海南省文昌中学2014-2015学年高二下学期期中段考数学(文)试题
海南省文昌中学2014-2015学年高二数学下学期期中段考试题 文
2014—2015学年度第二学期高二年级数学(文科)段考试题完成时间：120分钟 总分为：150分 第1卷 选择题〔共60分〕附：参考公式：1. 回归系数 b ＝∑i ＝1nxiyi －n x －y－∑i ＝1nx2i －n x －2，a ＝y －－b x － 2. 附：K2＝n ad －bc 2a ＋bc ＋d a ＋c b ＋d P k ≥2（K ） 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828一、选择题〔本大题共12小题，每一小题5分，共60分，如下每一小题有且只有一个正确答案，请把正确答案的代号，涂在答题卡上〕1．“a ＝0〞是“复数z ＝a ＋bi(a ，b ∈R)为纯虚数〞的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2. 四名同学根据各自的样本数据研究变量x ，y 之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：①y 与x 负相关且y ^＝2.347x －6.423；② y 与x 负相关且y ^＝－3.476x ＋5.648； ③y 与x 正相关且y ^＝5.437x ＋8.493；④y 与x 正相关且y ^＝－4.326x －4.578. 其中一定不正确的结论的序号是( ) A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④3. 二维空间中圆的一维测度(周长)l ＝2πr ，二维测度(面积)S ＝πr2，观察发现S ′＝l ；三维空间中球的二维测度(外表积)S ＝4πr2，三维测度(体积)V ＝43πr3，观察发现V ′＝S.如此由四维空间中“超球〞的三维测度V ＝8πr3，猜测其四维测度W ＝〔 〕 A ．4πr4B ．4πr 2C ．2πr4D ．πr44. 假设1＋2ai ＝(1－bi)i ，其中a 、b ∈R ，i 是虚数单位，如此|a ＋bi|＝( )A ．12＋iB ．5C ．52D ．545. f1(x)＝sinx ，f2(x)＝f1′(x)，f3(x)＝f2′(x)，f4(x)＝f3′(x)，…，fn(x)＝fn －1′(x)，如此f2015(x)等于( ) A ．cosxB ．－cosx C ．sinx D ．－sinx6. 阅读如下列图的程序框图，运行相应的程序， 如此输出n 的值为( ) A ．7 B ．6 C ．5D ．47．观察数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4，…的特点，如此 第100项为( ) A ．10B ．14C ．13D ．1008．下面用“三段论〞形式写出的演绎推理：因为指数函数y ＝ax(a>0且a≠1)在(0，＋∞)上是增函数，y ＝(12)x 是指数函数，所以y ＝(12)x 在(0，＋∞)上是增函数．该结论显然是错误的，其原因是( )A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．以上都可能9．复数z ＝i i i i i i ++++++19432 ，(i 为虚数单位),如此复数z 在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限10．设椭圆x2a2＋y2b2＝1 (a>b>0)的右焦点与抛物线y2＝8x 的焦点一样，离心率为12，如此此椭圆的方程为( )A ．x212＋y216＝1B ．x216＋y212＝1C ．x248＋y264＝1D ．x264＋y248＝1〔第6题〕11．设F1、F2分别是双曲线x25－y24＝1的左右焦点。
海南省文昌中学2014-2015学年高一下学期期中考试数学(文)试卷Word版含解析
2014-2015学年海南省文昌中学高一（下）期中数学试卷（文科）一、选择题（每小题5分，共60分）1．将﹣300°化为弧度为( )A．B．C．D．2．有五组变量：①汽车的重量和汽车每消耗l升汽油所行驶的平均路程；②平均日学习时间和平均学习成绩；③某人每日吸烟量和其身体健康情况；④正方形的边长和面积；⑤汽车的重量和百公里耗油量；其中两个变量成正相关的是( )A．①③B．②④C．②⑤D．④⑤3．如图的程序框图是计算和式1+3+5+…+99，空白地方应填( )A．i=i+1 B．i=i+2 C．i=2i﹣1 D．i=i+34．若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示，则这组数据的中位数和平均数分别是( )A．91.5和91.5 B．91.5和92 C．91和91.5 D．92和925．先后抛掷硬币三次，则至少一次正面朝上的概率是( )A．B．C．D．6．对于下列表格所示五个散点，已知求得的线性回归直线方程为=0.8x﹣155，则实数m 的值为( )A．8 B．8.2 C．8.4 D．8.57．阅读程序框图，任意输入一次x（﹣1≤x≤1）与y（﹣1≤y≤1），则能输出数对（x，y）的概率为( )A．B．C．D．8．防疫站对学生进行身体健康调查，按男女比例采用分层抽样的方法，从2400名学生中抽取一个容量为200的样本，已知女生比男生少抽10人，则该校女生人数为( ) A．1200 B．1190 C．1140 D．959．已知=﹣5，那么tanα的值为( )A．﹣2 B．2 C．D．﹣10．200辆汽车经过某一雷达地区，时速频率分布直方图如图所示，则时速超过60km/h的汽车数量为( )A．65辆B．76辆C．88辆D．95辆11．一个总体中的1000个个体编号为0，1，2，…，999，并以此将其分为10个小组，组号为1，2，3，…，10，要用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本，规定如果在第1组抽取的号码为x，那么依次错位地得到后面各组的号码，即第k组中抽取的号码的后两位数为x+33k的后两位数，若x=57，则第7组抽取的号码为( )A．657 B．757 C．688 D．78812．点P从（1，0）点出发，沿单位圆x2+y2=1按逆时针方向转动弧长到达Q点，则Q 的坐标为( )A．（﹣，）B．（﹣，﹣）C．（﹣，﹣）D．（﹣，﹣）二、填空题（每小题5分，共20分）13．如果下边程序执行后输出的结果是132，那么程序中UNTIL后面的“条件”应为__________．14．若cosθ•tanθ＞0，且﹣x2cosθ＞0，则角θ为第__________象限．15．一个袋子装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别是1，2，3，4，先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取出一个球，该球的编号为n，则n＜m+2的概率为__________．16．若点（p，q），在|p|≤3，|q|≤3中按均匀分布出现，则方程x2+2px﹣q2+1=0有两个实数根的概率__________．三、解答题（17题10分，18-22题各12分，共70分）17．化简与计算：（1）4sin30°+2；（2）x2cos4π﹣y2sin．18．《中华人民共和国道路交通安全法》规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在20﹣80mg/100ml （不含80）之间，属于酒后驾车；在80mg/100ml（含80）以上时，属醉酒驾车，对于酒后驾车和醉酒驾车的驾驶员公安机关将给予不同程度的处罚．某市公安局交通管理部门在某路段的一次拦查行动中，依法检查了250辆机动车，查出酒后驾车和醉酒驾车的驾驶员20人，下面图表是对这20人血液中酒精含量进行检查所得结果的数据表和频率分布直方图．（1）根据频率表和直方图分别求出x，y，m，n，并补充完整频率分布直方图；（注：只需补全[40，50）与[70，80）两段，其他段的已经画好）（2）从血液酒精浓度在[70，90）范围内的驾驶员中任取3人，求至多有1人属于醉酒驾车的概率．19．设，（1）若，求f（α）的值；（2）若α是锐角，且，求f（α）的值．20．甲，乙两人进行射击比赛，每人射击6次，他们命中的环数如下表：（Ⅰ）根据上表中的数据，判断甲，乙两人谁发挥较稳定；（Ⅱ）把甲6次射击命中的环数看成一个总体，用简单随机抽样方法从中抽取两次命中的环数组成一个样本，求该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5的概率．注：=（x1+x2+…+x n）S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x n﹣）2]．21．某研究机构对高三学生的记忆力x和判断力y进行统计分析，得下表数据（Ⅰ）请画出上表数据的散点图；（Ⅱ）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程=x+；（Ⅲ）试根据（Ⅱ）求出的线性回归方程，预测记忆力为9的同学的判断力．（相关公式：，=﹣x）22．某商场为了了解顾客的购物信息，随机的在商场收集了100位顾客购物的相关数据，整理如下：统计结果显示100位顾客中购物款不低于100元的顾客共60位，据统计该商场每日大约有5000名顾客，为了增加商场销售额度，对一次性购物不低于100元的顾客发放纪念品（每人一件）．（Ⅰ）试确定m，n的值，并据上述数据估计该商场每日应准备纪念品的数量；（Ⅱ）若商场进行让利活动，一次购物款200元及以上的一次返利30元；一次性购物款小于200元的按购物款的百分比返利，具体见下表：若用各组购物款的中位数估计该组的购物款，请据上述数据估计该商场日均让利多少元？2014-2015学年海南省文昌中学高一（下）期中数学试卷（文科）一、选择题（每小题5分，共60分）1．将﹣300°化为弧度为( )A．B．C．D．考点：弧度与角度的互化．专题：计算题．分析：根据角度与弧度的互化公式：1°=，代入计算即可．解答：解：﹣300°=﹣300×=﹣故选B．点评：本题主要考查了角度与弧度的互化公式：①2π=360°，②π=180°，③1=，④1°=，属于对基础知识的考查．2．有五组变量：①汽车的重量和汽车每消耗l升汽油所行驶的平均路程；②平均日学习时间和平均学习成绩；③某人每日吸烟量和其身体健康情况；④正方形的边长和面积；⑤汽车的重量和百公里耗油量；其中两个变量成正相关的是( )A．①③B．②④C．②⑤D．④⑤考点：变量间的相关关系；两个变量的线性相关．专题：概率与统计．分析：①汽车的重量和汽车每消耗1升汽油所行驶的平均路程是负相关的关系；②平均日学习时间和平均学习成绩的关系是一个正相关；③某人每日吸烟量和其身体健康情况是负相关的关系；④正方形的边长和面积的倒数的关系是函数关系；⑤汽车的重量和百公里耗油量是正相关的；解答：解：①汽车的重量和汽车每消耗1升汽油所行驶的平均路程是负相关的关系；②平均日学习时间和平均学习成绩的关系是一个正相关；③某人每日吸烟量和其身体健康情况是负相关的关系；④正方形的边长和面积的倒数的关系是函数关系；⑤汽车的重量和百公里耗油量是正相关的．故两个变量成正相关的是②⑤．故选C．点评：判断两个变量间的关系是函数关系还是相关关系的关键是判断两个变量之间的关系是否是确定的，若确定的则是函数关系；若不确定，则是相关关系．3．如图的程序框图是计算和式1+3+5+…+99，空白地方应填( )A．i=i+1 B．i=i+2 C．i=2i﹣1 D．i=i+3考点：循环结构．专题：操作型．分析：由已知中该程序的功能是计算1+3+5+…+99的值，由循环变量的初值为1，步长为2，由此易给出执行框中填写的语句．解答：解：∵该程序的功能是计算1+3+5+…+99的值，由循环变量的初值为1，步长为2，故执行框中应该填的语句是：i=i+2．故选：B点评：算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．其中前两点考试的概率更大．此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误．4．若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示，则这组数据的中位数和平均数分别是( )A．91.5和91.5 B．91.5和92 C．91和91.5 D．92和92考点：茎叶图；众数、中位数、平均数．专题：图表型．分析：根据茎叶图写出这组数据，把数据按照从大到小排列，最中间的一个或最中间两个数字的平均数就是中位数，平均数只要代入平均数的公式得到结果．解答：解：由茎叶图可知：这组数据为87，89，90，91，92，93，94，96，所以其中位数为=91.5，平均数为（87+89+90+91+92+93+94+96）=91.5，故选A．点评：本题考查茎叶图的基础知识，考查同学们的识图能力，考查中位数与平均数的求法．在求中位数时，首先要把这列数字按照从小到大或从的大到小排列，找出中间一个数字或中间两个数字的平均数即为所求．5．先后抛掷硬币三次，则至少一次正面朝上的概率是( )A．B．C．D．考点：互斥事件与对立事件．专题：计算题．分析：至少一次正面朝上的对立事件是没有正面向上的骰子，先做出三次反面都向上的概率，利用对立事件的概率做出结果．解答：解：由题意知至少一次正面朝上的对立事件是没有正面向上的骰子，至少一次正面朝上的对立事件的概率为，1﹣=．故选D．点评：本题考查对立事件的概率，正难则反是解题是要时刻注意的，我们尽量用简单的方法来解题，这样可以避免一些繁琐的运算，使得题目看起来更加清楚明了．6．对于下列表格所示五个散点，已知求得的线性回归直线方程为=0.8x﹣155，则实数m 的值为( )A．8 B．8.2 C．8.4 D．8.5考点：线性回归方程．专题：计算题；概率与统计．分析：根据回归直线经过样本数据中心点，求出y的平均数，进而可求出t值．解答：解：由题意，=（196+197+200+203+204）=200，=（1+3+6+7+m）=，代入=0.8x﹣155，可得=0.8×200﹣155，m=8，故选：A．点评：本题考查线性回归方程的求法和应用，是一道中档题，这种题目解题的关键是求出平均数，代入回归直线方程，注意数字的运算不要出错．7．阅读程序框图，任意输入一次x（﹣1≤x≤1）与y（﹣1≤y≤1），则能输出数对（x，y）的概率为( )A．B．C．D．考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：根据程序框图的功能进行求解即可．解答：解：由程序框图知，求x2+y2≤1的概率，作出对应的图象如图：则对应的概率P==，故选：D点评：本题主要考查程序框图的识别和应用，根据几何概型的概率公式是解决本题的关键．8．防疫站对学生进行身体健康调查，按男女比例采用分层抽样的方法，从2400名学生中抽取一个容量为200的样本，已知女生比男生少抽10人，则该校女生人数为( ) A．1200 B．1190 C．1140 D．95考点：分层抽样方法．专题：概率与统计．分析：根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论．解答：解：设女生为x，则男生为x+10，∵x+x+10=200，∴2x=190，x=95，则男生为105人，女生95人，则该校女生人数为=1140，故选：C．点评：本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键．比较基础．9．已知=﹣5，那么tanα的值为( )A．﹣2 B．2 C．D．﹣考点：同角三角函数基本关系的运用．分析：已知条件给的是三角分式形式，且分子和分母都含正弦和余弦的一次式，因此，分子和分母都除以角的余弦，变为含正切的等式，解方程求出正切值．解答：解：由题意可知：cosα≠0，分子分母同除以cosα，得=﹣5，∴tanα=﹣．故选D．点评：同角三角函数的基本关系式揭示了同一个角三角函数间的相互关系，其主要应用于同角三角函数的求值和同角三角函数之间的化简和证明．在应用这些关系式子的时候就要注意公式成立的前提是角对应的三角函数要有意义．10．200辆汽车经过某一雷达地区，时速频率分布直方图如图所示，则时速超过60km/h的汽车数量为( )A．65辆B．76辆C．88辆D．95辆考点：频率分布直方图．专题：图表型．分析：先根据频率分布直方图中小长方形的面积=组距×频率组距=频率，从而求出时速超过60km/h的汽车的频率，再根据频数=频率×样本容量求出频数即可．解答：解：时速超过60km/h的汽车的频率=（0.028+0.01）×10=0.38∴时速超过60km/h的汽车的频数=0.38×200=76故选：B点评：本题主要考查了频率分布直方图，小长方形的面积=组距×频率组距=频率，各个矩形面积之和等于1，频数=频率×样本容量，属于基础题．11．一个总体中的1000个个体编号为0，1，2，…，999，并以此将其分为10个小组，组号为1，2，3，…，10，要用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本，规定如果在第1组抽取的号码为x，那么依次错位地得到后面各组的号码，即第k组中抽取的号码的后两位数为x+33k的后两位数，若x=57，则第7组抽取的号码为( )A．657 B．757 C．688 D．788考点：系统抽样方法．专题：概率与统计．分析：求出样本间隔，结合条件，求出第7组数的后两位数即可．解答：解：样本间隔为1000÷10=100，则第7组抽取的号码在（600，699）之间，若x=57，k=7时，x+33k=57+33×7=268，后两位数为88，则第7组抽取的号码为688，故选：C点评：本题主要考查系统抽样的应用，根据条件求出第7组数的后两位是解决本题的关键．12．点P从（1，0）点出发，沿单位圆x2+y2=1按逆时针方向转动弧长到达Q点，则Q 的坐标为( )A．（﹣，）B．（﹣，﹣）C．（﹣，﹣）D．（﹣，﹣）考点：任意角的三角函数的定义．专题：计算题．分析：先求出OQ的倾斜角等于，Q就是角2π3的终边与单位圆的交点，Q的横坐标的余弦值，Q的纵坐标角的正弦值．解答：解：P从（1，0）点出发，沿单位圆x2+y2=1按逆时针方向转动2π3弧长到达Q点时，OQ的倾斜角等于，即P点按逆时针方向转过的角为α=弧度，所以，Q点的坐标为（cos，sin），即（﹣，）．故选A．点评：本题考查任意角的三角函数的定义，任意角的余弦等于此角终边与单位圆交点的横坐标，任意角的正弦等于此角终边与单位圆交点的纵坐标．二、填空题（每小题5分，共20分）13．如果下边程序执行后输出的结果是132，那么程序中UNTIL后面的“条件”应为i＜11（或i≤10）．考点：循环结构．专题：图表型；算法和程序框图．分析：先根据输出的结果推出循环体执行的次数，再根据s=1×12×11=132得到程序中UNTIL 后面的“条件”．解答：解：因为输出的结果是132，即s=1×12×11，需执行2次，则程序中UNTIL后面的“条件”应为i＜11（或i≤10）．故答案为：i＜11（或i≤10）．点评：本题主要考查了直到型循环语句，语句的识别问题是一个逆向性思维，一般认为学习是从算法步骤（自然语言）至程序框图，再到算法语言（程序）．如果将程序摆在我们的面前时，从识别逐个语句，整体把握，概括程序的功能，属于基础题．14．若cosθ•tanθ＞0，且﹣x2cosθ＞0，则角θ为第二象限．考点：三角函数值的符号．专题：三角函数的求值．分析：根据三角函数的符号和象限关系进行判断即可．解答：解：∵﹣x2cosθ＞0，∴cosθ＜0，∵cosθ•tanθ＞0，∴tanθ＜0，则θ为第二象限，故答案为：二；点评：本题主要考查三角函数角的象限的确定，比较基础．15．一个袋子装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别是1，2，3，4，先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取出一个球，该球的编号为n，则n＜m+2的概率为．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：有放回的取球，根据分步计数原理可知有16种结果，先求满足条件n≥m+2的事件的概率为P1=，故可得n＜m+2的概率．解答：解：先从袋中随机取一个球，记下编号为m，放回后，再从袋中随机取一个球，记下编号为n，其一切可能的结果（m，n）有：（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），共16个．又满足条件n≥m+2的事件为：（1，3），（1，4），（2，4），共3个，所以满足条件n≥m+2的事件的概率为P1=．故满足条件n＜m+2的事件的概率为1﹣P1=1﹣=．故答案为：．点评：本小题主要考查古典概念、对立事件的概率计算，考查学生分析问题、解决问题的能力，属于基础题．16．若点（p，q），在|p|≤3，|q|≤3中按均匀分布出现，则方程x2+2px﹣q2+1=0有两个实数根的概率．考点：几何概型．专题：概率与统计．分析：由题意，本题符合几何概型，只要求出点（p，q）对应区域的面积，利用公式解答．解答：解：点（p，q），在|p|≤3，|q|≤3中按均匀分布出现，对应区域的面积为6×6=36，由方程x2+2px﹣q2+1=0有两个实数根得到4p2+4q2﹣4≥0，即p2+q2≥1，对应区域面积为π，如图根据几何概型的概率公式得到方程x2+2px﹣q2+1=0有两个实数根的概率：；故答案为：．点评：本题考查了几何概型概率的求法；关键是明确点（p，q）对应的区域面积．三、解答题（17题10分，18-22题各12分，共70分）17．化简与计算：（1）4sin30°+2；（2）x2cos4π﹣y2sin．考点：三角函数的化简求值．专题：三角函数的求值．分析：利用三角函数的诱导公式分别化简求值．解答：解：（1）原式=…（2）原式=…点评：本题考查特殊角的三角函数值；熟记诱导公式，正确化简，注意三角函数符号以及名称．18．《中华人民共和国道路交通安全法》规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在20﹣80mg/100ml （不含80）之间，属于酒后驾车；在80mg/100ml（含80）以上时，属醉酒驾车，对于酒后驾车和醉酒驾车的驾驶员公安机关将给予不同程度的处罚．某市公安局交通管理部门在某路段的一次拦查行动中，依法检查了250辆机动车，查出酒后驾车和醉酒驾车的驾驶员20人，下面图表是对这20人血液中酒精含量进行检查所得结果的数据表和频率分布直方图．（1）根据频率表和直方图分别求出x，y，m，n，并补充完整频率分布直方图；（注：只需补全[40，50）与[70，80）两段，其他段的已经画好）（2）从血液酒精浓度在[70，90）范围内的驾驶员中任取3人，求至多有1人属于醉酒驾车的概率．考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．专题：概率与统计．分析：（1）根据频率直方图的高度可以判断：[50，60）与[90，100]高度相等，可知频数也因该相等，[60，70）与[80，90）高度相等，可知频数也因该相等，高度为[50，60）的二倍，即可求解各个数段上的频数．画出频率直方图即可．（2）仔细分析题意得出：因为血液酒精浓度在[70，80）内范围内应抽3人，记为a，b，c，[80，90）范围内有2人，记为d，e，列举出从中任取2人的所有情况，运用古典概率公式求解即可．解答：解：（1）根据频率直方图的高度可以判断：[50，60）与[90，100]高度相等，可知频数也因该相等，n=1，[60，70）与[80，90）高度相等，可知频数也因该相等，m=y，高度为[50，60）的二倍，所以m=y=2，x=20﹣3﹣4﹣1﹣2﹣3﹣2﹣1=20﹣16=4，故x=4，y=2，m=2，n=1，（2）因为血液酒精浓度在[70，80）内范围内应抽3人，记为a，b，c，[80，90）范围内有2人，记为d，e，则从中任取2人的所有情况为（a，b，c），（a，b，d），（a，b，e），（a，c，d），（a，c，e），（a，d，e），（b，c，d），（b，c，e），（b，d，e），（c，d，e）共10种至多有一人的血液酒精浓度在[80，90）范围内的情况有（a，b，c），（a，b，d），（a，b，e），（a，c，d），（a，c，e），（b，c，d），（b，c，e），共7种设“恰有1人属于醉酒驾车”为事件A，则P（A）=．点评：本题考察了古典概率在实际问题中的应用，考察了学生列举，分析问题的能力，做到不重复，不遗漏．19．设，（1）若，求f（α）的值；（2）若α是锐角，且，求f（α）的值．考点：运用诱导公式化简求值；两角和与差的正弦函数．专题：计算题．分析：（1）利用诱导公式对函数解析式化简整理后，把，代入函数求得答案．（2）利用诱导公式和题设中的值，求得cosα的值，利用同角三角函数的基本关系求得sinα的值，进而求得tanα的值，代入函数解析式求得f（α）的值．解答：解：因为===，（1）若，∴f（）==﹣=﹣．（2）若α是锐角，且，∴，∴，，∴．点评：本题主要考查了运用诱导公式的化简求值，同角三角函数的基本关系的应用．考查了考生对三角函数基础知识的综合把握．20．甲，乙两人进行射击比赛，每人射击6次，他们命中的环数如下表：（Ⅰ）根据上表中的数据，判断甲，乙两人谁发挥较稳定；（Ⅱ）把甲6次射击命中的环数看成一个总体，用简单随机抽样方法从中抽取两次命中的环数组成一个样本，求该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5的概率．注：=（x1+x2+…+x n）S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x n﹣）2]．考点：极差、方差与标准差；众数、中位数、平均数．专题：综合题；概率与统计．分析：（Ⅰ）计算甲、乙二人成绩的平均数与方差，比较即可得出结论；（Ⅱ）利用列举法得出从总体中抽取两个个体的全部可能结果以及所求事件的基本事件数，求出对应的概率即可．解答：解：（Ⅰ）甲射击命中的环数的平均数为，其方差为；…乙射击命中的环数的平均数为，其方差为=×（1.52+0.52+3.52+2.52+1.52+1.52）=×25.5=4.25；…因此，，所以甲、乙两人射击命中的环数的平均数相同，但甲比乙发挥较稳定；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，设A表示事件“样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5”；从总体中抽取两个个体的全部可能的结果是（5，6），（5，7），（5，8），（5，9），（5，10），（6，7），（6，8），（6，9），（6，10），（7，8），（7，9），（7，10），（8，9），（8，10），（9，10），共15个结果；…其中事件A包含的结果有（5，9），（5，10），（6，8），（6，9），（6，10），（7，8），（7，9），共有7个结果；…则．…答：该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5的概率是．…点评：本题考查了平均数与方差的计算问题，也考查了用列举法求基本事件的概率问题，是基础题目．21．某研究机构对高三学生的记忆力x和判断力y进行统计分析，得下表数据（Ⅰ）请画出上表数据的散点图；（Ⅱ）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程=x+；（Ⅲ）试根据（Ⅱ）求出的线性回归方程，预测记忆力为9的同学的判断力．（相关公式：，=﹣x）考点：回归分析的初步应用．专题：计算题．分析：（Ⅰ）把所给的四对数据写成对应的点的坐标，在坐标系中描出来，得到散点图．（II）作出利用最小二乘法来求线性回归方程的系数的量，求出横标和纵标的平均数，求出系数，再求出a的值，注意运算不要出错．（III）由回归直线方程预测，记忆力为9的同学的判断力约为4．解答：解：（Ⅰ）把所给的四对数据写成对应的点的坐标，在坐标系中描出来，得到散点图．（Ⅱ）∵6×2+8×3+10×5+12×6=158，，∴b==0.7，a=4﹣0.7×9=﹣2.3故线性回归方程为y=0.7x﹣2.3（Ⅲ）由回归直线方程预测y=0.7×9﹣2.3=4，记忆力为9的同学的判断力约为4．点评：本题考查线性回归方程的求法和应用，本题解题的关键是利用最小二乘法做出线性回归方程的系数，本题是一个近几年可能出现在高考卷中的题目．22．某商场为了了解顾客的购物信息，随机的在商场收集了100位顾客购物的相关数据，整理如下：统计结果显示100位顾客中购物款不低于100元的顾客共60位，据统计该商场每日大约有5000名顾客，为了增加商场销售额度，对一次性购物不低于100元的顾客发放纪念品（每人一件）．（Ⅰ）试确定m，n的值，并据上述数据估计该商场每日应准备纪念品的数量；（Ⅱ）若商场进行让利活动，一次购物款200元及以上的一次返利30元；一次性购物款小于200元的按购物款的百分比返利，具体见下表：若用各组购物款的中位数估计该组的购物款，请据上述数据估计该商场日均让利多少元？考点：分段函数的应用．专题：函数的性质及应用．分析：（Ⅰ）根据表格由100位顾客中购物款不低于100元的顾客人数等于100×60%列式求得n的值，再由5组中的人数和等于100求得m的值；（Ⅱ）根据表格求出购物款大于等于50元的4组的人数，由每一组的购物款中间值乘以返利百分比乘以人数求得商场的日均让利．解答：解：（Ⅰ）由已知，100位顾客中购物款不低于100元的顾客有30+n+10=100×60%，得n=20；…则m=100﹣=20．…该商场每日应准备纪念品的数量大约为=3000．…（Ⅱ）设购物款为a元，当a∈[50，100）时，顾客有5000×20%=1000人，当a∈[100，150）时，顾客有5000×30%=1500人，当a∈[150，200）时，顾客有5000×20%=1000人，当a∈[200，+∞）时，顾客有5000×10%=500人，…所以估计日均让利为75×6%×1000+125×8%×1500+175×10%×1000+30×500…=52000元…点评：本题考查函数模型的选择及应用，训练了学生读取图表的能力，考查了学生的计算能力，是中档题．。
海南省文昌中学高二数学下学期期末试卷 文(含解析)
2015-2016学年海南省文昌中学高二（下）期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．下列每小题有且只有一个正确的答案，请把你的答案写在答题卡上）1．复数z=，则复数z的模是（）A．1 B．C．D．22．淮南麻鸭资源的开发与利用的流程图如图所示，则羽绒加工的前一道工序是（）A．孵化鸭雏 B．商品鸭饲养C．商品鸭收购、育肥、加工D．羽绒服加工生产体系3．因为a、b∈R+，a+b≥2（大前提），x+≥2（小前提），所以x+≥2（结论），以上推理过程中（）A．完全正确 B．大前提错误C．小前提错误D．结论错误4．若=1﹣i，则复数z的共轭复数为（）A．0 B．1 C．2 D．﹣25．执行如图所示的程序框图，若输入n的值为3，则输出s的值是（）A．1 B．2 C．4 D．76．在复平面内，复数对应的点与原点的距离是（）A．1 B．C．2 D．7．下表为某班5位同学身高x（单位：cm）与体重y（单位kg）的数据，若两个量间的回170 1718．观察下面频率等高条形图，其中两个分类变量C之间关系最强的是（）A．B．C．D．9．由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：①“mn=nm”类比得到“•=•”；②“（m+n）t=mt+nt”类比得到“（+）•=•+•”；③“（m•n）t=m（n•t）”类比得到“（•）•=•（•）”；④“t≠0，mt=xt⇒m=x”类比得到“≠，•=•⇒=”；⑤“|m•n|=|m|•|n|”类比得到“|•|=||•||；以上式子中，类比得到的结论正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．410．已知双曲线C1： =1（a＞0，b＞0）的离心率为，一条渐近线为l，抛物线C2：y2=4x的焦点为F，点P为直线l与抛物线C2异于原点的交点，则|PF|=（）A．2 B．3 C．4 D．511．如果f（x+y）=f（x）•f（y）且f（1）=1，则++…++等于（）A．1005 B．1006 C．2008 D．201012．如果一个正方体的体积在数值上等于V，表面积在数值上等于S，且V﹣S﹣m≥0恒成立，则实数m的范围是（）A．（﹣∞，﹣16] B．（﹣∞，﹣32]C．[﹣32，﹣16] D．以上答案都不对二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把你的答案写在答题卡上）13．若（a﹣2i）i=b+i，其中a，b∈R，i为虚数单位，则a+b= ．14．执行如图所示的程序框图，输入l=2，m=3，n=5，则输出的y的值是．则“X与Y之间有关系”这个结论出错的概率为．16．观察下列等式1=12+3+4=93+4+5+6+7=254+5+6+7+8+9+10=49…照此规律，第n个等式为．三、计算题（本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明与演算步骤）17．已知直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以直角坐标系xOy中的原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，圆C的极坐标方程为ρ2﹣4ρcosθ+3=0．（1）求l的普通方程及C的直角坐标方程；（2）P为圆C上的点，求P到l的距离的取值范围．18．已知函数f（x）=|x﹣a|．（1）若f（x）≤m的解集为{x|﹣1≤x≤5}，求实数a，m的值．（2）当a=2且t≥0时，解关于x的不等式f（x）+t≥f（x+2t）19．选修4﹣4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，得曲线C2的极坐标方程为ρ+6sinθ﹣8cosθ=0（ρ≥0）．（I）化曲线C1的参数方程为普通方程，化曲线C2的极坐标方程为直角坐标方程；（II）直线为参数）过曲线C1与y轴负半轴的交点，求直线l平行且与曲线C2相切的直线方程．20．已知函数f（x）=|x﹣1|．（1）解不等式f（x）+f（x+4）≥8；（2）若|a|＜1，|b|＜1，且a≠0，求证：f（ab）＞|a|f（）．21．椭圆C： +=1（a＞b＞0）的两个焦点为F1，F2，点P在椭圆C上，且PF1⊥PF2，|PF1|=，|PF2|=，（1）求椭圆的方程（2）若直线L过圆 x2+y2+4x﹣2y=0的圆心M，交椭圆C于A，B两点，且A，B关于点M对称，求直线L的方程．22．已知函数f（x）=x2+x﹣ln（x+a）+3b在x=0处取得极值0．（Ⅰ）求实数a，b的值；（Ⅱ）若关于x的方程f（x）=x+m在区间[0，2]上恰有两个不同的实数根，求实数m的取值范围．2015-2016学年海南省文昌中学高二（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．下列每小题有且只有一个正确的答案，请把你的答案写在答题卡上）1．复数z=，则复数z的模是（）A．1 B．C．D．2【考点】复数求模．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数z，则复数z的模可求．【解答】解：由复数z=，则|z|=．故选：B．2．淮南麻鸭资源的开发与利用的流程图如图所示，则羽绒加工的前一道工序是（）A．孵化鸭雏 B．商品鸭饲养C．商品鸭收购、育肥、加工D．羽绒服加工生产体系【考点】绘制简单实际问题的流程图．【分析】流程图反映的是从开始到结束的全部步骤，根据流程图的流向即可确定羽绒加工的前一道工序．【解答】解：由流程图可知羽绒加工的前一道工序是商品鸭收购、育肥、加工．故选：C．3．因为a、b∈R+，a+b≥2（大前提），x+≥2（小前提），所以x+≥2（结论），以上推理过程中（）A．完全正确 B．大前提错误C．小前提错误D．结论错误【考点】演绎推理的基本方法．【分析】演绎推理是由一般到特殊的推理，是一种必然性的推理，演绎推理得到的结论不一定是正确的，这要取决与前提是否真实和推理的形式是否正确，演绎推理一般模式是“三段论”形式，即大前提小前提和结论．【解答】解：∵a、b∈R+，a+b≥2（大前提），这是基本不等式的形式，注意到基本不等式的使用条件，a，b都是正数，x+≥2（小前提），没有写出x的取值范围，∴本题中的小前提有错误，故选C．4．若=1﹣i，则复数z的共轭复数为（）A．0 B．1 C．2 D．﹣2【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】把给出的等式两边同时乘以1+i，然后直接利用复数的乘法运算化简求值．【解答】解：由=1﹣i，得z=（1﹣i）（1+i）=1﹣i2=2．∴复数z的共轭复数为2．故选：C．5．执行如图所示的程序框图，若输入n的值为3，则输出s的值是（）A．1 B．2 C．4 D．7【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序框图及已知中输入3，可得：进入循环的条件为i≤3，即i=1，2，3．模拟程序的运行结果，即可得到输出的S值．【解答】解：当i=1时，S=1+1﹣1=1；当i=2时，S=1+2﹣1=2；当i=3时，S=2+3﹣1=4；当i=4时，退出循环，输出S=4；故选C．6．在复平面内，复数对应的点与原点的距离是（）A．1 B．C．2 D．【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】化简即得．【解答】解： =1﹣i则1+i对应的点为（1，1），到原点的距离为．故选B．7．下表为某班5位同学身高x（单位：cm）与体重y（单位kg）的数据，若两个量间的回归直线方程为，则a的值为（）A．﹣121.04 B．123.2 C．21 D．﹣45.12【考点】线性回归方程．【分析】首先做出这组数据的横标和纵标的平均数，写出这组数据的样本中心点，根据所给的线性回归方程，把样本中心点代入求出字母系数的值．【解答】解：∵=169=75，∴这组数据的样本中心点是∵两个量间的回归直线方程为，∴75=1.16×169+a∴a=﹣121.04故选A．8．观察下面频率等高条形图，其中两个分类变量C之间关系最强的是（）A．B．C．D．【考点】两个变量的线性相关．【分析】在频率等高条形图中，与相差很大时，我们认为两个分类变量有关系，即可得出结论．【解答】解：在频率等高条形图中，与相差很大时，我们认为两个分类变量有关系，四个选项中，即等高的条形图中x1，x2所占比例相差越大，则分类变量x，y关系越强，9．由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：①“mn=nm”类比得到“•=•”；②“（m+n）t=mt+nt”类比得到“（+）•=•+•”；③“（m•n）t=m（n•t）”类比得到“（•）•=•（•）”；④“t≠0，mt=xt⇒m=x”类比得到“≠，•=•⇒=”；⑤“|m•n|=|m|•|n|”类比得到“|•|=||•||；以上式子中，类比得到的结论正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】命题的真假判断与应用．【分析】利用类比推理可得出相应的结论，但是得出的结论不一定正确．【解答】解：①由实数的乘法法则满足交换率“mn=nm”类比得到向量也满足交换率“”，正确；②由实数的乘法法则满足分配律“（m+n）t=mt+nt”类比得到向量也满足分配律“”，正确；③由实数的乘法法则满足结合律“（m•n）t=m（n•t）”类比得到“”，不正确，因为向量与不一定共线；④由实数的乘法满足消去率“t≠0，mt=xt⇒m=x”类比得到向量满足“，⇒”，不正确，∵若非零向量、、满足，，则，但是不一定成立；⑤由实数的乘法满足“|m•n|=|m|•|n|”类比得到“=”不正确，当与不共线时，“=”不成立；综上可知：类比得到的结论正确的是①②，个数是2．故选B．10．已知双曲线C1： =1（a＞0，b＞0）的离心率为，一条渐近线为l，抛物线C2：y2=4x的焦点为F，点P为直线l与抛物线C2异于原点的交点，则|PF|=（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】双曲线的简单性质．【分析】由双曲线C1： =1（a＞0，b＞0）的离心率为，可得a=b，从而可得一条渐近线的方程，求出P，F的坐标，即可求出|PF|．【解答】解：∵双曲线C1： =1（a＞0，b＞0）的离心率为，∴a=b，∴一条渐近线为l：y=x，代入抛物线C2：y2=4x可得P（4，4），∵抛物线C2：y2=4x的焦点为F（1，0），∴|PF|==5．11．如果f（x+y）=f（x）•f（y）且f（1）=1，则++…++等于（）A．1005 B．1006 C．2008 D．2010【考点】函数的值．【分析】令y=1，得f（x+1）=f（x）•f（1）=f（x），即=1，即可求++…++的值．【解答】解：令y=1，则f（x+1）=f（x）•f（1）=f（x），即=1，则++…++=1+1+…+1=1006．故选：B．12．如果一个正方体的体积在数值上等于V，表面积在数值上等于S，且V﹣S﹣m≥0恒成立，则实数m的范围是（）A．（﹣∞，﹣16] B．（﹣∞，﹣32]C．[﹣32，﹣16] D．以上答案都不对【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】设正方体的棱长为a，a＞0，则体积V=a3，表面积S=6a2，将不等式恒成立进行转化，构造函数，求函数的导数，利用导数研究函数的极值和最值即可．．【解答】解：设正方体的棱长为a，a＞0，则体积V=a3，表面积S=6a2，则V﹣S﹣m≥0恒成立等价为a3﹣6a2﹣m≥0恒成立，即m≤a3﹣6a2在a＞0上恒成立，设f（a）=a3﹣6a2，则f′（a）=3a2﹣12a=3a（a﹣4），由f′（a）＞0得a＞4或a＜0（舍），此时函数递增，由f′（a）＜0得0＜a＜4，此时函数递减，即当a=4时，函数取得极小值同时也是最小值f（4）=43﹣6×42=64﹣96=﹣32，则m≤﹣32，故选：B．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把你的答案写在答题卡上）13．若（a﹣2i）i=b+i，其中a，b∈R，i为虚数单位，则a+b= 3 ．【考点】复数相等的充要条件．【分析】先化简，然后，根据复数相等的充要条件，实部与实部相等，虚部与虚部相等，求出a，b即可．【解答】解：（a﹣2i）i=b+i，化为：2+ai=b+i∴a=1，b=2．所以a+b=314．执行如图所示的程序框图，输入l=2，m=3，n=5，则输出的y的值是68 ．【考点】程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算并输出y值．模拟程序的运行过程，用表格对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到最终的输出结果．故答案为：68．之间有关系”这个结论出错的概率为0.01 ．【考点】独立性检验的应用．【分析】由列联表中的数据代入公式计算K2，从而查表求解．【解答】解：代入公式K2=≈7.227查表可得，P（K2≥6.635）=0.01故“X与Y之间有关系”这个结论出错的概率为0.01．故答案为：0.01．16．观察下列等式1=12+3+4=93+4+5+6+7=254+5+6+7+8+9+10=49…照此规律，第n个等式为n+（n+1）+（n+2）+…+（3n﹣2）=（2n﹣1）2．【考点】归纳推理．【分析】观察所给的等式，等号右边是12，32，52，72…第n个应该是（2n﹣1）2，左边的式子的项数与右边的底数一致，每一行都是从这一个行数的数字开始相加的，写出结果．【解答】解：观察下列等式1=12+3+4=93+4+5+6+7=254+5+6+7+8+9+10=49…等号右边是12，32，52，72…第n个应该是（2n﹣1）2左边的式子的项数与右边的底数一致，每一行都是从这一个行数的数字开始相加的，照此规律，第n个等式为n+（n+1）+（n+2）+…+（3n﹣2）=（2n﹣1）2，故答案为：n+（n+1）+（n+2）+…+（3n﹣2）=（2n﹣1）2三、计算题（本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明与演算步骤）17．已知直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以直角坐标系xOy中的原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，圆C的极坐标方程为ρ2﹣4ρcosθ+3=0．（1）求l的普通方程及C的直角坐标方程；（2）P为圆C上的点，求P到l的距离的取值范围．【考点】参数方程化成普通方程．【分析】（1）直线l的参数方程为（t为参数），消去参数t可得l的普通方程，圆C的极坐标方程为ρ2﹣4ρcosθ+3=0，利用ρ2=x2+y2，x=ρcosθ代入可得C的直角坐标方程．（2）C的标准方程为（x﹣2）2+y2=1，圆心为C（2，0），半径为1，求出点C到l的距离为d，可得P到l的距离的取值范围是[d﹣r，d+r]．【解答】解：（1）直线l的参数方程为（t为参数），消去参数t可得l的普通方程为x﹣y+3=0，圆C的极坐标方程为ρ2﹣4ρcosθ+3=0，可得C的直角坐标方程为x2+y2﹣4x+3=0．（2）C的标准方程为（x﹣2）2+y2=1，圆心为C（2，0），半径为1，点C到l的距离为d==，∴P到l的距离的取值范围是．18．已知函数f（x）=|x﹣a|．（1）若f（x）≤m的解集为{x|﹣1≤x≤5}，求实数a，m的值．（2）当a=2且t≥0时，解关于x的不等式f（x）+t≥f（x+2t）【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）由题意可得a﹣m≤x≤a+m，比较题意可得，解之可得答案；（Ⅱ）当a=2时，f（x）=|x﹣2|，不等式可化为|x﹣2+2t|﹣|x﹣2|≤t，①分类讨论：当t=0时，不等式①恒成立，即x∈R；当t＞0时，不等式等价于，或，或，解之综合可得答案．【解答】解：（Ⅰ）由|x﹣a|≤m得a﹣m≤x≤a+m，结合题意可得，解得﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）当a=2时，f（x）=|x﹣2|，所以f（x）+t≥f（x+2t）可化为|x﹣2+2t|﹣|x﹣2|≤t，①当t=0时，不等式①恒成立，即x∈R；当t＞0时，不等式等价于，或，或，解得x＜2﹣2t，或2﹣2t，或x∈ϕ，即x≤2﹣；综上，当t=0时，原不等式的解集为R，当t＞0时，原不等式的解集为{x|x≤2﹣}﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣19．选修4﹣4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，得曲线C2的极坐标方程为ρ+6sinθ﹣8cosθ=0（ρ≥0）．（I）化曲线C1的参数方程为普通方程，化曲线C2的极坐标方程为直角坐标方程；（II）直线为参数）过曲线C1与y轴负半轴的交点，求直线l平行且与曲线C2相切的直线方程．【考点】直线的参数方程；点的极坐标和直角坐标的互化．【分析】（Ⅰ）利用三角函数的平方关系和极坐标与直角坐标的互化公式即可；（Ⅱ）利用已知条件先求出直线l的方程，再利用直线与圆相切的充要条件即可求出．【解答】解：（Ⅰ）由曲线C1的参数方程为为参数），消去参数θ化为普通方程；由曲线C2的极坐标方程为ρ+6sinθ﹣8cosθ=0（ρ≥0）得ρ2+6ρsinθ﹣8ρcosθ=0化为直角坐标方程x2+y2+6y﹣8x=0可化为（x﹣4）2+（y+3）2=25，圆心C2（4，﹣3），半径r=5．（Ⅱ）由曲线C1的方程，令x=0得y=±3，∴曲线C1与y轴负半轴的交点为（0，﹣3）；∵直线为参数）过点（0，﹣3），∴，解得，∴直线l的方程为3x﹣4y﹣12=0．设与直线l平行且与曲线C2相切的直线方程为3x﹣4y+m=0，则圆心C2（4，﹣3）到直线l的距离d=r，即化为|m+24|=25，解得m=1或﹣49，∴与直线l平行且与曲线C2相切的直线方程为3x﹣4y+1=0或3x﹣4y﹣49=0．20．已知函数f（x）=|x﹣1|．（1）解不等式f（x）+f（x+4）≥8；（2）若|a|＜1，|b|＜1，且a≠0，求证：f（ab）＞|a|f（）．【考点】绝对值不等式的解法；不等式的证明．【分析】（Ⅰ）根据f（x）+f（x+4）=|x﹣1|+|x+3|=，分类讨论求得不等式f（x）+f（x+4）≥8的解集．（Ⅱ）要证的不等式即|ab﹣1|＞|a﹣b|，根据|a|＜1，|b|＜1，可得|ab﹣1|2﹣|a﹣b|2＞0，从而得到所证不等式成立．【解答】解：（Ⅰ）f（x）+f（x+4）=|x﹣1|+|x+3|=，当x＜﹣3时，由﹣2x﹣2≥8，解得x≤﹣5；当﹣3≤x≤1时，f（x）≤8不成立；当x＞1时，由2x+2≥8，解得x≥3．所以，不等式f（x）+f（x+4）≤4的解集为{x|x≤﹣5，或x≥3}．（Ⅱ）f（ab）＞|a|f（），即|ab﹣1|＞|a﹣b|．因为|a|＜1，|b|＜1，所以|ab﹣1|2﹣|a﹣b|2=（a2b2﹣2ab+1）﹣（a2﹣2ab+b2）=（a2﹣1）（b2﹣1）＞0，所以|ab﹣1|＞|a﹣b|，故所证不等式成立．21．椭圆C： +=1（a＞b＞0）的两个焦点为F1，F2，点P在椭圆C上，且PF1⊥PF2，|PF1|=，|PF2|=，（1）求椭圆的方程（2）若直线L过圆 x2+y2+4x﹣2y=0的圆心M，交椭圆C于A，B两点，且A，B关于点M对称，求直线L的方程．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（1）根据椭圆的定义求出a，b，即可求椭圆的方程（2）求出圆心坐标，根据点的对称性，利用作差法求出直线斜率即可求出直线方程．【解答】解（1）∵PF1⊥PF2，|PF1|=，|PF2|=，∴2a=|PF1|+|PF2|=+=6，即a=3，且4c2═|PF1|2+|PF2|2=（）2+（）2=解得c2=，∴b2=9﹣=，故椭圆的方程为，（2）设A（m，n），B（x，y），圆的标准方程为（x+2）2+（y﹣1）2=5，圆心M（﹣2，1），∵A，B关于M对称，∴，即，∵A，B都在椭圆上，∴，两式相减得，即，即直线AB的斜率k=，∴直线方程为y﹣1=（x+2），即56x﹣81y+193=0．22．已知函数f（x）=x2+x﹣ln（x+a）+3b在x=0处取得极值0．（Ⅰ）求实数a，b的值；（Ⅱ）若关于x的方程f（x）=x+m在区间[0，2]上恰有两个不同的实数根，求实数m的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；根的存在性及根的个数判断；利用导数研究函数的极值．【分析】（Ⅰ）求导，从而由题意得，从而解得；（Ⅱ）由（1）知f（x）=x2+x﹣ln（x+1），故方程可化为，令，从而求导；从而根据单调性求解．【解答】解：（Ⅰ）由题设可知，∵当x=0时，f（x）取得极值0，∴解得a=1，b=0；经检验a=1，b=0符合题意；（Ⅱ）由（1）知f（x）=x2+x﹣ln（x+1），则方程即为，令，则方程φ（x）=0在区间[0，2]恰有两个不同实数根．∵；当x∈（0，1）时，φ′（x）＜0，于是φ（x）在（0，1）上单调递减；当x∈（1，2）时，φ′（x）＞0，于是φ（x）在（1，2）上单调递增；依题意有，∴﹣﹣ln2＜m≤1﹣ln3．。
海南省文昌中学高二数学下学期期中试卷 文(含解析)
海南省文昌中学2014-2015学年高二（下）期中数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，下列每小题有且只有一个正确答案，请把正确答案的代号，涂在答题卡上）1．（2015•丰台区二模）“a=0”是“复数z=a+bi（a，b∈R）为纯虚数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：常规题型．分析：由于复数z=a+bi（a，b∈R）为纯虚数，故a=0且b≠0，即“a=0”是“复数z=a+bi （a，b∈R）为纯虚数”的必要不充分条件．解答：解：依题意，复数z=a+bi（a，b∈R）为纯虚数，⇔a=0且b≠0，∴“a=0”是“复数z=a+bi（a，b∈R）为纯虚数”的必要不充分条件，故选B．点评：本题主要考查复数的基本概念，以及必要条件、充分条件的判断，是一道比较基础的题目．2．（2013•湖北）四名同学根据各自的样本数据研究变量x，y之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：①y与x负相关且=2.347x﹣6.423；②y与x负相关且=﹣3.476x+5.648；③y与x正相关且=5.437x+8.493；④y与x正相关且=﹣4.326x﹣4.578．其中一定不正确的结论的序号是（）A．①②B．②③C．③④D．①④考点：线性回归方程．专题：规律型．分析：由题意，可根据回归方程的一次项系数的正负与正相关或负相关的对应对四个结论作出判断，得出一定不正确的结论来，从而选出正确选项．解答：解：①y与x负相关且=2.347x﹣6.423；此结论误，由线性回归方程知，此两变量的关系是正相关；②y与x负相关且；此结论正确，线性回归方程符合负相关的特征；③y与x正相关且；此结论正确，线性回归方程符合正相关的特征；④y与x正相关且．此结论不正确，线性回归方程符合负相关的特征．综上判断知，①④是一定不正确的故选D点评：本题考查线性回归方程，正确理解一次项系数的符号与正相关还是负相关的对应是解题的关键，本题是记忆性的基础知识考查题，较易3．（2015春•文昌校级期中）二维空间中圆的一维测度（周长）l=2πr，二维测度（面积）S=πr2，观察发现S′=l；三维空间中球的二维测度（表面积）S=4πr2，三维测度（体积）V=πr3，观察发现V′=S．则由四维空间中“超球”的三维测度V=8πr3，猜想其四维测度W=（）A．4πr4B．4πr2C．2πr4D．πr4考点：类比推理．专题：综合题；推理和证明．分析：根据所给的示例及类比推理的规则得出高维的测度的导数是底一维的测度，从而得到W′=V，从而求出所求．解答：解：∵二维空间中圆的一维测度（周长）l=2πr，二维测度（面积）S=πr2，观察发现S′=l三维空间中球的二维测度（表面积）S=4πr2，三维测度（体积）V=πr3，观察发现V′=S∴四维空间中“超球”的三维测度V=8πr3，猜想其四维测度W，则W′=V=8πr3；∴W=2πr4．故选：C．点评：本题考查类比推理，解题的关键是理解类比的规律，解题的关键主要是通过所给的示例及类比推理的规则得出高维的测度的导数是低一维的测度，属于基础题．4．（2014•黄山一模）若（1+2ai）i=1﹣bi，其中a、b∈R，i是虚数单位，则|a+bi|=（）A．B．C．D．考点：复数求模；复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：首先进行复数的乘法运算，根据复数相等的充要条件，得到复数的实部和虚部分别相等，得到a，b的值，求出复数的模长．解答：解：∵（1+2ai）i=1﹣bi，∴i﹣2a=1﹣bi∴﹣2a=1，b=﹣1∴a=﹣，b=﹣1∴|a+bi|=故选C．点评：本题考查复数的代数形式的乘除运算和复数的求模，本题解题的关键是求出复数中的字母系数，本题是一个基础题．5．（2015春•文昌校级期中）已知f1（x）=sinx，f2（x）=f1′（x），f3（x）=f2′（x），f4（x）=f3′（x），…，f n（x）=f n﹣1′（x），则f2015（x）等于（）A．cosx B．﹣cosx C．sinx D．﹣sinx考点：导数的运算．专题：导数的概念及应用．分析：对函数连续求导研究其变化规律，可以看到函数解析式呈周期性出现，以此规律判断求出f2015（x）．解答：解：由题意f1（x）=sinx，f2（x）=f1′（x）=cosx，f3（x）=f2′（x）=﹣sinx，f4（x）=f3′（x）=﹣cosx，f5（x）=f4′（x）=sinx，…由此可知，在逐次求导的过程中，所得的函数呈周期性变化，从1开始计，周期是4，∵2015=4×503+3，故f2015（x）=f3（x）=﹣sinx，故选：D．点评：本题考查导数的运算，求解本题的关键是掌握正、余弦函数的求导公式，以及在求导过程中找出解析式变化的规律，归纳总结是解题过程中发现规律的好方式．本题考查了归纳推理．6．（2013•天津）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出n的值为（）A．7 B． 6 C． 5 D．4考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：利用循环结构可知道需要循环4次方可得到S←2，因此输出的n←4．解答：解：由程序框图可知：S=2=0+（﹣1）1×1+（﹣1）2×2+（﹣1）3×3+（﹣1）4×4，因此当n=4时，S←2，满足判断框的条件，故跳出循环程序．故输出的n的值为4．故选D．点评：正确理解循环结构的功能是解题的关键．7．（2015春•会宁县校级期中）观察数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，…的特点，问第100项为（）A．10 B．14 C．13 D．100考点：数列的概念及简单表示法．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：根据数列项的值，寻找规律即可得到结论．解答：解：设n∈N*，则数字n共有n个所以由≤100，即n（n+1）≤200，又因为n∈N*，所以n=13，到第13个13时共有=91项，从第92项开始为14，故第100项为14．故选：B．点评：本题主要考查数列的简单表示，根据条件寻找规律是解决本题的关键．8．（2015春•文昌校级期中）下面用“三段论”形式写出的演绎推理：因为指数函数y=a x （a＞0且a≠1）在（0，+∞）上是增函数，y=（）x是指数函数，所以y=（）x在（0，+∞）上是增函数．该结论显然是错误的，其原因是（）A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．以上都可能考点：演绎推理的意义．专题：推理和证明．分析：分析该演绎推理的大前提、小前提和结论，可以得出正确的答案．解答：解：该演绎推理的大前提是：指数函数y=a x（a＞0且a≠1）在（0，+∞）上是增函数，小前提是：y=（）x是指数函数，结论是：y=（）x在（0，+∞）上是增函数．其中，大前提是错误的，因为0＜a＜1时，函数y=a x在（0，+∞）上是减函数，致使得出的结论错误．故选：A．点评：本题考查了演绎推理的应用问题，解题时应根据演绎推理的三段论是什么，进行逐一判定，得出正确的结论，是基础题．9．（2015春•文昌校级期中）已知复数z=，（i为虚数单位），则复数z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的除法的运算法则化简复数为a+bi的形式，即可求出复数对应点的坐标所在象限．解答：解：复数z=====，复数对应点为（）．在第一象限．故选：A．点评：本题考查复数的代数形式的混合运算，复数单位的幂运算，复数的几何意义，考查计算能力．10．（2008•天津）设椭圆（m＞0，n＞0）的右焦点与抛物线y2=8x的焦点相同，离心率为，则此椭圆的方程为（）A．B．C．D．考点：椭圆的标准方程．专题：计算题；分析法．分析：先求出抛物线的焦点，确定椭圆的焦点在x轴，然后对选项进行验证即可得到答案．解答：解：∵抛物线的焦点为（2，0），椭圆焦点在x轴上，排除A、C，由排除D，故选B点评：本题主要考查抛物线焦点的求法和椭圆的基本性质．圆锥曲线是高考的必考内容，其基本性质一定要熟练掌握．11．（2015春•文昌校级期中）设F1、F2分别是双曲线=1的左、右焦点．若点P在双曲线上，且•=0，则|+|等于（）A． 3 B． 6 C． 1 D．2考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求出以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=9，利用|+|=|2|，可得结论．解答：解：双曲线=1中a=，b=2，c=3，∴以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=9，∴|+|=|2|=6，故选：B．点评：本题考查双曲线的性质，考查向量知识的运用，比较基础．12．（2009春•海淀区期中）函数（）A．在（0，2）上单调递减B．在（﹣∞，0）和（2，+∞）上单调递增C．在（0，2）上单调递增D．在（﹣∞，0）和（2，+∞）上单调递减考点：函数单调性的判断与证明．专题：计算题．分析：先求函数的定义域，再求函数的导数，令导数大于0，在定义域成立的前提下，解得的x的范围是函数的增区间，令导数小于0，在定义域成立的前提下，解得的x的范围为函数的减区间．解答：解：函数的定义域为{x|x≠1}函数的导数为，令导数大于0，即＞0，解得x＜0，或x＞2令导数小于0，即＜0，解得0＜x＜2，又∵∴函数的增区间为（﹣∞，0）和（2，+∞），减区间为（0，1）和（1，2）故选B点评：本题主要考查了利用导数判断函数的单调性，一定注意单调区间是定义域的子区间，必须在定义域成立的前提下求单调区间．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案写在答卷上）13．（2015春•文昌校级期中）若复数z=，则复数z的虚部为﹣1 ．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：根据复数的基本运算，结合复数的概念进行求解．解答：解：z===，则复数z的虚部﹣1，故答案为：﹣1．点评：本题主要考查复数的概念，利用复数的基本运算进行化简是解决本题的关键．14．（2015春•文昌校级期中）在2015年春节期间，某市物价部门，对本市五个商场销售的某商品一天的销售量及其价格进行调查，五个商场的售价x元和销售量y件之间的一组数据如表所示：价格x 9 9.5 10 10.5 11销售量y 11 10 8 6 5通过分析，发现销售量y对商品的价格x具有线性相关关系，且=﹣3.2，则销售量y对商品的价格x的回归直线方程为=﹣3.2x+40 ．考点：线性回归方程．专题：计算题；概率与统计．分析：由已知表格中的数据，我们根据平均数公式计算出变量x，y的平均数，根据回归直线一定经过样本数据中心点，可求出a值，即可求出销售量y对商品的价格x的回归直线方程．解答：解：由表中数据可得：=10，=8，∵归直线一定经过样本数据中心点，∵=﹣3.2，∴a=8+3.2×10=40，∴销售量y对商品的价格x的回归直线方程是=﹣3.2x+40．故答案为：=﹣3.2x+40．点评：本题考查的知识点是线性回归方程，其中根据回归直线一定经过样本数据中心点，是解答的关键．属于基础题．15．（2014春•陵县期中）定义运算=ad﹣bc，则对复数z=x+yi（x，y∈R）符合条件=3+2i的复数z等于﹣i ．考点：复数代数形式的加减运算．专题：数系的扩充和复数．分析：由条件求得z=，再利用两个复数代数形式的乘除法法则，计算求得结果．解答：解：根据条件=3+2i 可得 2iz﹣z=3+2i，∴z===﹣i，故答案为：﹣i．点评：本题主要考查两个复数代数形式的乘除法法则的应用，属于基础题．16．（2015春•文昌校级期中）已知点A（x1，x），B（x2，x）是抛物线y=x2上任意不同的两点，线段AB总是位于A，B两点之间函数图象的上方，因此有结论＞2成立，运用类比的方法可知，若点A（x1，sinx1），B（x2，sinx2）是函数y=sinx （x∈（0，π））图象上不同的两点，线段AB总是位于A，B两点之间函数y=sinx（x∈（0，π））图象的下方，则类似地有结论＜sin．考点：类比推理．专题：综合题；推理和证明．分析：由类比推理的规则得出结论，本题中所用来类比的函数是一个变化率越来越大的函数，而要研究的函数是一个变化率越来越小的函数，其类比方式可知．解答：解：由题意知，点A、B是函数y=x2的图象上任意不同两点，函数是变化率逐渐变大的函数，线段AB总是位于A、B两点之间函数图象的上方，因此有结论＞成立；而函数y=sinx（x∈（0，π））其变化率逐渐变小，线段AB总是位于A、B两点之间函数图象的下方，故可类比得到结论＜sin．故答案为：＜sin．点评：本题考查类比推理，求解本题的关键是理解类比的定义，及本题类比的对象之间的联系与区别，从而得出类比结论．三、解答题（本大题共6小题，满分70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）．17．（10分）（2015春•文昌校级期中）在2008年北京奥运会上，游泳项目的世界记录在水立方屡屡被打破，充满了神奇色彩．据有些媒体的报道，这可能与运动员身上的新式泳衣有关系．为此有人进行了调查统计，对某游泳队的96名运动员的成绩进行了调查，其中使用新式泳衣成绩提高的有12人，没有提高的有36人；没有使用新式泳衣成绩提高的有8人，没有提高的有40人．请根据该游泳队的成绩判断：成绩提高与使用新式泳衣是否有关系？考点：独立性检验的应用．专题：概率与统计．分析：根据给出的数据可以列出2×2列联表，利用公式计算相关指数的观测值，比较与临界值的大小，从而判定成绩提高与使用新式泳衣有关的可靠性程度．解答：解：假设成绩提高与使用新式泳衣没有关系．则…（2分）根据给出的数据可以列出下列2×2列联表：成绩提高成绩没有提高总计用新式泳衣12 36 48未用新式泳衣8 40 48总计20 76 96…于是K2=≈1.011，由于1.011＜2.706，…（8分）所以我们没有理由认为成绩提高与使用新式泳衣有关系．…（10分）点评：本题考查了独立性检验思想方法，熟练掌握相关指数的观测值的计算方法及临界值解答本题的关键．18．（2015春•鸡西校级期中）已知1+i是实系数方程x2+ax+b=0的一个根．（1）求a，b的值；（2）试判断1﹣i是否是方程的根．考点：复数代数形式的混合运算．专题：数系的扩充和复数．分析：（1）依题意，将1+i代入方程x2+ax+b=0，利用两复数相等即可求得a、b的值；（2）把1﹣i代入方程左端，可结果是否为0即可．解答：解：（1）∵1+i是方程x2+ax+b=0的根，∴（1+i）2+a（1+i）+b=0，即（a+b）+（a+2）i=0．∴，解得．∴a，b的值为a=﹣2，b=2．（2）方程为x2﹣2x+2=0，把1﹣i代入方程，左边=（1﹣i）2﹣2（1﹣i）+2=﹣2i﹣2+2i+2=0，显然方程成立．∴1﹣i也是方程的一个根．点评：本题考查复数代数形式的混合运算，突出考查复数相等的应用，属于基础题．19．（2015春•文昌校级期中）设S n=+++…+，求出S1，S2，S3，S4的值，归纳并猜想出结果．并证明所猜想出结果的正确性．考点：数列的求和；归纳推理．专题：点列、递归数列与数学归纳法；推理和证明．分析：把n=1，2，3，4时，代入原式计算求出S1，S2，S3，S4的值，通观察归纳出规律再猜想出一般的结论，再利用裂项相消法进行证明．解答：解：由题意知，S n=+++…+，当n=1，2，3，4时，代入原式计算求出的值分别为：S1=，S2==，同理可得S3=，S4=．…（4分）观察这4个结果都是分数，每个分数的分子与项数对应，且分子比分母恰好小1．归纳猜想：S n=．…（7分）证明：∵=1﹣，=﹣，…，=﹣．∴S n=1﹣+﹣+﹣+…+﹣=1﹣=．…点评：本题考查裂项相消法求数列的和，以及归纳推理，考查观察、归纳的能力，属于中档题．20．（2015春•文昌校级期中）设w=﹣+i，（1）计算：1+w+w2；（2）计算：（1+w﹣w2）（1﹣w+w2）．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：（1）利用复数的运算求值即可求得答案；（2）利用w=﹣+i为x3=1的根，即w3=1，因式分解后灵活代换即可求得答案．解答：解：（1）∵w=﹣+i，∴1+w+w2；=1+（﹣+i）+=1+（﹣+i）+（﹣﹣i）=0；（2）∵w=﹣+i为x3=1的根，即w3=1，∴（w﹣1）（w2+w+1）=0，∴w2+w+1=0，∴（1+w﹣w2）（1﹣w+w2）=﹣2w2•（﹣2w）=4w3=4．点评：本题考查复数代数形式的乘除运算，考查整体代换思想与运算求解能力，属于中档题．21．（2014秋•衡阳期末）已知椭圆=1（a＞b＞0）的一个顶点为A（0，1），离心率为，过点B（0，﹣2）及左焦点F1的直线交椭圆于C，D两点，右焦点设为F2．（1）求椭圆的方程；（2）求△CDF2的面积．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）根据椭圆的基本概念和平方关系，建立关于a、b、c的方程，解出a=，b=c=1，从而得到椭圆的方程；（2）求出F1B直线的斜率得直线F1B的方程为y=﹣2x﹣2，与椭圆方程联解并结合根与系数的关系算出|x1﹣x2|=，结合弦长公式可得|CD|=，最后利用点到直线的距离公式求出F2到直线BF1的距离d，即可得到△CDF2的面积．解答：解：（1）∵椭圆=1（a＞b＞0）的一个顶点为A（0，1），离心率为，∴b==1，且=，解之得a=，c=1可得椭圆的方程为；…（4分）（2）∵左焦点F1（﹣1，0），B（0，﹣2），得F1B直线的斜率为﹣2∴直线F1B的方程为y=﹣2x﹣2由，化简得9x2+16x+6=0．∵△=162﹣4×9×6=40＞0，∴直线与椭圆有两个公共点，设为C（x1，y1），D（x2，y2），则∴|CD|=|x1﹣x2|=•=•=又∵点F2到直线BF1的距离d==，∴△CDF2的面积为S=|CD|×d=×=．点评：本题给出椭圆满足的条件，求椭圆的方程并求三角形的面积．着重考查了椭圆的标准方程与简单几何性质、直线与圆角曲线的位置关系等知识，属于中档题．22．（2015春•文昌校级期中）已知函数f（x）=x3+（a﹣1）x2+bx（a，b为常数）在x=1和x=4处取得极值．（1）求函数f（x）的解析式；（2）当x∈[﹣2，2]时，都有2f（x）＜﹣5x+c，求c的取值范围．考点：利用导数研究函数的极值；其他不等式的解法．专题：导数的综合应用．分析：（1）根据所给的函数的解析式，对函数求导，使得导函数等于0，得到关于a，b的关系式，解方程组即；（2）分离参数，构造函数求出函数的最值即可．解答：解：（1）f′（x）=x2+（a﹣1）x+b．）由题设知，解得，所以f（x）=x3﹣x2+4x，（2）由题设知2f（x）＜﹣5x+c，即c＞x3﹣5x2+13x．设g（x）=x3﹣5x2+13x，x∈[﹣2，2]，所以c只要大于g（x）的最大值即可．g′（x）=2x2﹣10x+13，当x∈（﹣2，2）时g′（x）＞0．所以g（x）max=g（2）=，所以c＞．点评：本题考查了导数和函数的极值问题，以及参数的取值范围即恒成立问题，属于中档题．。
海南省文昌高二下学期段考(期中)文科数学试题 有答案
第二学期高二年级数学(文科)段考试题(完成时间：120分钟满分：150分)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，答案写在答题卡上附：参考公式：1. 回归系数b＝错误!，a＝错误!－b错误!2. 附：K2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.下列每小题有且只有一个正确的答案，请把你的答案写在答题卡上)1．22)1(ii+=( )A．2 B．－2C．－2i D．2i2．若大前提是：任何实数的平方都大于0，小前提是：a R∈，结论是：20a>，那么这个演绎推理( )A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．没有错误3．复数.111-++-=iiz在复平面内，z所对应的点在( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限4．复数z满足1+)|i z i=（，则=z( )A．1+i B．1i-C．1i--D．1+i-5．定义：a bad bcc d=-.若复数z满足112zii i=-+-，则z等于( ) A．1i+B．1i-C．3i+D．3i-6．下面使用类比推理正确的是()A．“若a·3＝b·3，则a＝b”类推出“若a·0＝b·0，则a＝b”B ．“(a ＋b )·c ＝ac ＋bc ”类推出“(a ·b )·c ＝ac ·bc ”C ．“(a ＋b )·c ＝ac ＋bc ”类推出“a ＋b c ＝a c ＋b c (c ≠0)”D ．“(ab )n ＝a n b n ”类推出“(a ＋b )n ＝a n ＋b n ”7．下表是某厂1～4月份用水量(单位：百吨)的一组数据：由散点图可知，用水量y 与月份x 之间有较好的线性相关关系，其线性回归直线方程是 y ^ ＝－0.7x ＋a ^，则 a ^等于( )A ．10.5B ．5.15C ．5.2D ．5.258．下列推理是归纳推理的是( )A ．A ，B 为定点，动点P 满足|P A |＋|PB |＝2a ＞|AB |，则P 点的轨迹为椭圆 B ．由a 1＝1，a n ＝3n －1，求出S 1，S 2，S 3猜想出数列的前n 项和S n 的表达式C ．由圆x 2＋y 2＝r 2的面积πr 2，猜想出椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的面积S ＝πab D ．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇9．执行如图所示的程序框图，若输出的S 是2 047， 则判断框内应填写( ) A ．n ≤9？ B ．n ≤10？ C ．n ≥10？ D ．n ≥11？10．设函数f (x )=2x+ ln x 则( )A ．x =12为f (x )的极大值点B ．x =12为f (x )的极小值点C ．x =2为f (x )的极大值点D ．x =2为f (x )的极小值点11．规定一机器狗每秒钟只能前进或后退一步，现程序设计师让机器狗以“前进3步，然后再退2步”的规律移动．如果将此机器狗放在数轴原点，面向正方向，以1步的距离为1个单位长度移动，令P (n )表示第n 秒时机器狗所在的位置坐标，且P (0)＝0，则下列结论中错误的是( )A ．P (2007)＝403B ．P (2008)＝404C ．P (2009)＝403D ．P (2010)＝40412．已知抛物线24x y =-的准线与双曲线22221(0,0)yx a b a b-=>>的两条渐近线围成一个等腰直角三角形，则该双曲线的离心率是( )AB ．2CD ．5第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把你的答案写在答题卡上)13．已知复数z = (1 – i )(2 – i )，则| z |的值是 ． 14．程序框图(即算法流程图)如图(右)所示，其输出结果是_______.15．某高校“统计初步”课程的教师随机调查了选该课程的一些学生的情况，具体数据如下表：得到K 2＝50×（13×20－10×7）223×27×20×30≈4.844，因为K 2≥3.841，所以 判定主修统计专业与性别有关系，那么这种判断出错的可能性为__________． 16．已知(0,)x ∈+∞，观察下列各式：12,x x+≥ 22443,22x x x x x+=++≥ （第14题图）3327274,333x x x x x x +=+++≥ ……类比得：*1()n a x n n N x+≥+∈，则a =___________．三、计算题 (本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明与演算步骤)17.(本小题满分10分)如图，已知圆上的弧 AC ⌒＝BD ⌒，过C 点的圆的切线与BA 的延长线交于E点，证明：(1)∠ACE ＝∠BCD ；(2)BC 2＝BE ×CD .18.(本小题满分12分)甲、乙两个学校高三年级分别有1100人，1000人，为了了解两个学校全体高三年级学生在该地区二模考试的数学成绩情况，采用分层抽样方法从两个学校一共抽取了105名学生的数学成绩，并作出了如下的频数分布统计表，规定考试成绩在［120，150］内为优秀．甲校：(2)由以上统计数据填写下面2×2列联表，若按是否优秀来判断，是否有97.5%的把握认为两个学校的数学成绩有差异？19.(本小题满分12分)如图，AB是⊙O的一条切线，切点为B，ADE，CFD，CGE都是⊙O的割线，已知AC＝AB.(Ⅰ)证明：AD·AE＝AC2；(Ⅱ)证明：FG∥AC.20．(本小题满分12分)某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到气象局与某医院抄录了1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下资料：归方程，再用被选取的2组数据进行检验．(1)求选取的2组数据恰好是相邻两个月的概率；(2)若选取的是1月与6月的两组数据，请根据2至5月份的数据，求出y关于x的线性回归方程y＝bx＋a；(3)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问该小组所得线性回归方程是否理想？参考公式：b＝错误!，＝错误!，a＝y－－b x－.21.(本小题满分12分)已知椭圆x2a2＋y2b2＝1 (a＞b＞0)的离心率为22，右焦点为F(1，0)．(1)求此椭圆的标准方程；(2)若过点F且倾斜角为π4的直线与此椭圆相交于A、B两点，求|AB|的值．22.(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ax＋ln x(a∈R)．(1)若a＝2，求曲线y＝f(x)在x＝1处切线的斜率；(2)求f(x)的单调区间.第二学期高二年级数学(文科)段考试题参考答案第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13. 10 14. 127 15. 5% 16. n n三、解答题(本大题共6小题，满分70分)17. 证明：(1)因为 AC ⌒＝BD ⌒，所以∠BCD ＝∠ABC .又因为EC 与圆相切于点C ，故∠ACE ＝∠ABC ，所以∠ACE ＝∠BCD . ………………………………………………5分(2)因为∠ECB ＝∠CDB ，∠EBC ＝∠BCD ， 所以△BDC ∽△ECB ，故 BC BE ＝CDBC ，即BC 2＝BE ×CD .………………………………………10分 18. 解：(1)x ＝6，y ＝7. ………………………………………………3分(2)填表如下：由表格计算，得K 2＝30×75×50×55≈6.109＞5.024， 故有97.5%的把握认为两个学校的数学成绩有差异． ……………12分19. 证明：(Ⅰ)∵ AB 是⊙O 的一条切线，AE 为割线， …………………………1分∴ AB 2＝AD ·AE …………………………………………3分………6分又∵ AB ＝AC (4)分∴ AC 2＝AD .AE (5)分(Ⅱ)由(Ⅰ)有 AD AC ＝ACAE ………………………………………………6分∵∠EAC =∠DAC ，∴△ADC ∽△ACE ， …………………………7分 ∴∠ADC =∠ACE ，…………………………………………………8分 ∵∠ADC =∠EGF ，∴∠EGF =∠ACE ， ……………………………9分 ∴GF ∥AC ………………………………………………10分20. (1)设抽到相邻两个月的数据为事件A .∵从6组数据中选取2组数据共有15种情况，每种情况都是等可能出现的． 其中，抽到相邻两个月的数据的情况有5种，∴P (A )＝515＝13. …………………………………………4分 (2)由数据求得x －＝11，y －＝24.由公式求得b ＝187，a ＝y －bx ＝－307，∴ y 关于x 的线性回归方程为y ＝187x －307. ……………………………10分 (3)当x ＝10时，y ＝1507，⎪⎪⎪⎪1507－22＜2；同样，当x ＝6时，y ＝787，⎪⎪⎪⎪787－12＜2. ………………………………12分 ∴该小组所得线性回归方程是理想的．21. 解：(1)由题意知 c a ＝22且c ＝1.∴a ＝2，b ＝a 2－c 2＝1.故椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1. ………………………………4分 (2)由(1)知，椭圆方程为x 22＋y 2＝1， ①又直线过点F (1，0)，且倾斜角为π4，斜率k ＝1. ∴直线的方程为y ＝x －1.②由①，②联立，得3x 2－4x ＝0， ……………………………………8分 解之得x 1＝0，x 2＝43.故|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝2|0－43|＝43 2. …………………………12分22. 解：(1)由已知，当a ＝2时，f (x )＝2x ＋ln x ，f ′(x )＝2＋1x (x ＞0)，f ′(1)＝2＋1＝3.故曲线y ＝f (x )在x ＝1处切线的斜率为3. …………………………5分 (2)f ′(x )＝a ＋1x ＝ax ＋1x (x ＞0)．①当a ≥0时，由于x ＞0，故ax ＋1＞0，f ′(x )＞0 所以，f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)； ②当a ＜0时，由f ′(x )＝0， 得x ＝－1a .在区间(0，－1a )上，f ′(x )＞0，在区间(－1a ，＋∞)上f ′(x )＜0，所以，函数f (x )的单调递增区间为(0，－1a )，单调递减区间为(－1a ，＋∞)． 综上所述，当a ≥0时，f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)；当a ＜0时，f (x )的单调递增区间为(0，－1a )，单调递减区间为(－1a ，＋∞)．…………………………………………………………12分。
2014-2015学年第二学期期中测试高二文科数学附答案
2014－2015学年第二学期期中测试高二文科数学本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页，第Ⅰ卷为1-12题，共60分，第Ⅱ卷为13-22题，共90分. 全卷共计150分. 考试时间为120分钟. 注意事项：1、答第一卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.2、每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动用橡皮擦干净后，再涂其它答案，不能答在试题卷上.3、考试结束，监考人员将答题卡收回. 附：（1）回归直线方程：y a b x ∧∧∧=+ ；（2）回归系数：1221ni ii ni i x y nx yb x nx∧==-=-∑∑，a y b x ∧∧=-，11n i i x x n ==∑ ，11ni i y y n ==∑.第I 卷 （本卷共计60 分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.若p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，则p 是q 的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分且必要条件D.既不充分也不必要条件2.下列函数中，定义域是R 且为增函数的是 ( )A ．xy e－＝ B ．3y x ＝ C ． y lnx ＝ D ．y x ＝ 3.有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数()f x ，如果0()0f x '=，那么0x x =是函数()f x 的极值点，因为函数3()f x x =在0x =处的导数值(0)0f '=，所以，0x =是函数3()f x x =的极值点。
以上推理中 （ ）A ．结论正确B ．大前提错误C ．小前提错误D ．推理形式错误4.若复数21(1)()z a a i a R =-++ ∈是纯虚数，则1z a+的虚部为 （ ） A ．25- B ．25i - C ．25 D ．25i5．定义集合运算：{}|,,A B z z xy x A y B *==∈∈．设{}{}1,2,0,2A B ==，则集合A B *的所有元素之和为 （ ） A ．0 B ．2 C ．3 D ．66.函数243,[0,3]y x x x =-+∈的值域为 （ ） A. [0,3] B. [1,0]- C. [1,3]- D. [0,2]7.如图所示,圆O 的直径6AB =,C 为圆周上一点, 3BC =过C 作圆的切线l , 过A 作l 的垂线AD ,垂足为D ,则DAC ∠ =( )A.15︒B.30︒C.45︒D.60︒8.已知()f x 、()g x 均为[]1,3－上连续不断的曲线，根据下表能判断方程()()f x g x =有实数解的区间是 ( )A. (－C ． (0,1)D ．(2,3)9．直线12(t )2x ty t=+⎧⎨=+⎩是参数被圆229x y +=截得的弦长等于( )A.125 B. C. 5 10.若,{1,0,1,2}a b ∈-，则函数2()2f x ax x b =++有零点的概率为 （ ）A ．316B ．78C ．34D ．5811.若32()33(2)1f x x ax a x =++++有极大值和极小值，则a 的取值范围是 （ ）A ．12a -<<B ．2a >或1a <-C ．2a ≥或1a ≤-D ．12a a ><-或12. 已知()f x 是定义在R 上周期为4的奇函数，当(0,2]x ∈时，2()2log xf x x =+，则(2015)f = ( )A ．2-B ．21C ．2D ．5第II 卷 （本卷共计90 分）注意事项：请用黑色墨水签字笔在答题卡．．．上作答，在试题卷上答题无效. 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13.在极坐标系中，点()20P ，与点Q关于直线2sin θ=对称，则PQ = ． 14.已知复数122,34,z m i z i =+=-若12z z 为实数，则实数m 的值为 。
海南省文昌中学2014-2015学年高二上学期期考(期末)数学(理)试题(有答案)AqUUnU
注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前考生将自己的姓名\准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置。
2. 回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号标黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3. 答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（每题5分，共60分）1．不等式组x 2－1＜0，x 2－3x ＜0的解集为( ) A ．{x |－1＜x ＜1}B ．{x |0＜x ＜3}C ．{x |0＜x ＜1}D ．{x |－1＜x ＜3}2．平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，向量AB →、AD →、AA 1→两两的夹角均为60°，且|AB →|＝1，|AD →|＝2，|AA 1→|＝3，则|AC 1→|等于 ( ) A ．5B ．6C ．4D ．83．已知a ，b 为非零向量，则“a ⊥b ”是“函数f (x )＝(x a ＋b )·(x b －a )为一次函数”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．下列四个命题中的真命题为( ) A ．∃x 0∈Z ，1＜4x 0＜3 B ．∃x 0∈Z ，5x 0＋1＝0 C ．∀x ∈R ，x 2－1＝0D ．∀x ∈R ，x 2＋x ＋2＞0 5．已知命题p ：“∀x ∈[1,2]，x 2－a ≥0”；命题q ：“∃x ∈R ，x 2＋2ax ＋2－a ＝0”．若命题“p 且q ”是真命题，则实数a 的取值范围为( ) A ．a ≤－2或a ＝1 B ．a ≤－2或1≤a ≤2 C ．a ≥1D ．－2≤a ≤16．长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AA 1＝2，AD ＝1，E 为CC 1的中点，则异面直线BC 1与AE 所成角的余弦值为( ) A ．1010B ．3010C ．21510D ．310107．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2，S 3＝12，则a 6等于( ) A ．8B ．10C ．12D ．148．已知12,F F 为双曲线C ：x 2—y 2=2的左右焦点，点P 在C 上，12||2||PF PF =，则 cos ∠F 1PF 2 = （ ） A ．14B ．35C ．34D ．459．设变量x ，y 满足约束条件x ＋2y －5≤0，x －y －2≤0，x ≥0，则目标函数z ＝2x ＋3y ＋1的最大值为( )A ．11B ．10C ．9D ．8.510．设F 1,F 2是椭圆22221x y a b+= （a ＞b ＞0）的左右焦点,若直线x = ma (m ＞1)上存在一点P, 使ΔF 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则m 的取值范围是（ ） A ．m > 2B ．1 < m < 2C ．1 < m <32D ．m >3211．已知抛物线y 2=2px (p>0)的焦点为F ，点A 、B 为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB=90°,过弦AB 的中点M 作抛物线准线的垂线MN ，垂足为N ，则MNAB的最大值为（ ）A ．1B ．32 C 3 D ．2212．设双曲线C 的中心为原点O ，若有且只有一对相交于点O ，所成的角为60°的直线A 1B 1和A 2B 2，使|A 1B 1|=|A 2B 2|，其中A 1、B 1和A 2、B 2分别是这对直线与双曲线C 的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ） A ．（332，+∞） B ．[332，2） C ．（332，2] D ．[332，+∞） 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（每题5分，共20分）13．已知命题p ：若x ＞y ，则－x ＜－y ，命题q ：若x ＞y ，则x 2＞y 2。
海南省文昌中学高二数学下学期段考(期中)试题 理
2015—2016学年度第二学期高二年级数学(理科)段考试题（时间：120分钟，满分：150分） 第Ⅰ卷 选择题（共60分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1、已知函数f (x ) = x sin x ，则f (x ) 的导函数是（ ） A ．增函数B ．减函数C ．奇函数D ．偶函数2、用反证法证明“如果a b >，那么33a b >”，假设的内容应是（ ） A ．33a b = B ．33a b <且33a b = C ．33a b <D ．33a b =或33a b <3、已知函数2()21f x x =-的图象上一点(1,1)及邻近一点(1+△x ,1+△y )，则yx∆∆等于( ) A ．4B ．42x +∆C ．4x +∆D ．24()x x ∆+∆4、复数iz -=12，则复数z 的模是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．22 5、曲线2x y =和曲线x y =2围成的图形面积是（ ） A ．31B ．32C ．1D ．34 6、已知()()201f x x xf '=--，则f(2017)的值为（ ） A ．2013×2015 B ．2014×2016C ．2015×2017D ． 2016×20187、函数()21ln 2f x x x =-的图象大致是（ ）8、如果一个棱长为x 正方体的体积在数值上等于V ，表面积在数值上等于S ，且0V S m --≥恒成立，则实数m 的范围是（ ）A ．(－32,－16)B ．[32,16]--C ．(,32]-∞-D ．(,16]-∞-9、在平面几何中有如下结论：正三角形ABC 的内切圆面积为1S ，外接圆面积为2S ，则1214S S =，推广到空间中可以得到类似结论：已知正四面体P ABC -的内切球体积为1V ，外接球体积为2V ，则12V V =（ ）A ．18B ．19C ．164D ．12710、设函数f (x )的导函数为f ′(x )， 对任意x∈R 都有f (x )> f ′(x )成立， 则（ ）A ．3f (ln2)＜2 f (ln3)B ．3 f (ln2)＝2 f (ln3)C ．3 f (ln2)＞2 f (ln3)D ．3 f (ln2)与2 f (ln3) 的大小不确定11、函数2()(0,0)f x ax bx a b =+>>在点(1,(1))f 处的切线的斜率2，则8a bab+ 的最小值是（ ） A ．9B ．10C ．16D ．2512、如图是二次函数f (x ) ＝ x 2－bx ＋a 的部分图象，则函数g (x ) ＝ e x＋ f ′(x )的零点所在的区间是( )A ．（0，1）B ．（1，2）C ．（2，3）D ．（3，4）第Ⅱ卷 非选择题（共90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13、曲线323y x x =-+在点(1,2)处的切线方程为 ．14、=-⎰dx x x 1)2(__________.15、从{1，2，3，4，5}中随机选取一个数为a ，从{1，2，3}中随机选取一个数为b ，则使得b≠a 的不同取法共有 种．16、已知任何一个三次函数f (x ) ＝ a x 3＋bx 2＋cx ＋d （a ≠0）都有对称中心M （x 0，f (x 0)），记函数f (x )的导函数为f ′(x )，f ′(x )的导函数为f ″(x )，则有f ″(x 0)=0，若函数f (x ) ＝ x 3－3x 2，则f (12016)＋f (22016)＋f (32016)＋…＋f (40312016)＝ .三、解答题(本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17、（本小题满分10分）设复数Z ＝(m 2+2m －3)＋(m －1)i ，试求m 取何值时， （1）Z 是实数； （2）Z 是纯虚数；（3）Z 对应的点位于复平面的第一象限．18、（本小题满分12分）已知函数)()(23R a x ax x f ∈+=在34-=x 处取得极值． （1）确定a 的值；（2）若xe xf xg )()(=，求出函数e x f x g )()(=的单调区间．19、（本小题满分12分）在三棱柱111C B A ABC -中，侧面11A ABB 为矩形，2=AB ，221=AA ，D 是1AA 的中点，BD 与1AB 交于点O ，且CO ⊥平面11A ABB ． （1）证明：1AB BC ⊥；（2）若OA OC =，求直线CD 与平面ABC 所成角的正弦值．20、（本小题满分12分）如图，相距14km 的两个居民小区M 和N 位于河岸l （直线）的同侧，M 和N 距离河岸分别为10km 和8km ．现要在河的小区一侧选一地点P ，在P 处建一个生活污水处理站，从P 排直线水管PM ，PN 分别到两个小区和垂直于河岸的水管PQ ，使小区污水经处理后排入河道．设PQ 段长为t km （0<t <8）．（1）求污水处理站P 到两小区的水管的总长最小值（用t 表示）；（2）请确定污水处理站P 的位置，使所排三段水管的总长最小，并求出此时污水处理 站分别到两小区水管的长度．21、（本小题满分12分）已知函数()(),2ln mf x mxg x x x=-=． （1）当1m =时，判断方程()()f x g x =在区间()1,+∞上有无实根； （2）若(]1,x e ∈时，不等式()()2f x g x -<恒成立，求实数m 的取值范围．22、（本小题满分12分）已知函数12()ln .x xe f x e x x-=+ （1）求曲线()y f x =在1x =处的切线方程； （2）证明：()1f x >．l河Q P NM2015—2016学年度第二学期 高二年级数学(理科)段考试题参考答案 第Ⅰ卷 选择题（共60分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 CDBBADBCDCAA第Ⅱ卷 非选择题（共90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13、013=--y x 14 、4π15、12 16、－8062 三、解答题(本大题共6个小题，共70分)17、解：（1）由m-1=0得m=1，即m=1时Z 是实数． ……………………………… 2´（2）由 2102230m m m -≠⎧⎨+-=⎩（）由 ………………………………………………… 4´解得m=-3，即m=-3时Z 是纯虚数． …………………………………… 6´（3）由223010m m m ⎧+->⎨->⎩ ………………………………………… 8´解得m>1，即m>1时Z 对应的点位于复平面的第一象限．………… 10´18、解：（1）x ax x f 23)(2+='， …………………………………………………… 1´因为f （x ）在34-=x 处取得极值，所以0)34(=-'f ， ……………… 2´ 即038316)34(29163=-=-⨯+⨯a a ，得21=a ． …………………… 4´ （2）由（1）得x e x x x g )21()(23+=， ……………………………… 5´故x x x x e x x x e x x x e x x e x x x g )4)(1(21)22521()21()223()(23232++=++=+++='，x x x e x x x e x x x e x )4)(1(21)22521()232++=++=+ ……………………………………7´当0)(>'x g 时，即－4＜x ＜－1，或x >0，g (x )在对应区间为增函数；…………………………………… 9´当0)(<'x g 时，即x ＜－4，或－1＜x ＜0，g (x )在对应区间为减函数．………………………………………11´综上可知g (x )在区间（－4，－1）和),0(+∞上为增函数；在区间)4,(--∞和（－1，0）上为减函数． …………………… 12´ （本题如用列表法解答自行参照给分） 19、解：（1）由题意22tan ==∠AB AD ABD ， …………………… 1´ 22tan 11==∠BB AB B AB ， …………………… 2´ 又2,01π<∠∠<B AB ABD ，∴B AB ABD 1∠=∠，∴2111π=∠+∠=∠+∠BAB ABD BAB B AB ， …………………… 3´∴2π=∠AOB ，∴BD AB ⊥1． …………………… 4´又⊥CO 平面11A ABB ，∴CO AB ⊥1， ……………………5´ ∵BD 与CO 交于点O ，∴⊥1AB 平面CBD ，又BC ⊂平面CBD ，∴BC AB ⊥1． …………………… 6´ （2）如图，分别以OD ，1OB ，OC 所在直线为z y x ,,轴，以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系xyz O -，…………7´ 则)0,332,0(-A ，)0,0,362(-B ， )332,0,0(C ，)0,0,36(D ，)0,332,362(-=AB ，)332,332,0(=AC ，)332,0,36(-=CD ， ……………………9´设平面ABC 的法向量为),,(z y x n =，则 ⎪⎩⎪⎨⎧==00AC n AB n ，即 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+-03323320332362x y y x ， …………………… 10´ 令1=y ，则1-=z ，22=x ，所以)1,1,22(-=n ，…………………… 11´ 设直线CD 与平面ABC 所成角为α，则2102)1,1,22()332,0,36(,cos sin ⋅-⋅-=⋅>=<=nCD α()5155133202236=-⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⨯=所以直线CD 与平面ABC 所成角的正弦值为515． ……………… 12´ （本题用传统方法解答参照给分）20、解：（此题解答虽然建系，但不建系求解一样给分）（1）如图，以河岸l 所在直线为x 轴，以过M 垂直于l 的直线为y 轴建立直角坐标系，则可得点(0, 10)M ，由MN=14可以求得点(83, 8)N …………… 2´ 设点(,)P s t ，过P 作平行于x 轴的直线m ， 作N 关于m 的对称点N '，则(83, 28)N t '-． ……… 3´ 所以PM PN PM PN MN ''+=+≥ … 4´22(830)(12810)t -+--2218129 (08)t t t =-+<< … 6´（2）设三段水管总长为L ，则由（1）知L PM PN PQ MN PQ '=+++≥2218129 (08)t t t t =+-+<<，…………… 7´N 'my xOl河QP N M()2218118129t L t t t-'=+-+ …………………………………………… 8´ 令()2218118129t L t t t-'=+-+=0， 则有218650t t-+=，∴ t=5 或 t=13（舍） …………………………………… 9´ ∵ 0＜t ＜5时，()L t '＜0, ∵5＜t ＜8 时，()L t '＞0∴ t =5为极小值点，也为最小值点，所以L 的最小值为21，此时对应的5(0, 8)t =∈． …………………… 10´ 故(83, 2)N '，MN '方程为3103y x =-，令5y =得53x =，即(53, 5)P ． 从而22(53)(510)10PM =+-=，22(5383)(58)6PN =-+-=．答：满足题意的P 点距河岸5km ，距小区M 到河岸的垂线53km ，此时污水处理站到小区M 和N 的水管长度分别为10km 和6km ． …………………… 12´21、解：（1）1m =时，令()()()12ln h x f x g x x x x=-=--， …………………… 1´ ()()222112'10x h x x x x-=+-=≥． …………………… 3´ ∴()h x 在()0,+∞上为增函数． …………………… 4´ 又()10h =，所以()()f x g x =在()1,+∞上无实根．…………………… 5´ （2）2ln 2mmx x x--<恒成立， 即()2122ln m x x x x -<+恒成立， …………………… 6´又210x ->，则当(]1,x e ∈时，222ln 1x x xm x +<-恒成立， …………………… 7´令()222ln 1x x xG x x +<-， 只需m 小于()G x 的最小值，()()()222ln ln 2'1x x x G x x-++<-， …… 8´∵1x e <≤，∴ln 0x >． ……………………9´ ∴当(]1,x e ∈时()'0G x <，∴()G x 在(]1,e 上单调递减， ………10´ ∴()G x 在(]1,e 的最小值为()241eG e e =-． ……………………11´ 则m 的取值范围是24,1e e ⎛⎫-∞ ⎪-⎝⎭． …………………… 12´22、（1）解：函数f （x ）的定义域为（0，＋∞）， ………………………………… 1´11'222()ln x x x xe xe ef x e x x x ---=++ ………………………… 3´ 由题意可得f （1）＝2，f ′（1）＝e ，故曲线()y f x =在1x =处的切线方程为(1)2y e x =-+； ……… 5´（2）证明：由（1）知，f （x ）＝e xln x ＋xe x －12，从而()1f x >等价于2ln xx x xe e ->-． …………………… 7´设函数g （x ）＝x ln x ，则g ′（x ）＝1＋ln x ， …………………… 8´ 所以当x ∈1(0,)e时，g ′（x ）< 0； 当x ∈1(,)e+∞时，g ′（x ）> 0.故g （x ）在1(0,)e 上单调递减，在1(,)e+∞上单调递增，从而g （x ）在（0，＋∞）上的最小值为g 1()e ＝－1e．………… 10´设函数h（x）＝x e－x－2e，则h′（x）＝e－x（1－x）．所以当x∈（0，1）时，h′（x）>0；当x∈（1，＋∞）时，h′（x）<0.故h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，＋∞）上单调递减，从而h（x）在（0，＋∞）上的最大值为h（1）＝－1e．因为g min（x）＝g1()e＝h（1）＝h max（x），所以当x>0时，g（x）>h（x），即f（x）>1. ……………………12´。
海南省海南中学高二数学下学期期中试题 文 新人教A版(1)
海南中学2013—2014学年度第二学期段考 高二文科数学（选修1-2, 选修4-4）试题第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．(1)根据下面的结构图，总经理的直接下属是(A)总工程师、专家办公室和开发部 (B)开发部(C)总工程师和专家办公室 (D)总工程师、专家办公室和所有七个部 (2)已知回归直线方程21y x =-，当1x 与2x 之间相差10时，1y 与2y 之间相差(A)10 (B)2 (C)20 (D)19 (3)分类变量X 和Y 的列联表如下，则1Y2Y合计 1Xab a b +2Xcd c d +合计a c +b d + a bcd +++(A)ad bc -越小，说明X 与Y 的关系越弱 (B)ad bc -越大，说明X 与Y 的关系越强(C)2()ad bc -越大，说明X 与Y 的关系越强 (D)2()ad bc -越接近0，说明X 与Y 关系越强(4)复数11i +的虚部是(A)12i - (B)-1 (C)12- (D)1(5)在同一坐标系中，将曲线x y 3sin 2=变为曲线x y sin =的伸缩变换是⎪⎩⎪⎨⎧==''213)(y y x x A ⎪⎩⎪⎨⎧==y y xx B 213)('' ⎪⎩⎪⎨⎧==''23)(y y x x C ⎪⎩⎪⎨⎧==y y x x D 23)('' (6)类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质，可推出空间下列结论：①垂直于同一条直线的两条直线互相平行 ②垂直于同一个平面的两条直线互相平行 ③垂直于同一条直线的两个平面互相平行 ④垂直于同一个平面的两个平面互相平行。
则正确的结论是 (A)①② (B)②③ (C)③④ (D)①④(7)用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60o”时，反设正确的是 (A)假设三内角都大于60o； (B)假设三内角都不大于60o ；(C)假设三内角至多有一个大于60o； (D)假设三内角至多有两个大于60o。
海南省文昌中学2014-2015学年高二下学期期中段考数学(理)试卷Word版含答案
2014—2015学年度第二学期高二年级数学(理科)段考试题（时间：120分钟，满分：150分）第Ⅰ卷 选择题（共60分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．曲线1=x －xe y 在点(1，1)处切线的斜率等于( ) A ．2eB ．eC ．2D ．12．已知复数z 1＝2＋i ，z 2＝1＋i ，则 z 1z 2在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．用数学归纳法证明1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n ＋1>1(n ∈N ＋)时，在验证n ＝1时，左边的代数式为( ) A ．12＋13＋14B ．12＋13C ．12D ．14．函数y ＝x 3－3x 2－9x (－2<x <2)有( ) A ．极大值5，极小值－27B ．极大值5，极小值－11C ．极小值－27，无极大值D ．极大值5，无极小值5．若 ⎝⎛⎭⎫2x ＋1x d x ＝3＋ln 2且a >1，则实数a 的值是( ) A ．2B ．3C ．5D ．66．设)∈( )3(log +)33(log =222R m m －i m －－m z ，若z 对应点在直线0=1+2y x －上，则m 的值是( ) A ．±15B ．15C ．－15D ．157．数列{a n }中，若a 1＝12，a n ＝11－a n －1，(n ≥2，n ∈N)，则a 11的值为( )A ．－1B ．12C ．1D ．28．若关于x 的方程330x x m -+=在[02]，上有根，则实数m 的取值范围是( ) A ．[22]-， B ．[02]， C ．[20]-，D ．(2)(2)-∞-+∞，，9．定义复数的一种运算z 1* z 2＝|z 1|＋| z 2 |2(等式右边为普通运算)，若复数z ＝a ＋b i ，z 为z 的共轭复数，且正实数a ，b 满足a ＋b ＝3，则z *z 的最小值为( ) A ．92B ．322C ．32D ．9410. 已知函数32()f x x bx cx =++的图象如图所示，则2221x x +等于( )A ．38B ．34 C ．32D ．316 11．设△ABC 的三边长分别为,,,c b a △ABC 的面积为S ，内切圆半径为r ，则cb a Sr ++=2.类比这个结论可知：四面体ABC P -的四个面的面积分别为,1S ,2S ,3S ,4S 内切球的半径为r ，四面体ABC P -的体积为V ，则r ＝( ) A ．VS 1＋S 2＋S 3＋S 4B ．2VS 1＋S 2＋S 3＋S 4C ．3VS 1＋S 2＋S 3＋S 4D ．4VS 1＋S 2＋S 3＋S 412．对于三次函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠，给出定义：设()f x '是函数y=f(x)的导数，()f x ''是()f x '的导数，若方程()0f x ''=有实数解0x ，则称点00(,())x f x 为函数 )(=x f y 的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个 三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．20142015g(++( )A ．2014B ．2013CD ．1007第Ⅱ卷 非选择题（共90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．已知复平面上的正方形的三个顶点对应的复数分别为12,2,12i i i +-+--，那么第四个顶点对应的复数是 ．14．如下图，在边长为e(e 为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为________．（第14题） （第15题）15．如上图，将全体正奇数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第45行从左向右的第17个数为________．16．已知函数f (x )＝ax 2－1的图象在点A (1，f (1))处的切线l 与直线8x －y ＋2＝0平行，若数列{1f (n )}的前n 项和为S n ，则S 2 012的值为_________.三、解答题(本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．（本小题满分10分）设复数z 满足|z |＝1且(3＋4i)z 是纯虚数，求复数z .18．(本小题满分12分）已知a <2，函数f (x )＝(x 2＋ax ＋a )e x . （1）当a ＝1时，求f (x )的单调递增区间； （2）若f (x )的极大值是6·e －2，求a 的值．19.（本小题满分12分）（1）若x ，y 都是正实数，且x ＋y ＞2，求证：1＋x y ＜2和1＋y x＜2中至少有一个成立（2）已知a 、b 、c ∈R ＋，求证：a 2＋b 2＋c 23≥a ＋b ＋c3.20．(本小题满分12分)设函数f (x )＝a3x 3＋bx 2＋cx ＋d (a >0)，且方程)(′x f －9x ＝0的两根分别为1,4.（1）当a ＝3，且曲线y ＝f (x )过原点时，求f (x )的解析式；（2）若f (x )在(－∞，＋∞)内无极值点，求a 的取值范围．21．(本小题满分12分)已知数列{a n }满足S n ＋a n ＝2n ＋1.（1）写出a 1，a 2，a 3，并推测a n 的表达式； （2）用数学归纳法证明所得的结论．22．(本小题满分12分)设函数xxx g ln =)(，－x g x f )(=)(ax . （Ⅰ）若函数)(x f 在区间（1，+∞）上是减函数，求实数a 的最小值；（Ⅱ）若存在1x ，2x ∈［e ，2e ］（e 是自然数底数），使)(x f ≤a x f +)(′，求实数a 的取值范围.2014—2015学年度第二学期高二年级数学(理科)段考试题参考答案第Ⅰ卷 选择题（共60分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)第Ⅱ卷 非选择题（共90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13. i -2 14.2e 2 15. 2013 16. 2 0124 025三、解答题(本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．解：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，由|z |＝1，得a 2＋b 2＝1.① …………………………2分(3＋4i)z ＝(3＋4i)(a ＋b i)＝3a －4b ＋(4a ＋3b )i 是纯虚数，则3a －4b ＝0. ② ………………………………………………………6分联立①②解得a ＝45，b ＝35或a ＝－45，b ＝－35.……………………………………8分所以z ＝45＋35i 或z ＝－45－35i. …………………………………………………10分18．解：（1）当a ＝1时，f (x )＝(x 2＋x ＋1)e x ， ∴()f x '＝(x 2＋3x ＋2)e x .由()f x '≥0，得x 2＋3x ＋2≥0，解得x ≤－2或x ≥－1.∴f (x )的单调递增区间是(－∞，－2]，[－1，＋∞) …………………5分（2）()f x '＝[x 2＋(a ＋2)x ＋2a ]e x .由()f x '＝0，得x ＝－2或x ＝－a .∵a <2，∴－ a >－2. (7)分当x 变化时，f ′(x )，f (x )变化情况列表如下：∴ x ＝－2时，f (x )取得极大值． ………………………………………………10分 而f (－2)＝(4－a )·e －2，∴(4－a ) e －2＝6·e －2.∴ a ＝ －2. ……………………………………………………………12分19．（1）证明： 假设1＋x y ＜2和1＋y x ＜2都不成立，即1＋x y ≥2和1＋yx≥2同时成立． (2)分∵x ＞0且y ＞0，∴1＋x ≥2y ，且1＋y ≥2x . ……………………4分 两式相加得2＋x ＋y ≥2x ＋2y ，∴x ＋y ≤2. 这与已知条件x ＋y ＞2矛盾，∴1＋x y ＜2和1＋yx＜2中至少有一个成立． …………………………6分（2）证明：要证a 2＋b 2＋c 23≥a ＋b ＋c3， 只需证：a 2＋b 2＋c 23≥⎝⎛⎭⎫a ＋b ＋c 32， ……………………………………7分 只需证：3(a 2＋b 2＋c 2)≥a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ， ………………9分 只需证：2(a 2＋b 2＋c 2)≥2ab ＋2bc ＋2ca ， …………………………10分 只需证：(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2≥0，而这是显然成立的， 所以a 2＋b 2＋c 23≥a ＋b ＋c3成立 ……………………………………12分20．解：由f (x )＝a3x 3＋bx 2＋cx ＋d ，得()f x '＝ax 2＋2bx ＋c ，∵()f x '－9x ＝ax 2＋2bx ＋c －9x ＝0的两根分别为1,4，∴a ＋2b ＋c －9＝0，16a ＋8b ＋c －36＝0，(*) ………………………………………………3分（1）当a ＝3时，由(*)得2b ＋c －6＝0，8b ＋c ＋12＝0，解得b ＝－3，c ＝12. …………………………………………………………5分 又∵曲线y ＝f (x )过原点，∴d ＝0.故f (x )＝x 3－3x 2＋12x . . …………………………………………………………6分（2）由于a >0，所以“f (x )＝a3x 3＋bx 2＋cx ＋d 在(－∞，＋∞)内无极值点”，等价于“()f x '＝ax 2＋2bx ＋c ≥0在(－∞，＋∞)内恒成立”． …………………………7分由(*)式得2b ＝9－5a ，c ＝4a .又Δ＝(2b )2－4ac ＝9(a －1)(a －9)， ………………………………………………10分解a >0，Δ＝9(a －1)(a －9)≤0，得a ∈[1,9]， ……………………………………12分21．解：（1）由S n ＋a n ＝2n ＋1，当n ＝1时，S 1＝a 1，∴a 1＋a 1＝2×1＋1，得a 1＝32 …………………2分当n ＝2时，S 2＝a 1＋a 2，则a 1＋a 2＋a 2＝5，将a 1＝32代入得a 2＝74 …………………………3分同理可得a 3＝158 ……………………………………………………4分∴a n ＝2n ＋1－12n＝2－12n …………………………………………………6分 （2）证明：当n ＝1时，结论成立．假设n ＝k 时，命题成立，即a k ＝2－12k ； …………………………7分当n ＝k ＋1时，S n ＋a n ＝2n ＋1，则a 1＋a 2＋…＋a k ＋2a k ＋1＝2(k ＋1)＋1. ∵a 1＋a 2＋…＋a k ＝2k ＋1－a k ， ∴2a k ＋1＝4－12k ，a k ＋1＝2－12k ＋1成立．∴当n ＝k ＋1时，结论也成立．∴根据上述知对于任意自然数n ∈N *，结论成立．……………………12分22．解：（Ⅰ）若函数)(x f 在区间（1，+∞）是减函数，则 )(′x g ＝－xx －2ln 1ln a ≤ 0在区间（1，+∞）上恒成立. ………………2分 令)(x h ＝xx －2ln 1ln ＝x ln 1－(x ln 1)2＝－(x ln 1－21)2＋41≤41∴a ≥41，a ＝41…………………………………………………………4分 （Ⅱ）存在1x ，2x ∈［e ，2e ］，使)(x f ≤a x f +)(′，即有min )(x f ＜a x f +)(′max ………………………………………………5分∵a x f +)(′＝xx －2ln 1ln ，由（Ⅰ）知2)(ln 1ln x x －∈［0，41］ ……………6分①当a ≥41时，)(′x f ≤0在［e ，2e ］上恒成立， 因此，)(x f 在［e ，2e ］上为减函数，则min )(x f ＝)(2e f ＝22e －2ae ≤41，故a ≥21－241e …………8分②当a ≤0时，)(′x f ＞0在［e ，2e ］上恒成立， 因此，)(x f 在［e ，2e ］上为增函数，则 min )(x f ＝)(e f ＝e －ae ＞41不合题意. …………………………9分 ③当0＜a ＜41时， 由于)(′x f ＝－(x ln 1)2＋xln 1－a 在［e ，2e ］上为增函数， 所以)(′x f 的值域为［－a ，41－a ］. 由)(′x f 的单调性和值域知：存在唯一0x ∈［e ，2e ］，使)(′x f ＝0所以min )(x f ＝)(0x f ＝00ln x x －0ax ≤41，a ≥0ln 1x －041x ＞2ln 1e －241e ＞41与0＜a ＜41相矛盾。
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2014—2015学年度第二学期高二年级数学(文科)段考试题完成时间：120分钟 满分：150分第Ⅰ卷 选择题（共60分）附：参考公式：1. 回归系数 b ＝∑i ＝1nx i y i －n x －y－∑i ＝1nx 2i －n x －2， a ＝ y －－b x －2. 附：K 2＝ n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，下列每小题有且只有一个正确答案，请把正确答案的代号，涂在答题卡上）1．“a ＝0”是“复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )为纯虚数”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2. 四名同学根据各自的样本数据研究变量x ，y 之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：① y 与x 负相关且y ^＝2.347x －6.423； ② y 与x 负相关且y ^＝－3.476x ＋5.648； ③ y 与x 正相关且y ^＝5.437x ＋8.493； ④ y 与x 正相关且y ^＝－4.326x －4.578.其中一定不正确的结论的序号是( ) A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④3. 二维空间中圆的一维测度(周长)l ＝2πr ，二维测度(面积)S ＝πr 2，观察发现S ′＝l ；三维空间中球的二维测度(表面积)S ＝4πr 2，三维测度(体积)V ＝43πr 3，观察发现V ′＝S .则由四维空间中“超球”的三维测度V ＝8πr 3，猜想其四维测度W ＝（ ） A ．4πr 4B ．4πr 2C ．2πr 4D ．πr 44. 若1＋2a i ＝(1－b i)i ，其中a 、b ∈R ，i 是虚数单位，则 |a ＋b i|＝( ) A ．12＋iB ． 5C ．52D ．545. 已知f 1(x )＝sin x ，f 2(x )＝f 1′(x )，f 3(x )＝f 2′(x )，f 4(x )＝f 3′(x )，…，f n (x )＝f n －1′(x )，则f 2015(x )等于( ) A ．cosx B ．－cosxC ．sinxD ．－sinx6. 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序， 则输出n 的值为( ) A ．7 B ．6 C ．5 D ．47．观察数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4，…的特点，则 第100项为( ) A ．10B ．14C ．13D ．1008．下面用“三段论”形式写出的演绎推理：因为指数函数y ＝a x (a >0且a ≠1)在(0，＋∞)上是增函数，y ＝(12)x 是指数函数，所以y ＝(12)x 在(0，＋∞)上是增函数．该结论显然是错误的，其原因是( ) A ．大前提错误 B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．以上都可能9．已知复数z ＝ii i i i i ++++++19432 ，(i 为虚数单位),则复数z 在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限10．设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)的右焦点与抛物线y 2＝8x 的焦点相同，离心率为12，则此椭圆的方程为( ) A ．x 212＋y 216＝1B ．x 216＋y 212＝1C ．x 248＋y 264＝1D ．x 264＋y 248＝111．设F 1、F 2分别是双曲线x 25－y 24＝1的左右焦点。
若P 点在双曲线上，且PF 1→·PF 2→＝0，|PF 1→＋PF 2→|等于( ) A ．6B ．8C ．10D ．1212．函数f (x )＝x 2x －1( )．A ．在(0，2)上单调递减B ．在(－∞，0)和(2，＋∞)上单调递增（第6题）C ．在(0，2)上单调递增D ．在(－∞，0)和(2，＋∞)上单调递减第Ⅱ卷 非选择题（共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案写在答卷上）13．若复数z ＝2－i1＋2i，则复数z 的虚部为__________． 14．在2015年春节期间，某市物价部门，对本市五个商场销售的某商品一天的销售量及其价格进行调查，五个商场的售价x 元和销售量y 件之间的一组数据如下表所示：通过分析，发现销售量y 对商品的价格x 具有线性相关关系，且b ^＝－3.2，则销售量y 对商品的价格x 的回归直线方程为______ __．15．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc ，则对复数z 符合条件⎪⎪⎪⎪⎪⎪z 1z 2i ＝3＋2i 的复数z等于__________．16．已知点A (x 1，x 21)，B (x 2，x 22)是抛物线y ＝x 2上任意不同的两点，线段AB 总是位于A ，B两点之间函数图象的上方，因此有结论x 21＋x 222>⎝⎛⎭⎫x 1＋x 222成立，运用类比的方法可知，若点A (x 1，sin x 1)，B (x 2，sin x 2)是函数y ＝sin x (x ∈(0，π))图象上不同的两点，线段AB 总是位于A ，B 两点之间函数y ＝sin x (x ∈(0，π))图象的下方，则类似地有结论 ．三、解答题（本大题共6小题，满分70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）。
17．（本小题满分10分）在2008年北京奥运会上，游泳项目的世界记录在水立方屡屡被打破，充满了神奇色彩．据有些媒体的报道，这可能与运动员身上的新式泳衣有关系．为此有人进行了调查统计，对某游泳队的96名运动员的成绩进行了调查，其中使用新式泳衣成绩提高的有12人，没有提高的有36人；没有使用新式泳衣成绩提高的有8人，没有提高的有40人．请根据该游泳队的成绩判断：成绩提高与使用新式泳衣是否有关系？18．（本小题满分12分）已知1＋i 是实系数方程x 2＋ax ＋b ＝0的一个根.（1）求a ，b 的值；（2）试判断1－i 是否也是这个方程的根．19．（本小题满分12分）设S n ＝11×2＋12×3＋13×4＋…＋1n ×(n ＋1)，求出S 1，S 2，S 3，S 4的值，归纳并猜想出结果．并证明所猜想出结果的正确性。
20. (本小题满分12分) 设w ＝－12＋32i ， i 为虚数单位，（1）求证：1＋w ＋w 2＝0；（2）计算：(1＋w －w 2)(1－w ＋w 2)．21． (本小题满分12分) 已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个顶点为A (0，1)，离心率为22，过点B (0，－2)及左焦点F 1的直线交椭圆于C ，D 两点，右焦点设为F 2. （1）求椭圆的方程； （2）求△CDF 2的面积．22. (本小题满分12分) 已知函数f (x )＝13x 3＋12(a －1)x 2＋bx (a ，b 为常数)在x ＝1和x ＝4处取得极值．（1）求函数f (x )的解析式；（2）当x ∈[－2,2]时，都有2f (x )<－5x +c ，求c 的取值范围．2014—2015学年度第二学期高二年级数学(文科)段考试题参考答案第Ⅰ卷 选择题（共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）第Ⅱ卷 非选择题（共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．－1 14．y ^＝－3.2x ＋40 15．15 － 85i 16．sin x 1＋sin x 22<sin x 1＋x 22三、解答题（本大题共6小题，满分70分）17. 解：假设成绩提高与使用新式泳衣没有关系．则 ……………………………………2分根据给出的数据可以列出下列2×2列联表：5分 于是K 2＝96×(12×40－36×8)248×48×20×76≈1.011，由于1.011＜2.706， ………………8分所以我们没有理由认为成绩提高与使用新式泳衣有关系． ……………………10分18．解：（1）∵1＋i 是方程x 2＋ax ＋b ＝0的根，∴(1＋i)2＋a (1＋i)＋b ＝0，即(a ＋b )＋(a ＋2)i ＝0， ∴a ＋b ＝0，a ＋2＝0，∴a ＝－2，b ＝2.∴a ，b 的值分别为a ＝－2，b ＝2. (6)分（2）方程为x 2－2x ＋2＝0，把1－i 代入方程左边＝(1－i)2－2(1－i)＋2＝－2i －2＋2i ＋2＝0显然方程成立．∴1－i 也是方程的一个根． ………………………………………………12分（注：第（2）的小问的证明不唯一，如用求根公式求根方法）19．解：当n ＝1,2,3,4时，计算得原式的值分别为：S 1＝12，S 2＝23，S 3＝34，S 4＝45. …………………………………………………4分观察这4个结果都是分数，每个分数的分子与项数对应，且分子比分母恰好小1. 归纳猜想：S n ＝nn ＋1. …………………………………………………………7分 证明 ∵11×2＝1－12，12×3＝12－13，…，1n ×(n ＋1)＝1n －1n ＋1.∴S n ＝1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1. ………………………………………………12分（注：证明方法不唯一）20．解：(1) 证明：∵w ＝－12＋32i ，∴w 2＝(－12＋32i)2＝14＋2(－12)(32i)＋(32i)2＝14－32i －34＝－12－32i. ∴1＋w ＋w 2＝1－12＋32i －12－32i ＝0.。
(6分)(2) 由1＋w ＋w 2＝0知，(w －1)(1＋w ＋w 2)＝0， ∴w 3－1＝0，∴w 3＝1.∴(1＋w －w 2)(1－w ＋w 2)＝(－2w 2)(－2w )＝4w 3＝4 ……………………(12分)（注：第（2）的小问的解法不唯一）21．解：(1) 由题设知b=1，a c =22，由于b 2=a 2－c 2，得 a 2=2 b 2=1 c 2=1所以椭圆方程为x 22＋y 2＝1. ………………………………………………4分(2) ∵F 1(－1，0)，∴直线BF 1的方程为y ＝－2x －2，由y ＝－2x －2，x 22＋y 2＝1，得9x 2＋16x ＋6＝0. ……………………………………7分 ∵Δ＝162－4×9×6＝40>0， 所以直线与椭圆有两个公共点，设为C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－169，x 1·x 2＝23，…………………………8分 ∴|CD |＝1＋（－2）2|x 1－x 2|＝5·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝5·（－169）2－4×23＝1092 ……………………………10分又点F 2到直线BF 1的距离d ＝455 ……………………………………11分故S △CDF 2＝12|CD |·d ＝4910. ………………………………………12分22．解析：(1) f ′(x )＝x 2＋(a －1)x ＋b . ……………………………………………1分由题设知f ′(1)＝1＋(a －1)＋b ＝0，f ′(4)＝16＋4(a －1)＋b ＝0，…………………………3分解得a ＝－4，b ＝4.所以f (x )＝13x 3－52x 2＋4x ……………………6分(2) 由题设知2f (x )<－5x +c 即c > 23x 3－5x 2＋13x . ………………8分设Q (x )＝23x 3－5x 2＋13x ，x ∈[－2,2]，所以c 只要大于Q (x )的最大值即可．Q ′(x )＝2x 2－10x ＋13，当x ∈(－2,2)时Q ′(x )>0.所以Q (x )max ＝Q (2)＝343，所以c > 343. …………………………12分。