WL物理学原理及工程应用03波函数
第二章 波函数
2
2n 1,
n 0, 1, 2, ...
33
1 En (n ) , n 0, 1, 2, ... 2
简谐振子的能谱是等间 隔的, 间距为ħω, 基态能 量不为零, 即零点能量为 ħω/2。
这是微观粒子波粒二象
二、平面波的叠加
一个以确定动量p运动的状态可以用下列波函数表示
p (r, t ) Ne
i ( Et pr )
15
粒子的状态ψ(r,t)可以表示为p取各种可能值的平面波的线性叠加
(r, t ) c(p) p (r, t )
p
由于p可以连续变化
(r, t ) c(p, t ) p (r )dp x dp y dp z
2 2 2 2 2 2 2 x y z
（2）
18
利用自由粒子
p E 2
2
和上面方程（1）、（2）
得：
2 2 i t 2
i j k x y z 1 1 er e e r r r sin 2 2 2 2 2 2 x y z
第二章 波函数和薛定谔方程
2.1 微观态的波函数描述及其统计诠 释 2.2 态叠加原理
2.3 薛定谔方程
2.4 粒子流密度和粒子数守恒定律 2.5 定态薛定谔方程
1
经典粒子的物理描述
• • • • • 1、参照系 (坐标系) 2、坐标 r 3、速度（动量） v or (p) 4、加速度 a 5、宏观实践中结果很好
（5）波恩提出的波函数统计诠释：波函数在空间某点的强度 （振幅绝对值的平方）和在该点找到粒子的几率成比例。
物理学中的量子力学波函数
物理学中的量子力学波函数量子力学是现代物理学的重要分支之一，它描述了微观世界中微粒的行为和性质。
而波函数则是量子力学中的核心概念之一，它用来描述微观粒子的状态和演化。
一、波函数的引入在20世纪初，物理学家们发现了一些经典物理学无法解释的现象，如黑体辐射、光电效应等。
为了解释这些现象，他们提出了量子理论，即量子力学。
在量子力学中，波函数被引入来描述微观粒子的行为。
二、波函数的定义波函数可以用数学方式表示，通常用Ψ表示。
对于一个处于确定状态的微观粒子，其波函数可以看作一个复数函数，其平方的模表示了粒子在不同位置或状态的概率分布。
三、波函数的演化根据量子力学的基本原理，波函数的演化遵循薛定谔方程。
薛定谔方程描述了波函数随时间的演化规律，它是量子力学的基本方程之一。
四、波函数的叠加与干涉量子力学中的波函数具有叠加性质，即当一个粒子处于多个可能状态时，其波函数可以表示为这些状态的叠加。
这种叠加会导致波函数的干涉现象，即波函数之间相互增强或抵消。
五、波函数塌缩与测量当对一个处于叠加状态的微观粒子进行测量时，波函数会发生塌缩，从而只保留其中一个可能状态。
这种塌缩现象是量子力学中的一个重要特征，也是解释测量结果的关键。
六、波函数的统计解释波函数的统计解释是量子力学中的一个重要概念。
根据统计解释，波函数的平方模给出了测量结果的概率分布。
这种统计解释与经典物理学中的确定性描述有所不同，体现了量子力学的非经典性质。
七、波函数的量子纠缠在量子力学中，波函数还可以描述多粒子系统的状态。
当多个微观粒子之间存在纠缠时，它们的波函数会相互依赖，无法单独描述每个粒子的状态。
这种量子纠缠现象在量子信息和量子计算等领域有重要应用。
八、波函数的应用波函数作为量子力学的核心概念，在物理学的各个领域都有广泛应用。
它不仅解释了微观粒子的行为和性质，还为材料科学、量子计算和量子通信等领域的研究提供了理论基础。
九、波函数的局限性尽管波函数在量子力学中有广泛应用，但它也存在一些局限性。
大学物理课件：波函数 薛定谔方程
14.6.2 薛定谔方程
薛定谔方程：适用于低速下微观粒子在力场中运动的 波函数所满足的微分方程称为薛定谔方程. 1.薛定谔方程的建立
a.自由粒子平面波函数：
(x, y,z,t) 0ei[Et(xpx ypy zpz )]/
b.自由粒子的薛定谔方程：
（14.6.4）
2
2 i
2m
t
（14.6.6）
波函数 薛定谔方程 14.6.1 波函数及其统计解释
波函数：由于微观粒子具有波粒二象性，其位置 与动量不能同时确定，所以已无法用经典物理方 法去描述其运动状态，故用波函数描述微观粒子 的运动。
1.经典的波与波函数
机械波：y(x,t) Acos2π(t x )
电磁波：
E ( x,t )
E0
c os 2π(t
c.粒子在外力场中运动且势能为 V
粒子的能量：
E
1 2m
(
px2
py2
pz2
)
V
(x,
y,
z,t)
对应的薛定谔方程：
2
2 V i
2m
t
该方程是关于空间、时间的线性偏微分方程，具有波动 方程的形式。将其应用于微观粒子所得大量结果与实验 符合，薛定谔因此贡献荣获1933年度诺贝尔物理学奖。
2.定态薛定谔方程
例题 14.6.1 设质量为m的粒子沿x轴方向运动，其势
能为：
u(x)
, 0,
x 0,x a 0 x a （14.6.15）
Ep
无限深势阱：该势能如图所示形如一
无限深的阱，故称无限深势阱，本问
题为求解该一维无限深势阱内粒子的
o
ax
波函数。
解：分析 因为势能不随时间变化，故粒子波函数
波函数
反子，则吸收光子到高能级去。
31
（2）定态只能是这样的状态，电子饶核公转的动 量矩L等于 h 的整数倍。
2
L n h n n 1,2,3
2
玻尔从经典电磁理论和牛顿运动定律算出氢原子 的定态能量，从而得出氢原子所发的光的频率。
中的电子形成驻波.
28
§3 氢原子
一、原子光谱的实验定律
原子都会发光。原子发的光经过光谱仪后就形成 线状光谱。不同的原子，具有不同的线状光谱。 实验得知：每一种原子都有特定的一系列的光谱项，
个T1光,T谱2 ,项T3的,差。，它所发出的光的波数 ，就是两
Tn Tk n k
n为奇数时
nx A eiknx eiknx
n
2 A cos
kn x
A1
cos
x 2a21
n为偶数时
nx A eiknx eiknx
n
2iA sin kn x A2 sin 2a x
归一化（-a,a)的波函数
nx
1 cos n x
波函数。
d2x dt 2
2
x
0
x Acost
2y 1 2y x2 u2 t 2
y Acos 2 t x
8
当粒子的运动速度远小于光速时，能量E（对自由 粒子，就是动能）和动量P之间的关系：
E p2 2m
i 2 Et px
波函数
1
波函数
对于微观粒子，牛顿方程已不适用，粒子的位 置这一概念是毫无意义的。必需建立能描述微 观粒子运动的基本方程。
波函数及薛定谔方程详解课件
03ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
CATALOGUE
薛定谔方程在量子力学中的应用
无限深势阱
无限深势阱模型描述粒子被限 制在一定空间范围内运动的情 形，通常用于描述微观粒子在
势能无限高区域的行为。
在无限深势阱中，波函数具有 特定的边界条件，即在势阱边
界处波函数为零。
薛定谔方程在无限深势阱中的 解为分段函数，表示粒子在不 同势阱内的能量状态。
波函数及薛定 谔 方程详解课件
contents
目录
• 波函数简介 • 薛定谔方程概述 • 薛定谔方程在量子力学中的应用 • 波函数与薛定谔方程的关系 • 实验验证与实例分析 • 总结与展望
01
CATALOGUE
波函数简介
波函数的定 义
波函数是一种描述微观粒子状 态的函数，它包含了粒子在空 间中的位置和动量的信息。
06
CATALOGUE
总结与展望
波函数与薛定谔方程的意义
波函数
波函数是描述微观粒子状态的函数， 它包含了粒子在空间中的位置、动量 和自旋等所有信息。通过波函数，我 们可以计算出粒子在给定条件下的行 为和性质。
薛定谔方程
薛定谔方程是描述波函数随时间变化 的偏微分方程，它反映了微观粒子在 运动过程中所遵循的规律。通过求解 薛定谔方程，我们可以预测粒子在不 同条件下的行为和性质。
时间相关形式
在有限域中，薛定谔方程的形式为 ifrac{dpsi}{dt}=Hpsi，其中H为哈密 顿算子。
薛定谔方程的解
分离变量法
对于具有周期性势能的情况，可以将波函数分离为几个独立的函数，分别求解 后再组合得到原方程的解。
微扰法
对于势能存在微小扰动的情况，可以通过微扰法求解薛定谔方程，得到近似解。
薛定谔方程中的波函数
薛定谔方程中的波函数薛定谔方程是量子力学中的基本方程之一，它描述了量子体系的演化规律。
量子力学中最基本的物理量是波函数，它可以用来描述量子体系的各种性质和行为。
在薛定谔方程中，波函数是一个核心的概念，本文将从波函数的定义、性质、演化规律以及应用等几个方面对其进行系统的阐述和说明。
一、波函数的定义和基本性质波函数是量子力学中最基本的概念之一，它用来描述量子体系的状态随时间的演化规律。
波函数通常用希腊字母Ψ表示，它是一个复数函数，其物理意义是描述一个粒子在每一时刻所处状态的复振幅。
波函数在空间中的取值，可以用来预测量子体系的各种性质，如位置、动量、能量等。
波函数的基本性质包括归一化、线性叠加和幅角不变性等。
其中，归一化是指波函数必须满足面积归一化条件，即在整个空间中的概率密度值的积分等于1；线性叠加是指若存在两个波函数Ψ1和Ψ2，则它们的线性组合aΨ1+bΨ2也是一个波函数；幅角不变性是指波函数的幅角在空间变换下保持不变。
二、薛定谔方程的基本形式和演化规律薛定谔方程描述了量子体系随时间演化的规律。
它的基本形式是：iℏ∂Ψ/∂t=HΨ其中，H是一个厄米算符，描述了量子体系的哈密顿量；ℏ是普朗克常量除以2π，i是虚数单位。
薛定谔方程中的Ψ是波函数，通过解该方程可以预测量子体系的演化规律和各种性质。
薛定谔方程演化规律的本质是波函数随时间的演化。
根据波函数的定义和基本性质可以证明，在薛定谔方程下，波函数是线性演化的，即任何两个波函数的线性组合仍然是一个波函数；波函数的演化是幅角不变的，即所描述的量子态的物理性质仅仅由波函数的幅值和相位角决定；波函数的演化是量子态最小扰动原理的体现，即量子系统的演化过程总是惟一的，不能出现任何“选择”。
三、波函数在实际中的应用波函数在量子力学中有广泛的应用，如描述原子、分子、固体等物质的量子特性。
其中，波函数在化学中应用最广泛，可以通过使用量子化学方法提供各种分子的基态和激发态的性质，如能量、电子结构和化学反应等。
波函数PPT课件
平面波描写自由粒子，其特点是充满整个空间，这是因为平面波 振幅与位置无关。如果粒子由波组成，那么自由粒子将充满整个空间， 这是没有意义的，与实验事实相矛盾。
实验上观测到的电子，总是处于一个小区域内。例如在一个原子内，其 广延不会超过原子大小≈1 Å 。
)
x
(ax) 1 ( x)
|a|
f ( x) ( x x0 )
f
(
x0
)
(
x
x0
)
.
作代换：px x，px x0，则
(
px
px )
1
2
e dx i (
p
x
px
)
x
14
II 平面波 归一化
p(r , t )
i[
Ae
p•r Et ]
p
(r )e
i
Et
t=0 时的平面波
写成分量形式
Q光
屏
Q
6
结论：衍射实验所揭示的电子的波动性是： 许多电子在同一个实验中的统计结果，或者是一个
电子在许多次相同实验中的统计结果。
波函数正是为了描述粒子的这种行为而引进的，在此基
础上，Born 提出了波函数意义的统计解释。
在电子衍射实验中，照相底片上
r 点附近衍射花样的强度
正比于该点附近感光点的数目， 正比于该点附近出现的电子数目， 正比于电子出现在 r 点附近的几率。
.
12
（4）平面波归一化 I Dirac —函数
定义：
0 ( x x0 )
x x0 x x0
x0 x0
(x
x0 )dx
( x x0 )dx 1
大学物理13.3波函数薛定谔方程
2 y2
2 z 2
( x,
y, z)
2m 2
(
E
V
)
(
x,
y,
z)
0
若粒子在一维空间运动，则
d2 dx2
(
x)
2m 2
(
E
V
)
(
x)
0
1993年克罗米等人，用扫描隧道显微镜发 现了量子围栏中的驻波，再次直观地证实了电 子的波动性，支持了薛定谔波动力学.
13.3.3 一维无限深方势阱中运动的粒子
假设粒子只能沿x 轴作一维运动，且势能 函数具有如下形式
V ( x) 0 V ( x)
0 xa x 0和x a
V ( x)
o
a
x
由于 V与( x时) 间无关，因此在势阱中运动的 粒子处于定态，可以用一维定态薛定谔方程 求解.
在区域内 x 0和，x a ，V具( x有) 有限能量 的粒子不可能出现.
因此 (x) 0
在区域内 0 x ， a V (因x)此 有0.
薛定谔的波动方程成功地解决了氢原子光 谱等一系列重大问题.
波动力学与矩阵力学是完全等价的，是 同一种力学规律的两种不同表述，而且它们 都属于非相对论性的量子力学.
下面用一类比较简单的问题即粒子在恒定 力场中的运动，由于这种问题中势能函数V 和粒子能量E 与时间无关，这时粒子处于定 态，则粒子的定态波函数可以写成
则 4B3 2xe2Bx 2Bx2e2Bx 0
所以 x， 0 x， 1 B时x，概率密度 有 极值 .( x) 2
而只有二阶导数
d2 dx 2
(x)2
x 1 B
0
所以在 x 处1，B概率密度有最大值，即粒 子在该位置处出现的概率最大.
波函数及其统计解释资料课件
柱面波函数具有恒定的振幅和相位，并且传播方向与波数 k垂直。
应用
柱面波函数在声学、电磁学和天文学等领域都有广泛的应 用。
04
波函数的物理意义
波函数的粒子性
粒子位置与波函数的关联
波函数可以被视为一个概率幅，描述了粒子在空间中的概率分布 。
粒子动量与波函数的关联
波函数的傅里叶变换描绘了粒子的动量分布。
相干性是波动性质的重要表现之 一，它可以产生明暗相间的条纹
，即干涉现象。
波函数的对称性
波函数的对称性是指波函数在空间上的 分布是否具有某种对称性。
常见的对称性包括：轴对称、面对称、 旋转对称等。
波函数的对称性与其波动性质密切相关 ，不同的对称性会导致不同的干涉现象
。
03
波函数的分类
平面波函数
定义
象。
波函数是一种复数函数，其模方 表示粒子在某个位置出现的概率
密度。
波函数的统计解释的重要性
波函数的统计解释是理解量子力学的基础之一，它提供了从概率角度描述粒子的方 法。
通过波函数的统计解释，我们可以计算出粒子在某个位置出现的概率，以及测量某 个物理量的期望值和方差等统计性质。
波函数的统计解释还与量子纠缠、量子计算等重要概念密切相关。
波函数与量子态的关系
描述量子态的函数
波函数是描述量子态的函 数，它可以表示出量子态 的叠加原理和相干性。
波函数的模平方
波函数的模平方可以表示 出某个物理量的概率分布 ，如位置、动量等。
测量问题
波函数与测量问题密切相 关，测量会导致波函数塌 缩，进而影响后续的测量 结果。
波函数与测量问题
测量导致波函数塌缩
06
结论与展望
波函数的物理意义与性质
波函数的物理意义与性质波函数是量子力学中描述物质波动性质的核心概念之一。
它既是一个数学函数，也是描述粒子在不同位置和状态下的概率振幅。
波函数的物理意义与性质对于理解量子力学的基本原理和应用非常重要。
一、物理意义1. 粒子位置的概率分布：波函数的模的平方表示了在给定时间和空间内找到粒子的概率密度分布。
在一维情况下，波函数的模的平方在坐标轴上的积分即为粒子在该一维空间内的概率。
2. 粒子动量的概率分布：波函数的复数振幅和相位包含了粒子的动量信息，其中振幅的平方与粒子的概率密度相关。
波函数变换到动量空间后，其模的平方表示了得到不同动量值的粒子概率。
3. 不确定性原理：波函数的物理意义涉及到不确定性原理。
根据不确定性原理，对一个粒子的位置和动量的准确测量是不可能的。
波函数的展宽与位置和动量的不确定性相关，展宽越大，不确定性就越小。
4. 粒子束缚态与散射态：对于定态波函数，它描述了粒子在束缚系统内的行为，如电子在原子中的运动态。
而散射态则描述了粒子在势场中遇到障碍物时的散射行为。
波函数的物理意义包括反映粒子的能量、波长、传播速度等特性。
二、性质1. 归一化：波函数的模的平方必须为1，以保证概率的和为1。
归一化条件能够确保在粒子在某一空间内的存在概率为100%。
2. 可加性：如果一个系统由多个粒子组成，系统的总波函数是各个粒子波函数的乘积。
这意味着整个系统的波函数可以通过各个粒子的波函数相乘得到，展现了波函数的可加性。
3. 观测与波函数坍缩：当我们对一个系统进行观测，测量粒子的某个性质时，波函数将会根据测量结果坍缩到对应的本征态上。
这是量子力学中观测过程的一个基本特性。
4. 可叠加性：波函数符合线性叠加原理，即若干波函数的线性组合仍然是一个有效的波函数。
这种性质使得波函数可以描述多个态的叠加情况，如叠加态和纠缠态。
总结：波函数的物理意义与性质对于理解量子力学中的基本概念和原理至关重要。
它描述了粒子的位置和动量的概率分布，反映了粒子的波动性质以及不确定性原理。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
WL
物理学原理及工程应用
2 不确定关系
1 坐标和动量的不确定关系 微观粒子的波粒二象性 —— 任何时刻物理量都不确定 —— 微观粒子在空间的分布具有一定的概率
—— 没有确定的位置 !
—— 没有确定的动量 ! 1927年海森伯根据量子力学 计算得到坐标和动量满足
WL
物理学原理及工程应用
2 电子的单缝衍射中坐标和动量的测不准关系
1 2 m v eU 电子的动能 0 2
2eU v m0
h h 德布罗意波长 p m0 v
U1 150 V
U 2 10000 V
WL
1 h 2m0 eU
1 0.1 nm
2 0.012 nm
物理学原理及工程应用
计算质量为 m 0.01 kg 速率 v 300 m / s 的子弹的德布罗意波长
WL
物理学原理及工程应用
—— 1961年约恩孙的电子单缝，双缝和三缝衍射实验
得到的明暗条纹，证实了电子具有波动性
—— 后来证实了中子，质子，原子乃至分子具有波动性 一切微观粒子的都具有波粒二象性 —— 1933年德国人鲁斯卡研制出第一台电子显微镜 —— 1982年瑞士苏黎世IBM实验室的研究生宾尼 研制出第一台扫描隧道显微镜(STM)
子弹的德布罗意波长
h mv
2.211034 m
子弹的德布罗意波长太短 —— 很难测量
WL
物理学原理及工程应用
2 德布罗意物质波的实验验证
—— 1927年戴维孙(C. J. Davisson)和革末(L. A. Germer) 在爱尔萨塞(Elsasser)的启发下
观察到电子束在镍单晶表面的反射衍射条纹
h h 光子的质量 m 2 c c
光子的动量
mc 2 波的频率 h
粒子的动量 p mv 波长 h
p m c
h
静止质量
m 0 0
mv
—— 德布罗意物质波
WL 物理学原理及工程应用
电子经过电场U1=150 V和U2=10000 V加速后
计算电子的德布罗意波长。(不考虑相对论效应)
WL
物理学原理及工程应用
电子束衍射强度最大的方向满足 d sin
Ni单晶表面原子的距离
d 2.15 1010 m
500上出现电子衍射最大
电子的德布罗意波长
d sin 1.65 1010 m
WL 物理学原理及工程应用
实验测得的电子的德布罗意波长 1.65 1010 m
—— 时间和空间的函数
玻恩提出粒子的概率密度
*
2
—— t时刻在空间P点附近单位体积内发现粒子的概率 在全空间发现粒子的概率为1 r
WL
= ò Y dV = 1
¥
2
物理学原理及工程应用
( x, y , z , t )
—— 时间和空间的函数
y ( x, t ) = y 0e
02 实物粒子的波粒二象性
1 德布罗意物质波 —— 1924年法国物理学家德布罗意 在光的波粒二象性的启发下 提出一切微观实物粒子都具有波粒二象性 —— 质量为m，速率为 v 的粒子 具有能量和动量，同时具有波长和频率
WL 物理学原理及工程应用
光子的能量
E h
E m c2
粒子的能量 E mc 2
WL 物理学原理及工程应用
扫描隧道显微镜 ——Scanning Tunneling Microscope，STM
1982年，由宾尼希（G. Binnig）和罗雷尔（M. Rohrer）等人研制成功。
The silicon atoms on the surface of a crystal of silicon carbide (SiC). Image obtained using an STM.
一束动量为 的电子通过宽度为 的狭缝 x 每个电子的坐标不确定量 x 电子发生衍射 —— 动量发生变化 不确定量 px 只考虑电子 全部落在中央极大范围
0 px p sin 1
最大值 px p sin 1
WL 物理学原理及工程应用
最大值
px p sin 1
px sin 1 p理论计算Fra bibliotek电子的德布罗意波长
1 入射电子的动能 Ek mv 2 2
54 eV
h 德布罗意波长 mv
h 2mEk
1.67 1010 m
WL 物理学原理及工程应用
—— 1927年，汤姆孙(G. P. Thomson) 让电子束穿过多晶薄膜
得到了与X光衍射图样极为相似的结果
-i
2p h ( hn t - x ) h l
E = hn
P=
h
l
WL
物理学原理及工程应用
2 波函数的特征 1) 物质波 —— 概率波, 具有波和概率的双重特性 2) 波函数振幅的平方 —— 在空间某点出现的概率密度
*
波函数描述微观粒子的运动状态 在空间和时间上一种概率分布，只具有统计意义 波函数没有直观的物理含义 —— 不表示某个物理量
WL 物理学原理及工程应用
2
3) 某一时刻粒子在空间某点出现的概率
是唯一的、有限的、连续的 空间各点的波函数 —— 必须是单值、有限、连续 4) 粒子在空间出现的概率 —— 波函数的归一化条件
5) 波函数具有波的特征 —— 满足波的叠加原理
WL 物理学原理及工程应用
3 薛定谔方程的一般形式 非相对论情况下，若粒子在某势场 V 中运动
Image of reconstruction on a clean Gold (100) surface
WL
物理学原理及工程应用
03 波函数、薛定谔方程
1 物质波是概率波 —— 德布罗意波是概率波 —— 为定量描述微观粒子的状态 波函数—— 描述粒子在空间各点出现的概率
( x, y , z , t )
2 p 粒子的总能量 E Ek V V 2m 2 2 2 拉普拉斯算符 2 2 2 2 x y z
薛定谔方程的一般形式
WL
物理学原理及工程应用
03 态叠加原理
1 态叠加原理 微观粒子的量子态可以是若干不同态的线性叠加
y = c1y 1 + c2y 2
这种态的叠加使得观测结果具有不确定性