2023年九年级中考数学复习++几何图形动点与函数图像综合讲义
2023中考数学综合复习知识点
2023中考数学综合复习知识点中考数学综合复习知识点1、二次函数的概念一般地，如果，那么y叫做x 的二次函数。
叫做二次函数的一般式。
2、二次函数的图像二次函数的图像是一条关于对称的曲线，这条曲线叫抛物线。
抛物线的主要特征：①有开口方向;②有对称轴;③有顶点。
3、二次函数图像的画法五点法：(1)先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴(2)求抛物线与坐标轴的交点：当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A,B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C的对称点D。
将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。
当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称点D。
由C、M、D三点可粗略地画出二次函数的草图。
如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点A、B，然后顺次连接五点，画出二次函数的图像。
初中中考数学知识点梳理二次函数的解析式有三种形式：(1)一般式：(2)顶点式：(3)当抛物线与x轴有交点时，即对应二次好方程有实根和存在时，根据二次三项式的分解因式，二次函数可转化为两根式。
如果没有交点，则不能这样表示。
注意：抛物线位置由决定.(1)决定抛物线的开口方向①开口向上.②开口向下.(2)决定抛物线与y轴交点的位置.①图象与y轴交点在x轴上方.②图象过原点.③图象与y轴交点在x轴下方.(3)决定抛物线对称轴的位置(对称轴：)①同号对称轴在y轴左侧.②对称轴是y轴.③异号对称轴在y轴右侧.(4)顶点坐标.(5)决定抛物线与x轴的交点情况.、①△0抛物线与x轴有两个不同交点.②△=0抛物线与x轴有的公共点(相切).③△0抛物线与x轴无公共点.(6)二次函数是否具有、最小值由a判断.①当a0时，抛物线有最低点，函数有最小值.②当a0时，抛物线有点，函数有值.(7)的符号的判定：表达式，请代值，对应y值定正负;对称轴，用处多，三种式子相约;轴两侧判，左同右异中为0;1的两侧判，左同右异中为0;-1两侧判，左异右同中为0.(8)函数图象的平移：左右平移变x，左+右-;上下平移变常数项，上+下-;平移结果先知道，反向平移是诀窍;平移方式不知道，通过顶点来寻找。
中考数学动点问题专题讲解
专题一：建立动点问题的函数解析式36xPHOP--236211x -2222233621419xxx MHPH+-++N G P O B xy∴y =GP=32MP=233631x + (0<x <6).(3)(3)△△PGH 是等腰三角形有三种可能情况是等腰三角形有三种可能情况: : ①GP=PH 时,x x =+233631,解得6=x . . 经检验经检验经检验, , 6=x 是原方程的根是原方程的根,,且符合题意且符合题意. .②GP=GH 时,2336312=+x ,解得0=x . . 经检验经检验经检验, , 0=x 是原方程的根是原方程的根,,但不符合题意但不符合题意. . ③PH=GH 时,2=x .综上所述综上所述,,如果△如果△PGH PGH 是等腰三角形是等腰三角形,,那么线段PH 的长为6或2.二、应用比例式建立函数解析式例例2（2006年²山东）如图2,2,在△在△在△ABC ABC 中,AB=AC=1,,AB=AC=1,点点D,E 在直线BC 上运动上运动..设BD=,x CE=y . (1) (1)如果∠如果∠如果∠BAC=30BAC=30BAC=30°°,∠DAE=105DAE=105°°,试确定y 与x 之间的函数解析式；之间的函数解析式； (2) (2)如果∠如果∠如果∠BAC BAC 的度数为a ,∠DAE 的度数为b ,当a ,b 满足怎样的关系式时满足怎样的关系式时,(1),(1),(1)中中y 与x 之间的函数解析式还成立数解析式还成立??试说明理由试说明理由. .解:(1):(1)在△在△在△ABC ABC 中,∵AB=AC,AB=AC,∠∠BAC=30BAC=30°°,∴∠∴∠ABC=ABC=ABC=∠∠ACB=75ACB=75°°, , ∴∠∴∠∴∠ABD=ABD=ABD=∠∠ACE=105ACE=105°°. ∵∠∵∠BAC=30BAC=30BAC=30°°,∠DAE=105DAE=105°°, , ∴∠∴∠∴∠DAB+DAB+DAB+∠∠CAE=75CAE=75°°, 又∠又∠DAB+DAB+DAB+∠∠ADB=ADB=∠∠ABC=75ABC=75°°, ∴∠∴∠CAE=CAE=CAE=∠∠ADB, ∴△∴△ADB ADB ADB∽△∽△∽△EAC, EAC, EAC, ∴∴ACBD CEAB =,∴11xy =, , ∴∴x y 1=.(2)(2)由于∠由于∠由于∠DAB+DAB+DAB+∠∠CAE=a b -,又∠又∠DAB+DAB+DAB+∠∠ADB=ADB=∠∠ABC=290a-°,且函数关系式成立函数关系式成立, ,∴290a-°=a b -, , 整理得整理得=-2a b °90. 当=-2a b °90时,函数解析式xy 1=成立成立. .例3(2005年²年²上海上海上海))如图3(1),3(1),在△在△在△ABC ABC 中,∠ABC=90ABC=90°°,AB=4,BC=3. 点O 是边AC 上的一个动点上的一个动点,,以点O 为圆心作半圆为圆心作半圆,,与边AB 相切于点D,交线段OC 于点E.E.作作EP EP⊥⊥ED,ED,交射线交射线AB 于点P,P,交射线交射线CB 于点F.(1)(1)求证求证求证: : : △△ADE ADE∽△∽△∽△AEP. AEP.(2)(2)设设OA=x ,AP=y ,求y 关于x 的函数解析式的函数解析式,,并写出它的定义域义域. . (3) (3)当当BF=1时,求线段AP 的长的长. . 解:(1):(1)连结连结OD.根据题意根据题意,,得OD OD⊥⊥AB,AB,∴∠∴∠∴∠ODA=90ODA=90ODA=90°°,∠ODA=ODA=∠∠DEP.又由OD=OE,OD=OE,得得∠ODE=ODE=∠∠OED.∴∠∴∠ADE=ADE=∠AEP, AEP, ∴∴△ADE ADE∽△∽△AEP.(2)∵∠ABC=90°,AB=4,BC=3, ∴AC=5. ∵∠ABC=∠A E D C B 图 2●P D E A C B 3(2) O F O ●F P D E A C B 3(1) ADO=90ADO=90°°, , ∴∴OD OD∥∥BC, BC, ∴∴53x OD =,54x AD =,∴OD=x 53,AD=x 54. . ∴∴AE=x x53+=x 58. ∵△∵△ADE ADE ADE∽△∽△∽△AEP, AEP, AEP, ∴∴AE ADAP AE=, , ∴∴xx yx585458=. . ∴∴x y 516=(8250£<x ).(3)(3)当当BF=1时，时，①若EP 交线段CB 的延长线于点F,F,如图如图3(1)3(1)，则，则CF=4.∵∠∵∠ADE=ADE=ADE=∠∠AEP, AEP, ∴∠∴∠∴∠PDE=PDE=PDE=∠∠PEC. PEC. ∵∠∵∠∵∠FBP=FBP=FBP=∠∠DEP=90DEP=90°°, , ∠∠FPB=FPB=∠∠DPE,∴∠∴∠F=F=F=∠∠PDE, PDE, ∴∠∴∠∴∠F=F=F=∠∠FEC, FEC, ∴∴CF=CE. ∴5-x 58=4,=4,得得85=x .可求得2=y ,即AP=2.②若EP 交线段CB 于点F,F,如图如图3(2), 3(2), 则则CF=2. 类似①类似①,,可得CF=CE. ∴5-x 58=2,=2,得得815=x .可求得6=y ,即AP=6.综上所述综上所述, , , 当当BF=1时,线段AP 的长为2或6. 三、应用求图形面积的方法建立函数关系式例4（2004年²上海）如图,在△在△ABC ABC 中,∠BAC=90BAC=90°°,AB=AC=22,⊙A 的半径为1.1.若点若点O 在BC 边上运动运动((与点B 、C 不重合不重合),),),设设BO=x ,△AOC 的面积为y .(1)(1)求求y 关于x 的函数解析式的函数解析式,,并写出函数的定义域并写出函数的定义域. .(2)(2)以点以点O 为圆心为圆心,BO ,BO 长为半径作圆O,O,求当⊙求当⊙求当⊙O O 与⊙与⊙A A 相切时相切时, , △AOC 的面积的面积. .解:(1):(1)过点过点A 作AH AH⊥⊥BC,BC,垂足为垂足为H.∵∠∵∠BAC=90BAC=90BAC=90°°,AB=AC=22, , ∴∴BC=4,AH=21BC=2. BC=2. ∴∴OC=4-x . ∵AH OC SAOC×=D 21, , ∴∴4+-=x y (40<<x ). (2)(2)①当⊙①当⊙①当⊙O O 与⊙与⊙A A 外切时外切时, ,在Rt Rt△△AOH 中,OA=1+x ,OH=x -2, , ∴∴222)2(2)1(x x -+=+. . 解得解得67=x .此时此时,,△AOC 的面积y =617674=-.②当⊙②当⊙O O 与⊙与⊙A A 内切时内切时, , 在Rt Rt△△AOH 中,OA=1-x ,OH=2-x , , ∴∴222)2(2)1(-+=-x x . . 解得解得27=x .此时此时,,△AOC 的面积y =21274=-.综上所述综上所述,,当⊙当⊙O O 与⊙与⊙A A 相切时相切时,,△AOC 的面积为617或21.A B C O 图8 H FABED专题二：动态几何型压轴题2x321017217ABCDEOlA ′ABCDEO lF 392+x 9412+x x 9+339412+x 3F GE AB D图3-2K F GE KF G E FGE U KFG EF GE AAA AA D D D DB D A BF MN332OBACOBACGFED CBAAD O33333COCOC1O则PC BP的值为的值为 （A ）2 （B ）3 （C ）23 （D ）26分析：本题是一道选择题，给出四个答案有且只有一个是正确的，因此可以取一个特殊位置进行研究，当点P 满足PB ⊥AB 时，可以通过计算得出PB=221322=-BC ³AP=BP ³AB ，因此，因此BC=62462288162822==+=+´BPAB BP AB ， 在三角形BPC 中，PC=36222=-BC BP，所以，PC BP=3选（B ）当然，本题还可以根据三角形相似得BP APPCBP=，即可计算出结论。
2023年九年级中考数学高频考点突破--二次函数与动态几何综合题
2023年中考数学高频考点突破--二次函数与动态几何综合题1．抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A、B、C，已知A（﹣1，0），C（0，3）.（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，P为线段BC上一点，过点P作y轴平行线，交抛物线于点D，当△BDC 的面积最大时，求点P的坐标；（3）如图2，抛物线顶点为E，EF△x轴于F点，M（m，0）是x轴上一动点，N是线段EF上一点，若△MNC=90°，请指出实数m的变化范围，并说明理由.2．综合与探究如图，抛物线y=34x2−154x+3与x轴交于A，B两点，且点A在点B的左侧，与y轴交于点C．（1）求点A，B和C的坐标；（2）点E是直线BC上的动点，过点E作x轴的垂线交抛物线于点F，当EF=OC时，求点E的横坐标；（3）点P从点B出发沿BC以1个单位长度/秒的速度向终点C运动，同时，点Q从点O出发以相同的速度沿x轴的正半轴向终点B运动，一点到达，两点同时停止运动．连接PQ，当△BPQ是等腰三角形时，请直接写出运动的时间．3．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c（a≠0）与x轴、y轴分别交于点A（3，0）、B（0，3）两点．（1）试求抛物线的解析式和直线AB的解析式；（2）动点E从O点沿OA方向以1个单位/秒的速度向终点A匀速运动，同时动点F沿AB方向以√2个单位/秒的速度向终点B匀速运动，E、F任意一点到达终点时另一个点停止运动，连接EF，设运动时间为t，当t为何值时△AEF为直角三角形？（3）抛物线位于第一象限的图象上是否存在一点P，使△PAB面积最大？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．4．如图，抛物线y=ax2+bx+ 4与x轴的两个交点分别为A（－4，0）、B（2，0），与y轴交于点C，顶点为D．E（1，2）为线段BC的中点，BC的垂直平分线与x轴、y轴分别交于F、G．（1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标；（2）在直线EF上求一点H，使△CDH的周长最小，并求出最小周长；（3）若点K在x轴上方的抛物线上运动，当K运动到什么位置时，△EFK的面积最大？并求出最大面积．5．已知抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）经过A（3，0）、B（4，1）两点，且与y轴交于点C.（1）求抛物线的解析式；（2）如图，设抛物线与x轴的另一个交点为D，在抛物线上是否存在点P，使△PAB的面积是△BDA面积的2倍？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.（3）如图（2），连接AC，E为线段AC上任意一点（不与A、C重合），经过A、E、O 三点的圆交直线AB于点F，当△OEF的面积取得最小值时，求面积的最小值及E点坐标.6．如图，在平面直角坐标系中，直线y=−12x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y=−23x2+bx+c过点B且与直线相交于另一点C(52,34).（1）求抛物线的解析式；（2）点P是抛物线上的一动点，当∠PAO=∠BAO时，求点P的坐标；（3）点N(n,0) (0<n<52)在x轴的正半轴上，点M(0,m)是y轴正半轴上的一动点，且满足∠MNC=90°.①求m与n之间的函数关系式；②当m在什么范围时，符合条件的N点的个数有2个？7．已知抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）经过A（3，0）、B（4，1）两点，且与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）如图（1），设抛物线与x轴的另一个交点为D，在抛物线的对称轴上找一点H，使△CDH的周长最小，求出H点的坐标并求出最小周长值．（3）如图（2），连接AC，E为线段AC上任意一点（不与A、C重合），经过A、E、O 三点的圆交直线AB于点F，当△OEF的面积取得最小值时，求面积的最小值及E点坐标．8．如图，二次函数y=ax2+bx+3的图象与x轴相交于点A（﹣3，0）、B（1，0），与y轴相交于点C，点G是二次函数图象的顶点，直线GC交x轴于点H（3，0），AD平行GC交y 轴于点D．（1）求该二次函数的表达式（2）求证：四边形ACHD是正方形（3）①作ME△x轴于点E，作MF△y轴于点F，根据四边形ADCM的面积为S，可得S=S四边形AOCM+S△AOD，再分别求出S四边形AOCM、S△AOD即可．②首先设点N的坐标是（t1，p1），则NI=|t1|，所以S△CMN=S△COM+S△CON=32（|t|+|t1|），再根据t＜0，t1＞0，可得S△CMN=32（|t|+|t1|）=32(t1-t)=214，据此求出t1﹣t=72；然后求出k1、k2的值是多少，进而求出t1、t2的值是多少，再把它们代入S关于t的函数表达式，求出S的值是多少即可．9．如图，抛物线y=14x2−32x−4与x轴交于A、B点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C．连结BC，以BC为一边，点O为对称中心作菱形BDEC，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为(m,0)，过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q．（1）求点A、B、C的坐标；（2）当点P在线段OB上运动时，直线l分别交BD、BC于点M、N．试探究m为何值时，四边形CQMD是平行四边形；（3）当点P在线段EB上运动时，是否存在点Q，使△BDQ为直角三角形，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．10．《函数的图象与性质》拓展学习片段展示：（1）（问题）如图①，在平面直角坐标系中，抛物线y=a(x-2)2-4经过原点O，与x轴的另一个交点为A，则a=，点A的坐标为．（2）（操作）将图①中的抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，如图②．直接写出翻折后的这部分抛物线对应的函数解析式：．（3）（探究）在图②中，翻折后的这部分图象与原抛物线剩余部分的图象组成了一个“W”形状的新图象，则新图象对应的函数y随x的增大而增大时，x的取值范围是．（4）（应用）结合上面的操作与探究，继续思考：如图③，若抛物线y=(x-h)2-4与x轴交于A，B两点（A在B左），将抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折，同样，也得到了一个“W”形状的新图象．①求A、B两点的坐标；（用含h的式子表示）②当1＜x＜2时，若新图象的函数值y随x的增大而增大，求h的取值范围．11．如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A(√3，0)，B两点（点B在点A 的左侧），与y轴交于点C，且OB=3OA=√3OC，∠OAC的平分线AD交y轴于点D，过点A且垂直于AD的直线l交y轴于点E，点P是x轴下方抛物线上的一个动点，过点P作PF⊥x轴，垂足为F，交直线AD于点H．（1）求抛物线的解析式；（2）设点P的横坐标为m，当FH=HP时，求m的值；（3）当直线PF为抛物线的对称轴时，以点H为圆心，12HC为半径作⊙H，点Q为⊙H上的一个动点，求14AQ+EQ的最小值．12．如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线C:y=ax2+bx+c与x轴相交于A，B两点，顶点为D(0,4),AB=4，设点F(m,0)是x轴的正半轴上一点，将抛物线C绕点F 旋转180°，得到新的抛物线C′．（1）求抛物线C的函数表达式；（2）若抛物线C′与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点，求m的取值范围．（3）如图2，P是第一象限内抛物线C上一点，它到两坐标轴的距离相等，点P在抛物线C′上的对应点P′，设M是C上的动点，N是C′上的动点，试探究四边形PMP′N 能否成为正方形？若能，求出m的值；若不能，请说明理由．13．如图1，抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知点B坐标为(2,0)，点C坐标为(0,2).（1）求抛物线的表达式；（2）如图2，点P为直线BC上方抛物线上的一个动点，当△PBC的面积最大时，求点P的坐标；（3）如图3，过点M(1,3)作直线MD⊥x轴于点D，在直线MD上是否存在点N，使点N到直线MC的距离等于点N到点A的距离？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.14．如图，抛物线y＝﹣13x2+bx+c经过点B（2 √3，0）、C（0，2）两点，与x轴的另一个交点为A.（1）求抛物线的解析式；（2）点D从点C出发沿线段CB以每秒√3个单位长度的速度向点B运动，作DE△CB 交y轴于点E，以CD、DE为边作矩形CDEF，设点D运动时间为t（s）.①当点F落在抛物线上时，求t的值；②若点D在运动过程中，设△ABC与矩形CDEF重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围.15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=−12x2+bx+c与直线AB交于点A(4,5)，B(0,1).（1）求该抛物线的函数表达式；（2）点C为该抛物线的顶点，连接AC，点P为抛物线上点B，C之间的任意一点，连接BP，CP，过点P作PE//AC交直线AB于点E，连接CE，求四边形CPBE面积的最大值；（3）设该抛物线沿射线AB方向平移2√2个单位后得到的抛物线为y1=a1x2+b1x+c1(a1≠0)，平移后的抛物线与原抛物线交于点G，连接AG、BG，将△ABG 沿直线AB方向平移，平移后得到△A′B′G′，其中点A的对应点为点A′，点B的对应点为点B′，点G的对应点为点G′.在平移过程中，是否存在点B′，使得△OG′B′是以B′G′为腰的等腰三角形，若存在，请直接写出点B′的横坐标，若不存在，请说明理由.16．如图，已知抛物线y=ax 2+ 85x+c 与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，且A （2，0），C （0，﹣4），直线l ：y=﹣ 12 x ﹣4与x 轴交于点D ，点P 是抛物线y=ax 2+ 85x+c 上的一动点，过点P 作PE△x 轴，垂足为E ，交直线l 于点F.（1）试求该抛物线表达式；（2）如图（1），若点P 在第三象限，四边形PCOF 是平行四边形，求P 点的坐标； （3）如图（2），过点P 作PH△y 轴，垂足为H ，连接AC. ①求证：△ACD 是直角三角形；②试问当P 点横坐标为何值时，使得以点P 、C 、H 为顶点的三角形与△ACD 相似？答案解析部分1．【答案】（1）解：由题意得： {−1−b +c =0c =3 ，解得： {b =2c =3, ，∴抛物线解析式为 y =−x 2+2x +3 （2） 解：令 −x 2+2x +3=0 ， ∴x 1= -1，x 2=3，即B （3，0）， 设直线BC 的解析式为y=kx+b′，∴{b ′=33k +b ′=0，解得： {b ′=3k =−1, ，∴直线BC 的解析式为 y =−x +3 ， 设P （a ，3-a ），则D （a ，-a 2+2a+3）， ∴PD=（-a 2+2a+3）-（3-a ）=-a 2+3a ， ∴S △BDC =S △PDC +S △PDB ，=12PD ⋅a +12PD ⋅(3−a)=3 2PD=32(−a2+3a)=−32(a−32)2+278∴当a=32时，△BDC的面积最大，此时P（32，32）（3）解：由（1），y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，∴OF=1，EF=4，OC=3，过C作CH△EF于H点，则CH=EH=1，当M在EF左侧时，∵△MNC=90°，则△MNF△△NCH，∴MFNH=FNBC，设FN=n，则NH=3-n，∴1−m3−n=n1，即n2-3n-m+1=0，关于n的方程有解，△=（-3）2-4（-m+1）≥0，得m≥ −54，当M在EF右侧时，Rt△CHE中，CH=EH=1，△CEH=45°，即△CEF=45°，作EM△CE交x轴于点M，则△FEM=45°，∵FM=EF=4，∴OM=5，即N为点E时，OM=5，∴m≤5，综上，m的变化范围为：−54≤m≤5.2．【答案】（1）解：把x=0代入y=34x2−154x+3中，得y=3．∴点C的坐标是(0，3)．把y=0代入y=34x2−154x+3中，得34x2−154x+3=0．解得x1=1，x2=4．∴点A的坐标是(1，0)，点B的坐标是(4，0)．∴点A的坐标是(1，0)，点B的坐标是(4，0)，点C的坐标是(0，3)．（2）解：设直线BC的解析式是y=kx+3．∵过点B(4，0)，∴0=4k+3．解得k=−3 4．∴直线BC的解析式是y=−34x+3．∵点E是直线BC上的动点，过点E作x轴的垂线交抛物线于点F，∴设点E的坐标是(m，−34m+3)，则点F的坐标是(m，34m2−154m+3)．∵EF=OC，点C的坐标是(0，3)，∴|34m2−154m+3−(−34m+3)|=3．∴34m2−3m=3，或34m2−3m=−3．解得m1=2+2√2，m2=2−2√2，m3=m4=2．∴点E的横坐标是2+2√2，2−2√2和2．（3）解：设运动时间为t，根据题意，若要构成△BPQ，则P、Q不与点B重合，t的取值范围为0<t<4，∴PB=OQ=t，BQ=4−t，如图，过点P作PD⊥x轴于点D，设点P的坐标为(a，−34a+3)，则BD=4−a，PD=−34a+3，根据勾股定理，在Rt △PDB 中， PD 2+DB 2=PB 2，(−34a +3)2+(4−a)2=t 2，解得a 1=4−45t ，a 2=4+45t （不符合题意，舍去），∴点P 的坐标为(4−4t 5，3t5)，∵点Q 的坐标为(t ，0)∴PQ 2=(4−4t 5−t)2+(3t 5)2=9025t 2−72t5+16，∵PB =OQ =t ，BQ =4−t ，PQ 2=(4−4t 5−t)2+(3t 5)2=9025t 2−72t5+16，①当BP =BQ 时， 即t =4−t ， 解得：t =2； ②当BP =PQ 时，t 2=9025t 2−72t5+16，解得：t 1=2013，t 2=4（不符合题意，舍去），③当BQ =PQ 时，(4−t)2=9025t 2−72t5+16，解得：t 1=3213，t 2=0（不符合题意，舍去），综上所述：当△BPQ 是等腰三角形时，时间为2秒，2013秒，3213秒．3．【答案】（1）解：∵抛物线y=﹣x 2+bx+c （a≠0）经过A （3，0），B （0，3），∴{−9+3b +c =0c =3 ，解得 {b =2c =3，∴抛物线解析式为y=﹣x 2+2x+3， 设直线y=kx+n ，∴{3k +n =0n =3 ，解得 {k =−1n =3 ，∴直线AB 的解析式为y=x+3（2）解：由题意可知OE=t ，则AF= √2 t ，AE=3﹣t ， ∵△AEF 为直角三角形，∴有△AEF=90°和△AFE=90°两种情况， ①当△AEF=90°时，则有△AOB△△AEF ，∴AB AF = AO AE ，即√2√2t= 33−t ，解得t= 32 ； ②当△AFE=90°时，则有△AOB△△AFE ，∴OA AF = AB AE ，即 3√2t = 3√23−t，解得t=1； 综上可知当t 为 32或1时△AEF 为直角三角形（3）解：如图，过P 作PC△y ，AB 于点C ，交x 轴于点D ，设P （x ，﹣x 2+2x+3）（0＜x ＜3），则C （x ，﹣x+3）， ∵P 为抛物线在第一象限内的点， ∴PC=﹣x 2+2x+3﹣（﹣x+3）=﹣x 2+3x ，∴S △PAB =S △PBC +S △PAC = 12 PC•OD+ 12 PC•AD= 12 PC•OA= 32 PC= 32 （﹣x 2+3x ）=﹣ 32（x﹣ 32 ）2+ 278 ，∵﹣ 32＜0，∴当x= 32 时，S △PAB 有最大值 278 ，此时P 点坐标为（ 32 ， 154），综上可知存在满足条件的点P ，其坐标为（ 32 ， 154）4．【答案】（1）解：由题意，得 {16a −4b +4=04a +2b +4=0解得 a =−12 ，b=－1．所以抛物线的解析式为 y =−12x 2−x +4 ，顶点D 的坐标为（－1， 92 ）．（2）解：设抛物线的对称轴与x 轴交于点M ．因为EF 垂直平分BC ，即C 关于直线EG 的对称点为B ，连结BD 交于EF 于一点，则这一点为所求点H ，使DH+CH 最小，即最小为DH+CH=DH+HB=BD= √BM 2+DM 2=32√13 ．而 CD =√12+(92−4)2=√52．∴△CDH 的周长最小值为CD+DR+CH= √5+3√132．设直线BD 的解析式为y=k 1x+b ，则 {2k 1+b 1=0−k 1+b 1=92 解得 k 1=−32 ，b 1= 3．所以直线BD 的解析式为y= −32x+ 3．由于BC= 2 √5 ，CE=BC∕2 = √5 ，Rt△CEG△△COB ， 得CE:CO=CG:CB ，所以CG= 2.5，GO= 1.5．G （0，1.5）．同理可求得直线EF 的解析式为y= 12 x+ 32．联立直线BD 与EF 的方程，解得使△CDH 的周长最小的点H （ 34 ， 158）．（3）解：设K （t ， −12t 2−t +4 ），x F ＜t ＜x E ．过K 作x 轴的垂线交EF 于N ．则KN=y K －y N = −12t 2−t +4 －（ 12 t+ 32 ）= −12t 2−32t +52．所以S △EFK =S △KFN +S △KNE = 12 KN （t+ 3）+ 12 KN （1－t ）= 2KN= －t 2－3t+ 5 =－（t+ 32）2+ 294． 即当t=－ 32 时，△EFK 的面积最大，最大面积为 294 ，此时K （－ 32 ， 358）．5．【答案】（1）解：将点A （3，0），B （4，1）代入可得： {9a +3b +3＝014a +4b +3＝1 ，解得： {a =12b =−52， 故函数解析式为 y =12x 2−52x +3 ；（2）解：∵抛物线与x 轴的交点的纵坐标为0， ∴12x 2−52x +3=0 ，解得：x 1＝3，x 2＝2，∴点D 的坐标为（2，0），取点E （1，0），作EP△AB 交抛物线于点P ，∵ED＝AD＝1，∴此时△PAB的面积是△DAB的面积的两倍，∵直线AB解析式为y＝x﹣3，∴直线EP为y＝x﹣1，由{y=x−1y=12x2−52x+3解得{x=7−√172y=5−√172或{x=7+√172y=5+√172，∴点P坐标（7−√172，5−√172）或（7+√172，5+√172）.（3）解：如图2中，作BD△OA于D.∵A（3，0），C（0，3），B（4，1），∴OA＝OC＝3，AD＝BD＝1，∴△OAC＝△BAD＝45°，∵△OAF＝△BAD＝45°，∴△EAF＝90°，∴EF是△AEO的外接圆的直径，∴△EOF＝90°，∴△EFO＝△EAO＝45°，∴△EOF是等腰直角三角形，∴当OE最小时，△EOF的面积最小，∵OE△AC 时，OE 最小，OC ＝OA ，∴CE ＝AE ，OE ＝ 12 AC ＝ 3√22，∴E （ 32 ， 32 ），S △EOF ＝ 12×3√22×3√22=94.∴当△OEF 的面积取得最小值时，面积的最小值为 94 ，E 点坐标（ 32 ， 32）.6．【答案】（1）解：∵直线 y =−12x +2 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，令x=0，则y=2，令y=0，则x=4， ∴A （4，0），B （0，2），∵抛物线 y =−23x 2+bx +c 经过B （0，2）， C(52,34) ，∴{2=c34=−23×254+52b +c ，解得： {b =76c =2 ，∴抛物线的表达式为： y =−23x 2+76x +2 ；（2）解：当点P 在x 轴上方时，点P 与点C 重合，满足 ∠PAO =∠BAO ，∵C(52,34) ，∴P(52,34) ，当点P 在x 轴下方时，如图，AP 与y 轴交于点Q ，∵∠PAO =∠BAO ， ∴B ，Q 关于x 轴对称， ∴Q （0，-2），又A （4，0），设直线AQ 的表达式为y=px+q ，代入，{−2=q 0=4p +q ，解得： {p =12q =−2， ∴直线AQ 的表达式为： y =12x −2 ，联立得：{y =12x −2y =−23x 2+76x +2，解得：x=3或-2，∴点P的坐标为（3，−12）或（-2，-3），综上，当∠PAO=∠BAO时，点P的坐标为：(52,34)或（3，−12）或（-2，-3）；（3）解：①如图，△MNC=90°，过点C作CD△x轴于点D，∴△MNO+△CND=90°，∵△OMN+△MNO=90°，∴△CND=△OMN,又△MON=△CDN=90°，∴△MNO△△NCD，∴MOND=NOCD，即m52−n=n34，整理得：m=−43n2+103n；②如图，∵△MNC=90°，以MC为直径画圆E，∵N(n,0) (0<n<5 2)，∴点N在线段OD上（不含O和D），即圆E与线段OD有两个交点（不含O和D），∵点M在y轴正半轴，当圆E与线段OD相切时，有NE= 12MC，即NE2= 14MC2，∵M（0，m），C(52,34)，∴E（54，38+m2），∴(38+m2)2= 14[(52)2+(m−34)2]，解得：m= 25 12，当点M与点O重合时，如图，此时圆E与线段OD（不含O和D）有一个交点，∴当0＜m＜2512时，圆E与线段OD有两个交点，故m的取值范围是：0＜m＜25 12.7．【答案】（1）解：将点A（3，0），B（4，1）代入可得：{9a+3b+3=014a+4b+3=1，解得：{a=12b=−52，故函数解析式为y= 12x2﹣52x+3（2）解：如图1中，连接DC、AC，AC交对称轴于H，连接DH，此时△CDH的周长最小．∵A、D关于对称轴对称，HD=HA，x∴DH+CH=AC= √32+42=5，CD= √22+32= √13，∴△CDH的周长的最小值为5+ √13，∵A（3，0），C（3，0），∴直线AC的解析式为y=﹣x+3，∴H（52，12）（3）解：如图2中，作BD△OA于D．∵A（3，0），C（0，3），B（4，1），∴OA=OC=3，AD=BD=1，∴△OAC=△BAD=45°，∵△OAF=△BAD=45°，∴△EAF=90°，∴EF是△AEO的外接圆的直径，∴△EOF=90°，∴△EFO=△EAO=45°，∴△EOF是等腰直角三角形，∴当OE最小时，△EOF的面积最小，∵OE△AC时，OE最小，OC=OA，∴CE=AE，OE= 12AC=3√22，∴E（32，32），S△EOF=12•3√22• 3√22= 94．∴当△OEF的面积取得最小值时，面积的最小值为94，E点坐标（32，32）8．【答案】（1）解：（1）∵二次函数y=ax2+bx+3的图象与x轴相交于点A（﹣3，0）、B（1，0）， ∴{9a −3b +3=0a +b +3=0 解得{a =−1b =−2∴二次函数的表达式为y=﹣x 2﹣2x+3． （2）解：如图1，，∵二次函数的表达式为y=﹣x 2﹣2x+3， ∴点C 的坐标为（0，3）， ∵y=﹣x 2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4， ∴点G 的坐标是（﹣1，4）， ∵点C 的坐标为（0，3），∴设CG 所在的直线的解析式是y=mx+3， 则﹣m+3=4， ∴m=﹣1，∴CG 所在的直线的解析式是y=﹣x+3， ∴点H 的坐标是（3，0）， 设点D 的坐标是（0，p ），则p−00−(−3)=3−00−3=−1，∴p=﹣3，∵AO=CO=DO=HO=3，AH△CD ， ∴四边形ACHD 是正方形．（3）解：①如图2，作ME△x 轴于点E ，作MF△y 轴于点F ，，∵四边形ADCM 的面积为S ，∴S=S 四边形AOCM +S △AOD ，∵AO=OD=3，∴S △AOD =3×3÷2=4.5，∵点M （t ，p ）是y=kx 与y=﹣x 2﹣2x+3在第二象限内的交点，∴点M 的坐标是（t ，﹣t 2﹣2t+3），∵ME=﹣t 2﹣2t+3，MF=﹣t ，∴S 四边形AOCM =12×3×（﹣t 2﹣2t+3）12×3×(-t)=﹣32t 2﹣92t+92，∴S=﹣32t 2﹣92t+92+4.5=﹣32t 2﹣92t+9，﹣3＜t ＜0．②如图3，作NI△x 轴于点I ，，设点N 的坐标是（t 1，p 1），则NI=|t 1|，∴S △CMN =S △COM +S △CON =32（|t|+|t 1|），∵t ＜0，t 1＞0，∴S △CMN =32（|t|+|t 1|）=32(t 1-t)=214，∴t 1-t=72，联立{y =kxy =−x 2−2x +3可得x 2﹣（k+2）x ﹣3=0，∵t 1、t 是方程的两个根，∴{t 1+t =k +2t 1t =−3∴t (t 1−t)2=(t 1+t)2﹣4t 1t=（k+2）2﹣4×（﹣3）=(72)2=494，解得k 1=−32，k 2=−52，a 、k=﹣32时，由x 2+（2﹣32）x ﹣3=0，解得x 1=﹣2，或（舍去）．b 、k=﹣52时，由x 2+（2﹣52）x ﹣3=0，解得x 3=﹣32，或x 4=2（舍去），∴t=﹣2，或t=﹣32，t=﹣2时，S=﹣32t 2﹣92t+9=﹣32×4﹣92×（﹣2）+9=12t=﹣32时，S=﹣32×94﹣92×(-32)+9=998，∴S 的值是12或998．9．【答案】（1）解：当 y =0 时， 14x 2−32x −4=0 ，解得 x 1=−2 ， x 2=8 ，∵ 点 B 在点 A 的右侧，∴ 点 A 的坐标为 (−2,0) ，点 B 的坐标为 (8,0) ． 当 x =0 时， y =−4 ， ∴ 点 C 的坐标为 (0,−4) ．（2）解：由菱形的对称性可知，点 D 的坐标为 (0,4) ． 设直线 BD 的解析式为 y =k x +b ，则 {b =48k +b =0，解得 k =−12， b =4 ．∴ 直线 BD 的解析式为 y =−12x +4 ．∵l ⊥x 轴，∴ 点 M 的坐标为 (m,−12m +4) ，点 Q 的坐标为 (m,14m 2−32m −4) ．如图，当 MQ =DC 时，四边形 CQMD 是平行四边形，∴(−12m +4)−(14m 2−32m −4)=4−(−4) ．化简得： m 2−4m =0 ，解得 m 1=0 （不合题意舍去）， m 2=4 ． ∴ 当 m =4 时，四边形 CQMD 是平行四边形．（3）解：抛物线上存在两个这样的点Q ，分别是Q 1（-2，0），Q 2（6，-4）． 若△BDQ 为直角三角形，可能有三种情形，如答图所示：①以点Q 为直角顶点．此时以BD 为直径作圆，圆与抛物线的交点，即为所求之Q 点． ∵P 在线段EB 上运动，∴-8≤x Q ≤8，而由图形可见，在此范围内，圆与抛物线并无交点，故此种情形不存在． ②以点D 为直角顶点．连接AD ，∵OA=2，OD=4，OB=8，AB=10， 由勾股定理得：AD=2 √5 ，BD=4 √5 ， ∵AD 2+BD 2=AB 2，∴△ABD 为直角三角形，即点A 为所求的点Q ． ∴Q 1（-2，0）； ③以点B 为直角顶点．如图，设Q 2点坐标为（x ，y ），过点Q 2作Q 2K△x 轴于点K ，则Q 2K=-y OK=x ，BK=8-x ． 易证△Q 2KB△△BOD ，∴Q 2K OB =BK OD，即−y 8=8−x4 ，整理得：y=2x-16． ∵点Q 在抛物线上，∴y= 14x 2−32x −4∴14x 2−32x −4 =2x-16，解得x=6或x=8， 当x=8时，点Q 2与点B 重合，故舍去； 当x=6时，y=-4， ∴Q 2（6，-4）．综上所述，正确的点Q 的坐标为（-2，0）或（6，-4）．10．【答案】（1）1；（4，0）（2）y=-(x-2)2+4（3）0＜x ＜2（填0≤x≤2也可以）或x ＞4（4）解：①令y =(x −ℎ)2−4=0，解得：x 1=ℎ−2，x 2=ℎ+2. 故点A ，B 的坐标为：A(ℎ−2，0)，B(ℎ+2，0). ②当1<x <2时，新图象的函数值y 随x 增大而增大， 则：{ℎ−2≤1ℎ≥2 或ℎ+2≤1.解得：2≤ℎ≤3或ℎ≤−1.11．【答案】（1）解：由题意A （ √3 ，0），B （﹣3 √3 ，0），C （0，﹣3），设抛物线的解析式为y ＝a （x+3 √3 ）（x −√3 ），把C （0，﹣3）代入得到a =13，∴抛物线的解析式为y =13 x 2+23√3 x ﹣3（2）解：在Rt△AOC 中，tan△OAC =OCOA =√3 ，∴△OAC ＝60°．∵AD 平分△OAC ，∴△OAD ＝30°，∴OD ＝OA•tan30°＝1，∴D （0，﹣1），∴直线AD 的解析式为y =√33 x ﹣1，由题意P （m ， 13 m 2+2√33m ﹣3），H （m ， √33 m ﹣1），F （m ，0）．∵FH ＝PH ，∴1 −√33m =√33 m ﹣1﹣（ 13 m 2+2√33m ﹣3）解得m =−√3 或 √3 （舍弃），∴当FH ＝HP 时，m 的值为 −√3 （3）解：如图，∵PF 是对称轴，∴F （ −√3 ，0），H （ −√3 ，﹣2）． ∵AH△AE ，∴△EAO ＝60°，∴EO =√3 OA ＝3，∴E （0，3）．∵C （0，﹣3），∴HC =√（√3）2+12= 2，AH ＝2FH ＝4，∴QH =12 CH ＝1，在HA上取一点K ，使得HK =14 ，此时K （ −78√3，−158）．∵HQ 2＝1，HK•HA ＝1，∴HQ 2＝HK•HA ，∴HQ AH =KHHQ ．∵△QHK ＝△AHQ ，∴△QHK△△AHQ ，∴KQ AQ =HQ AH =14 ，∴KQ =14AQ ，∴14 AQ+QE ＝KQ+EQ ，∴当E 、Q 、K 共线时， 14AQ+QE 的值最小，最小值 =（7√38）2+（158+3）2=√4174．12．【答案】（1）解：由题意抛物线的顶点 D(0,4),A(−2,0) ，设抛物线的解析式为 y =ax 2+4 ，把 A(−2,0) 代入可得 a =−1 ，∴抛物线C 的函数表达式为 y =−x 2+4 ．（2）解：由题意抛物线 C ′ 的顶点坐标为 (2m,−4) ，设抛物线 C ′ 的解析式为 y =(x −2m)2−4 ，由 {y =−x 2+4y =(x −2m)2−4 ，消去y 得到 x 2−2mx +2m 2−4=0 ， 由题意，抛物线 C ′ 与抛物线C 在y 轴的右侧有两个不同的公共点， 则有 {(2m)2−4(2m 2−4)>02m >02m 2−4>0 ，解得 √2<m <2 ， ∴满足条件的m 的取值范围为 √2<m <2 ． （3）解：结论：四边形 PMP ′N 能成为正方形．理由：1情形1，当 0<m <√17−12时，如图，作 PE ⊥x 轴于 E, MH ⊥x 轴于H ．由题意P 点在二次函数上，且横纵坐标相等， x =−x 2+4 ，解得 x =√17−12（舍去负值），∴P(√17−12,√17−12) ，当 △PFM 是等腰直角三角形时，四边形 PMP ′N 是正方形， ∴PF =FM, ∠PFM =90° ，可证 △PFE ≌△FMH ，可得 PE =FH =√17−12, EF =HM =√17−12−m ，∴M(m +√17−12,m −√17−12) ，∵点M 在 y =−x 2+4 上， ∴m −√17−12=−(m +√17−12)2+4 ，解得 m =−√17+√13+4√172或 −√17−√13+4√172（舍弃），∴m =−√17+√13+4√172时，四边形 PMP ′N 是正方形，情形2，如图，当 m >√17−12 时，四边形 PMP ′N 是正方形，同法可得 M(m −√17−12,√17−12−m) ，把 M(m −√17−12,√17−12−m) 代入 y =−x 2+4 中，√17−12−m =−12(m −√17−12)2+4 ，解得 m =√17 或0（舍弃）， ∴m =√17 时，四边形 PMP ′N 是正方形． 综上，四边形 PMP ′N 能成为正方形，m =−√17+√13+4√172或 √17 ．13．【答案】（1）∵ 点 B(2,0) ，点 C(0,2) 在抛物线 y =x 2+bx +c 图象上，∴{−4+2b +c =0c =2 ，解得 {b =1c =2 ，∴ 抛物线解析式为： y =−x 2+x +2 . （2）设直线BC 的解析式为y=kx+n ， ∵ 点 B(2,0) ，点 C(0,2) ， ∴{2k +n =0n =2 ，解得 {k =−1n =2 ，∴ 直线 BC 解析式为： y =−x +2 ，如图，过点 P 作 PH ⊥x 轴于 H ，交 BC 于点 G ，设点 P(m,−m 2+m +2) ，则点 G(m,−m +2) ，∴PG =(−m 2+m +2)−(−m +2)=−m 2+2m ，∵S △PBC =12×PG ×OB =12×2×(−m 2+2m)=−(m −1)2+1 ，∴ 当 m =1 时， S △PBC 有最大值， ∴ 点 P(1,2) .（3）存在 N 满足条件，理由如下：∵ 抛物线 y =−x 2+x +2 与 x 轴交于 A ， B 两点， ∴ 点 A(−1,0) ，∵点 M 为 (1,3) ，点 C(0,2) ，设直线MC 解析式为y=ax+z ， ∴{a +z =3z =2 ，解得 {a =1z =2，∴ 直线 MC 的解析式为： y =x +2 ，如图，设直线 MC 与 x 轴交于点 E ，过点 N 作 NQ ⊥MC 于 Q ，连接AN ，∴ 点 E(−2,0) ， ∴DE =3=MD ，∴∠NMQ =45° . NQ =√22MN ，设点 N(1,n) ， ∴NQ 2=AN 2 ，∴(√22MN)2=AN 2 ， ∴(√22|3−n|)2=4+n 2 ，∴n2+6n−1=0，∴n=−3±√10，∴存在点N满足要求，点N坐标为(1,−3+√10)或(1,−3−√10).. 14．【答案】（1）解：把B(2√3，0),C(0，2)两点代入抛物线解析式得：{−4+2√3b+c=0c=2,解得：b=√33，c=2，则抛物线解析式为y=−13x 2+√33x+2；（2）解：①如图1所示，点F在抛物线上，作DG△y轴，FH△y轴，易得△CDG△△EFH，即CG＝HE，GD＝FH，由题意得：CD=EF=√3t，∵△CGD△△COB，∴CG2=√3t4=2√3,即CG=HE=√32t，DG=FH=32t，∵CE=2CD=2√3t,∴OH＝3√32t−2，即F(−32t,−2+3√32t)，代入抛物线解析式得：−2+3√32t=−13×94t2+√33×(−32)+2,解得：t= 4√33；②分三种情况考虑：（i）如图2所示，△ABC与矩形CDEF重叠部分为矩形CDEF，在Rt△CDE中，CD=√3t，∠ECD=60°，∴DE＝3t，∴S=3t⋅√3t=3√3t2(0<t≤√3 3).（ii）如图3所示，△ABC与矩形CDEF重叠部分为五边形CDHGF，由题意得：CD=√3t，在Rt△CED中，△ECD＝60°，∴CE=2√3t，∴OE=2√3t−2，在Rt△OGE中，GE=2OE=4√3t−4，同理可得EH=4t−4√33，即S△GEH=12GE⋅EH=(2√3t−2)(4t−4√33)，则S=√3t⋅3t−(2√3t−2)(4t−4√33)=−5√3t 2+16t−8√33(√33<t≤4√39);（iii）如图4，△ABC与矩形CDEF重叠部分为四边形CDMN，由题意得：CN=2√32=4√33，CD=√3t，BD=4−√3t,在Rt△BMD 中， DM =√3t√3,则 S =S △BCN −S △BDM ,=12CN ⋅BC −12BD ⋅DM ，=12×4√33×4−12×(4−√3t)√3t √3,=−√32t2+4t(4√39<t ≤4√33).15．【答案】（1）∵y=- 12x 2+bx+c把A （4，5）B （0，1）代入{−12×16+4b +c =5c =1{b =3c =1∴y= −12x 2+3x +1（2）过点P 作PM△x 轴交AB 于F ，如图∵PE//AC ∴S △PEC =S △APE直线 AB 交于点 A(4，5) ， B(0，1) . S 四边形BPCE =S △PBE +S △PEC =S △PBE +S △APE =S △APB 设AB 的解析式为y=kx+b∵直线 AB 经过点 A(4，5) ， B(0,1) . ∴{4k +b =5b =1解得{k =1b =1∴y=x+1设点P （x ，- 12x 2+3x +1 ) 则点F(x ，x+1)∴PF=(- 12x 2+3x +1)−(x +1)=−12x 2+2x △ABP 的面积S = 12 PF×BK= 12×4PF=- x 2 +4x 当x=- b 2a=2 时，S △ABP 最大值=-22+4×2=4 ∴四边形CPBE 面积的最大值为4（3）如图，该抛物线沿射线 AB 方向平移 2√2 个单位，即沿x 轴负方向平移2个单位，沿y 轴负方向平移2个单位.∴平移后抛物线解析式为：y=- 12(x +2)2+3(x +2)+1−2 =- 12x 2＋x+3 { y =−12x 2+x +3y =−12x 2+3x +1 {x =1y =72∴G(1， 72） ∴BG= √(1−0)2+(72−1)2=√292=B′G′ 分两种情况讨论，第一种情况当OB ＇=B ＇G ＇= √292设点B`的坐标为(x,x+1)√x 2+(x +1)2=√292解得x= −12−3√64 ，或- 12 + 3√64 第二种情况当OG ＇=B ＇G ＇∴K GG`=K AB =1∴y- 72 =x-1 ∴GG`的解析式为y=x+ 52设点B`的坐标为(x,x+1)，则点G`的坐标为(x+1, x+ 72) ∵OG ＇=B ＇G ＇∴√(x +1)2+(x +72)2=√292解得x= −94−√334 或 −94+√334综上：B`的横坐标为 −12−3√64 ，- 12 + 3√64 ， −94−√334 ，或 −94+√334. 16．【答案】（1）解：由题意得： {4a +85×2+c =0c =−4 ，解得： {a =15c =−4， ∴抛物线的表达式为y= 15 x 2+ 85x ﹣4. （2）解：设P （m ， 15 m 2+ 85 m ﹣4），则F （m ，﹣ 12m ﹣4）. ∴PF=（﹣ 12 m ﹣4）﹣（ 15 m 2+ 85 m ﹣4）=﹣ 15 m 2﹣ 2110m. ∵PE△x 轴，∴PF△OC.∴PF=OC 时，四边形PCOF 是平行四边形.∴﹣ 15 m 2﹣ 2110 m=4，解得：m=﹣ 52或m=﹣8. 当m=﹣ 52时， 15 m 2+ 85 m ﹣4=﹣ 274 ， 当m=﹣8时， 15 m 2+ 85m ﹣4=﹣4. ∴点P 的坐标为（﹣ 52，﹣ 274 ）或（﹣8，﹣4）. （3）①证明：把y=0代入y=﹣ 12 x ﹣4得：﹣ 12x ﹣4=0，解得：x=﹣8. ∴D （﹣8，0）.∴OD=8.∵A （2，0），C （0，﹣4），∴AD=2﹣（﹣8）=10.由两点间的距离公式可知：AC2=22+42=20，DC2=82+42=80，AD2=100，∴AC2+CD2=AD2.∴△ACD是直角三角形，且△ACD=90°.②解：由①得△ACD=90°.当△ACD△△CHP时，ACCD=CHHP，即2√54√5=|−15n2−85n||−n|，解得：n=0（舍去）或n=﹣5.5或n=﹣10.5.当△ACD△△PHC时，ACCD=PHCH，即2√54√5=|n||−15n2−85n|，解得：n=0（舍去）或n=2或n=﹣18.综上所述，点P的横坐标为﹣5.5或﹣10.5或2或﹣18时，使得以点P、C、H为顶点的三角形与△ACD相似。
2024年九年级中考数学一轮复习大纲课件
指数与对数的运算
学习指数与对数的定 义及其运算规则，掌 握它们在代数式中的
应用。
函数与关系的建立
了解函数与关系的概 念，学会建立函数关 系式并进行相关运算。
代数式的综合应用
综合运用所学知识， 解决复杂的代数式问 题，提高解决问题的
能力。
一元一次方程与不等式
反比例函数
反比例函数的图像与性质
反比例函数基础
详解反比例函数的定义、性质和图像特征
反比例函数应用
阐述反比例函数在实际问题中的应用和解题技巧
反比例函数综合
探讨反比例函数的综合问题和解题策略
函数图像的识别与应用
函数图像的特点和应用场景
函数图像的基本性质
图像变换、对称性、单调性、最值问题
函数图像的识别
• 学习如何用区间表示一元一次方程和 一元一次不等式的解集。
二元一次方程与不等式
二元一次方程和不等式的解法与应用
二元一次方程基本概念
01
介绍二元一次方程的定义、组成及解法
解二元一次方程组
02
解析二元一次方程组的解法及应用
不等式基本概念
03
阐述不等式的定义、性质及解集表示
解二元一次不等式组
04
讲解二元一次不等式组的解法及应用
中考数学一轮复习
全面提高数学素养，备战中考
目录 1.实数与函数 2.几何 3.代数 4.统计与概率 5.综合应用题 6.数学思想与方法
实数与函数
实数与函数的基础知识和应用
实数概念及运算
实数的定义、分类和运算规则
实数的分类与表 示
实数分为有理数和无理数， 有理数可以表示为分数或 整数，无理数不能表示为
2023年中考数学高频考点训练——动点问题的函数图象
2023年中考数学高频考点训练——动点问题的函数图象一、综合题1．小亮在学习中遇到了这样一个问题：把一副三角尺如图摆放，直角三角尺的两条直角边分别垂直或平行，即90,6cm C AC BC ∠=︒==，点D 在AB 上，DE BC ⊥于点E ，射线DF 与射线AC 交于点F ，60EDF ∠=︒，顶点D 在斜边AB 上移动，设BE 两点间的距离为cm x ，EF 两点间的距离为cm EF y ，DE 两点间的距离为cm DE y .（1）当点F 与点C 重合时，求x 的长度（保留一位小数）；（2）通过测量，得到了x 与EF y 的几组值，如下表：将线段BE 的长度作为自变量x ，EF DE 直角坐标系xOy 中画出函数EF y 和DE y 的图象；（3）结合图象直接写出：当DEF 为等边三角形时，BE 长度的近似值（结果保留一位小数）2．在以点O 为原点的平面直角坐标系中，边长为1的正方形OABC 的两顶点A ，C 分别在y 轴，x 轴的正半轴上，现将正方形OABC 绕点О顺时针旋转，当点A 第一次落在直线y x =上时，停止转动，旋转过程中，AB 边交直线y x =于点M ，BC 边交轴于点N.（1）旋转停止时正方形旋转的度数是.（2）在旋转过程中，当MN 和AC 平行时，①OAM 与OCN 是否全等？此时正方形OABC 旋转的度数是多少？②直接写出MBN 的周长的值，并判断这个值在正方形OABC 的旋转过程中是否发生变化.3．如图，点C 是以点O 为圆心，AB 为直径的半圆上的动点（不与点A ，B 重合），AB ＝6cm ，过点C 作CD ⊥AB 于点D ，E 是CD 的中点，连接AE 并延长交 AB 于点F ，连接FD ．小腾根据学习函数的经验，对线段AC ，CD ，FD 的长度之间的关系进行了探究．下面是小腾的探究过程，请补充完整：（1）对于点C 在 AB 上的不同位置，画图、测量，得到了线段AC ，CD ，FD 的长度的几组值，如表：位置1位置2位置3位置4位置5位置6位置7位置8AC /cm 0.10.5 1.0 1.9 2.6 3.2 4.2 4.9CD /cm 0.10.5 1.0 1.8 2.2 2.5 2.3 1.0FD /cm 0.2 1.0 1.8 2.8 3.0 2.7 1.80.5在AC ，CD ，FD 的长度这三个量中，确定的长度是自变量，的长度和的长度都是这个自变量的函数；（2）在同一平面直角坐标系xOy中，画出（1）中所确定的函数的图象；（3）结合函数图象，解答问题：当CD＞DF时，AC的长度的取值范围是．4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝6cm，AC＝8cm，点D是AB的中点，以D 为顶点作∠MDN＝∠A，∠MDN的两边分别与线段AC交于点M.N（点M在点N左边）.设A，M两点间的距离为xcm，C、N两点间的距离为ycm.小明根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究.下面是小明的探究过程，请补充完整.（1）列表：下表的已知数据是根据A，M两点间的距离x进行取点、画图、测量，分别得到了x与y的几组对应值：x/cm00.6 1.2 1.8 2.3 2.9 3.4 3.5 4.0 4.3 4.5 4.7 4.8 y/cm a 4.6 4.3 3.9 3.6 3.1 2.6 2.4b 1.20.90.40.2请你补全表格：a＝；b＝.（2）描点、连线：在平面直角坐标系xOy中，描出表中各组数值所对应的点（x，y），并画出函数y关于x的图象：（3）探究性质：随着自变量x的不断增大，函数y的变化趋势：.（4）解决问题：当AM＝CN时，A、M两点间的距离大约是cm.（保留一位小数）中，D为AB的中点，P是BC边上一动点，连接5．如图1，在Rt ABC，，设PC x=(当点P与点C重合时，x的值为0)，==BC AC，．若43PD PA+=．PA PD y小明根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整．（1）通过取点、画图、计算，得到了x与y的几组值，如下表：(参考数据： 1.414 3.162 3.606≈≈)．（2）如图2，描出剩余的点，并用光滑的曲线画出该函数的图象．（3）观察图象，下列结论正确的有_．①函数有最小值，没有最大值②函数有最小值，也有最大值③当43x >时，y 随着x 的增大而增大④当 1.5x <时，y 随着x 的增大而减小6．如图如图1，在矩形ABCD 中，3cm AB =，4cm BC =，圆弧 AE 过点A 和AD 延长线上的点E ，圆心R 在CD 上， AE 上有一个动点P ，PQ AC ⊥，交直线AC 于点Q .线段AP 的长cm x 与PQ 的长cm PQ y 以及RQ 的长cm RQ y 之间的几组对应值如下表所示.（1）将线段AP 的长度作为自变量，在平面直角坐标系中画出了函数PQ y 的图象，如图2所示.请在同一坐标系中画出函数RQ y 的图象.（2）结合函数图象填空：（结果精确到0.1）线段PQ 的长度的最大值约为；线段RQ 的长度的最小值约为；圆弧 AE 所在圆的半径约等于；连结PC ，PAC 面积的最大值约为.（3）继续在同一坐标系中画出所需的函数图象，并结合图象直接写出：当以点P 、Q 、R 为顶点构成的三角形为等腰三角形时，线段AP 的长度的近似值.（结果精确到0.1）7．动点P 在□ABCD 边上沿着A→B→C→D 的方向匀速移动，到达点D 时停止移动.已知P 的速度为1个单位长度/s ，其所在位置用点P 表示，P 到对角线BD 的距离（即垂线段PQ 的长）为d 个单位长度，其中d 与t 的函数图象如图2所示.（1）若a ＝3，求当t ＝8时△BPQ 的面积；（2）如图3，点M ，N 分别在函数第一和第三段图象上，线段MN 平行于横轴，M 、N 的横坐标分别为t 1、t 2，设t 1、t 2时点P 走过的路程分别为12l l 、，若12l l +＝16，求t 1、t 2的值.8．如图1，已知四边形OABC 的顶点O 在坐标原点，点A 在y 轴上，点C 在x 轴上，AB x 轴，动点P 从点O 出发，以每秒1单位的速度，沿O A B C O →→→→运动一周，顺次连结P ，O ，C 三点所围成图形的面积为S ，点P 的运动时间为t 秒，S 与t 之间的函数关系如图2中折线ODEFG 所示已知4AB =，点D ，点F 横坐标分别为8和22.（1）求a 和b 的值.（2）求直线EF 的函数解析式.（3）当P 在BC 上时，用t 表示P 点的纵坐标.9．“低碳环保、绿色出行”的理念得到广大群众的接受，越来越多的人喜欢选择自行车作为出行工具．小军和爸爸同时从家骑自行车沿同一路线去图书馆，爸爸先以150米/分的速度骑行一段时间，休息了5分钟，再以m 米/分的速度到达图书馆．小军始终以同一速度骑行，两人行驶的路程(y 米)与时间(x 分钟)的关系如图．请结合图象，解答下列问题：（1）a=；b=．（2）求出m 的取值是多少？（3）若小军的速度是120米/分，求小军在图中与爸爸第二次相遇时的时间．10．如图1，在菱形ABCD 中，1cm AB =，连结AC BD ，．设DAB x ∠=()0180x y AC BD <<=- ，，小宁根据学习函数的经验，对变量y 与x 之间的关系进行了如下探究．（1）【探究】列表：通过观察补全下表（精确到0.01）．/x153045607590105120135150165/cm y 1.72 1.080.3700.73 1.08 1.41 1.72描点、连线：在图2中描出表中各组数值所对应的点() x y ，，并画出y 关于x的函数图象．（2）【发现】结合画出的函数图象，写出该函数的两条性质：①；②．（3）【应用】有一种“千斤顶”，它是由4根长为30cm 的连杆组成的菱形ABCD ，当手柄顺时针旋转时，B D 、两点的距离变小（如图3）．在这个过程中，当33cm AC BD -=时，BAD ∠的度数约为．（精确到1°）．11．快、慢两车分别从相距360km 的佳市、哈市两地出发，匀速行驶，先相向而行，慢车在快车出发1h 后出发，到达佳市后停止行驶；快车到达哈市后，立即按原路原速返回佳市（快车掉头的时间忽略不计）．快、慢两车距哈市的路程1y （单位：km ），2y （单位：km ）与快车出发时间x （单位：h ）之间的函数图象如图所示，请结合图象信息解答下列问题：（1）直接写出慢车的行驶速度和a 的值；（2）快车与慢车第一次相遇时，距离佳市的路程是多少千米？（3）快车出发多少小时两车相距100km ？请直接写出答案．12．如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，点P 从点A 出发，以12cm/s 的速度沿AB 向终点B 运动；2s 后，又有一动点Q 从点B 出发，沿B→C→A 方向以3cm/s 的速度向终点A 运动.第二幅图是△PQC 的面积S （cm 2）关于点P 的运动时间t （s ）的函数图象，请结合图中提供的信息解决下面的问题；（1）线段AB ＝cm ，a=，m=；（2）求当t 为何值时，PQ ∥AC ；（3）求图中EF 段函数解析式.13．如图，在ABC 中，60C ∠=︒，3BC =厘米，4AC =厘米，点P 从点B 出发，沿B C A →→以每秒1厘米的速度匀速运动到点A ．设点P 的运动时间为x 秒，B 、P 两点间的距离为y 厘米．小新根据学习函数的经验，对函数y 随自变量x 的变化而变化的规律进行了探究．下面是小新的探究过程，请补充完整：（1）通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表：x（s）01234567y（cm）0 1.0 2.0 3.0 2.7 2.7m 3.6m的值是．（2）建立平面直角坐标系，描出表格中所有各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；中画出（3ABC点P所在的位置，此时P运动的时间为▲秒14．已知图形ABCDEF的相邻两边垂直，AB＝8cm．当动点M以2cm/s的速度沿图①的边框按B→C→D→E→F→A的路径运动时，△ABM的面积S随时间t的变化如图②所示．回答下列问题：（1）求a的值和EF的长度；（2）当点M运动到DE上时，求S与t的关系式．15．已知动点P以每秒2㎝的速度沿图甲的边框按从的路径移动,相应的△ABP 的面积S 与时间t 之间的关系如图乙中的图象表示.若AB=6cm,试回答下列问题：（1）图甲中的BC 长是多少？（2）图乙中的a 是多少?（3）图甲中的图形的面积是多少?（4）图乙中的b 是多少?16．对于平面直角坐标系xOy 中的任意点()P x y ，，如果满足x y a +=(x ≥0，a 为常数)，那么我们称这样的点叫做“特征点”．（1）当2≤a ≤3时，①在点(1,2),(1,3),(2.5,0)A B C 中，满足此条件的特征点为；②⊙W 的圆心为(,0)W m ，半径为1，如果⊙W 上始终存在满足条件的特征点，请画出示意图，并直接写出m 的取值范围；（2）已知函数()10Z x x x =+>，请利用特征点求出该函数的最小值．17．如图，在正方形ABCD 中，1AB =，延长BC 至M ，使5BM =．以BD BM ，为邻边作DBMN ．动点P 从点D 出发，以每秒1个单位的速度沿DN 向终点N 运动，过点P 作PQ ⊥BM 交BM 或BM 的延长线于点Q ，以PQ 为边向右作正方形PQRS ．设正方形PQRS ．设正方形PQRS 与DBMN 的重叠部分的面积为y ，点P 运动的时间为x （0x >．单位：秒）．（1）用含x 的代数式表示线段PN 为；（2）当点S 与点N 重合时，求x 的值；（3）当正方形PQRS 与DBMN 的重叠部分不是正方形时，求y 与x 之间的函数关系式；（4）当DQS 或PRN 是直角三角形时，直接写出x 的值．18．如图，已知在平面直角坐标系中，矩形ABCD 的边AB//x 轴，AD//y 轴，点A 的坐标为（2，1），AB=4，AD=3．（1）求直线BD 的解析式．（2）已知双曲线(0)ky k x =>与折线ABC 的交点为E ，与折线ADC 的交点为F ．①连接CE ，当S △BCE =3时，求该双曲线的解析式，并求出此时点F 的坐标；②若双曲线(0)ky k x =>与矩形ABCD 各边和对角线BD 的交点个数为3，请直接写出k 的取值范围．19．如图①，在矩形ABCD 中，AB ＜AD ，对角线AC ，BD 相交于点O,动点P 由点A 出发，沿AB→BC→CD 向点D 运动，设点P 的运动路程为x ，△AOP 的面积为y ，y与x的函数关系图象如图②所示：（1）AD边的长为.（2）如图③，动点P到达点D后从D点出发，沿着DB方向以1个单位长度/秒的速度匀速运动，以点P为圆心，PD长为半径的⊙P与DB、DC的另一个交点分别为M、N，与此同时，点Q从点C出发，沿着CD方向也以1个单位长度/秒的速度匀速运动，以点Q为圆心、2为半径作⊙Q.设运动时间为t秒（0＜t≤5）.①当t为何值时，点Q与点N重合？②当⊙P与BC相切时，求点Q到BD的距离.20．已知：在矩形ABCD中，E为边BC上的一点，AE⊥DE，AB=12，BE=16，F为线段BE上一点，EF=7，连接AF．如图1，现有一张硬纸片△GMN，∠NGM=900，NG=6，MG=8，斜边MN与边BC在同一直线上，点N与点E重合，点G在线段DE上．如图2，△GMN从图1的位置出发，以每秒1个单位的速度沿EB向点B匀速移动，同时，点P从A点出发，以每秒1个单位的速度沿AD向点D匀速移动，点Q为直线GN与线段AE的交点，连接PQ．当点N到达终点B时，△GMNP和点同时停止运动．设运动时间为t秒，解答问题：（1）在整个运动过程中，当点G在线段AE上时，求t的值；（2）在整个运动过程中，是否存在点P ，使△APQ 是等腰三角形，若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由；（3）在整个运动过程中，设△GMN 与△AEF 重叠部分的面积为S ，请直接写出S 与t 的函数关系式以及自变量t 的取值范围．21．如图，直角三角形ABC ∆中，90 4 60ACB AC A ∠︒=∠︒＝，，＝，O 为BC 中点，将ABC ∆绕O 点旋转180︒得到DCB ∆.一动点P 从A 出发，以每秒1的速度沿A B D →→的路线匀速运动，过点P 作直线PM ，使PM AC ⊥.（1）当点P 运动2秒时，另-动点Q 也从A 出发沿A-→B→D 的路线运动，且在AB 上以每秒1的速度匀速运动，在BD.上以每秒2的速度匀速运动，过Q 作直线QN 使//QN PM ，设点Q 的运动时间为t 秒，(0<t<10)直线PM 与QN 截四边形ABDC 所得图形的面积为S ，求S 关于t 的函数关系式，并求出S 的最大值（2）当点P 开始运动的同时，另一动点R 从B 处出发沿B C D →→的路线运动，且在BC 上以每秒32的速度匀速运动，在CD 上以每秒2的速度匀度运动，是否存在这样的P,R ，使BPR ∆为等腰三角形？若存在，直接写出点P 运动的时间m 的值，若不存在请说明理由.22．如图，直线l ：243y x =-+分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，在OB 上取一点()01C ，，以线段BC 为边向右作正方形BCDE ，正方形BCDE 沿CD 的方向以每秒1个单位长度的速度向右作匀速运动，设运动时间为t 秒()0t >．（1）求A，B两点的坐标；（2）在正方形BCDE向右运动的过程中，若正方形BCDE的顶点落在直线l 上，求t的值；（3）设正方形BCDE两条对角线交于点P，在正方形向右运动的过程中，是否存在实数t，使得OP PA+有最小值？若存在，求出t的值：若不存在，请说明理由．23．如图，A、B、C是数轴上的三点，O是原点，BO=3，AB=2BO，5AO=3CO．（1）写出数轴上点A、C表示的数；（2）点P、Q分别从A、C同时出发，点P以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点Q以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，M为线段AP的中点，点N在线段CQ上，且CN=23CQ．设运动的时间为t（t>0）秒．①求数轴上点M、N表示的数（用含t的式子表示）；②t为何值时，M、N两点到原点的距离相等?24．一只蚂蚁在一个半圆形的花坛的周边寻找食物，如图1，蚂蚁从圆心O出发，按图中箭头所示的方向，依次匀速爬完下列三条线路：（1）线段OA、（2）半圆弧AB、（3）线段BO后，回到出发点．蚂蚁离出发点的距离S（蚂蚁所在位置与O点之间线段的长度）与时间t之间的图象如图2所示，问：（注：圆周率π的值取3）（1）请直接写出：花坛的半径是米，a=．（2）当2t<时，求s与t之间的关系式；（3）若沿途只有一处有食物，蚂蚁在寻找到食物后停下来吃了2分钟，并知蚂蚁在吃食物的前后，始终保持爬行且爬行速度不变，请你求出：①蚂蚁停下来吃食物的地方，离出发点的距离．②蚂蚁返回O所用时间．答案解析部分1．【答案】（1）解：在Rt DEB 中，DE BE x ==，在Rt DEF 中，6EF BF BE x =-=-，60EDF ∠=︒tan EFEDF DE∠=∴6xx -=，解得 2.2x ≈将 2.2x ≈代入分式方程左边中得6 2.23.8=1.732.2 2.2-=≈故x 的长约为 2.2cm（2）解：由题意可知DE BE x ==，∴DE y x=又根据EF y 经过表中的那些点，所以取点，画图即可得到其图象.（3）解：如图所示，当△DEF 为等边三角形时，EF=DE∵∠B=45°，射线DE ⊥BC 于点E∴BE=EF∴EF=DE∴在(2)中EF y 与DE y 的交点横坐标即为BE 的长经测量可知 3.2x ≈∴BE 的长约为3.2.【解析】【分析】(1)由题意得出△ABC 为等腰直角三角形，结合DE ⊥BC ，得出BE=DE=x ，当点F 与点C 重合时，在Rt △DEF 中，EF=6-x ，∠EDF=60°，利用正切函数列构建方程求解即可；(2)根据△ABC 为等腰直角三角形，推出△BDE 为等腰直角三角形，则可求出y DE 与x 的函数关系并画出图象，根据表格提供的数据，并通过描点法画出在同一个平面直角坐标系中函数yEF 的图象；(3)根据等边三角形的性质得出EF=DE ，结合∠B=45°，DE ⊥BC ，得出BE=EF ，即y=x ，再根据y EF 与y DE 相交时，交点的横坐标即为BE 的长度，得出BE 的近似值.2．【答案】（1）45°（2）解：①∵//MN AC ，∴45BMN BAC ∠=∠=︒，45BNM BCA ∠=∠=︒，∴BMN BNM ∠=∠，∴BM BN =，又∵BA BC =，∴AM CN =，∵在OAM 和OCN 中，AM CNOAM OCN AO CO=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS OAM OCN ∆ ≌，∴1()2AOM CON AOC MON ∠=∠=∠-∠1(9045)22.52︒=⨯-︒=︒，∴旋转过程中，当MN 和AC 平行时，正方形OABC 旋转的度数为4522.522.5︒-︒=︒.②MBN 的周长的值为2，且在正方形OABC 的旋转过程中不发生变化.理由如下：如图所示，延长BA 交y 轴于点E，则45AOE EOM AOM AOM ∠=∠-∠=︒-∠，∵904545CON AOC MON AOM AOM AOM ∠=∠-∠-∠=︒-︒-∠=︒-∠，∴AOE CON ∠=∠，又∵OA OC =，1809090OAE OCN ∠=︒-︒=︒=∠，在OAE 和OCN 中，AOE CONOA OC OAE OCN∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴()ASA OAE OCN ≌，∴OE ON =，AE CN =.在OME 和OMN 中，OE ONEOM NOM OM OM=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS OME OMN ≌，∴MN ME AM AE ==+.∴MN AM CN =+，∴MBN 的周长为2MN BN BM AM CN BN BM AB BC ++=+++=+=.∴在正方形OABC 的旋转过程中，MBN 的周长不发生变化.【解析】【解答】解：（1）∵A 点第一次落在直线y x =上时停止旋转，直线y x =与y轴的夹角是45 ，∴OA旋转了45°；【分析】（1）根据直线y=x图象上点的特点，得出线y=x与y轴的夹角是45°，即可得出求得边OA旋转的角度；（2）①利用SAS得出全等，根据正方形一个内角的度数求出∠AOM的度数，即可得出答案；②利用全等把△MBN的各边整理到成与正方形的边长有关的式子即可.3．【答案】（1）AC；CD；FD（2）解：函数图象如图所示：（3）3.5cm＜x＜5cm【解析】【解答】解：（1）由题意可知：AC是自变量，CD，DF是自变量AC的函数．故答案为：AC，CD，FD．（3）观察图象可知CD＞DF时，3.5cm＜x＜5cm．故答案为：3.5cm＜x＜5cm．【分析】（1）根据函数的定义可得结论；（2）利用描点法画出函数图象即可；（3）利用图象法，观察图象写出函数CD的图象在函数DF的图象上方时，自变量的取值范围即可。
中考数学专题复习动点型问题(含详细参考答案)
专题十动点型问题一、中考专题诠释所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.“动点型问题”题型繁多、题意创新，考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等，是近几年中考题的热点和难点。
二、解题策略和解法精讲解决动点问题的关键是“动中求静”.从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。
在动点的运动过程中观察图形的变化情况，理解图形在不同位置的情况，做好计算推理的过程。
在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。
三、中考考点精讲考点一：建立动点问题的函数解析式（或函数图像）函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要内容.动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系.例1（2013•兰州）如图，动点P从点A出发，沿线段AB运动至点B后，立即按原路返回，点P在运动过程中速度不变，则以点B为圆心，线段BP长为半径的圆的面积S与点P的运动时间t的函数图象大致为（）A．B．C．D．思路分析：分析动点P的运动过程，采用定量分析手段，求出S与t的函数关系式，根据关系式可以得出结论．解：不妨设线段AB长度为1个单位，点P的运动速度为1个单位，则：（1）当点P在A→B段运动时，PB=1-t，S=π（1-t）2（0≤t＜1）；（2）当点P在B→A段运动时，PB=t-1，S=π（t-1）2（1≤t≤2）．综上，整个运动过程中，S与t的函数关系式为：S=π（t-1）2（0≤t≤2），这是一个二次函数，其图象为开口向上的一段抛物线．结合题中各选项，只有B符合要求．故选B．点评：本题结合动点问题考查了二次函数的图象．解题过程中求出了函数关系式，这是定量的分析方法，适用于本题，如果仅仅用定性分析方法则难以作出正确选择．对应训练1．（2013•白银）如图，⊙O的圆心在定角∠α（0°＜α＜180°）的角平分线上运动，且⊙O.与∠α 的两边相切，图中阴影部分的面积 S 关于⊙O 的半径 r （r ＞0）变化的函数图象大致 是（ ）A ．B ．C ．D ． 1．C考点二：动态几何型题目点动、线动、形动构成的问题称之为动态几何问题 . 它主要以几何图形为载体，运动变化为主线，集多个知识点为一体，集多种解题思想于一题 . 这类题综合性强，能力要求 高，它能全面的考查学生的实践操作能力，空间想象能力以及分析问题和解决问题的能力 动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊 位置。
2024年广东九年级中考数学专题复习课件专题八+++动点轨迹、路径长问题
解：如图，连接OM，OC，MC， ∵∠POQ＝90°，OM＝CM＝ 1 PQ.BC的中位线．
∴点M所经过的路线长为 1 AB＝1.
2
故答案为1；
(2)连接MA，MB，则MA＋MB的最小值为____5____．
7.如图，已知线段AB＝6，P是AB上的动点，在AB的 同侧分别以AP，PB为斜边作等腰直角三角形APC和 BPD，连接CD.
(1)CD的最小值为__3___； (2)G为线段CD的中点，当点P由点
A移动到点B时，点G移动的路径 长度为__3__．
8.如图，以点O为圆心，1为半径的圆上有一动点B，A 是圆外一点，AO＝2，△ABC是以线段AB为边所作 的等边三角形，连接OC，当点B在圆O上运动一周时， 则点C走过的路径长为__2_π__， OC的最大值是_3__．
坐标为(6－t，0)，点Q的坐标为(0，2t).
∴在运动过程中PQ的中点M的坐标为
6
2
t
,
t
.
当x＝ 6 t 时，y＝－2× 6 t ＋6＝t.
2
2
∴点M在直线M′M″上．
如图，作M″N⊥x轴于点N，则M″N＝4，M′N＝2， 由勾股定理得M′M″＝ 42 22 2 5 ， ∴线段PQ中点M所经过的路径长为2 5 .
解：以C为原点，以AC所在的直线为x轴，建立如图所
示的平面直角坐标系，依题意，得0≤t≤4， 当t＝0时，点M′的坐标为(3，0)，
当t＝4时，点M″的坐标为(1，4)，
设直线M′M″的解析式为y＝kx＋b，则
解得3kkbb4,0,
k 2, b 6.
∴直线M′M″的解析式为y＝－2x＋6.依题意，得点P的
2023年中考数学专题复习：二次函数综合压轴题(动点问题)
2023年中考数学专题复习：二次函数综合压轴题（动点问题）1．抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于点()10A -，，()30B ，，与y 轴交于点C ．(1)求抛物线的解析式；(2)点D 为第一象限内抛物线上的一动点，作DE x ⊥轴于点E ，交BC 于点F ，过点F 作BC 的垂线与抛物线的对称轴、x 轴、y 轴分别交于点G ，N ，H ，设点D 的横坐标为m ．①当DF HF +取最大值时，求点F 的坐标；②连接EG ，若45GEH ∠=︒，求m 的值．2．如图，已知抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于()1,0A -，()5,0B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ．(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴上存在一点P ，使得PA PC +的值最小，求此时点P 的坐标；(3)点D 是第一象限内抛物线上的一个动点（不与点C 、B 重合），过点D 作DF x ⊥轴于点F ，交直线BC 于点E ，连接BD ，直线BC 把BDF V 的面积分成两部分，若:3:2BDE BEF S S =V V ，请求出点D 的坐标．3．如图1，对于平面内小于等于90︒的MON ∠，我们给出如下定义：若点P 在MON ∠的内部或边上，作PE OM ⊥于点E ，PF ON ⊥于点F ，则将PE PF +称为点P 与MON ∠的“点角距”，记作(),d MON P ∠．如图2，在平面直角坐标系xOy 中，x 、y 正半轴所组成的角为xOy ∠．(1)已知点()5,0A 、点()3,2B ，则(),d xOy A ∠=______ ，(),d xOy B ∠=______．(2)若点P 为xOy ∠内部或边上的动点，且满足(),5d xOy P ∠=，在图2中画出点P 运动所形成的图形．(3)如图3，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线212y x mx n =-++经过()5,0A 与点()3,4D 两点，点Q 是A 、D 两点之间的抛物线上的动点(点Q 可与A 、D 两点重合)，求当(),d xOD Q ∠取最大值时点Q 的坐标．4．如图，抛物线2134y ax bx =++与x 轴交于点()30A -，和点B ，点D 是抛物线1y 的顶点，过点D 作x 轴的垂线，垂足为点()10C -，．(1)求抛物线1y 所对应的函数表达式；(2)如图1，点M 是抛物线1y 上一点，且位于x 轴上方，横坐标为m ，连接MC ，若MCB DAC ∠=∠，求m 的值；(3)如图2，将抛物线1y 平移后得到顶点为B 的抛物线2y ．点P 为抛物线1y 上的一个动点，过点P 作y 轴的平行线，交抛物线2y 于点Q ，过点Q 作x 轴的平行线，交抛物线2y 于点R ．当以点P ，Q ，R 为顶点的三角形与ACD V 全等时，请直接写出点P 的坐标．5．如图，抛物线()20y ax bx c a =++≠与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点()0,6C ，顶点为D ，且()1,8D ．(1)求抛物线的解析式；(2)若在线段BC 上存在一点M ，过点O 作OH OM ⊥交BC 的延长线于H ，且MO HO =，求点M 的坐标；(3)点P 是y 轴上一动点，点Q 是在对称轴上一动点，是否存在点P ，Q ，使得以点P ，Q ，C ，D 为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．6．如图，已知二次函数24y x bx =+-的图像经过点()3,4A -，与x 轴负半轴交于点B ，与y 轴交于点C ，连接AB ，BC ．(1)填空：b =______；(2)点P 是直线AB 下方抛物线上一个动点，过点P 作PT x ⊥轴，垂足为T ，PT 交AB 于点Q ，求线段PQ 的最大值；(3)点D 是y 轴正半轴上一点，若∠=∠BDC ABC ，求点D 的坐标．7．如图，抛物线2y x bx c =++（b ，c 是常数）的顶点为C ，与x 轴交于A ，B 两点，()1,0A ，4AB =(1)求该抛物线的解析式；(2)点P 为线段AB 上的动点，过P 作PQ BC ∥交AC 于点Q ，求CPQ V 面积的最大值，并求此时P 点坐标；(3)如图，设抛物线与y 轴交于点D ，平行于BD 的直线MN 交抛物线于点M ，N ，作直线MB ND 、交于点G ，问点G 是否在某一定直线上运动，若在求此直线的解析式，若不在说明理由．8．如图，已知抛物线23y ax bx =+-的图象与x 轴交于点A ()10，和B ()30，，与y 轴交于点C ，D 是抛物线的顶点，对称轴与x 轴交于E ．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，在抛物线的对称轴DE 上求作一点M ，使A M C V 的周长最小，M 的坐标__________周长的最小值______．(3)如图2，点P 是x 轴上的动点，过P 点作x 轴的垂线分别交抛物线和直线BC 于F 、G ．设点P 的横坐标为m ．是否存在点P ，使FG 最长？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．9．如图1，抛物线()230y ax bx a =+->交x 轴于点A ，B （点A 在点B 左侧），交y 轴于点C ，且3O B O C O A ==，点D 为抛物线上第四象限的动点．(1)求抛物线的解析式．(2)如图1，直线AD 交BC 于点P ，连接AC BD ，，若ACP △和BDP △的面积分别为1S 和2S ，当12S S -的值最小时，求直线AD 的解析式．(3)如图2，直线BD 交抛物线的对称轴于点N ，过点B 作AD 的平行线交抛物线的对称轴于点M ，当点D 运动时，线段MN 的长度是否会改变？若不变，求出其值；若变化，求出其变化的范围．10．已知抛物线23y ax bx =++（0a ≠）交x 轴于()0A 1，和()30B -，，交y 轴于C ．(1)求抛物线的解析式；(2)若M 为抛物线上第二象限内一点，求使MBC V 面积最大时点M 的坐标；(3)若F 是对称轴上一动点，Q 是抛物线上一动点，是否存在F 、Q ，使以B 、C 、F 、Q 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q 的坐标．11．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于()20A -，，()40B ，，()08C ，三点，点P 是直线BC 上方抛物线上的一个动点．(1)求这个二次函数的解析式；(2)动点P 运动到什么位置时，PBC V 的面积最大，求此时P 点坐标及PBC V 面积的最大值；(3)在y 轴上是否存在点Q ，使以O ，B ，Q 为顶点的三角形与AOC V 相似？若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．12．如图，抛物线2y x bx c =++与x 轴交于()1,0A -，()3,0B 两点，与y 轴交于点C ．(1)求该抛物线的解析式；(2)若点E 是线段BC 上的一个动点，平行于y 轴的直线EF 交抛物线于点F ，求FBC V 面积的最大值；(3)设点P 是（1）中抛物线上的一个动点，是否存在满足6PAB S =△的点P ？如果存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．13．如图，抛物线2y ax bx =+经过()()3,0,2,10A B -两点．(1)求抛物线的解析式；(2)点P 是直线AB 下方抛物线上的一个动点，求PAB V 面积的最大值；(3)点M 是直线AB 上的一个动点，将点M 向左平移3个单位长度得到点N ，设点M 的横坐标为m ，若线段MN 与抛物线只有一个公共点，请直接写出m 的取值范围．14．如图，在平面直角坐标系中，直线122y x =-与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，抛物线212y x bx c =++经过A ，C 两点，与x 轴的另一交点为点B ，点P 为抛物线上的一个动点．(1)求抛物线的函数表达式；(2)当ACP △的面积与ABC V 的面积相等时，求点P 的坐标；(3)是否存在点P ，使得ACP ABC BAC ∠=∠-∠，若存在，请直接写出点P 的横坐标；若不存在，请说明理由．15．如图，已知拋物线2y ax bx c =++与x 轴交于点()1,0A ，()3,0B -，与y 轴交于点()0,3C -．点P 是抛物线上一动点，且在直线BC 的下方，过点P 作PD x ⊥轴，垂足为D ，交直线BC 于点E ．(1)求抛物线的函数解析式；(2)连接CP ，若45CPD ∠=︒，求点P 的坐标；(3)连接BP ，求四边形OBPC 面积的最大值．16．如图，在平面直角坐标系中，抛物线28y x bx =-++与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ，直线y x t =-过点B ，与y 轴交于点D ，点C 与点D 关于x 轴对称．点P 是线段OB 上一动点，过点P 作x 轴的垂线交抛物线于点M ，交直线BD 于点N ．(1)求抛物线的解析式；(2)当MDB △的面积最大时，求点P 的坐标；(3)在（2）的条件下，在y 轴上是否存在点Q ，使得以Q ，M ，N ，D 为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出点Q 的坐标；若不存在；说明理由17．如图，抛物线21262y x x =--与x 轴相交于点A 、点B ，与y 轴相交于点C ．(1)请直接写出点A ，B ，C 的坐标；(2)若点P 是抛物线BC 段上的一点，当PBC V 的面积最大时求出点P 的坐标，并求出PBC V 面积的最大值．(3)点F 是抛物线上的动点，作FE AC ∥交x 轴于点E ，是否存在点F ，使得以A 、C 、E 、F 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请写出所有符合条件的点F 的坐标；若不存在，请说明理由．18．如图，在平面直角坐标系中，抛物线21=2y x bx c ++经过点()4,0A -，点M 为抛物线的顶点，点B 在y 轴上，直线AB 与抛物线在第一象限交于点()2,6C ．(1)求抛物线的解析式；(2)连接OC ，点Q 是直线AC 上不与A 、B 重合的点，若2OAQ OAC S S =V V ，请求出点Q 的坐标；(3)在x 轴上有一动点H ，平面内是否存在一点N ，使以点A 、H 、C 、N 为顶点的四边形是菱形?若存在，直接写出点N 的坐标，若不存在，请说明理由．参考答案：1．(1)223y x x =-++(2)①点F 的坐标为⎝⎭；②1或952．(1)245y x x =-++(2)()2,3P (3)335,24D ⎛⎫ ⎪⎝⎭3．(1)5，5 (3)54,2⎛⎫ ⎪⎝⎭4．(1)21113424y x x =--+(2)2-(3)304⎛⎫ ⎪⎝⎭，或524⎛⎫- ⎪⎝⎭，5．(1)2246y x x =-++ (2)126,55⎛⎫ ⎪⎝⎭(3)(1,8或(1,8或271,4⎛⎫ ⎪⎝⎭6．(1)3-(2)PQ 的最大值是4 (3)50,3⎛⎫ ⎪⎝⎭7．(1)223y x x =+-(2)CPQ V 面积的最大值为2，此时P 点坐标为()1,0-(3)在，3y x =--8．(1)2=+43y x x --(2)()21-，(3)存在，m 的值为329．(1)2=23y x x --(2)22y x =--(3)不变，值为810．(1)223y x x =--+ (2)31524⎛⎫- ⎪⎝⎭， (3)存在，点Q 的坐标为()23-，或()45-，-或()25，-11．(1)228y x x =-++(2)当P 点坐标为()28，时，PBC V 的最大面积为8； (3)存在，点Q 的坐标为()016，或()016-，或()01，或()01-，．12．(1)2=23y x x -- (2)278(3)存在，点P 的坐标为()1或()1或()0,3-或()2,3-13．(1)23y x x =-(2)PAB S V 最大值为1258(3)23m -≤<或34m <<或338m =14．(1)抛物线的函数表达式为213222y x x =-- (2)点P 的坐标为(5,3)P(3)存在，点P 的横坐标为2911或7．15．(1)223y x x =+- (2)(14)--， (3)63816．(1)278y x x =-++(2)()3,0(3)存在，()0,17Q 或()0,33-17．(1)()2,0A -，()6,0B ，()0,6C - (2)点P 的坐标为153,2⎛⎫- ⎪⎝⎭时，PBC S V 有最大值272(3)存在，点F 的坐标为()4,6-或()2+或()2-18．(1)21=22y x x + (2)()8,12或()16,12--(3)()2N +或()2N -或()2,6N -或()4,6-。
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几何图形动点与函数图像综合考向一判断函数图像（1）面积问题：①函数类型：与面积相关的量如果有一个变化的量为一次函数，如果有两个变化的量为二次函数；②节点、自变量取值范围及函数值；③函数的增减性等（2）线段长度问题：①根据相似性质对应边成比例或面积公式等确定函数关系式；②节点、自变量取值范围及函数值；③函数的增减性等1.如图，在Rt △ABC中，△C=900，AC=1cm，BC=2cm，点P从A出发，以1cm/s的速沿折线AC→ CB→ BA运动，最终回到A点。
设点P的运动时间为x（s），线段AP的长度为y（cm），则能反映y与x之间函数关系的图像大致是（）2.如图，点E、F、G、H是正方形ABCD四条边（不含端点）上的点，DE=AF=BG=CH。
设线段DE的长为x cm，四边形EFGH的面积为y（cm2），则能够反映y与x之间函数关系的图象大致是（）3.如图，菱形ABCD的边长为5cm，sinA＝，点P从点A出发，以1cm/s的速度沿折线AB→BC→CD运动，到达点D停止；点Q同时从点A出发，以1cm/s的速度沿AD运动，到达点D停止．设点P运动x（s）时，△APQ的面积为y（cm2），则能够反映y与x之间函数关系的图象是（）A B C D4.如图，在菱形ABCD中，△B＝60°，AB＝2．动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线BA→AC运动到点C，同时动点Q从点A出发，以相同速度沿折线AC→CD运动到点D，当一个点停止运动时，另一点也随之停止．设△APQ的面积为y，运动时间为x 秒．则下列图象能大致反映y与x之间函数关系的是（）A B C D5.如图，在等边三角形ABC中，BC＝4，在Rt△DEF中，△EDF＝90°，△F＝30°，DE＝4，点B，C，D，E在一条直线上，点C，D重合，△ABC沿射线DE方向运动，当点B与点E 重合时停止运动．设△ABC运动的路程为x，△ABC与Rt△DEF重叠部分的面积为S，则能反映S与x之间函数关系的图象是（）6.如图，在四边形ABCD中，AD△BC，△A＝45°，△C＝90°，AD＝4cm，CD＝3cm．动点M，N同时从点A出发，点M以cm/s的速度沿AB向终点B运动，点N以2cm/s的速度沿折线AD﹣DC向终点C运动．设点N的运动时间为ts，△AMN的面积为Scm2，则下列图象能大致反映S与t之间函数关系的是（）A．B．C．D．7.如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，点E是射线AB上的动点（点E不与点A，点B重合），点F在线段DA的延长线上，且AF＝AE，连接ED，将ED绕点E顺时针旋转90°得到EG，连接EF，FB，BG．设AE＝x，四边形EFBG的面积为y，下列图象能正确反映出y与x的函数关系的是（）A．B．C．D．8.如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，动点P沿折线BCD从点B开始运动到点D．设运动的路程为x，△ADP的面积为y，那么y与x之间的函数关系的图象大致是（）9.如图，O是边长为4 cm的正方形ABCD的中心，M是BC的中点，动点P由A开始沿折线A—B—M方向匀速运动，到M时停止运动，速度为1 cm/s，设P点的运动时间为t(s)，点P的运动路径与OA，OP所围成的图形面积为S(cm2)，则描述面积S(cm2)与时间t(s)的关系的图象可以是（）10.如图，在边长为2的正方形ABCD中剪去一个边长为1的小正方形CEFG，动点P从点A出发，沿A→D→E→F→G→B的路线绕多边形的边匀速运动到点B时停止(不含点A和点B)，则△ABP的面积S随着时间t变化的函数图象大致为（）11.如图，AD、BC是△O的两条互相垂直的直径，点P从点O出发，沿O→C→D→O的路线匀速运动，设△APB＝y(单位：度)，那么y与P运动的时间x(单位：秒)的关系图是（）12.一个寻宝游戏的寻宝通道如图1所示，通道由在同一平面内的AB，BC，CA，OA，OB，OC组成。
为记录寻宝者的进行路线，在BC的中点M处放置了一台定位仪器，设寻宝者行进的时间为x，寻宝者与定位仪器之间的距离为y，若寻宝者匀速行进，且表示y与x的函数关系的图象大致如图2所示，则寻宝者的行进路线可能为（）A．A→O→B B．B→A→C C．B→O→C D．C→B→O考向二 函数图像与几何图形性质综合1.如图1，在直角梯形ABCD 中，动点P 从点B 出发，沿BC ，CD 运动至点D 停止．设点P 运动的路程为x ，△ABP 的面积为y ，如果y 关于x 的函数图象如图2所示，则△BCD 的面积是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．62.如图①，在正方形ABCD 中，点E 是AB 的中点，点P 是对角线AC 上一动点．设PC 的长度为x ，PE 与PB 的长度和为y ，图②是y 关于x 的函数图象，则图象上最低点H 的坐标为 ．3.如图1，点P 从△ABC 的顶点B 出发，沿B →C →A 匀速运动到点A 。
图2是点P 运动时，线段BP 的长度随时间变化的关系图象，其中M 为曲线部分的最低点，则△ABC 的面积是 ．4.如图1，点F 从菱形ABCD 的顶点A 出发，沿A→D→B 以1cm/s 的速度匀速运动到点B ，图2是点F 运动时，△FBC 的面积y （cm 2）随时间x （s ）变化的关系图象，则a 的值为（ ）OyxA ．B ．2C ．D ．25.如图①，正方形ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，E 是OD 的中点.动点P 从点E 出发，沿着E →O →B →A 的路径以每秒1个单位长度的速度运动到点A ，在此过程中线段AP 的长度随着运动时间的函数关系如图②所示，则AB 的长为（ ）A.24B.4C.D.6.如图1，矩形ABCD 中，点E为BC 的中点，点P 沿BC 从点B 运动到点C ，设B ，P 两点间的距离为x ，PA-PE=y ，图2是点P 运动时y 随x 变化的关系图象，则BC 的长为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．77.如图1，在菱形ABCD 中，△A=60°，动点P 从点A 出发，沿折线AD→DC→CB 方向匀速运动，运动到点B 停止，设点P 的运动路程为x ，△APB 的面积为y ，y 与x 的函数图象如图2所示，则AB 的长为（ ）y xA．B．C．D．8.【2022三门峡二模10，3】如图1，矩形ABCD中，AB=6，BC=4，点P以每秒2个单位长度沿AD→DC→CB运动，点Q沿AB以每秒1个单位长度运动，当点Q运动到点B时，P，Q停止运动，设运动时间为x（秒），△APQ的面积为y，图2是y随x变化的关系图象，则a的值为（）A.6B.8C.10D.129.【2022河南名校联盟10，3】如图1，在四边形ABCD中，AD//BC，AD=2BC，∠D=90°，动点M沿A→B→C→D的路线运动，到点D时停止。
过点M作MN⊥AD，垂足为点N，设点M运动的路程为x，△AMN的面积y与x之间的函数关系图象如图2所示，当x=10时，y的值是（）13 C.5 D.6A.8B.210.【2022河南抢分卷10，3】如图1，在四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，点P从四边形ABCD的顶点A出发，沿A→B→C→D 以1cm/s的速度匀速运动到点D.图2是点P运动时△ABP的面积y（cm²）随时间x（s）变化的关化的关系图象，则m的值为（）A.10B.16C.12D.2411.【2022河南一模10，3】如图，在▱ABCD中，点P沿A→B→C方向从点A移动到点C，设点P移动路程为x，线段AP的长为y，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则BC 的长为（）A.4B.4.8C.5D.1012.【2022河南二模9，3】如图，△ABC 中，tan ∠B==34，点D 为边BC 上一个不与B 、C 重合的一个动点，过点D 作DE ⊥AB 与点E ，作Rt △DEA 的中线EF ，当点D 从B 点出发匀速运动到点C 时，设△AEF 的面积为y ，BD=x ，y 与x 的函数图象如图2所示，则△ABC 的面积为（ ） A.596 B.548 C.19 D.1813.【2023河南模拟一10，3】如图1，在△ABC 中，∠C=90°，AC=BC ，点D 从点A 出发沿线段AB 向终点B 运动，过点D 作DE ⊥AB ，交△ABC 的直角边于点E.△ADE 的面积y 与线段AD 的长x 之间的函数图象如图2所示，当△ADE 的面积为1时，线段AD 的长为（ ） A.2 B.22- C.2或22- D.2或22+14.【2023河南重点中学内部摸底卷二10，3】如图1所示，动点P 从正六边形的A 点出发，沿A→B→C→D→E 以1cm/s 的速度匀速运动到点E ，图2是点P 运动时，△APE 的面积y （cm2）随着时间x （s ）的变化的关系图象，则图2中的m 为（ ） A.338cm ² B.33cm ² C.439cm ² D.34cm ² 15.【2023郑州名校联考16，3】如图1，点P 从扇形AOB 的O 点出发，沿O →A →B —O以1cm/s 的速度匀速运动，图2是点P 运动时，线段OP 的长度y 随时间x 变化的关系图象，则扇形AOB 中弦AB 的长度为_______cm.16.【2023安阳一模14，3】如图1，则等边三角形ABC 中，点P 为BC 边上的任意一点，且∠APD=60°，PD 交AC 于点D ，设线段PB 的长度为x ，CD 的长度为y ，若y 与x 的函数关系的大致图象如图2，则等边三角形ABC 的面积为_________。
17.【2023西安雁塔区一模12，3】如图1，在菱形ABCD 中，∠BAD=60°，点E 在AB 的延长线上，在∠CBE 的角平分线上取一点F （含端点B ），连接AF 并过点C 作AF 所在直线的垂线，垂足为G.设线段AF 的长为x ，CG 的长为y ，y 关于x 的函数图象及有关数据如图2所示，点Q 为图象的端点，则3 y 时，BF=_________。