无穷级数敛散性的判定程序
无穷级数的敛散性与实际应用
无穷级数的敛散性与实际应用无穷级数在数学中占据着重要的地位，它的敛散性是无穷级数研究的核心问题之一。
同时，无穷级数的实际应用也广泛存在于自然科学、工程技术等领域中。
本文将探讨无穷级数的敛散性以及它在实际应用中的一些案例。
一、无穷级数的敛散性无穷级数可以用部分和序列的极限来表示。
一个无穷级数的部分和是指从第一项到第n项的和，即Sn=a1+a2+...+an。
当n无限增大时，如果Sn存在有限的极限，即lim(n→∞)Sn=L，则称该级数收敛，极限值L称为该级数的和。
如果Sn无极限，或者极限为无穷大，即lim(n→∞)Sn=±∞，则称该级数发散。
1. 敛散性判定定理要确定一个无穷级数是否收敛，可以通过判别法进行推导，常用的判别法有比较判别法、比值判别法、根值判别法等。
比较判别法是指将要研究的级数与已知的敛散级数进行比较，从而得出结论。
比值判别法和根值判别法是通过级数项的比值或根值来判断级数的敛散性。
这些判别法使得我们能够快速判断一个级数是否收敛，并进一步计算级数的和。
2. 经典敛散级数在无穷级数的研究中，有一些经典的敛散级数备受关注和探索。
例如，调和级数（调和级数的前n项和为Sn=1+1/2+1/3+...+1/n），经过证明可以得出它是发散的；几何级数（几何级数的前n项和为Sn=a+aq+aq^2+...+aq^(n-1)，其中|q|<1），可以证明它在|q|<1时收敛于a/(1-q)。
这些经典的敛散级数反映了无穷级数的多样性和复杂性。
二、无穷级数的实际应用无穷级数的研究不仅仅停留在理论层面，它也被广泛应用于现实生活，特别是在自然科学和工程技术中。
以下是一些无穷级数在实际应用中的案例。
1. 数值逼近无穷级数在数值逼近中扮演着重要角色。
通过将一些常见的函数表示为无穷级数的形式，可以使用级数的部分和逼近函数的值。
例如，泰勒级数将函数表示为无穷级数的形式，通过截取泰勒级数的前几项，可以逼近函数在某一点的值，这在数值计算中具有重要意义。
高数第十单元无穷级数
第十单元 无穷级数10－1 常数项级数的概念与审敛法［教学基本要求］高等数学 1. 理解无穷级数收敛、发散以及收敛级数和的概念，了解无穷级数的基本性质及收敛的必要条件；２．了解正项级数的比较审敛法以及几何级数与p -级数的敛散性，掌握正项级数的比较审敛法；３．了解交错级数的莱布尼茨定理；4．了解绝对收敛与条件收敛的概念及二者的关系．微积分 1。
理解无穷级数收敛、发散以及收敛级数和的概念，了解无穷级数的基本性质及收敛的必要条件；２．了解正项级数的比较审敛法，掌握几何级数与p -级数的敛散性结果,掌握正项级数的比较审敛法；３．了解交错级数的莱布尼茨定理;4．了解绝对收敛与条件收敛的概念及二者的关系．[知识要点]一、常数项级数的敛散性判别法及其说明除开因lim n n u →∞≠0，而判定n n u ∞=1∑发散外，常用以下方法判别级数的收敛性.)，(2)limn≤，其且其和S u1几何级数(等比级数)n n aq ∞=1∑：当|q |<1时级数收敛；当|q |≥1时级数发散。
p -级数p n n ∞=11∑：当p >1时级数收敛，当p 0<≤1时级数发散。
级数ln pn n n∞=21∑,当p >1时级数收敛，当p 0<≤1时级数发散. 二、正项级数判敛的一般程序：nu∞=1∑ ρ=1 n u n n u ∞=1∑发散 n n u ∞=1∑发散,n n u ∞=1∑收敛三、任意项级数的判敛程序：收敛 n n u ∞=1∑条件收敛nn u∞=1∑发散nn u∞=1∑绝对收敛nn u∞=1∑发散［错误诊断］例1 判别下列级数的敛散性：(1）n ∞=1 （2）()nn n ∞=14+-12∑． （1）［错解］因为n =0，故该级数收敛．［错误分析］ lim n n u →∞=0是级数n n u ∞=1∑收敛的必要条件，不是充分条件．因此不能用一般项的极限为零判别级数收敛，但如果lim n n u →∞≠0,级数n n u ∞=1∑一定发散.[正确解法］因n n ==1,由n n ∞=11∑发散，知该级数发散． (2）[错解］因为()()()lim lim lim[()]n n n n n nn n n n nu u +1+1+1+1→∞→∞→∞4+-14+-14+-1==2224+-1不存在,所以该级数发散． ［错误分析]正项级数的比值判别法只是正项级数收敛的充分条件，不是必要条件．也就是说，正项级数n n u ∞=1∑收敛，并不一定有limn n nu u ρ+1→∞=<1．［正确解法］因为该级数是正项级数，且当n ≥1时，()n n n n u 4+-15=≤22．由于等比级数nn ∞=152∑收敛，由比较判别法知所给级数收敛．例２ 若n n u ∞=1∑与n n v ∞=1∑皆收敛，且对于一切自然数n 有n n n u c v ≤≤，证明n n c ∞=1∑也收敛．[错误证明］由于n n c v ≤，且n n v ∞=1∑收敛，故由比较判别法可知n n c ∞=1∑收敛．［错误分析]上述证明的依据是级数的比较判别法，但是这个判别法只适用于正项级数．而题中并没有指明n n u ∞=1∑与n n v ∞=1∑为正项级数，因此上述证明方法不正确．［正确证法]由于n n n u c v ≤≤，因此n n n n c u v u 0≤-≤-，即()n n n c u ∞=1-∑与()n n n v u ∞=1-∑皆为正项级数．由于n n u ∞=1∑与n n v ∞=1∑都收敛，因此()n n n v u ∞=1-∑收敛．由正项级数的比较判别法可知()n n n c u ∞=1-∑收敛．又()n n n n c u c u =+-，由级数的性质可知n n c ∞=1∑收敛．[典型例题补充］例1 选择题 下列命题中正确的是（ ）．A ． 若nn u∞=1∑与n n v ∞=1∑都收敛，则()n n n u v ∞=1+∑可能发散．B ． 若nn u∞=1∑收敛,n n v ∞=1∑发散，则()n n n u v ∞=1+∑必定发散．C ． 若nn u∞=1∑与n n v ∞=1∑都发散,则()n n n u v ∞=1+∑必定发散．D ． 若()nn n uv ∞=1+∑收敛，则n n u ∞=1∑与n n v ∞=1∑必定收敛．解 正确答案是B ．由级数的性质知命题A 错误．由反正法知命题B 正确．事实上，假设()n n n u v ∞=1+∑收敛，由n n u ∞=1∑收敛及()n n n n v u v u =+-知，n n v ∞=1∑也收敛，这与已知矛盾．故()n n n u v ∞=1+∑必定发散．若设n n n u ∞∞=1=1=1∑∑发散,()n n n v ∞∞=1=1=-1∑∑也发散，但是()()n n n n u v ∞∞=1=1+=1-1=0∑∑收敛．可知命题C 与D 都不正确．说明 若n n u ∞=1∑收敛，n n v ∞=1∑发散，则()n n n u v ∞=1±∑必定发散可以作为判定级数()n n n u v ∞=1±∑发散的充分条件使用．例1表明有限项相加的性质不能随意使用到无穷多项相加之中． 例2 判别下列级数的敛散性：（1）()n nn n n ∞=131+∑；(2） (cos )n n ∞=111-∑;（3)nn n n ∞=1⎛⎫⎪2+1⎝⎭∑;（4) !()n n n a n a n ∞=1>0∑． 解 （1）因为lim lim()n n n n u e n→∞→∞13=3=≠011+，所以n n u ∞=1∑发散． (2)分析：由于lim(cos )n n →∞11-=0，而cos sin n u n n211=1-=2>02 注意：sin ()lim lim lim ()sinn n n n nu n u n n n222+1→∞→∞→∞212⎡⎤112+1⎛⎫===1 ⎪⎢⎥12+12⎝⎭⎣⎦22 可知所给级数不能利用比值判别法判定．解法1 注意 cossin n u n n211=1-=2>02 由于当x >0时，sin x x <,可知sin n n 11<22，sin n n 2211<24 正项级数n n ∞2=114∑为收敛级数，由比较判别法可知(cos )n n ∞=111-∑收敛．解法2 由于当x →0时,sin x ～x ．可知当n →∞时sin n u n 21=22～n v n21=2则 sin lim lim n n n nu n u n 2+1→∞→∞2122==112,由于n n ∞2=11∑收敛，可知(cos )n n ∞=111-∑收敛． （3）因为n n 1==<12，所以nn n n ∞=1⎛⎫ ⎪2+1⎝⎭∑收敛． （4)分析：题中的a 没有限制其值，因此应该对a 加以讨论．解 因为()!!lim limlim ()n n n n n n n n n nu a n a n a au e n n n +1+1+1→∞→∞→∞+1===+11⎛⎫1+ ⎪⎝⎭故当a e >时,原级数发散;当a e <时，原级数收敛;当a e =时，不能用比值判别法判定所给级数的收敛性．但注意到数列nn ⎧⎫1⎪⎪⎛⎫1+⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭为单调增加且有上界，由于n n u u +1≥，又lim n n nu u +1→∞=1,由极限的性质可知当n 充分大时,必有n n u u +1>>0，因此lim n n u →∞≠0．故!n n n a n n ∞=1∑发散．例3 讨论级数ln ()pn np n∞=3>1∑的敛散性． 分析:通项中有ln n 因子,可考虑用积分判别法．解 令ln ()p x f x x =，当x ≥3时()f x ≥0，又ln ()()p p xf x p x +11-'=<0>1，故()f x 在[,)3+∞是正的单调递减函数，且ln ()p nf n n=，ln ()ln pp px x x f x dx dx xdx p p xx +∞1-1-+∞+∞+∞33331==-⋅1-1-⎰⎰⎰ln ()p ppp 1-1-233=-3<+∞1-1- 故由积分判别法知级数收敛．例4 设()ln nn n u n +1=-1，试判定n n u ∞=1∑与n n u ∞2=1∑的收敛性，并指出是绝对收敛，还是条件收敛？分析:n n u ∞=1∑是交错级数，n n u ∞2=1∑是正项级数．由于||ln ln()n n u n n+11==1+，注意到x →0时，ln()x x1+等价．解 因为ln()()n nn 111+→∞，所以lim ln ()n n n →∞111+=1，由于n n∞=11∑为发散的调和级数，因此lnn n n∞=1+1∑为发散级数． 因为ln()ln()n n 111+>1++1，且lim ln()lim n n n n →∞→∞111+==0，则由莱布尼兹定理知()ln n n n n ∞=1+1-1∑收敛．从而知其条件收敛．因ln ()nu n 221=1+，且lim ln ()lim()n n n n nn 2222→∞→∞11111+==1 由于级数n n ∞2=11∑为收敛级数，故由极限形式的比较判别法可知n n u ∞2=1∑收敛．［课堂练习］一、填空题１．若正项级数n n u ∞=1∑收敛，则n ∞=1是 级数．２．已知lim ()n n nu k →∞=≠0，则n n u ∞=1∑是 级数．３．已知lim n n a a b →∞=>>0，则nn n b a ∞=1⎛⎫⎪⎝⎭∑是 级数．４．级数(ln )nnn ∞=153∑的和为 ． ５．级数()()()n n n n n n 3∞=1-2+52-12+12+3∑是 级数．二、选择题1．下列命题中正确的是（ ）．A ．若n n u ∞=1∑收敛，则必有lim n n u →∞=0； Ｂ．若n n u ∞=1∑发散，则必有lim n n u →∞≠0;Ｃ．若lim n n u →∞=0,则n n u ∞=1∑必定收敛； Ｄ．若lim n n u →∞=0，则n n u ∞=1∑必定发散．2．下列命题中正确的是（ ）．A ．若||n n u ∞=1∑收敛，则n n u ∞=1∑必条件收敛；Ｂ．若n n u ∞=1∑发散，则||n n u ∞=1∑必定发散;Ｃ．若||n n u ∞=1∑发散，则n n u ∞=1∑必定发散； Ｄ．若n n u ∞=1∑收敛,则||n n u ∞=1∑必定收敛．3．若级数n n u ∞=1∑收敛于S ，则级数()n n n u u ∞+1=1+∑( ）．A ．收敛于S 2； Ｂ．收敛于S u 12+； Ｃ．收敛于S u 12-； Ｄ．发散．4．若级数nn a ∞2=1∑和nn b ∞2=1∑都收敛,则级数n n n a b ∞=1∑（ ）A ．一定条件收敛；Ｂ．一定绝对收敛；Ｃ．一定发散；Ｄ．可能收敛可能发散． ５．设a为常数，则sin ()n na n ∞2=1-∑为（ ）． A ．绝对收敛； Ｂ．条件收敛； Ｃ．发散；Ｄ．收敛性与a 有关．三、判别下列级数的敛散性1．n n 1∞3=11⎛⎫ ⎪⎝⎭∑； 2．nn n 1∞=11⎛⎫⎪⎝⎭∑； 3．n ∞=1．四、判别下列级数的敛散性,若收敛，是绝对收敛，还是条件收敛？ 1．ln()()nn n n ∞=11+-11+∑； 2． ()(cos )n n n α∞=1-11-∑ （α>0为常数）．答案 一、1．收敛;2．发散;3．收敛；４．ln 33-5；5．发散．二、1．A ； 2．B ； ３．C; ４．B; ５．C三、１．发散,p 级数;→1； ３．收敛． 四、1．条件收敛； 2．绝对收敛．10－2 幂级数［教学基本要求］高等数学 1。
无穷级数与收敛性判定
无穷级数与收敛性判定无穷级数是数学中的重要概念，它是由无限个数相加而得到的数列。
本文将探讨无穷级数的概念和收敛性判定方法。
一、无穷级数的定义无穷级数可以形式化地表示为：S = a1 + a2 + a3 + ... + an + ...，其中an是无穷级数的每一项。
无穷级数可以有不同的形式，如等差级数、等比级数等。
二、等差级数的收敛性判定等差级数是指每一项与前一项之差都是一个常数d的级数。
对于等差级数的收敛性判定，我们可以使用以下公式：S = a + (a+d) + (a+2d) + ... + (a+nd) + ...可以将等差级数的部分项表示为：Sn = a + (a+d) + (a+2d) + ... +(a+nd)。
其中，n表示部分项的个数。
当d≠0时，等差级数的收敛性判定公式为：- 当|d| < 1时，无穷级数收敛，收敛和为S = a / (1 - d)；- 当|d| ≥ 1时，无穷级数发散。
当d=0时，等差级数收敛于a。
三、等比级数的收敛性判定等比级数是指每一项与前一项之比是一个常数r的级数。
对于等比级数的收敛性判定，我们可以使用以下公式：S = a + ar + ar^2 + ... + ar^n + ...可以将等比级数的部分项表示为：Sn = a + ar + ar^2 + ... + ar^n。
其中，n表示部分项的个数。
当|r| < 1时，等比级数的收敛性判定公式为：- 当|r| < 1时，无穷级数收敛，收敛和为S = a / (1 - r)；- 当|r| ≥ 1时，无穷级数发散。
四、其他级数的收敛性判定除了等差级数和等比级数，还有一些常见的级数收敛性判定方法，如p级数、调和级数等。
p级数是指形如：S = 1^p + 2^p + 3^p + ... + n^p + ... 的级数。
对于p 级数的收敛性判定，有以下结论：- 当p > 1时，p级数收敛；- 当p ≤ 1时，p级数发散。
无穷级数的定义性质和及敛散性判别
(常数项)无穷级数
n
sn u1 u2 un ui
部分和数列
i 1
s1 u1, s2 u1 u2, s3 u1 u2 u3,, sn u1 u2 un,
2. 级数的收敛与发散:
当n 无限增大时,如果级数 un 的部分和
n1
数列sn 有极限s ,
即
lim
n
sn
5! 55
；
n
3、
x2
；
2 4 6 (2n)
4、(1)n1 a n1 ； 2n 1
5、2k 1.2k 1,2k, 1 ； 6、 q 1, q 1. 2k
三、收敛. 四、1、发散；
2、收敛；
3、发散、[ s2n
n1 k1 (2k
1 )]. 10k
五、发散.[取 p 2n ]
1 (1 1) 1 (1 1) 1 ( 1 1 )
2 3 23 5
2 2n 1 2n 1
1 (1 1 ), 2 2n 1
lim
n
sn
lim 1 (1 n 2
1) 2n 1
1, 2
级数收敛, 和为 1 . 2
三、基本性质
性质 1 如果级数 un 收敛,则 kun 亦收敛.
解 如果q 1时
sn a aq aq2 aqn1
a aqn a aqn , 1q 1q 1q当q 1时,源自lim qn 0n
lim
n
sn
a 1q
当q 1时,
lim qn
n
lim
n
sn
收敛 发散
如果 q 1时
当q 1时, sn na
发散
当q 1时, 级数变为a a a a
第10章第二节无穷级数的性质与敛散性【VIP专享】
性质5 （级数收敛的必要条件）若级数 un 收敛， n 1
则极限
它的逆否命题是：
若级数一般项不趋向于零，该级数发散
例2. 判别级数
的敛散性，其中a、b、c、k
为常数且k、 a 解 因为 a 0, 所以
并不等于零，所以级数发散。
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本节小结
C．若级数
(u2n1
u2n
)
发散，则级数
un
发散
n1
n 1
D．若 ，则级数 都发散 lim n
un
0
(u2n1 u2n )
n1
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级数敛散性的判断方法： 性质1 如果级数 与级数
分别收敛于 S 、W，
则级数
也收敛，且有
性质2级数的每一项同乘以一个非零常数，其敛散性不变。 性质3 在级数的前面加上、去掉或改变有限项，不影响
级数的敛散性。
性质4 如果级数 收敛于Ｓ，则对其各项间任意添加
括号后所得的级数仍收敛，且其和不变。 性质5 若级数一般项不趋向于零，该级数发散
敛，则原来级数未必收敛。
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例如 将发散级数 a a a a (1)n1a
的相邻两项加括号，则
(a a) (a a) (a a) 0
得到的新级数收敛．然而，重新加括号
a (a a) (a a) (a a) a
得到的新级数不收敛。
vn)发散，则级数 un,
vn
都发散
n1
n 1
n 1
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lim
n
un
第1节 无穷级数的敛散性
(u
n 1
n
vn ) S W un vn
n 1 n 1
证毕.
7/9/2013 1:17 AM
第8章
无穷级数
说明 两个收敛级数的和一定收敛
一个收敛级数与一个发散级数的和一定发散 两个发散级数的和可能收敛也可能发散
7/9/2013 1:17 AM
第8章
无穷级数
n 1 n 1
级数收敛。 而级数
2
n 1
n 1
1 2 4 2
n 1
公比为 q 2 , q 2 1 , 所以该级数发散。
7/9/2013 1:17 AM
第8章
无穷级数
例2 判断级数
1 1 1 1 1 n(n 1) 1 2 2 3 3 4 n( n 1) n 1
1 n 解 因为 lim Sn lim 2n 1 2 n n 1 un 收敛， 所以级数 其和为 S ，由定理7.3 2 n 1 级数 un 2 收敛。
n 1
7/9/2013 1:17 AM
第8章
无穷级数
u
n 1
n 2
u3 u4
级数为 a a a a （2）若 q 1 ，
Sn na , 则 lim Sn ，几何级数发散。 n
7/9/2013 1:17 AM
第8章
无穷级数
级数为 a a a a （3）若 q 1 ，
S 当 n 为偶数时， n 0 ; 当 n 为奇数时， n a S
当 n 时， n 没有极限， S 几何级数发散。
无穷积分敛散性的一个新的判别法
无穷积分敛散性的一个新的判别法无穷积分敛散性是一个重要的数学概念，它涉及到许多重要的数学理论和应用计算，其应用广泛，从实际应用到数学建模等。
因此，研究无穷积分敛散性有着重要的意义，也是数学研究的一个重要部分。
本文将介绍一种新的识别无穷积分敛散性的方法，以及它的一些书面推导和实际应用。
首先，我们回顾一下无穷积分敛散性的基本原理。
无穷积分敛散性是指，存在一个无穷级数$sum_{k=0}^n a_k$，若它具有收敛性，则被称为无穷积分敛散性。
其收敛性的条件是，当$ k rightarrow infty $时，$a_k$晕于某一限值。
基于无穷积分敛散性的基本原理，我们可以建立一种新的识别无穷积分敛散性的方法。
此方法的首要步骤是，根据上述定义，使用微积分等法计算$sum_{k=0}^n a_k$的积分。
接下来，利用微积分的反变换公式，求解无穷积分敛散性的条件。
最后，根据实际应用，使用一系列试验，确定无穷积分敛散性是否满足本文定义的条件。
当确定问题满足无穷积分敛散性的条件后，就可以把它归类到无穷积分敛散性的范畴中，从而更好地研究此问题。
此外，该方法还可以协助我们用图形来分析某一问题的无穷积分敛散性以及其它连续情况，绘制出函数图像，更好地把握问题特征。
在实际应用中，无穷积分敛散性是一个重要的考虑因素。
比如，在经济领域，可以利用本文提出的方法来识别投资者在投入市场时可能遇到的无穷积分敛散性情况，并根据实际情况更好地做出投资决策。
此外，本文所提出的方法还可以应用到信号处理、数值分析等领域，可以指导更好的数学建模和算法设计。
综上所述，本文提出了一种新的识别无穷积分敛散性的方法，它不仅可以更好地研究无穷积分敛散性，而且可以为一些实际应用提供技术支持。
未来，本文所提出的方法还可以进一步发展和改进，希望能够为解决更多实际问题提供解决方案。
综上所述，本文介绍了一种新的识别无穷积分敛散性的方法，它可以更好地研究无穷积分敛散性。
微积分教学课件第7章无穷级数第4节广义积分敛散性的判别
若 p 1 ，则x 0 是瑕点，
lim x1 p f ( x) lim(1 x)q1 1 , 1 p 1 , p 0 ;
x0
x0
若 q 1 ，则x 1 是瑕点，
lim x1q f ( x) lim(1 x) p1 1 , 1 q 1 , q 0 ;
x0
x0
因此，当 p 0 且 q 0 时，该广义积分收敛；
1
lim x 2 f ( x) lim
1
1,
x0
x0 1 x2
所以瑕积分 1
1
dx 收敛.
0 x(1 x 2 )
10
例5 判别瑕积分 1
1
dx 的敛散性.
1 (1 x 2 )(4 x 2 )
解 易知 x 1 为瑕点， 由于
1
lim (1 x) 2 f ( x) lim
1
1,
x ( 1)
当 p 1且 A 0时， f ( x)dx 发散. a 证略.
4
例1 判别广义积分 x pex dx 的敛散性，其中 1
p, 为常数，且 0 .
解 由罗必塔法则，
lim x2
x
x pex
lim
x
x p2 ex
0
故广义积分 x pex dx ( 0) 收敛. 1
5
例2
判别广义积分
1
arctan x 1 x
dx
(
0)
的敛散性.
解
由于
lim
x
x
arctan x 1 x
x
lim x 1
x
arctan x
,
2
所以，当 1 时，该广义积分收敛；
当 1 时，该广义积分发散.
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二E 无穷级数敛散性判别法 的局限性及适用范围
级数收敛的必要条件在判断级数发散 % )
"
则此交错级数! * * 0 ,! & $. / +% , & # #
# 42" # $%
收敛 ’
" "
时是比较有效的 / 因为如果 ! & # 满足
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F. 9 : ;& #
由级数 ! 6 的敛散性判断 ! & 5 ) 6 & # #的
小散则大散 4 & 比值判别法 2 达朗贝尔判别法 4 G 8
:
一 6级 数 收 敛 的 必 要 条 件 及 几个敛散性判别法
级数收敛的必要条件 7 8
:
设9 = 且后项与前项的 ; 是 正 项 级 数%
; <7
比值 % 当; 即 AH: 时有极限 %
; AH:
> ? @
= ; H7 <I = ;
: ; <7
分析 : 本题为正项级数 4 因为利用比较判
# $% " # $% "
判 断!& 需要找一个通项 * 0 , # 收 敛 时/
# $% "
若! 6 收 敛/ 则 称 级 数!& 6 & # #绝对收
# $% # $% " "
比& 3 # 大的收敛级数 ! H #
# $% "
敛3 若 级 数! 6 发 散/ 而 !& 则 & #6 # 收 敛/
无穷级数 2 简称级数 4 就是一个无穷项相 加 的 表 达 式% 判定一个级数的敛散性通常是 比较困难的 & 中央广播电视大学理工类 # 高等 数 学$ 柳 重 堪 主 编 中 央 广 播 电 视 大 学 出 版 2 % 社4 教材中介绍了常用的几种方法 % 对于初学 者不太容易掌握 % 特别是对于某一个级数 % 初 运用恰当的判别 学 者 如 何 在 较 短 的 时 间 内% 方法 % 准确地得出是否收敛的结论 % 显得尤其 重要 & 本人结合多年教学实践和体会 % 总结出 判 断 无 穷 级 数 敛 散 性 的 一 般 常 用 程 序% 感觉 很实用 &
# # # 收 而级数’ 9 ! ) *# ) 7 ) % ) .# & ) % ) .# & % ) .# &
(
四$ 典型例题解答示范
根 剧 以 上 无 穷 级 数 敛 散 性 的 判 定 程 序! 下面举例说明通过图 #程序图标明的顺序来 判定级数的敛散性 "
</ = <
敛! 所以由比较判别法 ! ’
若9= 则> <B ? @= ; 收敛 % ;
; <7 ; A:
则2 当I 级数 9 = 7 4 J7时 % ; 收敛 ’ 当 I 包 括 I为 H : 4 时% 级 2 C 4 K7 2
比较判别法 C 8
张清利
LG M L
北京广播电视大学理工部
0 . . 0年第 0期
"
数!& # 发散 ’
# $%
三E 无穷级数敛散性的判定 程序
尽管判定无穷级数敛散性的方法有很 多/ 各 种 方 法 又 有 局 限 性/ 但对一个具体题
JC > J
北京广播电视大学学报 目! 如 何 灵 活 运 用 各 种 方 法! 取 长 补 短! 尽快 得到正确的答案 ! 是很值得探讨的问题 " 本人 结 合 多 年 教 学 实 践 和 体 会! 认为一般可通过 图 #程 序 图 标 明 的 顺 序 来 判 定 级 数 的 敛 散 性! 效果较好 "
调和级数 * C ,
"
莱布尼茨判别法 ( )
" # +% 对于交 错 级 数 ! * 其中 & +% , * & # # # $%
% % % 级 数 ! %$ % 2 2 212 21 # $% # # 0 C 称为调和级数 / 调和级数是发散级数 ’
若满足 . / $% / 0 11, / # 自某项以后的所有项有 & * % , 3 #- & # 2%
" "
如 果!& 但! 6 却可能是 7 ) 6 & # 收 敛/ #
# $% # $%
* 0 , A 级数
"
发散的 ’
% % % 级 数! % 2 B2 B2 1 2 B2 1 B$ % # $% # 0 C # 称 为 A 级 数/ 当B * -. , - %时 / B A级数收 敛3 当. =B D%时 / A 级数发散 ’
# $% # $% "
判 断!& 需要找一个通项 * C , # 发 散 时/
# $% "
称!& # 条件收敛 ’
# $%
比& # 小的发散级数 ! H #
# $% # 如果 正项 级数 的 通 项 & C ) #中含有 # 或 # 或& 等因子 / 一般可用比值判别法来判断 I # 其敛散性 ’ 比值判别法的缺陷是 G 对于正项级 "
# $% # $%
那么它一定是发散级数 ’ 但级数收敛的 必要条件用来判断级数收敛却不起作用 ’ 利用比较判别法时要注意以下几点 G 0 ) 只适用于正项级数 3 * % ,
"
收敛性
" "
若级数 ! 6 收敛 / 则级数 ! & 6 & # # 收敛 3
# $% # $% " "
若级数 ! & 则!6 一定发散 ’ 6 & # 发散 / #
(
) *#
# 收敛 " % ) .# &
例/ 解
: ) ’% ) 8# & ;
) ) *#
分析 0 利用正项级数比值判别法来判断
. 2 2 .年第 .期 + $ , $ () ’ , . $ (/ 0 $ () 因为 ! *! " # " # $ %& ’ $ %& $ + $ $ , . $ () 0 + , $ () - , . $ () 0 $ *! 1 " # $ %& , . $ (/ 0 + $ $ + , $ () $ *! *2 3) " # $ %& , $ . $ (. , . $ (/ + $ 所以 4 由比值判别法 4 可得到原级数收敛 5
$ 6 $ 发 散4 所 以4 由 比 较 判 别 法 可 知4 , 7 $ *) = & &
6 发散 5 7. (=
$ *) $ &
$
;$ , @) - $ 7 $ *) .@) 解 分析 : 本题为交错级数 4 利用任意项级数 的判别法来判断 例?
$ @) $ ;$ ’ () . @) $ () 因为 ! *! 1 " #A A " # $ () $ %& $ % & . @) ’ $ ;$
&
*8 , () @+ , () 9 @, @+ $ $ $ $ $ $ $ >2 $ () 所以 ) > ) 即 ’ >’ $ $ () ’ ’ $ () $ ) 又因为 ! *! *2 " #’ " # $ $ %& $ %& $ @+ $ $ 所以 4 由莱布尼茨判别法 4 原级数收敛 5 *) @+ $
* ;$ () @ ;$ * E $ ) ) ( ; .( ; ) ; /( ; . ) (F( ;$ () ( ;$
* ; .@ ; )( ; /@ ; . (F( ;$ () @ ;$ * ;$ () @ ;)
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) ) @ $ () ;$ () . . ) *! 1 * 3) " # $ %& ) . ;$ ) @ $ .( ) 所 以4 由 比 值 判 别 法4 原 级 数 收 敛4 且绝对收 敛5
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$ %& &
所以 4 原级数发散 5 例G 解 ) 7, $ () , $ (. $ *)
) $ () 例 B 7, @) $ *) $ @+ $ $ 解 分析 : 本题为交错级数 4 利用莱布尼茨判 别法来判断 5 因为 ) @ ) ’ ’ $ () $
( (
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例# 解 因为
) .# ’/ )
) *#
分析 0 利用级数收敛的必要条件来判断
) 4(
) .# * 56 *1 ! 1 2 3, 2 3 ) ) 4( / ) /
(
) .# 所 以! 由 级 数 收 敛 的 必 要 条 件 知! ’ ) *# / ) 发散 "
(
例解
# ’% ) .# &
) *#
:
:
设9= 且满 ;和9D ; 是 两 个 正 项 级 数%
; <7 ; <7
足= ED % <7 % C % FF ; ; ;
: :
若9D 则9= 简记为 2 7 4 ; 收 敛% ;收敛2
; <7 ; <7
大敛则小敛 4 ’
: :
若9= 则9D 简记为 2 C 4 ; 发 散% ;发散2
; <7 ; <7
" # 0 # 级数 ! & 2& 2& ?$& ? ?212& ?21 # $. " # 称为等比级数 / 当6 当 6 = %时 / !& ? ? 收敛3 # $. " # 6 6 @%时 / !& ? ? 发散 ’ # $.