傅里叶变换
傅里叶变换的物理意义是
傅里叶变换的物理意义是
傅里叶变换是一种将时域信号转换为频域信号的数学变换方法。
在物理学中，傅里叶变换非常重要，因为它可以用来描述和分析许多物理现象。
具体而言，傅里叶变换的物理意义包括以下几个方面：
1. 频域分析：傅里叶变换可以将一个信号分解成不同频率的成分，
这在物理学中非常有用。
例如，当我们研究声波、光波、电磁波等波动现象时，可以通过傅里叶变换将信号分解成不同频率的谐波，从而更好地理解和分析它们的特性。
2. 滤波和去噪：在信号处理和通信领域，傅里叶变换可以用来实现
滤波和去噪。
通过对信号的傅里叶变换，我们可以找到信号中频率较高或较低的成分，并根据需要进行滤波，从而去除不必要的噪声。
3. 热传导：傅里叶变换在热传导方程中也有重要的应用。
通过对温
度分布的傅里叶变换，可以将热传导方程转化为一组独立的方程，从而更好地描述物体的热分布。
4. 量子力学：傅里叶变换在量子力学中也有广泛的应用。
例如，在
描述波函数时，傅里叶变换可以将波函数从位置空间转换为动量空间，
这对于研究原子和分子的行为非常重要。
总之，傅里叶变换在物理学中具有广泛的应用，它不仅能够帮助我们更好地理解和分析物理现象，还可以为我们解决一些实际问题提供有力的数学工具。
常用傅立叶变换表完整版
常用傅立叶变换表
Document serial number【NL89WT-NY98YT-NC8CB-NNUUT-NUT108】
18
δ(ω) 代表分布. 这个变换展示了狄拉克δ函数的重要性：该函数是常函数的傅立叶变换
19 变换23的频域对应
20 由变换3和24得到.
21
由变换1和25得到，应用了:
时域信号
弧频率表示的 傅里叶变换
注释
1线性
2 时域平移
3 频域平移, 变换2的频域对应
4
如果
值较大，则
会收缩到
原点附近，而会扩散并变得扁平. 当 | a | 趋向无穷时，成为 Delta 函数。
5 傅里叶变换的二元性性质。
通过交换时域变量 和频域变量 得到. 6 傅里叶变换的微分性质 7 变换6的频域对应 8 表示 和 的卷积 — 这就是 9
和归一化的 10 变换10的频域对应。
矩形函数是理想的低通滤波器，是这类滤波器对冲击的响应。
11
tri 是 12 变换12的频域对应 13 exp( αt 2) 的傅里叶变换是他本身. 只有当 Re(α) > 0时，这是可积的。
14
15
16 a>0
17
变换本身就是一个公式。
傅里叶变换的物理意义
傅里叶变换的物理意义首先，傅里叶变换揭示了信号的频谱特性。
在物理世界中，许多信号都可以表示为振荡的形式。
傅里叶变换可以将时间域中的信号分解成不同频率的正弦波的叠加。
通过傅里叶变换，我们可以得到信号中包含的各个频率分量的信息，从而了解信号的频谱结构。
频谱分析对于研究声音、光谱、电磁波以及其他振动现象都非常重要。
其次，傅里叶变换可以用于信号处理和系统分析。
在物理学中，我们经常需要对信号进行处理和分析，以了解系统的特性和行为。
傅里叶变换可以将复杂的信号分解成简单的频率成分，从而更好地研究和理解信号的性质。
例如，在光学中，傅里叶变换可以用于分析并控制光波传输中的干涉和衍射现象。
在电子学中，傅里叶变换可以用于滤波器设计，信号压缩和调制解调等应用。
此外，傅里叶变换还有助于解决物理学中的微分方程和积分方程。
许多物理现象可以由微分方程或积分方程进行描述，而傅里叶变换可以将这些方程转化为简单的代数方程。
通过傅里叶变换，我们可以更方便地解决和分析这些方程，从而研究和预测物理系统的行为。
例如，在量子力学中，傅里叶变换可以用于求解薛定谔方程，研究粒子的波动性质。
此外，傅里叶变换在波动光学、地震勘探、信号处理、图像处理等领域中也有广泛的应用。
在波动光学中，傅里叶变换可以用于研究衍射、干涉和光波传播等现象。
在地震勘探中，傅里叶变换可以用于分析地震信号，确定地下结构和地震源特性。
在信号处理和图像处理中，傅里叶变换可以用于噪声滤波、图像压缩和频域滤波等应用。
总之，傅里叶变换在物理学中具有重要的意义。
它不仅揭示了信号的频谱特性，还为信号处理和系统分析提供了有力的工具。
通过傅里叶变换，我们可以更好地理解和研究波动现象、物质结构和机械振动等物理现象。
傅里叶变换的应用广泛，对于物理学的发展和应用具有重要的推动作用。
傅里叶变换性质证明
2.6 傅里叶变换的性质2.6.1线性若信号和的傅里叶变换分别为和，则对于任意的常数a和b，有将其推广，若,则其中为常数，n为正整数。
由傅里叶变换的定义式很容易证明线性性质.显然傅里叶变换也是一种线性运算，在第一章我们已经知道了，线性有两个含义：均匀性和叠加性。
均匀性表明，若信号乘以常数a，则信号的傅里叶变换也乘以相同的常数a，即叠加性表明，几个信号之和的傅里叶变换等于各个信号的傅里叶变换之和2.6.2 反褶与共轭性设f(t)的傅里叶变换为，下面我们来讨论信号反褶、共轭以及既反褶又共轭后，新信号的傅里叶变换。
（1）反褶f(-t)是f(t)的反褶，其傅里叶变换为（2）共轭（3）既反褶又共轭本性质还可利用前两条性质来证明：设g(t)=f(-t)，h(t)=g*(t)，则在上面三条性质的证明中，并没有特别指明f(t)是实函数还是复函数，因此,无论f(t)为实信号还是复信号，其傅里叶变换都满足下面三条性质2.6.3 奇偶虚实性已知f(t)的傅里叶变换为。
在一般情况下，是复函数，因此可以把它表示成模与相位或者实部与虚部两部分，即根据定义，上式还可以写成下面根据f(t)的虚实性来讨论F()的虚实性。
(1) f(t)为实函数对比式(2-33)与(2-34)，由FT的唯一性可得（1.1）f(t)是实的偶函数，即f(t)=f(-t)X()的积分项是奇函数，而奇函数在对称区间内的积分为零，故这时X()=0，于是可见，若f(t)是实偶函数，则F()也是实偶函数，即左边反褶，右边共轭（1.2）f(t)是实的奇函数，即-f(t)=f(-t)R()的积分项是奇函数，而奇函数在对称区间内的积分为零，故这时R()=0，于是可见，若f(t)是实奇函数，则F()是虚奇函数，即左边反褶，右边共轭有了上面这两条性质，下面我们来看看一般实信号（即可能既不是偶信号，又不是奇信号，反正不清楚，或者说是没有必要关心信号的奇偶特性）的FT频谱特点。
几种常见函数的傅里叶变换及推导
几种常见函数的傅里叶变换及推导傅里叶变换是数学中一种非常重要的变换方法，它可以将一个函数在时域（或空域）中的表达转换为频域中的表达。
在信号处理、图像处理、通信等领域中被广泛应用。
本文将介绍几种常见函数的傅里叶变换及推导过程。
1. 方波函数的傅里叶变换方波函数是一种周期函数，它在每个周期内以不同的幅度交替出现。
方波函数的傅里叶变换可以通过将方波函数表示为一系列正弦函数的和来推导得到。
假设方波函数为f(t)，其周期为T，傅里叶变换为F(ω)。
根据傅里叶级数展开的性质，方波函数可以表示为：f(t) = (1/2) + (2/π)sin(ωt) + (2/π)sin(2ωt) + (2/π)sin(3ωt) + ...其中，ω = 2π/T是方波函数的角频率。
根据傅里叶变换的定义，可以得到方波函数的傅里叶变换为：F(ω) = (1/2)δ(ω) + (1/2π)[δ(ω-ω0) - δ(ω+ω0)] + (1/2π)[δ(ω-2ω0) - δ(ω+2ω0)] + (1/2π)[δ(ω-3ω0) - δ(ω+3ω0)] + ...其中，δ(ω)是狄拉克函数，表示单位冲激函数。
傅里叶变换的结果是一系列的冲激函数，每个冲激函数对应一个正弦函数的频谱分量。
2. 高斯函数的傅里叶变换高斯函数是一种常用的连续函数，其在数学和物理学中有广泛的应用。
高斯函数的傅里叶变换可以通过将高斯函数表示为指数函数的平方和来推导得到。
假设高斯函数为f(t)，傅里叶变换为F(ω)。
根据高斯函数的定义，可以得到：f(t) = e^(-αt^2)其中，α是常数。
根据傅里叶变换的定义，可以得到高斯函数的傅里叶变换为：F(ω) = √(π/α)e^(-ω^2/(4α))高斯函数的傅里叶变换仍然是一个高斯函数，只是幅度和频率发生了变化。
3. 矩形函数的傅里叶变换矩形函数是一种常见的函数，它在一个有限区间内的值为常数，而在其他区间内的值为零。
矩形函数的傅里叶变换可以通过将矩形函数表示为两个单位阶跃函数的差来推导得到。
五种傅里叶变换
五种傅里叶变换傅里叶变换是一种重要的数学变换方法，可以将一个函数表示为一组正弦和余弦函数的线性组合。
它在信号处理、图像处理、物理学、工程学等领域中得到广泛应用。
在本文中，我们将介绍五种常见的傅里叶变换。
1. 离散傅里叶变换（DFT）：离散傅里叶变换是将一个离散时间信号转换为离散频谱的方法。
它适用于离散时间域信号，可以通过对信号进行采样获得离散的频谱信息。
DFT的求解可以通过快速傅里叶变换（FFT）算法实现，大大提高了计算效率。
2. 快速傅里叶变换（FFT）：快速傅里叶变换是一种高效的算法，用于计算离散傅里叶变换。
它利用信号的周期性质和对称性质，将离散信号的傅里叶变换从O(n^2)的复杂度减少到O(nlogn)，极大地提高了计算速度。
FFT广泛应用于频域分析、图像处理、信号压缩以及解决常微分方程等问题。
3. 傅里叶级数变换：傅里叶级数变换是将一个周期函数表达为正弦和余弦函数的级数和的方法。
它适用于周期信号的频谱分析，可以将一个函数在该周期内用无穷多个谐波的叠加来表示。
傅里叶级数变换提供了频域表示的一种手段，为周期信号的特性提供了直观的解释。
4. 高速傅里叶变换（HFT）：高速傅里叶变换是一种用于计算非周期信号的傅里叶变换的方法。
它通过将信号进行分段，并对每个分段进行傅里叶变换，再将结果组合得到整个信号的频谱。
HFT主要应用于非周期信号的频谱分析，例如音频信号、语音信号等。
5. 邻近傅里叶变换：邻近傅里叶变换是一种用于非周期信号和非零进样信号的傅里叶变换方法。
它通过将信号进行分段，并对每个片段的信号进行傅里叶变换，再将结果进行插值得到整个信号的频谱。
邻近傅里叶变换适用于非周期信号的频谱分析，例如音频信号、语音信号等。
综上所述，傅里叶变换是一种非常重要的数学工具，提供了信号在频域的表达方法，广泛应用于信号处理、图像处理、物理学、工程学等领域。
离散傅里叶变换、快速傅里叶变换、傅里叶级数变换、高速傅里叶变换和邻近傅里叶变换都是常见的傅里叶变换方法，每种方法适用于不同类型的信号处理问题。
常用的傅里叶变换 定理 各种变换的规律(推荐)
GG ( P )
sin(Sx) comb( x)
comb( P )
rect( x) tri( x)
cir (r )
sinc( P )
sinc 2 (P ) J1 ( U )
1
一、δ 函数的傅里叶变换： 设： [δ ( x )] = ∆ ( u ) ，
由卷积定理知： 等号两边作 傅里叶变换：
[g ( x )] = G ( u)
H fx
˄˅լᙗᇊ⨶˖ྲ᷌ F ^g x ` ˄㕙઼᭮৽╄ᇊ⨶˅ 1 § fx · F ^g ax ` G¨ ¸ ࡉᴹ a © a ¹ ˄অ㕍㹽ሴˈ㕍ゴ㹽ሴਈᇭ˅
G f x
˄˅ս〫ᇊ⨶˖ྲ᷌ F ^g x ` G f x ࡉᴹ F ^g x a ` G f x exp j 2Sf x a ࠭ᮠ൘オฏѝⲴᒣ〫ˈᑖᶕ仁ฏѝⲴ〫
3
二、梳状函数的傅里叶变换
F [comb( x )] = comb( u)
普遍型
x F comb = a comb( au) a
结论
comb 函数的
傅里叶变换 仍是
二维情况
x y F comb comb a b = ab comb( au) comb( bv )
结论:余弦函数的傅里叶变换是 δ 函数组合
-u0
0
u0
8
u
六、三角形函数的傅里叶变换
推导 一 维 情 况
F [Λ ( x )] = ?
已知
Λ ( x ) = rect( x ) ∗ rect( x )
= F [rect( x )] •F [rect( x )]
F [ Λ ( x )] = F [rect( x ) ∗ rect( x )] = sinc( u) • sinc( u)
傅里叶变换分解信号
傅里叶变换是一种将信号分解为不同频率分量的数学方法。它可以用于分析信号的频率成分，并用于滤波、调制、谱分析等多种应用。
一、傅里叶变换的原理
傅里叶变换的基本思想是将信号表示为一系列正弦函数的和。每个正弦函数都具有特定的频率和幅度。信号的频率成分可以通过傅里叶变换的幅度谱来表示。
二、傅里叶变换的公式
傅里叶变换的公式：X(f)=∫_{-\infty}^{\infty}x(t)e^(-j2πft)dt
其中：
X(f)Hale Waihona Puke 信号的傅里叶变换x(t)是信号
f是频率
j是虚数单位
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傅里叶变换那么，到底什么是傅里叶变换算法列?傅里叶变换所涉及到的公式具体有多复杂列?傅里叶变换(Fourier transform)是一种线性的积分变换。
因其基本思想首先由法国学者傅里叶系统地提出，所以以其名字来命名以示纪念。
哦，傅里叶变换原来就是一种变换而已，只是这种变换是从时间转换为频率的变化。
这下，你就知道了，傅里叶就是一种变换，一种什么变换列?就是一种从时间到频率的变化或其相互转化。
ok，咱们再来总体了解下傅里叶变换，让各位对其有个总体大概的印象，也顺便看看傅里叶变换所涉及到的公式，究竟有多复杂: 以下就是傅里叶变换的4种变体(摘自，维基百科)连续傅里叶变换一般情况下，若“傅里叶变换”一词不加任何限定语，则指的是“连续傅里叶变换”。
连续傅里叶变换将平方可积的函数f(t)表示成复指数函数的积分或级数形式。
这是将频率域的函数F(ω)表示为时间域的函数f(t)的积分形式。
连续傅里叶变换的逆变换 (inverse Fourier transform)为:即将时间域的函数f(t)表示为频率域的函数F(ω)的积分。
一般可称函数f(t)为原函数，而称函数F(ω)为傅里叶变换的像函数，原函数和像函数构成一个傅里叶变换对(transform pair)。
除此之外，还有其它型式的变换对，以下两种型式亦常被使用。
在通信或是信号处理方面，常以来代换，而形成新的变换对:或者是因系数重分配而得到新的变换对:一种对连续傅里叶变换的推广称为分数傅里叶变换(Fractional FourierTransform)。
分数傅里叶变换(fractional Fourier transform,FRFT)指的就是傅里叶变换(Fourier transform,FT)的广义化。
分数傅里叶变换的物理意义即做傅里叶变换 a 次，其中 a 不一定要为整数;而做了分数傅里叶变换之后，信号或输入函数便会出现在介于时域(time domain)与频域(frequency domain)之间的分数域(fractional domain)。
当f(t)为偶函数(或奇函数)时，其正弦(或余弦)分量将消亡，而可以称这时的变换为余弦变换(cosine transform)或正弦变换(sine transform).另一个值得注意的性质是，当f(t)为纯实函数时，F(?ω) = F*(ω)成立. 傅里叶级数连续形式的傅里叶变换其实是傅里叶级数 (Fourier series)的推广，因为积分其实是一种极限形式的求和算子而已。
对于周期函数，其傅里叶级数是存在的:其中Fn为复幅度。
对于实值函数，函数的傅里叶级数可以写成:其中an和bn是实频率分量的幅度。
离散时域傅里叶变换离散傅里叶变换是离散时间傅里叶变换(DTFT)的特例(有时作为后者的近似)。
DTFT在时域上离散，在频域上则是周期的。
DTFT可以被看作是傅里叶级数的逆变换。
离散傅里叶变换离散傅里叶变换(DFT)，是连续傅里叶变换在时域和频域上都离散的形式，将时域信号的采样变换为在离散时间傅里叶变换(DTFT)频域的采样。
在形式上，变换两端(时域和频域上)的序列是有限长的，而实际上这两组序列都应当被认为是离散周期信号的主值序列。
即使对有限长的离散信号作DFT，也应当将其看作经过周期延拓成为周期信号再作变换。
在实际应用中通常采用快速傅里叶变换以高效计算DFT。
为了在科学计算和数字信号处理等领域使用计算机进行傅里叶变换，必须将函数xn定义在离散点而非连续域内，且须满足有限性或周期性条件。
这种情况下，使用离散傅里叶变换(DFT)，将函数xn表示为下面的求和形式:其中Xk是傅里叶幅度。
直接使用这个公式计算的计算复杂度为O(n*n)，而快速傅里叶变换(FFT)可以将复杂度改进为O(n*lgn)。
(后面会具体阐述FFT是如何将复杂度降为O(n*lgn)的。
)计算复杂度的降低以及数字电路计算能力的发展使得DFT成为在信号处理领域十分实用且重要的方法。
下面，比较下上述傅立叶变换的4种变体，如上，容易发现:函数在时(频)域的离散对应于其像函数在频(时)域的周期性。
反之连续则意味着在对应域的信号的非周期性。
也就是说，时间上的离散性对应着频率上的周期性。
同时，注意，离散时间傅里叶变换，时间离散，频率不离散，它在频域依然是连续的。
如果，读到此，你不甚明白，大没关系，不必纠结于以上4种变体，继续往下看，你自会豁然开朗。
(有什么问题，也恳请提出，或者批评指正) ok，本文，接下来，由傅里叶变换入手，后重点阐述离散傅里叶变换、快速傅里叶算法，到最后彻底实现FFT算法，全篇力求通俗易懂、阅读顺畅，教你从头到尾彻底理解傅里叶变换算法。
由于傅里叶变换，也称傅立叶变换，下文所称为傅立叶变换，同一个变换，不同叫法，读者不必感到奇怪。
第一部分、DFT第一章、傅立叶变换的由来要理解傅立叶变换，先得知道傅立叶变换是怎么变换的，当然，也需要一定的高等数学基础，最基本的是级数变换，其中傅立叶级数变换是傅立叶变换的基础公式。
一、傅立叶变换的提出傅立叶是一位法国数学家和物理学家，原名是Jean Baptiste JosephFourier(1768-1830), Fourier于1807年在法国科学学会上发表了一篇论文，论文里描述运用正弦曲线来描述温度分布，论文里有个在当时具有争议性的决断:任何连续周期信号都可以由一组适当的正弦曲线组合而成。
当时审查这个论文拉格朗日坚决反对此论文的发表，而后在近50年的时间里，拉格朗日坚持认为傅立叶的方法无法表示带有棱角的信号，如在方波中出现非连续变化斜率。
直到拉格朗日死后15年这个论文才被发表出来。
谁是对的呢,拉格朗日是对的:正弦曲线无法组合成一个带有棱角的信号。
但是，我们可以用正弦曲线来非常逼近地表示它，逼近到两种表示方法不存在能量差别，基于此，傅立叶是对的。
为什么我们要用正弦曲线来代替原来的曲线呢,如我们也还可以用方波或三角波来代替呀，分解信号的方法是无穷多的，但分解信号的目的是为了更加简单地处理原来的信号。
用正余弦来表示原信号会更加简单，因为正余弦拥有原信号所不具有的性质:正弦曲线保真度。
一个正余弦曲线信号输入后，输出的仍是正余弦曲线，只有幅度和相位可能发生变化，但是频率和波的形状仍是一样的。
且只有正余弦曲线才拥有这样的性质，正因如此我们才不用方波或三角波来表示。
二、傅立叶变换分类根据原信号的不同类型，我们可以把傅立叶变换分为四种类别:1、非周期性连续信号傅立叶变换(Fourier Transform)2、周期性连续信号傅立叶级数(Fourier Series)3、非周期性离散信号离散时域傅立叶变换(Discrete Time Fourier Transform)4、周期性离散信号离散傅立叶变换(Discrete Fourier Transform)下图是四种原信号图例(从上到下，依次是FT，FS，DTFT，DFT):这四种傅立叶变换都是针对正无穷大和负无穷大的信号，即信号的的长度是无穷大的，我们知道这对于计算机处理来说是不可能的，那么有没有针对长度有限的傅立叶变换呢,没有。
因为正余弦波被定义成从负无穷小到正无穷大，我们无法把一个长度无限的信号组合成长度有限的信号。
面对这种困难，方法是:把长度有限的信号表示成长度无限的信号。
如，可以把信号无限地从左右进行延伸，延伸的部分用零来表示，这样，这个信号就可以被看成是非周期性离散信号，我们可以用到离散时域傅立叶变换(DTFT)的方法。
也可以把信号用复制的方法进行延伸，这样信号就变成了周期性离散信号，这时我们就可以用离散傅立叶变换方法(DFT)进行变换。
本章我们要讲的是离散信号，对于连续信号我们不作讨论，因为计算机只能处理离散的数值信号，我们的最终目的是运用计算机来处理信号的。
但是对于非周期性的信号，我们需要用无穷多不同频率的正弦曲线来表示，这对于计算机来说是不可能实现的。
所以对于离散信号的变换只有离散傅立叶变换(DFT)才能被适用，对于计算机来说只有离散的和有限长度的数据才能被处理，对于其它的变换类型只有在数学演算中才能用到，在计算机面前我们只能用DFT方法，后面我们要理解的也正是DFT方法。
这里要理解的是我们使用周期性的信号目的是为了能够用数学方法来解决问题，至于考虑周期性信号是从哪里得到或怎样得到是无意义的。
每种傅立叶变换都分成实数和复数两种方法，对于实数方法是最好理解的，但是复数方法就相对复杂许多了，需要懂得有关复数的理论知识，不过，如果理解了实数离散傅立叶变换(real DFT)，再去理解复数傅立叶变换就更容易了，所以我们先把复数的傅立叶变换放到一边去，先来理解实数傅立叶变换，在后面我们会先讲讲关于复数的基本理论，然后在理解了实数傅立叶变换的基础上再来理解复数傅立叶变换。
还有，这里我们所要说的变换(transform)虽然是数学意义上的变换，但跟函数变换是不同的，函数变换是符合一一映射准则的，对于离散数字信号处理(DSP)，有许多的变换:傅立叶变换、拉普拉斯变换、Z变换、希尔伯特变换、离散余弦变换等，这些都扩展了函数变换的定义，允许输入和输出有多种的值，简单地说变换就是把一堆的数据变成另一堆的数据的方法。
三、一个关于实数离散傅立叶变换(Real DFT)的例子先来看一个变换实例，下图是一个原始信号图像:这个信号的长度是16，于是可以把这个信号分解9个余弦波和9个正弦波(一个长度为N的信号可以分解成N/2+1个正余弦信号，这是为什么呢,结合下面的18个正余弦图,我想从计算机处理精度上就不难理解，一个长度为N的信号，最多只能有N/2+1个不同频率，再多的频率就超过了计算机所能所处理的精度范围)，如下图:9个余弦信号:9个正弦信号:把以上所有信号相加即可得到原始信号，至于是怎么分别变换出9种不同频率信号的，我们先不急，先看看对于以上的变换结果，在程序中又是该怎么表示的，我们可以看看下面这个示例图:上图中左边表示时域中的信号，右边是频域信号表示方法，从左向右，-->，表示正向转换(Forward DFT)，从右向左，<--，表示逆向转换(Inverse DFT)，用小写x[]表示信号在每个时间点上的幅度值数组, 用大写X[]表示每种频率的副度值数组(即时间x-->频率X),因为有N/2+1种频率，所以该数组长度为N/2+1，X[]数组又分两种，一种是表示余弦波的不同频率幅度值:Re X[]，另一种是表示正弦波的不同频率幅度值:Im X[]，Re是实数(Real)的意思，Im是虚数(Imagine)的意思，采用复数的表示方法把正余弦波组合起来进行表示，但这里我们不考虑复数的其它作用，只记住是一种组合方法而已，目的是为了便于表达(在后面我们会知道，复数形式的傅立叶变换长度是N，而不是N/2+1)。