2013考研数学二真题答案

2013年全国硕士研究生入学统一考试

数学二试题答案

一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）设cos 1sin ()x x x α-=，其中()2

x π

α<

，则当0x →时，()x α是（ ）

（A ）比x 高阶的无穷小 （B ）比x 低阶的无穷小 （C ）与x 同阶但不等价的无穷小 （D ）与x 等价的无穷小 【答案】（C ）

【解析】因为200sin ()cos 11

lim

lim 2

x x x x x x α→→-==-

，所以0limsin ()0x x α→=， 因此当0x →时，()0x α→，所以sin ()()x x αα，所以00sin ()()1

lim lim 2

x x x x x x αα→→==-，

所以()x α是与x 同阶但不等价的无穷小。

（2）设函数()y f x =由方程cos()ln 1xy y x +-=确定，则2lim ()1n n f n

→∞

⎡

⎤-=⎢⎥⎣

⎦

（ ）

（A ）2 （B ）1 （C ）1- （D ）2- 【答案】（A ）

【解析】由于(0)1f =，所以2()(0)2lim ()1lim 22(0)2n n f f n n f f n n →∞→∞⎡⎤

-⎢⎥⎡⎤

'-==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥

⎣⎦

， 对此隐函数两边求导得()sin()10y y xy xy y ''-++

-=，所以(0)1f '=，故2lim ()12n n f n →∞⎡⎤

-=⎢⎥⎣⎦

。

（3）设函数sin ,0()=2,2x x f x x π

ππ≤<⎧⎨≤≤⎩

，0()()x F x f t dt =⎰，则（ ）

（A ）x π= 是函数()F x 的跳跃间断点 （B ）x π= 是函数()F x 的可去间断点

（C ）()F x 在x π=处连续但不可导 （D ）()F x 在x π=处可导 【答案】（C ） 【解析】0

sin 1cos ,0()()sin 22(1),2x x

x

tdt x x F x f t dt tdt dt x x ππππππ

⎧=-≤<⎪=

=⎨⎪+=-+≤≤⎩⎰⎰

⎰⎰，

由于lim ()lim ()2x x F x F x ππ→-

→+

==，所以()F x 在x π=处连续；

()()1cos lim

lim 0x x F x F x x x πππππ→-→+---==--，()()2()

lim lim 2x x F x F x x x ππππππ→+→+--==--，

所以()F x 在x π=处不可导。

（4）设函数111,1(1)

()=1,ln x e x f x x e x x

αα-+⎧

<<⎪-⎪⎨⎪≥⎪⎩，若反常积分1

()f x dx +∞⎰收敛，则（ ）

（A ）2α<- （B ）2α> （C ）20α-<< （D ）02α<<

【答案】（D ）

【解析】111,1(1)()=1,ln x e x f x x e x x αα-+⎧

<<⎪-⎪

⎨⎪≥⎪⎩

因为

1

1

()()()e e

f x dx f x dx f x dx +∞

+∞

=+⎰

⎰⎰

，

当1x e <<时，

11221

1

11111111

()lim lim[](1)(1)2(1)2(1)

e

e

e f x dx dx dx x x e ααααεεεαεα----→+→+===-------⎰

⎰

⎰， 要使2

111

lim[

]2(1)αεαε-→+

--存在，需满足2α-<0；

当x e ≥时，111ln 111lim()ln ln ln e

e d x dx x x

x αααλαλα+∞

+∞++→∞==-+⎰

⎰， 要使1

1

lim()ln α

λαλ

→∞

-

存在，需满足α>0；所以02α<<。 （5）设()y z f xy x =

，其中函数f 可微，则x z z y x y

∂∂+=∂∂（ ） （A ）2()yf xy ' （B ）2()yf xy '- （C ）2()f xy x （D ）2

()f xy x

- 【答案】（A ）

【解析】已知()y

z f xy x

=，所以22()()z y y f xy f xy x x x ∂'=-+∂， 所以

11

[()()](()())2()x z z f xy yf xy f xy yf xy yf xy y x y x x

∂∂'''+=-+++=∂∂。 （6）设k D 是圆域{

}

22

(,)|1D x y x y =+≤在第k 象限的部分，记()(1,2,3,4)k

k D I y x dxdy k =

-=⎰⎰，则