电场强度的叠加原理及电场强度的计算

第二讲：电场强度的叠加原理及电场强度的计算

容：§9－3

电场强度的求法

要求：

1．理解场强叠加原理；

2．掌握用积分的方法计算电场强度。

重点与难点：

1．电场强度及其计算。

作业：

习题：P37：9，11

预习：电场强度的叠加原理

四、电场强度叠加原理

1．点电荷的场强：电荷Q ，空间r 处

2

04r r

Q q F E πε=＝ 2．点电荷系：

在点电荷系Q 1，Q 2，…，Q n 的电场中，在P 点放一试验电荷q 0，根据库仑力的叠加原理，可知试验电荷受到的作用力为∑=

i F F

，因而P 点的电场强度为

∑∑∑===

i i

i E q

F q

F q

F E

＝

即 ∑∑3

04r

r

Q E E i i πε ＝＝ 点电荷系电场中某点的场强等于各个点电荷单独存在时在该点的场强的矢量和。这就是电场强度的叠加原理。

3．连续分布电荷激发的场强

将带电区域分成许多电荷元d q ，则

⎰

⎰=0

2

04r r dq E d E πε＝

其中，对于电荷体分布，d q =ρd v ， ⎰⎰⎰v r r

dv E 0

204

περ＝

对于电荷面分布，d q =σds ，02

04r r ds E s

⎰⎰πεσ＝ 对于电荷线分布，d q =λd l ，⎰l r r

dl E 0

204

πελ＝

其中体密度 dV dQ

V

Q V =∆∆→∆lim 0＝

ρ 单位C/m 3； 面密度 dS dQ S

Q S =∆∆→∆lim 0＝

σ 单位C/m 2；

线密度 dl dQ

l

Q l =∆∆→∆lim 0＝λ 单位C/m 。

五、

电场强度的计算：

1．离散型的：∑∑3

04r r

Q E E i i πε ＝＝ 2．连续型的：⎰

⎰=0

2

04r r dq E d E

πε＝

空间各点的电场强度完全取决于电荷在空间的分布情况。如果给定电荷的分布，原则上就可以计算出任意点的电场强度。计算的方法是利用点电荷在其周围激发场强的表达式与场强叠加原理。计算的步骤大致如下：

● 任取电荷元d q ，写出d q 在待求点的场强的表达式； ● 选取适当的坐标系，将场强的表达式分解为标量表示式； ● 进行积分计算；

● 写出总的电场强度的矢量表达式，或求出电场强度的大小和方向； ● 在计算过程中，要根据对称性来简化计算过程。 例1． 电偶极子（Electric Dipole ）的场强。 1. 几个概念：

（1）两个电量相等、符合相反、相距为l 的点电荷+q 和-q ，若场点到这两个电荷的距离比l 大得多时，这两个点电荷系称为电偶极子。

（2）从-q 指向+q 的矢量l

称为电偶极子的轴。

（3）l q p

=称为电偶极子的电偶极矩

2. 电偶极子的电场强度

（1）电偶极子轴线延长线上一点的电场强度

如图所示，取电偶极子轴线的中点为坐标原点O ，沿极轴的延长线为O x 轴，轴上任意点A 距原点的距离为x ，则正负电荷在点A 产生的场强为

()i l x q

E 2

02/41-=

+πε

()i l x q E 2

02/41+-=-πε

由叠加原理可知点A 的总场强为

()()()i l x xl

q

i l x q l x q E E E ⎥⎥

⎦

⎤⎢⎢⎣⎡-⎥

⎦⎤⎢⎣⎡-=

+2220

2204/242/2/41πεπε＝＋－＋＝－ 当x >>l 时，2

224/x l x ≈-

所以3

030241241x p

i x lq E πεπε=＝

即：在电偶极子轴线延长线上任意点的电场强度的大小与电偶极子的电偶极矩大小成正比，

与电偶极子中心到该点的距离的三次方成反比；电场强度的方向与电偶极矩的方向相同。 （2）电偶极子轴线的中垂线上一点的电场强度

如图所示，取电偶极子轴线中点为坐标原点，因而中垂线上任意点的场强为

3

04+++=

r r q E πε 和

3

04－

－

－－r r q E πε = 从图中可以看出

j y i l r

+-=+2

j y i l r

+=-2

22)2/(l y r r r +=

==-+

所以⎪⎭⎫

⎝⎛+-=

++j y i l r q

E 2430πε ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-

=+-j y i l r q

E

2430πε 因而总的场强为

2

/32202/322030

30441441 2424⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫

⎝⎛+-=

-+l y p l y i ql j y i l r q j y i l r q

E E E

πεπεπεπε－

＝－－＋＝

当y >>l 时， ()22

22/y l y ≈+ 故

3

041y p

E πε－=

即：在电偶极子中垂线上任意点的电场强度的大小与电偶极子的电偶极矩大小成正比，与电偶极子中心到该点的距离的三次方成反比；电场强度的方向与电偶极矩的方向相反。

例2．试计算均匀带电圆环线上任一给定点P 处的场强。该圆环半径为R ，周长为L ，圆环

带电量为q ，P 点与环心距离x 。