交错级数敛散性判别法
高数辅导之专题二十：交错级数、任意项级数的敛散性判别法
专题二十基础知识定理1（交错级数的莱布尼兹定理）若交错级数∑∞=-1)1(n n nu （Λ,3,2,1=n ）满足：（1）1+≥n n u u （Λ,3,2,1=n ） （2）0lim =∞→n n u则∑∞=-1)1(n n nu 收敛，且11)1(u u n n n ≤-∑∞=。
注：交错级数∑∞=-1)1(n n nu 收敛要求数列}{n u 单调递减且趋向于零。
对于任意项级数∑∞=1n nu，引入绝对值级数的概念：级数∑∞=1||n nu称为∑∞=1n n u 的绝对值级数。
定理2若级数∑∞=1||n nu收敛，则∑∞=1n n u 亦收敛。
由定理2知收敛级数∑∞=1n nu分为两种：（1）条件收敛：要求∑∞=1n nu收敛，∑∞=1||n nu发散。
（2）绝对收敛：要求∑∞=1||n nu。
总结：判定级数∑∞=1n nu的敛散性，可按如下步骤进行：（1）首先讨论n n u ∞→lim 。
若n n u ∞→lim 不存在或0lim ≠∞→n n u ，级数∑∞=1n nu发散；若0lim =∞→n n u ，转入第二步。
（2）其次讨论∑∞=1||n nu的敛散性，可运用正项级数的一系列敛散性判别法。
若∑∞=1||n n u 收敛，则∑∞=1n nu绝对收敛；若∑∞=1||n nu发散，转入第三步。
（3）最后讨论∑∞=1n nu的敛散性，可能用到交错级数的莱布尼兹定理。
若∑∞=1n nu收敛，则∑∞=1n nu条件收敛；若∑∞=1n nu发散，当然∑∞=1n nu发散。
例题1. 设α为常数，判定级数∑∞=-12]1sin [n nn na 的敛散性。
解：∑∑∑∞=∞=∞=-=-112121sin ]1sin [n n n n n na n n na 由于221|sin |n n na ≤，∑∞=121n n 收敛，由比较判别法知级数∑∞=12sin n n na 收敛（绝对收敛），而∑∑∞=∞==121111n n nn为一发散的p 级数，故∑∞=-12]1sin [n nn na 发散。
一类交错级数的敛散性判定
级数的敛散性判定本质上是函数极限的计算．对于交错项级数的敛散性判定 ，一般可先采用莱布尼茨
ｎ＝ｌ
证毕．
推 论２设 数 足 级 “满 可＝ ｌ则 数 散＝ ＞， 级 “发 ． ｎ ｌ
证明 由 于 Ｉ ＞ ， ＝ １ 所以 ｌ０ 根据 论 ≠， 推
１ 可知 ，级数 Ｈ 发散． 证毕 ．
引理 ２ 莱布尼茨定理 ） 若交错级数 （１ 。 满足 ： （ ｕ 一） 数列 （ ） 递减；
收稿 日期 ：２ １－ ３ １ ００ ０ — ６
基金项目：国家 自然科学基金对外交流与合作项 目 （ ０４ ４０７ ；中科院西部之光联合学者项 目 ４ ６０２ ０２） 作者简介：宋文超 （ ９４ ，男 ，吉林松原人，在读硕士，从事应用数学与系统优化研究．Ｅｍａｌ ｄｈｎ＠ｌ ． ｕｃ １８一） － ｉ ｓａｇ ｚ ｅ ． ：ｇ ｕｄ ｎ 通讯作者：龚东山 （ ９９ ，男 ，湖北监利人，副教授 ，博士，从事应用数学与系统优化研究．Ｅ ｍ ｉ ｄｈｎ＠ｌ ． ｕｃ １６ 一） － ａ ：ｇｓａｇ ｚ ｅ ． ｌ ｕｄ ｎ
１ ０
高 师 理 科 学 刊
第 ３ 卷 ０
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交错级数敛散性判定20110414
x 故函数 单调递减 , ∴ un > un+1 , x −1 n 又 lim un = lim = 0. 原级数收敛. 原级数收敛 n→ ∞ n→ ∞ n − 1
EX
(-1)n ( 2) ∑ s (s > 0) n =1 n ( −1)n 特别 : ∑ n n =1
( 3) (-1)n ( n 2 − 1) ∑
n =1 ∞
∞
∞
二、绝对收敛与条件收敛
定义: 定义: 正项和负项任意出现的级数称为 任意项级数.
定理 1 若
∑u
n=1
∞
n
收敛, 收敛,则
收敛. ∑u 收敛.
n=1 n
∞
定理 1
若
∑u
n=1
∞
n
收敛, 收敛,则
收敛. ∑u 收敛.
n=1 n
∞
1 证明 令 v n = ( un + un ) ( n = 1,2,L), 2 ∞ 显然 v n ≥ 0, 且 v n ≤ un , ∴ ∑ ∞
注 :若
∑
∞
n =1
u n 发散 , 则
∑
∞
n =1
u n 未必发散
。
例2
sin n 的收敛性. 判别级数 ∑ 2 的收敛性. n =1 n
∞ sin n 1 1 Q 2 ≤ 2 , 而 ∑ 2 收敛 , n=1 n n n
∞
解
sin n ∴ ∑ 2 收敛 , n n=1
又 Q ∑ un = ∑ ( 2v n − un ),
n =1 n =1
∞
∞
∴ ∑ un 收敛 收敛.
n =1
n =1 ∞
定理的作用： 定理的作用： 任意项级数 正项级数
交错级数的收敛条件
交错级数的收敛条件交错级数是指由正负项交替出现的无穷级数，其一般形式为$$a_1 -a_2 + a_3 - a_4 + \ldots = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} a_n $$其中$a_n$为序列中的第n个项。
对于交错级数的收敛性，我们可以通过研究其收敛条件来进行分析。
在接下来的讨论中，我们将探讨一些关于交错级数收敛性的重要结果。
**1. 莱布尼茨判别法**莱布尼茨判别法是用来判定交错级数收敛性的一种方法。
对于交错级数$\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} a_n$，如果满足以下两个条件，则该级数收敛：- 序列$\{a_n\}$单调递减，即$a_{n+1} \leq a_n$对所有n成立；- $\lim_{n \to \infty} a_n = 0$根据莱布尼茨判别法，如果以上两个条件均成立，交错级数一定收敛。
这个结果在分析交错级数的收敛性时非常有用。
**2. 绝对收敛和条件收敛**对于交错级数，我们可以进一步将其分类为两种情况：**绝对收敛**和**条件收敛**。
如果交错级数的绝对值级数$\sum_{n=1}^{\infty}|a_n|$收敛，则称该交错级数是绝对收敛的；如果绝对值级数发散但交错级数本身收敛，则称该交错级数是条件收敛的。
对于绝对收敛的交错级数，其收敛性较易判断，因为绝对值级数的收敛性通常比较容易确定。
而对于条件收敛的交错级数，收敛性的判断则需要更加仔细的分析。
例如，著名的黎曼定理指出，条件收敛的交错级数可以通过重新排列其项得到任何给定的值，这为我们理解其收敛性带来了一定的困难。
**3. 收敛范围与估值**在研究交错级数的收敛性时，我们往往需要估计其和的范围。
对于部分收敛的交错级数，我们可以通过分析其收敛到的值的范围来得到一些结论。
例如，柯西收敛准则告诉我们，如果对于任意正整数N，存在正整数M大于N，使得$\sum_{n=N+1}^{M} a_n > 0$，则交错级数的部分和会在两个相邻正整数之间波动。
高等数学-交错级数
tan
的敛散性.
n1
3n
9.3.2 绝对收敛与条件收敛
设 un 为任意级数(即 un 可正,可负), n1
称 un 为原级数的绝对值级数. n1
若 un 收敛,则称 un 绝对收敛;
n1
n1
若 un 收敛,而 un 发散,则称 un 条件收敛.
0)
是绝对收敛、
条件收敛还是发散？
作业:习题 9-3
1(5)(6)(8)(9)(10) 3 5 6
补充题
1. 判断
sin(n
1
) 是绝对收敛,条件收敛,还是发散?
n1
ln n
2. 判别
(1)n1 n2 [n (1)n ]p
( p 0) 的敛散性.
3. 判断 (1)n1
n1
n1
n1
例如, (1)n1 1 为条件收敛.
n1
n
定理 9 7 若 un 收敛,则 un 收敛.
n1
n1
定理
(1)
若 lim un1 1,
u n n
则 un 发散.
n1
(2)
若
lim n
n
un
1,
则 un 发散.
n1
【例9-16】判别级数
(1)n1
ln(
n
1)
的敛散性.
n1 n
n
【例9-17】判断下列级数的敛散性，如果收敛，指出是 绝对收敛还是条件收敛：
(1) (1)n1
8.3任意项级数敛散性的判别
ρ <1
ρ >1
收 敛
发 散
3. 任意项级数判别法 概念: 概念 为收敛级数 绝对收敛
条件收敛 Leibniz判别法 判别法: 判别法
un ≥ un+1 > 0
n→∞
lim un = 0
则交错级数 ∑(1)nun收敛
n=1
∞
作业 13(1)(4)( P287 13(1)(4)(9)(12)
n =1 n =1
∞
∞
×
对正项级数有比较判别法 1 取vn = ( un + un ) ∵ un ≤ un ∴0 ≤ vn ≤ un 2 ∞ ∞ ∞ 故∑ | un |收敛 ∑ vn收敛 ∑ 2vn收敛
n =1 n =1 n =1
而un = 2vn un ∑ un收敛
n =1
性质 2 ∞
发散, 如何? 问题: 问题: 若∑ un 发散, un如何? ∑
n =1
∞
练习 : 一.下列级数是条件收敛还 是绝对收敛 ?
( 1)n 1.∑ 5 n n =1
∞
2.∑ ( 1)
n =1
∞
n ( n 1 ) 2
n2 2n
3.∑ ( 1)
n =1
∞
( n 1 )
2n + 1 n( n + 1)
sin n 4.∑ ( 1) n2 n =1
n
∞
( 1)n 1.∑ 5 n n =1
∞ ∞ n =1 n =1
∞
x ∈ [1,1) 其他
三.设级数 ∑ an , ∑ cn均收敛 , 且对任意的 n, an ≤ bn ≤ cn ,
证明级数 ∑ bn收敛 .
n =1
高数-任意项级数敛散性判别法
x)
.
所以当x ≥ 1时 , f ( x) ≤ 0 .
即函数
f
(x)
2x 1 x2
单调减小.
即 un un+1 (n = 1 , 2 , 3 , ) .
(
n1
1 )n1
2n 1 n2
又
lim
n
un
lim
n
2n 1 n2
0
.
因此交错级数 (1)n1
n1
2n 1 n2
收敛
.
二、绝对收敛与条件收敛
高等数学第十二章 第三节
任意项级数敛散性判别法
第三节 任意项级数敛散性判别法
一、交错级数及其审敛法 二、绝对收敛与条件收敛 三、小结 提高题
一、交错级数收敛性判别法
在级数 un 中，总含有无穷多个正项和负项 n1
叫任意项级数.
1.定义： 如果级数的各项是正、负交错的，即
(-1)n-1 un = u1 - u2 + u3 - u4 +
如下：
u1v1, u1v2, u1v3, u2v1, u2v2, u2v3,
u3v1, u3v2, u3v3,
,
u1v
，
n
,
u2v
，
n
,
u3v
，
n
unv1, unv2, unv3,
,
un
v
，
n
将它们排成下面形状的数列.
对角线法
u1v1
u2v1
u3v1
u4v1
u1v 2 u2v 2 u3v2 u4v2
定义2 如果级数 un 收敛，则称级数 un 绝对收敛；
n=1
n=1
交错级数判别法
交错级数判别法
交错级数判别法（Alternating Series Test）是一种用于判断交错级数收敛性的方法。
交错级数是指一个级数的项交替正负，即每一项的符号与前一项相反。
例如，一个交错级数可以写成以下形式：a1 - a2 + a3 - a4 + a5 - ...
交错级数判别法的具体步骤如下：
1. 检查交错级数的项数是否趋近于无限大，即该级数是否为无限级数。
2. 检查交错级数的项是否单调递减，即对于所有的n，都有
a(n+1) <= a(n)。
3. 检查交错级数的项是否趋近于零，即lim(n->∞) a(n) = 0。
如果上述三个条件同时满足，那么交错级数就是收敛的。
交错级数判别法的基本思想是，当级数的项逐渐趋近于零且单调递减时，交错级数的收敛性可以通过比较级数的绝对值来判断。
因为交错级数的部分和序列是单调递增的，且其上限和下限分别为相邻两个部分和序列，所以当级数的绝对值趋近于零且单调递减时，交错级数的收敛性可以通过比较级数的绝对值来判断。
需要注意的是，交错级数判别法只适用于交错级数，对于非交错级数，不能使用此方法来判断其收敛性。