马尔科夫预测与决策
马尔可夫决策过程中的策略迭代算法与模型预测控制比较
在控制理论中，马尔可夫决策过程（Markov Decision Process, MDP）是一个经典的数学模型，用于描述具有随机性和不确定性的决策问题。
在MDP中，智能体通过采取一系列动作来与环境互动，从而获得最大的累积奖励。
而在解决MDP问题时，策略迭代算法和模型预测控制是两种常用的方法。
本文将对这两种方法进行比较和分析。
策略迭代算法（Policy Iteration）是一种经典的动态规划方法，用于求解MDP问题的最优策略。
其基本思想是通过不断更新策略和值函数来逼近最优策略。
具体而言，策略迭代算法包括两个主要步骤：策略评估和策略改进。
在策略评估阶段，算法会根据当前策略对值函数进行估计，以确定每个状态的值；在策略改进阶段，算法会根据当前值函数来改进策略，以使得价值函数更加接近最优价值函数。
通过不断迭代这两个步骤，策略迭代算法最终能够找到最优策略。
与策略迭代算法相比，模型预测控制（Model Predictive Control, MPC）是一种基于模型的控制方法，广泛应用于工业自动化领域。
在MDP问题中，MPC方法将系统建模为一个有限步长的预测模型，并通过对未来状态的预测来计算当前最优的控制策略。
MPC方法具有很强的数学基础和稳定性，能够有效处理不确定性和噪声，并且对于多变量和多约束的系统也能够得到很好的应用。
然而，策略迭代算法和模型预测控制方法各有其优缺点。
策略迭代算法的优点在于其简单直观，易于理解和实现。
同时，策略迭代算法能够收敛到全局最优解，保证在有限步内得到最优策略。
然而，策略迭代算法的缺点在于其需要对整个状态空间进行遍历，当状态空间较大时，算法的计算复杂度会急剧增加。
相比之下，模型预测控制方法的优点在于其对于不确定性和噪声的鲁棒性较强，能够在实际工程中得到有效应用。
另外，MPC方法还可以对约束条件进行自然的处理，使得系统更加稳定可靠。
然而，MPC方法的缺点在于其需要建立准确的系统模型，并且对于大规模系统的控制问题，计算复杂度也会很高。
基于马尔可夫决策法的企业市场占有率预测
基于马尔可夫决策法的企业市场占有率预测内容摘要：马尔可夫决策法是一种对随机过程未来状况进行预测的有效方法。
本文简要介绍了马尔可夫过程和马尔可夫链，并举例说明了如何利用马尔可夫决策法对企业市场占有率进行预测。
关键词：马尔可夫决策法市场占有率转移概率矩阵马尔可夫决策法概述马尔可夫决策法是指决策者根据每个时刻观察到的状态，从可用的行动集合中选用一个行动作出决策，系统未来的状态是随机的，并且其状态转移概率具有马尔可夫性。
决策者根据新观察到的状态，再作出新的决策，依此反复地进行。
马尔可夫性是指一个随机过程未来发展的概率规律仅仅取决于前一时刻的状态，而与观察之前的历史无关的性质。
也就是说：过程在时刻t0所处的状态为已知的条件下，过程在时刻t>t0所处状态的条件分布与过程在时刻t0之前所处的状态无关。
马尔可夫决策法起源于俄国数学家安德烈·马尔可夫对成链的试验序列的研究。
1907年马尔可夫发现某些随机事件的第n次试验结果常决定于它的前一次（n-1次）试验结果，马尔可夫假定各次转移过程中的转移概率无后效性，用以对物理学中的布朗运动作出数学描述，此后又由一些数学家经过不断的研究后建立了马尔可夫过程的一般理论，并把时间序列转移概率的链式称为马尔可夫链。
如果用分布函数来表述马尔可夫性，假设随机过程{X(t),t∈T}的状态空间为，若对时间t的任意n个数值t1<t2<… <tn(n≥3,ti∈,i=1,2,…,n)，在条件X(ti)=xi(xi ∈,i=1,2,…,n-1)下，X(tn)的条件分布函数等于在条件X(tn-1)=xn-1下X(tn)的条件分布函数，即：p{X(tn)≤xnIX(t1)=x1,X(t2)=x2,…,X(tn-1)=xn-1}=p{X(tn)≤xnIX(tn-1)=xn-1}(xn∈R)则称随机过程{X(t),t∈T}具有马尔可夫性，并称此随机过程为马尔可夫过程。
决策与预测第八章 马尔可夫预测
( pilk 1) plj , i , j 1, 2,..., N l 1
N
（全概率公式 ）
22
一般地，
pij P X n k j X n i
k
P X n k 1 l X n i P xn k j X n k 1 l
24
初始状态概率向量 记 t 0 为过程的开始时刻，
pi 0 PX 0 X t0 i
则称
P 0 p1 0 , p2 0 ,..., pN 0
为初始状态概率向量。
25
初始状态概率向量 记 t 0 为过程的开始时刻，
pi 0 PX 0 X t0 i
p1 (1) ?
p12
p1 (0) p2 (0)
p22
p21
p2 (1) ?
33
p11
p1 (1) ?
p12
p1 (0) p2 (0)
p22
p21
p2 (1) ?
p1 (1) p1 (0) p11 p2 (0) p21
34
p11
p1 (1) ?
p12
p1 (0) p2 (0)
S {1,2,, N }
（与时刻无关）
称其为状态空间。
X tn
Xn
5
设有一离散型随机过程，它在时刻 t n 所有可 能处于的状态的集合为
S {1,2,, N }
（与时刻无关）
称其为状态空间。
X tn
Xn
定义3 若 X n 只与 X n1 有关，而与 X n 2 ,..., X 1 等无关，称 {X t , t T } 为马尔可夫链，即
定义6 k步状态转移概率，k步状态转移概率矩阵
经济决策课件系列 第七章 马尔可夫预测法
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安全在于心细，事故出在麻痹。21.1.1 321.1.1 301:42:3101:4 2:31Jan uary 13, 2021
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加强自身建设，增强个人的休养。202 1年1月 13日上 午1时4 2分21. 1.1321. 1.13
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谢谢大家！
4、预测第21月的销售情况
由于第20月的销售量属于畅销状态，而经由一次 转移到达三种状态的概率是：
P31
2 7
P32＝0 P33＝
5 7
P33 P31 P32
因此，第21月超过100（千件）的可能性最大。 即预测第21月的销售状态是“畅销”。
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每一次的加油，每一次的努力都是为 了下一 次更好 的自己 。21.1.1 321.1.1 3Wedn esday , January 13, 2021
P(n) P PP Pn
n个
即n步转移概率等于一步转移矩阵的n次方。
定理2：若记Pn的元素为Pij(n) 则有
lim
n
p (n) ij
pj
系统处在 j 状态的概率与它在很元的过去处在什么情况无关。
经济预测与决策方法
例 已知市场上有A，B，C三种牌子的洗衣粉，上月的市场占有分布为(0.3
0.4 0.3)，且已知转移概率矩阵为
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做专业的企业，做专业的事情，让自 己专业 起来。2 021年1 月上午 1时42 分21.1.1 301:42 January 13, 2021
马尔可夫预测
S5P
0.57004 /
0.42996
0.7 0.4
0.3
0.6
(0.571012 / 0.42988)
▪ 可看出，随着K的增大，分别接近于0、571和 0、429。即可预测六个月后该商品畅销的概 率为0、571，滞销为0、429。
P11 P12 P1n P P21 P22 P2n
Pn1 Pn2 Pnn
性质：
▪ 1）矩阵中每个元素P（IJ均为非负的，即
Pij 0, (i, j 1,2, n)
▪ 2）矩阵中每行元素相加其和为1，即
n
Pij 1, (i 1,2, , n)
j 1
▪ 2、K步转移概率矩阵：系统的状态是随着时 间的推移不断发生转移。如果系统的状态不 只经过一次转移，而是经过多次转移，就必 须有K步转移概率和K步转移概率矩阵。
▪ 假定该商品现在K=0的销售状态为畅销，
则有初始状态概率向量为 S0 10
▪ 今后半年各月的销售状态概率为
S1
S
0P
(1/
0)
0.7 0.4
0.3
0.6
(0.7
/
0.3)
S6
S5P
(0.57247
/
0.42753)
0.7 0.4
0.3
0.6
(0.571741/ 0.428259)
▪ 将趋近于固定概率向量U组成的方阵U，称 之为稳定概率矩阵。
▪ 例如：
0.5 0.25 0.25
P
0.5
0
0.5
Байду номын сангаас0.25 0.25 0.5
▪ 求稳定概率矩阵U。设固定概率向量为
▪ U (U1,U2,1U1 U2) 根据UP=U解方程求得，
如何利用马尔可夫决策过程进行预测
马尔可夫决策过程（Markov Decision Process，MDP）是一种基于随机过程的数学模型，用于描述随机系统的状态转移和决策过程。
它被广泛应用于人工智能、运筹学、控制理论等领域。
在预测模型中，利用马尔可夫决策过程进行预测可以帮助我们更准确地预测未来的状态和行为，从而提高决策的准确性和效率。
马尔可夫决策过程的基本原理是，系统的状态会在不同的状态之间转移，并且每个状态下都存在一定的概率，这种转移过程是随机的。
而在每个状态下，我们可以采取不同的决策，即采取不同的动作。
每个动作都会产生不同的奖励，奖励的大小和方向会受到环境的影响。
基于这些条件，我们希望通过马尔可夫决策过程来找到一个最优的策略，使得系统在不同状态下采取不同的动作，从而最大化长期的累积奖励。
在利用马尔可夫决策过程进行预测时，我们首先需要定义系统的状态空间、动作空间、转移概率以及奖励函数。
通过这些定义，我们可以建立系统的状态转移模型和奖励模型，从而可以利用动态规划、强化学习等方法来求解最优策略。
在实际应用中，马尔可夫决策过程可以用于各种预测问题，如股票交易、网络流量控制、机器人路径规划等。
下面将以股票交易预测为例，介绍如何利用马尔可夫决策过程进行预测。
首先，我们需要定义股票交易系统的状态空间。
状态空间可以包括股票价格、成交量、技术指标等多个维度的变量。
然后，我们需要定义动作空间，即可以采取的交易策略，如买入、卖出、持有等。
接下来，我们需要确定状态转移概率和奖励函数。
状态转移概率可以通过历史数据分析得到，奖励函数可以根据交易的盈亏情况来定义。
在建立了马尔可夫决策过程模型后，我们可以利用动态规划算法来求解最优策略。
动态规划算法可以通过迭代的方式来逐步求解最优值函数和最优策略。
在实际应用中，我们还可以采用强化学习算法，如Q学习、深度强化学习等，来求解最优策略。
通过利用马尔可夫决策过程进行预测，我们可以得到一个最优的交易策略，从而在股票交易中获得更高的收益。
基于马尔可夫模型韵市场预测和决策方法
基于马尔 可夫模型韵 市场预测和决策 方法
、 ・陶 怡 南通 农业 职业 技术 学院
［ 摘 要］本文提 出利用 马尔可 夫建模方法，对不 同厂 家的某一商品的市场 占有率进行 了有效地预 测，从 而提 出了科 学的决策方
法提 高 市 场 占 有率 。 ［ 关键 词］ 马 尔可 夫模 型 预测 决策
马尔可夫过程
定 义 １ 设 ｘ ｕ） ｎ ０ ． ， 是 定 义在 概 率 空 间 （ ， ＝ Ｘ （） ， ＝ １ ２ …： Ｑ
Ｆ
，
Ｐ 上 而取 值 在 于 非 负整 数 Ｅ Ｎ Ｕ ： 的 随机 变量 序 列 ，用 ） ＝ ０ 上
， 石Ｂ，
ｊ，
“ ”表示 时刻 ｎ系统 Ｘ处于状态 ｉ Ｘ ＝ｉ 这一事件 。称 Ｐ （ ＝Ｐ ｎ）
ｎ ∑ ｎ ∑ 』 １ ０≤Ｈ≤１ １ ） 曰 Ｐ ｝ ， ｊ 一 ・ － （２
∈茁 』 ∈丘 ‘
，Ｏ Ｏ Ｏ ６ ２ ３、
４ ｌ ． Ｏ５ Ｏ Ｉ Ｏ
ｌＯ ４ Ｏ ４ Ｏ ２Ｊ
二 、马尔可 夫模型的应用
１ 预 测
稳定 后 的市场 占有率 为 ４ ９ 。每年可 以获得 利润 为 ： ２ ％
的 绝对 分 布 ： １ ＝ ０ ・＝（ ０ ４ ， ） 说 明 ２ ０ 年 Ｂ Ｐ （） Ｐ（ ） Ｐ ０ ３ ８ ０ １ 这 ７ ０７ 厂 家 的产 品 的市 场 占有率 最 大 。 该马尔可夫链 有一个平稳 分布 丁 （ Ｔ＝
由 公式 １ 得 Ｙ ：７ —２ ｌ ／ ＂ ＂．Ｐ ， 中 其
（ ＝ ｘ ） ｘ ｆ 为在事件 “ ｌ 出现的条件下 ， 件 “ ｏ＝ 出 ｉ × ＝ 事 ｘｖ ｊ
＋ Ｂ４ 万 —ｌ － 。解 方 程
决策与预测第八章马尔可夫预测
决策与预测第八章马尔可夫预测马尔可夫预测（Markov Prediction）是一种基于马尔可夫模型的预测方法。
马尔可夫模型是一种具有状态转移特性的随机过程，即当前状态的发生只与前一个状态有关，与之前的状态无关。
马尔可夫预测依据这一性质，通过对已有的状态序列进行分析，来预测未来可能的状态。
马尔可夫预测在许多领域都有应用，比如天气预测、股市预测、自然语言处理等。
在天气预测中，我们可以将天气分为晴天、阴天、雨天等若干个状态，通过观察历史天气数据，建立马尔可夫模型，从而预测未来几天的天气情况。
在股市预测中，我们可以将股票价格分为涨、跌、平稳等若干个状态，通过分析历史股价数据，建立马尔可夫模型，从而预测未来股票价格的走势。
马尔可夫预测的关键是确定马尔可夫链的阶数。
马尔可夫链的阶数决定了当前状态只与前几个状态有关。
一般情况下，阶数越高，预测的准确性越高，但计算复杂度也越高。
选择合适的阶数需要根据具体问题进行权衡。
马尔可夫预测的关键步骤包括状态定义、状态转移矩阵的估计和预测结果生成。
首先，需要将观测序列转化为状态序列。
状态定义需要根据具体问题确定，通常是将连续的观测值离散化为若干个状态。
然后，需要估计马尔可夫链的状态转移矩阵。
状态转移矩阵描述了从一个状态转移到另一个状态的概率。
可以通过历史数据来估计状态转移矩阵，常用的方法有最大似然估计和贝叶斯估计。
最后，通过状态转移矩阵和当前的状态，可以通过马尔可夫链进行状态的预测。
马尔可夫预测有一些优点和限制。
优点是简单易用，不需要太多的领域知识，只需要一些历史数据。
同时，马尔可夫预测可以处理非线性和非平稳的数据，具有一定的适应性。
然而，马尔可夫预测也有一些限制。
首先，马尔可夫模型假设当前状态只与前一个状态相关，而与之前的状态无关，这个假设在一些情况下可能不成立。
其次，马尔可夫模型对于状态转移矩阵的估计需要大量的历史数据，否则预测的准确性可能较低。
在实际应用中，马尔可夫预测通常与其他方法结合使用，以提高预测的准确性。
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得： P12(2) = P11 ? P12 + P12 ? P22 +P13 ? P32
=∑ P1i ? Pi2
三.稳态概率：
用于解决长期趋势预测问题。
即：当转移步数的不断增加时，转移 概率[k] 矩阵 P 的变化趋势。
1.正规概率矩阵。
定义：若一个概率矩阵P，存在着某 一个正整数m,使P 的所有元素均为正数 （Pij >o），则该矩阵称为正规概率矩阵
2.固定概率向量（特征概率向量） 设 P为NN概率矩阵,若U = [U1, U2,…, UN]为概率向 量,且满足UP = U,称U为P的固定概率向量
例
P=
0
1
1/2 1/2
为概率矩阵
P的固定概率向量 U = [ 1/3 , 2/3]
检验 UP = [1/3 2/3] 0 1
2） ∑ Pij = 1
行元素和为1 ,i=1,2,…N
如： W1 = [1/4, 1/4, 1/2, 0] W2 = [1/3, 0, 2/3]
概率向量
W3 = [1/4, 1/4, 1/4, 1/2] W4 = [1/3, 1/3, -1/3,0, 2/3]
非概率向量
3）若A和B分别为概率矩阵时，则AB为概率
也就是说：随机过程是这样一个函数，在每次试 验结果中，它以一定的概率取某一个确定的，但预先 未知的时间函数。
2、马尔科夫过程
随机过程中，有一类具有“无后效 性性质”，即当随机过程在某一时刻 to所 处的状态已知的条件下，过程在时刻 t>to 时所处的状态只和 to时刻有关，而与 to以 前的状态无关，则2.稳定性假设
若系统的一步状态转移概率不随时 间变化，即转移矩阵在各个时刻都相同， 称该系统是稳定的。
这个假设称为稳定性假设。蛙跳问 题属于此类，后面的讨论均假定满足稳 定性条件。
3.k步状态转移矩阵 经过k步转移由状态i转移到状态j的概率记为
P(xt+k =j | xt = i) = Pij(k)
例：设系统状态为N = 3，求从状态1转移到状态2的
二步状态转移概率.
P12
解：作状态转移图 P11 1 P12
P22 2
P13
解法一：由状态转移图：
3
P32
1—— 1—— 2: P11 ? P12
1—— 2—— 2: P12 ? P22
1—— 3—— 2: P13 ? P32
P12 = P11 ? P12 + P12 ? P22 +P13 ? P32 =∑ P1i ? Pi2
马尔科夫预测与决策法
小组成员：于文豪 张薇 刘思伯 梅成波 杜照玺
马尔科夫预测与决策
1.基本原理概述 2.马尔科夫预测与决策 3.案例分析
第一节 基本原理
一、基本概念 1.随机变量 、 随机函数与随机过程 一变量x，能随机地取数据（但不能准确地预言它 取何值），而对于每一个数值或某一个范围内的值有 一定的概率，那么称x为随机变量。
i,j = 1,2, ……, N
定义：k步状态转移矩阵为：
P11(k) P12(k) …… P1N(k)
[k]
P= :
:
:
PN1(k) PN2(k) …… PNN (k)
当系统满足稳定性假设时 P = [Pk] = Pk ? P? …… P
其中P为一步状态转移矩阵。
即当系统满足稳定性假设时，k步状态转移矩阵为 一步状态转移矩阵的k次方.
例：
1/2 1/4 1/4
P = 1/3 1/3 1/3
为正规概率矩阵
2/5 1/5 2/5
P= 0
1
1/2 1/2
但当 m = 2， 有 P2 2 =
它也是正规概率矩阵。
（P2每个元素均为正数）
P11 = 0
??
有Pij >0
??
但 10
P= 0 1
就找不到一个正数 m,使Pm的每
一个元素均大于 0，所以它不是正规概率矩阵。
时间和状态都是离散的马尔科夫过程称为 马尔科夫链。例：蛙跳问题
假定池中有N张荷叶，编号为1，2， 3,……,N，即蛙跳可能有 N个状态（状态确知 且离散）。青蛙所属荷叶，为它目前所处的状 态；因此它未来的状态，只与现在所处状态有 关，而与以前的状态无关（无后效性成立）
1
P41 P42 P31
4 P44
由状态转移图，由于共有 N个状态，所以有
二．状态转移矩阵
1.一步状态转移矩阵
系统有N个状态，描述各种状态下向其他状态转移的 概率矩阵
定义为
P=
P11 P12 …… P1N
P21 P22 …… P2N
::
:
PN1 PN2 …… PNN N×N 这是一个N阶方阵，满足概率矩阵性质
1） Pij ≥ 0,i,j = 1,2, ……, N 非负性性质
P22 2 P32 3
P33
写成数学表达式为：
P( xt+1 = j | xt = it , xt-1 = it―1,……x1 = i1) =P( xt+1 = j | xt = it ) 定义：Pij = P( xt+1 = j | xt = i)
即在xt = i的条件下，使 xt+1 = j的条件概率， 是从 i状态一步转移到 j状态的 概率，因此它又 称一步状态转移概率。
即是：ito为确知,it(t>to)只与ito有关，
这种性质为无后效性，又叫马尔科夫假设。
简例：设 x(t)为大米在粮仓中 t月末的库存量， 则
x(t) = x(t―1)—y(t) +G(t) t月的转出量
第t―1月末库存量 ,G(t)为当月转入 量
x(t)可看作一个马尔科夫过程。
3、马尔科夫链
假定随机变量的可能值xi发生概率为Pi
即P(x = xi) = Pi
对于xi的所有n个可能值，有离散型随机变量分布
列： ∑Pi = 1
对于连续型随机变量，有 ∫P(x)dx = 1
在试验过程中，随机变量可能随某一参数（不一定 是时间）的变化而变化.
如测量大气中空气温度变化x = x(h),随高度变化。 这种随参变量而变化的随机变量称为随机函数。而以 时间t作参变量的随机函数称为随机过程。
解法二： k = 2, N = 3
P11(2) P12 (2) P13(2)
P = P21(2) P22 (2) P23(2)
P31(2) P32(2) P33(2)
P11 P12 P13
P11 P12 P13
= P?P = P21 P22 P23
P21 P22 P23
P31 P32 P33
P31 P32 P33