自回归模型的参数估计案例
自回归模型的参数估计
自回归模型的参数估计 1.局部调整模型的估计对于局部调整模型*1)1(t t t t u Y X Y +-++=-δδβδα，有t t u u δ=*，假定原模型中随机扰动项t u 满足古典假定，即0)(=t u E ，2)(σ=t u Var ，(,)0i j Cov u u i j =≠则有 ()()**21111(,)()()()0t t t t t tt t C o v u u E uE u uE u E u u δδδδδ----=--==*111(,)(,)(,)0t t t t t t Cov Y u Cov Y u Cov Y u δδ---===由此可见，随机解释变量1-t Y 与i u 不相关；随机扰动项i u 也不存在自相关，因此可以直接用最小二乘法对其进行估计。
具体操作过程如下 例1天津市城镇居民人均消费性支出Y 与人均可支配收入X 的关系 年份 人均消费性支出Y 人均可支配 收入X 年份 人均消费性支出Y 人均可支配收入X 1978 344.88 388.32 1990 731.203 831.9391 1979 381.386139 421.188119 1991 730.4053 849.8296 1980 447.00565 496.158192 1992 788.7386 925.7155 1981 451.981395 501.87907 1993 816.5225 973.7201 1982 459.352451 533.506013 1994 936.2933 1129.362 1983 479.594843 556.45488 1995 999.5327 1212.378 1984 542.169982 658.381555 1996 1055.869 1346.505 1985 616.512 700.416 1997 1139.044 1446.391 1986 710.389222 800.606287 1998 1203.478 1564.131 1987 751.079944 832.741935 1999 1301.497 1701.475 1988 767.168566 797.660468 2000 1366.9211817.89919896712.256276772.892259建立局部调整模型 t t t u X Y ++=βα*，将模型形式转化成下面的形式：*1*1*0*t t t t u Y X Y +++=-ββα然后直接用OLS 法估计模型参数。
自回归
第4章 自回归模型
谢琴
焦玉凤
内 容
4.1 4.2 4.3 4.4
• 自回归的基本概念 • 自回归过程的平稳条件 • 自回归过程的自相关函数 • 自回归过程的识别与估计
4.4自回归过程的识别与估计
4.4自回归过程的识别与估计
4.4自回归过程的识别与估计
(1
1
L
L
2
2
L
L ) y ε
p p t 2 2
t
(13.2.8)
p
引进算符多项式：
p
( L) 1
1
L
L
1 p
L
L
p
(13.2.9)
则(13.2.8)可改写成：
p ( L) y ε
t
1
t
或
y
t
( L) εt
若(13.2.2)是平稳随机过程，则必定收敛，即yt可表示为白噪声的无穷加权和。 可以证明 p (L) ，收敛的充要条件是算符多项式
ρ2 =φ1 ρ1 + φ2 +φ3 ρ1 + …+φp ρp-2
ρ3 =φ1 ρ2 + φ2 ρ1+φ3 + …+φp ρp-3 … … … ρp =φ1 ρp-1 + φ2ρp-2+φ3 ρp-3 + …+φp (13.2.21)
4.3自回归过程的自相关函数
向量自回归模型
诊断主要是对模型残差进行一系列检验， 如果诊断结果表明模型存在问题，需要
以判断模型是否充分拟合了数据，是否 对模型进行修正或重新设定，以确保模
存在异常值或违反模型假设的情况。常
型的准确性和可靠性。
见的诊断方法包括残差诊断、正态性检
验、异方差性检验等。
03
向量自回归模型的实现
向量自回归模型的编程语言实现
诊断与修正困难
向量自回归模型在诊断和修正模型中的问题时较为复杂，需要较高 的统计技巧和经验。
对数据要求高
向量自回归模型要求数据具有平稳性，对于非平稳数据需要进行差分 或其他处理，可能会影响模型的准确性和稳定性。
向量自回归模型的发展趋势与未来展望
改进估计方法
针对向量自回归模型参数过多的问题，未来研究可以探索更加有 效的参数估计方法，提高模型的泛化能力。
能够更好地捕捉时间序列数据的长期趋势和稳定性。
解释性强
02
向量自回归模型能够清晰地揭示多个变量之间的相互影响关系，
有助于理解经济现象之间的内在联系。
适用范围广
03
向量自回归模型适用于多种类型的数据，包括平稳和非平稳时
间序列数据。
向量自回归模型的缺点
参数过多
向量自回归模型需要估计的参数数量较多，容易产生过拟合问题， 导致模型泛化能力下降。
极端天气事件预测
通过向量自回归模型预测极端天气事件的发生， 如暴雨、洪涝、干旱等，有助于减轻灾害损失。
3
气候变化对生态系统的影响
利用向量自回归模型分析气候变化对生态系统的 影响，如植被分布、物种多样性和生态平衡等。
向量自回归模型在社会科学领域的应用
经济发展预测
通过分析历史经济发展数据，利用向量自回归模型预测未来经济 发展趋势，为政策制定提供依据。
第七章自回归模型
●自回归模型的构建 ●自回归模型的估计
第三节 自回归模型的构建
本节基本内容:
●库伊克模型 ●自适应预期模型 ●局部调整模型
一、库伊克模型
无限分布滞后模型中滞后项无限多，而样本观测 总是有限的，因此不可能对其直接进行估计。要 使模型估计能够顺利进行，必须施加一些约束或 假定条件，将模型的结构作某种转化。
库伊克变换的缺陷
1.它假定无限滞后分布呈几何递减滞后结构。 这种假定对某些经济变量可能不适用，如固定资
产投资对总产出影响的滞后结构就不是这种类型。
2.库伊克模型的随机扰动项形如 u* = u - λu t t t-1 说明新模型的随机扰动项存在一阶自相关，且与
解释变量相关。
3.将随机变量作为解释变量引入了模型，不一定符合
三、德宾h-检验
DW检验法不适合于方程含有滞后被解释变量的 场合。在自回归模型中，滞后被解释变量是随机
变量，已有研究表明，如果用DW检验法，则d
统计量值总是趋近于2。也就是说，在一阶自回 归中，当随机扰动项存在自相关时，DW检验却 倾向于得出非自相关的结论。 德宾提出了检验一阶自相关的h统计量检验法。
i=0Yt -1 = α + β0 λi-1 X t -i +ut -1
i=1
∞
（7.9）
对（7.9）式两边同乘 λ并与（7.8）式相减得：
Yt - λYt-1 = (α+ β0 λi X t-i +ut ) - ( λα+ β0 λi X t-i + λut-1 )
（3）给定显著性水平 ，查标准正态分布表 得临界值 h 。若 h > h，则拒绝原假 设ρ = 0 ，说明自回归模型存在一阶自相关； 若
一阶自回归的方差协方差矩阵
一阶自回归的方差协方差矩阵
一阶自回归模型（AR(1)）的方差协方差矩阵可以通过自回归模型的参数估计来计算。
假设AR(1)模型为：
X_t = c + φ*X_{t-1} + ε_t
其中，X_t表示时间t的随机变量，c是常数项，φ是自回归系数，ε_t是时间t的随机误差项。
方差协方差矩阵可以表示为：
Var(X_t) = Var(c + φ*X_{t-1} + ε_t)
= φ^2 * Var(X_{t-1}) + Var(ε_t)
因为AR(1)模型中的随机变量是序列相关的，所以需要计算时间t-1的随机变量X_{t-1}的方差。
根据AR(1)模型，可以得到X_{t-1}的方差为：
Var(X_{t-1}) = Var(c + φ*X_{t-2} + ε_{t-1})
= φ^2 * Var(X_{t-2}) + Var(ε_{t-1})
通过递归计算，可以得到方差协方差矩阵的形式为：
Var(X_t) = φ^2 * Var(X_{t-1}) + Var(ε_t)
= φ^2 * (φ^2 * Var(X_{t-2}) + Var(ε_{t-1})) + Var(ε_t)
= φ^4 * Var(X_{t-2}) + φ^2 * Var(ε_{t-1}) + Var(ε_t)
= …
可以发现，方差协方差矩阵的形式为无穷级数。
一般情况下，我们可以假设时间序列满足平稳性（即方差和自相关系数随时间不变），从而简化方差协方差矩阵的计算。
向量自回归模型
为了叙述方便，下面先考虑的VAR模型都是不含外生 变量的非限制向量自回归模型，用下式表示
yt A1 yt1 Ap yt p εt 或
A(L) yt εt
(1.5)
11
VAR模型的稳定性
现在讨论VAR模型的稳定性。稳定性是指当 把一个脉动冲击施加在VAR模型中某一个方 程的新息（innovation）过程上时，随着时 间的推移，这个冲击会逐渐地消失。如果是 不消失，则系统是不稳定的。
42
可以在对话框内添入相应的信息： (1) 选择模型类型（VAR Type）：
无约束向量自回归（Unrestricted VAR）或者向量误 差修正（Vector Error Correction）。无约束VAR模型是 指VAR模型的简化式。 (2) 在Estimation Sample编辑框中设置样本区间。
9
IPt a11IPt1 a12M1t1 b11IPt2 b12M1t2 C1 1,t
M1t a2,1IPt1 a22M1t1 b21IPt2 b22M1t2 C2 2,t
其中，aij ,bij , ci 是要被估计的参数。也可表示成：
参数的估计量误差较大。
（5）无约束VAR模型的应用之一是预测。由于在VAR模型
中每个方程的右侧都不含有当期变量，这种模型用于样本
外一期预测的优点是不必对解释变量在预测期内的取值做
任何预测。
（6）用VAR模型做样本外近期预测非常准确。做样本外长
期预测时，则只能预测出变动的趋势，而对短期波动预测
C(L) C0 C1L C2 L2 C0 Ik
39
matlab 解arima模型的建模步骤带例题
一、概述Matlab是一种强大的数学建模和仿真工具，广泛应用于工程、科学和经济领域。
ARIMA（自回归移动平均）模型是一种常用的时间序列分析方法，可以用来预测未来的数据趋势。
在本文中，我们将介绍如何使用Matlab来解arima模型，并通过例题来演示建模的步骤。
二、ARIMA模型简介ARIMA模型是由自回归（AR）和移动平均（MA）两部分组成的时间序列模型，它的主要思想是利用过去的数据来预测未来的数据。
ARIMA模型的一般形式为ARIMA(p, d, q)，其中p、d和q分别代表自回归阶数、差分次数和移动平均阶数。
在Matlab中，可以使用“arima”函数来进行ARIMA模型的建模和预测。
三、ARIMA模型的建模步骤在使用Matlab解ARIMA模型时，一般包括以下几个步骤：1. 数据准备首先需要准备好要分析的时间序列数据，通常会涉及数据的收集、清洗和准备工作。
在Matlab中，可以将数据导入为时间序列对象，并进行必要的数据转换和处理。
2. 模型拟合接下来需要使用“arima”函数来拟合ARIMA模型。
在拟合模型时，需要指定ARIMA模型的阶数p、d和q，以及模型的其他参数。
Matlab会自动对模型进行参数估计，并输出模型的拟合结果和诊断信息。
3. 模型诊断拟合完成后，需要进行模型诊断来评估模型的拟合效果。
可以通过查看拟合残差序列的自相关和偏自相关图，以及进行Ljung-Box检验等方法来检验模型的残差序列是否符合白噪声假设。
4. 模型预测可以使用拟合好的ARIMA模型来进行预测。
在Matlab中，可以使用“forecast”函数来生成未来一定时间范围内的预测值，并可视化预测结果。
四、示例下面通过一个简单的示例来演示使用Matlab解ARIMA模型的建模步骤。
假设有一组销售数据，我们需要对未来的销售量进行预测。
我们将数据导入为时间序列对象：```matlabsales = [100, 120, 150, 130, 140, 160, 180, 200, 190, 210];dates = datetime(2022,1,1):calmonths(1):datetime(2022,10,1); sales_ts = timeseries(sales, dates);```使用“arima”函数拟合ARIMA模型：```matlabmodel = arima('ARLags',1,'Order',[1,1,1]);estmodel = estimate(model,sales_ts);```进行模型诊断：```matlabres = infer(estmodel,sales_ts);figuresubplot(2,1,1)plot(res)subplot(2,1,2)autocorr(res)```使用拟合好的模型进行预测：```matlab[yf,yMSE] = forecast(estmodel,5,'Y0',sales,'MSE0',res.^2);```通过以上步骤，我们成功地建立了ARIMA模型，并对未来5个月的销售量进行了预测。
自回归模型的参数估计案例
自回归模型的参数估计案例案例一：建立中国长期货币流通量需求模型。
中国改革开放以来，对货币需求量（Y）的影响因素，主要有资金运用中的贷款额（X）以及反映价格变化的居民消费者价格指数（P）。
长期货币流通量模型可设定为Y—B o "iX t +為只+片（1）其中，Y t e为长期货币流通需求量。
由于长期货币流通需求量不可观测，作局部调整:Y t -YL（Y t e-Y.）（2）其中，Y为实际货币流通量。
将（1）式代入（2）得短期货币流通量需求模型：Y 二o Mt 2p （1- ）Y「J表1中列出了1978年到2007年我国货币流通量、贷款额以及居民消费者价格指数的相关数据。
居民消费者价格指数年份货币流通量Y （亿元）贷款额X （亿元）P （1990 年=100）1978212.046.21850.01979267.747.12039.61980346.250.62414.31981396.351.92860.21982439.152.93180.61983529.854.03589.91984792.155.54766.11985987.860.65905.6 19861218.464.67590.819871454.569.39032.519882134.082.310551.3 19892344.097.014360.1 19902644.4100.017680.7 19913177.8103.421337.8 19924336.0110.026322.9 19935864.7126.232943.1 19947288.6156.739976.0 19957885.3183.450544.1 19968802.0198.761156.6 199710177.6204.274914.1 199811204.2202.686524.1 199913455.5199.793734.3200014652.7200.699371.1 200115688.8201.9112314.7 200217278.0200.3131293.9 200319746.0202.7158996.2 200421468.3210.6178197.8 200524031.7214.4194690.4 200627072.6217.7225347.2 200730375.2228.1261690.9对局部调整模型1X t + P2r t(1-「JYx ”运用OLS法估计结果如图1:D E餐n血nt Vanable Y fJethac Least Squares Date Tima 21 12Sample r3C|U3tedj 1979 2007Included otsen'aticns 29 after adj」wtnignt辱Vansble Coefficient Std Errcr t-Statistic ProbC-202 5275 221 964S -O 91Z430 0 3703X0D36T100012565 2842001 C 003SP 7 4557283065733 2.431956 C 022bYM)0 723634 0 132796 5 449199 0 0030^squared 0.9985B2F^ean depencent /ar 9059.631Adjjsted R-squared 0.998412S.D lepsndent ,ar 9007.257S.E of regression358.9392 Akaike irfir ci iltn uri14.73163Sum squand rssid 3220934Schwarz cnterior U 92022Loc likelihcod-209.6086 F-statisti：50E8 997L;urb i r-atscn sta:1724407ProbiF-statistic)U U'JUUJU图1回归估计结果由图1短期货币流通量需求模型的估计式:Y = -202.5+ 0.0357Xt + 7.4557R + 0.7236Y T 由参数估计结果? 0.7236,得? 0.2764o由于= -202.5= 0.0357, 、2 = 7.4557。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
自回归模型的参数估计案例案例一：建立中国长期货币流通量需求模型。
中国改革开放以来，对货币需求量(Y)的影响因素，主要有资金运用中的贷款额(X)以及反映价格变化的居民消费者价格指数(P)。
长期货币流通量模型可设定为120e t t t t P Y X βμββ=+++ （1）其中，e t Y 为长期货币流通需求量。
由于长期货币流通需求量不可观测，作局部调整:11()e t t t t Y Y Y Y δ---=- （2）其中，t Y 为实际货币流通量。
将（1）式代入（2）得短期货币流通量需求模型：0121(1)t t t t t Y X P Y δβδβδβδδμ-=+++-+表1中列出了1978年到2007年我国货币流通量、贷款额以及居民消费者价格指数的相关数据。
表1年份 货币流通量Y （亿元）居民消费者价格指数P （1990年=100）贷款额X （亿元）1978212.046.2 1850.0 1979 267.7 47.1 2039.6 1980 346.2 50.6 2414.3 1981 396.3 51.9 2860.2 1982 439.1 52.9 3180.6 1983 529.8 54.0 3589.9 1984 792.1 55.5 4766.1 1985 987.8 60.6 5905.6 1986 1218.4 64.6 7590.8 19871454.569.39032.51988 2134.0 82.3 10551.3 1989 2344.0 97.0 14360.1 1990 2644.4 100.0 17680.7 1991 3177.8 103.4 21337.8 1992 4336.0 110.0 26322.9 1993 5864.7 126.2 32943.1 1994 7288.6 156.7 39976.0 1995 7885.3 183.4 50544.1 1996 8802.0 198.7 61156.6 1997 10177.6 204.2 74914.1 1998 11204.2 202.6 86524.1 1999 13455.5 199.7 93734.3 2000 14652.7 200.6 99371.1 2001 15688.8 201.9 112314.7 2002 17278.0 200.3 131293.9 2003 19746.0 202.7 158996.2 2004 21468.3 210.6 178197.8 2005 24031.7 214.4 194690.4 2006 27072.6 217.7 225347.2 200730375.2228.1261690.9对局部调整模型0121(1)t t t t t Y X P Y δβδβδβδδμ-=+++-+运用OLS 法估计结果如图1：图1 回归估计结果由图1短期货币流通量需求模型的估计式：1202.50.03577.45570.7236t t t t Y X P Y -=-+++由参数估计结果ˆ10.7236δ-=，得ˆ0.2764δ=。
由于0202.5δβ=-，10.0357δβ=，27.4557δβ=。
将ˆ0.2764δ=分别带入上述三个方程，可求得0732.6β=-，10.1292β=，226.97β=。
最后得到长期货币流通需求模型的估计式为：732.60.129226.97e t t t P Y X =-++估计结果表明：① 贷款额对我国货币流通量的影响，短期为0.0357，长期为0.1292，即贷款额每增加1亿元，短期货币流通需求量将增加0.0357亿元，长期货币流通需求量将增加0.1292亿元。
② 居民消费物价指数对我国货币流通量的影响，短期为7.4557，长期为26.97，即价格指数每增加1个百分点，将导致短期货币流通需求量增加7.4557亿元，长期货币流通需求量增加26.97亿元。
注意：尽管D.W.=1.724407，但不能据此判断自回归模型不存在自相关(Why?)。
由LM 检验或者B-G 检验可用于检验随机误差项的高阶自相关性。
LM 检验的Eviews 步骤： 1、 估计方程2、在Equation 窗口中单击“View ”→“Residual Test ” →“SerialCorrelation LM Test ”，并选择滞后期为1，屏幕将显示如图2所示的信息。
图2 回归结果在图2中，LM=0.636639，小于显著性水平5%下自由度为1的卡方分布的临界值20.05(1) 3.84x =，因此，可以接受随机误差项不存在一阶自相关性的原假设。
如果直接对下式作OLS 回归120t t t t P Y X βμββ=+++可得如图3的估计结果：图3 回归估计结果在图3中，D.W=0.959975，查自由度n=30，k=3的D.W.检验表可知dl=1.28，du=1.57，容易判断该模型随机误差项存在一阶正自相关。
事实上，对于自回归模型，μt 项的自相关问题始终存在，对于此问题，至今没有完全有效的解决方法。
唯一可做的，就是尽可能地建立“正确”的模型，以使序列相关性的程度减轻。
因此，上述短期货币流通量需求模型的估计式1202.50.03577.45570.7236t t t t Y X P Y -=-+++的设定更“正确”。
案例二（格兰杰因果关系检验）根据宏观经济学可知，可支配收入与消费之间可能存在互为因果的关系。
表2中列出了1978-2006年我国居民实际可支配收入与居民实际消费总支出的相关数据，下面我们检验1978~2006年间实际可支配收入（X ）与居民实际消费总支出(Y)之间的因果关系。
表2年份 实际可支配收入（X ）居民实际消费总支出（Y ）1978 6678.800 3806.700 1979 7551.600 4273.200 1980 7944.200 4605.500 1981 8438.000 5063.900 1982 9235.200 5482.400 1983 10074.60 5983.200 1984 11565.00 6745.700 1985 11601.70 7729.200 1986 13036.50 8210.900 1987 14627.70 8840.000 1988 15794.00 9560.500 1989 15035.50 9085.500 1990 16525.90 9450.900 199118939.6010375.801992 22056.50 11815.301993 25897.30 13004.701994 28783.40 13944.201995 31175.40 15467.901996 33853.70 17092.501997 35956.20 18080.601998 38140.90 19364.101999 40277.00 20989.302000 42964.60 22863.902001 46385.40 24370.102002 51274.00 26243.202003 57408.10 28035.002004 64623.10 30306.202005 74580.40 33214.402006 85623.10 36811.20取1阶滞后，Eviews操作及输出结果为：在Eviews建立工作文件和录入数据后，格兰杰因果检验步骤为：步骤1：步骤2步骤3：单击OK后有如图1的检验结果：图1 X与Y的格兰杰因果关系检验结果在图1中，X不是Y的格兰杰原因的F=15.1022，Y不是X 的格兰杰原因的F6.34368，查m=1，n-k=28-3=25，显著性水平为5%的F分布表可知F0.05（1，25）=4.68，上述两个F统计量均大于4.68的临界值，所以均拒绝原假设，即：既拒绝“X不是Y的格兰杰原因”的假设,也拒绝“Y不是X的格兰杰原因”的假设。
另外，由相伴概率知，在5%的显著性水平下，既拒绝“X不是Y的格兰杰原因”的假设,也拒绝“Y不是X的格兰杰原因”的假设。
因此，从1阶滞后的情况看，可支配收入X的增长与居民消费支出Y增长互为格兰杰原因。
但是应该注意的是：格兰杰因果关系检验对于滞后期长度的选择有时很敏感。
不同的滞后期可能会得到完全不同的检验结果。
一般首先以模型随机误差项不存在序列相关为标准选取滞后期，然后进行因果关系检验。
因此我们还得检验模型随机误差项是否存在序列相关性。
由案例一可知LM检验可以检验高阶序列相关性（包括一阶序列相关），但DW不能够。
LM检验的步骤为：(以Y为被解释变量的模型为例)1、估计模型（ls y c y(-1) x(-1)）2、在Equation窗口中单击“View”→“Residual Test”→“Serial Correlation LM Test”，并选择滞后期为1，屏幕将显示如图2所示的信息。
图2从图2检验模型随机干扰项1阶序列相关的LM检验看，以Y为被解释变量的模型的LM=0.740584，对应的伴随概率P= 0.389474，查显著性水平5%下自由度为1的卡方分布的临界值2 0.05(1) 3.84x ，表明在5%的显著性水平下，接受原假设，即该检验模型不存在序列相关性；但是，以X为被解释变量的模型中的LM=10.01871，对应的伴随概率P= 0.00155，表明在5%的显著性水平下，该检验模型存在严重的序列相关性（见图3）。
图3下面我们讨论滞后期分别为2阶和3阶的格兰杰因果检验。
2阶滞后的X与Y的格兰杰因果关系检验结果:3阶滞后的X与Y的格兰杰因果关系检验结果:从2阶滞后期开始，检验模型都拒绝了“X不是Y的格兰杰原因”的假设，而不拒绝“Y不是X的原因”的假设。
格兰杰因果关系检验对于滞后期长度的选择有时很敏感。
不同的滞后期可能会得到完全不同的检验结果。
下面分析模型随机误差项是否存在序列相关。
2阶滞后的以Y为因变量的LM检验结果2阶滞后的以X为因变量的LM检验结果3阶滞后的以Y为因变量的LM检验结果3阶滞后的以X为因变量的LM检验结果滞后阶数为2或3时，两类检验模型都不存在序列相关性。
由赤池信息准则，发现滞后2阶检验模型拥有较小的AIC值。
因此，可判断：可支配收入X是居民消费支出Y的格兰杰原因，而不是相反，即国民收入的增加更大程度地影响着消费的增加。