为x ，则1(1)5x x =-，解得16x =， ∴中间一组的频数为1300506⨯=5.如图是一个算法的程序框图，其输出的结果是 ▲ ； 解析：16 解题思路：按照流程图进行推算。
1,12,24,316,4a b b a b a b a ==→==→==→== 6.若1cos 3α=，则c o s (2)s in ()s in ()ta n (3)2παπαπαπα-⋅++⋅-的值为 ▲ ；解析：13解题思路：利用诱导公式化简再求值。
cos(2)sin()sin()tan(3)2παπαπαπα-⋅++⋅-cos (sin )1cos cos (tan )3ααααα⋅-===⋅-。
徐州市高三三模考试数学试题及答案
徐州市2014届高三年级第三次模拟考试数 学 2014.05一、填空题：本大题共14题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题纸相应位置上．．．．．．．．． 1．已知集合{}3,2a M =，{},N a b =．若{}4M N =I ，则=M N U ▲ ． 2．已知复数3i1iz -=+（i 是虚数单位），则z 的虚部是 ▲ ． 3．一个正方体玩具的6个面分别标有数字1，2，2，3，3，3．若连续抛掷该玩具两次，则向上一面数字之和为5的概率为 ▲ ．4．从高三年级随机抽取100名学生，将他们的某次考试数学成绩绘制成频率分布直方图．由图中数据可知成绩在[130，140)内的学生人数为 ▲ ．5．执行如图所示算法的伪代码，则输出S 的值为 ▲ ．6．已知圆柱的底面半径为1，母线长与底面的直径相等，则该圆柱的表面积为 ▲ ．7．已知点(1,0)P 到双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的一条渐近线的距离为12，则双曲线C的离心率为 ▲ ．8．在等比数列{}n a 中，已知11a =，48a =．设3n S 为该数列的前3n 项和，n T 为数列{}3n a 的前n 项和．若3n n S tT =，则实数t 的值为 ▲ ．（第5题图）a （第4题图）注 意 事 项 考生在答题前认真阅读本注意事项及各题答题要求 1.本试卷共4页，包含填空题(第1题～第14题)、解答题(第15题～第20题)两部分。
本试卷满分160分，考试时间为120分钟。
考试结束后，请将本试卷和答题纸一并交回。
2.答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在试卷及答题纸上。
3.作答时必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题纸上的指定位置，在其它位置作答一律无效。
4.如有作图需要，可用2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚。
9．已知实数x ,y 满足条件0,0,1,x y x y x -⎧⎪+⎨⎪⎩≥≥≤则1()2x y -的最大值为 ▲ ．10．在平面直角坐标系xOy 中，直线1y =与函数π3sin (010)2y x x =≤≤的图象所有交点的横坐标之和为 ▲ ． 11．已知111(,)P x y ，222(,)P x y 是以原点O 为圆心的单位圆上的两点，12POP θ∠=（θ为钝角）．若π3sin()45θ+=，则1212x x y y +的值为 ▲ ．12．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≤时，2()3f x x x =--，则不等式(1)4f x x ->-+的解集是 ▲ ．13．如图，在△ABC 中，已知π3BAC ∠=，2AB =，3AC =，2DC BD =u u u r u u u r ，3AE ED =u u u r u u u r ，则BE =u u u r▲ ．14．已知函数1()()e x af x a x=-∈R ．若存在实数m ，n ， 使得()0f x ≥的解集恰为[],m n ，则a 的取值范围是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（本小题满分14分）在△ABC 中，已知π6C =，向量(sin ,1)A =m ，(1,cos )B =n ，且⊥m n ． （1）求A 的值；（2）若点D 在边BC 上，且3BD BC =u u u r u u u r，AD =ABC 的面积．16．（本小题满分14分）如图，在五面体ABCDEF 中，已知DE ⊥平面ABCD ，//AD BC ，o 60BAD ∠=，2AB =，1DE EF ==．（1）求证：//BC EF ；（2）求三棱锥B DEF -的体积．（第16题图）FACDE B（第13题图） A CEB17．（本小题满分14分）根据统计资料，某工艺品厂的日产量最多不超过20件，每日产品废品率p 与日产量x (件)之间近似地满足关系式*2*219,,1560 1020,540x x xp x x x ⎧∈⎪⎪-=⎨+⎪∈⎪⎩N N , ≤≤, ≤≤(日产品废品率=日废品量日产量×100％)．已知每生产一件正品可赢利2千元，而生产一件废品则亏损1千元．（该车间的日利润y =日正品赢利额-日废品亏损额）（1）将该车间日利润y (千元)表示为日产量x (件)的函数；（2）当该车间的日产量为多少件时，日利润最大？最大日利润是几千元？18．（本小题满分16分）如图，已知1A ，2A ，1B ，2B 分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的四个顶点，△112A B B 是一个边长为2的等边三角形，其外接圆为圆M ．（1）求椭圆C 及圆M 的方程；（2）若点D 是圆M 劣弧¼12A B 上一动点（点D 异于端点1A ，2B ），直线1B D 分别交线段12A B ，椭圆C 于点E ，G ，直线2B G 与11A B 交于点F ． （i ）求11GB EB 的最大值； （ii ）试问：E ，F 两点的横坐标之和是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．19．（本小题满分16分）已知数列{}n a ，{}n b 满足13a =，2n n a b =，12()1n n n nb a b a +=-+，*n ∈N ． （1）求证：数列1{}nb 是等差数列，并求数列{}n b 的通项公式；（2）设数列{}n c 满足25n n c a =-，对于任意给定的正整数p ，是否存在正整数q ，r (p q r <<)，使得1p c ，1q c ，1rc 成等差数列？若存在，试用p 表示q ，r ；若不存在，说明理由．20．（本小题满分16分）已知函数2()(12)ln ()f x ax a x x a =+--∈R ． （1）当0a >时，求函数()f x 的单调增区间；（2）当0a <时，求函数()f x 在区间1[,1]2上的最小值；（3）记函数()y f x =图象为曲线C ，设点11(,)A x y ，22(,)B x y 是曲线C 上不同的两点，点M 为线段AB 的中点，过点M 作x 轴的垂线交曲线C 于点N ．试问：曲线C 在点N 处的切线是否平行于直线AB ？并说明理由．数学Ⅱ（附加题）21.【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在答题卡指定区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．，若多做，则按作答的前两题评分. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A ．选修4-1：几何证明选讲（本小题满分10分）如图，⊙O 的直径AB 的延长线与弦CD 的延长线相交于点P ，E 为⊙O 上一点，AE =AC ， DE 交AB 于点F ．求证：△PDF ∽△POC ．B ．选修4-2：矩阵与变换（本小题满分10分）已知矩阵12c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A （c ，d 为实数）．若矩阵A 属于特征值2，3的一个特征向量分别为21⎡⎤⎢⎥⎣⎦，11⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求矩阵A 的逆矩阵1-A ．C ．选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）在极坐标系中，已知圆A 的圆心为(4,0)，半径为4，点M 为圆A 上异于极点O 的动点，求弦OM 中点的轨迹的极坐标方程．D ．选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分）已知x ，y ，z ∈R ，且2380x y z +++=．求证：222(1)(2)(3)14x y z -+++-≥．（第21-A 题）A B P F OED C· 注 意 事 项考生在答题前认真阅读本注意事项及各题答题要求1.本试卷共2页，均为非选择题(第21题～第23题)。
江苏省徐州市2012届高三第三次质量检测--数学(扫描版)
徐州市2011-2012学年度高三第三次质量检测数学Ⅰ试题答案及评分标准一、填空题：1．{}1,52．23．80 4．7 5．146．247-7．110 8．3-910．1 11．144 12．(4,)+∞ 13．5614．(-∞二、解答题：15. ⑴连接1AC ,因为M 为1A B 与1AB 的交点，所以M 是1AB 的中点,又N 为棱11B C 的中点.所以MN ∥1AC ，………………………４分 又因为1AC ⊂平面11AA C C ，MN ⊄平面11AA C C ,所以MN ∥平面11AA C C 。
…………………………6分 ⑵ 因为1AC AA =，所以四边形11AA C C 是正方形，所以11ACA C⊥，又因为111ABC A B C -是直三棱柱, 所以1C C ⊥平面ABC ，因为BC ⊂平面ABC ,所以1C C ⊥B C．又因为90ACB ∠=，所以AC BC ⊥，因为1C C AC C=，所以BC ⊥平面11AA C C ，所以1BC AC ⊥,又1AC ⊂平面11AA C C，………………………………………………8分因为MN ∥1AC ，所以1MN A C ⊥，MN BC ⊥， ………………………………10分 又1BCAC C =，所以MN ⊥平面1A BC。
……………………………………………14分 16．(1）因为(2)cos cos a c B b C -= ,由正弦定理，得(2sin sin )cos sin cos A C B B C -=, …………3分 即2sin cos sin cos sin cos sin()sin A B C B B C C B A =+=+=。
在△ABC 中，0πA <<,sin 0A >,所以1cos 2B = 。
……………………………6分又因为0πB <<,故π3B =。
…………………………………………………… 7分（第15题图）ABC A 1B1C1MN⑵ 因为△ABC 的面积为，所以1sin 2ac B =，所以3ac =． ……………10分因为b2222cos b a c ac B =+-，所以22a c ac +-＝3,即2()3a c ac +-＝3． 所以2()a c +＝12,所以a ＋c ＝……………………………………………14分 (1)自下而上三个圆柱的底面半径分别为：123r r r == ………………………………3分它们的高均为h ，所以体积和 222123()V f h r h r h r h ==π+π+π222(1)(14)(19)h h h h ⎡⎤=π-+-+-⎣⎦3(314)h h =π- 6分因为031h <<，所以h 的取值范围是1(0)3，; ………………………………………7分⑵ 由()f h 3(314)h h =π-得()f h '2(342)h =π-23(114)h =π- ………………9分又1(0)3h ∈，，所以(0h ∈时,()0f h '>;1)3h ∈，时,()0f h '>．11分所以()f h 在(0上为增函数,在1)3，上为减函数，所以h =时，()f h 取最大值，()f h 的最大值为f = ………13分答：三个圆柱体积和V的最大值为7． …………………………………………14分18．(1）由已知BF BE =，所以4BC BF BC BE CE +=+==，所以点B 的轨迹是以C ,F 为焦点，长轴为4的椭圆，所以B 点的轨迹方程为22143x y +=； ……………………………………………4分⑵当点D 位于y 轴的正半轴上时,因为D 是线段EF 的中点，O 为线段CF 的中点,所以CE ∥OD ,且2CE OD =，所以E D ，的坐标分别为(14)-，和(02)，, ………………………………………7分因为PQ 是线段EF 的垂直平分线，所以直线PQ 的方程为122y x =+,即直线PQ 的方程为240x y -+=． ……………………………………10分⑶设点E G ，的坐标分别为11()x y ，和22()x y ，,则点M 的坐标为1212()22x x y y ++，，因为点E G ，均在圆C 上，且FG FE ⊥，所以2211(1)16x y ++= ① 2222(1)16x y ++= ②1212(1)(1)0x x y y --+=③ …………………………………………13分所以22111152x y x +=-,22222152x y x +=-，1212121x x y y x x +=+-．所以22212121[()()]4MO x x y y =+++2222112212121[()()2()]4x y x y x x y y =+++++12121[1521522(1)]74x x x x =-+-++-=，即M 点到坐标原点O 的距离为定值，且定值为16分 19．（1)因为()()f x f x '≤，所以2212(1)x x a x -+-≤,又因为21x --≤≤,所以2212(1)x x a x -+-≥在[2,1]x ∈--时恒成立，因为221132(1)22x x x x -+-=-≤， 所以32a ≥．……………………………………………………………………………4分⑵ 因为()()f x f x '=,所以2212x ax x a ++=+,所以22()210x a x a a +-++-=，则1x a a +=+或1x a a +=-． ……………7分 ①当1a <-时，1x a a +=-,所以1x =-或x =12a -； ②当11a -≤≤时，1x a a +=-或1x a a +=+， 所以1x =±或x =12a -或(12)x a =-+；③当1a >时，1x a a +=+，所以1x =或(12)x a =-+．…………………………10分⑶因为()()(1)[(12)]f x f x x x a '-=---,(),()(),()(),()(),f x f x f xg x f x f x f x ''⎧=⎨'<⎩≥ ①若12a -≥,则[]2,4x ∈时，()()f x f x '≥，所以()()22g x f x x a '==+，从而()g x 的最小值为(2)24g a =+； ………………………………12分②若32a <-，则[]2,4x ∈时，()()f x f x '<,所以2()()21g x f x xax ==++,当322a -<-≤时，()g x 的最小值为(2)45g a =+，当42a -<<-时，()g x 的最小值为2()1g a a -=-， 当4a -≤时，()g x 的最小值为(4)817g a =+．…………………………………14分③若3122a -<-≤，则[]2,4x ∈时，221,[2,12)()22,[12,4]x ax x a g x x a x a ⎧++∈-=⎨+∈-⎩ 当[2,12)x a ∈-时，()g x 最小值为(2)45g a =+；当[12,4]x a ∈-时，()g x 最小值为(12)22g a a -=-． 因为3122a -<-≤,(45)(22)630a a a +--=+<,所以()g x 最小值为45a +．综上所述，()2min817, 4,1, 42,145, 2,2124, 2a a a a g x a a a a +-⎧⎪--<<-⎪⎪⎡⎤=⎨+-<-⎣⎦⎪⎪+-⎪⎩≤≤≥ (16)分20．⑴因为{}na 为等差数列，设公差为d ，由2nn aS An Bn C +=++,得2111(1)(1)2a n d na n n d An Bn C +-++-=++，即2111()()()022dd A na B n a d C -++-+--=对任意正整数n 都成立．所以1110,210,20,d A a d B a d C ⎧-=⎪⎪⎪+-=⎨⎪--=⎪⎪⎩所以30A B C -+=． ………………………………4分⑵ 因为213122nna S n n +=--+，所以112a =-，当2n ≥时，21113(1)(1)122n n a S n n --+=----+，所以121nn a a n --=--，即12()1nn a n a n -+=+-，所以11(2)2nn b bn -=≥，而11112b a =+=，所以数列{}nb 是首项为12,公比为12的等比数列，所以1()2nn b =． …………… 7分于是2nnn nb=．所以231232222nnn T=++++①，2341112322222nn n T=+++++，②由①-②， 得23111111[1()]1111112221()11222222222212n n nn n n n n n n n n T-=-=-=--=--+++++++++．所以222nnnT =-+．…………………………………………………………………10分⑶ 因为{}na 是首项为1的等差数列，由⑴知，公差1d =，所以nan=．(1)111111(1)(1)1n n n n n n n n ++==+=+-+++，……………………………14分所以111111111(1)(1)(1)(1)2013122334201220132013P =+-++-++-+++-=-，所以，不超过P 的最大整数为2012．………………………………………………16分徐州市2011—2012学年度高三第三次质量检测数学Ⅱ试题答案及评分标准21．A ．作两圆的公切线TQ ,连结OP ，1O M则2PN PM PT =,所以22PN PMPT PT =由弦切角定理知,2POT PTQ ∠=∠， 12MOT PTQ ∠=∠,于是1POT MO T ∠=∠,所以OP ∥1O M ，………………6分 所以1OO PM R r PT OT R-==，所以22PN R rPT R-=， ……………………………………8分所以PMPN PN PT==值． ………………………………………………10分 B ．⑴141553255M -⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦．……………………………………………………………………4分⑵ 矩阵A 的特征多项式为221()(2)(4)36534f x λλλλλλ--==---=-+--，令()0f λ=,得矩阵M 的特征值为1或5，…………………………………………6分当1λ=时 由二元一次方程0,330,x y x y --=⎧⎨--=⎩得0x y +=，令1x =，则1y =-, 所以特征值1λ=对应的特征向量为111⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦α．……………………………………8分当5λ=时 由二元一次方程30,30,x y x y -=⎧⎨-+=⎩得30x y -=，令1x =，则3y =, 所以特征值5λ=对应的特征向量为213⎡⎤=⎢⎥⎣⎦α．……………………………………10分C ．将直线l 的极坐标方程化为直角坐标方程得：40x y --=，………………………3分将圆C 的参数方程化为普通方程得：222(1)x y r ++=，………………………………………………………………………6分由题设知:圆心(1,0)C -到直线l 的距离为r ,即r =，即r的为． (10)分D ．因为a ＋b ＝1－c ,ab ＝222()()2a b a b +-+＝c 2－c ， ………………………3分所以a ，b 是方程x 2－(1－c ）x ＋c 2－c ＝0的两个不等实根，则△＝(1－c )2－4（c 2－c )＞0，得－13＜c ＜1， ………………………5分而（c －a )（c －b )＝c 2－(a ＋b )c ＋ab ＞0，即c 2－（1－c ）c ＋c 2－c ＞0，得c ＜0,或c ＞23， …………………………8分又因为a b c >>，所以0c <．所以－13＜c ＜0，即1＜a ＋b ＜43． …………10分22．⑴设此人至少命中目标2次的事件为A ,则2233331111()()()()2222P A CC =⋅⋅+⋅=，即此人至少命中目标2次的概率为12．…………………………………………… 4分⑵由题设知X 的可能取值为0，1，2，3，且033111(0)()()2216P X C⎡⎤==⋅⋅=⎢⎥⎣⎦，112033311117(1)()()()()222216P X C C ⎡⎤==⋅⋅+⋅⋅=⎢⎥⎣⎦ ，223113(2)()()228P X C==⋅⋅=,33311(3)()28P X C ==⋅=， ………………………………………………………… 8分从而173125()012316168816E X =⨯+⨯+⨯+⨯=。
2014年江苏省徐州市、宿迁市高考数学三模试卷
2014年江苏省徐州市、宿迁市高考数学三模试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题(本大题共14小题，共70.0分)1.已知集合M={3，2a}，N={a，b}．若M∩N={4}，则M∪N= ______ ．【答案】{2，3，4}【解析】解：∵M={3，2a}，N=（a，b），且M∩N={4}，∴2a=4，且a=4或b=4，解得：a=2，b=4，∴M={3，4}，N={2，4}，则M∪N={2，3，4}．故答案为：{2，3，4}根据M与N的交集，得到4属于M，属于N，进而确定出a与b的值，即可求出两集合的并集．此题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键．2.已知复数z=（i是虚数单位），则z的虚部是______ ．【答案】-2【解析】解：∵z==，∴z的虚部是-2．故答案为：-2．直接利用复数代数形式的除法运算化简，则复数z的虚部可求．本题考查了复数代数形式的除法运算，考查了复数的基本概念，是基础题．3.一个正方体玩具的6个面分别标有数字1，2，2，3，3，3．若连续抛掷该玩具两次，则向上一面数字之和为5的概率为______ ．【答案】【解析】解：一共投掷可能性有6×6=36种．和为5的必须一次为2，一次为3，共有2=12种，则概率P==．故答案为：．古典概型，可用列举法列举出所有可能，然后找出数字之和为5的或者去掉数字之和不是5的事件．本题考查古典概型，必须注意保证每个基本事件的概率相等．4.从高三年级随机抽取100名学生，将他们的某次考试数学成绩绘制成频率分布直方图．由图中数据可知成绩在[130，140）内的学生人数为______ ．【答案】30【解析】解：由频率分布直方图得：数据不在[130，140]之间的学生频率为（0.005+0.035+0.020+0.010）×10=0.7，∴数据在[130，140]之间的学生的频率为：1-0.7=0.3，∴成绩在[130，140）内的学生人数为0.3×100=30．故答案为：30由频率分布直方图得数据不在[130，140]之间的学生频率，再求出数据在[130，140]之间的学生的频率，得到成绩在[130，140）内的学生人数．本题考查读频率分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力，利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．5.执行如图所示算法的伪代码，则输出S的值为______ ．【答案】16【解析】解：由算法语句知：S=0+1；S=1+3；S=1+3+5；S=1+3+5+7=16．∴输出S=16．故答案为：16．根据算法语句的含义，依次计算S的值，可得答案．本题考查了顺序结构的算法语句，读懂语句的含义是关键．6.已知圆柱的底面半径为1，母线长与底面的直径相等，则该圆柱的表面积为______ ．【答案】6π【解析】解：∵圆柱的底面半径为1，母线长与底面的直径相等，故圆柱的母线l=2，故圆柱的表面积S=2πr（r+l）=6π，故答案为：6π根据已知求出圆柱的母线长，代入圆柱表面积公式S=2πr（r+l）可得答案．本题考查的知识点是旋转体，圆柱的表面积，熟练掌握圆柱的表面积公式，是解答的关键．7.已知点P（1，0）到双曲线C：（a＞0，b＞0）的一条渐近线的距离为，则双曲线C的离心率为______ ．【答案】【解析】解：∵双曲线的渐近线为bx±ay=0，∴点P（1，0）到bx±ay=0的距离d==，∴c=2b，∴a=b，∴e==．故答案为：．先求出双曲线的渐近线，再由点P（1，0）到bx±ay=0的距离d==，得到a=b，由此求解．本题考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，比较基础．8.在等比数列{a n}中，已知a1=1，a4=8．设S3n为该数列的前3n项和，T n为数列{a n3}的前n项和．若S3n=t T n，则实数t的值为______ ．【答案】7【解析】解：∵等比数列{a n}中a1=1，a4=8．∴等比数列{a n}的公比q==2，∴S3n===8n-1，又可得数列{a n3}是1为首项8为公比的等比数列，∴其前n项和T n==（8n-1）由S3n=t T n可得8n-1=t×（8n-1），解得t=7故答案为：7由题意可得等比数列{a n}的公比，可求S3n，可判数列{a n3}是1为首项8为公比的等比数列，可得T n，代入已知可解t值．本题考查等比数列的求和公式，属基础题．9.已知实数x，y满足条件，则y-（）x的最大值为______ ．【答案】【解析】解：作出不等式组对应的平面区域，设z=y-（）x，则y=（）x+z，平移曲线y=（）x+z，当曲线y=（）x+z经过点A时，z取得最大值，由，解得，即A（1，1），此时z=1-（）1=，故答案为：．作出不等式组对应的平面区域，设z=y-（）x，利用z的几何意义，结合数形结合即可得到结论．本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合以及指数函数的图象是解决本题的关键．10.在平面直角坐标系x O y中，直线y=1与函数y=3sin x（0≤x≤10）的图象所有交点的横坐标之和为______ ．【答案】30【解析】解：∵y=3sin x的周期T==4，∴当0≤x≤10时，其图象如下：由图知，直线y=1与正弦曲线y=3sin x（0≤x≤10）相交于A、B、C、D、E、F6个点，其横坐标如图所示，则x1+x2=2，x3+x4=10，x5+x6=18，∴所有交点的横坐标之和为2+10+18=30．故答案为：30．依题意，易求y=3sin x的周期为4，作出当0≤x≤10时的函数图象，从而可得线y=1与函数y=3sin x（0≤x≤10）的图象所有交点的横坐标之和．本题考查正弦函数的图象与性质，着重考查其周期性，作图是关键，也是难点，属于中档题．11.已知P1（x1，x2），P2（x2，y2）是以原点O为圆心的单位圆上的两点，∠P1OP2=θ（θ为钝角）．若sin（）=，则的x1x2+y1y2值为______ ．【答案】-【解析】解：由题意可得＜θ＜π，sin（）=＞0，∴还是钝角，∴cos（）=-，∴，∴cosθ=-．∴•=x1•x2+y1•y2=||•||cosθ=1×1×（-）=-，故答案为：-．由条件求得cos（）的值，可得cosθ的值，再利用两个向量的数量积的定义、两个向量的数量积公式求得x1x2+y1y2的值．本题主要考查同角三角函数的基本关系，两个向量的数量积的定义、两个向量的数量积公式，属于基础题．12.已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≤0时，f（x）=-x2-3x，则不等式f （x-1）＞-x+4的解集是______ ．【答案】（4，+∞）【解析】解：∵函数f（x）是奇函数，令x＞0，则-x＜0，∴f（-x）=-（-x）2+3x=-x2+3x=-f（x），∴f（x）=x2-3x，∴，当x-1≤0，即x≤1，f（x-1）=-（x-1）2-3（x-1）=-x2-x+2，∵f（x-1）＞-x+4，∴x2＜-2（舍去）当x-1＞0，即x＞1，f（x-1）=（x-1）2-3（x-1）=x2-5x+4，∵f（x-1）＞-x+4∴x2-4x＞0∴x＜0或x＞4，又x＞1，∴x＞4．故答案为：（4，+∞）．首先，根据函数f（x）是奇函数，求解当x＞0时，函数的解析式，然后，分别令x-1≤0和x-1＞0两种情形进行讨论，求解不等式的解集．本题重点考察了函数为奇函数，且解析式为分段函数问题，不等式的性质等知识，考查比较综合，属于中档题．13.如图，在△ABC中，已知∠BAC=，AB=2，AC=3，=2，=3，则||= ______ ．【答案】【解析】解：∵=2，=3，∴=，=，∴=-=-=（）-=+=+×=+×（-）=∴====∴||=故答案为：．由向量的运算用向量和表示向量，可得的值，由模长公式可得．本题考查平面向量数量积的运算，涉及平面向量基本定理和模长公式，属中档题．14.已知函数f（x）=（a∈R）．若存在实数m，n，使得f（x）≥0的解集恰为[m，n]，则a的取值范围是______ ．【答案】（0，）【解析】解：当a=0时，f（x）==＞0，则不存在f（x）≥0的解集恰为[m，n]，当a＜0时，f（x）=＞0，此时函数f（x）单调递减，则不存在f（x）≥0的解集恰为[m，n]，当a＞0时，由f（x）≥0得，当x＜0，＞0，＜，此时（x）=＞0，则f（x）≥0的解集为（-∞，0），不满足条件，当x＞0时，不等式等价为a，设g（x）=，则g，当x＞1时，g （x）＜0，当0＜x＜1时，g （x）＞0，即当x=1时，g（x）取得极大值，同时也是最大值g（1）=，∴若存在实数m，n，使得f（x）≥0的解集恰为[m，n]，则必有a＜，即0＜a＜，故答案为：（0，）分别讨论a的取值范围，利用参数分离法，结合导数研究函数的最值即可得到结论．本题主要考查导数的综合应用，考查分类讨论的数学思想，综合性较强，难度较大．二、解答题(本大题共12小题，共154.0分)15.在△ABC中，已知C=，向量=（sin A，1），=（1，cos B），且．（1）求A的值；（2）若点D在边BC上，且3=，=，求△ABC的面积．【答案】解：（1）∵=（sin A，1），=（1，cos B），且⊥，∴sin A+cos B=0，又C=，A+B+C=π，∴sin A+cos（-A）=0，即sin A-cos A+sin A=sin（A-）=0，又0＜A＜，∴A-∈（-，），∴A-=0，即A=；（2）设||=x，由3=，得||=3x，由（1）知A=C=，∴||=3x，B=，在△ABD中，由余弦定理，得13=9x2+x2+3x2，解得：x=1，∴AB=BC=3，则S△ABC=BA•BC•sin B=×3×3×sin=．【解析】（1）由两向量的坐标及两向量垂直，利用平面向量的数量积运算法则列出关系式，根据C的度数，利用内角和定理表示出B，代入得出的关系式中计算即可求出A的度数；（2）设||=x，由3=，得||=3x，由A的度数与C度数相等，可得出||=3x，B=，利用余弦定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出AB与BC 的长，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC面积．此题考查了余弦定理，三角形的面积公式，以及平面向量的数量积运算，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．16.如图，在五面体ABCDEF中，已知DE⊥平面ABCD，AD∥BC，∠BAD=60°AB=2，DE=EF=1．（1）求证：BC∥EF；（2）求三棱锥B-DEF的体积．【答案】（1）证明：因为AD∥BC，AD⊂平面ADEF，BC⊄平面ADEF，所以BC∥平面ADEF，…（3分）又BC⊂平面BCEF，平面BCEF∩平面ADEF=EF，所以BC∥EF．…（6分）（2）解：在平面ABCD内作BH⊥AD于点H，因为DE⊥平面ABCD，BH⊂平面ABCD，所以DE⊥BH，又AD，DE⊂平面ADEF，AD∩DE=D，所以BH⊥平面ADEF，所以BH是三棱锥B-DEF的高．…（9分）在直角三角形ABH中，∠BAD=60°，AB=2，所以BH=，因为DE⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，所以DE⊥AD，又由（1）知，BC∥EF，且AD∥BC，所以AD∥EF，所以DE⊥EF，…（12分）所以三棱锥B-DEF的体积V=×S△DEF×BH=．…（14分）【解析】（1）先证明BC∥平面ADEF，再利用线面平行的性质，证明BC∥EF；（2）在平面ABCD内作BH⊥AD于点H，证明BH是三棱锥B-DEF的高，即可求三棱锥B-DEF的体积．本题考查线面平行的判定与性质，考查三棱锥B-DEF的体积，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．17.根据统计资料，某工艺品厂的日产量最多不超过20件，每日产品废品率P与日产量x（件）之间近似地满足关系式P=，，，，（日产品废品率=日废品量日产量×100%）．已知每生产一件正品可赢利2千元，而生产一件废品则亏损1千元．（该车间的日利润Y=日正品赢利额-日废品亏损额）（1）将该车间日利润y（千元）表示为日产x（件）的函数；（2）当该车间的日产量为多少件时，日利润最大？最大日利润是几千元？【答案】解：（1）由题意可知，y=2x（1-p）-px=，，，（2）考虑函数f（x）=px=，，，当1≤x≤9时，f （x）=2-，令f （x）=0，解得x=15-3，当1≤x＜15-3时，f （x）＞0，函数f（x）在[1，15-3）上单调递增，当15-3＜x≤9时，f （x）＜0，函数f（x）在（15-3，9]上单调递减，所以当x=15-3时，f（x）取得极大值，也是最大值，又x是整数，f（8）=，f（9）=9，所以当x=8时，f（x）有最大值．当10≤x≤20时，f （x）==≤0，所以函数f（x）在[10，20]上单调减，所以当x=10时，f（x）取得极大值，也是最大值．由于＞，所以当该车间的日产量为10件时，日利润最大．答：当该车间的日产量为10件时，日利润最大，最大日利润是千元．【解析】（1）由题意可知y=2x（1-p）-px，然后把p代入即可．（2）由于所得函数是分段函数，需要分段讨论，利用导数来求最值，最后确定最大日利润本题的考点是函数模型的选择与应用，主要考查函数模型的建立，考查利用函数思想解决实际问题，关键是实际问题向数学问题的转化，即建模，同时又用来解决实际问题．18.如图，已知A1，A2，B1，B2分别是椭圆C：（a＞b＞0）的四个顶点，△A1B1B2是一个边长为2的等边三角形，其外接圆为圆M．（1）求椭圆C及圆M的方程；（2）若点D是圆M劣弧上一动点（点D异于端点A1，B2），直线B1D分别交线段A1B2，椭圆C于点E，G，直线B2G与A1B1交于点F．（Ⅰ）求的最大值；（Ⅱ）试问：E，F两点的横坐标之和是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．【答案】解：（1）由题意知，B2（0，1），，，∴b=1，a=，∴椭圆C的方程为，…（2分）圆心M（-，0），半径，∴圆M的方程为（x+）2+y2=．…（4分）（2）（Ⅰ）设直线B1D的方程为y=kx-1，k＜-，与直线A1B2的方程y=联立，解得点E（，），…（6分）联立，消去y并整理得，（1+3k2）x2-6kx=0，解得点G（，），…（9分）====1-=1+≤1+=，当且仅当k=-时，取“=”，∴的最大值为．…（12分）（Ⅱ）直线B2G的方程为y==-，与直线A1B1的方程y=-联立，解得点F（，），…（14分）∴E、F两点的横坐标之和为．故E、F两点的横坐标之和为定值，该定值为-2．…（16分）【解析】（1）由已知条件求出椭圆C的方程为，由此能求出圆M的方程．（2）（Ⅰ）设直线B1D的方程为y=kx-1，与直线A1B2的方程y=联立，解得点E（，），联立，解得点G（，，由此能求出的最大值．（Ⅱ）直线B2G的方程为y=-，与直线A1B1的方程y=-联立，解得点F （，），由此能求出E、F两点的横坐标之和为定值为-2．本题考查椭圆方程及圆的方程的求法，考查两条线段比值的最大值的求法，考查两点横坐标之各为定值的证明，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．19.已知数列{a n}，{b n}满足a1=3，a n b n=2，b n+1=a n（b n-），n∈N*．（1）求证：数列{}是等差数列，并求数列{b n}的通项公式；（2）设数列{c n}满足c n=2a n-5，对于任意给定的正整数p，是否存在正整数q，r（p＜q ＜r），使得，，成等差数列？若存在，试用p表示q，r；若不存在，说明理由．【答案】（1）证明：∵a n b n=2，∴，则b n+1=a n b n-=2-=2-=，…（2分）∴，又a1=3，∴，∴{}是首项为，公差为的等差数列，…（4分）即=，∴．…（6分）（2）解：由（1）知a n=n+2，∴c n=2a n-5=2n-1，∵，，成等差数列，则=，∴=，即2r-1=，∴r=，…（10分）欲满足题设条件，只需q=2p-1，此时r=4p2-5p+2，…（12分）∵对于任意给定的正整数p，存在正整数q，r（p＜q＜r），使得，，成等差数列，∴q=2p-1＞p，r-q=4p2-7p+3=4（p-1）2+p-1＞0，即r＞q．且p＞1．…（14分）综上所述，当p＞2时，存在q=2p-1，r=4p2-5p+2，满足题设条件．…（16分）【解析】（1）由已知条件推导出b n+1=a n b n-=，由此能证明{}是等差数列，并能求出数列{b n}的通项公式．（2）由a n=n+2，得c n=2a n-5=2n-1，由此推导出当p＞1时，存在q=2p-1，r=4p2-5p+2，满足题设条件．本题考查等差数列的证明，考查数列的通项公式的求法，考查使得数列为等差数列的正20.已知函数f（x）=ax2+（1-2a）x-lnx（a∈R）．（1）当a＞0时，求函数f（x）的单调增区间；（2）当a＜0时，求函数f（x）在区间[，1]上的最小值；（3）记函数y=f（x）图象为曲线C，设点A（x1，x2），B（x2，y2）是曲线C上不同的两点，点M为线段AB的中点，过点M作x轴的垂线交曲线C于点N．试问：曲线C 在点N处的切线是否平行于直线AB？并说明理由．【答案】解：（1）∵f（x）=ax2+（1-2a）x-lnx，∴=，∵a＞0，x＞0，∴2ax+1＞0，解f （x）＞0，得x＞1，∴f（x）的单调增区间为（1，+∞）；（2）当a＜0时，由f （x）=0，得，x2=1，①当＞1，即＜＜时，f（x）在（0，1）上是减函数，∴f（x）在[，]上的最小值为f（1）=1-a．②当，即-1时，f（x）在，上是减函数，在，上是增函数，∴f（x）的最小值为．③当＜，即a＜-1时，f（x）在，上是增函数，∴f（x）的最小值为．综上，函数f（x）在区间，上的最小值为：＜＜＜（3）设M（x0，y0），则点N的横坐标为，直线AB的斜率==，曲线C在点N处的切线斜率=，假设曲线C在点N处的切线平行于直线AB，则k1=k2，即，∴，不妨设x1＜x2，＞，则，令＞，则＞，∴g（t）在（1，+∞）上是增函数，又g（1）=0，∴g（t）＞0，即不成立，∴曲线C在点N处的切线不平行于直线AB．【解析】（1）求出函数f（x）的导函数，由a＞0，定义域为（0，+∞），再由f （x）＞0求得函数f（x）的单调增区间；（2）当a＜0时，求出导函数的零点，，分＞1，，＜讨论函数f（x）在区间[，1]上的单调性，求出函数的最小值，最后表示为关于a的分段函数；（3）设出线段AB的中点M的坐标，得到N的坐标，由两点式求出AB的斜率，再由导数得到曲线C过N点的切线的斜率，由斜率相等得到，令后构造函数＞由导数证明不成立．本题考查利用导数求函数的单调区间，考查了利用导数求函数的最值，体现了分类讨论的数学思想方法，训练了利用构造函数法证明等式恒成立问题，特别是对于（3）的证明，要求学生较强的应变能力，是压轴题．21.如图，⊙O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P，E为⊙O上一点，AE=AC，DE交AB于点F．求证：△PDF∽△POC．【答案】证明：∵AE=AC，∠CDE=∠AOC，又∠CDE=∠P+∠PDF，∠AOC=∠P+∠OCP，从而∠PDF=∠OCP．在△PDF与△POC中，∠P=∠P，∠PDF=∠OCP，故△PDF∽△POC．【解析】要证明△PDF∽△POC，由于已知两个三角形有个公共角∠P，而题目中未给出与线段对应成比例的条件，故可根据判断定理一来证明三角形相似，故我们还需要再找到一个相等的角．证明三角形相似有三个判定定理：（1）如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似（简叙为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似．（2）如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似（简叙为：三边对应成比例，两个三角形相似．（3）如果两个三角形的两个角分别对应相等（或三个角分别对应相等），则有两个三角形相似．我们要根据已知条件进行合理的选择，以简化证明过程．22.已知矩阵A=（c，d为实数）．若矩阵A属于特征值2，3的一个特征向量分别为，，求矩阵A的逆矩阵A-1．【答案】解：由题意知，=2，=3，所以，解得…（5分）所以A=，所以A-1=．…（10分）【解析】根据特征值的定义可知Aα=λα，利用待定系数法建立等式关系，求出矩阵A，即可求出逆矩阵A-1．．本题主要考查了二阶矩阵，以及特征值与特征向量的计算，属于基础题．23.在极坐标系中，已知圆A的圆心为（4，0），半径为4，点M为圆A上异于极点O 的动点，求弦OM中点的轨迹的极坐标方程．【答案】解：由题意知，圆A的极坐标方程为ρ=8cosθ，设弦OM中点为N（ρ，θ），则M（2ρ，θ），因为点M在圆A上，所以2ρ=8cosθ，即ρ=4cosθ，又点M异于极点O，所以ρ≠0，所以弦OM中点的轨迹的极坐标方程为ρ=4cosθ（ρ≠0）．【解析】由题意知，圆A的极坐标方程为ρ=8cosθ，设弦OM中点为N（ρ，θ），则M（2ρ，θ），根据点M在圆A上，建立关于ρ、θ的等式，即为所求．本题主要考查简单曲线的极坐标方程，求点的轨迹方程的方法，属于基础题．24.已知x，y，z∈R，且x+2y+3z+8=0．求证：（x-1）2+（y+2）2+（z-3）2≥14．【答案】证明：因为：[（x-1）2+（y+2）2+（z-3）2]（12+22+32）≥[（x-1）+（y+2）+（z-3）]2 =（x+2y+3z-6）2=142，…（8分）当且仅当，即x=z=0，y=-4时，取等号，所以：（x-1）2+（y+2）2+（z-3）2≥14．…（10分）【解析】由柯西不等式，可得：[（x-1）2+（y+2）2+（z-3）2]（12+22+32）≥[（x-1）+（y+2）+（z-3）]2=（x+2y+3z-6）2，即可得出结论．此题主要考查一般形式的柯西不等式的应用，考查学生分析解决问题的能力．25.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，已知CA=CB=1，AA1=2，∠BCA=90°．（1）求异面直线BA1与CB1夹角的余弦值；（2）求二面角B-AB1-C平面角的余弦值．【答案】解：（1）建立如下图所示的空间直角坐标系．2），∴=（0，1，2），=（1，-1，2），设异面直线BA1与CB1夹角为θ，则cosθ===…（4分）（2）由（1）得：=（-1，1，0），=（-1，1，2），设平面AB1C的法向量为=（x，y，z），则，即，取y=2，则平面AB1C的一个法向量为=（0，2，-1）；设平面BAB1的法向量为=（r，s，t），则，即，取r=1，则平面BAB1的一个法向量为=（1，1，0）；设二面角B-AB1-C平面角的平面角为α，则cosα===所以二面角B-AB1-C平面角的余弦值为．…（10分）【解析】（1）建立空间直角坐标系，求出异面直线BA1与CB1的方向向量，代入向量夹角公式，可得异面直线BA1与CB1夹角的余弦值；（2）求出平面AB1C的法向量和平面BAB1的一个法向量，代入向量夹角公式，可得二面角B-AB1-C平面角的余弦值．本题考查的知识点是直线与直线的夹角，二面角的平面角，建立空间坐标系，将空间夹角问题转化为向量夹角问题是解答的关键．26.在数列{a n}中，已知a1=20，a2=30，a n+1=3a n-a n-1（n∈N*，n≥2）．（1）当n=2，3时，分别求a n2-a n-1a n+1的值，判断a n2-a n-1a n+1是否为定值，并给出证明；（2）求出所有的正整数n，使得5a n+1a n+1为完全平方数．【答案】解：（1）由已知得a3=70，a4=180．所以n=2时，a n2-a n-1a n+1=-500；当n=3时，a n2-a n-1a n+1=-500．…（2分）猜想：a n2-a n-1a n+1=-500（n≥2）．…（3分）下面用数学归纳法证明：①当n=2时，结论成立．②假设当n=k（k≥2，k∈N*）时，结论成立，即a k2-a k-1a k+1=-500，将a k-1=3a k-a k+1，代入上式，可得a k2-3a k a k+1+a k+12=-500．则当n=k+1时，a k+12-a k+1a k+2=a k+12-a k（3a k+1-a k）=a k+12-3a k a k+1+a k2=-500．（2）将a n-1=3a n-a n+1代入a n2-a n-1a n+1=-500，得a n2-3a n a n+1+a n+12=-500，则5a n-1a n+1=（a n+a n+1）2+500，5a n-1a n+1+1=（a n+a n+1）2+501，设5a n-1a n+1+1=t2（t∈N*），则t2-（a n+a n+1）2+501，即[t-（a n+a n+1）][t+（a n+a n+1）]=501，…（7分）又a n+a n+1∈N，且501=1×501=3×167，故或所以或由a n+a n+1=250解得n=3；由a n+a n+1=82得n无整数解．所以当n=3时，满足条件．…（10分）【解析】（1）求出结果判断是否为定值，然后利用数学归纳法证明即可．（2）利用（1）化简求解a n+a n+1的值，通过5a n+1a n+1为完全平方数，求出所有的正整数n，即可．本题考查数列的综合运用，解题时要注意数学归纳法的证明技巧．。
江苏省徐州市2014届高三第三次质量检测数学试题(扫描版)
徐州市2014届高三第三次质量检测数学Ⅰ参考答案与评分标准二、解答题 15．（1）由题意知sin cos 0A B ⋅=+=m n ， ………………………………2分又π6C =，πA B C ++=，所以5πsin cos()06A A +-=， ………………………4分即1sin sin 02A A A -+=，即πsin()06A -=， ……………………………6分 又5π06A <<，所以ππ2π()()663A -∈-,，所以π06A -=，即π6A =． …………7分（2）设BD x =，由3BD BC =，得3BC x =，由（1）知π6A C ==，所以3BA x =，2π3B =， 在△ABD 中，由余弦定理，得2222π=(3)23cos3x x x x +-⨯⨯，……10分 解得1x =，所以3AB BC ==， ………………………12分所以112πsin 33sin 223ABC S BA BC B =⋅⋅=⨯⨯⨯=Δ …………………………14分 16．（1）因为//AD BC ，AD ⊂平面ADEF ，BC ⊄平面ADEF，所以//BC 平面ADEF ， ………………………………3分 又BC ⊂平面BCEF ，平面BCEF 平面ADEF EF =，所以//BC EF ． ………………………………6分 （2）在平面ABCD 内作BH AD ⊥于点H ，因为DE ⊥平面ABCD ，BH ⊂平面ABCD ，所以D E BH ⊥，又AD ，D E ⊂平面ADEF ，AD DE D =， 所以BH ⊥平面ADEF ，所以BH 是三棱锥B DEF -的高． ………………9分 在直角三角形ABH 中，o 60BAD ∠=，2AB =，所以BH = 因为DE ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以D E AD ⊥，又由（1）知，//BC EF ，且//AD BC ，所以//AD EF ，所以DE EF ⊥，……12分所以三棱锥B DEF -的体积11111332DEF V S BH ∆=⨯⨯=⨯⨯⨯=． ……14分17．（1）由题意可知，2*3*24219,,152(1)5 1020,.3180x x x x xy x p px x x x x ⎧-∈⎪⎪-=--=⎨⎪-∈⎪⎩N N , ≤≤, ≤≤ …………………………4分 H（第16题图） FA C DE B（2）考虑函数2324219,15()5 1020,3180x x x xf x x x x ⎧-⎪⎪-=⎨⎪-⎪⎩, ≤≤, ≤≤当159x -≤时，'()0f x <，函数()f x在(15-上单调减．所以当15x =-()f x 取得极大值，也是最大值，又x 是整数，64(8)7f =，(9)9f =，所以当8x =时，()f x 有最大值647．……10分 当1020x ≤≤时，225100'()036060x xf x -=-=≤，所以函数()f x 在[10,20]上单调减， 所以当10x =时，()f x 取得极大值1009，也是最大值．由于1006497>，所以当该车间的日产量为10件时，日利润最大．答：当该车间的日产量为10件时，日利润最大，最大日利润是1009千元．……14分18．（1）由题意知，2(0,1)B，1(A ，所以1b =，a C 的方程为2213x y +=， ………………………2分易得圆心(M，1A M =，所以圆M的方程为224(3x y ++=．…4分 （2）证明：设直线1B D的方程为1(y kx k =-<， 与直线12A B的方程1y x =+联立，解得点E ， ……………6分 联立22113y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 并整理得，22(1+3)60k x kx -=，解得点222631(,)3131k k G k k -++， ……………9分（i）111111)2GEx GB EB x =====+-+++1=≤，当且仅当k =时，取“=”，所以11GB EB． …………………………12分（ii ）直线2B G 的方程为222311131116331k k y x x k k k --+=+=-++， 与直线11A B的方程1y =-联立，解得点F ， ……14分 所以E 、F=-故E 、F两点的横坐标之和为定值，该定值为- …………………16分19．（1）因为2n n a b =，所以2n na b =，则142242221221n nn n n n n n n na b b b a b a b b b +=-=-=-=++++， ………………………2分 所以11112n n b b +=+， 又13a =，所以123b =，故1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为32，公差为12的等差数列， ……4分 即1312(1)222n n n b +=+-⨯=，所以22n b n =+． ………………………6分 （2）由（1）知2n a n =+，所以2521n n c a n =-=-， ①当1p =时，11p c c ==，21q c q =-，21r c r =-，若1pc ，1q c ，1r c 成等差数列，则2112121q r =+--（*）， 因为p q r <<，所以2q ≥，3r ≥，2121q <-，11121r +>-， 所以（*）不成立． …………………………9分②当2p ≥时，若1pc ，1q c ，1r c 成等差数列，则211212121q p r =+---，所以121421212121(21)(21)p q r q p p q --=-=-----， 即(21)(21)21421p q r p q ---=--，所以22421pq p qr p q +-=--， ………………………12分欲满足题设条件，只需21q p =-，此时2452r p p =-+， ………………14分 因为2p ≥，所以21q p p =->，224734(1)10r q p p p p -=-+=-+->，即r q >． …………………………15分 综上所述，当1p =时，不存在q ，r 满足题设条件；当2p ≥时，存在21q p =-，2452r p p =-+，满足题设条件．…16分20．（1）212(12)1()2(12)ax a x f x ax a x x +--'=+--=(21)(1)ax x x+-=， ……2分 因为0a >，0x >，所以210ax +>，解()0f x '>，得1x >，所以()f x 的单调增区间为(1,)+∞． …………………4分（2）当0a <时，由()0f x '=，得112x a=-，21x =， ①当12a->1，即102a -<<时，()f x 在(0,1)上是减函数，所以()f x 在1[,1]2上的最小值为(1)1f a =-． …………………6分②当11122a -≤≤，即112a --≤≤时，()f x 在11[,]22a -上是减函数，在1[,1]2a-上是增函数，所以()f x 的最小值为11()1ln(2)24f a a a-=-+-． ……………………8分③当1122a -<，即1a <-时，()f x 在1[,1]2上是增函数，所以()f x 的最小值为113()ln 2224f a =-+．综上，函数()f x 在区间1[,1]2上的最小值[]min ()f x =13ln 2, 1,24111ln(2), 1,4211, 0.2a a a a aa a ⎧-+<-⎪⎪⎪-+---⎨⎪⎪--<<⎪⎩≤≤ ………………………10分（3）设00(,)M x y ，则点N 的横坐标为1202x x x +=， 直线AB 的斜率2212112122112121()(12)()ln ln y y k a x x a x x x x x x x x -⎡⎤==-+--+-⎣⎦-- =211212ln ln ()(12)x x a x x a x x -++-+-，曲线C 在点N 处的切线斜率20()k f x '=0012(12)ax a x =+--12122()(12)a x x a x x =++--+， 假设曲线C 在点N 处的切线平行于直线AB ，则12k k =， 即211212ln ln 2=x x x x x x ---+， ………………………………13分所以22211211212(1)2()ln 1xx x x x x x x x x --==++，不妨设12x x <，211x t x =>，则2(1)ln 1t t t -=+， 令2(1)()ln (1)1t g t t t t-=->+，22214(1)()0(1+t)(1)t g t t t t -'=-=>+， 所以()g t 在(1,+)∞上是增函数，又(1)0g =，所以()0g t >，即2(1)ln 1t t t-=+不成立， 所以曲线C 在点N 处的切线不平行于直线AB ． …………………………16分徐州市2014届高三第三次质量检测数学Ⅱ参考答案与评分标准B ．选修4-2：矩阵与变换由题意知，122422121c d c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，12131311c d c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 所以22,3,c d c d +=⎧⎨+=⎩ 解得1,4.c d =-⎧⎨=⎩……………………5分所以1214⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A ，所以121331166-⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦A ． ……………………10分 C ．选修4-4：坐标系与参数方程由题意知，圆A 的极坐标方程为8cos ρθ=， ………………4分 设弦OM 中点为(,)N ρθ，则(2,)M ρθ，因为点M 在圆A 上，所以28cos ρθ=，即4cos ρθ=， ………………9分 又点M 异于极点O ，所以0ρ≠，所以弦OM 中点的轨迹的极坐标方程为4cos (0)ρθρ=≠． ………………10分 D ．选修4-5：不等式选讲因为2222222[(1)(2)(3)](123)[(1)2(2)3(3)]x y z x y z -+++-++-+++-≥22(236)14x y z =++-=，………8分当且仅当123123x y z -+-==，即0,4x z y ===-时，取等， 所以222(1)(2)(3)14x y z -+++-≥． …………………10分22．如图，以{}1,,CA CB CC 为正交基底，建立空间直角坐标系C xyz -．则(1,0,0)A ，(0,1,0)B ，1(1,0,2)A ，1(0,1,2)B ，所以1CB1(1,1,2)AB =-，1(1,1,2)BA =-． （1）因为111111cos ,6CB BA CB BA CB BA ⋅=== 所以异面直线1BA 与1CB ． …………………………4分（2）设平面1CAB 的法向量为(,,)x y z =m ，则110,0,AB CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m 即20,20,x y z y z -++=⎧⎨+=⎩取平面1CAB 的一个法向量为(0,2,1)=-m ；所以二面角1B AB C --． …………………………10分 22．（1）记“演出成功”为事件A ，则事件A 由三个互斥事件构成：6X =，7X =，8X =，因为1113232337C C C C 13(6)C 35P X +===，2121322237C C C C 8(7)C 35P X +===，212337C C 3(8)C 35P X ===．所以24()(6)(7)(8)35P A P X P X P X ==+=+==． 所以演出成功的概率为2435．……………………………………………………4分 （2）X 的可能取值为4，5，6，7，8．因为212337C C 3(4)C 35P X ===，2121322237C C C C 8(5)C 35P X +===． 所以X 的概率分布为………………8分 所以43586137883()63535353535E X ⨯⨯⨯⨯⨯=++++=． 答：演出节目总数的数学期望为6． ………………………………………10分23．（1）由已知得370a =，4180a =．所以2n =时，211500nn n a a a -+-=-；当3n =时，211500n n n a a a -+-=-．………2分 猜想：211500n n n a a a -+-=-(2n ≥)． …………………………………………3分下面用数学归纳法证明： ①当2n =时，结论成立．②假设当*(2,)n k k k =∈N ≥时，结论成立，即211500k k k a a a -+-=-， 将113k k k a a a -+=-代入上式，可得22113500k k k k a a a a ++-+=-． 则当1n k =+时，221211(3)k k k k k k k a a a a a a a ++++-=--=22113500k k k k a a a a ++-+=-．故当1n k =+结论成立，根据①,②可得，211500n n n a a a -+-=-(2n ≥)成立．………………………………5分 （2）将113n n n a a a -+=-代入211500n n n a a a -+-=-，得22113500n n n n a a a a ++-+=-，则2115()500n n n n a a a a ++=++，21151()501n n n n a a a a +++=++， 设2151()n n a a t t *++=∈N ，则221()501n n t a a +-+=，即[]11()()501n n n n t a a t a a ++-+++=， ……………………………………7分 又1n n a a ++∈N ，且501=1⨯501=3⨯167，故11+1,+501,n n n n a a t a a t ++-=-⎧⎨+=⎩ 或11+3,+167,n n n n a a t a a t ++-=-⎧⎨+=⎩所以1251,250,n n t a a +=⎧⎨+=⎩或185,82,n nt a a +=⎧⎨+=⎩由1250n n a a ++=解得3n =；由182n n a a ++=得n 无整数解．所以当3n =时，满足条件． …………………………………10分。
高三数学一轮复习备考试题：函数(含答案解析)
江苏省2015年高考一轮复习备考试题函数一、填空题1、（2014年江苏高考）已知函数1)(2-+=mx x x f ，若对于任意]1,[+∈m m x ，都有0)(<x f 成立，则实数m 的取值范围是 ▲ ．2、（2014年江苏高考）已知)(f x 是定义在R 上且周期为3的函数，当)3,0[x 时，|212|)(2+-=x x x f a x f -=)(y 在区间]4,3[-上有10个零点（互不相同），则实数a 的取值范围是 ▲ ． 3、（2013年江苏高考）已知)(x f 是定义在R 上的奇函数。
当0>x 时，x x x f 4)(2-=，则不等式x x f >)(的解集用区间表示为 。
4、（2012年江苏高考）函数x x f 6log 21)(-=的定义域为 ▲ ．5、（2012年江苏省高考）设()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[11]-，上，0111()201x x ax f x bx x <+-⎧⎪=+⎨⎪+⎩≤≤≤，，，，其中a b ∈R ，．若1322f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则3a b +的值为 ▲ ． 6、（2012年江苏省5分）已知函数2()()f x x ax b a b =++∈R ，的值域为[0)+∞，，若关于x 的不等式()f x c <的解集为(6)m m +，，则实数c 的值为 ▲ ．7、（2015届江苏南京高三9月调研）设f (x )＝x 2－3x ＋a ．若函数f (x )在区间(1，3)内有零点，则实数a 的取值范围为 ▲8、（2015届江苏南通市直中学高三9月调研）已知函数23 1 ()x a x f x x a x ⎧+>⎪=⎨+⎪⎩≤，，，1，若()f x 在R 上为增函数，则实数a 的取值范围是 ▲9、（2015届江苏苏州高三9月调研）已知函数()2log 1a x f x x-=+为奇函数,则实数a 的值为 ▲ 10、（南京市2014届高三第三次模拟）已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ，x ≥0，x 2，x ＜0， ，则关于x 的不等式f (x 2)＞f (3－2x )的解集是 ▲11、（南通市2014届高三第三次调研）已知函数()f x 对任意的x ∈R 满足()()f x f x -=，且当0x ≥时，2()1f x x ax =-+．若()f x 有4个零点，则实数a 的取值范围是 ▲ ．112、（苏锡常镇四市2014届高三5月调研（二））函数y =A ，函数()lg 2y x =-的定义域为B ，则A I B = ▲13、（苏锡常镇四市2014届高三5月调研（二））已知奇函数()f x 是R 上的单调函数，若函数2()()y f x f k x =+-只有一个零点，则实数k 的值是 ▲ ．14、（徐州市2014届高三第三次模拟）已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≤时，2()3f x x x =--，则不等式(1)4f x x ->-+的解集是 ▲15、（徐州市2014届高三第三次模拟）已知函数1()()e x af x a x=-∈R ．若存在实数m ，n ， 使得()0f x ≥的解集恰为[],m n ，则a 的取值范围是 ▲16、（南京、盐城市2014届高三第二次模拟（淮安三模））函数f (x )＝ln x ＋1－x 的定义域为 ▲ 17、（南京、盐城市2014届高三第二次模拟（淮安三模））已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当0≤x≤1时，f (x )＝x 2，当x ＞0时，f (x ＋1)＝f (x )＋f (1)．若直线y ＝kx 与函数y ＝f (x )的图象恰有5个不同的公共点，则实数k 的值为 ▲ 18、（2014江苏百校联考一）函数1()2sin(),[2,4]1f x x x xπ=-∈--的所有零点之和为 ．19、（南京、盐城市2014高三第一次模拟）若函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间[0.)+∞上是单调增函数.如果实数t 满足1(ln )(ln )2(1)f t f f t+<时，那么t 的取值范围是 20、（苏锡常镇四市2014届高三3月调研（一））已知函数22(2)e ,0,()43,0,x x x x f x x x x ⎧-=⎨-++>⎩≤()()2g x f x k =+，若函数()g x 恰有两个不同的零点，则实数k 的取值范围为 ▲ 21、（南通市2014届高三上学期期末考试）设函数()y f x =是定义域为R ，周期为2的周期函数，且当[)11x ∈-，时，2()1f x x =-；已知函数lg ||0()10x x g x x ≠⎧⎪=⎨=⎪⎩，，，． 则函数()f x 和()g x 的图象在区间[]510-，内公共点的个数为 ． 22、（苏州市2014届高三1月第一次调研）已知22(0),()(0)x x x f x x x x ⎧+⎪=⎨-+<⎪⎩≥，则不等式2(1)12f x x -+<的解集是 ▲23、（泰州市2014届高三上学期期末考试）设函数()()f x x a x a b =--+（,a b 都是实数）．则下列叙述中，正确的序号是 ▲ ．（请把所有叙述正确的序号都填上） ①对任意实数,a b ，函数()y f x =在R 上是单调函数； ②存在实数,a b ，函数()y f x =在R 上不是单调函数； ③对任意实数,a b ，函数()y f x =的图像都是中心对称图形； ④存在实数,a b ，使得函数()y f x =的图像不是中心对称图形． 24、（江苏省扬州中学2014届高三上学期12月月考）设12()1f x x=+，11()[()]n n f x f f x +=，且(0)1(0)2n n n f a f -=+，则2014a = ▲25、、（江苏省诚贤中学2014届高三12月月考）在用二分法．．．求方程3210x x --=的一个近似解时,现在已经将一根锁定在区间(1,2)，则下一步可断定该根所在的区间为 ▲ . 26、（江苏省东海县第二中学2014届高三第三次学情调研）已知函数ln (),()xf x kxg x x==，如果关于x 的方程()()f x g x =在区间1[,]e e内有两个实数解，那么实数k 的取值范围是 ▲ .27、（江苏省阜宁中学2014届高三第三次调研）已知函数()()2log ,12,01x x f x f x x ⎧⎪=⎨<<⎪⎩≥，则()3212f ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦= ▲28、（无锡市2014届高三上学期期中）定义在R 上的奇函数()f x ，当0x ≥时，2log (1)(01)()|3|1(1)x x f x x x +≤<⎧=⎨--≥⎩，则函数1()()2g x f x =-的所有零点之和为＿＿＿＿＿。
江苏省徐州市-度高三数学第三次质量检测
注 意 事 项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1.本试卷共4页，填空题(第l 题～第14题，共14题)、解答题(第15题～第20题，共6题) 两部分．本试卷考试时间为120分钟，满分160分．选修历史的考生只做本试题；选修物理 的考生在本试题考试结束后，需加试数学附加试题，时间为30分钟，满分40分．考试结束 后，请将所有试卷和答题卡一并交回．2.答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在答题卡上．3.请认真核对监考员所粘贴的条形码上的姓名、考试证号是否与您本人的相符．4.作答试题必须用书写黑色字迹的0．5毫米的签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位置作 答一律无效．5.如有作图需要，可用2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．徐州市2007～2008学年度高三第三次质量检测数学试题参考公式：一组数据x 1，x 2，…，x n 的方差S 2=1n {[( x 1－-x )2+( x 2－-x )2+…+( x n －-x )2)] ,其中-x 为这组数据的平均数一、填空题：本大题共14小题,每小题5分，共计70分．不需写出解答过程,请把答案直接填写在答题卡相应位置上.1.设集合A={(x,y) | x 一y=0}，B={(x,y) | 2x －3y+4=0}，则A∩B= ▲ ．2.计算(1+i)2(1—2i)= ▲ ．3.已知等差数列{a n }中，a 4=3,a 6=9，则该数列的前9项的和S 9= ▲ ．4.若10g a 2=m ，log a 3=n ，则2m na-= ▲ ．5.命题“∃x ∈R ，x 2－2x+l ≤0”的否定形式为 ▲ ．6.设向量a 与b 的夹角为θ，a =(2，1)，a +3b =(5，4)，则sin θ= ▲ ．7.抛物线y 2=4mx(m ＞0)的焦点到双曲线x 216－y 29=l 的一条渐近线的距离为3，则此抛物线的方程为 ▲ ．8.右图是2008年“隆力奇”杯第13届CCTV 青年歌手电视大奖 赛上某一位选手的部分得分的茎叶统计图，去掉一个最高分 和一个最低分后，所剩数据的方差为 ▲ ．9.某程序的伪代码如图所示，则程序运行后的输出结果为 ▲ ．10.如图所示是7 98 4 4 4 6 7 9 1 3 6 第8题图第9题图第10题图毕达哥拉斯的生长程序：正方形一边上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形两直角边再分别连接着一个正方形，如此继续下去，共得到127个正方形．若最后得到的正方形的边长为1，则初始正方形的边长为 ▲ ．11.已知函数f(x)=log 2(x 2－a x+3a )，对于任意x ≥2，当△x ＞0时，恒有f(x+△x)＞f(x)， 则实数a 的取值范围是 ▲ ．12.如图所示，将平面直角坐标系中的纵轴绕点O 顺时针旋转300(坐标轴的长度单位不变)构成一个斜坐标系xOy ，平面上任一点P 关于斜坐标系的坐标(x,y)用如下方式定义：过P 作两坐标轴的平行线分别交坐标轴Ox 于点M ，Oy 于点N ，则M 在Ox 轴上表示的数为x ，N 在Oy 轴上表示的数为y ．在斜坐标系中，若A ，B 两点的坐标分别为(1，2)， (－2，3)，则线段AB 的长为 ▲ ． ‘13.如图所示，有一圆锥形容器，其底面半径等于圆锥的高，若以9πcm 3/s 的速度向该容器注水，则水深10cm 时水面上升的速度为 ▲ cm/s ． 14.有下列命题：①函数y=4cos2x ，x ∈[－l0π，10π]不是周期函数；②函数y=4cos2x 的图象可由y=4sin2x 的图象向右平移π4 个单位得到；③函数y=4cos(2x+θ)的图象关于点(π6,0)对称的—个必要不充分条件是θ=k 2π+π6 (k ∈Z );④函数y=6+sin 2x2－sinx的最小值为210—4．其中正确命题的序号是 ▲ ．(把你认为正确的所有命题的序号都填上)二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出字说明、证明过程或演算步骤． 15.(本题满分14分)设不等式组⎩⎨⎧0≤x ≤60≤y ≤6 表示的区域为A ，不等式组⎩⎨⎧0≤x ≤6x －y ≥0 表示的区域为B ．(1)在区域A 中任取一点(x,y)，求点(x,y)∈B 的概率；(6分)(2)若x,y 分别表示甲、乙两人各掷一次骰子所得的点数,求点(x,y)在区域B 中的概率.(8分)第12题图第13题图在△ABC 中，a ,b,c 依次是角A ，B ，C 所对的边，且4sinB·sin 2(π4 +B2)+cos2B=1+ 3 . (1)求角B 的度数；(6分)(2)若B 为锐角，a =4，sinC=12sinB ，求边c 的长．(8分)17.(本题满分14分)如图l ，等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=AD ，∠ABC=600，E 是BC 的中点．如图2，将△ABE 沿AE 折起，使二面角B —AE —C 成直二面角，连结BC ，BD ，F 是CD 的中点，P 是棱BC 的中点．(1)求证：AE ⊥BD ；(4分) ’(2)求证：平面PEF ⊥平面AECD ；(6分)(3)判断DE 能否垂直于平面ABC?并说明理由．(4分)18.(本题满分16分)中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆C 的焦距为2，两准线问的距离为10．设A(5,0)， B(1，0)．(1)求椭圆C 的方程；(4分)(2)过点A 作直线与椭圆C 只有一个公共点D ，求过B ，D 两点，且以AD 为切线的圆 的方程；(6分)(3)过点A 作直线l 交椭圆C 于P ，Q 两点，过点P 作x 轴的垂线交椭圆C 于另一点S ． 若→AP=t →AQ （t ＞1），求证：→SB=t →BQ (6分)A B D E 第17题图1第17题图2已知各项均为正整数的数列{a n }满足a 1＜4，a n+1=2 a n +1，且111ni ia =+∑＜12 对任意n ∈N ﹡恒成立．数列{a n }，{b n }满足等式2(n λ+b n )=2n n λ+ a n +1(λ>0)． (1)求证数列{ a n +l}是等比数列，并求出{a n }的通项公式；(6分) (2)求数列{b n }的前n 项和S n ；(6分) (3)证明存在k ∈N ﹡，使得1n n b b +≤1k kb b +对任意n ∈N ﹡均成立．(4分)20.(本题满分16分)已知函数f(x)=x(x －a )(x －b)，点A(m,f(m))，B(n,f(n))． (1)设b= a ，求函数f(x)的单调区间；(6分) 、(2)若函数f(x)的导函数()f x '满足：当|x|≤l 时，有|()f x '|≤32 恒成立，求函数f(x)的表达式；(4分) ·(3)若0＜a ＜b ，函数f(x)在x=m 和x=n 处取得极值，且a +b ≤2 3 ．问：是否存在 常数a ,b ，使得→OA·→OB=0? 若存在，求出a ,b 的值；若不存在，请说明理由．(6分)徐州市2007—2008学年度高三第三次质量检测数学附加试题(满分40分，时间30分钟)一、选答题：本大题共4小题，请从这4题中选做2小题．如果多做，则按所做的前两题记分．每小题10分，共20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算过程． 1.(选修4一l ：几何证明选讲)如图，圆O 是△ABC 的外接圆，过点C 的切线交AB 的延长线于点D ，CD=27， AB=BC=3．求BD 以及AC 的长．2.(选修4—2：矩阵与变换) 给定矩阵M=⎣⎢⎡⎦⎥⎤23－13－13 23，N=⎣⎡⎦⎤2112及向量e 1=⎣⎡⎦⎤11，e 1=⎣⎡⎦⎤1－1 . (1)证明M 和N 互为逆矩阵；(2)证明e 1和e 1都是M 的特征向量．3.(选修4—4：坐标系与参数方程)若两条曲线的极坐标方程分别为ρ =l 与ρ =2cos(θ+π3)，它们相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．4.(选修4—5：不等式选讲)设f(x)=x 2－x+l ，实数a 满足|x －a |＜l ，求证：|f(x)－f(a )|＜2(|a |+1)．二、必答题：本大题共2小题。
徐州市年高三第三次质量检测数学试题和答案三模
江苏省徐州市2006 —2007学年度高三第三次质量检测数学试题注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：1 •本试卷共4页，包含选择题（第1题〜第10题，共10题）、填空题（第11题〜第16题共6题）、解答题（第17题〜第21题，共5题）三部分。
本次考试时间为120分钟，考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
2 .答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用书写黑色字迹的0. 5毫米签字笔填写在试卷及答题卡上。
3 .作答非选择题必须用书写黑色字迹的0. 5毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位置作答一律无效。
作答选择题必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。
4 .如有作图需要，可用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚。
、选择题：本大题共10小题。
每小题5分.共50分,在每小题给出的四个选项中恰有一项是符合题目要求的•1 .函数y二sinx(x € R)图象的对称轴方程中有一个是A. x=0B. x=C. x=D. x=222 .圆(x-1)2 +(y+2)2=9截y轴所得的弦长为A .、、5B . 2、5 C. 2.2 D . 43. 方程2x+x-4=O的解所在区间为A . (-1, 0)B . (0, 1)C . (1, 2)D . (2, 3)4. 在(x —1)(x+1)6的展开式中x3的系数是A . -5B . 5C . -35 D.352 丫” ，5.在等差数列a n中，a n HQ 当n》2时，a. 1 —a. +a“ 1 =0,若S?* 1 =46,则n 的值为A . 23B . 24C . 11 D.126 .已知扇形的面积为25,则该扇形周长的最小值为A . 20B . 10 .2C . 10 D.5 &7.在厶ABC 中，a, b, c 分别是/ A，/ B,Z C 的对边，已知a-b=c cosB—c c osA，贝U △ ABC的形状是A.等腰三角形 B .直角三角形 C .正三角形 D .等腰三角形或直角三角形8从1 , 2, 3,…，20这20个数中任取2个不同的数，则这两个数之和是3的倍数的概率为1 3 32 57A .B .C .D .19 38 95 1909.已知球O是棱长为12的正四面体S-ABC的外接球，D, E,F分别是棱SA, SB, SC的中点，则平面DEF截球O所得截面的面积是为 ____________ .三、解答题：本大题共 5小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分，第一小问、第二小问各 6分)已知函数 f(x)=cos 4x+2 . 3 si nxcosx — si n 4x . (I)求f(x)的最小正周期；(n )若x € [0,—]，求f(x)的最大值、最小值.2B . 40C . 48D . 542 210•椭圆 ——1的左、右焦点分别为25 16F I ,F 2，弦AB 过F 1 ,若厶ABF 2的内切圆周长为,A,B 两点的坐标分别为(X 1, y 1)和(X 2, y 2),则| y 2- y 1|的值为1020 C.— 3D .亠、填空题：本大题共 6小题，每小题5分,共30分,不需要写出解答过程，请把答案直接 填写在答题卡相应位置上.11. 为了解高三学生的身体状况。
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徐州市2010～2011学年度高三第三次质量检测数 学 Ⅰ一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．． 1.复数(1)(z i i i =-为虚数单位）的共轭复数为 ▲ ；答案：1i -。
2.在空间直角坐标系O xyz -中，点(4,3,7)P -关于坐标平面yOz 的对称点的坐标为 ▲ ； 答案：(4,3,7)--。
3.已知函数22,0,(),0x x x f x ax bx x ⎧+≤⎪=⎨+>⎪⎩为奇函数，则a b += ▲ ；解析：0 解题思路：利用奇函数的定义()()f x f x -=-求出,a b 。
当0x <时，则0x ->，∴2()f x x x =+，2()f x ax bx -=-，而()()f x f x -=-， 即22x x ax bx --=-，∴1,1a b =-=，故0a b +=。
4.在某个容量为300的样本的频率分布直方图中，共有9个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他8个小长方形面积和的15，则中间一组的频数为 ▲ ； 解析：50 解题思路：在直方图中，小长方形的面积等于这组数的频率，小长方形的面积之和为1.设中间一个小长方形面积为x ，则1(1)5x x =-，解得16x =， ∴中间一组的频数为1300506⨯=5.如图是一个算法的程序框图，其输出的结果是 ▲ ； 解析：16 解题思路：按照流程图进行推算。
1,12,24,316,4a b b a b a b a ==→==→==→==6.若1cos 3α=，则cos(2)sin()sin()tan(3)2παπαπαπα-⋅++⋅-的值为 ▲ ；解析：13解题思路：利用诱导公式化简再求值。
cos(2)sin()sin()tan(3)2παπαπαπα-⋅++⋅-cos (sin )1cos cos (tan )3ααααα⋅-===⋅-。
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徐州市2014届高三第三次质量检测数学Ⅰ一、填空题：本大题共14题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题纸相应位置上．．．．．．．．． 1．已知集合{}3,2a M =，{},N a b =．若{}4M N =，则=MN ▲ ．2．已知复数3i1iz -=+（i 是虚数单位），则z 的虚部是 ▲ ． 3．一个正方体玩具的6个面分别标有数字1，2，2，3，3，3．若连续抛掷该玩具两次，则向上一面数字之和为5的概率为 ▲ ．4．从高三年级随机抽取100名学生，将他们的某次考试数学成绩绘制成频率分布直方图．由图中数据可知成绩在[130，140)内的学生人数为 ▲ ．5．执行如图所示算法的伪代码，则输出S 的值为 ▲ ．6．已知圆柱的底面半径为1，母线长与底面的直径相等，则该圆柱的表面积为 ▲ ．7．已知点(1,0)P 到双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的一条渐近线的距离为12，则双曲线C 的离心率为 ▲ ．8．在等比数列{}n a 中，已知11a =，48a =．设3n S 为该数列的前3n 项和，n T 为数列{}3n a 的前n 项和．若3n n S tT =，则实数t 的值为 ▲ ．9．已知实数x ,y 满足条件0,0,1,x y x y x -⎧⎪+⎨⎪⎩≥≥≤则1()2x y -的最大值为 ▲ ．10．在平面直角坐标系xOy 中，直线1y =与函数π3sin (010)2y x x =≤≤的图象所有交点的横坐标之和为 ▲ ． 11．已知111(,)P x y ，222(,)P x y 是以原点O 为圆心的单位圆上的两点，12POP θ∠=（θ为钝角）．若π3sin()45θ+=，则1212x x y y +的值为 ▲ ．12．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≤时，2()3f x x x =--，则不等式(1)4f x x ->-+的解集是 ▲ ．13．如图，在△ABC 中，已知π3BAC ∠=，2AB =，3AC =，2DC BD =，3AE ED =，则BE = ▲ ．14．已知函数1()()e x af x a x =-∈R ．若存在实数m ，n ， 使得()0f x ≥的解集恰为[],m n ，则a 的取值范围是 ▲ ． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．（第5题图）a （第4题图）（第13题图）A CDEB15．（本小题满分14分）在△ABC 中，已知π6C =，向量(sin ,1)A =m ，(1,cos )B =n ，且⊥m n ． （1）求A 的值；（2）若点D 在边BC 上，且3BD BC =，AD ，求△ABC 的面积．16．（本小题满分14分）如图，在五面体ABCDEF 中，已知DE ⊥平面ABCD ，//AD BC ，o 60BAD ∠=，2AB =，1DE EF ==．（1）求证：//BC EF ；（2）求三棱锥B DEF -的体积．17．（本小题满分14分）根据统计资料，某工艺品厂的日产量最多不超过20件，每日产品废品率p 与日产量x (件)之间近似地满足关系式*2*219,,1560 1020,540x x xp x x x ⎧∈⎪⎪-=⎨+⎪∈⎪⎩N N , ≤≤, ≤≤(日产品废品率=日废品量日产量 ×100％)．已知每生产一件正品可赢利2千元，而生产一件废品则亏损1千元．（该车间的日利润y =日正品赢利额-日废品亏损额）（1）将该车间日利润y (千元)表示为日产量x (件)的函数；（2）当该车间的日产量为多少件时，日利润最大？最大日利润是几千元？18．（本小题满分16分）（第16题图）FACDE B如图，已知1A ，2A ，1B ，2B 分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的四个顶点，△112A B B 是一个边长为2的等边三角形，其外接圆为圆M ．（1）求椭圆C 及圆M 的方程；（2）若点D 是圆M 劣弧12A B 上一动点（点D 异于端点1A ，2B ），直线1B D 分别交线段12A B ，椭圆C 于点E ，G ，直线2B G 与11A B 交于点F ． （i ）求11GB EB 的最大值； （ii ）试问：E ，F 两点的横坐标之和是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．19．（本小题满分16分）已知数列{}n a ，{}n b 满足13a =，2n n a b =，12()1n n n nb a b a +=-+，*n ∈N ． （1）求证：数列1{}nb 是等差数列，并求数列{}n b 的通项公式；（2）设数列{}n c 满足25n n c a =-，对于任意给定的正整数p ，是否存在正整数q ，r (p q r <<)，使得1p c ，1q c ，1rc 成等差数列？若存在，试用p 表示q ，r ；若不存在，说明理由．20．（本小题满分16分）已知函数2()(12)ln ()f x ax a x x a =+--∈R ． （1）当0a >时，求函数()f x 的单调增区间；（2）当0a <时，求函数()f x 在区间1[,1]2上的最小值；（3）记函数()y f x =图象为曲线C ，设点11(,)A x y ，22(,)B x y 是曲线C 上不同的两点，点M 为线段AB 的中点，过点M 作x 轴的垂线交曲线C 于点N ．试问：曲线C 在点N 处的切线是否平行于直线AB ？并说明理由．徐州市2014届高三第三次质量检测数学Ⅱ（附加题）21.【选做题】A ．选修4-1：几何证明选讲（本小题满分10分）如图，⊙O 的直径AB 的延长线与弦CD 的延长线相交于点P ，E 为⊙O 上一点，AE =AC ， DE 交AB 于点F ．求证：△PDF ∽△POC ．B ．选修4-2：矩阵与变换（本小题满分10分）已知矩阵12c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A （c ，d 为实数）．若矩阵A 属于特征值2，3的一个特征向量分别为21⎡⎤⎢⎥⎣⎦，11⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求矩阵A 的逆矩阵1-A ．C ．选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）在极坐标系中，已知圆A 的圆心为(4,0)，半径为4，点M 为圆A 上异于极点O 的动点，求弦OM 中点的轨迹的极坐标方程．D ．选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分）已知x ，y ，z ∈R ，且2380x y z +++=．求证：222(1)(2)(3)14x y z -+++-≥．22．（本小题满分10分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，已知1CA CB ==，12AA =，o 90BCA ∠=． （1）求异面直线1BA 与1CB 夹角的余弦值； （2）求二面角1B AB C --平面角的余弦值． 23．（本小题满分10分）在数列{}n a 中，已知120a =，230a =，113n n n a a a +-=-(*n ∈N ，2n ≥)．（1）当2n =，3时，分别求211nn n a a a -+-的值，判断211(2)n n n a a a n -+-≥是否为定值， 并给出证明；（2）求出所有的正整数n ，使得151n n a a ++为完全平方数．徐州市2014届高三第三次质量检测（第21-A 题）A B P F OED C· （第22题图）ABC A 1B 1C 1数学Ⅰ参考答案与评分标准二、解答题 15．（1）由题意知sin cos 0A B ⋅=+=m n ， ………………………………2分又π6C =，πA B C ++=，所以5πsin cos()06A A +-=， ………………………4分即31sin cos sin 022A A A -+=，即πsin()06A -=， ……………………………6分又5π06A <<，所以ππ2π()()663A -∈-,，所以π06A -=，即π6A =． …………7分（2）设BD x =，由3BD BC =，得3BC x =，由（1）知π6A C ==，所以3BA x =，2π3B =， 在△ABD 中，由余弦定理，得2222π(13)=(3)23cos3x x x x +-⨯⨯， ……10分 解得1x =，所以3AB BC ==， ………………………12分所以112π93sin 33sin 223ABC S BA BC B =⋅⋅=⨯⨯⨯=Δ． …………………………14分 16．（1）因为//AD BC ，AD ⊂平面ADEF ，BC ⊄平面ADEF ，所以//BC 平面ADEF ， ………………………………3分 又BC ⊂平面BCEF ，平面BCEF 平面ADEF EF =，所以//BC EF ． ………………………………6分 （2）在平面ABCD 内作BH AD ⊥于点H ，因为DE ⊥平面ABCD ，BH ⊂平面ABCD ，所以DE BH ⊥，又AD ，DE ⊂平面ADEF ，AD DE D =， 所以BH ⊥平面ADEF ，所以BH 是三棱锥B DEF -的高． ………………9分 在直角三角形ABH 中，o 60BAD ∠=，2AB =，所以3BH =， 因为DE ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以DE AD ⊥，又由（1）知，//BC EF ，且//AD BC ，所以//AD EF ，所以DE EF ⊥，……12分所以三棱锥B DEF -的体积1113113332DEF V S BH ∆=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=． ……14分17．（1）由题意可知，2*3*24219,,152(1)5 1020,.3180x x x x xy x p px x x x x ⎧-∈⎪⎪-=--=⎨⎪-∈⎪⎩N N , ≤≤, ≤≤ …………………………4分 （2）考虑函数2324219,15()5 1020,3180x x x xf x x x x ⎧-⎪⎪-=⎨⎪-⎪⎩, ≤≤, ≤≤H（第16题图） FA C DE B当159x -≤时，'()0f x <，函数()f x在(15-上单调减．所以当15x =-时，()f x 取得极大值，也是最大值，又x 是整数，64(8)7f =，(9)9f =，所以当8x =时，()f x 有最大值647．……10分当1020x ≤≤时，225100'()036060x x f x -=-=≤，所以函数()f x 在[10,20]上单调减，所以当10x =时，()f x 取得极大值1009，也是最大值．由于1006497>，所以当该车间的日产量为10件时，日利润最大．答：当该车间的日产量为10件时，日利润最大，最大日利润是1009千元．……14分18．（1）由题意知，2(0,1)B，1(A ，所以1b =，a ，所以椭圆C 的方程为2213x y +=， ………………………2分易得圆心(M，1A M ，所以圆M的方程为224(3x y ++=．…4分（2）证明：设直线1B D的方程为1(y kx k =-<，与直线12A B的方程1y =+联立，解得点E ， ……………6分 联立22113y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 并整理得，22(1+3)60k x kx -=，解得点222631(,)3131k k G k k -++， ……………9分（i）1111121)2G E x GB EB x ===-=+-++1=≤k =时，取“=”，所以11GB EB的最大值为12． …………………………12分（ii ）直线2B G 的方程为222311131116331k k y x x k k k --+=+=-++， 与直线11A B的方程13y x =--联立，解得点F ， ……14分 所以E 、F=- 故E 、F两点的横坐标之和为定值，该定值为- …………………16分 19．（1）因为2n n a b =，所以2n na b =，则142242221221n nn n n n n n n na b b b a b a b b b +=-=-=-=++++， ………………………2分 所以11112n n b b +=+， 又13a =，所以123b =，故1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为32，公差为12的等差数列， ……4分即1312(1)222n n n b +=+-⨯=，所以22n b n =+． ………………………6分 （2）由（1）知2n a n =+，所以2521n n c a n =-=-， ①当1p =时，11p c c ==，21q c q =-，21r c r =-，若1p c ，1q c ，1r c 成等差数列，则2112121q r =+--（*），因为p q r <<，所以2q ≥，3r ≥，2121q <-，11121r +>-， 所以（*）不成立． …………………………9分②当2p ≥时，若1p c ，1q c ，1rc 成等差数列，则211212121q p r =+---，所以121421212121(21)(21)p q r q p p q --=-=-----，即(21)(21)21421p q r p q ---=--，所以22421pq p qr p q +-=--， ………………………12分欲满足题设条件，只需21q p =-，此时2452r p p =-+， ………………14分 因为2p ≥，所以21q p p =->，224734(1)10r q p p p p -=-+=-+->，即r q >． …………………………15分 综上所述，当1p =时，不存在q ，r 满足题设条件；当2p ≥时，存在21q p =-，2452r p p =-+，满足题设条件．…16分20．（1）212(12)1()2(12)ax a x f x ax a x x +--'=+--=(21)(1)ax x x+-=， ……2分 因为0a >，0x >，所以210ax +>，解()0f x '>，得1x >，所以()f x 的单调增区间为(1,)+∞． …………………4分（2）当0a <时，由()0f x '=，得112x a=-，21x =，①当12a ->1，即102a -<<时，()f x 在(0,1)上是减函数，所以()f x 在1[,1]2上的最小值为(1)1f a =-． …………………6分②当11122a -≤≤，即112a --≤≤时，()f x 在11[,]22a -上是减函数，在1[,1]2a-上是增函数，所以()f x 的最小值为11()1ln(2)24f a a a-=-+-． ……………………8分③当1122a -<，即1a <-时，()f x 在1[,1]2上是增函数，所以()f x 的最小值为113()ln 2224f a =-+．综上，函数()f x 在区间1[,1]2上的最小值[]min()f x =13ln 2, 1,24111ln(2), 1,4211, 0.2a a a a aa a ⎧-+<-⎪⎪⎪-+---⎨⎪⎪--<<⎪⎩≤≤………………………10分（3）设00(,)M x y ，则点N 的横坐标为1202x x x +=， 直线AB 的斜率2212112122112121()(12)()ln ln y y k a x x a x x x x x x x x -⎡⎤==-+--+-⎣⎦-- =211212ln ln ()(12)x x a x x a x x -++-+-，曲线C 在点N 处的切线斜率20()k f x '=0012(12)ax a x =+--12122()(12)a x x a x x =++--+，假设曲线C 在点N 处的切线平行于直线AB ，则12k k =， 即211212ln ln 2=x x x x x x ---+， ………………………………13分所以22211211212(1)2()ln 1xx x x x x x x x x --==++，不妨设12x x <，211x t x =>，则2(1)ln 1t t t -=+， 令2(1)()ln (1)1t g t t t t-=->+，22214(1)()0(1+t)(1)t g t t t t -'=-=>+， 所以()g t 在(1,+)∞上是增函数，又(1)0g =，所以()0g t >，即2(1)ln 1t t t-=+不成立， 所以曲线C 在点N 处的切线不平行于直线AB ． …………………………16分徐州市2014届高三第三次质量检测数学Ⅱ参考答案与评分标准B ．选修4-2：矩阵与变换由题意知，122422121c d c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，12131311c d c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 所以22,3,c d c d +=⎧⎨+=⎩ 解得1,4.c d =-⎧⎨=⎩……………………5分所以1214⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A ，所以121331166-⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦A ． ……………………10分 C ．选修4-4：坐标系与参数方程由题意知，圆A 的极坐标方程为8cos ρθ=， ………………4分 设弦OM 中点为(,)N ρθ，则(2,)M ρθ，因为点M 在圆A 上，所以28cos ρθ=，即4cos ρθ=， ………………9分 又点M 异于极点O ，所以0ρ≠，所以弦OM 中点的轨迹的极坐标方程为4cos (0)ρθρ=≠． ………………10分 D ．选修4-5：不等式选讲因为2222222[(1)(2)(3)](123)[(1)2(2)3(3)]x y z x y z -+++-++-+++-≥22(236)14x y z =++-=，………8分当且仅当123123x y z -+-==，即0,4x z y ===-时，取等， 所以222(1)(2)(3)14x y z -+++-≥． …………………10分22．如图，以{}1,,CA CB CC 为正交基底，建立空间直角坐标系C xyz -．则(1,0,0)A ，(0,1,0)B ，1(1,0,2)A ，1(0,1,2)B ，所以1(0,1,2)CB =，(1,1,0)AB =-，1(1,1,2)AB =-，1(1,1,2)BA =-． （1）因为11111130cos ,65CB BA CB BA CB BA ⋅===⨯， 所以异面直线1BA 与1CB 夹角的余弦值为30． …………………………4分（2）设平面1CAB 的法向量为(,,)x y z =m ，则110,0,AB CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m 即20,20,x y z y z -++=⎧⎨+=⎩取平面1CAB 的一个法向量为(0,2,1)=-m ；所以二面角1B AB C --10． …………………………10分 22．（1）记“演出成功”为事件A ，则事件A 由三个互斥事件构成：6X =，7X =，8X =，因为1113232337C C C C 13(6)C 35P X +===，2121322237C C C C 8(7)C 35P X +===，212337C C 3(8)C 35P X ===．所以24()(6)(7)(8)35P A P X P X P X ==+=+==． 所以演出成功的概率为2435．……………………………………………………4分 （2）X 的可能取值为4，5，6，7，8．因为212337C C 3(4)C 35P X ===，2121322237C C C C 8(5)C 35P X +===．xyz（第22题图）AB CA 1B 1C 1所以X 的概率分布为………………8分 所以43586137883()63535353535E X ⨯⨯⨯⨯⨯=++++=． 答：演出节目总数的数学期望为6． ………………………………………10分23．（1）由已知得370a =，4180a =．所以2n =时，211500nn n a a a -+-=-；当3n =时，211500n n n a a a -+-=-．………2分 猜想：211500n n n a a a -+-=-(2n ≥)． …………………………………………3分下面用数学归纳法证明： ①当2n =时，结论成立．②假设当*(2,)n k k k =∈N ≥时，结论成立，即211500k k k a a a -+-=-，将113k k k a a a -+=-代入上式，可得22113500k k k k a a a a ++-+=-． 则当1n k =+时，221211(3)k k k k k k k a a a a a a a ++++-=--=22113500k k k k a a a a ++-+=-． 故当1n k =+结论成立，根据①,②可得，211500n n n a a a -+-=-(2n ≥)成立．………………………………5分 （2）将113n n n a a a -+=-代入211500n n n a a a -+-=-，得22113500n n n n a a a a ++-+=-， 则2115()500n n n n a a a a ++=++，21151()501n n n n a a a a +++=++， 设2151()n n a a t t *++=∈N ，则221()501n n t a a +-+=，即[]11()()501n n n n t a a t a a ++-+++=， ……………………………………7分 又1n n a a ++∈N ，且501=1⨯501=3⨯167，故11+1,+501,n n n n a a t a a t ++-=-⎧⎨+=⎩ 或11+3,+167,n n n na a t a a t ++-=-⎧⎨+=⎩所以1251,250,n nt a a +=⎧⎨+=⎩ 或185,82,n n t a a +=⎧⎨+=⎩由1250n n a a ++=解得3n =；由182n n a a ++=得n 无整数解．所以当3n =时，满足条件． …………………………………10分。