著名的数学公式总结.

同时

主验证

验证此公式，可透过因式分解，首先运用环的原理，设以下公式：

然后代入：

透过因式分解，可得：

这样便可验证：

和立方验证

透过和立方可验证立方和的原理：

那即是只要减去及便可得到立方和，可设：

右边的方程

运用因式分解的方法：

这样便可验证出：

几何验证

图象化

透过绘立体的图像，也可验证立方和。根据右图，设两个立方，总和为：

把两个立方体对角贴在一起，根据虚线，可间接得到：

要得到，可使用的空白位置。该空白位置可分割为3个

部分：

∙

∙

∙

把三个部分加在一起，便得：

之后，把减去它，便得：上公式发现两个数项皆有一个公因子，把它抽出，并得：

可透过

这样便可证明

反验证

透过也可反验证立方和。

以上计算方法亦可简化为一个表格：

这样便可证明

1. 把因式分解

∙把两个数项都转为立方：

∙运用立方和可得：

2. 把因式分解

∙把两个数项都转为立方：

∙运用立方和便可得：

∙但这个并非答案，因为答案仍可被因式分解：

∙亦可使用另一个方法来减省步骤。首先把公因子抽出：

∙直接使用立方和，并得：

立方差

立方差也可以使用立方和来验证，例如：

运用负正得负，可得：

然后运用立方和，可得：

这个方法更可验证到立方差的公式是

平方差

及的排列并不重要，可随意排放。

来验证。先设及。

那即是，同时运用了

若上列公式是的话，就得到以下公式：

以上运用了，也即是两方是相等，就得到：

注：

塞尔伯格迹公式

空间的函数空间上某类算子的，其中而

设为紧致、负常曲率曲面，这类曲面可以表为上半平面对的某

离散子群的商。

考虑上的拉普拉斯算子

由于为紧曲面，该算子有离散谱；换言之，下式定义的

值至多可数

事实上，更可将其由小至大排列：

对应的特征函数，并满足以下周期条

件：

行变元代换

于是特征值可依排列。

塞尔伯格迹公式写作

和式中的取遍所有双曲共轭类。所取函数须满足下述性质：

∙在带状区域上为解析函数，在此为某常数。∙偶性：。

∙满足估计：，在此为某常数。函数是的

。

后续发展

的尖点问题提供了纯粹的代数框架。最后，为紧的情形可藉

处理，然而，一旦取

泰勒公式

称为指数函数在0处的n阶泰勒展开公式。这个公式只对0附近的x有用，x离0越远，这个公式就越不准确。实际函数值和多项式的偏差称为泰勒公式的余项。

对于一般的函数，泰勒公式的系数的选择依赖于函数在一点的各阶导数值。

这个想法的原由可以由微分的定义开始。微分是函数在一点附近的最佳线性

近似：

，其中是

也就是说，或

。

注意到和在a处的零阶导数和一阶导数

都相同。对足够光滑的函数，如果一个多项式在a处的前n次导数值都与函数在a处的前n次导数值重合，那么这个多项式应该能很好地近似描述函数在a附近的情况。以下定理说明这是正确的：

定理：

设n是一个正整数。如果函数f是区间[a, b] 上的n阶连续可微函数，并且在区间[a, b) 上n+1 次可导，那么对于[a, b) 上的任意x，都有：

[2]

其中的多项式称为函数在a处的泰勒展开式，剩余的是泰勒公式的余项，是的高阶无穷小。

的表达形式有若干种，分别以不同的数学家命名。

带有皮亚诺型余项的泰勒公式说明了多项式和函数的接近程度：

也就是说，当x无限趋近a时，余项将会是的高阶无穷小，或者说多项式和函数的误差将远小于[3]。这个结论可以由下面更强的结论推出。

带有拉格朗日型余项的泰勒公式可以视为拉格朗日微分中值定理的推广：

即，其中[4]。

带有积分型余项的泰勒公式可以看做微积分基本定理的推广[5]：

拉格朗日型余项或积分型余项可以帮助估计泰勒展开式和函数在一定区间之内的误差。设函数在区间[a−r, a + r]上n次连续可微并且在区间(a−r, a + r) 上n + 1 次可导。如果存在正实数M n使得区间(a−r, a + r) 里的任意x都

有，那么：

其中。这个上界估计对区间(a−r, a + r) 里的任意x都成

立，是一个一致估计。

如果当n趋向于无穷大时，还有，那么可以推出，

f是区间(a−r, a + r) 上解析函数。f在区间(a−r, a + r) 上任一点的值都等于在这一点的泰勒展开式的极限。

对所有，

其中的α 是多重指标。

其中的余项也满足不等式：

对所有满足|α| = n + 1 的α，

π的莱布尼茨公式

证明

初等证明

考虑如下分解

对于|x| < 1，右侧的分式是余下的几何级数的和。然而，上面的方程并没有包含无穷级数，并且对任何实数x成立。上式两端从0到1积分可得：

当时，除积分项以外的项收敛到莱布尼茨级数。同时，积分项收敛到0：

当

这便证明了莱布尼茨公式。

乘法公式

：。

：。

：。

：。

：。

：。

：。

：。

9.

10. 。

二倍角公式

二倍角公式是数学三角函数中常用的一组公式，通过角的三角函数值的一些变换关系来表示其二倍角的三角函数值，二倍角公式包括正弦二倍角公式、余弦二倍角公式以及正切二倍角公式。二倍角公式均可通过和角公式推出。

此式就是正弦二倍角公式：