期末模拟题1答案

高等数学（2）期末复习模拟题一参考答案

一、单项选择题（每小题3分，共18分）

1．两直线1158

:121x y z L --+==

-与26:23

x y L y z -=⎧⎨+=⎩的夹角为 C ． A ．

π6 B ．π4 C ．π3 D ．π2

2．设函数22

,(,)(0,0)(,)0,(,)(0,0)

xy

x y x y

f x y x y ⎧≠⎪+=⎨⎪=⎩

，则 B ．

A ．极限00

lim (,)x y f x y →→存在，但(,)f x y 在点(0,0)处不连续 B ．极限00

lim (,)x y f x y →→不存在，故(,)f x y 在点(0,0)处不连续

C ．极限00

lim (,)x y f x y →→存在，且(,)f x y 在点(0,0)处连续

D ．极限00

lim (,)x y f x y →→不存在，但(,)f x y 在点(0,0)处连续

3

．设0

d (,)d a x

I x f x y y =⎰

，转化为极坐标后，I = A ．

A ．

π2cos 2π0

4d (cos ,sin )d a f r r r r θ

θθθ⎰

⎰

B ．π2sin 2π0

4

d (cos ,sin )d a f r r r r θθθθ⎰⎰

C ．

π2sin 20

d (cos ,sin )d a f r r r θθθθ⎰

⎰

D ．π2cos 20

d (cos ,sin )d a f r r r r θθθθ⎰⎰

4．下列级数为条件收敛的是 D ．

A ．1

(1)1n

n n n ∞

=-+∑ B

．1(1)n ∞=-∑．211(1)n n n ∞=-∑ D

．1(1)n n ∞

=-∑

5．设S ：()2222

0,0x y z a

z a ++=≥>，1

S

是S 在第一卦限中的部分，则有 C ．

A ．1

d 4d S

S x S x S =⎰⎰⎰⎰ B ．1

d 4d S

S y S x S =⎰⎰

⎰⎰

C ．1

d 4d S

S z S x S =⎰⎰⎰⎰ D ．1

d 4d S

S xyz S xyz S =⎰⎰⎰⎰

6．微分方程cos y y x x ''+=的一个特解形式为 B ．

A ．()cos ax b x +

B ．()cos ()sin x ax b x x cx d x +++

C ．()sin x ax b x +

D ．()cos ()sin ax b x cx d x +++

二、填空题（每小题3分，共18分）

1．2

22(,)(0,0)e ln(2)

lim 1cos x y x y x y y xy

+→+=-2ln 2．

2．设L 为椭圆22

143

x y +=，其周长为常数a ，则22(234)d L xy x y s ++⎰=12a ． 3．交错p 级数

1

1

(1)(0)n

p

n p n ∞

=->∑，当p 满足范围1p >，级数绝对收敛． 4．设2

2

2

(,,)f x y z x y z =++，则div ((,,))f x y z grad =6．

5．曲面22

1z x y =+-在点(2,1,4)M 处法向量（与z 轴正向成锐角）为(4,2,1)--. 6．∑为球面2

2

2

2

x y z R ++=(常数0R >)，则曲面积分

222

()d x y z S ∑

++⎰⎰

=44πR ． 三、计算题（每小题8分，共32分）

1．设221,()2g f xy x y ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，其中(,)f u v 具有二阶连续偏导数，且满足222

21f f u v ∂∂+=∂∂，求2222g g

x y

∂∂+∂∂． 解：

g f f

g f f

y x x y x u v y u v

∂∂∂∂∂∂=+=-∂∂∂∂∂∂， 22222222

g f f f f f

y y x x y x x u u v v v u v ⎡⎤⎡⎤

∂∂∂∂∂∂=++++⎢⎥⎢⎥∂∂∂∂∂∂∂∂⎣⎦⎣

⎦

222

2

2222f f f f y xy x u u v v v

∂∂∂∂=+++∂∂∂∂∂， 22222222g f f f f f x x y y x y y u u v v v u v ⎡⎤⎡⎤

∂∂∂∂∂∂=----⎢⎥⎢⎥

∂∂∂∂∂∂∂∂⎣⎦⎣

⎦

222

2

2222f f f f x xy y u u v v v

∂∂∂∂=-+-∂∂∂∂∂， 故 ()222

22222

2222g g f f x y x y x y u

v ⎛⎫∂∂∂∂+=++=+ ⎪∂∂∂∂⎝⎭

． 2．求幂级数

1(1)2

n n n x n ∞

=-⋅∑的收敛域，并求和函数． 解：令t x =-1,级数变为∑∞

=⋅12

n n n

n t ．1121lim lim (1)22n n n n n n a n a n ρ++→∞→∞⋅===+⋅，故2R =． 由,21<-x 解得31<<-x ．当1-=x 时，原级数变为∑∞

=-1

)1(n n n ，收敛；

当3=x 时，原级数变为∑∞

=11

n n

，发散． 因此收敛域为[)3,1-．设()S x ＝

1

(1)2

n

n

n x n ∞

=-⋅∑

，则 ()1

11

11()()12

x

x n n n S x S x x x x ∞

-='==-∑⎰⎰d d 11ln 2ln(3)3x x x x ==---⎰d ， 于是 )3ln(2ln )(x x S --=()13x -≤< ． 3．计算曲面积分2(81)d d 2(1)d d 4d d y x y z y z x yz x y I ∑

=

++--⎰⎰

，

其中∑为旋转抛物面22z x y =+被平面2z =所截下部分的下侧．

解：如图，添加平面1:2z ∑=取上侧． 设Ω为∑及1∑ 所围成的空间闭区域，∑在xoy 面的投影为

{}22(,)2xy D x y x y =+≤．由高斯公式，得

1

2

(81)d d 2(1)d d 4d d y x y z y z x yz x y ∑∑

+

++--⎰⎰d v Ω

=⎰⎰⎰2

2π22

d d 2πz ρ

θ

ρ

ρ=

=⎰

⎰

⎰

．

12

(81)d d 2(1)d d 4d d 8d d 0xy

D y x y z y z x yz x y y x y ∑++--=-=⎰⎰

⎰⎰．