同济高等数学第三章第一节课件
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欲证: x ( x1 , x2 ) , 使 f (x ) f (x ) = 0
只要证
亦即
ex f (x ) ex f (x ) = 0
[ e x f ( x ) ]
x =x
=0
作辅助函数 F ( x) = e x f ( x ) , 验证 F ( x ) 在 [ x1 , x2 ]上满足
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拉格朗日中值定理 如果函数f(x)在闭区间[a b]上连续 在开区间(a b)内 可导 那么在(a b)内至少有一点x 使得 f(b)f(a)=f (x)(ba) •拉格朗日中值公式 f(b)f(a)=f (x)(ba) f(xDx)f(x)=f (xqDx)Dx (0<q<1) Dy=f (xqDx)Dx (0<q<1) 定理 如果函数f(x)在区间I上的导数恒为零 那么f(x)在区 间I上是一个常数 >>>
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罗尔定理 如果函数y=f(x)在闭区间[a b]上连续 在开区间(a b) 内可导 且有f(a)=f(b) 那么至少存在一点x(a b) 使得 f (x)=0 简要证明
(1)若f(x)是常函数 则f (x)0 定理的结论显然是成 立的
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f (b) f (a) F ( x) f ( x) 证: 作辅助函数 j ( x) = F (b) F (a) 则j ( x) 在[a, b] 上连续, 在 (a, b)内可导, 且 f (b) F (a) f (a) F (b) j (a) = = j (b) F (b) F (a) 使 由罗尔定理知, 至少存在一点 即 f (b) f (a ) f (x ) = . F (b) F (a ) F (x ) 思考: 柯西定理的下述证法对吗 ? f (b) f (a) = f (x )(b a) , x (a , b) 两个 x 不 F (b) F (a) = F (x )(b a) , x (a , b) 一定相同 上面两式相比即得结论. 错!
1 由于 f (0)=0 f (x) = 因此上式即为 1 x ln(1 x) = x 1x 又由0<x<x 有 x < ln(1 x) < x 1 x
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例4. (p132 6)证明等式
证: 设
由推论可知 令x=0,得
(常数)
又
故所证等式在定义域
上成立.
柯西中值定理 函数f(x)及F(x)在闭区间[a b]上连续 在开区间(a b) 内可导 且F (x)在(a b)内恒不为零 那么在(a b)内至少 有一点x 使得 f (b) f (a) f (x ) ———柯西中值公式 = F (b) F (a) F (x ) 显然 如果取F(x)=x 那么F(b)F(a)=ba F (x)=1 因 而柯西中值公式就可以写成 f(b)f(a)=f (x)(ba) (a<x<b) 这样就变成了拉格朗日中值公式了
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x < ln(1 x) < x 1 x 证明 设f(x)=ln(1x) 显然f(x)在区间[0 x]上满足拉格 朗日中值定理的条件 根据定理 就有 f(x)f(0)=f (x)(x0) 0<x<x
例 3 例 2 证明当 x>0 时
f (x) f (x ) 0 x x x x f (x) f (x ) (x ) = lim f (x ) = f 0 x x x x 因此必有f (x)=0 (x ) = lim f (x ) = f
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罗尔定理 如果函数y=f(x)在闭区间[a b]上连续 在开区间(a b) 内可导 且有f(a)=f(b) 那么至少存在一点x(a b) 使得 f (x)=0 应注意的问题： 如果定理的三个条件有一个不满足 则定理的结论 有可能不成立
2) 唯一性 .
f ( x) 在以 x0 , x1 为端点的区间满足罗尔定理条件 , 在 x0 , x1 之间
至少存在一点
假设另有
但
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矛盾, 故假设不真!
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二、拉格朗日中值定理
•观察与思考 设连续光滑的曲线y=f(x)在端点A、B处的纵坐标不 相等 提问： 直线AB的斜率k=? f (x)=? 提示： 直线AB的斜率
f (b) = f (a)
罗尔定理
F ( x) = x f (b) = f (a) F ( x) = x
柯西中值定理
2. 微分中值定理的应用
(1) 证明恒等式
(2) 证明不等式
关键: 利用逆向思维 设辅助函数
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(3) 证明有关中值问题的结论
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思考与练习
1. 设 f ( x) C[ 0 , ], 且在 ( 0 , )内可导, 证明至少存 在一点 x ( 0 , ) , 使 f (x ) = f (x ) cot x .
2. 若 f ( x )可导, 试证在其两个零点间一定有
f ( x ) f ( x ) 的零点.
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1. 设 f ( x) C[ 0 , ], 且在 ( 0 , )内可导, 证明至少存
在一点x ( 0 , ) , 使 f (x ) = f (x ) cot x . 提示: 由结论可知, 只需证
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例1 不求导数 判断函数f(x)=(x1)(x2)(x3)的导数 有几个实根 以及其所在范围 （P132 第5题） 解 f(1)=f(2)=f(3)=0 f(x)在[1 2] [2 3]上满足罗尔定 理的三个条件 在(1 2)内至少存在一点x1 使 f (x1)=0 x1是 f (x)的 一个实根 在(2 3)内至少存在一点x2 使f (x2)=0 x2也是f (x)的 一个实根 f (x)是二次多项式 只能有两个实根 分别在区间 (1 2)及(2 3)内
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罗尔定理 如果函数y=f(x)在闭区间[a b]上连续 在开区间(a b) 内可导 且有f(a)=f(b) 那么至少存在一点x(a b) 使得 f (x)=0 简要证明
(2)若f(x)不是常函数 则f(x)在(a b)内至少有一个最 大值点或最小值点 不妨设有一最大值点x(a b) 于是
罗尔定理条件.
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作业
P132
8, 9
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经验: 欲证 x I 时 f ( x) = C0 , 只需证在 I 上 f ( x) 0,
且 x0 I , 使 f ( x0 ) = C0 . 自证: arctan x arc cot x = , x ( , ) 2
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三、柯西中值定理
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有且仅有一个小于1 的 例2. 证明方程 正实根（类似于 p132 第12题） 证: 1) 存在性 . 5 设 f ( x) = x 5 x 1, 则 f ( x) 在 [0 , 1 ] 连续 , 且 由介值定理知存在 x0 (0 ,1) , 使
f ( x0 ) = 0, 即方程有小于 1 的正根
即 设
f ( x ) sin x x=x
F ( x ) = f ( x ) sin x
=0
验证 F ( x ) 在 [ 0 , ] 上满足罗尔定理条件.
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2. 若 f ( x )可导, 试证在其两个零点间一定有
f ( x ) f ( x ) 的零点.
提示: 设 f ( x1 ) = f ( x2 ) = 0 , x1 < x2 ,
f (b) f (a) k= ba f (b) f (a) f (x)= ba
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拉格朗日中值定理 如果函数f(x)在闭区间[a b]上连续 在开区间(a b)内 可导 那么在(a b)内至少有一点x 使得 f(b)f(a)=f (x)(ba)
证明 使
设 F ( x) = x 2 , 则 f ( x) , F ( x) 在 [0, 1] 上满足柯西中值 定理条件, 因此在 ( 0 , 1 ) 内至少存在一点 x , 使
F (11 )0 F (0)
即
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F (x )
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内容小结
1. 微分中值定理的条件、结论百度文库关系 拉格朗日中值定理
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柯西定理的几何意义:
弦的斜率
切线斜率
x = F (t ) y = f (t )
注意:
y
f (b) f (a)
d y f (t ) = d x F (t )
o F (a)F (x )
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F (b) x
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例5. 设 至少存在一点
证: 结论可变形为
直线AB的斜率
f (b) f (a) k= ba f (b) f (a) f (x)= ba
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拉格朗日中值定理 如果函数f(x)在闭区间[a b]上连续 在开区间(a b)内 可导 那么在(a b)内至少有一点x 使得 f(b)f(a)=f (x)(ba) 简要证明 令j(x)=f (x)f (a) f (b) f (a) (xa) ba 则函数j(x)在区间[a b]上满足罗尔定理的条件 于是至少存在一点x(a b) 使j (x)=0 即
第三章
微分中值定理 与导数的应用
罗尔中值定理 中值定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理 应用
推广
泰勒公式
(第三节)
研究函数性质及曲线性态 利用导数解决实际问题
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§3.1 中值定理
一、罗尔定理 二、拉格朗日中值定理 三、柯西中值定理
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一、罗尔定理
•观察与思考 设连续光滑的曲线 y=f(x) 在端点 A、B 处的纵坐标 相等 提问： f ( x) = ? 提示： f ( x ) =0
由此得
f (b) f (a) =0 j (x)=f (x) ba f(b)f(a)=f (x)(ba)
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拉格朗日中值定理 如果函数f(x)在闭区间[a b]上连续 在开区间(a b)内 可导 那么在(a b)内至少有一点x 使得 f(b)f(a)=f (x)(ba) •拉格朗日中值公式 f(b)f(a)=f (x)(ba) f(xDx)f(x)=f (xqDx)Dx (0<q<1) Dy=f (xqDx)Dx (0<q<1) 注： dy=f (x)Dx是函数增量Dy的近似表达式 f (xqDx)Dx是函数增量Dy 的精确表达式
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分析: F (b) F (a) = F ( )(b a) 0 f (b) f (a) F (x ) f (x ) = 0 要证 F (b) F (a)
a < < b
j (x )
f (b) f (a) j ( x) = F ( x) f ( x) F (b) F (a)
只要证
亦即
ex f (x ) ex f (x ) = 0
[ e x f ( x ) ]
x =x
=0
作辅助函数 F ( x) = e x f ( x ) , 验证 F ( x ) 在 [ x1 , x2 ]上满足
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拉格朗日中值定理 如果函数f(x)在闭区间[a b]上连续 在开区间(a b)内 可导 那么在(a b)内至少有一点x 使得 f(b)f(a)=f (x)(ba) •拉格朗日中值公式 f(b)f(a)=f (x)(ba) f(xDx)f(x)=f (xqDx)Dx (0<q<1) Dy=f (xqDx)Dx (0<q<1) 定理 如果函数f(x)在区间I上的导数恒为零 那么f(x)在区 间I上是一个常数 >>>
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罗尔定理 如果函数y=f(x)在闭区间[a b]上连续 在开区间(a b) 内可导 且有f(a)=f(b) 那么至少存在一点x(a b) 使得 f (x)=0 简要证明
(1)若f(x)是常函数 则f (x)0 定理的结论显然是成 立的
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f (b) f (a) F ( x) f ( x) 证: 作辅助函数 j ( x) = F (b) F (a) 则j ( x) 在[a, b] 上连续, 在 (a, b)内可导, 且 f (b) F (a) f (a) F (b) j (a) = = j (b) F (b) F (a) 使 由罗尔定理知, 至少存在一点 即 f (b) f (a ) f (x ) = . F (b) F (a ) F (x ) 思考: 柯西定理的下述证法对吗 ? f (b) f (a) = f (x )(b a) , x (a , b) 两个 x 不 F (b) F (a) = F (x )(b a) , x (a , b) 一定相同 上面两式相比即得结论. 错!
1 由于 f (0)=0 f (x) = 因此上式即为 1 x ln(1 x) = x 1x 又由0<x<x 有 x < ln(1 x) < x 1 x
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例4. (p132 6)证明等式
证: 设
由推论可知 令x=0,得
(常数)
又
故所证等式在定义域
上成立.
柯西中值定理 函数f(x)及F(x)在闭区间[a b]上连续 在开区间(a b) 内可导 且F (x)在(a b)内恒不为零 那么在(a b)内至少 有一点x 使得 f (b) f (a) f (x ) ———柯西中值公式 = F (b) F (a) F (x ) 显然 如果取F(x)=x 那么F(b)F(a)=ba F (x)=1 因 而柯西中值公式就可以写成 f(b)f(a)=f (x)(ba) (a<x<b) 这样就变成了拉格朗日中值公式了
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x < ln(1 x) < x 1 x 证明 设f(x)=ln(1x) 显然f(x)在区间[0 x]上满足拉格 朗日中值定理的条件 根据定理 就有 f(x)f(0)=f (x)(x0) 0<x<x
例 3 例 2 证明当 x>0 时
f (x) f (x ) 0 x x x x f (x) f (x ) (x ) = lim f (x ) = f 0 x x x x 因此必有f (x)=0 (x ) = lim f (x ) = f
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罗尔定理 如果函数y=f(x)在闭区间[a b]上连续 在开区间(a b) 内可导 且有f(a)=f(b) 那么至少存在一点x(a b) 使得 f (x)=0 应注意的问题： 如果定理的三个条件有一个不满足 则定理的结论 有可能不成立
2) 唯一性 .
f ( x) 在以 x0 , x1 为端点的区间满足罗尔定理条件 , 在 x0 , x1 之间
至少存在一点
假设另有
但
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二、拉格朗日中值定理
•观察与思考 设连续光滑的曲线y=f(x)在端点A、B处的纵坐标不 相等 提问： 直线AB的斜率k=? f (x)=? 提示： 直线AB的斜率
f (b) = f (a)
罗尔定理
F ( x) = x f (b) = f (a) F ( x) = x
柯西中值定理
2. 微分中值定理的应用
(1) 证明恒等式
(2) 证明不等式
关键: 利用逆向思维 设辅助函数
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(3) 证明有关中值问题的结论
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思考与练习
1. 设 f ( x) C[ 0 , ], 且在 ( 0 , )内可导, 证明至少存 在一点 x ( 0 , ) , 使 f (x ) = f (x ) cot x .
2. 若 f ( x )可导, 试证在其两个零点间一定有
f ( x ) f ( x ) 的零点.
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1. 设 f ( x) C[ 0 , ], 且在 ( 0 , )内可导, 证明至少存
在一点x ( 0 , ) , 使 f (x ) = f (x ) cot x . 提示: 由结论可知, 只需证
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例1 不求导数 判断函数f(x)=(x1)(x2)(x3)的导数 有几个实根 以及其所在范围 （P132 第5题） 解 f(1)=f(2)=f(3)=0 f(x)在[1 2] [2 3]上满足罗尔定 理的三个条件 在(1 2)内至少存在一点x1 使 f (x1)=0 x1是 f (x)的 一个实根 在(2 3)内至少存在一点x2 使f (x2)=0 x2也是f (x)的 一个实根 f (x)是二次多项式 只能有两个实根 分别在区间 (1 2)及(2 3)内
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罗尔定理 如果函数y=f(x)在闭区间[a b]上连续 在开区间(a b) 内可导 且有f(a)=f(b) 那么至少存在一点x(a b) 使得 f (x)=0 简要证明
(2)若f(x)不是常函数 则f(x)在(a b)内至少有一个最 大值点或最小值点 不妨设有一最大值点x(a b) 于是
罗尔定理条件.
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经验: 欲证 x I 时 f ( x) = C0 , 只需证在 I 上 f ( x) 0,
且 x0 I , 使 f ( x0 ) = C0 . 自证: arctan x arc cot x = , x ( , ) 2
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三、柯西中值定理
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有且仅有一个小于1 的 例2. 证明方程 正实根（类似于 p132 第12题） 证: 1) 存在性 . 5 设 f ( x) = x 5 x 1, 则 f ( x) 在 [0 , 1 ] 连续 , 且 由介值定理知存在 x0 (0 ,1) , 使
f ( x0 ) = 0, 即方程有小于 1 的正根
即 设
f ( x ) sin x x=x
F ( x ) = f ( x ) sin x
=0
验证 F ( x ) 在 [ 0 , ] 上满足罗尔定理条件.
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2. 若 f ( x )可导, 试证在其两个零点间一定有
f ( x ) f ( x ) 的零点.
提示: 设 f ( x1 ) = f ( x2 ) = 0 , x1 < x2 ,
f (b) f (a) k= ba f (b) f (a) f (x)= ba
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拉格朗日中值定理 如果函数f(x)在闭区间[a b]上连续 在开区间(a b)内 可导 那么在(a b)内至少有一点x 使得 f(b)f(a)=f (x)(ba)
证明 使
设 F ( x) = x 2 , 则 f ( x) , F ( x) 在 [0, 1] 上满足柯西中值 定理条件, 因此在 ( 0 , 1 ) 内至少存在一点 x , 使
F (11 )0 F (0)
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1. 微分中值定理的条件、结论百度文库关系 拉格朗日中值定理
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柯西定理的几何意义:
弦的斜率
切线斜率
x = F (t ) y = f (t )
注意:
y
f (b) f (a)
d y f (t ) = d x F (t )
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F (b) x
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例5. 设 至少存在一点
证: 结论可变形为
直线AB的斜率
f (b) f (a) k= ba f (b) f (a) f (x)= ba
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拉格朗日中值定理 如果函数f(x)在闭区间[a b]上连续 在开区间(a b)内 可导 那么在(a b)内至少有一点x 使得 f(b)f(a)=f (x)(ba) 简要证明 令j(x)=f (x)f (a) f (b) f (a) (xa) ba 则函数j(x)在区间[a b]上满足罗尔定理的条件 于是至少存在一点x(a b) 使j (x)=0 即
第三章
微分中值定理 与导数的应用
罗尔中值定理 中值定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理 应用
推广
泰勒公式
(第三节)
研究函数性质及曲线性态 利用导数解决实际问题
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§3.1 中值定理
一、罗尔定理 二、拉格朗日中值定理 三、柯西中值定理
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一、罗尔定理
•观察与思考 设连续光滑的曲线 y=f(x) 在端点 A、B 处的纵坐标 相等 提问： f ( x) = ? 提示： f ( x ) =0
由此得
f (b) f (a) =0 j (x)=f (x) ba f(b)f(a)=f (x)(ba)
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拉格朗日中值定理 如果函数f(x)在闭区间[a b]上连续 在开区间(a b)内 可导 那么在(a b)内至少有一点x 使得 f(b)f(a)=f (x)(ba) •拉格朗日中值公式 f(b)f(a)=f (x)(ba) f(xDx)f(x)=f (xqDx)Dx (0<q<1) Dy=f (xqDx)Dx (0<q<1) 注： dy=f (x)Dx是函数增量Dy的近似表达式 f (xqDx)Dx是函数增量Dy 的精确表达式
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分析: F (b) F (a) = F ( )(b a) 0 f (b) f (a) F (x ) f (x ) = 0 要证 F (b) F (a)
a < < b
j (x )
f (b) f (a) j ( x) = F ( x) f ( x) F (b) F (a)