第二讲 四 渐开线与摆线(优秀经典公开课课比赛件)
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渐开线与摆线 课件
y r(1 cos)
思考：
在摆线的参数方程(1)中，参数的取值范围
是什么？一个拱的宽度与高度各是多少？
参数的取值范围是[0,) 一个拱的宽度是2r,高度是2r(其中r是滚动圆
的半径)
渐开线与摆线
1、渐开线
设开始时绳子外端位于点A，当外端展开
到点M时，因为绳子对圆心角 的一段
弧AB，展开后成为切线BM，所以切线 BM的长就是弧AB的长，这就是动点满 足的几何条件。我们把笔尖画出的曲线 叫做圆的渐开线，相应的定圆叫做渐开 线的基圆。
y M
B
o
A
x
我们以基圆圆心O为原点，直线OA为x轴，建立
这一结论，你能说明这个结论为什么成立吗
e1 e2 (cos,sin) (sin, cos) cos sin sin( cos) 0
e1 e2 ,即BM 平行e2
2、摆线
思考：
如果在自行车的轮子上喷一个白色印 记，那么当自行车在笔直的道路上行 驶时，白色印记会画出什么样的曲线？
假设B为圆心，圆周上的定点为M，开始时位 于O处，圆在直线上滚动时，点M绕圆心作圆
与x轴相切于点A，圆心在点B，从点M分别作
AB，x轴的垂线，垂足分别为C, D，设点M的坐
标为(x, y)取为参数，根据点M满足的几何条件
x OD OA DA OA MC r r sin
y DM AC AB CB r r cos
所以，摆线的参数方程为
x {
r(
sin
)
(为参数)
BM 同方向的单位向量，所以 BM (r) e2
(x r cos, y r sin) (r)(sin, cos)
解得{x r(cos sin) (为参数) y r(sin cos)
第二讲 四、渐开线与摆线(优秀经典公开课比赛教案)
课题：渐开线与摆线
学科：数学年级：高二班级
【学习目标】
1、了解圆的渐开线的参数方程
2、了解摆线的生成过程及它的参数方程
3、学习用向量知识推导运动轨迹曲线的方法和步骤
4、通过学生的参与过程，培养他们手脑并用、多思勤练的良好学习习惯和勇于探索、锲而不舍的治学精神。
【学习重难点】
重点：圆和摆线的渐开线参数方程与普通方程的互化
三、分层练习
1、当 ， 时，求圆渐开线 上对应点A、B坐标并求出A、B间的距离。(BC层)
2、求圆的渐开线 上当 对应的点的直角坐标。(BC层)
3、求摆线 与直线 的交点的直角坐标(A层)
（ 为参数）
二、典型例题：
例1求半径为4的圆的渐开线参数方程（学生尝试练习）
例2求半径为2的圆的摆线的参数方程
例3、设圆的半径为8，沿 轴正向滚动，开始时圆与 轴相切于原点O，记圆上动点为M它随圆的滚动而改变位置，写出圆滚动一周时M点的轨迹方程，画出相应曲线，求此曲线上纵坐标 的最大值，说明该曲线的对称轴。（A层）
难点：圆和摆线的渐开线参数方程与普通方程的互化
教学流程与教学内容
一、本节知识点：
1、以基圆圆心O为原点，直线OA为x轴，建立平面直角坐标系，可得圆渐开线的参数方程为 （ 为参数）
2、在研究平摆线的参数方程中，取定直线为 轴，定点M滚动时落在直线上的一个位置为原点，建立直角坐标系，设圆的半径为r，可得摆线的参数方程为。
学科：数学年级：高二班级
【学习目标】
1、了解圆的渐开线的参数方程
2、了解摆线的生成过程及它的参数方程
3、学习用向量知识推导运动轨迹曲线的方法和步骤
4、通过学生的参与过程，培养他们手脑并用、多思勤练的良好学习习惯和勇于探索、锲而不舍的治学精神。
【学习重难点】
重点：圆和摆线的渐开线参数方程与普通方程的互化
三、分层练习
1、当 ， 时，求圆渐开线 上对应点A、B坐标并求出A、B间的距离。(BC层)
2、求圆的渐开线 上当 对应的点的直角坐标。(BC层)
3、求摆线 与直线 的交点的直角坐标(A层)
（ 为参数）
二、典型例题：
例1求半径为4的圆的渐开线参数方程（学生尝试练习）
例2求半径为2的圆的摆线的参数方程
例3、设圆的半径为8，沿 轴正向滚动，开始时圆与 轴相切于原点O，记圆上动点为M它随圆的滚动而改变位置，写出圆滚动一周时M点的轨迹方程，画出相应曲线，求此曲线上纵坐标 的最大值，说明该曲线的对称轴。（A层）
难点：圆和摆线的渐开线参数方程与普通方程的互化
教学流程与教学内容
一、本节知识点：
1、以基圆圆心O为原点，直线OA为x轴，建立平面直角坐标系，可得圆渐开线的参数方程为 （ 为参数）
2、在研究平摆线的参数方程中，取定直线为 轴，定点M滚动时落在直线上的一个位置为原点，建立直角坐标系，设圆的半径为r，可得摆线的参数方程为。
2.4 渐开线与摆线 课件(人教A选修4-4)(2)
3．圆的渐开线和摆线的参数方程
x＝rcos φ＋φsin φ y＝rsin φ－φcos φ
(φ 为参数)
(1)圆的渐开线方程：
．
(2)摆线的参数方程：
x＝rφ－sin φ y＝r1－cos φ
(φ 为参数)
．
[小问题·大思维]
1．渐开线方程中，字母r和参数φ的几何意义是什么？ 提示：字母r是指基圆的半径，参数φ是指绳子外端运动时 绳子上的定点M相对于圆心的张角． 2．摆线的参数方程中，字母r和参数φ的几何意义是什么？ 提示：字母r是指定圆的半径，参数φ是指圆上定点相对于 某一定点运动所张开的角度大小．
因此 OM ＝ OB ＋ BM
＝(2α－2sin α，2－2cos α) ＝(2(α－sin α)，2(1－cos α))．
动点 M 的坐标为(x，y)，向量 OM ＝(x，y)．
x＝2α－sin 所以 y＝21－cos
α， α.
这就是所求摆线的参数方程．
[研一题] [例2] 求半径为2的圆的摆线的
参数方程．(如图所示，开始时定
点M在原点O处，取圆滚动时转过 的角度α，(以弧度为单位)为参数) [精讲详析] 本题考查圆的摆线的参数方程的求法．解答
本题需要搞清圆的摆线的参数方程的一般形式，然后将相关数 据代入即可． 当圆滚过α角时，圆心为点B，圆与x轴的切点为A，定点
x＝r[θ－sin φ＋θ] 的参数方程为 y＝r[1－cos φ＋θ]
∴点 M
(θ 为参数)
[研一题] [例3] 设圆的半径为8，沿x轴正向滚动，开始时圆与x轴
相切于原点O，记圆上动点为M，它随圆的滚动而改变位置， 写出圆滚动一周时M点的轨迹方程，画出相应曲线，求此曲线
人教A版高中数学选修4-4课件第二讲四渐开线与摆线.pptx
旋轮线
3．圆的渐开线和摆线的参数方程
x＝rcos φ＋φsin φ (1)圆的渐开线方程：y＝rsin φ－φcos φ
(φ 为参数) ．
(2)摆线的参数方程：x＝rφ－sin φ y＝r1－cos φ
.(φ 为参数)
．
[例1] 求半径为4的圆的渐开线的参数方程． [思路点拨] 关键根据渐开线的生成过程，归结到向量知 识和三角的有关知识建立等式关系．
作 AB 垂直于 x 轴，过 M 点作 AB 的垂线，由三角函数
和向量知识，得
uuur OA＝(4cos θ，4sin θ)．
由几何知识知∠MAB＝θ， uuuur AM ＝(4θsin θ，－4θcos θ)，
uuur uuur uuuur 得OM ＝OA＋ AM .
＝(4cos θ＋4θsin θ，4sin θ－4θcos θ)
所以xy＝＝221α－－csoins
α， α.
这就是所求摆线的参数方程．
(1)圆的摆线的实质是一个圆沿着一条定直线无滑 动地滚动时圆周上一个定点的轨迹． (2)根据圆的摆线的定义和建立参数方程的过程，可知 其中的字母r是指定圆的半径，参数φ是指圆上定点相 对于某一定点运动所张开的角度大小．
3．摆线xy＝＝221t－－scionstt， (0≤t≤2π)与直线 y＝2 的交点 的直角坐标是________． 答案：(π－2,2)；(3π＋2,2)
向量 MB＝(2sin α，2cos α)，
uuur BM ＝(－2sin α，－2cos α)，
uuur uuur uuur 因此OM ＝OB＋BM
＝(2α－2sin α，2－2cos α)
＝(2(α－sin α)，2(1－cos α))． uuur
人A版数学选修4-4课件：第2讲 4 渐开线与摆线
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根据渐开线的定义和求解参数方程的过程可知其中的字母r是指基圆的半 径，参数φ是指绳子外端运动时绳子上的定点M相对于圆心的张角．
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[再练一题]
x＝cos φ＋φsin φ， 3π π 1．当φ＝ 2 ， 2 时，求出渐开线 上的对应点A，B，并 y＝sin φ－φcos φ
【解析】 根据圆的渐开线与摆线的参数方程可知B正确． 【答案】 B
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[质疑· 手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问 1： 解惑： 疑问 2： 解惑： 疑问 3： 解惑： _____________________________________________________ _______________________________________________________ _____________________________________________________ _______________________________________________________ ______________________________________________________ _______________________________________________________
那么，根据两点之间的距离公式可得A、B两点的距离为|AB|＝
3＋ 6
3π
3 3－π 2 2 π －2 ＋ 6 －1
1 ＝6 13－6 3π2－6π－36 3＋72. 即A、B两点之间的距离为 1 2 13 － 6 3 π －6π－36 3＋72. 6
根据渐开线的定义和求解参数方程的过程可知其中的字母r是指基圆的半 径，参数φ是指绳子外端运动时绳子上的定点M相对于圆心的张角．
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[再练一题]
x＝cos φ＋φsin φ， 3π π 1．当φ＝ 2 ， 2 时，求出渐开线 上的对应点A，B，并 y＝sin φ－φcos φ
【解析】 根据圆的渐开线与摆线的参数方程可知B正确． 【答案】 B
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[质疑· 手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问 1： 解惑： 疑问 2： 解惑： 疑问 3： 解惑： _____________________________________________________ _______________________________________________________ _____________________________________________________ _______________________________________________________ ______________________________________________________ _______________________________________________________
那么，根据两点之间的距离公式可得A、B两点的距离为|AB|＝
3＋ 6
3π
3 3－π 2 2 π －2 ＋ 6 －1
1 ＝6 13－6 3π2－6π－36 3＋72. 即A、B两点之间的距离为 1 2 13 － 6 3 π －6π－36 3＋72. 6
第2讲-渐开线和摆线 共27页
即得 cos φ＝1，所以 φ＝2kπ(k∈Z)．
课
代入 x＝r(φ－sin φ)，得 x＝r(2kπ－sin 2kπ)．又因为 x＝2， 当
前
堂
自 主 导 学
所以 r(2kπ－sin 2kπ)＝2，即得 r＝k1π(k∈Z)．
双 基 达 标
又由实际可知 r>0，所以 r＝k1π(k∈N＋)．易知，当 k＝1
当 堂 双
主
基
导 学
解参数方程的过程，可知其中的字母 r
达 标
是指基圆的半径，而参数 φ 是指绳子外
端运动时绳子与基圆的切点 B 转过的角
课
堂 互
度，如图，其中的∠AOB 即是角 φ.显然
课
动
时
探 究
点 M 由参数 φ 惟一确定．在我们解决有关问题时可以适当利
作 业
用其几何意义，把点的坐标转化为与三角函数有关的问题，使
φ， φ
(φ 为参数)，
堂 双 基 达
学
分别把 φ＝π3和 φ＝π2代入，
标
课 堂 互
可得
A、B
两点的坐标分别为
3＋ A( 6
3π，3
36－π)，
课
动 探 究
B(π2，1)．
时 作 业
菜单
新课标 ·数学 选修4-4
那么，根据两点之间的距离公式可得 A、B 两点的距离为
课
当
前 自 主 导
|AB|＝
3＋ 6
课 时 作 业
线)的生成过程；了解摆线在实际应用中的
实例.
菜单
新课标 ·数学 选修4-4
1．渐开线及其参数方程
课
当
前 自
(1)把线绕在圆周上，假设线的粗细可以忽略，拉着线头
渐开线与摆线 课件
解析：令 y＝0，可得 r(1－cos φ)＝0，由于 r>0， 所以 cos φ＝1，所以 φ＝2kπ(k∈Z)． 代入 x＝r(φ－sin φ)得 x＝r(2kπ－sin 2kπ)(k∈Z)． 又因为 x＝2，解得 r＝k1π(k∈Z)．
又由实际意义 r>0，所以 r＝k1π(k∈N*)， 所以 k＝1 时，r 取得最大值为1π.此时摆线的参数方程为
φ＋φsin φ－φcos
φ， φ (φ 为参数)，由圆的半径
唯一确定，从方程中不难看出，基圆的半径为 3，欲求 φ＝π2时对应的坐标，只需把 φ
＝π2代入曲线的参数方程可得 x＝32π，y＝3，所以参数 φ 取π2时，对应的曲线上点的坐
标是32π，3.
考点二 摆线
假设圆周上定点M的起始位置是圆与定直线的 切点O，圆保持与定直线相切向右滚动，点M 就绕圆心B做圆周运动．如果点M绕圆心B转过 φ弧度后，圆与直线相切于点A，那么线段OA 的长度等于弧AM的长，即OA＝rφ；如果点M 绕圆心B运动一周后到切点E的位置，那么OE 的长恰等于圆周的长，这就是所谓的“无滑动 地滚动”的意义．从上述分析可以看到，在圆 沿定直线无滑动的滚动过程中，圆周上定点M 的位置可以由圆心角φ唯一确定，因此以φ为参 数是非常自然的．
位置为原点，建立直角坐标系，设圆的半径为 r，可得摆线的参数方程为：
x＝rφ－sin φ， y＝r1－cos φ
(φ 为参数)．
•考点一 渐开线
用向量方法建立运动轨迹曲线的参数方程的步 骤
(1)建立合适的坐标系，设出曲线上的动点P的 坐标； (2)取定运动中产生的某一角度为参数； (3)用三角及几何知识写出相关向量的坐标表达 式； (4)用向量运算得到向量OP的坐标表达式，由 此得到轨迹曲线的参数方程．
渐开线与摆线 课件
由于 r>0,则 cos φ=1,即 φ=2kπ(k∈Z).
代入 x=r(φ-sin φ),得 x=r(2kπ-sin 2kπ)(k∈Z).
因为 x=2,所以 r(2kπ-sin 2kπ)=2,
1
1
即得 r= (∈Z).又 r>0,所以 r= (∈N*).
π
π
1
易知,当 k=1 时,r 取最大值为 .
(∈Z).因为
2π
r 是圆的半径,所以 r>0.所以应有 k>0,且 k∈Z,即 k∈N*.所以所求摆
线的参数1
2π
(-sin),
(1-cos)
(为参数),其中 k∈N*.
6
故 A,B 两点之间的距离为
1
(13-6 3)π2 -6π-36 3 + 72.
6
反思由圆的半径准确写出对应的渐开线的参数方程是解题的关
键.
圆的摆线的参数方程及应用
【例2】 已知一个圆的摆线过一定点(2,0),请写出该圆半径最大
时摆线的参数方程以及对应的渐开线的参数方程.
= (-sin),
π
故所求的圆的摆线的参数方程为
1
= (-sin),
π
1
= (1-cos)
(为参数);
π
圆的渐开线的参数方程为
1
= (cos + sin),
π
1
= (sin-cos)
π
( 为参数).
易错辨析
易错点:考虑不全面而致错
【例3】 已知一个圆的摆线过定点(1,0),请写出该摆线的参数方
程.
错解在摆线的参数方程中,令r(1-cos φ)=0可得cos φ=1,所以φ=0,
代入 x=r(φ-sin φ),得 x=r(2kπ-sin 2kπ)(k∈Z).
因为 x=2,所以 r(2kπ-sin 2kπ)=2,
1
1
即得 r= (∈Z).又 r>0,所以 r= (∈N*).
π
π
1
易知,当 k=1 时,r 取最大值为 .
(∈Z).因为
2π
r 是圆的半径,所以 r>0.所以应有 k>0,且 k∈Z,即 k∈N*.所以所求摆
线的参数1
2π
(-sin),
(1-cos)
(为参数),其中 k∈N*.
6
故 A,B 两点之间的距离为
1
(13-6 3)π2 -6π-36 3 + 72.
6
反思由圆的半径准确写出对应的渐开线的参数方程是解题的关
键.
圆的摆线的参数方程及应用
【例2】 已知一个圆的摆线过一定点(2,0),请写出该圆半径最大
时摆线的参数方程以及对应的渐开线的参数方程.
= (-sin),
π
故所求的圆的摆线的参数方程为
1
= (-sin),
π
1
= (1-cos)
(为参数);
π
圆的渐开线的参数方程为
1
= (cos + sin),
π
1
= (sin-cos)
π
( 为参数).
易错辨析
易错点:考虑不全面而致错
【例3】 已知一个圆的摆线过定点(1,0),请写出该摆线的参数方
程.
错解在摆线的参数方程中,令r(1-cos φ)=0可得cos φ=1,所以φ=0,
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3．给出某渐开线的参数方程xy＝＝33scions
φ＋3φsin φ－3φcos
φ， φ
(φ
为参数)，根据参数方程可
以看出该渐开线的基圆半径是________，当参数 φ 取π2时，对应的曲线上的点的坐
标是________． 解析：与渐开线的参数方程进行对照可知，r＝3，即基圆半径是 3，然后把 φ＝π2代
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探究三 渐开线与摆线参数方程的应用 [例 3] 如图，一个宽为 a 的矩形木条沿着半径为 r 的定圆无滑动地滚动，试求木 条外缘上某点 P 的轨迹方程．
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[解析] 以定圆圆心 O 为原点，O、F、P 共线时所在直线
为 x 轴，建立如图所示的直角坐标系，设 P 点的坐标为(x，
(3)根据圆的摆线的参数方程
x＝rφ－sin y＝r1－cos
φ， φ
(φ为参数)，可知只需求出其中的
半径r，圆摆线的参数方程即可写出．也就是说圆的摆线的版数学 ·选修4－4
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[随堂训练] 1．关于渐开线和摆线的叙述，正确的是( ) A．只有圆才有渐开线 B．渐开线和摆线的定义是一样的，只是绘图的方法不一样，所以才得到了不同 的图形 C．正方形也可以有渐开线 D．对于同一个圆，如果建立的平面直角坐标系的位置不同，画出的渐开线形状 就不同
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因此O→M＝O→B＋B→M
＝(2α－2sin α，2－2cos α)
＝(2(α－sin α)，2(1－cos α))．
动点 M 的坐标为(x，y)，向量O→M＝(x，y)
所以xy＝＝221α－－csoins
α， α.
这就是所求摆线的参数方程．
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所以所求摆线的参数方程是
x＝2k1πφ－sin φ， y＝2k1π1－cos φ
(φ为参数，k∈N*)．
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[错因与防范] (1)若在求出cos φ＝1后，直接得出φ＝0，会导致答案不全面．
(2)不要误把点(1,0)中的1或0当成φ的值．
程；④圆的渐开线和 x 轴一定有交点而且是唯一的交点．
其中正确的说法有( )
A．①③
B．②④
C．②③
D．①③④
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解析：本题主要考查渐开线和摆线的有关概念和参数方程的问题，对于一个圆， 只要半径确定，渐开线和摆线的形状就是确定的，但是随着选择坐标系的不同， 其在坐标系中的位置也会不同，相应的参数方程也会有所区别，至于渐开线和坐 标轴的交点要看坐标系的选取．故选 C. 答案：C
圆叫做 基圆 ．
2．摆线的概念及产生过程 圆的摆线就是一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时圆周上一个 定点 的轨迹，圆 的摆线又叫 旋轮线 ．
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3．圆的渐开线和摆线的参数方程
(1)圆的渐开线方程：__xy_＝＝__rr_sc_io_ns_φ_φ_－＋__φφ_cs_oi_ns_φ_φ_，____(_φ__为__参__数__)__． (2)摆线的参数方程：__xy_＝＝__rr__1φ_－－__cs_oin_s_φφ__，____(φ__为__参__数__)__．
2.通过阅读材料，知道外摆线、内摆线的生成 及其方程的灵活运用.
过程；学会摆线在实际应用中的实例.
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01 课前 自主梳理 02 课堂 合作探究
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03 课后 巩固提升
课时作业
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1．渐开线的产生过程
[自主梳理]
把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的外端系上一支铅笔，将绳子拉紧， 保持绳子与圆相切，逐渐展开，那么铅笔画出的曲线就是圆的 渐开线 ，相应的定
∴|AB|＝ 2π－22＋4±2 3－42＝
2 π－12＋3＝2 π2－2π＋4.
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探究二 圆的摆线的参数方程 [例 2] 求半径为 2 的圆的摆线的参数方程．(如图所示，开始时定点 M 在原点 O 处，取圆滚动时转过的角度 α，(以弧度为单位)为参数)
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2．已知圆的渐开线的参数方程xy＝＝scions
φ＋φsin φ－φcos
φ， φ
(φ 为参数)，则此渐开线对
应基圆的面积是( )
A．1
B．π
C．2
D．2π
解析：由参数方程知基圆的半径为 1，∴其面积为 π.故选 B. 答案：B
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[双基自测]
1．给出下列说法：①圆的渐开线的参数方程不能转化为普通方程；②圆的渐开线
的参数方程可以转化为普通方程，但是转化后的普通方程比较麻烦，且不容易看出
坐标之间的关系，所以常使用参数方程研究圆的渐开线问题；③在求圆的摆线和渐
开线方程时，如果建立的坐标系原点和坐标轴选取不同，可能会得到不同的参数方
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[解析] 当圆滚过 α 角时，圆心为点 B，圆与 x 轴的切点为 A，定点 M 的 位置如图所示，∠ABM＝α. 由于圆在滚动时不滑动，因此线段 OA 的长和圆弧 ¼ AM 的长相等，它们的长 都等于 2α，从而 B 点坐标为(2α，2)， 向量O→B＝(2α，2)， 向量M→B＝(2sin α，2cos α)， B→M＝(－2sin α，－2cos α)，
φ＋φsin φ－φcos
φ， φ，
得xy＝＝42，π，
∴A(2π，4)．
在xy＝＝4411－－csoins
θ， θ
中，令 x＝2 得 sin θ＝12，∴cos θ＝ 23或 cos θ＝－ 23，∴y＝4
－2 3或 y＝4＋2 3，故点 B 的坐标为(2,4－2 3)或(2,4＋2 3)．
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2．已知一个圆的参数方程为
x＝3cos y＝3sin
θ， θ
(θ是参数)，那么圆的摆线方程中参数
φ＝π2对应的点的坐标与点32π，2之间的距离为(
)
A.π2－1
B. 2
C. 10
D. 32π－1
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入，可得x＝32π， y＝3.
答案：3 32π，3
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探究一 圆的渐开线的参数方程 [例 1] 已知圆的直径为 2，其渐开线的标准参数方程对应的曲线上两点 A，B 对 应的参数分别是π2和32π，求 A，B 两点间的距离．
人教A版数学 ·选修4－4
32π＋32π·sin 32π－32π·cos
32π＝－32π， 32π＝－1，
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∴B－32π，－1.
∴|AB|＝
π2＋32π2＋1＋12＝2 π2＋1.
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圆的渐开线的参数方程中，字母 r 表示基圆的半径，字母 φ 是指绳子外端 运动时绳子上的定点 M 相对于圆心的张角；另外，渐开线的参数方程不 宜化为普通方程．
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所以所求的点P轨迹的参数方程为
x＝r＋acos φ＋rφsin φ， y＝r＋asin φ－rφcos φ
(φ为参数)．
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用向量法建立运动轨迹的参数方程的思路和步骤 (1)建立合适的坐标系，设轨迹曲线上的动点为M(x，y)． (2)取定运动中产生的某一角度为参数． (3)用三角、几何知识写出相关向量的坐标表达式． (4)用向量运算得到O→M的坐标表达式，由此得到轨迹曲线的参数方程．
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解析：根据圆的参数方程可知圆的半径为3，那么其对应的摆线的参数方程为
x＝3φ－3sin φ， y＝3－3cos φ
(φ是参数)，把φ＝
π 2
代入参数方程中易得
x＝3π2－1， y＝3，
代入
距离公式可得|AB|＝
3π2－1－32π2＋3－22＝ 10.
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3.如图所示，ABCD 是边长为 1 的正方形，曲线 AEFGH…叫做“正 方形的渐开线”，其中 AE，EF，FG，GH，…的圆心依次按 B， C，D，A 循环，它们依次相连接，则曲线 AEFGH 的长是多少？
解析：根据渐开线的定义可知，»AE 是半径为 1 的14圆周长，长度为π2，继续旋转可 得 E¼F 是半径为 2 的14圆周长，长度为 π；F»G 是半径为 3 的14圆周长，长度为32π；G¼H 是半径为 4 的14圆周长，长度为 2π.所以，曲线 AEFGH 的长是 5π.
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[解析]
由题意，知
r＝1，则圆的渐开线参数方程为xy＝＝scions
φ＋φsin φ－φcos
φ， φ
(φ 为参数)．
当 φ＝π2时，xy＝＝scions
π2＋π2·sin π2－π2·cos
π2＝π2， π2＝1，
∴Aπ2，1.
当 φ＝32π时，xy＝＝scions