2020_2021学年新教材高中数学第六章平面向量及其应用6.1平面向量的概念课件新人教A版必修二
高中数学第六章平面向量及其应用之 平面向量的基本定理及加减数乘坐标运算(精讲)(必修第二册)
6.3.1 平面向量的基本定理及加减数乘坐标运算(精讲)思维导图考法一平面向量的基本定理【例1-1】(2021·陕西)下列各组向量中，可以作为基底的是( )A．()()120,0,1,2e e==B．()()121,2,5,7e e=-=C．()()123,5,6,10e e==D．()12132,3,,24e e⎛⎫=-=-⎪⎝⎭【例1-2】(2020·怀仁县大地学校高一月考)如图在梯形ABCD中，2BC AD=，DE EC=，设BA a=，BC b=，则BE=( )A．1124a b B．1536a b+C．2233a b D．1324a b+【例1-3】(2020·全国高一课时练习)在三角形ABC中，M为AC的中点，若(),AB BM BCλμλμ=+∈R，则下列结论正确的是( )常见考法A ．1λμ+=B ．3λμ-=C ．20λμ+=D ．20λμ-=【例1-4】(2020·全国高一课时练习)在边长为2的正方形ABCD 中，E 为CD 的中点，AE 交BD 于F .若3AF x AB y AD =+，则x y +=( )A ．1B ．59C ．13-D ．59-【举一反三】1．(2020·上海)下列各组向量中，能成为平面内的一组基向量的是( )． A ．()()122,1,6,3e e =-=- B ．()()122,1,6,3e e =-= C ．()()122,1,6,3e e =-=-D ．()()122,1,0,0e e =-=2．(2020·河南高一其他模拟)如图，在ABC ∆中，点Q 为线段AC 上靠近点A 的三等分点，点P 为线段BQ 上靠近点B 的三等分点，则PA PC +=( )A ．1233BA BC + B ．5799BA BC + C ．11099BA BC + D ．2799BA BC + 3．(2020·湖北高一期末)如图，在△ABC 中，D ，E ，F 分别为线段BC ，AD ，BE 的中点，则AF =( )A ．1588AB AC + B ．5188AB AC - C ．1588AB AC -D ．5188AB AC +4．(2021·甘肃)设D 为ABC ∆所在平面内一点，1433AD AB AC =-+，若()BC DC R λλ=∈，则λ=() A ．3-B ．3C ．2-D ．25．(2020·株洲市九方中学高一期末)如图，已知OAB ，若点C 满足2AC CB =，(),OC xOA yOB x y R =+∈，则11x y+=( )A ．14B ．34C ．92 D ．296．(2020·全国高一课时练习)ABC 中，5AB =，10AC =，25AB AC =，点P 是ABC 内(包括边界)的一动点，且32()55AP AB AC R λλ=-∈，则||AP 的最大值是( ) A ．332B ．37C ．39D ．41考法二 加减数乘的坐标运算【例2】(1)(2020·北京高一期末)已知点()1,2A ，()1,0B -，则AB =( ) A ．()2,0B ．()2,2C ．()2,2--D ．()0,2(2)(2020·陕西省商丹高新学校高一期中)已知()0,1A -，()0,3B ，则AB =( ) A ．2B ．10C ．4D ．210(3)(2020·河南开封市·高一期中)已知()3,2M -，()5,1N -，若NP MN =，则P 点的坐标为( ) A ．(3，2)B ．(3，-1)C ．(7，0)D ．(1，0)(4)(2021·黑龙江)已知向量()1,2a =，()2,3b =，()3,4c =，且12c a b λλ=+，则1λ，2λ的值分别为( )A ．2-，1B ．1，2-C ．2，1-D ．1-，2【举一反三】1．(2020·咸阳百灵学校高一月考)已知点M (－3，3)，N (－5，－1)，那么MN 等于( ) A ．(－2，－4)B ．(－4，－2)C ．(2，4)D ．(4，2)2．(2020·渝中区·重庆巴蜀中学高一期末)已知点()3,2A ，()5,1B ，则与AB 反方向的单位向量为( )A ．255,55⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭B ．255,55⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭C ．525,55⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭D ．525,55⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭3．(2020·全国高一)已知向量(1,2)a =，(2,1)b =-，则a b +等于( )A ．(3,1)--B ．(1,3)-C ．(1,3)D ．(3,1)4．(2020·北京二十中高一期末)已知向量(),2a m =，()1,2b =-，若0a b +=，则实数m 的值为( ) A ．-4B ．4C ．-1D ．1考法三 共线定理的坐标表示【例3-1】(多选)(2020·三亚华侨学校高一月考)已知点()4,6A ，33,2B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，与向量AB 平行的向量的坐标可以是( )A ．14,33⎛⎫⎪⎝⎭B ．97,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．14,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．(7，9)【例3-2】(2020·全国高一课时练习)已知非零向量a ，b ，c ，若()1,a x =，()4,1b =-，且//a c ，//b c 则x =( ) A ．4B ．-4C ．14D ．14-【例3-3】(2020·全国高一)若()0,2A ，()1,0B -，(),2-C m 三点共线，则实数m 的值是( ) A ．6 B ．2-C ．6-D ．2【举一反三】1．(2020·北京昌平区)下列各组向量中不平行．．．的是( ) A ．()1,1,2a =-，()2,2,4b =- B ．()1,0,0c =，()3,0,0d =- C ．()1,1,0e =，()0,0,0f =D ．()2,3,5g =-，()2,3,5h =2．(2020·浙江杭州市·高一期末)与(1,3,2)a =-平行的一个向量的坐标是( ) A ．1,1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．13,,122⎛⎫-- ⎪⎝⎭C ．13,,122⎛⎫-- ⎪⎝⎭ D ．(2,3,22)--3．(2020·全国高一)已知()3,a m →=，()21,1b m →=+，则“1m =”是“//a b →→”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．(2020·全国高一课时练习)已知向量()1,1a =，()2,1b =-，若()()2//a b a b λ+-，则实数λ=( ) A ．8B ．8-C ．2D ．2-5．(2020·全国高一单元测试)已知向量()1,2a =-，(),1b m =．若向量a b +与a 平行，则m ＝________.考法四 向量与三角函数的综合运用【例4-1】(2021·湖南)已知向量(cos 2sin ,2)a θθ=-，(sin ,1)b θ=，若a //b ，则tan 2θ的值为( ) A ．14B ．34C ．815D ．415【例4-2】(2020·本溪市燕东高级中学高一月考)设向量(4cos ,sin )a αα=，(sin ,4cos )b，(cos ,4sin )c ββ=-．(1)若a 与2b c -垂直，求tan()αβ+的值； (2)求||b c +的最大值；(3)若tan tan 16αβ=，求证：a ∥b ．【举一反三】1．(2021·新疆)已知平面向量()sin ,2019a θ=，()cos ,2020b θ=，若//a b ，则tan θ=( ) A ．20192020B ．20202019C ．20192020-D ．20202019-2．(2020·全国高一课时练习)在平面直角坐标系xOy 中，已知向量2(2m =，2)2-，(sin ,cos )n x x =，(0,)x π∈，若//m n ，则tan x 的值( )A ．4B ．3C ．1-D ．03．(2020·山东省五莲县第一中学高一月考)设0≤θ<2π，已知两个向量1OP ＝(cos θ，sin θ)，2OP ＝(2＋sin θ，2－cos θ)，则向量12PP 长度的最大值是( ) A ．2B ． 3C ．32D ．23考法五 奔驰定理解三角形面积【例5】(1)(2020·衡水市第十四中学高一月考)若点M 是ABC 所在平面内的一点，且满足53=+AM AB AC ，则ABM 与ABC 的面积比为( ).A ．15B ．25C ．35D ．45(2)(2020·江西宜春市·高一期末)已知O 为正三角形ABC 内一点，且满足()10OA OB OC λλ+++=，若OAB 的面积与OAC 的面积之比为3，则λ=( ) A ．12B ．14C ．34D ．32【举一反三】1．(2020·河南安阳市·林州一中高一月考)已知O 为ABC ∆内一点，且有23OA OC BC +=，则OBC ∆和ABC ∆的面积之比为( )A ．16B ．13C ．12D ．232．(2020·怀仁市第一中学校云东校区)ABC ∆内有一点O ，满足3450OA OB OC ++=，则OBC ∆与ABC ∆的面积之比为( )A ．1:4B ．4:5C ．2:3D ．3:53．(2020·山西朔州市)已知点O 是ABC 内部一点，并且满足2350OA OB OC ++=，OAC 的面积为1S ，ABC 的面积为2S ，则12S S =( ) A ．310 B ．38C ．25D ．4214．(2020·全国高三专题练习)点P 是ABC 所在平面上一点，若2355A APB AC =+，则ABP △与ACP △的面积之比是( )A ．35B ．52C ．32D ．235．(2021·山西)M 是ABC ∆所在平面上一点，满足2MA MB MC AB ++=，则ABMABCS S ∆∆为( ) A ．1:2 B ．1:3 C ．1:1 D ．1:4。
6.1 平面向量的概念 优秀课件(新教材人教版必修第二册)
下列说法正确的是( ) A．零向量是没有方向的向量 B．零向量的长度为 0 C．任意两个单位向量方向相同 D．同向的两个向量可以比较大小
B 解析：零向量的长度为 0，方向是任意的，故 A 错误，B 正 确；任意两个单位向量的长度相等，但方向不一定相同，故 C 错误； 不管是同向的向量还是不同向的向量，都不能比较大小，故 D 错误．
D 解析：不管向量的方向如何，它们都不能比较大小，故 A， B 不正确；向量的大小即为向量的模，指的是有向线段的长度，与方 向无关，故 C 不正确；向量的模是一个数量，可以比较大小，故 D 正确．
探究归纳 2 向量的表示及应用
③向量 a 与 b 不共线，则 a 与 b 都是非零向量；
④若|a|>|b|，则 a>b.
A．0
B．1
C．2
D．3
B 解析：①海拔没有方向，所以不是向量，故①错；②向量的 模也可以为 0，故②错；④向量不可以比较大小，故④错；③若 a，b 中有一个为零向量，则 a 与 b 必共线，故 a 与 b 不共线，则应均为非 零向量，故③对．
(2)有向线段包含三个要素：起点、 方向、长度．知道了有向线 段的起点、方向和长度，它的终点就唯一确定了．
3．向量的表示 (1)几何表示：向量可以用有向线段 表示，此时有向线段的方向 就是向量的方向． (2)字母表示：通常在印刷时用黑体小写字母 a，b，c，…表示向 量，书写时用→a ，→b ，→c ，…表示向量，也可以用表示向量的有向线 段的起点和终点字母表示，例如，A→B，C→D.
⑦该命题不正确．若 b＝0，则对两不共线的向量 a 与 c，也有 a∥0，0∥c，但 a 与 c 不平行，故不成立．
⑧该命题不正确．显然有A→B≠C→D，B→C≠D→A.
6.1平面向量的概念(同步课件)高一数学课件
情境设置
新知生成
1.具有______的线段叫作有向线段.通常在有向线段的终点画上箭头表示它的方向.它包含三个要素：______、______、______.
2.向量 的大小称为向量 的______（或称模），记作_____.长度为0的向量叫作零向量，记作 .长度等于___个单位的向量叫作单位向量.向量也可以用字母 ， ， ， 表示.
5.（1）平行向量是否一定方向相同？
[答案] 不一定；
（2）不相等的向量是否一定不平行？
[答案] 不一定；
（3）与任意向量都平行的向量是什么向量？
[答案] 零向量；
（4）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？
[答案] 平行（共线）向量.
1.判断下列结论是否正确.（正确的打“√”，错误的打“×”）
D
A.相等向量 B.平行向量 C.有相同起点的向量 D.模相等的向量
[解析] 如图， ， ， ， 既不全是相等向量，也不全是平行向量，起点也不全是相同，故A，B，C错误；
而 ，故D正确.故选D.
3.（多选题）下列说法错误的有( ).
A.共线的两个单位向量相等B.相等向量的起点相同C.若 ，则一定有直线 D.若向量 ， 共线，则点 ， ， ， 可能不在同一直线上
问题3：若 ， ，则一定有 吗？
[答案] 不一定.因为当 时， ， 可以是任意向量.
新知生成
1.平行向量：方向____________的非零向量叫作平行向量（也叫作共线向量）.向量 ， 平行，记作 .
2.相等向量：长度______且方向______的向量叫作相等向量.用有向线段表示的向量 与 相等，记作_______.
[解析] 作出向量如图所示.
6.1 平面向量的概念 课件(共21张PPT)
（2）相等向量—长度相等且方向相同的向量，记作 a=b .
（3）共线向量—就是平行向量.
二、探究本质 得出新知
问题12：平行向量所在直线是否一定平行？共线向量所在直线 是否一定共线？
提示：不一定
总结：向量可以自由平移.
三、举例应用 掌握定义
例1.一辆汽车从点出发向西行驶了100千米到达B点，然后又 改变方向向西偏北 50 走了200千米到达C点，最后又改变方向， 向东行驶了100千米到达点D． (1)作出向量 AB, BC,CD ； (2)求 AD .
其中正确的有( A )
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
解:①正确;
②由 a = b 得 a 与 b的模相等,但不确定方向,故②错误;
③错误; ④所有单位向量的模都相等,都为1,但方向不确定,故④不 正确;⑤正确.故选A.
四、学生练习 加深理解
3.如图，D, E, F 分别是 ABC 的边 AB, BC,CA的中点，在以 A, B,C, D, E, F 为起点和终点的向量中．
（1）找出与向量 EF 相等的向量； （2）找出与向量 DF 共线的向量．
四、学生练习 加深理解
解：（1）因为 E, F分别为 BC,CA 的中点，所以 EF//BA ，
且
EF
1 2
BA
.又因为
D
是BA
的中点，所以
EF
BD
DA，所以
与 EF 向量相等的向量为BD, DA .
（2）因为 D, F 分别为 BA, AC 的中点，
第六章 平面向量及其应用
6.1 平面向量的概念
一、创设情境 引入新课
问题1：道路标识牌上的箭头和数字指的是什么？ 问题2：老鼠由点A向东北方向逃窜，猫快速由点B向正东
高中数学第六章平面向量及其应用6.1平面向量的概念教案第二册
6。
1 平面向量的概念本节课选自《普通高中课程标准数学教科书—必修第二册》（人教A 版）第六章《平面向量及其应用》,本节课是第1课时，本节课内容包括向量的实际背景与概念、向量的几何表示、相等向量与共线向量。
本节从物理学中的位移、力这些既有大小又有方向的量出发，抽象出向量的概念,并重点说明了向量与数量的区别，然后介绍了向量的几何表示、向量的长度、零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量等基本概念。
在“向量的物理背景与概念"中介绍向量的定义；在“向量的几何表示"中，主要介绍有向线段、有向线段的三个要素、向量的表示、向量与有向线段的区别与联系、向量的长度、零向量、单位向量、平行向量;在“相等向量与共线向量”中，主要介绍相等向量,共线向量定义等1。
教学重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量.2.教学难点:平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系.多媒体意的,单位向量的方向具体而定.（2）注意:向量是不能比较大小的，但向量的模（是正数或零）是可以进行大小比较的。
例1。
在图中，分别用向量表示A地至B、C两地的位移，并根据图中的比例尺，并求出A地至B、C两地的实际距离(精确到1km）（三）。
相等向量与共线向量思考1:向量由其模和方向所确定.对于两个向量b a,，就其模等与不等，方向同与不同而言，有哪几种可能情形？【答案】模相等，方向相同；模相等，方向不相同;模不相等，方向相同; 模不相等,方向不相同；1.平行向量定义：[来源：学科网ZXXK]通过例题进一步理解向量的概念，提高学生用向量解决问题的能力。
通过思考，引入平行向量，提高学生的理解问题的能力。
①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行。
说明：（1）综合①、②才是平行向量的完整定义；(2)向量ａ、ｂ、ｃ平行,记作ａ∥ｂ∥ｃ.2。
相等向量定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量.说明:（1)向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ；（2）零向量与零向量相等;（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线．．．．段的起点无关．．．．．．。
高中数学必修二第六章 平面向量及其应用(知识梳理)
1.数量与向量(1)概念：在数学中，既有大小又有方向的量叫做向量，而只有大小没有方向的量称为数量 2.向量的两个要素向量由大小与方向两个要素组成，大小是代数的特征，方向是几何特征 3.有向线段 （1）有向线段具有方向的线段叫做有向线段，它包含三个要素：起点、方向、长度，如图所示. (3)向量的表示以A 为起点、B 为终点的有向线段记作AB →，线段AB 的长度叫做有向线段AB →的长度记作|AB →|. 4.向量的表示(1)几何表示：向量可以用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向.(2)字母表示：向量可以用字母a ，b ，c ，…表示(印刷用黑体a ，b ，c ，书写时用a →， b →， c →). 3.模、零向量、单位向量向量AB →的大小，称为向量AB →的长度(或称模)，记作|AB →|.长度为0的向量叫做零向量，记作0；长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量.1.平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量（平行向量也可叫做共线向量） 用有向线段表示向量的a 与b 是两个平行向量，如若平行。
则记作a ∥b .2.相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量 用有向线段表示向量的a 与b 是相等，记作a ＝b .注意向量相关概念的注意点(1)表示有向线段时,起点一定要写在终点的前面. (2)要注意0与0的区别及联系,0是一个实数,0是一 向量，且有|0|=0.一、向量的加法运算1.定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法2.向量加法的运算法则：（1）向量加法的三角法则+，已知非零向量a，b在平面内任取一点A，做AB=a，BC=b，则向量AC叫做a与b的和，记作a b +=+=,这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则即a b AB BC AC三角形法则的使用条件：一个向量的终点为另一个向量的起点（2）平行四边形法则以同一O为起点的两个已知向量a，b，以OA，OB为邻边做OACB，则以O为起点的向量OC，（OC 是OACB的对角线）就是向量a与b的和，我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则规定：对于零向量与任意向量a，我们规定a+0=0+a=a3.向量加法的运算律（1），交换律：a+b=b+a(2):结合律：（a+b）+c=a+(b+c)平行四边形法则的适用条件：两个向量起点相同二、向量的减法运算1.相反向量：与向量a,长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作﹣a规定：零向量的相反向量仍是零向量2. 向量的减法向量a 加上b 的相反向量，叫做a 与b 的差，则a -b=a+(-b).求两个向量差的运算则是向量的减法3.向量减法的几何意义已知向量a ，b ，在平面内任取一点O ，作OA a =，OB b =，则BA a b =- 即a b -可以表示为从b 的终点指向向量a 的终点的向量 三、向量的数乘运算 1.向量数乘的定义实数λ与向量a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa ， 它的长度与方向规定如下；a a λλ=当λ>0时，λa 的方向与a 的方向相同；当γ<0时，λa 的方向与a 的方向相反. 2.向量数乘的几何意义向量数乘的几何意义是把向量沿着它的方向或反方向放大或缩小.特别地，一个向量的相反向量可以看成-1与这个向-a)=lt 量的乘积，即-a=(-1 )a. 3.向量数乘的运算律 设λ，μ是实数，a,b 是向量 （1）结合律：λ（μa ）=（λμ）+a （2）第一分配律：（λμ）a=λa+μa （3）第二分配律：λ（a+b ）=λa+λb 四.向量的数量积 两向量的夹角与垂直1.夹角：已知两个非零向量a 和b ，O 是平面上的任意一点，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a 与b 的夹角(如图所示).当θ＝0时，a 与b 同向；当θ＝π时，a 与b 反向. 3. 垂直：如果a 与b 的夹角是π2，则称a 与b 垂直，记作a向量数量积的定义非零向量a ，b 的夹角为θ，数量|a ||b |cos θ叫做向量a 与b 的数量积(或内积)，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos θ，规定：零向量与任一向量的数量积等于0. 平面向量数量积的运算律 1.a ·b ＝b ·a (交换律).2.(λa )·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )(数乘结合律).3.(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c (分配律).平面向量的坐标表示1.在平面直角坐标系中，设与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量分别为i ，j ，取{i ，j }作为基底.对于平面内的任意一个向量a ，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x ，y ，使得a ＝x i ＋y j .平面内的任一向量a 都可由x ，y 唯一确定，我们把有序数对(x ，y )叫做向量a 的坐标，记作a ＝(x ，y ).2.在直角坐标平面中，i ＝(1,0)，j ＝(0,1)，0＝(0,0). 平面向量加、减运算的坐标表示 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，已知点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，那么向量AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，即任意一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标. 平面向量数乘运算的坐标表示已知a ＝(x ，y )，则λa ＝(λx ，λy )，即：实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. 平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0.则a ，b 共线的充要条件是存在实数λ，使a ＝λb .如果用坐标表示，可写为(x 1，y 1)＝λ(x 2，y 2)，当且仅当x 1y 2－x 2y 1＝0时，向量a ，b (b ≠0)共线.注意：向量共线的坐标形式极易写错，如写成x 1y 1－x 2y 2＝0或x 1x 2－y 1y 2＝0都是不对的，因此要理解并熟记这一公式，可简记为：纵横交错积相减.平面向量数量积的坐标表示设非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a 与b 的夹角为θ. 则a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2. (1)若a ＝(x ，y )，则|a |2＝x 2＋y 2或|a |＝x 2＋y 2.若表示向量a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则a ＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，|a |＝x 2－x 12＋y 2－y 12.(2)a ∥b ∥x 1x 2＋y 1y 2＝0.(3)cos θ＝a·b|a||b|＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21 x 22＋y 22.用向量方法讨论物理学中的相关问题，一般来说分为四个步骤： (1)问题转化，即把物理问题转化为数学问题. (2)建立模型，即建立以向量为载体的数学模型. (3)求解参数，即求向量的模、夹角、数量积等. (4)回答问题，即把所得的数学结论回归到物理问题.余弦定理三角形中任何一方的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即；,cos 2222A bc c b a -+=B ca a c b cos 2222-+=,C ab b a c cos 2222-+=余弦定理得推论；cosA=bc a c b 2222-+，cosB=ca b a c 2222-+,cosC=ab c b a 2222-+正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即；.sin sin sin Cc B b A a == 正弦定理的变形公式：1.a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C .2.sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R(其中R 是∥ABC 外接圆的半径).。
6.1平面向量的概念-高一数学(人教A版必修第二册)之第六章平面向量
例3.如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，写出 图中与向量 OA相等的向量.
OA DO=CB.
变式一：与向量 OA 长度相等的向量有多少个？ 11 个
变式二：是否存在与向量 OA 长度相等，方向相反的向量？ 存在，为 FE.
变式三：与向量 OA长度相等且共线的向量有哪些？
CB, DO, FE
A
8.(1).下列说法正确的是 B( )
A) 方向相同或相反的向量是平行向量. B) 零向量是0 . C)长度相等的向量叫做相等向量. D) 共线向量是在一条直线上的向量.
(2).已知a、b是任意两个向量,下列条件: ①a=b; ②|a|=|b|; ③a与b的方向相反; ④a=0或b=0; ⑤ a与b都是单位向量.
相等的有7个.
长度相等且共线的有 15个. A
11、用有向线段表示两个相等的向量，这两个有向
线段一定重合吗？
不一定
练习6、在直角坐标系xoy中，有三点A（1，0），B
（-1，2），C（-2，2），请用有向线段分别表示A
到B，B到C，C到A的位移.
y CB 2
1
A -2 -1 O 1 x
小结
1.向量的概念: 既有大小又有方向的量
有什么关系？ 提示:平行.
4.共线向量与平行向量的关系
平行向量就是共线向量， 共线向量就是平行向量！
说明：我们所研究的向量为自由向量，只与大小
和规方定向：有零关向，量与与有向任线一段向的量起平点行位置无关，有向线
段只是向量的一种几何表示！
概念辨析
例1、判断
温馨提示：
1.做题时要注意向量平行（共线）与直线平行、共线的区别
6.1平面向量的概念
思考:力，时间,路程,功是向 量吗?速度,加速度是向量吗?
6.1平面向量的概念
有向线段 字母表示
向量的有关概念
长度（模） 零向量
特殊向量 单位向量 向量间 平行（共线） 的关系 相等
巩固新知6
1.判断下列命题是否正确，A 若不B 正确，请
简述理由.
D
C
①向量 AB 与 CD 是共线向量，则A、B、C、
D 四点必在一直线上；
(×)
②单位向量都相等；
(×)
③共线的向量，若起点不同， 则终点一定不
同.
(×)
2.下面几个命题：
（1）若a = b，b = c，则a = c.
（2）若|a|=0，则a = 0.
3.通过对向量的学习，体会现实生活中研究 数学新对象的方法，明确向量和数量的本 质区别;
4.核心素养：直观想象、数学运算。
创设情境 问题：一只老鼠和一只猫相距６ 米，老鼠以每秒４米的速度逃窜, 猫以每秒７米的速度追,猫在多 少时间里会追上老鼠？
结论：猫的速度再快 也没用,因为方向错了.
A
B
嘻嘻!大 笨猫!
(1)作出向量AB,BC,CD;
(2) 求AD的模
D C
1m
北
西
A
B东
南
根据下列小题的条件，分别判断四边形ABCD 的形状： （1）AD BC ； （2）AB DC 且 AB AD
D
A D
C
（1）四边形ABCD是平行四边形。 B
C
（2）四边形ABCD是菱形。
A
B
小结:
向量
向量的概念
定义 表示
唉, 哪儿 去了?
质量
力
速度
(1)
(2)
(3)
问题：请观察这三个物理中的量有什么区别?
2020_2021学年新教材高中数学第六章平面向量及其应用6.2.1向量的加法运算同步课件新人教A版
【补偿训练】
在平行四边形ABCD中(如图),对角线AC,BD交于点O,则
① A DA B=
.
② C D A C D O =
.
③ A B A D C D =
.
④ A C B A D A =
.
类型三 向量加法的应用(逻辑推理、直观想象) 角度1 与平面几何知识综合应用 【典例】已知四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,且 A O O C ， D O O B . 求证:四边形ABCD是平行四边形. 【思路导引】利用向量加法结合题目条件推证 A BD C .
【补偿训练】
1.在矩形ABCD中,| A B |=4,| B C |=2,则向量 A B A D A C 的长度等于 ( )
A.2 5
B.4 5
C.12
D.6
【解析】选B.因为 A B A D A C ， 所以 A B A D A C 的长度为 A C 的模的2倍,
即为4 5 .
2.如图,已知▱ABCD,O是两条对角线的交点,E是CD的一个三等分点,求作:
A . O H B . O G C . F O D . E O
3.如图,已知向量a,b.
(1)用平行四边形法则作出向量a+b; (2)用三角形法则作出向量a+b.
【解题策略】 1.应用三角形法则应注意的问题 使用三角形法则求两个向量的和时,应注意“首尾相连,起点指终点”,即首尾 相连的两个向量的和对应的向量是第一个向量的起点指向第二个向量的终点. 2.应用平行四边形法则应注意的问题 (1)平行四边形法则只适用于求不共线的两个向量的和. (2)基本步骤可简述为:共起点,两向量所在线段为邻边作平行四边形,找共起点 的对角线对应的向量.
6.1.1向量的概念课件-高中数学人教B版必修第二册
或 来表示.
新知探索 知识点一：位移与向量
始点和终点相同的向量称为零向量.零向量在印刷时,通常用加粗的阿拉伯 数字零表示,即 0;书写时,通常用带箭头的阿拉伯数字零表示,即 .不难看出,零 向量的模为 0,即
零向量本质上是一个点,因此可以认为零向量的方向是不确定的.模不为 0 的向量通常称为非零向量.
即时训练 知识点二：向量的相等与平行
【典例】如图，在矩形 ABCD 中，可以用同一条有向线段表示的向量是( ) A.和 B.和 C.和 D.和
【解析】易知选 B.
教材例题
【典例 1】指出图中,哪些是单位向量.
【 解 析 】 不难看出 且其余向量的模均为 1,因此单位向量有 、 、 、
教材例题
【典例 2】如图,已知四边形 边形”的什么条件?
第六章 平面向量初步
6.1.1 向量的概念
学习目标
1.理解向量的概念，掌握向量的表示方法、记法.（重点） 2.了解零向量及单位向量. 3.掌握向量的相等与平行.（难点）
新知导入
情景一：我们在物理学中已经学过位移的有关知识,知道位移是表示物体位置变
化的物理量.如图所示,当物体从 运动到 时,不管沿着什么轨迹,它的位移都
作业布置
教材课后练习
课堂练习
【训练 5】已知 A，B，C 是不共线的三点，向量 m 与向量是平行向量，与是共 线向量，则 m＝________.
【解析】因为 A，B，C 三点不共线，所以与不共线，又因为 m∥且 m∥，所以 m＝0.
课堂总结
向量及向量的模： 一般地，我们把既有大小又有方向的量称为向量(也称为矢量)，向量的大小也称 为向量的模(或长度). 向量及其模的表示法、记法、写法： 我们用有向线段来直观地表示向量，其中有向线段的长度表示向量的大小，有 向线段箭头所指的方向表示向量的方向.始点为 A 终点为 B 的有向线段表示的向 量，可以用符号简记为，此时向量的模用||表示. 通常用加粗的斜体小写字母如 a，b，c 等来表示向量；在书写时，用带箭头的 小写字母如，等来表示向量.此时，向量 a 的模也用|a|或||来表示.