高中数学必修5第一章解三角形知识点复习及经典练习
高中数学必修5知识点总结归纳(人教版最全)
高中数学必修五知识点汇总第一章 解三角形 一、知识点总结 正弦定理:1．正弦定理:2sin sin sin a b cR A B C=== (R 为三角形外接圆的半径).步骤1.证明：在锐角△ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c 。
作CH ⊥AB 垂足为点H CH=a ·sinB CH=b ·sinA ∴a ·sinB=b ·sinA得到b ba a sin sin =同理，在△ABC 中， bbc c sin sin =步骤2.证明：2sin sin sin a b cR A B C===如图，任意三角形ABC,作ABC 的外接圆O. 作直径BD 交⊙O 于D. 连接DA.因为直径所对的圆周角是直角,所以∠DAB=90°因为同弧所对的圆周角相等,所以∠D 等于∠C.所以C RcD sin 2sin ==故2sin sin sin a b c R A B C ===2.正弦定理的一些变式：()sin sin sin i a b c A B C ::=::；()sin ,sin ,sin 22a bii A B C R R==2c R =；()2sin ,2sin ,2sin iii a R A b R B b R C ===；（4）R CB A cb a 2sin sin sin =++++ 3．两类正弦定理解三角形的问题：（1）已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.（2）已知两边和其中一边的对角，求其他边角.（可能有一解，两解，无解） 4.在ABC ∆中，已知a,b 及A 时，解得情况： 解法一：利用正弦定理计算解法二：分析三角形解的情况，可用余弦定理做，已知a,b 和角A ，则由余弦定理得 即可得出关于c 的方程：0cos 2222=-+-a b Ac b c 分析该方程的解的情况即三角形解的情况 ①△=0,则三角形有一解 ②△>0则三角形有两解 ③△<0则三角形无解 余弦定理:1．余弦定理： 2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c b a ba C ⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩2.推论： 222222222cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac b a c C ab ⎧+-=⎪⎪+-⎪=⎨⎪⎪+-=⎪⎩.设a 、b 、c 是C ∆AB 的角A 、B 、C 的对边，则： ①若222a b c +=，则90C =； ②若222a b c +>，则90C <； ③若222a b c +<，则90C >．3.两类余弦定理解三角形的问题：（1）已知三边求三角.（2）已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角. 面积公式:已知三角形的三边为a,b,c,1.111sin ()222a S ah ab C r a b c ===++（其中r 为三角形内切圆半径）2.设)(21c b a p ++=,))()((c p b p a p p S ---=(海伦公式)例：已知三角形的三边为，、、c b a 设)(21c b a p ++=，求证：（1）三角形的面积))()((c p b p a p p S ---=； （2）r 为三角形的内切圆半径，则pc p b p a p r ))()((---=（3）把边BC 、CA 、AB 上的高分别记为，、、c b h h a h 则))()((2c p b p a p p ah a ---=))()((2c p b p a p p b h b ---=))()((2c p b p a p p ch c ---=证明：（1）根据余弦定理的推论：222cos 2a b c C ab+-=由同角三角函数之间的关系，sin C ==代入1sin 2S ab C =，得12S ====记1()2p a b c =++，则可得到1()2b c a p a +-=-，1()2c a b p b +-=-，1()2a b c p c +-=-代入可证得公式（2）三角形的面积S 与三角形内切圆半径r 之间有关系式122S p r pr =⨯⨯=其中1()2p a b c =++，所以S r p == 注：连接圆心和三角形三个顶点，构成三个小三角形，则大三角形的面积就是三个小三角形面积的和 故得：pr cr br ar S =++=212121（3）根据三角形面积公式12a S a h =⨯⨯所以，2a S h a =a h =同理b h c h 【三角形中的常见结论】（1）π=++C B A (2) sin()sin ,A B C +=cos()cos ,A B C +=-tan()tan ,A B C +=-2cos 2sinC B A =+,2sin 2cos CB A =+;A A A cos sin 22sin ⋅=, （3）若⇒>>C B A c b a >>⇒C B A sin sin sin >> 若C B A sin sin sin >>⇒c b a >>⇒C B A >> （大边对大角，小边对小角）（4）三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边 （5）三角形中最大角大于等于 60，最小角小于等于 60(6) 锐角三角形⇔三内角都是锐角⇔三内角的余弦值为正值⇔任两角和都是钝角⇔任意两边的平方和大于第三边的平方.钝角三角形⇔最大角是钝角⇔最大角的余弦值为负值 （7）ABC ∆中，A,B,C 成等差数列的充要条件是 60=B .(8) ABC ∆为正三角形的充要条件是A,B,C 成等差数列，且a,b,c 成等比数列. 二、题型汇总:题型1:判定三角形形状判断三角形的类型（1）利用三角形的边角关系判断三角形的形状:判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式.（2）在ABC ∆中，由余弦定理可知:222222222是直角ABC 是直角三角形是钝角ABC 是钝角三角形是锐角a b c A a b c A a b c A =+⇔⇔∆>+⇔⇔∆<+⇔⇔ABC 是锐角三角形∆（注意：是锐角A ⇔ABC 是锐角三角形∆） (3) 若B A 2sin 2sin =，则A=B 或2π=+B A .例1.在ABC ∆中，A b c cos 2=，且ab c b a c b a 3))((=-+++，试判断ABC ∆形状.题型2:解三角形及求面积一般地，把三角形的三个角A,B,C 和它们的对边a,b,c 叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.例2.在ABC ∆中，1=a ，3=b ，030=∠A ，求的值例3.在ABC ∆中，内角C B A ,,对边的边长分别是c b a ,,，已知2=c ，3π=C ．（Ⅰ）若ABC ∆的面积等于3，求a ，b（Ⅱ）若A A B C 2sin 2)(sin sin =-+，求ABC ∆的面积．题型3:证明等式成立证明等式成立的方法：（1）左⇒右，（2）右⇒左，（3）左右互相推.例4.已知ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，求证：B c C b a cos cos +=.题型4:解三角形在实际中的应用考察：（仰角、俯角、方向角、方位角、视角）例5．如图所示，货轮在海上以40km/h 的速度沿着方位角（从指北方向顺时针转到目标方向线的水平转角）为140°的方向航行，为了确定船位，船在B 点观测灯塔A 的方位角为110°，航行半小时到达C 点观测灯塔A 的方位角是65°，则货轮到达C 点时，与灯塔A 的距离是多少？三、解三角形的应用 1.坡角和坡度：坡面与水平面的锐二面角叫做坡角，坡面的垂直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度，用i 表示，根据定义可知：坡度是坡角的正切，即tan i α=.lhα2.俯角和仰角：如图所示，在同一铅垂面内，在目标视线与水平线所成的夹角中，目标视线在水平视线的上方时叫做仰角，目标视线在水平视线的下方时叫做俯角.3. 方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为 .注：仰角、俯角、方位角的区别是：三者的参照不同。
高中数学必修5 第一章 解三角形复习知识点总结与练习-9-16
高中数学必修5 第一章解三角形复习知识点总结与练习-9-16高中数学必修5第一章解三角形是高中数学的一个重要章节，本章主要介绍了三角形的基本概念、解三角形的方法和定理以及相关的性质。
下面我将对本章的知识点进行总结，并给出一些练习题进行巩固。
一、基本概念1. 三角形的定义：三边的连接所形成的图形叫做三角形。
2. 三角形的分类：按边长分为等边三角形、等腰三角形和一般三角形；按角度分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。
二、解三角形的方法和定理1. 正弦定理：在三角形ABC中，a、b、c分别为三边的长度，A、B、C分别为三个对应的内角的度数，那么有以下关系成立：sinA/a = sinB/b = sinC/c该定理为解各种不同类型三角形的关键方法之一。
2. 余弦定理：在三角形ABC中，a、b、c分别为三边的长度，A、B、C分别为三个对应的内角的度数，那么有以下关系成立：c² = a² + b² - 2ab cosC该定理可以用于解决已知三边求角、已知两边一夹角求第三边等问题。
3. 正切定理：在三角形ABC中，a、b、c分别为三边的长度，A、B、C分别为三个对应的内角的度数，那么有以下关系成立：tanA/a = tanB/b = tanC/c该定理可以用于解决已知角求边、已知两边的夹角求第三边等问题。
4. 两角定理：若在三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。
5. 直角三角形中的性质：直角三角形中，两个锐角的正弦、余弦、正切值互为倒数关系。
三、练习题1. 已知三角形ABC，AB = 5cm，BC = 8cm，AC = 6cm，求三个内角的大小。
解：根据余弦定理：c² = a² + b² - 2ab cosC将已知数据代入得：6² = 5² + 8² - 2×5×8 cosC化简得：36 = 25 + 64 - 80cosC化简得：75cosC = 53解得：cosC = 53/75从而得：C ≈ 46.6°同理，可以得出A ≈ 41.4°，B ≈ 92°2. 已知三角形ABC，AB = 7cm，BC = 9cm，A = 30°，求角B和边AC的长度。
高中数学必修5(人教B版)第一章解三角形1.1知识点总结含同步练习题及答案
a b b sin A 1 √2 sin 45∘ ，所以sin B = = = = ．因为 a > b，所以 sin B a 2 2 sin A A > B，所以 B 为锐角，所以 B = 30∘ ．
下列关于 △ABC 的说法正确的是（ ） A．若 a = 7，b = 14 ，A = 30∘ ，则 B 有两解 B．若 a = 30 ，b = 25 ，A = 150 ∘ ，则 B 只有一解
14 × 7 25 × 30 9×
1 2 = 1，所以 B = 90∘ ，即只有一解，A 项 1 2 < 1，又 A 为钝角，故 B 只有一解，B
b sin A C 项中，由正弦定理，得 sin B = = a
误；
√2 2 > 1，所以 B 不存在，即无解，C 项错 6
√3 10 × c sin B 2 < 1 ，因为 b < c ，B = 60∘ ， D 项中，由正弦定理，得 sin C = = b 9 0 ∘ < C < 180 ∘ ，所以 C 有两解，D 项错误．
得{ b = 2,
c = 4.
4.判断三角形形状 描述： 利用三角恒等变换、正弦定理和余弦定理进行边角互化，从而找到三角形元素之间的关系，进而 判断三角形形状． 例题： 设 △ABC 的内角 A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ，若 b cos C + c cos B = a sin A，则 ） △ABC 的形状为（ A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．不确定 解：A 由正弦定理可得 sin B cos C + sin C cos B = sin A sin A，所以 sin(B + C ) = sin 2 A，即 sin A = sin 2 A ．又 sin A ≠ 0，所以 sin A = 1，所以 A = 90∘ ． 在 △ABC 中，a2 ⋅ tan B = b 2 ⋅ tan A，判断三角形 ABC 的形状． 解：由正弦定理得
(完整版)高中数学-解三角形知识点归纳和分类习题测试,推荐文档
必修五：解三角形知识点一：正弦定理和余弦定理1.正弦定理a b c:si nAsin B si nC J'或变形：a: b:c s iri A:sin B:sin CcosAb 2 2 c2a2bc2 222a2 2b c2bccos AcosB ac b2acb 22 2 a c2accosBcosCb 2 2 a 2 c2 c 2 2 b a 2 •余弦定理：2bacosC 或2ab3. （ 1）两类正弦定理解三角形的问题： 1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角（2）两类余弦定理解三角形的问题： 1、已知三边求三角•2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角4•判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式运算 女口. sin(A B) sinC,cos(A B)A B C ABC AB C sincos ,cossin ,ta n cot — 2 2 22 225 •解题中利用 ABC 中A B C，以及由此推得的一些基本关系式进行三角变换的cosC, tan(A B) tanC,1.若ABC 的三个内角满足si nA:si nB:si nC 5:11:13，贝U ABC 是( )A. 锐角三角形B•钝角三角形C.直角三角形D.可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形•2 .在厶ABC中，角A, B, C所对的边分别为a, b, c,若a2b=2,sinB+cosB= 、 2 ,则角A的大小为( )A - B. _ C - D.—2 3 463.在厶ABC中，a 7,b 4、.3,c.13 ,则最小角为A—B、一 C 、— D 、364124.已知ABC中，AB 4, AC 3, BAC60，则BC ()A. 13B. 13C.5D.10 5•在锐角ABC中，若C 2B，则c的范围（）bA. 2, 3 B . 3,2 C . 0,2 D. 2,26.在ABC中，A、B、C所对的边分别是a、b、c,已知a2b2c2-、°ab，则C （）23A. 2B.4C.3D.47.在厶ABC中，A60o,b16,面积S220 .. 3，则cA 10、6 B、75C、55D、4 98.在厶ABC中，（a c)(a c) b(b c), 则AA 30o B、60o C、120o D、150o9.已知ABC中，AB 4,BAC45AC 3.2则ABC的面积为cosB b10.在ABC中，a,b,c分别是角A,B,C的对边,且cosC 2a c ,则角B的大小为11.已知锐角三角形的边长分别是23 x，则x的取值范围是A、1 X 5 B 、、5 x ^13 C 、0 x .5 D 、13x512 . ABC中，AB 1,BC 2则角C的取值范围是__________________知识点二：判断三角形的形状问题C1.在ABC 中，若cos A cos B sin2—，则ABC 是（）2A.等边三角形B •等腰三角形C .锐角三角形D.直角三角形A、一定是直角三角形C、可能是锐角三角形tan A3. 已知在△ABC中，tan B a b4. 在ABC 中，若cosA cosBA .等腰直角三角形5. 在△ ABC 中，若2cosBsinA = sinC,y^ ABC 的形状一定是( )A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形6. △ ABC 中，B 60°, b2 ac,则厶ABC - -定是( )A 锐角三角形B 钝角三角形C 等腰三角形D 等边三角形7. 若(a+b+c)(b+c —a)=3abc,且sinA=2sinBcosC,那么△ ABC 是()A .直角三角形B.等边三角形C.等腰三角形 D . 等腰直角三角形8.在厶ABC中，已知2ab c2sin A sin BsinC，试判断厶ABC的形状。
高中数学必修五三角函数知识点+练习题含答案解析(很详细)
高中数学必修五三角函数知识点+练习题含答案解析(很详细)第一部分必修五三角函数知识点整理第一章解三角形1、三角形的性质：①.A+B+C=π,? 222A B C π+=-?sin cos 22A B C += ②.在ABC ?中, a b +＞c , a b -＜c ; A ＞B ?sin A ＞sinB ...........................A ＞B ?cosA ＜cosB, a ＞b ? A ＞B③.若ABC ?为锐角?，则A B +＞2π,B+C ＞2π,A+C ＞2π; 22a b +＞2c ，22b c +＞2a ，2a ＋2c ＞2b2、正弦定理与余弦定理：①.(2R 为ABC ?外接圆的直径)2s i n a R A =、2sin b R B =、2sin c R C =sin 2a A R =、 sin 2b B R =、 sin 2c C R= 面积公式：111sin sin sin 222ABC S ab C bc A ac B ?=== ②.余弦定理：2222cos a b c bc A =+-、2222cos b a c ac B =+-、2222cos c a b ab C =+-222cos 2b c a A bc +-=、222cos 2a c b B ac +-=、222cos 2a b c C ab+-= 补充：两角和与差的正弦、余弦和正切公式：⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+；⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-；⑶()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-；⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+；⑸()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ --=+ ? （()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+）；⑹()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=- ? （()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-）．二倍角的正弦、余弦和正切公式：⑴sin 22sin cos ααα=．222)cos (sin cos sin 2cos sin 2sin1ααααααα±=±+=±?⑵2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-升幂公式2sin 2cos 1,2cos 2cos 122αααα=-=+ ?落幂公式2cos 21cos 2αα+=，21cos 2sin 2αα-=．第二部分必修五练习题含答案解析第一章解三角形1.在△ABC 中，AB ＝5，BC ＝6，AC ＝8，则△ABC 的形状是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．非钝角三角形解析：最大边AC 所对角为B ，则cosB ＝52＋62－822×5×6＝－320B>CB ．B>A>C C ．C>B>AD ．C>A>B解析由正弦定理a sinA ＝b sinB ，∴sinB ＝bsinA a ＝32.∵B 为锐角，∴B ＝60°，则C ＝90°，故C>B>A. 答案 C3．在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，则b 等于( )A ．4 2B ．4 3C ．4 6 D.323解:由A ＋B ＋C ＝180°，可求得A ＝45°，由正弦定理，得b ＝asinB sinA ＝8×sin60°sin45°＝8×3222＝4 6. 答案 C4．在△ABC 中，AB ＝5，BC ＝7，AC ＝8，则BA →·BC → 的值为( )A ．5B ．－5C ．15D ．－15解析在△ABC 中，由余弦定理得：cosB ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC ＝25＋49－642×5×7＝17. ∴BA →·BC →＝|BA →|·|BC →|cosB ＝5×7×17＝5. 答案 A5．若三角形三边长之比是1：3：2，则其所对角之比是( )A ．1：2：3B ．1：3：2C ．1：2： 3 D.2：3：2解析设三边长分不为a ，3a,2a ，设最大角为A ，则cosA ＝a 2＋3a 2－2a 22·a ·3a ＝0，∴A ＝90°.设最小角为B ，则cosB ＝2a 2＋3a 2－a 22·2a ·3a ＝32，∴B ＝30°，∴C ＝60°. 所以三角之比为1：2：3. 答案 A6．在△ABC 中，若a ＝6，b ＝9，A ＝45°，则此三角形有( )A ．无解B ．一解C ．两解D ．解的个数别确定解析由b sinB ＝a sinA ，得sinB ＝bsinA a ＝9×226＝3 24>1.∴此三角形无解．答案 A7．已知△ABC 的外接圆半径为R ，且2R(sin 2A －sin 2C)＝(2a －b)sinB(其中a ，b 分不为A ，B 的对边)，这么角C 的大小为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°解析依照正弦定理，原式可化为2R ? ??a 24R 2－c 24R 2＝(2a －b)·b 2R ，∴a 2－c 2＝(2a －b)b ，∴a 2＋b 2－c 2＝2ab ，∴cosC ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝22，∴C ＝45°. 答案 B8．在△ABC 中，已知sin 2A ＋sin 2B －sinAsinB ＝sin 2C ，且满脚ab ＝4，则该三角形的面积为( )A ．1B ．2 C. 2 D. 3解析由a sinA ＝b sinB ＝c sinC＝2R ，又sin 2A ＋sin 2B －sinAsinB ＝sin 2C ，可得a 2＋b 2－ab ＝c 2.∴c osC ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，∴C ＝60°，sinC ＝32. ∴S △ABC ＝12absinC ＝ 3. 答案 D9．在△ABC 中，A ＝120°，AB ＝5，BC ＝7，则sinB sinC 的值为( ) A.85 B.58 C.53 D.35解析由余弦定理，得 cosA ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC，解得AC ＝3. 由正弦定理sinB sinC ＝AC AB ＝35. 答案 D10.在三角形ABC 中，AB ＝5，AC ＝3，BC ＝7，则∠BAC 的大小为( )A.2π3B.5π6C.3π4D.π3解析由余弦定理，得cos ∠BAC ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝52＋32－722×5×3＝－12，∴∠BAC ＝2π3. 答案 A11．有一长为1 km 的歪坡，它的倾歪角为20°，现要将倾歪角改为10°，则坡底要加长( )A ．0.5 kmB ．1 kmC ．1.5 km D.32km 解析如图，AC ＝AB ·sin20°＝sin20°，BC ＝AB ·cos20°＝cos20°，DC ＝AC tan10°＝2cos 210°，∴DB ＝DC －BC ＝2cos 210°－cos20°＝1.答案 B12．已知△ABC 中，A ，B ，C 的对边分不为a ，b ，c.若a ＝c ＝6＋2，且A ＝75°，则b 为( )A ．2B ．4＋2 3C ．4－2 3 D.6－ 2解析在△ABC 中，由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bccosA ，∵a ＝c ，∴0＝b 2－2bccosA ＝b 2－2b(6＋2)cos75°，而cos75°＝cos(30°＋45°)＝cos30°cos45°－sin30°sin45°＝22? ????32－12＝14(6－2)，∴b 2－2b(6＋2)cos75°＝b 2－2b(6＋2)·14(6－2)＝b 2－2b ＝0，解得b ＝2，或b ＝0(舍去)．故选A. 答案 A 13．在△ABC 中，A ＝60°，C ＝45°，b ＝4，则此三角形的最小边是____________．解析由A ＋B ＋C ＝180°，得B ＝75°，∴c 为最小边，由正弦定理，知c ＝bsinC sinB ＝4sin45°sin75°＝4(3－1)．答案 4(3－1)14．在△ABC 中，若b ＝2a ，B ＝A ＋60°，则A ＝________.解析由B ＝A ＋60°，得 sinB ＝sin(A ＋60°)＝12sinA ＋32cosA. 又由b ＝2a ，知sinB ＝2sinA.∴2sinA ＝12sinA ＋32cosA. 即32sinA ＝32cosA.∵cosA ≠0，∴tanA ＝33.∵0°<A<180°，∴A ＝30°. 答案30° 15．在△ABC 中，A ＋C ＝2B ，BC ＝5，且△ABC 的面积为103，则B ＝_______，AB ＝_______.解析由A ＋C ＝2B 及A ＋B ＋C ＝180°，得B ＝60°.又S ＝12AB ·BC ·sinB ，∴10 3＝12AB ×5×sin60°，∴AB ＝8. 答案60° 816．在△ABC 中，已知(b ＋c)：(c ＋a)：(a ＋b)＝8：9：10，则sinA ：sinB ：sinC ＝________.解析设b ＋c ＝8k ，c ＋a ＝9k ，a ＋b ＝10k ，可得a ：b ：c ＝11：9：7.∴sinA ：sinB ：sinC ＝11：9：7.答案 11：9：717．在非等腰△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分不为a ，b ，c ，且a 2＝b(b ＋c)．(1)求证：A ＝2B ；(2)若a ＝XXX ，试推断△ABC 的形状．解 (1)证明：在△ABC 中，∵a 2＝b ·(b ＋c)＝b 2＋bc ，由余弦定理，得cosB ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝bc ＋c 22ac ＝b ＋c 2a ＝a 2b ＝sinA 2sinB ，∴sinA ＝2sinBcosB ＝sin2B.则A ＝2B 或A ＋2B ＝π.若A ＋2B ＝π，又A ＋B ＋C ＝π，∴B ＝C.这与已知相矛盾，故A ＝2B.(2)∵a ＝XXX ，由a 2＝b(b ＋c)，得XXX 2＝b 2＋bc ，∴c ＝2b.又a 2＋b 2＝4b 2＝c 2.故△ABC 为直角三角形．18．锐角三角形ABC 中，边a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，角A ，B 满脚2sin(A ＋B)－3＝0.求：(1)角C 的度数；(2)边c 的长度及△ABC 的面积．解 (1)由2sin(A ＋B)－3＝0，得sin(A ＋B)＝32. ∵△ABC 为锐角三角形，∴A ＋B ＝120°，∴∠C ＝60°.(2)∵a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两个根，∴a ＋b ＝23，ab ＝2.∴c 2＝a 2＋b 2－2abcosC ＝(a ＋b)2－3ab ＝12－6＝6.∴c ＝ 6.S △ABC ＝12absinC ＝12×2×32＝32. 19.已知△ABC 的角A ，B ，C 所对的边分不是a ，b ，c ，设向量m ＝(a ，b)，n ＝(sinB ，sinA)，p ＝(b －2，a －2)．(1)若m ∥n ，求证：△ABC 为等腰三角形；(2)若m ⊥p ，边长c ＝2，角C ＝π3，求△ABC 的面积．解 (1)证明：∵m ∥n ，∴asinA ＝bsinB.由正弦定得知，sinA ＝a 2R ，sinB ＝b 2R (其中R 为△ABC 外接圆的半径)，代入上式，得a ·a 2R ＝b ·b 2R，∴a ＝b.故△ABC 为等腰三角形．(2)∵m ⊥p ，∴m ·p ＝0，∴a(b －2)＋b(a －2)＝0，∴a ＋b ＝ab.由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2abcosC 得4＝(a＋b)2－3ab，即(ab)2－3ab－4＝0. 解得ab＝4，ab＝－1(舍去)．∴△ABC的面积S＝12absinC＝12×4×sinπ3＝ 3.。
必修5第一章解三角形知识点与典例巩固
必修5第一章解三角形知识点与典例巩固一、知识回顾一般地，在三角形中已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作 ；1.正弦定理的内容：2.正弦定理的变形①边化角：a = ，b = ，c = ；②角化边：sin A = ，sin B = ，sin C = ；3.正弦定理的推论： ::a b c =从而知正弦定理的基本作用为：① ② ；4.余弦定理的内容： 余弦定理的推论：从而知余弦定理的基本作用为：（1）（2） （3） ；（使用余弦定理时，优先按角选择公式，然后根据边的积选择）6.在△ABC 中，若222c b a +<，则A 为________角，⇒△ABC 是 三角形；若222c b a +=，则A 为________角，⇒△ABC 是 三角形；若222c b a +>，则A 为_______角， ⇒△ABC 是 三角形 ；7.在△ABC 中，面积ABC S ∆= = = ; （使用面积公式时，优先按角选择公式，通常与余弦定理共同命题）8、在解三角形中常用结论：（1）π=++C B A ; (2)C B A sin )sin(=+, =+)sin(C A , =+)sin(C B ;（3）C B A cos )cos(-=+, =+)cos(C A , =+)cos(C B ；（4）若B A sin sin =，则 ；若B A 2sin 2sin =，则 或 ；（5）若B A cos cos =，则 ；若B A sin sin >，则 ；若B A cos cos >，则 ；（6）2cos 2sin C B A =+; =+2cos B A ； 在解三角形的实际应用中，关键在实际问题数学化，弄清已知和未知，转化为解三角形。
（二）合作探讨类型一 已知两角及一边解三角形1、在ABC ∆中，已知45B =，60C =，12a =cm ，解三角形．类型二 已知两边及一边的对角解三角形2、在6,45,2,,ABC c A a b B C ∆===中，求和．类型三 已知两边及夹角解三角形3、△ABC 中，33a =，2c =，150B =，求b ．变式：在ABC ∆中，已知7=a ，8=b ，1413cos =C ，求边c类型四 已知三边解三角形4、在△ABC 中，已知三边长3a =，4b =，37c =，求三角形的最大内角．变式：在∆ABC 中，若222a b c bc =++，求角A ．类型五 三角形面积公式（1）在ABC ∆中，已知2=a ，3=b ，︒=150C ，求ABC S ∆；（2）在ABC ∆中，已知10=c ，︒=45A ，︒=30C ，求b 和ABC S ∆；类型六 判断三角形的形状5、已知在ABC ∆中，C c B b sin sin =，且C B A 222sin sin sin +=，试判断三角形的形状。
高中数学必修五第一章解三角形知识点总结计划及练习题
第一章解三角形1、正弦定理：在C中，a、b、c分别为角、、C的对边，R为C的外接圆的半径，那么有：a b c2R．sin sin sinC2、正弦定理的变形公式：①a2Rsin，b2Rsin，c2RsinC；②sin a，sinb c2R，sinC；2R2R③a:b:c sin:sin:sinC；④a b c a b csin sinCsin sin．sin sinC注意：正弦定理主要用来解决两类问题：1、两边和其中一边所对的角，求其余的量。
2、两角和一边，求其余的量。
⑤对于两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况。
〔一解、两解、无解三中情况〕如：在三角形ABC中，a、b、A〔A为锐角〕求B。
具体的做法是：数形结合思想画出图：法一：把a扰着C点旋转，看所得轨迹以AD有无交点：当无交点那么B无解、C当有一个交点那么B有一解、当有两个交点那么B有两个解。
a法二：是算出CD=bsinA,看a的情况：bbsinA当a<bsinA，那么B无解当bsinA<a≤b,那么B有两解AD 当a=bsinA或a>b时，B有一解注：当A为钝角或是直角时以此类推既可。
3、三角形面积公式：S C1bcsin1absinC1acsin．2224、余弦定理：在C中，有a2b2c22bccosc2a2b22abcosC ，b2a2c22accos，．5、余弦定理的推论：b2c2a2cos2bc，a2c2b2cos2ac，a2b2c2cosC2ab．(余弦定理主要解决的问题：1、两边和夹角，求其余的量。
2、三边求角)6、如何判断三角形的形状：设a、b、c是C的角、、C的对边，那么：①假设a2b2c2，那么C90o；②假设a2b2c2，那么C90o；③假设a 2b22，那么C90o．BcA7、正余弦定理的综合应用：如下列图：隔河看两目标A、B,但不能到达，在岸边选取相距3千米的C、D两点，O O O并测得∠ACB=75,∠BCD=45,∠ADC=30,∠ADB=45O(A、B、C、D在同一平面内)，求两目标附：三角形的五个“心〞；重心：三角形三条中线交点.外心：三角形三边垂直平分线相交于一点.内心：三角形三内角的平分线相交于一点.垂心：三角形三边上的高相交于一点.练习题一、选择题1、在△ABC中，a＝10，B=60°,C=45°,那么c等于〔CDA、B之间的距离。
高中数学必修5第一章解三角形知识点复习及经典练习
高中数学必修五第一章解三角形知识点复习及经典练习一、知识点总结1．正弦定理:2sin sin sin a b cR A B C===或变形：::sin :sin :sin a b c A B C =.推论：①定理：若α、β＞0，且α+β＜π，则α≤β⇔sin sin αβ≤，等号当且当α=β时成立。
②判断三角解时，可以利用如下原理： sinA ＞ sinB ⇔ A ＞ B ⇔ a ＞ b cos cos A B A B >⇔<（cos y x =在(0,)π上单调递减）2．余弦定理： 2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c b a ba C⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩ 或 222222222cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac b a c C ab ⎧+-=⎪⎪+-⎪=⎨⎪⎪+-=⎪⎩.3．（1）两类正弦定理解三角形的问题：1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角. （2）两类余弦定理解三角形的问题：1、已知三边求三角.2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角. 4．判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式. 5．三角形中的基本关系：sin()sin ,A B C +=cos()cos ,A B C +=-tan()tan ,A B C +=- 已知条件 定理应用 一般解法一边和两角 （如a 、B 、C ）正弦定理由A+B+C=180˙，求角A ，由正弦定理求出b 与c ，在有解时 有一解。
两边和夹角 (如a 、b 、c)余弦定理 由余弦定理求第三边c ，由正弦定理求出小边所对的角，再 由A+B+C=180˙求出另一角，在有解时有一解。
三边(如a 、b 、c)余弦定理 由余弦定理求出角A 、B ，再利用A+B+C=180˙，求出角C 在有解时只有一解。
必修5第一章解三角形知识点全面 总结
必修5第一章解三角形 知识总结1.正弦定理: 在一个三角形中, 各边和它所对角的正弦的比相等, 即sin sin a b A B =sin cC==2R （1）正弦定理说明同一三角形中, 边与其对角的正弦成正比, 且比例系数为同一正数2R, 即 , , ； （2） 等价于 变形: , （3）正弦定理的基本作用为:①已知三角形的两角及其一边可以求其他边, 即先用内角和求第三角, 再用正弦定理求另外两边；②已知三角形的两边与一边的对角可以先求另一对角的正弦值, 然后用内角和定理求第三角, 再用正弦定理求第三边如先求sin sin aA B b=——A ——C ——c2.余弦定理: 三角形中任何一边的平方等于其它两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。
即:2222cos a b c bc A =+- 或 2222cos b c a bc A +-= 2222cos =+-b a c ac B 或 2222cos a c b ac B +-= 2222cos c a b ab C =+- 或 2222cos a b c ab C +-= 从余弦定理, 又可得到以下推论:222cos 2b c a A bc +-=222cos 2a c b B ac +-= 222cos 2a b c C ab+-= 在△ABC 中, 由 得:若 , 则cosC=0, 角 是直角； 若 , 则cos <0, 角C 是钝角； 若 , 则cos >0, 角C 是锐角．3.三角形面积公式: 三角形的面积等于三角形的任意两边以及它们夹角的正弦之积的一半. S= absinC= bcsinA= acsinB4.三角形中的三角变换 , 除了应用上述公式和上述变换方法外, 还要注意三角形自身的特点。
（1）角的变换：在△ABC 中, A+B+C=π,所以sin(A+B)=sinC ；cos(A+B)=－cosC ；tan(A+B)=－tanC 。
必修5第一章解三角形总复习.doc
COSX =五、第一章解三角形复习提纲及专题练习一、诱导公式（1）。
+ 2幻r （AcZ ）、—a 、几 + Q 、兀一a 、In-a 的三角函数值，等于a 的同名函数值,前面加上一个把。
看成锐角时原函数值的符号。
（口诀：函数名不变，符号看象限）• •若尤 + y = 180° ,贝ijsinx =, cosx =, tanx =。
TT Tt \rr ⑵一+ Q 、——a. — + a 、 ----------- Q 的三角函数值，等于a 的异名函数值，前而加上一2 2 2 2个把a 看成锐角时原函数值的符号。
(口诀：函数名改变，符号看象限)• •若工+ y = 90° , 则 sinx =, cos% =, tanx=。
和角公式和差角公式sin(a + ") = sin Q ・ cos /3 + coscr • sin p sin (6Z - J3) = sin a - cos (3 - cos« - sin (3 cos(a + 0) = COSQ • cos 一 sin o • sin &COS (Q -") = cosa ・cos" + sinQ ・sin (3/ c 、 tan cr + tan Z?tan(a +。
)= ------------------ —1-tana-tanpz °、 tan 。
一 ta" tan (Q 一。
)= --------------- ^―1 + tan 必 tan p二倍角角公式sin 26^ = 2sinocosQcos la = cos 2cif-sin 2^ = 2cos 2(7-1 = 1 -2sin 26Z 八2 tan 。
tan 2a = ---------- --1一 tans二倍角的余弦公式有以下常用变形：(规律：降慕扩角，升慕缩角)1 + cos 2a = 2COS 2^Z 1 - cos 2a = 2sin 2^z 1 + sin 2a = (sina + cosa)21 - sin 2a = (sina-cosa)?9 1 + cos 2a . 9 1 - cos 2a 1 - cos 2a sin 2a cos~a = -------------- , sirra= ------------------- ，tana = --------------- = -------------2 2 sin 2a 1 +cos 2a四、正弦定理（重点）」^ 二 一土 = ^—二 2R （ R 为MBC 外接圆半径） sin A sin B sin C余弦定理（重点）f . 2 °9 f 9 9 . U + C — Cl cr = + u — 2bc • cos A n cos A = ---------------------------2hc<=> a2 > b2 +c2 <^a2<b2+c2a1 =b2 +c21.已知△ABC 中，o=4, b=4^i ,A. 30°C. 60°2.己知△ABC 中，A8=6, ZA = 30A. 9C. 9^3B.等腰攻等边二角D.等腰直角三角形5：7,则其最大角是（）23兀B. 一勿C,―4 D.5〃"6~,292O D a2 +c2-b2b~ = + c」一 2ac• cos B => cos B = ---------------------2ac2 > 2 22 o . 2 i八八 /+歹_（7c - - 2ab - cos C => cosC = --------------------------lab六、三角形的面积公式Swc =—cibsinC = —bcsin A = —cas\nB（两边一夹角）七、边与三角形形形状的关系设a是最长的边，则AABC是钝角三角形AABC是锐角三角形AABC是直角角三角形八、解三角形专题练习ZA = 30°,则等于（）B.30。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
高中数学必修五第一章解三角形知识点复习及经典练习一、知识点总结1．正弦定理:2sin sin sin a b cR A B C===或变形：::sin :sin :sin a b c A B C =.推论：①定理：若α、β＞0，且α+β＜π，则α≤β⇔sin sin αβ≤，等号当且当α=β时成立。
②判断三角解时，可以利用如下原理： sinA ＞ sinB ⇔ A ＞ B ⇔ a ＞ b cos cos A B A B >⇔<（cos y x =在(0,)π上单调递减）2．余弦定理： 2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c b a ba C⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩ 或 222222222cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac b a c C ab ⎧+-=⎪⎪+-⎪=⎨⎪⎪+-=⎪⎩.3．（1）两类正弦定理解三角形的问题：1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角. （2）两类余弦定理解三角形的问题：1、已知三边求三角.2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角. 4．判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式. 5．三角形中的基本关系：sin()sin ,A B C +=cos()cos ,A B C +=-tan()tan ,A B C +=- sin cos ,cos sin ,tan cotA B C A B C A B C+++===解三角形[基础训练A 组]一、选择题1．在△ABC 中，若030,6,90===B a C ，则b c -等于（ ） A ．1 B ．1- C ．32 D ．32-2．若A 为△ABC 的内角，则下列函数中一定取正值的是（ ） A ．A sin B ．A cos C ．A tan D ．Atan 13．在△ABC 中，角,A B 均为锐角，且,sin cos B A >则△ABC 的形状是（ ） A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰三角形4．等腰三角形一腰上的高是3，这条高与底边的夹角为060，则底边长为（ ）A ．2B ．23C ．3D ．32 5．在△ABC 中，若B a b sin 2=，则A 等于（ ）A ．06030或 B ．06045或 C ．060120或 D ．015030或 6．边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是（ ） A ．090 B ．0120 C ．0135 D ．0150二、填空题1．在Rt △ABC 中，090C =，则B A sin sin 的最大值是_______________。
2．在△ABC 中，若=++=A c bc b a 则,222_________。
3．在△ABC 中，若====a C B b 则,135,30,20_________。
4．在△ABC 中，若sin A ∶sin B ∶sin C =7∶8∶13，则C =_____________。
5．在△ABC 中，,26-=AB 030C =，则AC BC +的最大值是________。
三、解答题1． 在△ABC 中，若,cos cos cos C c B b A a =+则△ABC 的形状是什么？2．在△ABC 中，求证：)cos cos (aA bB c a b b a -=- 3．在锐角△ABC 中，求证：C B A C B A cos cos cos sin sin sin ++>++。
4．在△ABC 中，设,3,2π=-=+C A b c a 求B sin 的值。
解三角形[综合训练B 组] 一、选择题1．在△ABC 中，::1:2:3A B C =，则::a b c 等于（ ）A ．1:2:3B ．3:2:1C ．2D ．22．在△ABC 中，若角B 为钝角，则sin sin B A -的值（ ）A 大于零B 小于零C 等于零D 不能确定 3．在△ABC 中，若B A 2=，则a 等于（ ）A ．A b sin 2 B ．A b cos 2 C ．B b sin 2 D ．B b cos 2 4．在△ABC 中，若2lg sin lg cos lg sin lg =--C B A ，则△ABC 的形状是（ ） A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．不能确定 D ．等腰三角形5．在△ABC 中，若,3))((bc a c b c b a =-+++则A = ( ) A ．090B ．060C ．0135 D ．0150 6．在△ABC 中，若1413cos ,8,7===C b a ，则最大角的余弦是（ ）A ．51- B ．61- C ．71- D ．81- 7．在△ABC 中，若tan2A B a ba b--=+，则△ABC 的形状是（ ） A ．直角三角形B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等腰三角形或直角三角形二、填空题1．若在△ABC 中，060,1,ABC A b S ∆∠===则CB A cb a sin sin sin ++++=_______。
2．若,A B 是锐角三角形的两内角，则B A tan tan _____1（填>或<）。
3．在△ABC 中，若=+=C B C B A tan tan ,cos cos 2sin 则_________。
4．在△ABC 中，若,12,10,9===c b a 则△ABC 的形状是_________。
5．在△ABC 中，若=+===A c b a 则226,2,3_________。
6．在锐角△ABC 中，若2,3a b ==，则边长c 的取值范围是_________。
三、解答题1． 在△ABC 中，0120,,ABC A c b a S =>=V ，求c b ,。
2． 在锐角△ABC 中，求证：1tan tan tan >⋅⋅C B A 。
3． 在△ABC 中，求证：2cos 2cos 2cos4sin sin sin C B A C B A =++。
4． 在△ABC 中，若0120=+B A ，则求证：1=+++ca b c b a 。
5．在△ABC 中，若223cos cos 222C A b a c +=，则求证：2a c b +=解三角形[提高训练C 组] 一、选择题1．A 为△ABC 的内角，则A A cos sin +的取值范围是（ ） A ．)2,2( B ．)2,2(- C ．]2,1(- D ．]2,2[-2．在△ABC 中，若,900=C 则三边的比cba +等于（ ） A ．2cos 2B A + B ．2cos 2B A - C ．2sin 2B A + D ．2sin 2BA -3．在△ABC 中，若8,3,7===c b a ，则其面积等于（ ） A ．12 B ．221C ．28D ．36 4．在△ABC 中，090C ∠=，00450<<A ，则下列各式中正确的是（ ）A ．sin cos A A >B ．sin cos B A >C ．sin cos A B >D ．sin cos B B >5．在△ABC 中，若)())((c b b c a c a +=-+，则A ∠=（ ） A ．090 B ．060 C ．0120 D ．01506．在△ABC 中，若22tan tan ba B A =，则△ABC 的形状是（ ） A ．直角三角形 B ．等腰或直角三角形 C ．不能确定 D ．等腰三角形二、填空题1．在△ABC 中，若,sin sin B A >则A 一定大于B ，对吗？填_________（对或错） 2．在△ABC 中，若,1cos cos cos 222=++C B A 则△ABC 的形状是______________。
3．在△ABC 中，∠C 是钝角，设,cos cos ,sin sin ,sin B A z B A y C x +=+== 则z y x ,,的大小关系是___________________________。
4．在△ABC 中，若b c a 2=+，则=+-+C A C A C A sin sin 31cos cos cos cos ______。
5．在△ABC 中，若,tan lg tan lg tan lg 2C A B +=则B 的取值范围是_______________。
6．在△ABC 中，若ac b =2，则B B C A 2cos cos )cos(++-的值是_________。
三、解答题1．在△ABC 中，若)sin()()sin()(2222B A b a B A b a +-=-+，请判断三角形的形状。
2． 如果△ABC 内接于半径为R 的圆，且,sin )2()sin (sin 222B b a C A R -=-求△ABC 的面积的最大值。
3． 已知△ABC 的三边c b a >>且2,2π=-=+C A b c a ，求::a b c4．在△ABC 中，若()()3a b c a b c ac ++-+=，且tan tan 3A C +=+AB 边上的高为,,A B C 的大小与边,,a b c 的长[基础训练A 组]一、选择题1.C 00tan 30,tan 302b b a c b c b a=====-=2.A 0,sin 0A A π<<> 3.C cos sin()sin ,,22A AB A B ππ=->-都是锐角，则,,222A B A B C πππ->+<>4.D 作出图形5.D 012sin ,sin 2sin sin ,sin ,302b a B B A B A A ====或0150 6.B 设中间角为θ，则22200005871cos ,60,180601202582θθ+-===-=⨯⨯为所求 二、填空题1.12 11sin sin sin cos sin 222A B A A A ==≤ 2.0120 22201cos ,12022b c a A A bc +-==-=3.26- 00sin 15,,4sin 4sin154sin sin sin a b b A A a A A B B ====== 4. 0120 a ∶b ∶c =sin A ∶sin B ∶sin C =7∶8∶13，令7,8,13a k b k c k === 22201cos ,12022a b c C C ab +-==-= 5. 4,,sin sin sin sin sin sin AC BC AB AC BC ABB AC B A C+===+AC BC +sin )cos22A B A BA B +-=+= max 4cos 4,()42A BAC BC -=≤+=三、解答题1. 解：cos cos cos ,sin cos sin cos sin cos a A b B c C A A B B C C +=+=sin 2sin 2sin 2,2sin()cos()2sin cos A B C A B A B C C +=+-= cos()cos(),2cos cos 0A B A B A B -=-+=cos 0A =或cos 0B =，得2A π=或2B π=所以△ABC 是直角三角形。