线性系统的运动分析ppt课件
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《Simulink与控制系统仿真(第3版)》的课件 线性系统状态空间分析和非线性系统分析
通过本章，读者能了解非线性系统的发展概况、非线性 系统的数学描述和特性、非线性系统的研究方法和特点 ，掌握非线性系统分析和设计的基本概念和方法以及利 用MATLAB/Simulink对非线性系统进行分析。
11.2 非线性系统概述
含有非线性元件或环节的系统称为非线性系统。非线性特性包括 许多类型，典型的静态非线性特性包括死区非线性、饱和非线性、 间隙非线性和继电非线性。
采用MATLAB绘制相轨迹图
绘制相轨迹图的实质是求解微分方程的解。求解微分方程数 值解的算法有多种，MATLAB提供了求解微分方程的函数组， 常用的有ode45，它采用的计算方法是变步长的龙格-库塔4/5 阶算法。 ode45()常用的调用格式如下： [t, y]=ode45(odefun, tspan, y0) 在用户自己编写的MATLAB函数中既可以描述线性系统特性， 也可以描述非线性系统特性。
Relay：继电非线性； Saturation：饱和非线性； Saturation Dynamic：动态饱和非 线性；
Wrap To Zero：环零非线性。
11.3 相平面法
应用相平面法分析一阶尤其是二阶非线性控制系统，弄清非线性系统的稳定 性、稳定域等基本属性以及解释极限环等特殊现象，具有非常直观形象的效 果。 由于绘制二维以上的相轨迹十分困难，因此相平面法对于二阶以上的系统几 乎无能为力，这是相平面法的局限。
11.2.3 Simulink中的非线性模块
Backlash：间隙非线性； Coulomb&Viscous Friction：库仑 和黏度摩擦非线性；
Dead Zone：死区非线性； Dead Zone Dynamic：动态死区 非线性；
Hit Crossing：冲击非线性； Quantizer：量化非线性； Rate Limiter：比例限制非线性； Rate Limiter Dynamic：动态比例 限制非线性；
11.2 非线性系统概述
含有非线性元件或环节的系统称为非线性系统。非线性特性包括 许多类型，典型的静态非线性特性包括死区非线性、饱和非线性、 间隙非线性和继电非线性。
采用MATLAB绘制相轨迹图
绘制相轨迹图的实质是求解微分方程的解。求解微分方程数 值解的算法有多种，MATLAB提供了求解微分方程的函数组， 常用的有ode45，它采用的计算方法是变步长的龙格-库塔4/5 阶算法。 ode45()常用的调用格式如下： [t, y]=ode45(odefun, tspan, y0) 在用户自己编写的MATLAB函数中既可以描述线性系统特性， 也可以描述非线性系统特性。
Relay：继电非线性； Saturation：饱和非线性； Saturation Dynamic：动态饱和非 线性；
Wrap To Zero：环零非线性。
11.3 相平面法
应用相平面法分析一阶尤其是二阶非线性控制系统，弄清非线性系统的稳定 性、稳定域等基本属性以及解释极限环等特殊现象，具有非常直观形象的效 果。 由于绘制二维以上的相轨迹十分困难，因此相平面法对于二阶以上的系统几 乎无能为力，这是相平面法的局限。
11.2.3 Simulink中的非线性模块
Backlash：间隙非线性； Coulomb&Viscous Friction：库仑 和黏度摩擦非线性；
Dead Zone：死区非线性； Dead Zone Dynamic：动态死区 非线性；
Hit Crossing：冲击非线性； Quantizer：量化非线性； Rate Limiter：比例限制非线性； Rate Limiter Dynamic：动态比例 限制非线性；
线性系统理论(郑大钟第二版)第4章
第三章 线性系统的稳定性及李雅普诺夫 分析方法
§1 稳定性基本概念
一、外部稳定性与内部稳定性 1．外部稳定性 考虑一个线性因果系统,在零初始条件下,如果对应于任意有界输 入的输出均为有界，则称该系统是外部稳定的。
u(t ) k1
y(t ) k2
系统的外部稳定性也称有界输入－有界输出（BIBO）稳定性。 对于线性定常连续系统，外部稳定的充要条件是系统传递函数 的全部极点具有负实部。
n
it
i 1
i i
2．非线性系统情况 对于非本质性的非线性系统，可以在一定条件下用它的近似 线性化模型来研究它在平衡点的稳定性。
非线性自治系统： x f ( x)
f ( x )为n维非线性向量函数，并对各状态变量连续可微。
xe 0
是系统的一个平衡点。
将f ( x )在平衡点xe 邻域展成泰勒级数: f ( x ) f ( xe )
(t t0 )
则称平衡状态 xe 是稳定的。 可以将下式看成为状态空间中以 xe 为球心，以 为半径的一个超 球体，球域记为 S ( ) ；把上式视为以 xe为球心，以 为半径的一个 超球体，球域记为 S ( ) 。球域 S ( )依赖于给定的实数 和初始时间t 0 。
平衡状态 xe 是稳定的几何解释： 从球域 S ( )内任一点出发的运动 x(t; x0 , t0 )对所有的 t t0 都不超越球域 S ( ) 。 x2 一个二维状态空间中零平衡 S ( ) xe 0 是稳定的几何解释 状态 如右图 。 S ( ) 如果 与 t 0 无关，称为是 一致稳定，定常系统是一致 稳定的。 上述稳定保证了系统受扰运动的有 界性，通常将它称为李雅普诺夫意义 下的稳定，以区别于工程意义的稳定 (还应该具有对于平衡状态的渐进性)。
§1 稳定性基本概念
一、外部稳定性与内部稳定性 1．外部稳定性 考虑一个线性因果系统,在零初始条件下,如果对应于任意有界输 入的输出均为有界，则称该系统是外部稳定的。
u(t ) k1
y(t ) k2
系统的外部稳定性也称有界输入－有界输出（BIBO）稳定性。 对于线性定常连续系统，外部稳定的充要条件是系统传递函数 的全部极点具有负实部。
n
it
i 1
i i
2．非线性系统情况 对于非本质性的非线性系统，可以在一定条件下用它的近似 线性化模型来研究它在平衡点的稳定性。
非线性自治系统： x f ( x)
f ( x )为n维非线性向量函数，并对各状态变量连续可微。
xe 0
是系统的一个平衡点。
将f ( x )在平衡点xe 邻域展成泰勒级数: f ( x ) f ( xe )
(t t0 )
则称平衡状态 xe 是稳定的。 可以将下式看成为状态空间中以 xe 为球心，以 为半径的一个超 球体，球域记为 S ( ) ；把上式视为以 xe为球心，以 为半径的一个 超球体，球域记为 S ( ) 。球域 S ( )依赖于给定的实数 和初始时间t 0 。
平衡状态 xe 是稳定的几何解释： 从球域 S ( )内任一点出发的运动 x(t; x0 , t0 )对所有的 t t0 都不超越球域 S ( ) 。 x2 一个二维状态空间中零平衡 S ( ) xe 0 是稳定的几何解释 状态 如右图 。 S ( ) 如果 与 t 0 无关，称为是 一致稳定，定常系统是一致 稳定的。 上述稳定保证了系统受扰运动的有 界性，通常将它称为李雅普诺夫意义 下的稳定，以区别于工程意义的稳定 (还应该具有对于平衡状态的渐进性)。
自动控制原理课件：线性系统的频域分析
曲线顺时针方向移动一周时，在 平面上的映射曲线按逆时针方向
包围坐标原点 − 周。
m
F (s)
K1 ( s z j )
j 1
n
i 1
( s pi )
24
• 02
基本概念
m
1 G ( s) H ( s) F ( s)
K1 ( s z j )
j 1
在 平面上的映射曲线 F 1 G ( j ) H ( j )将按逆时针方向
围绕坐标原点旋转 = − 周。
如果在s平面上，s沿着奈奎斯特回线顺时针方向移动一周时，
在 平面上的映射曲线围绕坐标原点按逆时针方向旋转 =
周，则系统为稳定的。
26
根据
( 1, j 0)
L( ) 20 lg K 20 lg 1 12 2 20 lg 1 22 2
( ) arctg 1 arctg 2
τ2
20dB / dec 1
2
L3 ( )
L2 ( )
40dB / dec
( )
0
L( )
90
A( ) 1, ( )
L ( ) 20 lg A( ) 0
L( )
jQ( )
L( ) 0
0
( )
1
0
1
P( )
1
0
30
60
16
5.3
系统开环频率特性图
设开环系统由n个典型环节串联组成
G(s ) G 1(s )G 2(s ) G n(s )
这意味着 的映射曲线 F 围绕原点运动的情况，相当于
包围坐标原点 − 周。
m
F (s)
K1 ( s z j )
j 1
n
i 1
( s pi )
24
• 02
基本概念
m
1 G ( s) H ( s) F ( s)
K1 ( s z j )
j 1
在 平面上的映射曲线 F 1 G ( j ) H ( j )将按逆时针方向
围绕坐标原点旋转 = − 周。
如果在s平面上，s沿着奈奎斯特回线顺时针方向移动一周时，
在 平面上的映射曲线围绕坐标原点按逆时针方向旋转 =
周，则系统为稳定的。
26
根据
( 1, j 0)
L( ) 20 lg K 20 lg 1 12 2 20 lg 1 22 2
( ) arctg 1 arctg 2
τ2
20dB / dec 1
2
L3 ( )
L2 ( )
40dB / dec
( )
0
L( )
90
A( ) 1, ( )
L ( ) 20 lg A( ) 0
L( )
jQ( )
L( ) 0
0
( )
1
0
1
P( )
1
0
30
60
16
5.3
系统开环频率特性图
设开环系统由n个典型环节串联组成
G(s ) G 1(s )G 2(s ) G n(s )
这意味着 的映射曲线 F 围绕原点运动的情况，相当于
系统动力学ppt课件
所以，引入辅助方程，将复杂的方程分解简化，由系 列方程替代一个复杂的方程，使用起来清晰明确。
具体来说，辅助方程是速率方程的子方程，用于计算 辅助变量的取值，可以使决策者更加清楚地了解决策 的过程。
可编辑课件
27
⑷常量方程
简单数来，常量方程就是给常量赋值：
Ci=Ni Ci：常数名称 Ni：常数值
边界优化是指系统边界及边界条件发生变化时引起系统结 构变化来获得较优的系统行为。
系统动力学就是通过计算机仿真技术来对系统结构进行 仿真，寻找系统的较优结构，以求得较优的系统行为。
可编辑课件
10
2.系统动力学的原理
系统动力学把系统的行为模式看成是由系统内部的信息反 馈机制决定的。通过建立系统动力学模型，利用 DYNAMO仿真语言和Vensim软件在计算机上实现对真实 系统的仿真，可以研究系统的结构、功能和行为之间的动 态关系，以便寻求较优的系统结构和功能。
可编辑课件
18
3、 基本概念
延迟：
延迟现象在系统内无处不在。如货物需要运输，决策需 要时间。延迟会对系统的行为有很大的影响，因此必须要 刻画延迟机制。延迟包括物质延迟与信息延迟。系统动力 学通过延迟函数来刻画延迟现象。如物质延迟中DELAY1， DELAY3函数；信息延迟的DLINF3函数。
平滑：
为负指两个变量的变化趋势相反。
杯中水位
+
期望水位
可编辑课件
斟水速率
-
+
水位差
+ +
决定添水
15
3、 基本概念
反馈回路的极性：反馈回路的极性取决于回路中各因果链符 号。回路极性也分为正反馈和负反馈，正反馈回路的作用 是使回路中变量的偏离增强，而负反馈回路则力图控制回 路的变量趋于稳定。
具体来说，辅助方程是速率方程的子方程，用于计算 辅助变量的取值，可以使决策者更加清楚地了解决策 的过程。
可编辑课件
27
⑷常量方程
简单数来，常量方程就是给常量赋值：
Ci=Ni Ci：常数名称 Ni：常数值
边界优化是指系统边界及边界条件发生变化时引起系统结 构变化来获得较优的系统行为。
系统动力学就是通过计算机仿真技术来对系统结构进行 仿真，寻找系统的较优结构，以求得较优的系统行为。
可编辑课件
10
2.系统动力学的原理
系统动力学把系统的行为模式看成是由系统内部的信息反 馈机制决定的。通过建立系统动力学模型，利用 DYNAMO仿真语言和Vensim软件在计算机上实现对真实 系统的仿真，可以研究系统的结构、功能和行为之间的动 态关系，以便寻求较优的系统结构和功能。
可编辑课件
18
3、 基本概念
延迟：
延迟现象在系统内无处不在。如货物需要运输，决策需 要时间。延迟会对系统的行为有很大的影响，因此必须要 刻画延迟机制。延迟包括物质延迟与信息延迟。系统动力 学通过延迟函数来刻画延迟现象。如物质延迟中DELAY1， DELAY3函数；信息延迟的DLINF3函数。
平滑：
为负指两个变量的变化趋势相反。
杯中水位
+
期望水位
可编辑课件
斟水速率
-
+
水位差
+ +
决定添水
15
3、 基本概念
反馈回路的极性：反馈回路的极性取决于回路中各因果链符 号。回路极性也分为正反馈和负反馈，正反馈回路的作用 是使回路中变量的偏离增强，而负反馈回路则力图控制回 路的变量趋于稳定。
滞后校正滞后超前校正ppt课件
1) R1C2 s
令：R1C1 1，R2C2 2
26
且设分母多项式分解为两个一次式，时间常数取为T1 、
T2 ，则上式可写成：
Gc
(s)
( 1 s
(T1s
1)( 2s
1)(T2 s
1) 1)
2、滞后-超前校正装置的零、极点分布
T1
式中， 1 2
1 2 T2
谐振频率ωr ； 谐振峰值 Mr ; 带宽频率ωb与闭环带宽0~ωb :
一 般 规 定 L(ω) 由 20lgA(0) 下 降 到 － 3dB 时 的 频
率，亦即A(ω)由A(0)下降到0.707A(0)时的频率叫作系
统的带宽频率。频率由0~ωb的范围称为系统的闭环带宽
。
5
二、频率法校正
6
低频段
R2Cs
1
＝1＋bTs
1 Ts
其中：b
R2 R1 R2
(b
1),T
( R1
R2 )C
21
2、滞后校正的零、极点分布
zc
1 bT
1 pc T
3、滞后校正装置的频率特性
Gc ( j )
jbT 1 jT 1
1 (b
2
T ) e j(arc tanbT arctanT )
L(ω)在开环截止频率ωc（0分贝附近）的区段。
频率特性反映闭环系统动态响应的平稳性和快速性。
时域响应的动态特性主要取决于中频段的形状。
反映中频段形状的三个参数为：开环截止频率ωc、中 频段的斜率、中频段的宽度。
为了使系统稳定，且有足够的稳定裕度，一般希望： 中频段开环对数幅频特性斜率为-20dB/dec的线段， ωc 较大，且有足够的宽度；
线性方程组解PPT课件
VS
详细描述
高斯消元法的基本思想是将线性方程组转 化为上三角矩阵，然后通过回代过程求解 未知数。在消元过程中，通过行变换将方 程组的系数矩阵变为上三角矩阵，然后通 过回代过程求解未知数。该方法具有较高 的计算效率和精度，适用于大规模线性方 程组的求解。
迭代法
总结词
迭代法是一种求解线性方程组的方法，通过不断迭代逼近解的过程。
在物理领域的应用
力学系统
利用线性方程组描述多体系统的 运动状态，分析系统的平衡点和 稳定性，以及如何通过调整系统
参数实现稳定运动。
电路分析
通过线性方程组表示电路中的电流 和电压关系，分析电路的阻抗、导 纳和转移矩阵等参数，为电路设计 和优化提供依据。
波动方程
利用线性方程组描述波动现象，如 声波、光波和水波等，分析波的传 播规律和特性。
线性方程组解ppt课件
目录 CONTENT
• 线性方程组的基本概念 • 线性方程组的解法 • 线性方程组的解的性质 • 线性方程组的应用 • 线性方程组解的软件实现
01
线性方程组的基本概念
线性方程组的定义
线性方程组
由有限个线性方程组成的方程组，其中每个方程包含一个或多个 未知数。
线性方程
形如 ax + by + c = 0 的方程，其中 a, b, c 是常数，x 和 y 是未 知数。
详细描述
迭代法的基本思想是通过不断迭代逼近解的过程，最终得到线性方程组的近似解。迭代法有多种形式，如雅可比 迭代法、高斯-赛德尔迭代法和松弛迭代法等。这些方法通过迭代更新解的近似值，最终得到满足精度要求的解。 迭代法适用于大规模线性方程组的求解，但计算效率相对较低。
矩阵求解法
总结词
西工大、西交大自动控制原理 第五节 线性系统的稳定性分析9-10
1.系统稳定性概念
线性控制系统的稳定性定义
设线性控制系统在初始扰动的影响 下，其过渡过程随着时间的推移逐渐衰 减并趋向于零，则称该系统渐进稳定(简 称稳定)。反之，若在初始扰动的影响下， 系统过渡过程随着时间的推移而发散， 则称系统为不稳定。
1.系统稳定性概念
线性控制系统的稳定性是系统自身的固有特性。 稳定与否和输入信号及初始偏差的大小无关。
若通过系统自身的调节作用， 使偏差最后 逐渐减小，系统又逐渐恢复到平衡状态， 那么， 这种系统便是稳定的。
1. 系统稳定性概念
c(t)
c(t)
扰动
O (a)
扰动
O t
t (b)
不稳定
稳定
1. 系统稳定性概念
大范围稳定: 不论扰动引起的初始偏差有多大，
当扰动取消后，系统都能够恢复到原有 的平衡状态。
试用Hurwitz判据判断系统的稳定性。
解：(1) 特征方程式的各项系数均大于0。 (2) 各阶Hurwitz行列式为：
D1 a1 1 0
D2
a1 a0
a3 1 a2 2
5 7 0
3
3、稳定判据（代数判据）
(1) Hurwitz稳定判据
a1 a3 a5 1 5 0 D3 a0 a2 a4 2 3 10 45 0
2线性系统稳定的充分必要条件
设线性系统在初始条件为零时，输入一个 理想单位脉冲信号 (t)，这时系统的输出称为 脉冲过渡函数（或称脉冲响应）g (t)
若系统闭环传递函数为：
m
Φs
Cs Rs
M s N s
Kg
n1
s sj
s zi
i 1
s2 2ζ k ωk s ωk2
第八章 非线性系统PPT课件
10
二、非线性系统的运动特点
(二)系统的零输入响应形式
某些非线性
e态有关。 0
t
11
二、非线性系统的运动特点
(三)极限环（自激振荡）
非线性系统，在初始状态 的激励下，可以产生固定振幅 和固定频率的周期振荡，这种 周期振荡称为非线性系统的自 激振荡或极限环。
❖ 计算机仿真(Computer simulation)
16
§8.2 相平面图
相平面法(Phase-plane technique) 是庞卡莱(H. Poincare)提出来的一种 用图解法求解一阶、二阶微分方程 的方法，它实质上属于状态空间分 析法在二维空间中的应用，该方法 适合于研究二阶系统。
非线性特性千差万别，对于非线性系统，目前还没有统一的且普遍适用的处 理方法。线性系统是非线性系统的特例，线性系统分析和设计方法在非线性9 控制 系统的研究中仍将发挥非常重要的作用
二、非线性系统的运动特点
(一)稳定性
与系统的结构和参数及系统的输入信 号和初始条件有关。
研究时应注意： 1、系统的初始条件； 2、系统的平衡状态。
第八章 非线性控制系统
Nonlinear Control System
1
整体 概述
一 请在这里输入您的主要叙述内容
二
请在这里输入您的主要 叙述内容
三 请在这里输入您的主要叙述内容
2
内容提要
§8.1 概述 §8.2 相平面图 §8.3 奇点和极限环 §8.4 非线性系统的相平面图分析 §8.5 非线性特性的描述函数 §8.6 用描述函数分析非线性系统
-M
(d) 8
当系统中含有一个或多个具有非线性特性的元件时， 该系统称为非 线性系统。一般地，非线性系统的数学模型可以表示为
二、非线性系统的运动特点
(二)系统的零输入响应形式
某些非线性
e态有关。 0
t
11
二、非线性系统的运动特点
(三)极限环（自激振荡）
非线性系统，在初始状态 的激励下，可以产生固定振幅 和固定频率的周期振荡，这种 周期振荡称为非线性系统的自 激振荡或极限环。
❖ 计算机仿真(Computer simulation)
16
§8.2 相平面图
相平面法(Phase-plane technique) 是庞卡莱(H. Poincare)提出来的一种 用图解法求解一阶、二阶微分方程 的方法，它实质上属于状态空间分 析法在二维空间中的应用，该方法 适合于研究二阶系统。
非线性特性千差万别，对于非线性系统，目前还没有统一的且普遍适用的处 理方法。线性系统是非线性系统的特例，线性系统分析和设计方法在非线性9 控制 系统的研究中仍将发挥非常重要的作用
二、非线性系统的运动特点
(一)稳定性
与系统的结构和参数及系统的输入信 号和初始条件有关。
研究时应注意： 1、系统的初始条件； 2、系统的平衡状态。
第八章 非线性控制系统
Nonlinear Control System
1
整体 概述
一 请在这里输入您的主要叙述内容
二
请在这里输入您的主要 叙述内容
三 请在这里输入您的主要叙述内容
2
内容提要
§8.1 概述 §8.2 相平面图 §8.3 奇点和极限环 §8.4 非线性系统的相平面图分析 §8.5 非线性特性的描述函数 §8.6 用描述函数分析非线性系统
-M
(d) 8
当系统中含有一个或多个具有非线性特性的元件时， 该系统称为非 线性系统。一般地，非线性系统的数学模型可以表示为
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, bk
1 k
Abk 1
k1！Akb0 ,L
解的表达式进而表为：
x(t)
I
At
21！A2t 2
31！A3t3 L
b0
,
t0
令上式中t=0，则x(0)=b0，已知初始条件x(0)=x0，故b0 =x0
x(t)
I
At 21！A2t 2 31！A3t3 L
x0
eAt x0 ,
t0 8
第3章 线性系统的运动分析
本章以线性系统为对象，讨论系统的定量分析问题，指出 系统的运动规律，阐明系统的运动性质，介绍系统的分析方法。
1
第3章 线性系统的运动分析
第3章 线性系统的运动分析
3.1 引言 3.2 线性时不变系统的运动分析（※） 3.3 线性时不变系统的状态转移矩阵（※） 3.4 线性时变系统的运动分析
2
第3章 线性系统的运动分析
零输入响应：指系统输入u为零时，由初始状态 x0单独作用所引起的运动。即状态方程
x& A(t)x, x(t0) x0 , t t0,t
的解，用 x0u (t) 表示。
4
第3章 线性系统的运动分析
2. 零初态响应
零初态响应：指系统初始状态x0为零时，由系统 输入u单独作用所引起的运动。即状态方程
3.1 引 言
一．运动分析的数学实质
线性系统的状态方程为：
或
x& A(t)x B(t)u, x(t0) x0 , t t0,t
x& Ax Bu, x(0) x0 , t 0
运动分析的目的：从系统数学模型出发，定量地 和精确地定出系统运动的变化规律，以便为系统的 实际运动过程做出估计。
数学实质：相对于给定的初始状态x0和外输入作
x(t) b0 b1t b2t2 L bktk ,
t0
k 0
其必满足状态方程，可得出
b1 2b2t 3b3t 2 L Ab0 Ab1t Ab2t 2 L
由比较上列等式 tk 两边的系数向量，可定出待定向量为：
b1
Ab0 , b2
1 2
Ab1
21！A2b0 , b3
1 3
Ab2
31！A3b0 ,K
用u，求解出状态方程的解x(t)源自即由初始状态和外 输入作用所引起的状态响应。
3
第3章 线性系统的运动分析
二．零输入响应和零初态响应
线性系统满足叠加原理，利用该属性可把系 统在初始状态和输入向量作用下的运动分解为
两个单独的分运动，即由初始状态引起的自由 运动和由输入作用引起的强迫运动。
1. 零输入响应
3 矩阵指数函数性质
(1) lim e At I t 0
(2) (eAt )T eATt
(3) 令t和τ为两个自变量，则必成立
e A(t ) e At e A e A e At
(4) (e At )1 e At
9
第3章 线性系统的运动分析
(5) 设有n×n常阵A和F,如果A和F是可交换的， 则必成立
犏 犏 犏 臌
1+
l nt +
1l 2!
n2t 2
+
L
轾 犏el 1t
=
犏 犏
O
犏 犏 臌
el nt
12
第3章 线性系统的运动分析
(2)当A具有如下形式
0 1 0 A 0 0 1
0 0 0
则A是零幂矩阵，即自乘若干次后化成零矩阵。
应用矩阵指数函数定义，可得
1
eAt
k 0
1 Aktk k!
2 k 0
x0u (t) eAt x0 , t 0
当 t0 0 时（即 x& Ax, x(t0 ) x0 , t t0），线
性定常系统的零输入响应为：
x2 x(t0)
x(t1)
x0u (t) eA(tt0 ) x0 , t t0
x(t2)
x(t)
7
x1
第3章 线性系统的运动分析
证：设齐次状态方程 x& Ax, x(0) x0, t 0 的解为：
x& A(t)x B(t)u, x(t0) 0, t t0,t
的解，用 x0x (t)表示。
系统总的运动响应 x(t) 是零输入响应和零初 态响应的叠加，即
x(t) x0u (t) x0x (t)
5
第3章 线性系统的运动分析
3.2 线性时不变系统的运动分析
一．零输入响应
输入u = 0时，线性定常系统的状态方程： x& Ax, x(0) x0, t 0
直接利用矩阵指数函数的定义式计算，即
eAt At L 1 Akt k L 1 Akt k
k!
k0 k !
说明：该方法只能得到eAt的数值结果，一般不能写成闭合
形式。实际计算时，可取前有限项给出近似结果。
N
eAt
1 Akt k
k0 k !
其中：N可根据实际系统精度要求确定。 11
第3章 线性系统的运动分析
(1)当A为对角线矩阵，即 A diag{1,时 ,n}
e At = I + At + 1 A2t 2 + L 2!
轾 犏 l 1 = I + 犏 犏 O
犏 臌
ln
t+
1
轾 犏 l 12 犏
2!
犏 犏 犏 臌
O
t2 + L
l
2 n
轾 犏 犏 犏 1+
l 1t +
1l 2!
12t 2
+
L
= 犏 犏
O
e( AF )t e At eFt eFt e At
(6) d e At AeAt e At A dt
(7) 对给定方阵A，必成立
(e At )m e A(mt) , m 0,1,2,
10
第3章 线性系统的运动分析
4 矩阵指数函数的计算方法（※）
方法一：定义法
如何求矩阵 指数函数？
1 Akt k k!
0 0
t 1 0
t 2 2
t
1
13
第3章 线性系统的运动分析
推广可得
称为齐次状态方程。求线性定常系统的零输入 响应，其实就是求该齐次状态方程的解。
1. 矩阵指数函数
定义n×n的矩阵函数
eAt I At 21！A2t 2 L
k 0
k1！Akt k
为矩阵指数函数 。
6
第3章 线性系统的运动分析
2. 零输入响应
由状态方程 x& Ax, x(0) x0, t 0 描述 的线性定常系统的零输入响应的表达式为
第3章 线性系统的运动分析
第3章 线性系统的运动分析
建立起系统的状态空间描述之后，可以利用这些描述来分 析系统的运动行为，其分析方法主要包括定量分析和定性分析 两种。
在定量分析中，主要分析系统对给定输入的精确响应及其 性质，其数学上的体现为状态方程解析形式的解。
在定性分析中，则着重对决定系统行为和综合系统结构具 有重要意义的几个关键性质，如可控性、可观测性和稳定性等， 进行定性研究。