2级数敛散性判定与证明
第2节正项级数敛散性的判别
n1
2 3
n
,
由等比级数的敛散性可知：原级数收敛.
例3
1
讨论 P 级数 n1 n p
( p > 0 ) 的敛散性.
解
当 p＝1时,
P
级数为调和级数:
1 n1 n
,
它是发散的.
当 0 < p < 1 时,
有
0
1 n
1 np
,
由比较判别法, P 级数此时是发散的.
故 p 1时, P 级数是发散的.
综上所述:
当 p > 1 时, P 级数收敛. 当 p 1 时, P 级数发散.
4.比较判别法的极限形式
设和为两个正项级数, 且 vn 0 (n 1, 2,;
或从某一项 N0 开始).
若
lim un n vn
,
则
(1) 0 时, un 与 vn 具有相同的敛散性.
n1
n1
(2) 0 时, vn 收敛 un 收敛.
综上所述,当 0 < x < a 时, 原级数收敛; 当 x a 时, 原级数发散.
n
an 1 a2n
lim a n n 1 a2n
a 1,
1 n
当a
1时,
lim n
n
an 1 a2n
lim
n
n
a
1
1 a
2n
1 a
1,
故 a 0 且 a 1时, 原级数收敛.
例8
判别
n1
x a
n
的敛散性.
(
x
>
0,
a
>
0
为常数)
解
关于任意项级数敛散性判别的两个结论
刘志高: 关于任意项级数敛散性判别的两个结论
! !
271
a n , 令函数 f ( x ) , 对
n= 1
解 =
对于
n= 1
ห้องสมุดไป่ตู้
( 1 - sin 1 ) , 考虑函数 f ( x ) n n
所有的正整数 n , 使得 f ( 0, + ! ) 有 lim +
x ∀0
1 = an . 若对某个 t # n
关于任意项级数敛散性判别的两个结论
刘志高
( 安徽工业大学职业技术学院 , 安徽 马鞍山 243011)
摘
要:
以级数收敛定义和比较原则为基础 , 补充两个结论来判断某些任意项级数的敛散性. 任意项级数; 绝对收敛 O173. 1 文献标识码: A 条件下, 可以由加括号后所得新级数的收敛性来 得到原级数的收敛性. 例1 判定级数 1 1 1 1 1 1 + 2 3 2- 1 2 3- 1 3 + ∃+ 的敛散性 . 解 显然n lim a n = 0. 又因为 ∀+ ! 1 n+ 1- 1 1 1 n+ 1 n+ 1
且级数
n= 1
n + 4n + 2 发散 . 由结论 1 可知 n ( n + 1) ( n + 2)
2
原级数发散.
收稿日期: 2008- 01- 29 作者简介: 刘志高 ( 1975- ) , 男 , 安徽郎溪人 , 硕士 , 讲师 , 任职于安徽工业大学职业技术学院 .
第2 期 结论 2 设任意项级数
!
f %( x ) 存在且f ( 0) = 0, 则 an t x n= 1
关于数项级数敛散性的判定
关于数项级数敛散性的判定摘要：就数项级数敛散性的判定进行了深入细致的分析、探究与总结，重点论述了正项级数及一般项级数的敛散性判别方法，提出了数项级数敛散性判定的一般步骤，以及判定过程中需要注意的一些问题。
使得对数项级数敛散性的知识有了更深的认识，提高了解题能力。
关键词：数项级数；正项级数；交错级数；一般项级数；敛散性 引言：无穷级数是高等数学的一个重要组成部分，是研究“ 无穷项相加” 的理论 ，它是表示函数、研究函数的性质以及进行数值计算的一种工具。
如今，无穷级数已经渗透到科学技术的很多领域，成为数学理论和应用中不可缺少的有力工具，而应用的前提是级数收敛，所以其收敛性的判别就显得十分重要，判断级数敛散的理论和方法很多，本文的根本目的是对数项级数敛散性的判定进行深入的研究与总结。
1.预备知识： 1.1级数的定义及性质定义1：给定一个数列{}n u ，对它的各项依次用“+”号连接起来的表达式......21++++n u u u称为数项级数。
其中n u 称为该数项级数的通项。
数项级数的前n 项之和记为：∑=+++==nk n k n u u u u S 121...。
称为数项级数第n 个部分和。
定义2：若数项级数的部分和数列{}n S 收敛于S （即S S n n =∞→lim ），则称数项级数收敛。
若{}n S 是发散数列，则称数项级数发散。
即：n n S ∞→lim 不存在或为∞。
性质：（1）级数收敛的柯西准则：级数收敛的充要条件：0>∀ε，0>∃N ,使得当N m >以及对任意正整数P ，都有 ε<++++++p m m m u u u (21)推论：级数收敛的必要条件：若级数收敛，则0lim =∞→n n u 。
（2）设有两收敛级数n u s ∑=，n v ∑=σ，则其和与差)(n n v u ±∑也收敛，并且σ±=±∑s v un n)(。
8.2数项级数敛散性判定(一)
(上界)
正项级数 un收敛
它的部分和数列 Sn有界.
n1
否则,
若数列
Sn
无界, 则
lim
n
Sn
,
从而
正项级数 un发散, 记为 un .
n1
n1
二、正项级数的敛散性判别法
正项级数敛散性的判别法较多， 只介绍几个最基本、
最常用的判别法。
定理(比较判别法1) 设 un和 vn均为正项级数，
且 un
vn(n
1, 2,
),
n1
n1
(1)若 vn 收敛,则 un 收敛； （大敛则小敛）
n1
n1
(2)若 un 发散，则 vn 发散. （小散则大散）
证明
n1
(1) 设 Sn
n
n1
uk , Tn
n
vk , un vn ,
且 Sn u1
第二节
数项级数 敛散性判别法
一、比较判别法
第七章 无穷级数
二、比值判别法
三、根值判别法
四、绝对收敛与条件收敛
复习
（一）数项级数的基本概念
un u1 u2 u3 un
n1
前n项部分和Sn u1 u2 un , 部分和数列 Sn
（二）级数的基本性质
23
n
1 (1)n1
1 01 0
均为正项级数
...
n1
2
一、正项级数及其敛散性
由正项级数的定义,可得正项级数的性质
性质 如果正项级数 un的部分和为 Sn , 则 n1
级数的敛散性
学士学位论文题目有关级数的敛散性学生指导教师年级 2008级专业数学与应用数学系别数学系学院数学科学学院2011年5月目录摘要 (1)关键词 (1)引言 (1)1 基本概念和相关理论 (1)1.1 有关级数的定义 (1)2 级数敛散性的判定方法 (3)2.1 级数的相关定理及证明 (3)3 级数敛散性的应用 (7)3.1 级数敛散性的相关结论 (7)3.2 级数敛散性判定的应用 (10)结束语 (14)参考文献 (14)外文摘要 (14)有关级数的敛散性（哈尔滨师范大学数学科学学院）摘 要: 级数是高等数学中的一个重要内容，而正项级数又是级数的重要组成部分，判别正项级数的敛散性方法很多，本文主要讨论了正项级数判别法的一些特性，及判别正项级数敛散性的一般步骤关 键 词 数项级数 收敛 发散 判别法引言数项级数敛散性判定研究是一个重要而有趣的课题，关于数项级数的敛散性判定尽管有不少经典性判别法，然而对数项级数判断收敛的方法的研究至今还在继续与深入，并且获得了一些新的知识和发现.本文打算对数项级数各项重要的敛散性判别方法作简单、系统的归纳，在已有判断收敛的一般程序基础上，进行进一步探讨，使解题更简便、更直接，从而找到判断收敛更完美的一般程序及最优方法选择.1基本概念和相关理论1.1有关级数的定义定义1.1.1 给定一个数列{}n u ,对它的各项依次用“+”号连接起来的表达式12......n u u u ++++ （1）称为数项级数或无穷项级数（也简称为级数），其中n u 称为数项级数（1）的通项.数项级数(1)也常写作:∑∞=1k n u 或简称写作∑n u .数项级数(1)的前n 项之和,记为n nk k n u u u u S +++==∑=...211, （2）称为数项级数（1）的第n 个部分和，也简称为部分和.定义1.1.2 若数项级数(1)的部分和数列{}n S 收敛于S(即S S n n =∞→lim ),则称数项级数(1)收敛,称S 为数项级数(1)的和，记作12......n u u u ++++ 或∑=n u S .若{}n S 是发散数列,则称数项级数(1)发散.定义1.1.3 若正项级数各项的符号都相同,则称它为同号级数.各项都是由正项组成的级数称为正项级数定义1.1.4若级数的各项符号正负相间，即11234...(1)...(0,1,2,)n n n u u u u u u n +-+-++-+>= ，则上述级数为交错级数2 级数敛散性的判定方法2.1 级数的相关定理及证明定理 2.1.1 由于级数(1)的收敛或发散（简称敛散性），是由它的部分和数列{}n S 来确定的，因而可把级数（1）作为数列{}n S 的另一种表现形式.反之任给一个数列{}n a ，如果把它看作某一数项级数的部分和数列，则这个数项级数就是 +-++-+-+=-∞=∑)()()(1231211n n n n a a a a a a a u （3）这是数列{}n a 与级数（3）具有相同的敛散性，且当{}n a 收敛时，其极限值就是级数（3）的和.定理2.1.2 (级数收敛的柯西准则) 级数（1）收敛的充要条件：任给正数ε，总存在正整数N ，使得当N m >以及对任意正整数p ，都有12m m m p u u u ε++++++< (5) 即有级数（1）发散的充要条件：存在某正整数0ε，对任何正整数N ，总存在整数)(0N m >和0p ，有12m m m p u u u ε++++++<定理2.1.3 若级数（1）收敛，则0lim =∞→n n u （6）定理2.1.4 若级数nu∑和n v ∑都收敛，则对任意常数c ，d ，级数()n n cu dv +∑亦收敛，且()nn n n cudv c u d v +=+∑∑∑定理2.1.5 去掉、增加或改变级数的有限个项不改变级数的敛散性.定理2.1.6 在收敛级数的项中任意加括号，既不改变级数的收敛性，也不改变它的和.注意：从级数加括号的收敛，不能推断它在未加括号前也收敛.例如(11)(11)(11)000-+-++-+=+++收敛，但级数1111-+-+却是发散的.定理2.1.7 正项级数nu∑收敛的充要条件是：部分和数列{}n S 有界，即存在某正整数N ，对一切正整数n 都有n S M <.定理2.1.8（比较原则） 设nu∑和nv∑是两个正项级数，如果存在某正整数N ，对一切n N >都有n n u v ≤则（i ）若级数n v ∑收敛，则级数n u ∑也收敛；（ii ）若级数n u ∑发散，则级数n v ∑也发散. 推论 设12......n u u u ++++ (7) 12......n v v v ++++ (8)是两个正项级数，若lim nn nu l v →∞= 则（i ） 当0l <<+∞时，级数（7）、（8）同时收敛或同时发散；（ii ） 当0l =且级数(8)收敛时，级数(7)也收敛； （iii ）当l =+∞且级数（8）发散时，级数（7）也发散.定理2.1.9（达朗贝尔判别法，或称比式判别法） 设nu∑为正项级数，且存在某个正整数0N 及常数q （01q <<）.（i ） 若对一切0n N >，成立不等式nnu q v ≤ 则级数n u ∑收敛.（ii ）若对一切0n N >，成立不等式1nnu v ≥ 则级数n u ∑发散.推论 （比式判别法的极限形式）若n u ∑为正项级数，且1limn n nu q u +→∞= （9）则（i ） 当1q <时，级数n u ∑收敛；（ii ）当1q >或q =+∞时，级数n u ∑发散.注 若（9）中1q =，这是用比式判别法对级数的敛散性不能做出判断因而它可能是收敛的，也可能是发散的.例如级数21n ∑和1n∑，它们的比式极限都是11()n nu n u +→→∞ 但21n ∑是收敛的，而1n∑却是发散的. 若某极限（9）式的极限不存在，则可用上、下极限来判别. 推论 设n u ∑为正项级数. （i ）若1lim1n n n u q u +→∞=<，则级数收敛；（ii ）若1lim1n n nu q u +→∞=>，则级数发散.定理2.1.10 （柯西判别法，或称根式判别法） 设nu∑为正项级数，且存在某正数0N 及正常数l ， （i ）若对一切0n N >，成立不等式1l ≤<， （10） 则级数n u ∑收敛；（ii ）若对一切0n N >，成立不等式1≥ （11）则级数n u ∑发散.定理2.1.11（根式判别法的极限形式） 设n u ∑为正项级数，且n l = （12）则（i ）当1l <时，级数n u ∑收敛； （ii ）当1l >时，级数n u ∑发散.注 若（12）式中1l =，则根式判别法仍无法对级数的敛散性作出判别. 例如，对21n ∑和1n ∑，都有1()n →→∞但21n ∑是收敛的，而1n∑却是发散的.若（12.定理2.1.12 设nu∑为正项级数，且l =则当（i ） 1l <时级数收敛；（ii ）1l >时级数发散.定理2.1.13（莱布尼茨判别法）若交错级数11234...(1)...n n u u u u u +-+-++-+ （13）满足下述两个条件： （i ） 数列{}n u 单调递减; （ii ）lim 0n n u →∞=则级数（13）收敛.定理2.1.14 若级数（13）满足莱布尼茨判别法的条件，则收敛级数的余项估计式为1n n R u +≤绝对收敛级数及其性质 若级数12......n u u u ++++ （7） 各项绝对值所组成的级数12......n u u u ++++ （15） 收敛，则称级数（7）为绝对收敛.定理2.1.15 绝对收敛的级数一定收敛.定理2.1.16 设级数12......n u u u ++++ （7）绝对收敛，且其和等于S ，则任意重排后所得到的级数12......n v v v ++++ （8）也绝对收敛亦有相同的和数.注 由条件收敛级数重排列后所得到的新级数，即使收敛，也不一定收敛于原来的和数.而且条件收敛级数适当重排后，可得到发散级数，或收敛于事先指定的数.例如级数11111(1)231n n +-+++-++ 是条件收敛的，设其和为A ，即1111111111(1)12345678n n A n ∞+=-=-+-+-+-+=∑ 乘以常数12后，有 1111111(1)224682n A n +-=-+-+=∑ 将上述两个级数相加，就得到1111131325742A +-++-+= 定理2.1.17 （柯西定理） 若级数12......n u u u ++++ (7) 12......n v v v ++++ (8) 都绝对收敛，则对所有乘积i j u v 按任意顺序排列所得的级数n w ∑也绝对收敛，且其和等于AB .引理 （分部求和公式，也称阿贝尔变换） 设,(123)i i v i n ε= ，，，，为两组实数，若令12(12)k k v v v k n σ=+++= ，，,则有如下分部求和公式成立：121232111()()()ni in n n n n i vεεεσεεσεεσεσ--==-+-++-+∑ （16）推论（阿贝尔引理） 若（i ） 12n εεε ，，，是单调数组;（ii ）对任意正整数(1)k k n ≤≤有k A σ≤（这里1k k v v σ=++ ），则记max{}k kεε=时，有13nk ki vk εε=≤∑ （17）定理2.1.18（阿贝尔判别法） 若{}n a 为单调有界数列，且级数nb∑收敛，则级数1122n n n n a b a b a b a b =++++∑ （18） 收敛.定理2.1.19（狄利克雷判别法） 若数列{}n a 单调递减，且lim 0n n a →∞=，又级数n b ∑的部分和数列有界，则级数（18）收敛. 积分判别法定理 2.1.20(积分判别法) 设f 为[1,)+∞上非负减函数，那么正项级数()f n ∑与反常积分1()f x dx +∞⎰同时收敛或同时发散.3 有关级数的敛散性的应用 3.1级数敛散性的相关结论3.1.1判断正项级数一般顺序是先检验通项的极限是否为0，若为0则收敛，若不为0则判断级数的部分和是否有界，有界则收敛，否则发散. 3.1.2若级数的一般项可以进行适当放缩则使用比较判别法，或可以找到其等价式用等价判别法.3.1.3当通项具有一定特点时，则根据其特点选择适用的方法，如比值判别法、跟式判别法。
泰勒公式判断级数敛散性的方法
教学方法课程教育研究学法教法研究 123引言大学数学课程中，级数部分是该课程知识体系中重要的组成部分。
数学专业的后续课程，如《复变函数论》等都和级数有密切的关系，对于工科的学生来讲，傅立叶级数和傅立叶变换主要应用在信号分析领域，包括滤波、数据压缩、电力系统的监控和电子产品的制造等领域，因此级数和这些内容的相应的课程紧密相关。
作为函数项级数基础的数项级数部分自然尤为重要。
判断数项级数敛散性是学习级数的重要环节，关系到后面各类函数项级数的学习。
数项级数敛散性的判断如果掌握了一些特定的技巧，则可以帮助我们巧妙地解决这个问题。
关于数项级数敛散性的判断，有一些基本方法，如：敛散性的定义、级数收敛的必要条件、比较审敛法、比值审敛法、根值审敛法等，这些方法针对一些特定形式的级数敛散性判断都非常有效，该部分在文献[4]中有详细讲解，这里不再赘述。
但是，这里存在的普遍问题是，以上方法只是针对一些特定形式的数项级数能够确定其敛散性，对于一般级数的问题，需要探索新的方法，比如对于交错级数，只有级数满足Leibniz 定理[4]的两个条件时，才能判断它是收敛的，显然这个方法有一定的局限性。
泰勒公式是高等数学课程中一个功能强大的工具，我们熟知的在近似计算、误差估计、极限计算等方面都有广泛的使用[3]。
用泰勒公式判定级数的敛散性在一些文章已有所提及[5],但这些论证没有深入挖掘它的奇妙之处及具体使用方法。
下面，本文将论证用泰勒公式判定级数的敛散性的方法：：该等式称为按的幂展开的带有拉格朗日型余项的n 。
2.在几类基本初等函数中，幂函数是形式简单，容易确定极限的一类函数，借助泰勒公式可以把各类函数转化为幂函数的问题。
泰勒公式中，参照点取零，展开式各项都是关于的幂函数，余项是当变量趋向零时的无穷小量，这样无论原始级数什么形式都可以通过幂函数的次数判断该项的敛散性。
以下通过三个实例分别说明用泰勒公式判别交错级数、任意项级数、正项级数的敛散性的方法。
级数敛散性总结
摘要级数理论是数学分析的重要组成部分，研究级数对于深入探讨数学分析问题有着深远的意义。
级数理论中最重要的问题和学者研究最多的问题则是关于级数收敛与发散的问题。
级数的收敛与发散性质更是级数存在当中的最基本的立足点。
基于级数发散和收敛的问题，本文对级数进行了比较详细和系统的介绍，并在级数收敛性方面进行了较为详细的概括，包括级数的分类和收敛性的总结和应用。
本文第一个部分首先对常见的级数：常数项级数、正项级数、交错级数、函数项级数、幂级数、傅立叶级数，进行了大概的介绍，并从常见级数的定义、常见级数的分类、级数收敛发散的充要条件和对应级数常用的收敛判别方法进行详细的分析概括。
本文的第二个部分针对具体的级数收敛方法，从方法的定义和方法的具体例子应用两个方面对其进行较为全面的介绍和分析，其中包括：判别级数发散与收敛的简单方法、比较判别法、比值判别法、高斯判别法、达朗贝尔判别法、对数判别法、积分判别法、拉贝判别法、柯西判别法。
最后，本文第三部分通过整理级数散敛性判断的方法，对本文进行一个综合的概括，主要从基于级数类型的方法和基于通项特征的方法两个方面总结了解答收敛性问题的分析思路和如何更快的寻找有效的方法。
关键词：级数敛散性方法AbstractProgression theory is an important part of the mathematical analysis. The study of series is of profound significance for further discussing mathematical analysis problems. Series convergence and divergence problem is the most important question in progression theory that many researchers research on. For the analysis, series convergence and series divergence is of the basic foothold existing in mathematical analysis.Firstly, based on the series convergence and series divergence, this thesis gives a detailed and systematical introduction to series, and a more detailed summary of series convergence, including the classification of series, application of convergence. Firstly, this paper has a general introduction to common series, including constant series, series of positive term, staggered series, series with function terms, power series, fourier series. Besides, the paper has detailed analysis and summary of the definition of common series, the classification of common series, and the sufficient and necessary conditions for the convergence series, together with the commonly used identification methods of corresponding series.And then the second part of this article has a comprehensive introduction and analysis of the method’s definition and specific examples application of the method, including: simple method distinguishing the divergence of a series , comparative method, ratio method, Gauss method, D'Alembert discriminant method, Logarithmic method, integral method, Rabe method, and Cauchy method.Finally, the third part of this paper made a comprehensive summary through sorting out identifying methods of series convergence and divergence. Based on the types of series and the methods of general term characteristics, this paper summarized the analysis mentality and effective ways of solutions to convergence problem.Key words: Series Convergence Mathod第一章引言级数理论是数学分析的重要组成部分，与极限理论有密切的联系，它与另一个分支微积分学一起作为基础知识和工具出现在其余各分支中。
数学毕业论文级数敛散性的判别方法
淮北师范大学信息学院2012 届学士学位论文级数敛散性的判别方法系别:数学系专业:数学与应用数学学号: 20081884083姓名: 赵高指导教师: 陈冬君指导教师职称: 讲师2012年 5 月10 日级数敛散性的判别方法赵高(淮北师范大学信息学院，淮北，235000)摘要级数有很多重要的性质，其中敛散性是级数的一个非常重要的性质，敛散性的判别方法也一直是人们研究的热点.通过判别级数的敛散性进一步了解级数的性质.本文探论了正项级数、交错级数以及任意项级数敛散性的判别方法，正项级数、交错级数、任意项级数通项的多变性,决定了判别正项级数、交错级数、任意项级数敛散性的方法会有多种，主要有达朗贝尔判别法、柯西判别法、莱布尼茨判别法、狄利克雷判别法.当然由于通项的特殊性也会有特殊的方法判别.本文通过归纳一些判别正项级数与交错级数敛散性的方法,让人们在学习过程中对级数敛散性的判别能够很好的把握，并掌握这些判别法成立的条件.关键词：正项级数、交错级数、敛散性、判别法.The Convergence of the Series of Discriminant MethodZhao GaoCollege of Information Technology Huaibei Normal University, Huaibei,235000AbstractThe series has a lot of important properties, which is the series convergence and divergence of a very important properties, criteria for convergence and divergence has been the focus of study. Through judging the convergence of series to further understand the series nature. This article of the series of positive terms, staggered series as well as any series convergence and divergence sexual discriminant method, a series of positive terms, staggered series, series of any general variability, determines the identification of series of positive terms, staggered series, any of the convergence of the series will have a variety of methods, mainly the d'Alembert discriminant method, Cauchy method, Leibniz method, di Like dilichlet discriminance. Of course due to the particularity of the general will also have the special methods of discriminant. This paper summarized some criteria for positive term series and the convergence of alternate series method, let people in the learning process of convergence of series of discriminant can be a very good grasp of, and grasp the discriminant conditions.Key words: Series of positive terms，Alternating series，Convergence and divergence，Discriminant analysis method目录引言 (1)一、级数及其敛散性的有关概念 (1)二、正项级数敛散性的判别方法 (2)1、比式判别法（达朗贝尔判别法） (2)2、根式判别法（柯西判别法） (3)3、拉贝判别法 (4)4、高斯判别法 (5)5、对数判别法 (5)6、隔项比值判别法 (5)7、运用微分中值定理判别级数敛散性 (6)8、利用数列判别级数的敛散性 (6)9、运用等价无穷小替换判别级数的敛散性 (7)三、交错级数敛散性的判别方法 (8)1、利用级数敛散性定义判定 (8)2、莱布尼茨判别法 (9)3、极限判别法 (10)4、添加括号法 (11)5、通项变形法 (12)6、微分形式判别法 (13)7、比值判别法或根值判别法 (14)四、任意项级数敛散性判别法 (15)总结 (16)参考文献 (16)致谢 (17)引言级数是数学的一个重要组成部分，它是表示函数、研究函数的性质以及数值计算的一种工具.对于一个级数，我们首先要讨论其敛散性，然后才讨论其求和问题.本文就级数的敛散性的判别方法作了一些探讨.正项级数和交错级数是整个级数家族中比较重要和特殊的.对其敛散性的判别方法也有别于一般的级数，除适用于一般级数的敛散性判别法外，还有许多专门针对正项级数和交错级数敛散性的判别方法，常见的如达朗贝尔判别法、柯西判别法、拉贝判别法、莱布尼茨判别法、狄利克雷判别法、微分形式判别法等.其实正项级数敛散性的判别方法远不止这些，下面就介绍几种级数敛散性的判别法.一、级数及其敛散性的有关概念定义1 给定数列{n u }：1u ,2u ,,nu则式子=1n n u ∞∑=12n u u u ++++称为无穷级数，简称为级数.定义2 如果级数=1n n u ∞∑满足n u ≥0（n =1，2，）则称=1n n u ∞∑为正项级数.如果级数是正负项交错出现的，即11234=1=+u n n n u u u u ∞---+∑（-1），或11234=1=+u +u n n n u u u ∞---∑（-1）(n u ≥0，n =1,2) 则称为交错级数.由定义，级数表示无穷多个数的和，但不能理解为无穷多个数逐次求和.事实上，这样也做不到.利用数列极限可以表示级数的和，同时给出级数敛散性的定义.定义3 级数=1n n u ∞∑前n 项之和记为S n =12n u u u +++，称为级数=1n n u ∞∑的第n 次部分和. 当n 分别取1,2, ,n ,时，得到级数=1n n u ∞∑的部分和数列{n S }：12,,,,n S S S 如果当n →∞时，n S 的极限存在，即lim =n n S S →∞时，则称级数=1n n u ∞∑是收敛的，且S 称为级数=1nn u∞∑的和，记为S ==1n n u ∞∑;如果当n →∞时，n S 的极限不存在, 即lim n n S →∞不存在，则称级数=1n n u ∞∑是发散的.由定义，只有收敛的级数才有和的问题，发散的级数没有和，或者说发散级数的和不存在.所以有必要研究级数的敛散性.由于正项级数是各项的符号均为正号的级数，它是数项级数中最简单也是最有代表意义的数项级数. 所以它收敛的最基本的判别方法也是从级数的判敛性质中引出，因此本文先讨论正项级数的敛散性. 有了着一方法来判断某些简单的正项级数的敛散性后，以它作为参照，可以判断另外一些稍微复杂的正项级数的敛散性.下面先来介绍正项级数敛散性的判别方法.二、正项级数敛散性的判别方法1、比式判别法（达朗贝尔判别法）定理[]11 设有正项级数=1n n u ∞∑，如果+1lim=n n nu l u →+∞，则（1） 当0≤l <1时，级数收敛； （2） 当1<l ≤+∞时，级数发散； （3） 当l =1时，此法失效. 例1 判断正项级数=12nn n∞∑的敛散性. 解：1121(1)limlim lim lim ()2(1)(1)1n n n n n n n n n n n n n n n n n n en++→+∞→+∞→+∞→+∞+=<==+++<1所以满足定理1中的（1），故正项级数=12nn n∞∑收敛. 例2 判别正项级数=12!n n ∞∑的敛散性. 解：由2!1(1)!lim lim lim 02(1)!1!n n n n n n n n →+∞→+∞→+∞+===++可知满足定理1中的（1），所以正项级数=12!n n ∞∑收敛. 像正项级数 =1x !nn n ∞∑（x>0）、=1!10n n n ∞∑等都可采用此法判断.2、根式判别法（柯西判别法）定理[]12 设有正项级数=1n n u ∞∑，如果n l ，则（1）当0≤l <1时，级数收敛； （2）当1<l ≤+∞时，级数发散； （3）当l =1时，此法失效.例3 研究级数=12+12nnn ∞-∑（）的敛散性. 解：由于12n n →∞=<所以级数2+12nn-∑（）是收敛的. 注：级数=12n n n ∞∑、=1+1nn na n ∞⎛⎫ ⎪⎝⎭∑ (0)a >、-1=1n n n αβ∞∑（α>0,β>0）等都可采用此法判 断.比式判别法与根式判别法都是建立在正项级数比较判别法基础上的，所用的比较级数是收敛速度相对比较快的等比级数.这两种方法虽然更方便，但是它们也只能用于判别那些比等比级数收敛速度更快的级数，而对于那一类比等比级数收敛速度更缓慢的级数，这两种判别法就无能为力了.这两种判别方法是我们用得比较多，因为它们用起来很方便.但是，对于比值判别法与根值判别法存在两点不足：1) 当=1l 时，判别法失效，既有收敛的，也有发散的级. 2) 判别法可能由于 l 根本不存在而失效.3、拉贝判别法定理[]43 （拉贝判别法） 设n u >0 （n =1,2,3）1。