2016年《南方新课堂·高考总复习》数学(理科) 第一章 第3讲 充分条件与必要条件
2016年《南方新课堂·高考总复习》数学(理科) 第二章 第4讲 函数的单调性与最值
4 (4)方法一：函数 y＝x＋ 是定义域为{x|x≠0}的奇函数，故 x 其图象关于原点对称． 4 当 x＞0 时，y＝x＋ ≥2 x 4 x·＝4， x
当且仅当 x＝2 时取得等号． 当 x＜0 时，y≤－4，当且仅当 x＝－2 时取得等号． 综上所述，函数的值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞)．
(2)∵y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，x∈[－5，－2]， ∴其图象是开口向下，顶点为(－1,4)． ∴当 x＝－5 时，ymin＝－12；当 x＝－2 时，ymax＝3. ∴y＝－x2－2x＋3(－5≤x≤－2)的值域是[－12,3]． x2－x 1 (3)方法一：y＝ 2 ＝1－ 2 . x －x＋1 x －x＋1 ∵x
①对于任意 x∈I，都有 f(x)≥M ；
f(x0)＝M ②存在 x0∈I，使得____________
M 为最小值
M 为最大值
1．函数 y＝x2－6x 的单调递减区间是( D ) A．(－∞，2] C．[3，＋∞) B．[2，＋∞) D．(－∞，3] 1 B．k<－ 2 D．b>0
2．若函数 y＝(2k＋1)x＋b 在实数集上是增函数，则( A ) 1 A．k>－ 2 C．b>0
4 方法二：函数 y＝x＋ 的定义域为{x|x≠0}． x 4 ∵y′=1－ 2，令 y′>0，解得 x<－2 或 x>2；y′<0，解得 x －2<x<0 或 0<x<2， ∴当 x<－2 或 x>2 时，f(x)单调递增； 当－2＜x＜0 或 0＜x＜2 时，f(x)单调递减． 故当 x＝－2 时，f(x)极大值＝f(－2)＝－4； 当 x＝2 时，f(x)极小值＝f(2)＝4. ∴所求函数的值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞)．
《南方新课堂_高考总复习》数学(理科)课时作业专题三数列与不等式Word含解析
专题三 数列与不等式n＝ 7n ＋ 45 n 1．已知等差数列 { a n } ，{ b n } 的前 n 项和分别为 S n，T ，且S，则使得 a为整数 nT n n － 3 b n的正整数 n 的个数是 ( )A ． 3B ． 4C ． 5D ． 62．已知等差数列 { a n } 的公差 d ≠ 0，且 a 1 ，a 3，a 13 成等比数列，若 a 1＝1，S n 为数列 { a n }2S n ＋ 16的前 n 项和，则a n ＋ 3 的最小值为 ()9A ． 4B ． 3C ． 2 3－ 2 D.23． (2015 年新课标Ⅱ )设 S n 是数列 { a n } 的前 n 项和，且 a 1＝－ 1， a n ＋1＝ S n S n ＋ 1，则 S n ＝ ________.4．设数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ，且知足 a n ＋ S n ＝ 1，则 S n 的取值范围是 ( )A ． (0,1)B ． (0，＋∞ )1， 1 D. 1，＋∞C. 225．(2017 年广东调研 )设 R n 是等比数列 { a n } 的前 n 项的积，若 25(a 1＋ a 3)＝ 1，a 5＝ 27a 2，则当 R n 取最小值时， n ＝ ______.6．(2017 年新课标Ⅰ)几名大学生响应国家的创业呼吁，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣， 他们推出了“解数学题获得软件激活码”的活动． 这款软件的激活码为下边数学识题的答案：已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16 ， ，此中第一项为哪一项 20，接下来 的两项是 20,21，再接下来的三项是 20,21,22，依此类推．求知足以下条件的最小整数 N ：N>100且该数列的前 N 项和为 2 的整数幂．那么该款软件的激活码是( )A ．440B ． 330C ． 220D ． 1107． (2016 年新课标Ⅲ )已知各项都为正数的数列{ a n } 知足 a 1＝ 1， a 2n － (2a n ＋ 1－1)a n － 2a n ＋1＝ 0.(1)求 a 2， a 3；(2)求 { a n } 的通项公式．8． (2017 年广东揭阳一模 )设等差数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ，且 S 4 ＝4S 2， a 2n ＝ 2a n ＋ 1－3.(1)求数列 { a n } 的通项公式；(2)设数列 { b n } 知足 a 1b 1＋a 2b 2＋ ＋ a n b n ＝ 3－ 2n ＋ 3，求 { b n } 的前 n 项和 T n .2 n9． (2017 年广东汕头一模)已知数列 { a n} 的前 n 项和为 S n， a1＝2， a n＋1＝S n＋ 2.(1)求数列 { a n} 的通项公式；1(2)已知 b n＝ log2a n，求数列的前 n 项和 T n.b n b n＋110．(2017 年天津 ) 已知 { a n} 为等差数列，前n 项和为 S n(n∈N 数列，且公比大于0， b2＋ b3＝ 12， b3＝ a4－2a1， S11＝ 11b4.(1)求 { a n} 和 { b n} 的通项公式；*(2)求数列 { a2n b2n－1 } 的前 n 项和 (n∈N )．*)，{ b n} 是首项为 2 的等比专题三 数列与不等式aS14n ＋ 38 7n ＋ 191．Ba n ＝ 2a n ＝1＋ a 2n －12n － 1＝ 7＋33，∴n － 2＝－ 1 或b 1＋ b 2n －1 ＝＝＝ n －2 分析： b n 2b nT 2n －12n － 4n － 21 或 3 或 11 或 33，∴n ＝ 1 或 3 或 5 或 13S n ＝ T n ＋45中分母为零，所以舍 或 35.当 n ＝3 时， T nn －3去．2． A分析： 由 a 1， a 3， a 13 成等比数列，得 a 32＝ a 1a 13? (a 1＋ 2d)2＝ a 1(a 1 ＋12d)? 4d 2＝2S n ＋ 16 n 2＋ 8 ＝ (n ＋1) ＋ 9－ 8a 1 d.由于 d ≠ 0，所以 d ＝2a 1＝ 2，S n ＝ n 2，a n ＝ 2n －1，进而＝ n ＋1a n ＋ 3 n ＋ 12≥ 2n ＋ 1 × 9 －2＝ 4，当且仅当 n ＝ 2 时取等号．应选 A.n ＋ 13．－1分析： 由已知，得 a n ＋1 ＝S n ＋1－ S n ＝ S n ＋ 1·S n ，两边同时除以－ S n ＋ 1·S n ，得1nS n ＋1 － 1＝－ 1，故数列 1 是以－ 1 为首项，－ 1为公差的等差数列．则1＝－ 1－( n － 1)＝－ n. S n S nS n1 所以 S n ＝－ n .4． C 分析： 当 n ＝ 1 时， a 1＝1.当 n ≥ 2 时， a n －1＋ S n －1＝1，得 a n － a n － 1＋ a n ＝ 0，即2n ＝a n －12a.∴数列{ a n } 是首项为 1，公比为 1的等比数列．2212× 1－ ∴S n ＝11－ 21∴S n ∈ 2，1.12n1 n＝1－2.5． 6 分析： 设公比为 q ，则 q 3＝a 5＝ 27.所以 q ＝3.由 25(a 1＋ a 3)＝ 1，得 25(a 1＋ a 1·32) a 23n －1 3n － 1＝1，解得 a 1＝ 1.则 a n ＝ a n ≤ 1， ≤ 1， 250 .则要使 R n 获得最小值， 必有 即 250 所250 a n ＋ 1 3n>1 ， 250>1，以 250<3 n ≤ 750，解得 n ＝ 6.6． A 分析： 由题意，得数列以下：1， 1,2， 1,2,4，1＋ 2＋ ＋k ＝ k k ＋ 1则该数列的前 项和为2k k ＋ 1＝ 1＋ (1＋ 2)＋ ＋ (1＋2＋ ＋2 k k 1 － k － 2.S)＝2＋2k k ＋ 11,2， ，2k要使 >100，有 k ≥ 14，此时 k ＋ 2<2k ＋1.所以 k ＋ 2 是以后的等比数列2＋1的部分和，即 k ＋ 2＝ 1＋2＋ ＋ 2t－1＝ 2t －1.所以 k ＝2t － 3≥ 14，则 t ≥ 5，此时 k ＝ 25 － 3＝ 29.对应知足的最小条件为 N ＝ 29× 30440.应选 A.＋ 5＝ 21 17． 解： (1) 由题意，得 a 2＝ 2， a 3＝ 4.(2)由 a 2n － (2a n ＋ 1－ 1)a n － 2a n ＋1＝ 0，得2a n ＋ 1(a n ＋ 1)＝ a n (a n ＋ 1)． 由于 { a n } 的各项都为正数，所以a n ＋ 1 1 a n＝ .2故 { a n } 是首项为 1，公比为 1的等比数列．21所以a n＝2n － 1.8． 解： (1) 设{ a n } 的公差为 d ，则有4a 1＋ 6d ＝ 4 2a 1＋ d ，a 1＋ 2n －1 d ＝ 2 a 1＋ nd － 3，a 1＝ 1， 解得d ＝ 2.故 a n ＝ a 1＋ (n －1)d ＝2n － 1.1 1 ＋ a2 b 2＋ ＋ a n n ＝ 3－ 2n ＋3， ①(2)a b b 2 n当 n ＝1 时， a 1b 1＝ 1，所以 b 1＝ 1 .2 2当 n ≥2 时， a 1 1＋ a 2 2＋ ＋a n －1 n － 1＝ 3－b b b①式减去②式，得 a nn ＝ 2n － 1. b2 n2n ＋ 1 2n －1 .②1求得 b n ＝2n ，易知当 n ＝ 1 时也建立， 所以数列 { b n } 为等比数列．11 n21－21 n其前 n 项和 T n ＝ b 1＋ b 2 ＋ ＋ b n ＝1 ＝1－2 .1－ 29． 解： (1) ∵a n ＋1＝ S n ＋ 2，∴a n ＝ S n － 1＋ 2(n ≥ 2)．两式作差，得 a n ＋1 －a n ＝ S n － S n － 1＝ a n .a n ＋ 1∴a n ＋1＝2a n ，即 a n ＝ 2(n ≥2)．a 2又当 n ＝ 1 时， a 2＝S 1＋2＝ 4，∴ ＝ 2 建立．a 1∴数列{ a n } 是公比为 2，首项为 2 的等比数列． ∴a n ＝ a 1qn － 1＝ 2n (n ∈N * )．(2)由 (1) ，可得 b n ＝ log 2a n ＝ n. ∴1＝1 ＝ 1－ 1 . b n b n ＋ 1 n n ＋ 1 n n ＋ 11 1 1 1 1 1 ∴T n ＝ 1－2 ＋2－ 3 ＋ ＋ n －n ＋ 1 ＝ 1－ 1 ＝ n . n＋ 1 n ＋110． 解： (1) 设等差数列 { a n } 的公差为 d ，等比数列 { b n } 的公比为 q. 由已知 b 2＋ b 3＝ 12，得 b 1( q ＋q 2)＝ 12. 由于 b 1＝2，所以 q 2 ＋ q － 6＝ 0. 又由于 q>0，解得 q ＝ 2.所以 b n ＝ 2n .由 b 3＝ a 4－ 2a 1，可得 3d － a 1＝ 8.①由 S 11＝11b 4，可得 a 1＋ 5d ＝16.②联立①②，解得 a 1 ＝1， d ＝ 3.由此可得 a n ＝ 3n － 2. n ＝ 2n所以数列 { a n } 的通项公式为 a n ＝ 3n － 2，数列 { b nb } 的通项公式为 . (2)设数列 { a 2n b 2n －1 } 的前 n 项和为 T n ， 由于 a 2n ＝ 6n －2， b 2n － 1＝ 2×4n －1，所以 a 2n 2n － 1＝ (3n － 1)×4n.b故 T n ＝ 2× 4＋ 5×42＋8× 43＋ ＋ (3n － 1)× 4n ，4T n ＝ 2×42＋5× 43＋ 8×44＋ ＋ (3n － 4)× 4n＋ (3n － 1)× 4n ＋ 1，上 述 两 式 相 减 ， 得 － 3T n ＝ 2× 4 ＋ 3×42 ＋ 3× 43 ＋ ＋ 3× 4n － (3n － 1)×4n ＋1 ＝12× 1－ 4n－ 4－ (3n － 1)×4n ＋1＝－ (3n － 2)×4n ＋ 1－ 8.1－ 4得 T n ＝3n － 2× 4n ＋1＋8. 33所以数列 { a 2n b 2n － 1} 的前 n 项和为3n － 2× 4n ＋1＋ 8. 33。
《南方新课堂_高考总复习》数学(理科)课时作业专题六立体几何Word含解析
专题六立体几何第 1课时1．(2015 年新课标Ⅱ )一个正方体被一个平面截去一部分后，节余部分的三视图如图Z6- 1，则截去部分体积与节余部分体积的比值为()图 Z6-11 1 1 1A. 8B. 7C.6D. 52．如图 Z6- 2，方格纸上正方形小格的边长为1，图中粗实线画出的是由一个正方体截得的一个几何体的三视图，则该几何体的体积为()图 Z6-216 32 64A. 3B. 3C. 3 D ．323．某几何体的三视图如图Z6- 3，则该几何体的体积为()图 Z6-32 4A. 3B. 3816C.3D. 34．(2016 年河北“五校结盟”质量监测 )某四周体的三视图如图Z6-4，则其四个面中最大的面积是 ()图 Z6-4A ．2B ．22 C.3 D ．235．已知一个几何体的三视图如图 Z6- 5，则该几何体的体积为 ( )图 Z6-52223A ．8 B. 3 C. 3 D ．76．点 A ， B ，C ，D 均在同一球面上，且 AB ， AC ，AD 两两垂直，且AB ＝ 1，AC ＝2，AD ＝3，则该球的表面积为 ( )7 7 14πA ． 7πB ． 14π C.2π D. 37．(2013 年新课标Ⅰ)如图 Z6-6，有一个水平搁置的透明无盖的正方体容器，容器高 8 cm ，将一个球放在容器口，再向容器内灌水，当球面恰巧接触水面时测得水深为 6 cm ，假如不计容器厚度，则球的体积为()图 Z6-6500 π 3866 π3A. 3cm B. 3 cm C. 1372 π D. 2048 π3 cm 3 3cm 38． (2016 年北京 )某四棱柱的三视图如图 Z6-7，则该四棱柱的体积为 ________．图 Z6-7体9．球 O 半径为OABC 的体积是 (R＝13，球面上有三点)A， B，C， AB＝ 12 3， AC＝ BC＝ 12，则四周A．60C．6010．如图ABC 的距离为3 B．50 36 D．50 6Z6-8，已知正三角形ABC 三个极点都在半径为 2 的球面上，球心O1，点 E 是线段 AB 的中点，过点 E 作球 O 的截面，则截面面积的最小值是到平面( )图 Z6-87π9πA. 4 B． 2π C. 4 D． 3π11． (2017 年广东茂名一模 )过球 O 表面上一点 A 引三条长度相等的弦AB， AC， AD ，且两两夹角都为60°，若球半径为 R，则△ BCD 的面积为 ____________．12．已知三棱柱 ABC-A1B1C1的侧棱垂直于底面，各极点都在同一球面上，若该棱柱的体积为3， AB＝ 2， AC＝ 1，∠ BAC＝ 60°，则此球的表面积等于 ________．第 2课时1．在直三棱柱ABC-A1B1C1中，若∠ BAC＝ 90°，AB ＝AC＝ AA1，则异面直线BA1与 AC1 所成的角等于 ()A ． 30°B ．45° C．60° D ．90°2．(2016 年天津模拟 )如图 Z6-9，以等腰直角三角形 ABC 的斜边 BC 上的高 AD 为折痕，把△ABD 和△ ACD 折成相互垂直的两个平面后，某学生得出以下四个结论：图 Z6-9①BD⊥ AC；②△ BAC 是等边三角形；③三棱锥 D -ABC 是正三棱锥；④平面 ADC ⊥平面 ABC .()此中正确的选项是A ．①②④B ．①②③C．②③④D．①③④)分别相等，且3．三棱锥的三组相对的棱(相对的棱是指三棱锥中成异面直线的一组棱2 2长各为2， m， n，此中 m ＋n ＝6，则三棱锥体积的最大值为()3 1 8 3 2A. 3B. 2C. 27D. 34．(2016 年辽宁葫芦岛统测) 已知四棱锥P-ABCD 的五个极点都在球O 的球面上，底面ABCD 是矩形，平面PAD 垂直于平面ABCD ，在△ PAD 中， PA＝ PD ＝2，∠ APD ＝120 °，AB＝2，则球 O 的外接球的表面积等于()A ． 16π B． 20π C． 24π D ．36π5．在矩形ABCD 中， AD＝ 2，AB ＝4， E，F 分别为边AB ，AD 的中点，将△ADE 沿DE 折起，点A， F 折起后分别为点A′， F′，获得四棱锥A′ -BCDE .给出以下几个结论：① A′， B， C， F′四点共面；② EF′∥平面A′ BC；③若平面 A′DE ⊥平面 BCDE ，则 CE⊥ A′ D；④四棱锥 A′ -BCDE 体积的最大值为2，此中正确的选项是________(填上全部正确的序号)．6．(2017 年广东梅州一模 )如图 Z6-10 所示的多面体是由一个直平行六面体被平面 AEFG 所截后获得的，此中∠ BAE＝∠ GAD ＝ 45°，AB ＝ 2AD＝ 2，∠ BAD ＝ 60°.(1)求证： BD ⊥平面 ADG；(2)求平面 AEFG 与平面 ABCD 所成锐二面角的余弦值．图 Z6- 107． (2017 年广东广州二模 )如图 Z6-11，ABCD 是边长为 a 的菱形，∠ BAD＝ 60°， EB⊥平面 ABCD ， FD ⊥平面 ABCD ， EB＝ 2FD ＝ 3a.(1)求证： EF ⊥ AC；(2)求直线 CE 与平面 ABF 所成角的正弦值．图 Z6-118． (2017 年广东揭阳一模)如图Z6-12，在直三棱柱ABC-A1B1C1中， AB＝ BC＝BB1，AB1∩ A1B＝ E，D 为 AC 上的点， B1C∥平面 A1BD；(1)求证： BD ⊥平面 A1ACC1；(2)若 AB＝ 1，且 AC ·AD＝ 1，求二面角B-A1D -B1的余弦值．图 Z6- 12专题六 立体几何第 1课时1．D 分析： 由三视图，得在正方体 1 1 1 1 中，截去四周体A-A 1 1 1，如图ABCD-A B C DB DD164 ，图 D164设正方体棱长为 a ，则 V A- A 1B 1D 1 1 1 3 1 3＝ × a ＝ a .3 2 631 35 31则节余几何体体积为 a－ 6a ＝ 6a .因此截去部分体积与节余部分体积的比值为 5.应选D.2． B 分析： 几何体为如图 D165 所示的正方体中的三棱锥 E- BB 1C(E 为 AA 1 的中点 )，它的体积为1× 1× 4× 4× 4＝323 23 .应选 B.图 D165图 D1663． B分析： 由三视图知对应的几何体为如图D166 所示的正方体中的三棱锥P-ABC ，此中 PC ⊥平面 PAB ，PA ＝AB ， PC ＝ PB ＝ 2，A 到 PB 的距离为 2，故该几何体的体积为 1× 13 2 4×2× 2× 2＝ .应选 B.3 4．D分析： 如图 D167 ，在正方体 ABCD -A 1B 1C 1D 1 中复原出三视图的直观图，其是一个三个极点在正方体的右边面、一个极点在左边面的三棱锥，即 D 1-BCB 1，其四个面的面积分别为 2,22， 2 2， 2 3.应选 D.图 D1675．D 分析：由三视图可知该几何体是一个由棱长为 2 的正方体截去两个三棱锥 A-A 1PQ和 D-PC 1D 1 后节余的部分，如图D168 ，此中 Q 是棱 A 11 的中点， P 是 A 11 的中点，因此B D该几何体的体积为V ＝ 8－1× 1× 1× 1×2－ 1×1× 1× 2×2＝ 7.应选 3 2 3 2D. 图 D1686．B分析： 三棱锥 A-BCD 的三条侧棱两两相互垂直，因此把它扩展为长方体，它也外接于球，长方体的对角线长为其外接球的直径，因此长方体的对角线长是 12＋ 22＋ 32＝14，它的外接球半径是14，外接球的表面积是 4π× 14 2＝ 14π故.选 B.2 27．A 分析： 如图 D169 ，作出球的一个截面，则 MC ＝ 8－ 6＝ 2(cm)，BM ＝ 1A B ＝ 1× 822 ＝ 4(cm) ．设球的半径为 R cm ，则 R 2＝OM 2＋ MB 2＝ (R － 2)2＋42，∴R ＝ 5.∴V 球＝43π× 53＝5003 π(cm 3)．图 D16938.2 分析： 由已知的三视图，得该几何体上部是一个以俯视图为底面的四棱柱，其高1 3为 1，故该四棱柱的体积 V ＝ Sh ＝ 2× (1＋2)× 1× 1＝2.9．A 分析： 设△ABC 外接圆半径为 r ，由 AB ＝ 12 3，AB ＝BC ＝ 12，得 A ＝B ＝ 30°，12 3 ＝24.解得 r ＝ 12.则 O 到平面 ABC 的距离 d ＝ R 2－ r 2＝ 132－ 122C ＝ 120 °.因此 2r ＝sin 120° 1× 36 3× 5＝ 60 3.应选 A. △1× 12× 12× sin 120 ＝°36 3，因此 V＝5.又 S ABC ＝ 2O-ABC ＝310．C 分析： 依据球的截面圆性质、正三角形的性质与勾股定理，知经过点 E 的球 O的截面与 OE 垂直时截面圆的半径最小，相应的截面圆的面积有最小值，由此算出截面圆半 径的最小值，进而可得截面面积的最小值．设正三角形ABC 的中心为O 1，连结 O 1A ，连结O 1O ，O 1C ，OC ，∵O 1 是正三角形 ABC 的中心， A ，B ，C 三点都在球面上， ∴O 1O ⊥平面 ABC. 联合 O 1C? 平面 ABC ，可得 O 1O ⊥O 1C.∵球的半径 R ＝ 2，球心 O 到平面 ABC 的距离为 1，∴O 1O ＝1.∴Rt △O 1OC 中，O 1C ＝ R 2－ O 1O 2＝ 3.又∵E 为 AB 的中点， △ABC 是等边三角形． ∴32 27O 1E ＝ AO 1sin 30 ＝°2 .∴OE ＝OO 1＋ O 1E ＝ 2 .过 E 作球 O 的截面，当截面与 OE 垂直时，2 2 329 截面圆的半径最小，此时截面圆的半径r ＝ R －OE ＝ 2.可得截面面积为 S ＝ πr ＝ 4π故.选 C.2 3 2分析： 方法一，由条件知 A-BCD 是正四周体，△ BCD 是正三角形， A ，B ，11. 3 R C ，D 为球上四点，将正三棱锥A-BCD 增补成一个正方体AGBH -FDEC ，如图 D170. 则正三棱锥 A-BCD 和正方体 AGBH -FDEC 有共同的外接球， △BCD 的边长就是正方风光的对角线，设正方体 AGBH -FDEC 的棱长为 a ，则正方体外接球半径 R 知足： a 2＋ a 2＋ a 2 ＝(2R)2，解得2422 228211823 ＝ 2 3a ＝ R .因此 BC ＝ a＋ a ＝R .因此△BCD 的面积 S ＝BC ×BD sin 60 ＝°× R ×2 333223R 2.图 D170图 D171方法二，由条件 A-BCD 是正四周体， △ BCD 是正三角形， A ， B ， C ， D 为球上四点， 球心 O 在正四周体中心，如图 D171.设 BC ＝ a ，CD 的中点为 E ， O 1 为过点 B ，C ， D 截面圆的圆心，2 23 3 则截面圆半径 r ＝O 1B ＝ 3BE ＝ 3×2 a ＝ 3 a.2 3 2 6正四周体 A-BCD 的高 AO 1＝ a － 3 a＝ 3 a.∴ 截面 BCD 与球心的距离d ＝ OO 1＝ 63 a －R.32 2622 6在 Rt △BOO 1 中， 3 a＝ R － 3 a －R，解得 a ＝ 3 R.∴△ BCD 的面积为11 2 6 2 3 2 32S ＝BC ×BCsin 60 ＝° ×3 R× 2 ＝ 3 R .2 212． 8π 分析： ∵三棱柱 ABC -A 1B 1C 1 的侧棱垂直于底面，棱柱的体积为3， AC ＝ 1，1 2 22AB ＝ 2，∠BAC ＝ 60°，∴2×1× 2× sin 60°× AA 1＝ 3.∴AA 1＝ 2.∵BC ＝ AB ＋ AC －2AB ·ACcos60°＝ 4＋ 1－ 2＝3，∴BC ＝ 3.设△ABC 外接圆的半径为BC ＝ 2R.∴R ＝ 1.故外接球的 R ，则sin 60 °半径为12＋ 12＝ 2，外接球的表面积等于 4π× ( 2)2＝8π.第2课时1． C 分析： 延伸 CA 到 D ，使得 AD ＝ AC ，则 ADA 1C 1 为平行四边形，∠ DA 1B 就是异面直线 BA 1 与 AC 1 所成的角．又△ A 1DB 为等边三角形．∴∠ DA 1B ＝ 60°.2． B 分析： 由题意知， BD ⊥平面 ADC ，故 BD ⊥AC ，①正确； AD 为等腰直角三角形斜边 BC 上的高， 平面 ABD ⊥平面 ACD ，因此 AB ＝ AC ＝ BC ，△BAC 是等边三角形， ②正确；易知 DA ＝ DB ＝DC ，又由②知③正确；由①知④错．3． D 分析： 直接求三棱锥的体积很困难，由于不知三棱锥的形状，也没有数据，将该三棱锥放进长方体模型，如图D172，三棱锥 A-CB 1 1 切合题意，设AA 1＝ x ， A 1 D 1＝ y ，Dx 2＋ y 2＝ 2，1 1＝ z ，有2＋ z2＝m 2， 2 22 222＝4，z ＝ 22x A By 2＋ z 2 ＝n 2 ，11 2 22三棱锥体积 V ＝ 3V 长方体 ＝ 3xyz ＝ 3 xy ≤ 3 .因此三棱锥体积的最大值为 3 .应选 D.图 D1724．B 分析： 取 AD 的中点为 E ，连结 PE ，则由平面 PAD 垂直于平面 ABCD 可得， PE ⊥平面 ABCD ，于是以点 E 为原点，以 ED ，EP 分别为 x ，z 轴成立空间直角坐标系，此中AC 与 BD 订交于 F 点．于是可得E(0,0,0) ， D( 3， 0,0)， A(－ 3， 0,0)， P(0,0,1) ， C( 3，2,0)，B(－ 3，2,0)，F(0,1,0) ，设球 O 的球心的坐标为 →O(0，1，z 0)，则 OP ＝ (0，－ 1,1－ z 0 )， → → → － 1 2 2 ＝ 2 OB ＝(－ 3，1，－ z 0)，由 |OP|＝ |OB|，得 ＋ 1－ z 0 3＋ 1＋ z 0.解之，得 z 0＝－ 1.因此球心→ 5，由球的表面积公式知， S ＝ 4πr 2 ＝4π× ( 5) 2O(0,1，－ 1)．于是其半径为 |OP|＝ ＝ 20π故.选 B.5． ②③6． (1) 证明： 在△BAD 中，∵AB ＝ 2AD ＝ 2，∠BAD ＝60°， ∴由余弦定理，可得 BD ＝ 3. ∵AB 2＝AD 2＋ BD 2，∴AD ⊥BD .又在直平行六面体中，GD ⊥平面 ABCD ，BD ? 平面 ABCD ，∴GD ⊥BD .又 AD ∩ GD ＝ D ，∴BD ⊥平面 ADG.(2)解： 以 D 为坐标原点，成立如图 D173 所示的空间直角坐标系 D-xyz.图 D173∵∠ BAE ＝∠ GAD ＝ 45°， AB ＝ 2AD ＝ 2，∴ A(1,0,0) ，B(0， 3， 0)， G(0,0,1)， E(0， 3，2)， C(－ 1， 3，0)．→ →． ∴ AE ＝ (－ 1， 3， 2)，AG ＝ (－ 1,0,1) 设平面 AEFG 的法向量为 n ＝ (x ， y ， z)，→n ·AE ＝－ x ＋ 3y ＋ 2z ＝ 0， 故有→n ·AG ＝－ x ＋ z ＝ 0.令 x ＝ 1，得 y ＝－ 33，z ＝ 1.n ＝ (1，－ 33， 1)．而平面 ABCD 的一个法向量为→，DG＝ (0,0,1)→→21 DG·n∴ cos 〈DG＝7 .， n〉＝→|DG | |·n|故平面 AEFG 与平面 ABCD 所成锐二面角的余弦值为7．解： (1) 证明：连结 BD，如图 D174.由于 ABCD 是菱形，因此AC⊥BD.由于 FD ⊥平面 ABCD ， AC? 平面 ABCD ，因此 AC ⊥FD .由于 BD ∩FD ＝ D，因此 AC⊥平面 BDF .由于EB ⊥平面ABCD ，FD ⊥平面ABCD ，因此 EB ∥FD .因此 B， D， F，E 四点共面．由于 EF ? 平面 BDFE ，因此 EF⊥AC. 21 7 .图 D174 图 D175(2)如图 D175，以 D 为坐标原点，分别以→→的方向为 y 轴， z 轴的正方向，成立DC，DF空间直角坐标系D-xyz.能够求得3 1 3 1 3Aa，－2a， 0 ， B 2 a，2a， 0 ， F 0， 0，2 a ， C(0 ， a,0) ，23 1E 2 a，2a， 3a .→→＝3 1 3因此 AB＝ (0， a,0)， AF －2 a，2a，2 a . 设平面 ABF 的法向量为n＝( x， y， z)，→＝0，ay＝ 0，n·AB则→即－3 1 3 ＝0，n·AF 2 ax＋2ay＋2 az＝ 0.取 x＝ 1，则平面 ABF 的一个法向量为n＝(1,0,1)．→ 3 1，由于 CE＝2 a，－2a，3a→| →| 3 6n·CE因此 |cos〈n，CE〉|＝|n|CE→＝8 .| |因此直线 CE 与平面 ABF 所成角的正弦值为38 6 .8． (1) 证明：如图 D176，连结 ED，∵平面 AB1C∩平面 A1BD ＝ED， B1C∥平面A1BD ，∴B1C∥ED.∵E 为 AB1的中点，∴ D 为 AC 的中点．∵AB＝ BC，∴BD ⊥AC.①方法一，由 A1A⊥平面 ABC， BD? 平面 ABC，得 A1A⊥BD ，②由①②及 A1A， AC 是平面 A1ACC1内的两条订交直线，∴BD ⊥平面 A1ACC1.方法二，∵ A1A⊥平面 ABC， A1A? 平面 A1 ACC1，∴平面 A1ACC1⊥平面 ABC.又平面 A1ACC 1∩平面 ABC＝ AC，∴BD ⊥平面 A1ACC1.图 D176 图 D177(2)由 AB＝ 1，得 BC ＝BB1＝ 1.1 2由 (1)知 DA＝2AC，由 AC·DA＝1，得 AC ＝ 2.∵AC2＝ 2＝ AB2＋ BC2，∴ AB⊥ BC.以 B 为原点，成立空间直角坐标系B-xyz 如图 D177，1 1则 A1(1,0,1) ，B1(0,0,1) ， D 2，2， 0 .→→ 1 1.因此 B1A1＝ (1,0,0) ，B1D＝，，－12 2设 m＝(x，y，z)是平面A1B1D的一个法向量，→→m·B1A1＝x＝0，m⊥B1A1，则得→ 1 1→y－ z＝ 0.m⊥B1D，m·B1D＝x＋2 2令 z＝ 1，得m＝ (0,2,1) ．设 n＝(a，b，c)为平面A1BD的一个法向量，→，→ a bn⊥BD n·BD＝＋＝0，则得 2 2→→n⊥BA1，n·BA1＝a＋c＝0.令 c＝ 1，得n＝ (－1,1,1) ．依题意知二面角B-A1D -B1为锐二面角，设其大小为θ，则 cos θ＝ |cos〈n，m〉 |＝|n·m|＝3＝155. |n| ·|m| 5× 315 即二面角 B-A1 D-B1的余弦值为5 .。
《南方新课堂》2022年高考数学(理)总复习练习：第一章集合与逻辑用语 Word版含答案
第一章 集合与规律用语第1讲 集合的含义与基本关系1．(2021年广东江门一模)集合A ＝{x |2<x <7}，B ＝{x |3≤x <10}，A ∩B ＝( ) A ．(2,10) B ．[3,7) C ．(2,3] D ．(7,10)2．(2021年广东深圳一模)已知集合U ＝{2,0,1,5}，集合A ＝{0,2}，则∁U A ＝( ) A ．∅ B ．{0,2} C ．{1,5} D ．{2,0,1,5}3．(2021年安徽四模改编)设集合M ＝{x |0≤x <2}，集合N ＝{x |x 2＋2x －3<0}，集合M ∩N ＝( ) A ．{x |0≤x <1} B ．{x |0≤x <2} C ．{x |0≤x ≤1} D ．{x |0≤x ≤2} 4．(2021年大纲)设集合A ＝{1,2,3}，B ＝{4,5}，M ＝{x |x ＝a ＋b ，a ∈A ，b ∈B }，则M 中元素的个数为( ) A ．3个 B ．4个 C ．5个 D ．6个5．已知集合A ＝{(x ，y )|x ，y 为实数，且x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|x ，y 为实数，且y ＝x }，则A ∩B 的元素个数为( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个6．对任意两个正整数m ，n ，定义某种运算⊕：m ⊕n ＝⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ，m 与n 奇偶性相同，mn ， m 与n 奇偶性不同，则集合P ＝{(a ，b )|a⊕b ＝8，a ，b ∈N *}中元素的个数为( )A ．5个B ．7个C ．9个D ．11个7．在集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，1，2，3的全部非空子集中任取一个集合，则该集合满足条件“对∀x ∈A ，有1x ∈A ”的概率是________．8．(2021年广东广州二模)某校高三(1)班50个同学选择选修模块课程，他们在A ，B ，C 3个模块中进行选择，且至少需要选择则3A ．7人 B ．6人 C ．5人 D ．4人9．已知集合A ＝{x ∈R |ax 2－3x ＋2＝0，a ∈R }． (1)若A 是空集，求a 的取值范围；(2)若A 中只有一个元素，求a 的值，并写出A 中的元素； (3)若A 中至多有一个元素，求a 的取值范围．10．已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≤0，x ∈R }，B ＝{x |x 2－2mx ＋m 2－4≤0，x ∈R ，m ∈R }． (1)若A ∩B ＝[0,3]，求实数m 的值； (2)若A ⊆∁R B ，求实数m 的取值范围．第2讲 命题、量词与简洁的规律联结词1．(2022年湖北)命题“∀x ∈R ，x 2≠x ”的否定是( ) A ．∀x R ，x 2≠x B ．∀x ∈R ，x 2＝xC ．∃x 0R ，x 20≠x 0D ．∃x 0∈R ，x 20＝x 02．(2022年重庆)已知命题p ：对任意x ∈R ，总有|x |≥0，q ：x ＝1是方程x ＋2＝0的根，则下列命题为真命题的是( )A ．p ∧qB ．p ∧qC ．p ∧qD ．p ∧q 3．“xy ≠0”是指( )A ．“x ≠0，且y ≠0”B ．“x ≠0，或y ≠0”C ．“x ，y 至少有一个不为0”D ．“x ，y 不都是0”4．若函数f (x )＝x 2＋ax (a ∈R )，则下列结论正确的是( ) A ．∃a 0∈R ，f (x )是偶函数 B ．∃a 0∈R ，f (x )是奇函数C ．∀a ∈R ，f (x )在(0，＋∞)上是增函数D ．∀a ∈R ，f (x )在(0，＋∞)上是减函数5．(2021年天津)已知下列三个命题：①若一个球的半径缩小到原来的12，则其体积缩小到原来的18；②若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等；③直线x ＋y ＋1＝0与圆x 2＋y 2＝12相切．其中真命题的序号是( ) A ．①②③ B ．①② C ．①③ D ．②③6．(2021年湖北，由人教版选修11P 281改编)在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( )A ．(p )∨(q )B ．p ∨(q )C ．(p )∧(q )D ．p ∧q7．已知命题p ：“∀x ∈[0,1]，a ≥e x ”，命题q ：“∃x ∈R ，x 2＋4x ＋a ＝0”．若命题“p ∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围是( )A ．(4，＋∞)B ．[1,4]C ．[e,4]D ．(－∞，1]8．(2021年广东珠海二模)下列四种说法中，错误的个数是( ) ①命题“∃x ∈R ，x 2－x >0”的否定是“∀x ∈R ，x 2－x ≤0”； ②命题“p ∨q 为真”是命题“p ∧q 为真”的必要不充分条件； ③“若am 2<bm 2，则a <b ”的逆命题为真；④若实数x ，y ∈[0,1]，则满足x 2＋y 2>1的概率为π4.A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个9．设函数f (x )＝x 2－2x ＋m .(1)若∀x ∈[0,3]，f (x )≥0恒成立，求m 的取值范围； (2)若∃x ∈[0,3]，f (x )≥0成立，求m 的取值范围．10．已知命题p ：关于x 的不等式a x >1(a >0，且a ≠1)的解集为{x |x <0}，命题q ：函数f (x )＝lg(ax 2－x ＋a )的定义域为R .若“p ∧q ”为假命题，“p ∨q ”为真命题，求实数a 的取值范围．第3讲 充分条件与必要条件1．(2021年福建)已知集合A ＝{1，a }，B ＝{1,2,3}，则“a ＝3”是“A ⊆B ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．(2022年北京，由人教版选修11P 283改编)设a ，b 是实数，则“a >b ”是“a 2>b 2”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件3．(2021年湖北黄冈一模)下列命题中，真命题是( ) A ．∃x 0∈R ，使得e x 0≤0 B ．∀x ∈R,2x >x 2C ．“a >1，b >1”是“ab >1”的充分条件D ．sin 2x ＋2sin x≥3(x ≠k π，k ∈Z )4．命题“一元二次方程ax 2＋2x ＋1＝0(a ≠0)有一个正根和一个负根”的充分不必要条件是( ) A ．a <0 B ．a >0 C ．a <－1 D ．a >15．对于任意实数a ，b ，c ，给出下列命题： ①“a ＝b ”是“ac ＝bc ”的充要条件；②“a ＋5是无理数”是“a 是无理数”的充要条件； ③“a >b ”是“a 2>b 2”的充分条件； ④“a <5”是“a <3”的必要条件． 其中真命题的个数是( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．“m <14”是“一元二次方程x 2＋x ＋m ＝0有实数根”的( )A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件7．已知命题p ：|x ＋2|>1，命题q ：x <a ，且q 是p 的必要不充分条件，则a 的取值范围可以是( ) A ．a ≥3 B ．a ≤－3 C ．a <－3 D ．a >38．(2022年江西)下列叙述中正确的是( )A ．若a ，b ，c ∈R ，则“ax 2＋bx ＋c ≥0”的充分条件是“b 2－4ac ≤0”B ．若a ，b ，c ∈R ，则“ab 2>cb 2”的充要条件是“a >c ”C ．命题“对任意x ∈R ，有x 2≥0”的否定是“存在x ∈R ，有x 2≥0”D ．l 是一条直线，α，β是两个不同的平面，若l ⊥α，l ⊥β，则α∥β9．已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋1，若使得f (x )没有零点的a 的取值范围为集合A ，使得f (x )在区间(m ，m ＋3)上不是单调函数的a 的取值范围为集合B .(1)求A ，B ；(2)若x ∈A 是x ∈B 的充分不必要条件，求m 的取值范围．10．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 与抛物线y 2＝2x 相交于A ，B 两点．(1)求证：命题“假如直线l 过点T (3,0)，那么OA →·OB →＝3”是真命题； (2)写出(1)中命题的逆命题，推断它是真命题还是假命题，并说明理由．第一章 集合与规律用语第1讲 集合的含义与基本关系1．B 2.C 3.A4．B 解析：留意集合元素具有互异性，M ＝{5,6,7,8}．故选B.5．C 解析：集合A 表示由圆x 2＋y 2＝1上的全部点组成的集合，集合B 表示直线y ＝x 上的全部点组成的集合．由于直线经过圆心O (0,0)，故直线与圆有两个交点．故选C.6．C 解析：当a ，b 奇偶性相同时，a ⊕b ＝a ＋b ＝1＋7＝2＋6＝3＋5＝4＋4；当a ，b 奇偶性不同时，a ⊕b ＝ab ＝1×8.由于(a ，b )有序，故共有元素4×2＋1＝9个．7.15 解析：集合M 的非空子集有24－1＝15个，而满足条件“对∀x ∈A ，有1x∈A ”的集合A 中的元素为1，12或2，且12，2要同时消灭，故这样的集合有3个：{1}，⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，2，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，12，2.因此，所求的概率为315＝15. 8．B 解析：方法一：设三个模块都选择的同学人数为x ，由韦恩图D54，得5＋x ＋2＋x ＋1＋x ＋11－x ＋12－x ＋13－x ＋x ＝50，得x ＝6.图D54方法二：由题，得28＋26＋26－11－12－13＋x ＝50，得x ＝6.9．解：集合A 是方程ax 2－3x ＋2＝0在实数范围内的解组成的集合． (1)若A 是空集，即方程ax 2－3x ＋2＝0无解，当a ＝0时，x ＝23，不合题意；则⎩⎪⎨⎪⎧a ≠0，Δ＝(－3)2－8a <0，∴a >98， 即实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫98，＋∞.(2)当a ＝0时，方程只有一解23，此时A 中只有一个元素23；当a ≠0时，应有Δ＝0，∴a ＝98.此时方程有两个相等的实数根．当a ＝98时，解得x 1＝x 2＝43，A 中只有一个元素43.∴当a ＝0或a ＝98时，A 中只有一个元素，分别是23或43.(3)A 中至多有一个元素，包括A 是空集和A 中只有一个元素两种状况，依据(1)，(2)的结果，得a ＝0或a ≥98，即a 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫a |a ＝0，或a ≥98. 10．解：A ＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x |m －2≤x ≤m ＋2}． (1)∵A ∩B ＝[0,3]， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ m －2＝0，m ＋2≥3，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，m ≥1.∴m ＝2. 故所求实数m 的值为2.(2)∵∁R B ＝{x |x <m －2，或x >m ＋2}， 若A ⊆∁R B ，则m －2>3或m ＋2<－1. ∴m >5或m <－3.因此，实数m 的取值范围是m >5或m <－3.第2讲 命题、量词与简洁的规律联结词1．D 解析：对于命题的否定，要将命题中的“∀”变为“∃”，且否定结论，则原命题的否定是“∃x 0∈R ，x 20＝x 0”．故选D.2．A 解析：命题p ：对任意x ∈R ，总有|x |≥0，为真命题；命题q ：x ＝1是方程x ＋2＝0的根，为假命题，则p ∧q 为真命题．3．A 解析：xy ≠0是指x ，y 均不能为0.故选A. 4．A 解析：当a ＝0时，f (x )是偶函数．5．C 解析：球的体积公式为V ＝43πr 3，故①正确；如2,2,2和1,2,3这两组数据的平均数相等，标准差不相等，故②错误；d ＝|0＋0＋1|2＝22＝r ，故③正确．故选C.6．A 解析：由题意，得綈p 是“甲没降落在指定范围”，綈q 是“乙没降落在指定范围”．命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”包括“甲降落在指定范围，乙没降落在指定范围”，或“甲没降落在指定范围，乙降落在指定范围”，或“甲、乙均没降落在指定范围”三种．则所求命题可表示为(p )∨(q )．7．C 解析：∀x ∈[0,1]，a ≥e x ，即a ≥(e x )max ＝e 1＝e ；∃x ∈R ，x 2＋4x ＋a ＝0，Δ＝16－4a ≥0，a ≤4.命题“p ∧q ”是真命题，即p 真q 真．故选C.8．C 解析：①②正确；③④错误．故选C.9．解：(1)若对∀x ∈[0,3]，f (x )≥0恒成立，即f (x )min ≥0. f (x )＝x 2－2x ＋m ＝(x －1)2＋m －1， f (x )min ＝f (1)＝m －1≥0，即m ≥1.(2)若∃x ∈[0,3]，f (x )≥0成立，即f (x )max ≥0. f (x )＝x 2－2x ＋m ＝(x －1)2＋m －1， f (x )max ＝f (3)＝m ＋3≥0，即m ≥－3. 10．解：若p 为真命题，则0<a <1； 若p 为假命题，则a ≥1或a ≤0.若q 为真命题，由⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝1－4a 2<0，得a >12；若q 为假命假，则a ≤12.又p ∧q 为假命题，p ∨q 为真命题，即p 和q 有且仅有一个为真命题，当p 真q 假时，0<a ≤12；当p 假q 真时，a ≥1.故实数a 的取值范围为⎝⎛⎦⎤0，12∪[1，＋∞)． 第3讲 充分条件与必要条件1．A 解析：当a ＝3时，有A ⊆B ；当A ⊆B 时，a ＝3或a ＝2，所以“a ＝3”是“A ⊆B ”的充分不必要条件．故选A.2．D 解析：由“a >b ”不能得到“a 2>b 2”，如a ＝1，b ＝－2； 由“a 2>b 2”不能得到“a >b ”，如a ＝－2，b ＝1.所以“a >b ”是“a 2>b 2”的既不充分也不必要条件．故选D. 3．C 解析：∀x ∈R ，e x >0，A 错误； 当x ＝2时，22＝22，B 错误；当sin x ＝－1时，sin 2x ＋2sin x＝－1，D 错误．故选C.4．C 解析：一元二次方程ax 2＋2x ＋1＝0(a ≠0)有一个正根和一个负根，则x 1x 2＝1a<0，∴a <0，其充分不必要条件应当是集合(－∞，0)的真子集，只有C 符合题意．5．B 解析：只有②④正确．故选B.6．A 解析：由x 2＋x ＋m ＝0有实根知，Δ＝1－4m ≥0⇔m ≤14.故选A.7．B 解析：命题p ：x <－3或x >－1， 则p ：3≤x ≤－1，q ：x ≥a . 由题意有p ⇒q ，q p ，则a ≤－3.8．D 解析：当a <0时，由“b 2－4ac ≤0”推不出“ax 2＋bx ＋c ≥0”，A 错误；当b ＝0时，由“a >c ”推不出“ab 2>cb 2”，B 错误；命题“对任意x ∈R ，有x 2≥0”的否定是“存在x ∈R ，有x 2<0”，C 错误；由于与同一条直线垂直的两个平面平行，所以D 正确．9．解：(1)若f (x )没有零点，则Δ＝4a 2－4<0， ∴－1<a <1，即A ＝{a |－1<a <1}．若f (x )＝(x －a )2＋1－a 2在区间(m ，m ＋3)上不单调， 则m <a <m ＋3，即B ＝{a |m <a <m ＋3}． (2)若x ∈A 是x ∈B 的充分不必要条件，则A B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ≤－1，m ＋3≥1.∴－2≤m ≤－1.10．(1)证明：设过点T (3,0)的直线l 交抛物线y 2＝2x 于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝3，此时，直线l 与抛物线相交于点A (3，6)，B (3，－6)． ∴OA →·OB →＝3.当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x －3)，其中k ≠0.由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x ，y ＝k (x －3)，得ky 2－2y －6k ＝0，则y 1y 2＝－6. 又∵x 1＝12y 21，x 2＝12y 22， ∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝14(y 1y 2)2＋y 1y 2＝3.综上所述，命题“假如直线l 过点T (3,0)，那么OA →·OB →＝3”是真命题．(2)解：逆命题：假如OA →·OB →＝3，那么直线l 过点T (3,0)． 该命题是假命题，理由如下：例如：取抛物线上的点A (2,2)，B ⎝⎛⎭⎫12，1，此时OA →·OB →＝3， 直线AB 的方程为y ＝23(x ＋1)，而T (3,0)不在直线AB 上．。
[原创]2017年《南方新课堂·高考总复习》数学(理科) 第一章 第1讲 集合的含义与基本关系[配套课件]
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4．(2013 年大纲)设集合 A＝{1,2,3}，B＝{4,5}，M＝{x|x
＝a＋b，a∈A，b∈B}，则 M 中元素的个数为( B ) A．3 B．4 C．5 D．6
解析：M＝{5,6,7,8}．故选 B.
考点 1 集合的含义
例 1：(1)(2015 年新课标Ⅰ)已知集合 A＝{x|x＝3n＋2，n∈
考情风向标 1. 高考试题 多数 还是 以考查集合的含义、 集合间的关系、集合 的基本运算为主，尤 其是集合的运算是高 考的热点，故需立足 四基，抓好基础． 2. 对于新定 义高 考题 的准备，也需立足概 念和基本运算，只要 掌握了把不同问题转 化为基础问题的技巧 与方法，就会使看似 复杂的问题变得简单
解析：(1)B＝{x|x2 －x－2＝0}＝{－1,2}，A＝{－2,0,2}，
∴A∩B＝{2}．
3．(2013 年新课标Ⅰ)已知集合 A＝{1,2,3,4}，B＝{x|x＝n2，
n∈A}，则 A∩B＝( A )
A．{1,4} B．{2,3} C．{9,16} D．{1,2}
解析：∵ A＝{1,2,3,4}，B＝{x|x＝n2 ，x ∈A} ,∴B ＝ {1,4,9,16}．∴A∩B＝{1,4}．
答案：B
【规律方法】注意∅的特殊性.空集是任何集合的子集：
①当B⊆A 时需考虑B＝∅的情形； ②当A∩B＝∅时也需考虑B＝∅的情形，如果集合B 不是空 集，可以利用数轴，既直观又简洁.
难点突破
⊙与集合有关的新概念问题
例题：在如图 1-1-1 所示的 Venn 图中，A，B 是非空集合， 定义集合 A#B 为阴影部分表示的集合．若 x，y∈R，A＝{x|y＝
答案：D 【规律方法】(1)注意用描述法给出集合的元素．如{y|y＝
[原创]2016年《南方新课堂·高考总复习》数学(理科) 第二章 第11讲 抽象函数[配套课件]
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答案：①③⑤
●思想与方法●
⊙利用转化与化归思想解答抽象函数
例题：已知函数y＝f(x)是定义在R上的奇函数，且y＝
π fx＋2为偶函数，对于函数y＝f(x)有下列几种描述：
①y＝f(x)是周期函数； ②x＝π是它的一条对称轴； ③(－π，0)是它图象的一个对称中心； π ④当x＝2时，它一定取最大值． 其中描述正确的是____________．
解得x －
10 10 2 2 <x< 2 ，且x≠± 2
.
【规律方法】（1）解决对数函数型抽象函数的一般步骤 为：
x 1 f(1)=0⇒ f =－f(x)⇒ f ＝f(x)－f(y)⇒单调性. x y
（２）判断单调性小技巧：设０<x1<x2，则
第 11 讲
抽象函数
1．了解函数模型的实际背景． 2．会运用函数的解析式理解和研究函数的性质．
抽象函数
解析式
抽象函数 的类型
f(x1＋x2)＝
f(x1)＋f(x2)
正比例函数型
f(x1· x2)＝f(x1)＋f(x2) f(x1＋x2)＝f(x1)· f(x2)
对数函数型
x1 fx ＝f(x1)－f(x2) 2
则有 f(－x)＝f(x)＋f(－1)． 又令x1＝x2＝－1，得 2f(－1)＝f(1)． 再令 x1＝x2＝1，得 f(1)＝0，从而 f(－1)＝0.
于是有 f(－x)＝f(x)，所以 f(x)是偶函数．
(2)证明：设 0<x1<x2， 则
x2 f(x1)－f(x2)＝f(x1)－fx1· x1
x2 f(x2)= f x1 =f(x1)+ f x1 x2 >f(x1)，f(x)是增函数. x1
南方新课堂广东高考数学理科一轮总复习配套课件16.3回归分析与独立性检验
回归分析与独立性检验
考纲要求 1.会作两个有关联变量数据的散点图，会利用 散点图认识变量间的相关关系. 2.了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性 回归方程系数公式建立线性回归方程. 3.了解下列一些常见的统计方法，并能应用这 些方法解决一些实际问题. (1)了解独立性检验(只要求 2×2 列联表)的基 本思想、方法及其简单应用. (2)了解假设检验的基本思想、方法及其简单 应用. (3)了解回归的基本思想、方法及其简单应用.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
一种非确定性关系.
(2)将样本中 n 个数据点(xi，yi)(i＝1,2，„，n)描在平面直 角坐标系中，表示两个变量关系的一组数据的图形叫做散点图.
(3)正相关、负相关： 左下角 到__________ 右上角 的区 ①在散点图中，点散布在从__________ 域，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为正相关. 左上角 到__________ 右下角 的区 ②在散点图中，点散布在从__________ 域，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为负相关.
3.通过随机询问 110 名性别不同的大学生是否爱好某项运
动，得到如下的列联表： 男 爱好
不爱好 总计 40 20 60
女
20 30 50
总计
60 50 110
2 n ad － bc 由 K2＝ 算得， a＋bc＋da＋cb＋d 2 110 × 40 × 30 － 20 × 20 K2＝ ≈7.8. 60×50×60×50
报变量变化的贡献率，R2 越接近于 1，表示回归的效果越好.
3.独立性检验 (1)分类变量：变量的不同“值”表示个体所属的不同类 别，像这类变量称为分类变量. 频数表 ，称为列联表. (2)列联表：列出两个分类变量的__________ 假设有两个分类变量 X 和 Y，它们的可能取值分别为{x1，x2} 和{y1，y2}，其样本频数列联表(称为 2×2 列联表)：
2019年《南方新课堂·高考总复习》数学(理科)作业及测试：课时作业 第一章集合与逻辑用语 Word版含解析
第一章 集合与逻辑用语第1讲 集合的含义与基本关系1．(2017年北京)若集合A ＝{x |－2<x <1}，B ＝{x |x <－1，或x >3}，则A ∩B ＝( ) A ．{x |－2<x <－1} B ．{x |－2<x <3} C ．{x |－1<x <1} D ．{x |1<x <3}2．(2017年天津)设集合A ＝{1,2,6}，B ＝{2,4}，C ＝{1,2,3,4}，则(A ∪B )∩C ＝( ) A ．{2} B ．{1,2,4}C ．{1,2,4,6}D ．{1,2,3,4,6}3．(2016年浙江)已知集合P ＝{x ∈R |1≤x ≤3}，Q ＝{x ∈R |x 2≥4}, 则P ∪(∁R Q )＝( ) A ．[2,3] B ．(－2,3 ]C ．[1,2)D ．(－∞，－2]∪[1，＋∞)4．设集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫5，b a ，a －b ，B ＝{b ，a ＋b ，－1}，若A ∩B ＝{2，－1}，则A ∪B ＝( )A ．{2,3}B ．{－1,2,5}C ．{2,3,5}D ．{－1,2,3,5}5．已知集合A ＝{(x ，y )|y ＝log 2x }，B ＝{(x ，y )|y ＝x 2－2x }，则A ∩B 的元素有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个6．对任意两个正整数m ，n ，定义某种运算⊕：m ⊕n ＝⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ，m 与n 奇偶性相同，mn ，m 与n 奇偶性不同，则集合P ＝{(a ，b )|a ⊕b ＝8，a ，b ∈N *}中元素的个数为( )A ．5个B ．7个C ．9个D ．11个 7．若集合A 具有以下性质： (1)0∈A,1∈A ；(2)若x ∈A ，y ∈A ，则x －y ∈A ，且x ≠0时，1x∈A .则称集合A 是“好集”．下列命题正确的个数是( ) ①集合B ＝{－1,0,1}是“好集”； ②有理数集Q 是“好集”；③设集合A 是“好集”，若x ∈A ，y ∈A ，则x ＋y ∈A . A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个8．对于集合M ，N ，定义M －N ＝{x |x ∈M ，且x ∉N }，M ⊕N ＝(M －N )∪(N －M )．设A ＝{y |y ＝3x ，x ∈R }，B ＝{y |y ＝－(x －1)2＋2，x ∈R }，则A ⊕B ＝( )A ．[0,2)B ．(0,2]C ．(－∞，0]∪(2，＋∞)D ．(－∞，0)∪[2，＋∞)9．某校高三(1)班50名学生选择选修模块课程，他们在A ，B ，C 3个模块中进行选择，则3A ．7人 B ．6人 C ．5人 D ．4人10．已知集合A＝{x|x2＋x－2＝0}，B＝{x|ax＝1}，若A∩B＝B，则a＝______________.11．已知集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0，a∈R}．(1)若A是空集，求实数a的取值范围；(2)若A中只有一个元素，求a的值，并写出A中的元素；(3)若A中至多有一个元素，求实数a的取值范围．12．已知集合P＝{x|a＋1≤x≤2a＋1}，Q＝{x|x2－3x≤10}．(1)若a＝3，求(∁R P)∩Q；(2)若P∪Q＝Q，求实数a的取值范围．第2讲 命题、量词与简单的逻辑联结词1．(2015年浙江)命题“∀n ∈N *，f (n )∈N *，且f (n )≤n ”的否定形式是( ) A ．∀n ∈N *，f (n )∈N *，且f (n )>n B ．∀n ∈N *，f (n )∈N *，或f (n )>n C ．∃n 0∈N *，f (n 0)∈N *，且f (n 0)>n 0 D ．∃n 0∈N *，f (n 0)∉N *，或f (n 0)>n 02．(2017年山东)已知命题p ：∃x 0∈R ，x 20－x 0＋1≥0；命题q ：若a 2<b 2，则a <b .下列命题为真命题的是( )A ．p ∧qB ．p ∧綈qC ．綈p ∧qD ．綈p ∧綈q3．命题“和为偶数的两个整数都为偶数”的否定是( ) A ．和不为偶数的两个整数都为偶数 B ．和为偶数的两个整数都不为偶数 C ．和不为偶数的两个整数不都为偶数 D ．和为偶数的两个整数不都为偶数4．已知命题p ：“∀x ∈[0,1]，a ≥e x ”，命题q ：“∃x 0∈R ，x 20＋4x 0＋a ＝0”．若命题“p ∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围是( )A ．(4，＋∞)B ．[1,4]C ．[e,4]D ．(－∞，1]5．(2016年广东广州一模)已知下列四个命题：p 1：若直线l 和平面α内的无数条直线垂直，则l ⊥α；p 2：若f (x )＝2x －2－x ，则∀x ∈R ，f (－x )＝－f (x )；p 3：若f (x )＝x ＋1x ＋1，则∃x 0∈(0，＋∞)，f (x 0)＝1；p 4：在△ABC 中，若A >B ，则sin A >sin B . 其中真命题的个数是( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．(2017年广东汕头一模)若命题“ax 2－2ax ＋3>0恒成立”是假命题，则实数a 的取值范围是( )A ．0<a <3B ．a <0，或a ≥3C ．a <0，或a >3D ．a ≤0，或a ≥3 7．(2017年山东)已知命题p ：∀x >0，ln(x ＋1)>0；命题q ：若a ＞b ，则a 2>b 2，下列命题为真命题的是( )A ．p ∧qB ．p ∧綈qC ．綈p ∧qD ．綈p ∧綈q8．(2016年河南郑州质量预测)已知函数f (x )＝x ＋4x ，g (x )＝2x ＋a ，若∀x 1∈⎣⎡⎦⎤12，1，∃x 2∈[2,3]，使得f (x 1)≥g (x 2)，则实数a 的取值范围是( )A ．a ≤1B ．a ≥1C ．a ≤2D ．a ≥29．(2015年山东)若“∀x ∈⎣⎡⎦⎤0，π4，tan x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为________． 10．(2017年湖南长沙质检)已知下面四个命题：①“若x 2－x ＝0，则x ＝0或x ＝1”的逆否命题为“若x ≠0，且x ≠1，则x 2－x ≠0”；②“x＜1”是“x2－3x＋2＞0”的充分不必要条件；③命题p：∃x0∈R，使得x20＋x0＋1＜0，则綈p：∀x∈R，都有x2＋x＋1≥0；④若p且q为假命题，则p，q均为假命题．其中为真命题的是________．(填序号)11．设函数f(x)＝x2－2x＋m.(1)若∀x∈[0,3]，f(x)≥0恒成立，求m的取值范围；(2)若∃x0∈[0,3]，f(x0)≥0成立，求m的取值范围．12．设命题p：函数y＝kx＋1在R上是增函数，命题q：∃x0∈R，x20＋(2k－3)x0＋1＝0，如果p∧q是假命题，p∨q是真命题，求k的取值范围．第3讲充分条件与必要条件1．(2015年天津)设x∈R，则“1＜x＜2”是“|x－2|＜1”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．(2016年四川)设p：实数x，y满足x>1，且y>1，q：实数x，y满足x＋y>2，则p 是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．(2016年天津)设{a n}是首项为正数的等比数列，公比为q，则“q<0”是“对任意的正整数n，a2n－1＋a2n<0”的()A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件4．(2015年福建)若l，m是两条不同的直线，m垂直于平面α，则“l⊥m”是“l∥α”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．(2016年山东)已知直线a ，b 分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．(2015年陕西)“sin α＝cos α”是“cos 2α＝0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件7．(2017年北京)设m ，n 为非零向量，则“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m·n <0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．(2014年江西)下列叙述中正确的是( )A ．若a ，b ，c ∈R ，则“ax 2＋bx ＋c ≥0”的充分条件是“b 2－4ac ≤0”B ．若a ，b ，c ∈R ，则“ab 2>cb 2”的充要条件是“a >c ”C ．命题“对任意x ∈R ，有x 2≥0”的否定是“存在x 0∈R ，有x 20≥0”D ．l 是一条直线，α，β是两个不同的平面，若l ⊥α，l ⊥β，则α∥β9．设α，β是两个不同的平面，m 是直线且m ⊂α，则“m ∥β” 是“α∥β”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件10．(2015年重庆)“x >1”是“log 12(x ＋2)<0”的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件11．已知(x ＋1)(2－x )≥0的解为条件p ，关于x 的不等式x 2＋mx －2m 2－3m －1<0⎝⎛⎭⎫m >－23的解为条件q .(1)若p 是q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围； (2)若綈p 是綈q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．12．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 与抛物线y 2＝2x 相交于A ，B 两点．(1)求证：命题“如果直线l 过点T (3,0)，那么OA →·OB →＝3”是真命题； (2)写出(1)中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由．习题集部分第一章 集合与逻辑用语 第1讲 集合的含义与基本关系1．A 解析：利用数轴可知A ∩B ＝{x |－2<x <－1}．故选A. 2．B 解析：(A ∪B )∩C ＝{1,2,4,6}∩{1,2,3,4}＝{1,2,4}．故选B.3．B 解析：∁R Q ＝{x ∈R |x 2<4}＝{x ∈R |－2<x <2}，P ∪(∁R Q )＝[1,3]∪(－2,2)＝(－2,3]．故选B.4．D 解析：由A ∩B ＝{2，－1}，可得⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝2，a －b ＝－1，或⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝－1，a －b ＝2.当⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝2，a －b ＝－1时，⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2，此时B ＝{2,3，－1}，则A ∪B ＝{－1,2,3,5}；当⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝－1，a －b ＝2时，⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1，不符合题意，舍去．故A ∪B ＝{－1,2,3,5}．5．B 解析：在同一平面直角坐标系中画出函数y ＝log 2x 与y ＝x 2－2x 的图象，如图D87，由图可知y ＝log 2x 与y ＝x 2－2x 的图象有2个交点，则A ∩B 的元素有2个．图D876．C 解析：当a ，b 奇偶性相同时，a ⊕b ＝a ＋b ＝1＋7＝2＋6＝3＋5＝4＋4；当a ，b 奇偶性不同时，a ⊕b ＝ab ＝1×8.由于(a ，b )有序，故共有元素4×2＋1＝9(个)．7．C 解析：(1)集合B 不是“好集”，假设集合B 是“好集”，因为－1∈B,1∈B ，所以－1－1＝－2∈B ，这与－2∉B 矛盾．(2)有理数集Q 是“好集”，因为0∈Q ，1∈Q ，对任意的x ∈Q ，y ∈Q ，有x －y ∈Q ，且x ≠0时，1x ∈Q ，所以有理数集Q 是“好集”．(3)因为集合A 是“好集”，所以0∈A ，若x ∈A ，y ∈A ，则0－y ∈A ，即－y ∈A ，所以x －(－y )∈A ，即x ＋y ∈A .8．C 解析：由题意知，集合A ＝{y |y ＞0}，B ＝{y |y ≤2}． 所以A －B ＝{y |y ＞2}，B －A ＝{y |y ≤0}． 所以A ⊕B ＝(2，＋∞)∪(－∞，0]．故选C.9．B 解析：方法一，设三个模块都选择的学生人数为x ，由韦恩图D88，得5＋x ＋2＋x ＋1＋x ＋11－x ＋12－x ＋13－x ＋x ＝50.得x ＝6.图D88方法二，由题意，得28＋26＋26－11－12－13＋x ＝50.得x ＝6.10．－12或1或0 解析：依题意，可得A ∩B ＝B ⇔B ⊆A.集合A ＝{x |x 2＋x －2＝0}＝{－2,1}，当x ＝－2时，－2a ＝1，解得a ＝－12；当x ＝1时，a ＝1；又B 是空集时也符合题意，这时a ＝0.11．解：集合A 是方程ax 2－3x ＋2＝0在实数范围内的解组成的集合．(1)若A 是空集，即方程ax 2－3x ＋2＝0无解，当a ＝0时，x ＝23，不合题意；则⎩⎪⎨⎪⎧a ≠0，Δ＝(－3)2－8a <0.∴a >98，即实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫98，＋∞. (2)当a ＝0时，方程只有一个解23，此时A 中只有一个元素23；当a ≠0时，应有Δ＝0，∴a ＝98.此时方程有两个相等的实数根．当a ＝98时，解得x 1＝x 2＝43，A 中只有一个元素43.∴当a ＝0或a ＝98时，A 中只有一个元素，分别是23或43.(3)A 中至多有一个元素，包括A 是空集和A 中只有一个元素两种情况，根据(1)(2)的结果，得a ＝0或a ≥98，即实数a 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫a |a ＝0，或a ≥98.12．解：(1)因为a ＝3，所以P ＝{x |4≤x ≤7}， ∁R P ＝{x |x <4，或x >7}．又Q ＝{x |x 2－3x －10≤0}＝{x |－2≤x ≤5}，所以(∁R P )∩Q ＝{x |x <4，或x >7}∩{x |－2≤x ≤5}＝{x |－2≤x <4}． (2)当P ≠∅时，由P ∪Q ＝Q ，得P ⊆Q . 所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1≥－2，2a ＋1≤5，2a ＋1≥a ＋1.解得0≤a ≤2.当P ＝∅，即2a ＋1<a ＋1时，有P ⊆Q ，得a <0. 综上所述，实数a 的取值范围是(－∞，2]．第2讲 命题、量词与简单的逻辑联结词1．D 解析：根据全称命题的否定是特称命题．故选D.2．B 解析：显然命题p 为真命题， 命题q 为假命题， 即p ，綈q 均是真命题， p ∧綈q 为真命题．故选B.3．D 解析：命题“和为偶数的两个整数都为偶数”的否定是：和为偶数的两个整数不都为偶数．故选D.4．C 解析：∀x ∈[0,1]，a ≥e x ，即a ≥(e x )max ＝e 1＝e ；∃x 0∈R ，x 20＋4x 0＋a ＝0，即Δ＝16－4a ≥0，a ≤4.命题“p ∧q ”是真命题，即p 真q 真．故选C.5．B 解析：若直线l 和平面α内的无数条直线垂直，则l ⊥α，或l ∥α，或l ⊂α，或l 与α相交，所以p 1是假命题；f (－x )＝2－x －2x ＝－(2x －2－x )＝－f (x )，所以p 2是真命题；由x ＋1x ＋1＝1，得x ＝0.所以p 3是假命题；Α>Β⇒a >b ⇒2R sin Α>2R sin Β⇒sin Α>sin Β，所以p 4是真命题．故选B.6．B 解析：命题“ax 2－2ax ＋3＞0恒成立”是假命题，即∃x 0∈R ，使ax 20－2ax 0＋3≤0，当a ＝0时，不符合题意；当a ＜0时，符合题意；当a ＞0时，Δ＝4a 2－12a ≥0⇒a ≥3.综上所述，实数a 的取值范围是a ＜0，或a ≥3.故选B.7．B 解析：当x >0时，x ＋1>1，ln(x ＋1)>0，即p 为真命题；当－1>－2时，而(－1)2<(－2)2，即q 为假命题，即p ，綈q 均是真命题， p ∧綈q 为真命题．故选B.8．A 解析：由题意知，f (x )min ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤121≥g (x )min (x ∈[2,3])，因为f (x )min ＝5，g (x )min ＝4＋a ，所以5≥4＋a ，即a ≤1.故选A.9．1 解析：若“∀x ∈⎣⎡⎦⎤0，π4，tan x ≤m ”是真命题，则实数m 大于或等于函数y ＝tan x 在⎣⎡⎦⎤0，π4上的最大值．因为函数y ＝tan x 在⎣⎡⎦⎤0，π4上为增函数，所以函数y ＝tan x 在⎣⎡⎦⎤0，π4上的最大值为tan π4＝1.所以m ≥1.则实数m 的最小值为1.10．①②③ 解析：①正确．②中，x 2－3x ＋2＞0⇔x ＞2或x ＜1，所以“x ＜1”是“x 2－3x ＋2＞0”的充分不必要条件，②正确．由于特称命题的否定为全称命题，所以③正确．若p 且q 为假命题，则p ，q 至少有一个是假命题，所以④的推断不正确．11．解：(1)若对∀x ∈[0,3]，f (x )≥0恒成立，即f (x )min ≥0. f (x )＝x 2－2x ＋m ＝(x －1)2＋m －1， f (x )min ＝f (1)＝m －1≥0，即m ≥1.(2)若∃x 0∈[0,3]，f (x 0)≥0成立，即f (x )max ≥0. f (x )＝x 2－2x ＋m ＝(x －1)2＋m －1， f (x )max ＝f (3)＝m ＋3≥0，即m ≥－3.12．解：∵函数y ＝kx ＋1在R 上是增函数，∴k >0.由∃x 0∈R ，x 20＋(2k －3)x 0＋1＝0，得关于x 的方程x 2＋(2k －3)x ＋1＝0有解，∴Δ＝(2k －3)2－4≥0.解得k ≤12或k ≥52.∵p ∧q 是假命题，p ∨q 是真命题， ∴命题p ，q 一真一假．①若p 真q 假，则⎩⎪⎨⎪⎧k >0，12<k <52.∴12<k <52； ②若p 假q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧k ≤0，k ≤12或k ≥52.∴k ≤0.综上所述，k 的取值范围为(－∞，0]∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，52.第3讲 充分条件与必要条件1．A 解析：由|x －2|＜1⇒－1＜x －2＜1⇒1＜x ＜3，可知“1＜x ＜2”是“|x －2|＜1”的充分不必要条件．故选A.2．A 解析：由x >1，且y >1，得x ＋y >2，而当x ＋y >2时，不能得出x >1且y >1.故p 是q 的充分不必要条件．故选A.3．C 解析：由a 2n －1＋a 2n <0⇒a 1(q 2n －2＋q 2n －1)<0⇒q 2(n －1)(q ＋1)<0⇒q ∈(－∞，－1)，故是必要不充分条件．故选C.4．B 解析：若l ⊥m ，因为m 垂直于平面α，则l ∥α，或l ⊂α；若l ∥α，又m 垂直于平面α，则l ⊥m ，所以“ l ⊥m ”是“l ∥α”的必要不充分条件．故选B.5．A 解析：直线a 与直线b 相交，则α，β一定相交，若α，β相交，则a ，b 可能相交，也可能平行或异面．故选A.6．A 解析：cos 2α＝0⇒cos 2α－sin 2α＝0⇒(cos α－sin α)·(cos α＋sin α)＝0，所以sin α＝cos α或sin α＝－cos α.故选A.7．A 解析：若∃λ<0，使m ＝λn ，即两向量反向，夹角是180°，那么m ·n ＝|m ||n |cos 180°＝－|m ||n |<0，若m ·n <0，那么两向量的夹角为(90°，180°]，并不一定反向，即不一定存在负数λ，使得m ＝λn ，所以是充分不必要条件．故选A.8．D 解析：当a <0时，由“b 2－4ac ≤0”推不出“ax 2＋bx ＋c ≥0”，A 错误；当b ＝0时，由“a >c ”推不出“ab 2>cb 2”，B 错误；命题“对任意x ∈R ，有x 2≥0”的否定是“存在x 0∈R ，有x 20<0”，C 错误；因为与同一条直线垂直的两个平面平行，所以D 正确．9．B 解析：由m ⊂α，m ∥β，得不到α∥β，因为α，β可能是相交的，只要m 和α，β的交线平行即可得到m ∥β；∵α∥β，m ⊂α，∴m 和β没有公共点．∴m ∥α，即由α∥β可推得m ∥β.∴m ∥β是α∥β的必要不充分条件．10．B 解析：log 12(x ＋2)<0⇔x ＋2>1⇔x >－1.故选B.11．解：(1)设条件p 的解集为集合A ， 则A ＝{x |－1≤x ≤2}．设条件q 的解集为集合B ， 则B ＝{x |－2m －1<x <m ＋1}． 若p 是q 的充分不必要条件，则A B . ⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋1>2，－2m －1<－1，m >－23.解得m >1.(2)若綈p 是綈q 的充分不必要条件，则B A . ⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2，－2m －1≥－1，m >－23.解得－23<m ≤0.12．(1)证明：设过点T (3,0)的直线l 交抛物线y 2＝2x 于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝3， 此时，直线l 与抛物线相交于点A (3，6)，B (3，－6)． ∴OA →·OB →＝3. 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x －3)，其中k ≠0.由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x ，y ＝k (x －3)得ky 2－2y －6k ＝0.则y 1y 2＝－6. 又x 1＝12y 21，x 2＝12y 22，∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝14(y 1y 2)2＋y 1y 2＝3.综上所述，命题“如果直线l 过点T (3,0)，那么OA →·OB →＝3”是真命题．(2)解：逆命题：如果OA →·OB →＝3，那么直线l 过点T (3,0)． 该命题是假命题，理由如下：例如：取抛物线上的点A (2,2)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫121，此时OA →·OB →＝3，直线AB 的方程为y ＝23(x ＋1)，而T (3,0)不在直线AB 上．则逆命题是假命题．。
【南方新课堂】高考数学总复习 第一章 第1讲 集合的含义与基本关系名师课件 理
{x|0<x<2}，则集合 A∩B＝( A )
A．{x|0<x<1}
B．{x|－1<x<1}
C．{x|－2<x<2}
D．{x|1<x<2}
3．(2013 年广东)设集合M＝{x|x2＋2x＝0，x∈R}，N＝{x|x2
－2x＝0，x∈R}，则 M∪N＝( D )
A．{0} C．{－2,0}
B．{0,2} D．{－2,0,2}
{1,3,5,6}，则∁U A＝( C )
A．{1,3,5,6}
B．{2,3,7}
C．{2,4,7}
D．{2,5,7}
解析：依题意，∁ UA＝{2,4,7}．故选C.
考点1 集合的运算
例1：(2013 年浙江)设集合 S＝{x|x>－2}，T＝{x|x2＋3x－
4≤0}，则(∁RS)∪T＝( A．(－2,1]
3．集合的基本运算及其性质 (1)并集：A∪B＝{x|x∈A，或 x∈B}． (2)交集：A∩B＝{x|x∈A，且 x∈B}． (3)补集：∁U A＝{x|__x_∈__U__，__且__x____A_}，U 为全集，∁U A 表示 A 相对于全集 U 的补集．
(4)集合的运算性质． ①并集的性质：A∪∅ ＝A，A∪A＝A，A∪B＝B∪A，A∪ B＝A⇔B⊆A； ②交集的性质：A∩∅ ＝∅,A∩A＝A，A∩B＝B∩A，A∩B ＝A⇔A⊆B； ③补集的性质：A∪∁U A＝U,A∩∁U A＝∅,∁U (∁U A)＝ A，
∁U (A∪B)＝(∁U A)∩(∁U B)，∁U (A∩B)＝(∁U A)∪(∁U B)．
1．若非空集合 A，B 满足 A⊆B，则( B ) A．∃x0∈A，使得 x0 B B．∀x∈A，有 x∈B C．∃x0∈B，使得 x0 A D．∀x∈B，有 x∈A
2016年《南方新课堂·高考总复习》数学(理科) 第二章 第10讲 函数与方程
3．方程 2x＋x－4＝0 的解所在的区间为( C ) A．(－1,0) B．(0,1) C．(1,2) D．(2,3)
解析：令 f(x)＝2x＋x－4，∵f(1)· f(2)＝－2<0，∴f(x)在(1,2) 内有零点． 4．函数 f(x)＝log3x＋x－2 的零点所在的区间为( B ) A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4)
B．(1,2) D．(4，＋∞)
3 解析：∵f(2)＝3－1>0，f(4)＝ －2<0，∴由根的存在性定 2 理知，f(x)的零点在区间(2,4)内．故选C.
答案：C
【规律方法】判断函数y＝f(x)在某个区间上是否存在零点，
常用以下三种方法： ①当对应方程易解时，可通过解方程，看方程是否有根落 在给定区间上；
(2)如果函数 y＝f(x)在区间(a，b)上的图象是连续不断的， < ，那么函数 y＝f(x)在区间(a，b)上有零点．一 且有 f(a)· f(b)____0
般把这一结论称为零点存在性定理．
2．二分法 如果函数 y＝f(x)在区间[m，n]上的图象是一条连续不断的 曲线，且 f(m)· f(n)<0，通过不断地把函数 y＝f(x)的零点所在区 间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点 近似值的方法叫做二分法．
1．如图 2-10-1 所示的是函数 f(x)的图象，它与 x 轴有 4 个 不同的公共点．给出下列四个区间，不能用二分法求出函数 f(x)
零点的区间是( B )
图 2-10-1
A．[－2.1，－1] B．[1.9,2.3]
C．[4.1,5]
D．[5,6.1]
2．(2012 年广东韶关一模)若函数 f(x)＝x3＋x2－2x－2 的一 个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：
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【互动探究】 2．(2013 年上海)钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的
B( 意思是：“不便宜”是“好货”的
A．充分条件
)
B．必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：“便宜⇒没好货”的逆否命题是“好货⇒不便宜”， “不便宜”是“好货”的必要条件．故选 B.
考点3
பைடு நூலகம்
利用集合法判断充要关系 )
考点1
利用定义法判断充要关系
例1：(2014 年上海)设 a，b∈R，则“a＋b>4”是“a>2， 且 b>2”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：若 a>2，且 b>2，则 a＋b>4；而 a＋b>4 不能得到 a>2，且
a＝4， b>2，如 b＝1.
所以“a＋b>4”是“a>2,且 b>2”的
必要不充分条件．故选 B.
答案：B
【规律方法】充要条件的判断步骤：
①确定条件是什么，结论是什么；
②尝试从条件推结论，结论推条件；
③确定条件与结论之间的关系．
【互动探究】 1．(2014 年浙江)设四边形 ABCD 的两条对角线为 AC，BD， 则“四边形 ABCD 为菱形”是“AC⊥BD”的 ( ) A A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
1 4 范围是－2，3.
1 4 解得－ ≤m≤ .∴m 的取值 2 3
●思想与方法● ⊙利用分类讨论及转化化归思想求参数的范围
例题：已知 p：|1 －2x|≤5，q ：x2 －4x＋4－9m2≤0. 若 p 是 q 的充分不必要条件，求实数 m 的取值范围．
解：解不等式，得 p：－2≤x≤3. ①当 m>0 时，q：2－3m≤x≤2＋3m. 若 p 是 q 的充分不必要条件， 即 p⇒ q，等价于 q⇒p.
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：若 p 是 q 的必要不充分条件，有 p⇐q，其逆否命 题为 p⇒ q，故 p 是 q 的充分不必要条件．故选 A.
答案：A
【规律方法】对于带有否定性的命题或比较难判断的命题， 除借助集合思想把抽象、复杂的问题形象化、直观化外，还可 利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判 断所求命题的等价命题．
(2)集合法：从集合观点看，建立与命题 p，q 相应的集合．
p：A＝{x|p(x)成立}，q：B＝{x|q(x)成立}，那么若A⊆B，则p
是 q 的充分条件，q 是 p 的必要条件；若A
B，则p 是q 的充
分不必要条件，q 是 p 的必要不充分条件；若A＝B，则p 是q 的充要条件；若A
B，且B A，则p 既不是q 的充分条件，
方法二：从集合的角度出发，(2x－1)x＝0 相当于集合 M＝
1 0， ， 而 2
x＝0 相当于集合 N＝{0}， 显然 M⊇N， 故“(2x－1)x
＝0”是“x＝0”的必要不充分条件．故选 B.
答案：B
【规律方法】(1)如果命题成立与否与集合相关，此时常通
过集合的关系来判断条件的充分性、必要性．
例 3：(2013 年安徽)“(2x－1)x＝0”是“x＝0”的( A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
1 解析：方法一：当(2x－1)x＝0 时，得 x＝0 或 x＝ ，故不 2 能推出 x＝0； 而当 x＝0 时， 显然(2x－1)x＝0.故“(2x－1)x＝0” 是“x＝0”的必要不充分条件．故选 B.
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：若四边形ABCD 为菱形，则AC⊥BD；而当AC⊥BD 时，四边形ABCD 不一定为菱形，因为四边形ABCD 有可能不
是平面图形，所以“四边形ABCD 为菱形”是“AC⊥BD”的
充分不必要条件．故选 A.
考点2
利用等价法判断充要关系
p 是 q 的必要
例 2：(2013 年山东)给定两个命题 p，q.若 不充分条件，则 p 是 q 的( )
3．如果 x，y 是实数，那么“cosx＝cosy”是“x＝y”的 ( B ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：x＝y⇒cosx＝cosy，而当 cosx＝cosy 时，不一定有 x
π π ＝y，如 cos ＝cos－3.故选 B. 3
也不是q 的必要条件．
【互动探究】
1 1 3．已知不等式|x－m|<1 成立的充分不必要条件是 <x< ， 3 2 1 4 － ， 2 3 ． 则 m 的取值范围是________
1 1 解析：∵3<x<2是|x－m|<1 成立的充分不必要条件， 1 1 ∴x|3<x<2是{x||x－m|<1}的真子集．又∵{x||x－m|<1}＝{x|－1 1 －1＋m≤3， ＋m<x<1＋m}． ∴ 1＋m≥1. 2
→ ＝AB →＋ 4． (2015 年广东深圳一模)在四边形 ABCD 中， “AC → ”是“ABCD 是平行四边形”的( B ) AD A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
1 1 充分不必要 条件． 5．“x>2”是“ x<2”的____________
【规律方法】1 p 是 q 的充分条件，即 p⇒ q，其
逆否命题为q⇒p，即q是p的充分条件，从而避免求补集.
2 将充要关系的判定转化为集合的包含关系： A⊆B， 即A是B的充分条件，B是A的必要条件；A＝B，即A是B的充 要条件. 3解不等式时，要注意对参数m分类讨论.
A ) 1．若 a∈R，则“a＝2”是“(a－1)(a－2)＝0”的( A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2．(2013 年湖南)“1＜x＜2”是“x＜2”成立的( A ) A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：{x|1<x<2}⊆{x|x<2}，所以“1＜x＜2”是“x＜2” 成立的充分不必要条件．故选 A.
第3 讲
充分条件与必要条件
理解必要条件、充分条件与充要条件的意义．
1．命题“若 p，则 q”为真命题时，记作 p⇒q. 必要 条件； 2．若 p⇒q，则 p 是 q 的充分条件，q 是 p 的______ 若既有 p⇒q，又有 q⇒p，记作 p⇔q，则 p 是 q 的充要条 充要 条件． 件，q 也是 p 的______ 3．判断命题的充要关系主要有三种方法：定义法、等价法 (利用逆否命题)和集合法(利用子集、真子集关系)．
2－3m≥－2， 从而2＋3m≤3， m>0，
1 解得 0<m≤ . 3
②当 m<0 时，q：2＋3m≤x≤2－3m. 若 p 是 q 的充分不必要条件， 即 p⇒ q，等价于 q⇒p. 2＋3m≥－2， 从而2－3m≤3， m<0， 1 解得－3≤m<0.
③当 m＝0 时，q：x＝2，显然符合题意． 1 1 综上所述，实数 m 的取值范围为－3≤m≤3.