线段和差的最值问题介绍课件PPT
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重庆市八中中考数学专题复习——线段和差的最值问题(共31张PPT)
2、对于动点Q（1，n）， 求PQ+QB的最小值 .
第一步 寻找、构造几何模型 要求PQ+QB的最小值？
经典模型：牛喝水！
第二步 计算——勾股定理
把PQ+QB转化为PQ+QA ！ 当Q运动到E时，PQ+QA最小
AP 32 32 3 2
第二步 计算——勾股定理
把PQ+QB转化为PQ+QA ！ 当Q运动到E时，PQ+QA最小
EF 12 22 5
因此四边形MNFE的周长的最小值为5 5.
小结
经典模型：台球两次碰壁问题 经验储存：没有经验，难有思路
例6：在平面直角坐标系中，Rt△AOB 的顶点坐标分别是A(-2，0)，O(0,0)， B(0，4），把△AOB绕O点按顺时针旋 转90度，得到△COD，（1）求C、D 的坐标，（2）求经过A、B、D三点的 抛物线。（3）在（2）中的抛物线的 对称轴上取两点E、F（E在F点的上 方），且EF=1，当四边形ACEF的周 长最小时，求E、F的坐标。
两条线段和的最小值 两条线段差的最大值
两点之间，线段最短
三角形两边之差小于第三边
当P运动到E时，PA＋PB 最小
当Q运动到F时，QD－QC 最大
当P运动到E时，PA＋PB最小 当Q运动到F时，QD－QC最大
第一步，寻找、构造几何模型 第二步，计算
例1：在△ABC中，AC=BC=2，
∠ACB=90O，D是BC边的中点，E是AB
1、已知在对抛物线的对称轴上存 在一点P，使得△PBC的周长最小， 请求出点P的坐标 .
第一步 寻找、构造几何模型 要求△PBC的周长最小？ 只要PB+PC最小就好了！
经典模型：牛喝水！
2020年中考复习专题：线段和差最值问题课件(共18张PPT)
∴抛物线的表达式为y＝－1x2＋5x－2 ，
∵抛物线y＝－1x2＋5x－22可化为2 y＝－1(x2－5x)－2＝－1(x－5)2＋9
22 ∴顶点D的坐标为( 5，9
28
2 )，对称轴l为直线x＝
5
2
；
2 28
(2)设点G是y轴上一点，是否存在点G，使得GD＋GB的值最小，若存在，求出 点G的坐标；若不存在，请说明理由； 温馨提示：要使GD＋GB的值最小，一般是通过轴对称作出 对称点来解决．
解：存在．如解图②，要使GD＋GB的值最小，取点B关于y 轴的对称点B′，点B′的坐标为(－1，0)． 连接B′D，直线B′D与y轴的交点G即为所求的点，
解：如解图①，由点E在x轴上，可设点E的坐标为(e，0)，连接CE，
则AE＝AO－OE＝4－e，
在Rt△COE中，根据勾股定理得
CE2＝OC2＋OE2＝4＋e2，
存在．要使△BCF的周长最小，即BC＋BF＋CF最小，如解 图③所示，连接BC. 在Rt△OBC中，OB＝1，OC＝2，由勾股定理得BC＝ 12＋22 ＝ 5 ，为定值， ∴当BF＋CF最小时，△BCF的周长最小，
∵点B与点A关于直线l对称，
∴AF＝BF，
则BF＋CF＝AF＋CF，
∴直线AC与对称轴l的交点即为所求的点F，连接BF，
在△BFE和△EGB″中，
∠BFE＝∠EGB″＝90° ∠FBE＝∠GEB″
∴△BFE≌△EGB″，
BE＝EB″
∴EG＝BF＝ 3 ，B″G＝EF＝ 6 ，
∴B″(
8＋3，5－(6＋6) 55 55
5 )，即B″(
11，－12 55
)，
设直线B′B″的表达式为y＝k′x＋b′，
初中数学浙教版七年级上册线段的和差课件12张
A
A
线段AB1的长度是线段AC和线段CB1的长度的和，
那么线段AB1叫做线段AC和线段CB1的和
记作AB1=AC+CB1
线段的差
线段AC的长度是线段AB1和线段CB1的长度的差，
那么线段AC叫做线段AB1和线段CB1的差
记作AC=AB1-CB1-
做一做
如图，C是线段AB上的一点，请完成下面的填空
（1）AC+CB=
段的延长线.
B
练习巩固
1.如图,已知线段AB＝10cm,线段CB＝3cm,则线段AC的长是(
A．7 cm
C．5 cm
)
B．6 cm
D．4 cm
2．已知线段AB＝11 cm，在直线AB上画线段BC，使BC＝3 cm，则线
段AC=________________．
3．如果线段AB＝10 cm，MA＋MB＝13 cm，那么下面说法中正确的是(
②在线段AB上截取AC=a．
③线段BC=AB-AC=b-a
D
A
C
B
∴线段BC就是所求作的线段．
已知线段a，b，用直尺和圆规作图：
a
(1)a－b；(2)2b.
(1)
b
A
C
B
线段AC、线段CD和
线段AD的长短有什么
关系？
∴线段BC为所求的线段
(2)
A
C
∴线段AD为所求的线段
D
把一条线段分成相等的两条线段的点，叫做线段的中点.
D
C
A
点C将线段AD分成相等的两条线段AC与线段CD，点C叫做线段AB的中点
∵点C是线段AD的中点
1
∴AC=CD=
线段和差的最小值问题课件
第4题答图
5．如图，在矩形 ABCD 中，若 AB＝4，AD＝5，连接 AC，O 是 AC 的 中点，M 是 AD 上一点，且 MD＝1，P 是 BC 上一动点，则 PM－PO 的 最大值为_____52_____．
第 5 题图
【解析】∵在矩形 ABCD 中，AD＝5，MD＝1，∴AM＝AD－DM＝5－1 ＝4，如答图，连接 MO 并延长交 BC 于点 P，此时 PM－PO 的值最大， 且 PM－PO 的最大值为 OM.∵AM∥CP，∴∠MAO＝∠PCO.∵∠AOM ＝∠COP，AO＝CO，∴△AOM≌△COP(ASA)，∴AM＝CP＝4，OM＝ OP，∴PB＝5－4＝1，过点 M 作 MN⊥BC 于点 N，∴四边形 MNCD 是 矩形，∴MN＝CD＝AB＝4，CN＝DM＝1，∴PN＝5－1－1＝3，∴MP ＝ MN2＋PN2＝ 42＋32＝5，∴OM＝12MP＝25.
D
A
P
C
M
N
B
针对练习 1、如图，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动
点．连结BD，由正方形对称性可知，B与D关于直线AC称．连 结ED交AC于P，则PB+PE的最小值等于线段__D__E_ 的长度， 最小值等于____5_____；
B
E
：两个动点，一个定点
（陕西省）如图3，在锐角△ABC中， AB= 4 2，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交 BC于点D ，M 、N 分别是AD 和 AB上的动 点，则BM+MN 的最小值是_________ ．
第7题答图
8．如图，若∠AOB＝30°，点 P 是∠AOB 内的一定点，且 OP＝6，若点 M，N 分别是射线 OA，OB 上异于点 O 的动点，则△PMN 周长的最小 值是__________．
5．如图，在矩形 ABCD 中，若 AB＝4，AD＝5，连接 AC，O 是 AC 的 中点，M 是 AD 上一点，且 MD＝1，P 是 BC 上一动点，则 PM－PO 的 最大值为_____52_____．
第 5 题图
【解析】∵在矩形 ABCD 中，AD＝5，MD＝1，∴AM＝AD－DM＝5－1 ＝4，如答图，连接 MO 并延长交 BC 于点 P，此时 PM－PO 的值最大， 且 PM－PO 的最大值为 OM.∵AM∥CP，∴∠MAO＝∠PCO.∵∠AOM ＝∠COP，AO＝CO，∴△AOM≌△COP(ASA)，∴AM＝CP＝4，OM＝ OP，∴PB＝5－4＝1，过点 M 作 MN⊥BC 于点 N，∴四边形 MNCD 是 矩形，∴MN＝CD＝AB＝4，CN＝DM＝1，∴PN＝5－1－1＝3，∴MP ＝ MN2＋PN2＝ 42＋32＝5，∴OM＝12MP＝25.
D
A
P
C
M
N
B
针对练习 1、如图，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动
点．连结BD，由正方形对称性可知，B与D关于直线AC称．连 结ED交AC于P，则PB+PE的最小值等于线段__D__E_ 的长度， 最小值等于____5_____；
B
E
：两个动点，一个定点
（陕西省）如图3，在锐角△ABC中， AB= 4 2，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交 BC于点D ，M 、N 分别是AD 和 AB上的动 点，则BM+MN 的最小值是_________ ．
第7题答图
8．如图，若∠AOB＝30°，点 P 是∠AOB 内的一定点，且 OP＝6，若点 M，N 分别是射线 OA，OB 上异于点 O 的动点，则△PMN 周长的最小 值是__________．
线段和差的最值问题解题策略课件
高阶练习题
总结词
挑战综合应用
详细描述
高阶练习题难度较高，需要综合运用线段和 差最值问题的多种解题策略，挑战解题者的 思维深度和广度，培养综合应用能力。
06 问题拓展与思考
相关问题链接
线段和差与面积关系
探讨线段和差与面积的最值问题，如何通过线段和差来求解面积 的最值。
线段和差与其他几何量关系
研究线段和差与周长、体积等其他几何量的最值问题之间的联系。
生产制造中的应用
探讨线段和差最值问题在生产制造、工艺设计和 优化中的实际应用，如何提高生产效率和降低成 本。
THANKS
02 解题策略
代数法
通过代数运算，将问题转化为函数最值问题，利用求导或不 等式性质求解。
代数法是解决线段和差最值问题的基本方法之一。首先，将 问题中的线段长度表示为变量，然后通过代数运算，将问题 转化为一个函数最值问题。接下来，利用求导或不等式性质 ，找到函数的最值点，从而得到线段和差的最值。
几何法
详细描述
解决这类问题需要理解线段的性质和 几何定理，如勾股定理、三角形的三 边关系等。通过这些定理可以推导出 线段和差的最值条件，从而找到解决 问题的关键点。
三角形中的线段和差问题
总结词
三角形中的线段和差问题涉及到三角 形的边长和角度，需要结合三角形的 性质进行求解。
详细描述
解决这类问题需要掌握三角形的边角 关系，如正弦定理、余弦定理等。通 过这些定理可以推导出线段和差与角 度之间的关系，从而找到最值条件。
将参数方程转换为普通方程，便 于计算和比较线段长度。
05 练习题与解析
基础练习题
总结词
掌握基础概念
详细描述
基础练习题主要涉及线段和差最值问题的基本概念和简单应用，适合初学者通过练习理解和掌握基本 解题方法。
“线段和差最值问题”专题学习 ppt
“线段和差”最值问题
专题学习
1、如图，直线L外有点A与点B，点P是L 上一 动点，当PA+PB最小时，试确定点P的位置.
2、如图，射线AC外有一点B，点P是射线AC 上一动点，当PB + 1 PA最小时，试确定点 P
2 的位置.
◆如图，平面直角坐标系中，OA =2， 点P为 x 轴正半轴上一动点， ∠POA=30 °. 求：OP+2PA的最小值。分别是y轴与x轴上的动点， 当 MC+MN — 2 AN最小时，试确定动
2
点M、N 的位置，并求 MC+MN — 2 AN
2
的最小值。
◆如图，射线AC外有一点B，点P是射线AC 上一动点，
当PB — 1 PA 最小时，试确定点 P 的位置. 2
◆如图，点A在第一象限，点B在x轴正半轴上，点M、N分别是y轴与x轴上
的动点，当 MA+MN + 1 BN最小时，试在坐标系中确定动点M、N 的位置。 2
【思考】如图，抛物线 y x2 2x 3 与x轴交于A、B两点，抛物线的
专题学习
1、如图，直线L外有点A与点B，点P是L 上一 动点，当PA+PB最小时，试确定点P的位置.
2、如图，射线AC外有一点B，点P是射线AC 上一动点，当PB + 1 PA最小时，试确定点 P
2 的位置.
◆如图，平面直角坐标系中，OA =2， 点P为 x 轴正半轴上一动点， ∠POA=30 °. 求：OP+2PA的最小值。分别是y轴与x轴上的动点， 当 MC+MN — 2 AN最小时，试确定动
2
点M、N 的位置，并求 MC+MN — 2 AN
2
的最小值。
◆如图，射线AC外有一点B，点P是射线AC 上一动点，
当PB — 1 PA 最小时，试确定点 P 的位置. 2
◆如图，点A在第一象限，点B在x轴正半轴上，点M、N分别是y轴与x轴上
的动点，当 MA+MN + 1 BN最小时，试在坐标系中确定动点M、N 的位置。 2
【思考】如图，抛物线 y x2 2x 3 与x轴交于A、B两点，抛物线的
线段的和差(53张PPT)数学
答案
解析
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
CD
CB
解析 由题图可知：BD＝BC＋CD，AD＝AC＋BD－CB.
(2)如果CD＝4 cm，BD＝7 cm，B是AC的中点，那么AB的长为_____cm.
答案
解析
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
3
解析 如果CD＝4 cm，BD＝7 cm，B是AC的中点，则BC＝BD－CD＝7－4＝3 cm，∴AB＝BC＝3 cm.
∴点O是线段AB的中点；∵AB＝2OB，∴点O是线段AB的中点.故选C.
答案
解析
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
4.如图，C是线段AB上的一点，点D是线段BC的中点，若AB＝10，AC＝6，则AD等于( )A.4 B.6 C.7.5 D.8
D
解析 ∵BC＝AB－AC＝4，点D是线段BC的中点，∴CD＝DB＝ BC＝2，∴AD＝AC＋CD＝6＋2＝8.故选D.
中点
知识点2 与中点有关的计算
答案
自我检测2.点C是线段AB的中点，则下列结论不成立的是( )A.AC＝BC B.AC＝ ABC.AB＝2AC D.BC＝ AB
B
答案
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专题复习----“线段和 (差)的最值” 共28页PPT资料
小值（ ） A.2 B. 2 2 C.4 D. 4 2
Q
D
C
PE
A
B
【变式训练】
练习2，如图，∠AOB=45°，P是∠AOB内
一点，OP=10，Q、R分别是OB、OA上的
动点，求△PQR周长的最小值． B P1
Q
P
O
RA P2
【典型例题】
例3.(“两动两定”)如图，直线l1、l2交于O，A、 B是两直线间的两点，从点A出发，先到l1上 一点P，再从P点到l2上一点Q，再回到B点， 求作P、Q两点，使AP＋PQ ＋QB最小。
解析：由前面的知识积累可以
得知：先作出点A′与 A关于直 线l1对称，则PA=P A′，然后再 作 B′与B关于l2对称，则QB=Q B′连接A′B′交l1，l2于点P，Q， 则AP+PQ+QB= P A′+PQ+Q
A′ l1
PA
B
B′，当四点共线时， AP+PQ+QB最小。
O
Q
l2
B′
【变式训练】
最值问题是初中数学中的常见问题，这类 问题涉及面广，解法灵活多样，主要是考查变 量之间的变化规律，具有一定的难度。从历年 的中考数学看，经常会考查距离最值问题，并 且这部分题目在中考中失分率很高，所以同学 们要引起充分重视。
学习目标
1.结合线段和最小的课本原型题的知识 梳理及典型例题再探，能求出两定一动、 两动一定、两定两动的线段和最小值。
已知,在平面直角坐标系中，点A（1,3)、
B(4,2)，请问在x轴上是否存在点C，在y轴上
是否存在点D，使得围成的四边形ADCB周长
最短.
y
A′
A
B
Q
D
C
PE
A
B
【变式训练】
练习2，如图，∠AOB=45°，P是∠AOB内
一点，OP=10，Q、R分别是OB、OA上的
动点，求△PQR周长的最小值． B P1
Q
P
O
RA P2
【典型例题】
例3.(“两动两定”)如图，直线l1、l2交于O，A、 B是两直线间的两点，从点A出发，先到l1上 一点P，再从P点到l2上一点Q，再回到B点， 求作P、Q两点，使AP＋PQ ＋QB最小。
解析：由前面的知识积累可以
得知：先作出点A′与 A关于直 线l1对称，则PA=P A′，然后再 作 B′与B关于l2对称，则QB=Q B′连接A′B′交l1，l2于点P，Q， 则AP+PQ+QB= P A′+PQ+Q
A′ l1
PA
B
B′，当四点共线时， AP+PQ+QB最小。
O
Q
l2
B′
【变式训练】
最值问题是初中数学中的常见问题，这类 问题涉及面广，解法灵活多样，主要是考查变 量之间的变化规律，具有一定的难度。从历年 的中考数学看，经常会考查距离最值问题，并 且这部分题目在中考中失分率很高，所以同学 们要引起充分重视。
学习目标
1.结合线段和最小的课本原型题的知识 梳理及典型例题再探，能求出两定一动、 两动一定、两定两动的线段和最小值。
已知,在平面直角坐标系中，点A（1,3)、
B(4,2)，请问在x轴上是否存在点C，在y轴上
是否存在点D，使得围成的四边形ADCB周长
最短.
y
A′
A
B
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两条线段和的最小值 两条线段差的最大值
两点之间，线段最短
三角形两边之差小于第三边
当P运动到E时，PA＋PB 最小
动到E时，PA＋PB最小 当Q运动到F时，QD－QC最大
第一步，寻找、构造几何模型 第二步，计算
例1：在△ABC中，AC=BC=2，
CB 32 32 3 2
小结
E? F!
3.如图，∠AOB=45，角内有一动点 P ，PO=10，在AO，BO上有两动点Q， R，求△PQR周长的最小值。
D
B
R P
O
Q
A
E
4.如图,四边形ABCD是正方形,△ABE是等边
三角形,M为对角线BD（不含B点）上任意一
点,将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN,连接
EN、AM、CM.
⑴ 求证：△AMB≌△ENB；
⑵ ①当M点在何处时，AM＋CM的值最小；
②当M点在何处时，AM＋BM＋CM的值最小，
并说明理由；
A
D
N
E
M
B
C
祝学习愉快
1、已知在对抛物线的对称轴上存 在一点P，使得△PBC的周长最小， 请求出点P的坐标 .
第一步 寻找、构造几何模型 要求△PBC的周长最小？ 只要PB+PC最小就好了！
经典模型：牛喝水！
第二步 计算——勾股定理
把PB+PC转化为PA+PC ！
当P运动到H时，PA+PC最小 AC 22 32 13
B
CE D/
F
AO
D
例5、例6中的最小值问题所涉及到的路 径，虽然都是由三条动线段连接而成， 且路径都是“定点→动点→动点→定 点”，但是例5中的量动点间的线段长度 不确定，而例6的两动点间的线段长度为 定值，正是由于这点的不同，使得它们 的解题方法有很大差异，例5是根据两点 之间线段最短找到动点的位置，例6是通 过构造平行四边形先找到所求的其中一 个动点的位置，另一个位置也随之确定。
A D
P OB
C
A D
OB P
C
例3，例4中最小值问题，所涉及到的
路径虽然都是有两条动线段连接而成， 且路径都是“定点→动点→定点”， 但是动点运动的路线不同，例3是直线， 例4是曲线，因此它们的解法有很大不 同，例3是根据两点之间线段最短找到 动点的位置，例4是根据垂线段最短找 到所求的两个动点的位置。
例5:在x轴、y轴上是否分别存在点M、 N,使得四边形MNFE的周长最小？如
果存在,求出周长的最小值;如果不 存在,请说明理由.
第一步 寻找、构造几何模型
要求四边形MNFE F/
F
的周长最小？
N
E
M
E/
把三条线段转移 到同一条直线上 就好了！
第二步 计算——勾股定理
E' F' 32 42 5 EF 12 22 5
例3：已知二次函数图像的顶点坐标 为C(3，-2)，且在x轴上截得的线段 AB的长为4，在y轴上有一点P，使 △APC的周长最小，求P点坐标。
A/ O PA B C
例4：抛物线y=ax2+bx+c经过点A(4，3)，B(2，0)，当x=3和x=-3时， 这条抛物线上对应点的纵坐标相等， 经过点C(0，-2）的直线a与x轴平 行。（1）求直线AB和抛物线，（2） 设直线AB上点D的横坐标为-1，P(m， n)是抛物线上的一动点，当△POD 的周长最小时，求P点坐标。
因此四边形MNFE的周长的最小值为5 5.
小结
经典模型：台球两次碰壁问题 经验储存：没有经验，难有思路
例6：在平面直角坐标系中，Rt△AOB 的顶点坐标分别是A(-2，0)，O(0,0)， B(0，4），把△AOB绕O点按顺时针旋 转90度，得到△COD，（1）求C、D 的坐标，（2）求经过A、B、D三点的 抛物线。（3）在（2）中的抛物线的 对称轴上取两点E、F（E在F点的上 方），且EF=1，当四边形ACEF的周 长最小时，求E、F的坐标。
2、对于动点Q（1，n）， 求PQ+QB的最小值 .
第一步 寻找、构造几何模型 要求PQ+QB的最小值？
经典模型：牛喝水！
第二步 计算——勾股定理
把PQ+QB转化为PQ+QA ！ 当Q运动到E时，PQ+QA最小
AP 32 32 3 2
第二步 计算——勾股定理
把PQ+QB转化为PQ+QA ！ 当Q运动到E时，PQ+QA最小
∠ACB=90O，D是BC边的中点，E是AB
上的一动点，则EC+ED的最小值
为
。
A
p
E
C
D
B
例2：△ABC中，AC=3，BC=4， AB=5，试在AB上找一点P，在BC上 取一点M，使CP+PM的值最小，并 求出这个最小值。 C/
A
P
BM
C
例1、例2中的最小值问题，所涉及到的 路径，虽然都是由两条线段连接而成， 但是路径中的动点与定点的个数不同， 例1 中的路径为“定点→动点→定点”， 是两个定点一个动点，而例2中的路径 是“定点→动点→动点”，是一个定点 两个动点，所以两个题的解法有较大差 异，例1是根据两点之间线段最短求动 点的位置，例2是根据垂线段最短找两 个动点的位置。
两条线段和的最小值 两条线段差的最大值
两点之间，线段最短
三角形两边之差小于第三边
当P运动到E时，PA＋PB 最小
动到E时，PA＋PB最小 当Q运动到F时，QD－QC最大
第一步，寻找、构造几何模型 第二步，计算
例1：在△ABC中，AC=BC=2，
CB 32 32 3 2
小结
E? F!
3.如图，∠AOB=45，角内有一动点 P ，PO=10，在AO，BO上有两动点Q， R，求△PQR周长的最小值。
D
B
R P
O
Q
A
E
4.如图,四边形ABCD是正方形,△ABE是等边
三角形,M为对角线BD（不含B点）上任意一
点,将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN,连接
EN、AM、CM.
⑴ 求证：△AMB≌△ENB；
⑵ ①当M点在何处时，AM＋CM的值最小；
②当M点在何处时，AM＋BM＋CM的值最小，
并说明理由；
A
D
N
E
M
B
C
祝学习愉快
1、已知在对抛物线的对称轴上存 在一点P，使得△PBC的周长最小， 请求出点P的坐标 .
第一步 寻找、构造几何模型 要求△PBC的周长最小？ 只要PB+PC最小就好了！
经典模型：牛喝水！
第二步 计算——勾股定理
把PB+PC转化为PA+PC ！
当P运动到H时，PA+PC最小 AC 22 32 13
B
CE D/
F
AO
D
例5、例6中的最小值问题所涉及到的路 径，虽然都是由三条动线段连接而成， 且路径都是“定点→动点→动点→定 点”，但是例5中的量动点间的线段长度 不确定，而例6的两动点间的线段长度为 定值，正是由于这点的不同，使得它们 的解题方法有很大差异，例5是根据两点 之间线段最短找到动点的位置，例6是通 过构造平行四边形先找到所求的其中一 个动点的位置，另一个位置也随之确定。
A D
P OB
C
A D
OB P
C
例3，例4中最小值问题，所涉及到的
路径虽然都是有两条动线段连接而成， 且路径都是“定点→动点→定点”， 但是动点运动的路线不同，例3是直线， 例4是曲线，因此它们的解法有很大不 同，例3是根据两点之间线段最短找到 动点的位置，例4是根据垂线段最短找 到所求的两个动点的位置。
例5:在x轴、y轴上是否分别存在点M、 N,使得四边形MNFE的周长最小？如
果存在,求出周长的最小值;如果不 存在,请说明理由.
第一步 寻找、构造几何模型
要求四边形MNFE F/
F
的周长最小？
N
E
M
E/
把三条线段转移 到同一条直线上 就好了！
第二步 计算——勾股定理
E' F' 32 42 5 EF 12 22 5
例3：已知二次函数图像的顶点坐标 为C(3，-2)，且在x轴上截得的线段 AB的长为4，在y轴上有一点P，使 △APC的周长最小，求P点坐标。
A/ O PA B C
例4：抛物线y=ax2+bx+c经过点A(4，3)，B(2，0)，当x=3和x=-3时， 这条抛物线上对应点的纵坐标相等， 经过点C(0，-2）的直线a与x轴平 行。（1）求直线AB和抛物线，（2） 设直线AB上点D的横坐标为-1，P(m， n)是抛物线上的一动点，当△POD 的周长最小时，求P点坐标。
因此四边形MNFE的周长的最小值为5 5.
小结
经典模型：台球两次碰壁问题 经验储存：没有经验，难有思路
例6：在平面直角坐标系中，Rt△AOB 的顶点坐标分别是A(-2，0)，O(0,0)， B(0，4），把△AOB绕O点按顺时针旋 转90度，得到△COD，（1）求C、D 的坐标，（2）求经过A、B、D三点的 抛物线。（3）在（2）中的抛物线的 对称轴上取两点E、F（E在F点的上 方），且EF=1，当四边形ACEF的周 长最小时，求E、F的坐标。
2、对于动点Q（1，n）， 求PQ+QB的最小值 .
第一步 寻找、构造几何模型 要求PQ+QB的最小值？
经典模型：牛喝水！
第二步 计算——勾股定理
把PQ+QB转化为PQ+QA ！ 当Q运动到E时，PQ+QA最小
AP 32 32 3 2
第二步 计算——勾股定理
把PQ+QB转化为PQ+QA ！ 当Q运动到E时，PQ+QA最小
∠ACB=90O，D是BC边的中点，E是AB
上的一动点，则EC+ED的最小值
为
。
A
p
E
C
D
B
例2：△ABC中，AC=3，BC=4， AB=5，试在AB上找一点P，在BC上 取一点M，使CP+PM的值最小，并 求出这个最小值。 C/
A
P
BM
C
例1、例2中的最小值问题，所涉及到的 路径，虽然都是由两条线段连接而成， 但是路径中的动点与定点的个数不同， 例1 中的路径为“定点→动点→定点”， 是两个定点一个动点，而例2中的路径 是“定点→动点→动点”，是一个定点 两个动点，所以两个题的解法有较大差 异，例1是根据两点之间线段最短求动 点的位置，例2是根据垂线段最短找两 个动点的位置。