高考数学(文)自由复习步步高系列04(解析版)

【课本内容再回顾——查缺补漏】

回顾一：三角函数的图象与性质

1．三角函数定义、同角关系与诱导公式

(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，则sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝y x

.各象限角的三角函数值的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦． (2)同角关系：sin 2α＋cos 2

α＝1，sin αcos α＝tan α.

(3)诱导公式：在

k π

2

＋α，k ∈Z 的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限”．

2．三角函数的图象及常用性质

函数 y ＝sin x y ＝cos x y ＝tan x

图象

单调性

在[－π2＋2k π，π

2＋2k

π](k ∈Z )上单调递增；

在[－π＋2k π，2k π](k ∈Z )上单调递增；在[2k π，π＋2k π](k ∈Z )上单调递减

在(－π2＋k π，

π

2＋k π)(k ∈Z )上单调递增

在[

π2＋2k π，3π2

＋2k π](k ∈Z )上单调递减 对称性

对称中心：(k π，0)(k ∈

Z )；对称轴：x ＝π

2＋k π

(k ∈Z )

对称中心：(π2＋k π，0)(k ∈Z )；对称轴：x ＝k π(k ∈Z )

对称中心：(k π

2，

0)(k ∈Z )

3

回顾二：三角变换与解三角形

1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式

(1)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β. (2)cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β. (3)tan(α±β)＝tan α±tan β

1∓tan αtan β.

2．二倍角的正弦、余弦、正切公式

(1)sin2α＝2sin αcos α.

(2)cos2α＝cos 2

α－sin 2

α＝2cos 2

α－1＝1－2sin 2

α.

(3)tan2α＝2tan α

1－tan 2

α. 3．三角恒等式的证明方法

(1)从等式的一边推导变形到另一边，一般是化繁为简． (2)等式的两边同时变形为同一个式子． (3)将式子变形后再证明． 4．正弦定理

a sin A ＝

b sin B ＝c

sin C

＝2R (2R 为△ABC 外接圆的直径)．

变形：a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C . sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c

2R

.

a ∶

b ∶

c ＝sin A ∶sin B ∶sin C .

5．余弦定理

a 2＝

b 2＋

c 2－2bc cos A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .

推论：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 2

2ac ，

cos C ＝a 2＋b 2－c 2

2ab

.

变形：b 2

＋c 2

－a 2

＝2bc cos A ，a 2

＋c 2

－b 2

＝2ac cos B ，

a 2＋

b 2－

c 2＝2ab cos C .

6．面积公式

S △ABC ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝12

ab sin C .

7．解三角形

(1)已知两角及一边，利用正弦定理求解．

(2)已知两边及一边的对角，利用正弦定理或余弦定理求解，解的情况可能不唯一． (3)已知两边及其夹角，利用余弦定理求解． (4)已知三边，利用余弦定理求解.

回顾三：平面向量

1．平面向量中的五个基本概念

(1)零向量模的大小为0，方向是任意的，它与任意非零向量都共线，记为0.

(2)长度等于1个单位长度的向量叫单位向量，a 的单位向量为a

|a |.

(3)方向相同或相反的向量叫共线向量(平行向量)．

(4)如果直线l 的斜率为k ，则a ＝(1，k )是直线l 的一个方向向量． (5)向量的投影：|b |cos 〈a ，b 〉叫做向量b 在向量a 方向上的投影． 2．平面向量的两个重要定理

(1)向量共线定理：向量a (a ≠0)与b 共线当且仅当存在唯一一个实数λ，使b ＝λa .

(2)平面向量基本定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2，其中e 1，e 2是一组基底． 3．平面向量的两个充要条件

若两个非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则： (1)a ∥b ⇔a ＝λb ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0. (2)a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0. 4．平面向量的三个性质

(1)若a ＝(x ，y )，则|a |＝a ·a ＝x 2

＋y 2

. (2)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 |AB →|＝

x 2－x 1

2

＋y 2－y 1

2

.

(3)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为a 与b 的夹角， 则cos θ＝

a ·

b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2

x 21＋y 21x 22＋y 2

2

. 【热点知识再梳理——胸有成竹】

热点一：三角函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及解析式

【典例】将函数sin 3y x π⎛

⎫

=- ⎪⎝

⎭

的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）

，再将所得的图象向左平移

3

π

个单位，得到的图象对应的解析式是（） A.1sin

2y x = B.1sin 22y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭C.1sin 2

6y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D.sin 26y x π⎛

⎫=- ⎪⎝⎭