高数第七章(13)二阶差分方程
第6节一阶和二阶常系数线性差分方程
8/8/2024 1:07 AM
第7章 微分方程与差分方程
当 a 1时，取 s 1，此时将
y x x(B0 B1x Bn xn )
代人方程，比较同次系数，确定出 B0, B1, B2, , Bn 得到方程的特解。这种情况下，方程的左端为 yx , 方程为 yx cxn ，可将 xn化成 x(n) 的形式 求出它的一个特解。
2 , 1
对应的齐次方程的通解为 yx A1(2)x A2 因为 1 a b 1 1 2 0 ,a 1 2 所以特解为
yx
12 x 21
4x
故原方程的通解为
yx 4x A1(2)x A2 ( A1, A2为任意常数)
8/8/2024 1:07 AM
第7章 微分方程与差分方程
其中 r
2 2
b , tan
4b a2 ,
A1, A2 为任意常数。
a
8/8/2024 1:07 AM
第7章 微分方程与差分方程
2.方程（4）中 f ( x)取某些特殊形式的 函数时的特解（利用待定系数法求出）
(1) f ( x) c (c 为常数)
方程（4）为
yx2 a yx1 byx c (6)
8/8/2024 1:07 AM
第7章 微分方程与差分方程
利用待定系数法 设方程具有yx kxs形式 的特解。
当 a 1时，取 s 0 ，代人方程得 k ak c
k c , 1a
所以方程的特解为
yx
c 1
a
又因对应的齐次方程的通解为 yx Aa x
2阶差分公式大全
2阶差分公式大全摘要：一、引言二、2阶差分公式概述1.2阶差分定义2.2阶差分的重要性三、常见2阶差分公式1.2阶差分算子2.2阶差分方程3.2阶差分求和与积分4.2阶差分与Z变换四、2阶差分在实际应用中的例子1.信号处理2.系统分析与控制3.数据分析与预测五、2阶差分公式的发展与研究现状六、结论正文：一、引言2阶差分，作为时间序列分析中的一个重要概念，广泛应用于信号处理、系统分析与控制、数据分析与预测等领域。
本文将对2阶差分公式进行全面梳理，以帮助读者更好地理解和应用这一概念。
二、2阶差分公式概述1.2阶差分定义2阶差分是指相邻两项之差与前一项之差的差，用公式表示为：ΔX =ΔΔX。
其中，ΔX表示一阶差分，ΔX表示二阶差分。
2.2阶差分的重要性2阶差分在时间序列分析中具有重要地位，它能够反映数据的动态变化以及变化的速度。
通过研究2阶差分公式，我们可以更好地理解时间序列中的非平稳性和趋势性。
三、常见2阶差分公式1.2阶差分算子2阶差分算子是用来计算2阶差分的算子，通常表示为：D。
它满足如下性质：DX = ΔΔX。
2.2阶差分方程2阶差分方程是一类描述动态过程的方程，它包含2阶差分算子。
例如，著名的Massey差分方程：DX + βDX + γX = φ。
3.2阶差分求和与积分通过对2阶差分进行求和，我们可以得到一些有用的统计量，如2阶差分均值、方差等。
此外，2阶差分也可以通过Z变换进行积分。
4.2阶差分与Z变换Z变换是一种将时间序列转换为复数域的数学方法，可以用于求解差分方程。
对于2阶差分，它的Z变换表达式为：Z = βZ + γ。
四、2阶差分在实际应用中的例子1.信号处理在信号处理中，2阶差分可以用于提取信号的边缘信息，以及检测信号的突变点。
例如，在图像处理中，2阶差分可以用于提取边缘线条。
2.系统分析与控制在系统分析与控制中，2阶差分可以用于描述系统的动态性能。
例如，在自动控制系统中，2阶差分可以用于设计控制律，以实现系统的稳定性和快速性。
高数第七章(13)二阶差分方程PPT
称为相应方程的特征根 .
现根据 a2 4b的符号来确定其通式解 . 形
(1)第一种情形 a2 4b时
有 两 个 相 异 的1与 实2， 特此 征时 根的 通
如下形式：
yxA11xA22x(A1,A2为 任 意 ) 常 数
(2)第二种情形 a2 4b时
例2 求差分方程yx2 3yx1 4yx 2的通解． 解 1 a b 1 3 4 0 , 且 a 3 2
y xx(B0B1x) 代入方程得: B 0 (x 2 ) B 1 (x 2 )2 3 B 0 (x 1 ) 3 B 1 (x 1 )2 4 B 0 x 4 B 1 x 2 x 可B 得 0570 ,B1110
代入方程 B 0 B 1 (x 2 ) 5 B 0 5 B 1 (x 1 ) 4 B 0 4 B 1 x x 比较两端同次项系数有
1100BB10
7B1 1
0
B0170,0B1110
则yx
7 1 x 10010
故y x 通 1 7 0 1 1 解 x 0 A 1 ( 1 为 ) x A 2 ( 4 ) x
即 ( 2 )( 1 ) 0 解 1 得 2 ,2 1
yxA 1(2)xA2
1 a b 1 1 2 0 , 但 a 1 2 ,
yx
12x 12
4x
所给方yx 程 4x通 A 1( 解 2)x为 A 2 由 y0A 1A 2,即 A 1A 20 y142A 1A 2,即 2A 1A 24
i)i当 1ab0且 a 2时， s1 ; 取 ii)当 i1 a b0 ， a 且 2 时s ， 2 . 取
分别就以上定 情特 形解 ，代 将,入 设 可原 确方 定程 其特 . 解
2阶差分公式大全
2阶差分公式大全（原创实用版）目录1.2 阶差分公式的概念与定义2.2 阶差分公式的种类3.2 阶差分公式的计算方法与实例4.2 阶差分公式的应用领域正文一、2 阶差分公式的概念与定义2 阶差分公式，是微积分中的一种概念，主要用于计算函数的局部变化率。
它是一种对函数的二阶导数的近似计算方法，通常可以用来估计函数的拐点或者极值。
二、2 阶差分公式的种类2 阶差分公式主要有以下几种：1.中点差分公式：主要用于对函数的二阶导数进行估计，其公式为f""(x)≈(f(x+h)-f(x-h))/4h^2。
2.复合差分公式：主要用于对复合函数的二阶导数进行估计，其公式为 f""(g(x))≈(f"(g(x+h))-f"(g(x-h)))/2h^2。
3.五点差分公式：主要用于对函数的二阶导数进行估计，其公式为f""(x)≈(f(x+h)+f(x-h)-2f(x))/h^2。
三、2 阶差分公式的计算方法与实例以中点差分公式为例，假设我们要计算函数 f(x)=x^3 在 x=1 处的二阶导数，我们可以按照以下步骤进行计算：1.将函数 f(x) 带入中点差分公式，得到 f""(x)≈(f(x+h)-f(x-h))/4h^2。
2.将 x=1，h=0.01 代入公式，得到 f""(1)≈((1.01)^3-0.99^3)/(0.01^2)。
3.计算得出 f""(1)≈2000。
四、2 阶差分公式的应用领域2 阶差分公式广泛应用于数值分析、工程计算、物理学等领域。
差分方程知识点总结
差分方程知识点总结一、差分方程的概念差分方程是指用差分运算符号（Δ）表示的方程。
差分运算符Δ表示的是某一变量在两个连续时间点的变化量。
差分方程通常用于描述离散时间下的变化规律，比如时间序列、离散动力系统等。
二、常见的差分方程1. 一阶线性差分方程一阶线性差分方程的一般形式为：y(t+1) - y(t) = a*y(t) + b，其中a和b为常数。
一阶线性差分方程常常用于描述某一变量在不同时间点之间的线性变化规律。
2. 二阶线性差分方程二阶线性差分方程的一般形式为：y(t+2) - 2*y(t+1) + y(t) = a*y(t) + b，其中a和b为常数。
二阶线性差分方程通常用于描述某一变量在不同时间点之间的二阶线性变化规律。
3. 线性非齐次差分方程线性非齐次差分方程的一般形式为：y(t+1) - a*y(t) = b，其中a和b为常数。
线性非齐次差分方程通常用于描述某一变量在不同时间点之间的线性变化规律，并且受到外部条件的影响。
4. 滞后差分方程滞后差分方程的一般形式为：y(t+1) = f(y(t))，其中f为某一函数。
滞后差分方程通常用于描述某一变量在不同时间点之间的非线性变化规律。
5. 差分方程组差分方程组是指由多个差分方程组成的方程组。
差分方程组通常用于描述多个变量之间的变化规律，比如混合动力系统、多变量时间序列等。
三、差分方程的解法1. 特征根法特征根法是解一阶或二阶线性差分方程的一种常用方法。
通过求解特征方程，可以求得差分方程的通解。
2. 递推法递推法是解一阶或二阶非齐次差分方程的一种常用方法。
通过递推关系，可以求得差分方程的特解。
3. Z变换法Z变换法是解一阶或二阶差分方程的一种常用方法。
通过对差分方程进行Z变换，可以将其转换为等价的代数方程，然后求解其解。
4. 数值解法对于复杂的差分方程，通常采用数值解法求解。
数值解法包括Euler法、Runge-Kutta法、递推法等，通过迭代计算逼近差分方程的解。
高阶差分方程
第六章 高阶差分方程在离散时间分析中可能出现这种情况：t 期的经济变量，比如y t ，不仅取决于y t-1，而且取决于y t-2。
这样便引出了二阶差分方程。
严格地讲，二阶差分方程是一个包含表达式Δ2y t ，但不含高于二阶差分的方程。
Δ2y t读作y t 的二阶差分。
而符号Δ2是符号d 2y ／dt 2在离散时间情况下的对应物，表示“取二阶差分”如下：Δ2y t =Δ(Δy t )=Δ(y t+1-y t )=(y t+2-y t+1)-(y t+1-y t )=y t+2-2y t+1+y t因此，y t 的二阶差分可以转换为包含两期时滞的项的和。
因为像Δ2y t 和Δy t 这样的表达式写起来很麻烦，所以我们将二阶差分方程重新定义为包含变量的两期时滞的方程。
类似地，三阶差分方程为包含三期时滞的方程；等等。
我们首先集中讨论二阶差分方程的解法，然后再在后面的章节中将其推广至高阶差分方程。
为控制讨论的范围，在本章，我们仅讨论常系数线性差分方程。
但对常数项和可变项两种形式，均作考察。
具有常系数和常数项的二阶线性差分方程一类简单的二阶差分方程的形式为：y t+2+a 1y t+1+a 2y=c 6.1 读者应注意到，此方程为线性、非齐次，且具有常系数（a 1，a 2）和常数项c 的差分方程。
二阶差分方程的通解是由余函数和特别积分构成：y t ＝y c +y p 。
特别积分是1,12121-≠+++=a a a a y c p6.22,1,21211-≠-=++=a a a a yt cp6.2’ 2,1,21212-=-=+=a a a t yc p6.2’’ 为求出余函数，我们必须集讨论简化方程y t+2+a 1y t+1+a 2y ＝0 6.3 解一阶差分方程的经验告诉我们，Ab t 式在这种方程的通解中起非常重要的作用。
因此，我们先试探形式为y t ＝Ab t 的解，它自然意味着y t+1＝Ab t+1，等等。
二阶差分方程的通解
二阶差分方程的通解二阶差分方程的一般形式为：$y_{n+2}+ay_{n+1}+by_{n}=f(n)$其中，$a,b$为常数，$f(n)$为已知的函数。
二阶差分方程的通解一般可以分为两部分：齐次解和非齐次解。
1. 齐次解当$f(n)=0$时，原方程变为齐次方程：$y_{n+2}+ay_{n+1}+by_{n}=0$假设$y_n=x^n$是此齐次方程的一解，则代入原方程可得：$x^{n+2}+ax^{n+1}+bx^n=0$移项并化简得：x^n(x^2+ax+b)=0由于$x^n$不能恒等于零，所以有：$x^2+ax+b=0$这是一个二次方程，其通解可以表示为：$x_{1,2}= \frac{-a\pm\sqrt{a^2-4b}}{2}$因此，齐次解可以表示为：$y_n=c_1x_1^n+c_2x_2^n$其中，$c_1,c_2$为常数，$x_1,x_2$为二次方程$x^2+ax+b=0$的两根。
2. 非齐次解当$f(n)\neq 0$时，原方程既有齐次解又有非齐次解，非齐次解的形式可以根据具体$f(n)$的形式求得。
以$f(n)=p$为例，其中$p$为常数。
根据常数变易法，假设非齐次解为：$y_n=x_np$则代入原方程可得：$x_{n+2}p+ax_{n+1}p+bx_np=p$移项并化简得：$x_{n+2}+ax_{n+1}+bx_n=1$此时，非齐次解的形式可以表示为：$y_n=(c_1x_1^n+c_2x_2^n)+k$其中，$k$为待定常数。
将上式代入原方程可得：$k+ax_2c_1+(a+b)x_1c_2=1$由于$x_1,x_2$是二次方程$x^2+ax+b=0$的两根，因此：$x_1+x_2=-a$$x_1x_2=b$代入上式可得：$k=\frac{1}{a-b}(a^2p+(b-a)ap+b)$因此，二阶差分方程的通解为：$y_n=c_1x_1^n+c_2x_2^n+\frac{1}{a-b}(a^2p+(b-a)ap+b)$其中，$c_1,c_2$为待定常数，$x_1,x_2$为二次方程$x^2+ax+b=0$的两根，$p$为已知常数。
第3节 二阶常系数线性差分方程
yt 2 ayt 1 byt f (t )
对应齐次方程 yt 2 ayt 1 byt 0
(1) (2)
1.方程(1)的任意一个解加上方程(2)的任意一个解 是(1)的解； 2.方程(1)的任意两个解之差是(2)的解 . 定理2 设 yt 是方程(1)的一个特解,
yc (t ) 是(2)的通解, 那么方程(1)的通解为
t 而 0 ,于是有
a b 0
2
(3)
代数方程(3)称为差分方程(2)的特征方程, 它的根称为特征根(或特征值).
4
a b 0
2
(3)
记
a 4b ,
2
情形1 若 0 , 则特征方程(3)有两个相异的实根
a , 1, 2 2 t t 得到方程(2)的两个特解 y1 ( t ) 1 ,y2 ( t ) 2 ,
特征方程为 2 4 4 0
解得 1， 2 , 2
t 故所求通解为 yc (C1 C2t )2
9
例3 求差分方程 yt 2 yt 1 yt 0 的通解.
解 特征方程为
2 1 0
3 0 ,
故所求通解为 yc ( t ) C1 cos t C 2 si n t 3 3
于是(2)的通解为
情形2 若 0 , 则特征方程(3)有两个相等的实根 a a t 1, 2 , 只得到方程(2)的一个特解 y1 ( t ) ( ) , 2 2
a t yc ( t ) (C1 C 2 t )( ) 2
6
情形3 若 0 , 则特征方程(3)有一对共轭复根
y t yc ( t ) y t .
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一、二阶常系数齐次线性差分方程的求解 二、二阶常系数非齐次线性差分方程的求解 三、小结
1.定义
形如yx2 ayx1 byx f ( x)
(其中a, b 0均为常数，f ( x)为已知函数)
的差分方程，称为二阶常系数线性差分方程．
f ( x) 0时称为非齐次的，否则称为齐次的． yx2 ayx1 byx 0称为相应的齐次方程．
0时，取s
0，即y
x
k,代入原方程得
k c 1 a b
所 求 特 解yx
1
c a
b
ii)当1
a
b
0且a
2时, 取s
1,
即y
x
kx，
代入原方程得 k c 2a
此
时
有
特
解y
x
cx 2a
iii)当1 a b 0且a 2时，取s 2，即yx kx2，
y
x
cx qx1 2q a
iii)当q2 aq b 0但2q a 0时，取s 2得其特解为
y
x
cx qx1 4q a
(3) f ( x) cxn (c为常数)，即方程为
yx2 ayx1 byx cxn 设其具有形式为yx x s (B0 B1 x Bn xn ) 的特解(其中B0 , B1, , Bn为待定系数). i)当1 a b 0时，取s 0; ii)当1 a b 0且a 2时，取s 1;
1 a
a2 2
4b
, 2
a
a2 4b 2
称为相应方程的特征根.
现根据a2 4b的符号来确定其通解形式.
(1)第一种情形 a2 4b时
有两个相异的实特征根1与2，此时的通解具有
如下形式：
yx A11x A22x ( A1, A2为任意常数)
(2)第二种情形 a2 4b时
此时有特解
yx
1 2
cx 2
例 1 求差分方程
yx2 2 yx1 yx 12的通解及y0 0, y1 0 的特解.
解 2 2 0
即( 2)( 1) 0 解得1 2,2 1
yx A1(2)x A2
1 a b 1 1 2 0,但a 1 2,
通解为
yx
x( 7 50
1 10
x)
A1 (4) x
A2
三、小结
1.二阶常系数齐次线性差分方程求通解 2.二阶常系数非齐次线性差分方程求通解
练习题
1、 求 下 列 差 分 方 程 的 通解 及 特 解 ． (1) yx2 4 yx1 16 yx 0, ( y0 1, y1 1) (2) yx2 2 yx1 2 yx 0, ( y0 2, y1 2)
都是对应齐次方程的特解．可以证明
1 2
(
y
x
(1)
y
x
(
2
)
)及
1 2i
( yx(1)
yx(2) )源自也都是特解．故可得具有以下形式的通解：
yx r x ( A1 cosx A2 sinx)
( A1 , A2是 任 意 常 数)
二、 二阶常系数非齐次线性差分方程的求解
二 阶 常 系 数 非 齐 次 线 性差 分 方 程 的 通 解 由 两 项
的和组成：
一 项 是 该 方 程 的 一 个 特解yx， 另一项是对应的齐次差分方程的通解Yx .
即差分方程（2）的通解为y x
Yx
y
x
.
(1) f ( x) c(c为常数),即方程为 yx2 ayx1 byx c
可设
其
特解
形
式为y
x
kxs .
i)当1
a
b
练习题答案
1.(1) yx
4x ( Acos
3
x
B sin
4
x),
yx
4x ( 1 )sin
23 3
x;
(2) yx (
2)x ( Acos x B sin x),
4
4
yx (
2 )x 2 • cos x 1
4
y
x
x( B0
B1 x)
代入方程得 :
B0 ( x 2) B1( x 2)2 3B0 ( x 1) 3B1( x 1)2
4B0 x 4B1 x2 x
可得B0
7 50
,
B1
1 10
y
x
x(
7 50
1 10
x),
又yx A1(4)x A2 ,
iii)当1 a b 0，且a 2时，取s 2.
分别就以上情形，将设定特解代入原方程, 可确定 其特解.
例 1 求差分方程 yx2 5 yx1 4 yx x的特解．
解 1 a b 1 5 4 10 0
可
设y
x
B0
B1 x
代入方程 B0 B1( x 2) 5B0 5B1( x 1) 4B0 4B1 x x 比较两端同次项系数有
10B0 7B1 0 10B1 1
B0
7, 100
B1
1 10
则y
x
7 100
1 10
x
故通解为y x
7 100
1 10
x
A1 (1) x
A2 (4)x
例 2 求差分方程 yx2 3 yx1 4 yx 2的通解． 解 1 a b 1 3 4 0,且a 3 2
y
x
12x 1 2
4x
所给方程通解为yx 4x A1(2)x A2
由y0 A1 A2 ,即A1 A2 0 y1 4 2A1 A2 ,即2A1 A2 4
可得A1
4, 3
A2
4 3
故此时特解为~y x
4x
4 (2)x 3
4 3
(2) f ( x) cq x (c, q 1都是常数)，即方程为
yx2 ayx1 byx cq x
设其具有形
式
为y
x
kxsq x的特解.
i)当q2 aq b 0时, 取s 0，得其特解为
y
x
q2
cq x aq
b
ii)当q2 aq b 0但2q a 0时，取s 1得其特解为
2.解的结构定理 二阶常系数线性差分方程的通解
等于对应齐次方程的通解加上非齐次方程的一个
特解.即
yx
yx
y
x
.
一、二阶常系数齐次线性差分方程的求解
设Yx x ( 0)为对应齐次方程一个解，代入得
x2 ax1 bx 0
即2 a b 0
此方程称为对应齐次方程的特征方程, 其根
把它们化为三角表示式：
r 2 2 b,
tan 4b a2
a
则 r cos , r sin
1 r(cos i sin ),2 r(cos i sin ) yx(1) 1x r x (cos i sin ) yx(2) 2 x r x (cos i sin )
方程有两个相等的实特征根1
2
a ，此时 2
的通解具有如下形式：
yx
( A1
A2 x)(
a 2
)
x
(
A1
,
A2为 任 意 常 数)
(3)第三种情形 a2 4b时
方程有一对共轭的复特征根,
1
1 2
a
i
4b a2 i
2
1 2
a
i
4b a2 i