2016考研数学：无穷级数的敛散性判断方法
无穷级数的定义性质和及敛散性判别
(常数项)无穷级数
n
sn u1 u2 un ui
部分和数列
i 1
s1 u1, s2 u1 u2, s3 u1 u2 u3,, sn u1 u2 un,
2. 级数的收敛与发散:
当n 无限增大时,如果级数 un 的部分和
n1
数列sn 有极限s ,
即
lim
n
sn
5! 55
；
n
3、
x2
；
2 4 6 (2n)
4、(1)n1 a n1 ； 2n 1
5、2k 1.2k 1,2k, 1 ； 6、 q 1, q 1. 2k
三、收敛. 四、1、发散；
2、收敛；
3、发散、[ s2n
n1 k1 (2k
1 )]. 10k
五、发散.[取 p 2n ]
1 (1 1) 1 (1 1) 1 ( 1 1 )
2 3 23 5
2 2n 1 2n 1
1 (1 1 ), 2 2n 1
lim
n
sn
lim 1 (1 n 2
1) 2n 1
1, 2
级数收敛, 和为 1 . 2
三、基本性质
性质 1 如果级数 un 收敛,则 kun 亦收敛.
解 如果q 1时
sn a aq aq2 aqn1
a aqn a aqn , 1q 1q 1q当q 1时,源自lim qn 0n
lim
n
sn
a 1q
当q 1时,
lim qn
n
lim
n
sn
收敛 发散
如果 q 1时
当q 1时, sn na
发散
当q 1时, 级数变为a a a a
第10章第二节无穷级数的性质与敛散性【VIP专享】
性质5 （级数收敛的必要条件）若级数 un 收敛， n 1
则极限
它的逆否命题是：
若级数一般项不趋向于零，该级数发散
例2. 判别级数
的敛散性，其中a、b、c、k
为常数且k、 a 解 因为 a 0, 所以
并不等于零，所以级数发散。
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本节小结
C．若级数
(u2n1
u2n
)
发散，则级数
un
发散
n1
n 1
D．若 ，则级数 都发散 lim n
un
0
(u2n1 u2n )
n1
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级数敛散性的判断方法： 性质1 如果级数 与级数
分别收敛于 S 、W，
则级数
也收敛，且有
性质2级数的每一项同乘以一个非零常数，其敛散性不变。 性质3 在级数的前面加上、去掉或改变有限项，不影响
级数的敛散性。
性质4 如果级数 收敛于Ｓ，则对其各项间任意添加
括号后所得的级数仍收敛，且其和不变。 性质5 若级数一般项不趋向于零，该级数发散
敛，则原来级数未必收敛。
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例如 将发散级数 a a a a (1)n1a
的相邻两项加括号，则
(a a) (a a) (a a) 0
得到的新级数收敛．然而，重新加括号
a (a a) (a a) (a a) a
得到的新级数不收敛。
vn)发散，则级数 un,
vn
都发散
n1
n 1
n 1
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lim
n
un
第1节 无穷级数的敛散性
(u
n 1
n
vn ) S W un vn
n 1 n 1
证毕.
7/9/2013 1:17 AM
第8章
无穷级数
说明 两个收敛级数的和一定收敛
一个收敛级数与一个发散级数的和一定发散 两个发散级数的和可能收敛也可能发散
7/9/2013 1:17 AM
第8章
无穷级数
n 1 n 1
级数收敛。 而级数
2
n 1
n 1
1 2 4 2
n 1
公比为 q 2 , q 2 1 , 所以该级数发散。
7/9/2013 1:17 AM
第8章
无穷级数
例2 判断级数
1 1 1 1 1 n(n 1) 1 2 2 3 3 4 n( n 1) n 1
1 n 解 因为 lim Sn lim 2n 1 2 n n 1 un 收敛， 所以级数 其和为 S ，由定理7.3 2 n 1 级数 un 2 收敛。
n 1
7/9/2013 1:17 AM
第8章
无穷级数
u
n 1
n 2
u3 u4
级数为 a a a a （2）若 q 1 ，
Sn na , 则 lim Sn ，几何级数发散。 n
7/9/2013 1:17 AM
第8章
无穷级数
级数为 a a a a （3）若 q 1 ，
S 当 n 为偶数时， n 0 ; 当 n 为奇数时， n a S
当 n 时， n 没有极限， S 几何级数发散。
数项级数敛散性判别法
数项级数敛散性判别法数项级数是由一系列数值相加而得到的无穷级数。
在数学中，我们经常需要判断一个数项级数的敛散性，即判断它是否会无限逼近一个有限值（收敛）或者永远无法收敛（发散）。
下面将介绍一些常见的判断数项级数敛散性的方法。
1.正项级数判别法（比较判别法）：对于一个数项级数∑an，如果对于所有的n，都有an≥0，并且an+1≤an，那么我们可以使用正项级数判别法来判断敛散性。
即如果极限值lim(n→∞)an=0，则级数收敛；如果极限值lim(n→∞)an>0，则级数发散。
2.比值判别法：如果存在一个正数r，使得lim(n→∞)an+1/an=r，那么根据r的大小，可以判断原级数的敛散性。
具体判别如下：-如果r<1，那么级数收敛；-如果r>1，那么级数发散；-如果r=1，判别不出来，需要使用其他方法进行判断。
3.根值判别法：如果存在一个正数r，使得lim(n→∞)√(n)(an) = r，那么根据r 的大小，可以判断原级数的敛散性。
具体判别如下：-如果r<1，那么级数收敛；-如果r>1，那么级数发散；-如果r=1，判别不出来，需要使用其他方法进行判断。
4.绝对收敛与条件收敛：如果一个级数的各项都是正数，并且该级数收敛，那么称该级数是绝对收敛的。
如果一个级数是收敛的，但其对应的绝对值级数是发散的，则称该级数是条件收敛的。
5.莱布尼茨判别法：对于一个交替级数∑((-1)^(n+1)*bn)，如果满足以下条件，那么该级数收敛：- bn>0，即各项都是正数；- bn≥bn+1（递减趋势）；- lim(n→∞)bn=0。
6.积分判别法：如果能够找到一个函数f(x)，使得f(x)在[1,∞)上连续且单调递减，并且∑an与∫f(x)dx之间有关系，那么可以使用积分判别法来判断敛散性。
具体判别如下：- 如果∫f(x)dx收敛，那么∑an也收敛；- 如果∫f(x)dx发散，那么∑an也发散。
微积分教学课件第7章无穷级数第4节广义积分敛散性的判别
若 p 1 ，则x 0 是瑕点，
lim x1 p f ( x) lim(1 x)q1 1 , 1 p 1 , p 0 ;
x0
x0
若 q 1 ，则x 1 是瑕点，
lim x1q f ( x) lim(1 x) p1 1 , 1 q 1 , q 0 ;
x0
x0
因此，当 p 0 且 q 0 时，该广义积分收敛；
1
lim x 2 f ( x) lim
1
1,
x0
x0 1 x2
所以瑕积分 1
1
dx 收敛.
0 x(1 x 2 )
10
例5 判别瑕积分 1
1
dx 的敛散性.
1 (1 x 2 )(4 x 2 )
解 易知 x 1 为瑕点， 由于
1
lim (1 x) 2 f ( x) lim
1
1,
x ( 1)
当 p 1且 A 0时， f ( x)dx 发散. a 证略.
4
例1 判别广义积分 x pex dx 的敛散性，其中 1
p, 为常数，且 0 .
解 由罗必塔法则，
lim x2
x
x pex
lim
x
x p2 ex
0
故广义积分 x pex dx ( 0) 收敛. 1
5
例2
判别广义积分
1
arctan x 1 x
dx
(
0)
的敛散性.
解
由于
lim
x
x
arctan x 1 x
x
lim x 1
x
arctan x
,
2
所以，当 1 时，该广义积分收敛；
当 1 时，该广义积分发散.
无穷级数与收敛性分析
无穷级数与收敛性分析无穷级数是数学中重要的概念之一，它在微积分、数学分析以及应用数学中起着重要的作用。
无穷级数是指将一系列的项相加，并且这个序列是无限的。
在本文中，我们将探讨无穷级数的性质以及如何判断一个无穷级数的收敛性。
一、无穷级数的概念无穷级数可以表示为：S = a₁ + a₂ + a₃ + ...其中，a₁, a₂, a₃, ... 是序列的项。
如果存在一个数S，使得无穷级数中的部分和可以无限地接近S，那么我们称这个无穷级数是收敛的。
反之，如果部分和不趋近于一个有限的数，那么这个无穷级数是发散的。
二、收敛性判定的方法1. 通项的性质一个无穷级数的收敛性与其中的每一项密切相关。
首先，我们需要注意的是，无穷级数的第n项必须趋于零，即lim (n→∞) aₙ = 0。
这是一个必要条件，没有这个条件，我们无法得出无穷级数的收敛性。
2. 正项级数和负项级数对于正项级数，如果该级数的部分和有上界，则该级数是收敛的。
换句话说，如果存在一个数C，使得对所有的n，都有 a₁ + a₂ + ... + aₙ ≤ C，那么该级数是收敛的。
类似地，对于负项级数，如果该级数的部分和有下界，则该级数是收敛的。
换句话说，如果存在一个数C，使得对所有的n，都有 a₁ + a₂ + ... + aₙ ≥ C，那么该级数是收敛的。
3. 比较判别法比较判别法是判定无穷级数收敛性的一种重要方法。
假设我们有两个无穷级数：S = a₁ + a₂ + ... 和 T = b₁ + b₂ + ...。
如果对所有的n，都有 aₙ ≤ bₙ，且级数T是收敛的，则级数S也是收敛的。
反之，如果对所有的n，都有 aₙ ≥ bₙ，且级数T是发散的，则级数S也是发散的。
4. 比值判别法比值判别法是用来判定正项级数收敛性的常用方法。
对于正项级数S = a₁ + a₂ + ...，如果存在一个常数r（0<r<1），使得对足够大的n，有 aₙ₊₁ / aₙ ≤ r，则级数S是收敛的。
级数敛散性的判别方法
级数敛散性的判别方法级数是数学中一个重要的概念，它在分析、微积分等领域有着广泛的应用。
在研究级数时，一个重要的问题就是判别级数的敛散性。
本文将介绍几种常见的判别方法，帮助读者更好地理解级数的敛散性。
首先，我们来看级数的敛散性定义。
对于一个级数$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$，如果它的部分和数列${S_n}$收敛于某个值$S$，即$\lim_{n \to \infty}S_n=S$，那么我们称级数$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$是收敛的，$S$称为级数的和。
如果${S_n}$发散，那么级数$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$就是发散的。
接下来，我们将介绍几种判别级数敛散性的方法。
一、比较判别法。
比较判别法是判别级数敛散性常用的方法之一。
设$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$和$\sum_{n=1}^{\infty}b_n$是两个级数，如果对于所有的$n$，都有$0 \leq a_n \leq b_n$，且$\sum_{n=1}^{\infty}b_n$收敛，那么$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$也收敛；如果$\sum_{n=1}^{\infty}b_n$发散，那么$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$也发散。
二、比值判别法。
比值判别法是判别正项级数敛散性的一种方法。
对于正项级数$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$，计算极限$\lim_{n \to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}$，如果这个极限存在且小于1，那么级数$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$收敛；如果这个极限大于1或者不存在，那么级数$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$发散；如果这个极限等于1，比值判别法不起作用，需要使用其他方法进行判别。
三、积分判别法。
积分判别法适用于正项级数。
对于正项级数$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$，如果函数$f(x)$在$[1, +\infty)$上连续、单调递减且非负，那么级数$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$与积分$\int_{1}^{\infty}f(x)dx$的敛散性是等价的，即$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$与$\int_{1}^{\infty}f(x)dx$同时收敛或者同时发散。
无穷级数的收敛和发散理论
无穷级数的收敛和发散理论一、无穷级数的基本概念1.无穷级数：一个数列 {a_n}，如果从第n=1项起，每一项都可以表示为一个函数f(n)与常数的乘积，即 a_n = f(n) * c（c为常数），则称该数列为无穷级数。
2.收敛性：如果无穷级数 {a_n} 的项趋于0，并且其和函数S(x)在实数范围内存在，那么称该无穷级数为收敛的。
3.发散性：如果无穷级数 {a_n} 的项趋于0，但其和函数S(x)在实数范围内不存在或趋于无穷大，那么称该无穷级数为发散的。
二、无穷级数的收敛性判断方法1.比较检验法：通过比较两个无穷级数的项的大小，判断它们的收敛性是否相同。
2.比值检验法：求出无穷级数的极限比值，判断其收敛性。
3.根值检验法：求出无穷级数的极限根值，判断其收敛性。
4.积分检验法：通过对无穷级数的前n项求积分，判断其收敛性。
5.级数收敛性的一般判定定理：包括交错级数的莱布尼茨判别法、正项级数的比值判别法和根值判别法等。
三、无穷级数的发散性判断方法1.比值发散判别法：求出无穷级数的极限比值，判断其发散性。
2.根值发散判别法：求出无穷级数的极限根值，判断其发散性。
3.积分发散判别法：通过对无穷级数的前n项求积分，判断其发散性。
四、特殊无穷级数的收敛性判断1.幂级数：形如a_n = x^n 的无穷级数，其收敛性取决于x的取值范围。
2.泰勒级数：函数f(x)在某一区间内的泰勒展开式，其收敛性取决于该区间内f(x)的导数存在且连续。
3.傅里叶级数：周期函数f(x)的傅里叶展开式，其收敛性取决于周期函数的性质。
五、无穷级数在数学和物理学中的应用1.数学分析：无穷级数是数学分析中的基本工具，用于求解函数的泰勒展开、积分和微分方程等。
2.物理学：无穷级数在物理学中广泛应用于求解波动方程、热传导方程等，以及模拟连续介质的行为。
无穷级数的收敛和发散理论是数学分析中的重要内容，掌握其基本概念、判断方法和应用，对于深入学习数学和物理学具有重要意义。
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2016考研数学:无穷级数的敛散性判断方法无穷级数是高等数学的重要章节，是考研数学一和数学三的必考内容，其主要考点包括两个方面，一个是关于无穷级数的收敛或发散的判断，另一个是无穷级数的求和。
关于级数的敛散性(即收敛或发散)判断，由于其方法较多，很多同学在学习和复习中感到有些困惑，为了帮助大家掌握好这些方法，文都网校的蔡老师对其做些分析总结，供各位参考，下面首先对用无穷级数的部分和来判断级数的敛散性方法做些分析。
一、通过部分和来判断级数的敛散性
通过无穷级数的部分和来判断级数的敛散性，是判断敛散性的最基本方法之一，因为按照级数收敛性的定义，收敛就是指其部分和的极限存在;对于正项级数而言，由于其部分
和是单调增加的数列，所以只要其部分和是有界的，则部分和数列就是收敛的，因此级数就是收敛的.
无穷级数中有一类常见的级数，就是正负项相间的级数，即交错级数，交错级数的敛散性判断有多种方法，包括：莱布尼茨判别法、绝对值判别法以及部分和判别法，下面我们对这些方面及其典型题型做些分析总结，供各位同学参考。
一、交错级数的敛散性判别法
对于交错级数的敛散性判别，使用得较多的是莱布尼茨判别法。
从上面的例题我们看到，并非所有的交错级数都是收敛的，即使级数的通项趋于零也不一定收敛，但如果通项趋于零且通项是单调的，则级数是收敛的;有些级数表面上看不是交错级数，但经过恒等变形后却是交错级数，这时就可以利用上面方法进行判断;
如果一个交错级数不满足莱布尼茨条件，但每项取绝对值后的级数是收敛的，即绝对收敛，则原交错级数是收敛的。
正项级数是无穷级数的一种基本类型，其敛散性的判断方法有多种，包括：比较判别法、比值判别法、根值判别法(数一要求)等，在不同的条件下，需要根据具体情况使用不同的判别法，下面我们来分析一下比较判别法及其典型题型，供广大考生参考。
一、正项级数的比较判别法
正项级数的比较判别法是一种基本的、常用的判别法，其基本用法如下：
从上面的典型题型分析看到，有些级数虽然不是正项级数，但却可以借助正项级数的敛散性判别法来分析或证明其是否收敛，如上面例2的情况;在具体正项级数中，p级数是一个十分有用的比较工具，我们常用它与需要判断敛散性的级数进行比较;对于需要判断是否绝对收敛的级数，也需要利用正项级数的判别法，如比较判别法。
以上分析希望对大家有所帮助，最后预祝各位考研取得成功，金榜题名!。