算法案例进位制
B1.3.3 算法案例---进位制 教案1
1.3.3 算法案例---进位制教学要求：了解各种进位制与十进制之间转换的规律，会利用各种进位制与十进制之间的联系进行各种进位制之间的转换；学习各种进位制转换成十进制的计算方法，研究十进制转换为各种进位制的除k 去余法，并理解其中的数学规律. 教学重点：各种进位制之间的互化.教学难点：除k 取余法的理解以及各进位制之间转换的程序框图及其程序的设计. 教学过程：一、复习准备：1. 试用秦九韶算法求多项式52()42f x x x =-+当3x =时的值，分析此过程共需多少次乘法运算？多少次加法运算？2. 提问：生活中我们常见的数字都是十进制的，但是并不是生活中的每一种数字都是十进制的.比如时间和角度的单位用六十进位制,电子计算机用的是二进制，旧式的秤是十六进制的，计算一打数值时是12进制的......那么什么是进位制？不同的进位制之间又有什么联系呢？二、讲授新课：1. 教学进位制的概念：① 进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统，“满几进一”就是几进制，几进制的基数就是几. 如：“满十进一”就是十进制，“满二进一”就是二进制 . 同一个数可以用不同的进位制来表示，比如：十进数57，可以用二进制表示为111001，也可以用八进制表示为71、用十六进制表示为39，它们所代表的数值都是一样的. 表示各种进位制数一般在数字右下脚加注来表示，如上例中：(2)(8)(16)1110017139==② 一般地，任意一个k 进制数都可以表示成不同位上数字与基数的幂的乘积之和的形式，即110110()110110...(0,0,...,,)nn n n k n n n n a a a a a k a a a k a k a ka k a k----<<≤<=⨯+⨯+⨯+⨯ . 如：把(2)110011化为十进制数，(110011=1⨯25+1⨯24+0⨯23+0⨯22+1⨯21+1⨯20=32+16+2+1=51.把八进制数(8)7348化为十进制数，321(8)7348783848883816=⨯+⨯+⨯+⨯=. 2. 教学进位制之间的互化：①例1：把二进制数(2)1001101化为十进制数.（学生板书→教师点评→师生共同总结将非十进制转为十进制数的方法） 分析此过程的算法过程，编写过程的程序语言. 见P34 ②练习：将(5)2341、(3)121转化成十进制数.③例2、把89化为二进制数.分析：根据进位制的定义，二进制就是“满二进一”，可以用2连续去除89或所得商，然后取余数. （教师板书）上述方法也可以推广为把十进制化为k 进制数的算法,这种算法成为除k 取余法. ④练习：用除k 取余法将89化为四进制数、六进制数. ⑤例3、把二进制数(2)11011.101化为十进制数. 解：4(2)11011.101121202121212021227.625---=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.（小数也可利用上述方法化进行不同进位制之间的互化. ） 变式：化为八进制→方法：进制互化3. 小结：进位制的定义；进位制之间的互化. 三、巩固练习：1、练习：教材P35第3题四、作业：教材P38第3题。
河北邯郸市第四中学高中数学算法案例-进位制教案 新人教A版必修3
河北邯郸市第四中学高中数学《算法案例-进位制》教案新人教A版必修3一.教学目标(1)知识与技能：学生了解进位制的概念，学会表示进位制数，理解各种进位制与十进制之间转换的规律,会利用各种进位制与十进制之间的联系进行各种进位制之间的转换.(2)过程与方法：学生经历得出各种进位制与十进制之间转换的规律的过程，进一步掌握进位制之间转换的方法.(3)情感态度价值观：学生通过合作完成任务，领悟十进制，二进制的特点,了解计算机的电路与二进制的联系，进一步认识到计算机与数学的联系,培养他们的合作精神和严谨的态度.二.教学重点与难点重点: 各进位制表示数的方法及各进位制之间的转换.难点：“除k取余法”的理解.三.教学方法与手段讲授法、归纳法、讨论法.计算机辅助教学(未能呈现)四.教学过程Ⅰ. 创设情景揭示课题我们常见的数字都是十进制的,但是并不是生活中的每一种数字都是十进制的.你能举出一些实例么?生活中的进位制:如:60进制(在时间上,1小时分成60分钟，1分钟分成60秒；在角度上，1度分成60分，1分分成60秒) 、12进制（月份、生肖、一打）、七进制（一周七天）、16进制（老称一斤为16两，故而有了半斤八两之说）、24进制（节气）等等.那么什么是进位制?不同的进位制之间又有什么联系呢?Ⅱ. 新课讲授一、进位制的概念进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统,约定满二进一，就是二进制；满十进一，就是十进制；满十二进一，就是十二进制；等等，也就是说，“满几进一”就是几进制，几进制的基数就是几.思考1日常生活中，常用的是十进制数，十进制数用哪些数字进行记数？答:0、1、2、3、4、5、6、7、8、9.思考2二进制用的是那些数字？七进制用的是那些数字？答:0、1 ; 0、1、2、3、4、5、6.特别地,十六进制:0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、A、B、C、D、E、F.那么，对于k进制数（k是一个大于1的整数）怎样（以k为基数）记一个数呢？怎样才能分清，不和其它进制数发生混淆呢？二、k进制数的表示对于任何一个数，我们可以用不同的进位制来表示.思考3若k是一个大于1的整数,那么以k为基数的k进制数可以表示为一串数字连写在一起的形式:)(011k n n a a a a -其中,对于011,,,,a a a a n n -有什么要求呢？明确两个要点:(1) 第一个数字(最高位)不能等于0;(2) 每一个数字都必须小于k .即:表示各种进位制数一般在数字右下角标明基数(十进制一般不标明基数).如：)2(111001表示二进制数;)8(71表示八进制.思考4 十进制数3721如何表示成10的幂的乘积之和的形式？也就是说十进制中的3721中的3表示3个千,7表示7个百, 2表示2个十, 1表示1个一.十进制数在计数时，几个数字排成一排，从右起,第一位是个位,个位上的数字是几,就表示几个一, 第二位是十位,因为满十进一，十位上的数字是几,就表示几个十,接着依次是百位,千位,万位,….对于十进制数，比如说：3721，根据它的意义，我们可以把它写成下面的形式：3721=3×103+7×102+ 2×101+1×100 请你模仿上述过程，把二进制数11011（2）改写成上述形式:11011（2）=1×24+1×23+0×22+1×21+1×20 3421（5）=3×53+4×52+2×51+1×50思考5：k 进位制的数可以写成什么样的形式呢？（课本40页探究）若)(011k n n a a a a - 表示一个k 进制的数，请你把它写成各个位上数字与k 的幂的乘积之和的形式.001111)(011k a k a k a k a a a a a n n n n k n n ⨯+⨯++⨯+⨯=---上面这个改写过程，就是把k 进制的数转化为十进制数的方法，只要写成各个位上数字与k 的幂的乘积之和的形式，就完成了转换.题型二： 十进制数转化为k 进制数例2 把89转化为二进制数.解：因为二进制数要满足“满二进一”的原则, 所以第一步,用2去除89，得到它的商与余数.第二步,用上一步的商去除以2，得到它的商与余数,继续执行第二步，直到商为0为止.89=2×44+144=2×22+022=2×11+011=2×5+15=2×2+12=2×1+01=2×0+1所以,89=2×(2×(2×(2×(2×2+1)+1)+0)+0)+1= ……=1×26+0×25+1×24+1×23+0×22+0×21+1×20=1011001(2)这种算法叫做除2取余法,还可以用下面的除法算式表示:最后把所有的余数倒着写一遍，得到89=1011001(2).这种方法可以推广到：把十进制数化为k进制数的算法，称为“除k取余法”.注意：我们将十进制数转换为二进制数的时候，希望将十进制数写成基数2的幂的乘积之和的形式。
算法案例--进位制精品文档40页
例、 把89化为二进制数
解：根据“逢二进一”的原则，有
89＝2×44＋1
89＝2×44＋1
44＝ 2×22＋0 22＝ 2×11＋0 11＝ 2× 5＋1 5＝ 2× 2＋1
＝ 2× (2×22＋0)+1 ＝ 2×( 2×( 2×11＋0)+0)+1 ＝ 2× (2× (2× (2× 5＋1)+0)+0)+1
＝ 2× (2× (2× (2× (2× 2＋1)+1)+0)+0)+1
所以89＝2×（2×（2×（2×（2 × 2 ＋1）＋1）＋0）＋0）＋1
＝2×（2×（2×（2×（22＋1）＋1）＋0）＋0）＋1 ＝2×（2×（2×（23＋2＋1）＋0）＋0）＋1 ＝2×（2×（24＋22＋2＋0）＋0）＋1 ＝2×（25＋23+22＋0＋0）＋1 ＝26＋24+23＋0＋0＋20
其它进位制的数又是如何的呢？
探究：P43
若 a n a n 1 L a 1 a 0 ( k ) 表 示 一 个 k 进 制 数 ， 请 你 把 它 写 成 各 位 上 数 字 与 k 的 幂 的 乘 积 之 和 的 形 式 。
anan1La1a0(k) anknan1kn1La1k1a0k0(10)
三、二进制与十进制的转换
1、二进制数转化为十进制数
例1：将二进制数110011(2)化成十进制数。 解：根据进位制的定义可知
11 ( 2 ) 1 0 2 5 1 0 2 4 0 1 2 3 1 0 2 2 1 2 1 1 2 0
1 3 1 2 1 1 6 2 1
其它进制数化成十进制数公式
1.3.3算法案例-进位制
同理: 3421(5)=3×53+4×52+2×51+1×50.
C7A16(16)=12×164+7×163+10×162
+1×161+6×160.
二、二进制 二进制的表示方法 二进制是用0、1两个数字来描述的．如11001 区分的写法：11001（2）
算法案例
(第三课时)
一、三维目标 （a）知识与技能
了解各种进位制与十进制之间转换的规律，会利 用各种进位制与十进制之间的联系进行各种进位制之 间的转换。 （b）过程与方法
学习各种进位制转换成十进制的计算方法，研究 十进制转换为各种进位制的除k去余法，并理解其中的 数学规律。 （c）情感态度与价值观
注意:为了区分不同的进位制,常在数字 的右下脚标明基数,.
如111001(2)表示二进制数,34(5)表示5进制数.
十进制数一般不标注基数.
十进制数3721中的3表示3个千,7表示7个百,2 表示2个十,1表示1个一,从而它可以写成下面 的形式:
3721=3×103+7×102+2×101+1×100. 想一想二进制数1011(2)可以类似的写成什么 形式?
八进制呢？ 如7342(8) k进制呢？ anan-1an-2…a1 (k)？
k进制 一般地,若k是一个大于1的整数,那么以k为基
数的k进制数可以表示为一串数字连写在一起的形 式 anan-1…a1a0(k) (0<an<k,0≤an-1,…,a1,a0<k)
意思是:(1)第一个数字an不能等于0; (2)每一个数字an,an-1,…,a1,a0都须小于k.
案例3进位制-公开课
变式训练1： k进制的数132（k）与十进制30相等，那
么k的值为 4
【解析】将k进制数化为十进制数为： 1×k2+3×k1+2×k0=30 即k2+3k-28=0, ∴k=4或k=-7(舍去)
变式训练2：
下列四个数中，数值最小的是（ C ）
（A）25（10） （B）111（10） （C）10100（2） （D）10111（2）
1.最后一步商为0，
2.各步所得的余数从下到上排列
比如:把89化为五进制的数.
解:以5作为除数,相应的除法算式为:
5 89 余数
5 17
4
53
2
0
3
∴ 89=324(5). 总结十进制数转化为k进制数的方法：
用K进制数的基数k去除十进制数，再用k去
除所得的商，反复进行，直到商为0，把每次
相除所得的余数取出即可，即为除k取余法
十进制数3721中的3表示3个千,7表示7个百,2表 示2个十,1表示1个一,从而它可以写成下面的形式:
3721=3×103+7×102+2×101+1×100.
想一想：二进制数1011(2)可以类似的写成什么形式?
1011(2)=1×23+0×22+1×21+1×20. 同理: 3421(5)=3×53+4×52+2×51+1×50.
例如133，它可用一个多项式来表示：
133=1×102+3×101+3×100
式中1处在百位，第一个3处在十位， 第二个3处在个位。十进制数是逢十进一
其它进制：
实际上，十进制数只是计数法中的一种，但它不是唯一 记数法。除了十进制数，生产生活中还会遇到非十进制的 记数制。二进制、七进制、八进制、十二进制、六十进制……
数学必修ⅲ人教新课标1.3算法案例-进位制课件解读
1.3.3
《算法案例-进位制》
• 了解各种进位制与十进制之间转换的规律，会 教学目标 利用各种进位制与十进制之间的联系进行各种 进位制之间的转换. • 教学重点 ： 各进位制表示数的方法及各进位制之间的 转换 。
一、K进位制数的表示
进位制是人们为了计数和运算方便而约定的计数 系统。
例6 把89化为五进制数
பைடு நூலகம்89=324（5）
练习：课本P45
3
四、K1进制数与K2进制数之间的转化
先由K1进制数转化为十进制数 再由十进制数转化为K2进制数
练习：课本P48
3（2）（4）
一、进位制
小结
anan1 a1a0(k ) (0 an k,0 an1, , a1, a0 k ).
为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数， 十进制一般不标注基数.
例如十进制的133.59，写成133.59(10)
七进制的13，写成13(7)；二进制的10，写成10(2)
一般地，若k是一个大于1的整数，那么以k
为基数的k进制可以表示为一串数字连写在一起
的形式：
anan1 a1a0(k ) (0 an k,0 an1, , a1, a0 k ).
=51
练习：课本P48
3（1）（3）
三、十进制数化为K进制数：除以K取余，倒序读数
例5 把89化为二进制数。
解：
余数
把上式各步所得的余数
从下到上排列，
得到89=1011001（2）
除2取余法
2 89 2 44 2 22 2 11 2 5 2 2 21 0
1 0 0 1 1 0 1
可以推广为把十进制数化为k进制数的算 法，称为除以k取余,倒序读数。
算法案例3--进位制
高二数学必修3导学案八必修3§1.3.1 算法案例3——进位制班级 姓名【学习目标】1. 掌握用“除k 取余法”将十进制转化成k 进制。
2. 发展学生有条理的思维能力。
【重点难点】学习重点： 十进制转化成k 进制的算法“除k 取余法”。
学习难点： 十进制转化成k 进制的算法步骤。
【学习过程】【课前导学与探究】1．进位制的概念：进位制是人们为了计数和运算方便而约定的计数系统．“满k 进一”就是 ， k 进制的基数是 ．可使用数字符号的个数称为基数.基数都是大于1的整数.如,二进制可使用的数字有0和1,基数是2; 十进制可使用的数字有 , , ,…, , 等十个数字,基数是 ;十六进制可使用的数字或符号有0～9等10个数字以及A ～F 等6个字母(规定字母A ～F 对应10～15),十六进制的基数是16.注意:为了区分不同的进位制,常在数字的右下脚标明基数. (十进制数一般不标注基数) 如, 111001(2)表示 进制数, 34(5)表示 进制数2．将k 进制数化为十进制数：十进制数3721中的3表示3个千,7表示 ,2表示 ,1表示 ,从而它可以写成下面的形式:想一想:二进制数:五进制数:(5)3421=+++十六进制数: (16)716C A =++++一般地,若k 是一个大于1的整数,z 则以k 为基数的k 进制数可以表示为一串数字连写在一起的形式:110()(0,0)n n i n k a a a a a k a -≤<≠=将k 进制数化为十进制数的方法是：先把k 进制数写成 的形式，再 ．试一试：将下列各进制数化为十进制数.（1）)4(10303 ； （2）)5(1234.3． 将十进制数化为k 进制数：将十进制数化为k 进制数的方法是： ,即 ，直到商为零为止，然后 ，就是相应的k 进制数．参考教材，用除k 取余法将119转化成六进制数得 119=【精讲点拨】 例1. 将(5)2341, (3)121,(2)110101转化成十进制数.变式:1. 10212)3(=＿＿＿)10( 2376)8(=＿＿＿)10( 2541)6(=＿)10(2. 以下各数可能是五进制的是 （ ）A 55B 106C 732D 2134。
人教版高中数学必修三 算法案例(进位制)优质教案
第3课时案例3 进位制（一）导入新课情境导入在日常生活中，我们最熟悉、最常用的是十进制，据说这与古人曾以手指计数有关，爱好天文学的古人也曾经采用七进制、十二进制、六十进制，至今我们仍然使用一周七天、一年十二个月、一小时六十分的历法.今天我们来学习一下进位制.（二）推进新课、新知探究、提出问题（1）你都了解哪些进位制？（2）举出常见的进位制.（3）思考非十进制数转换为十进制数的转化方法.（4）思考十进制数转换成非十进制数及非十进制之间的转换方法.活动：先让学生思考或讨论后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路．讨论结果：（1）进位制是人们为了计数和运算方便而约定的计数系统，约定满二进一，就是二进制；满十进一，就是十进制；满十二进一，就是十二进制；满六十进一，就是六十进制等等.也就是说：“满几进一”就是几进制，几进制的基数（都是大于1的整数）就是几.（2）在日常生活中，我们最熟悉、最常用的是十进制，据说这与古人曾以手指计数有关，爱好天文学的古人也曾经采用七进制、十二进制、六十进制，至今我们仍然使用一周七天、一年十二个月、一小时六十分的历法.（3）十进制使用0~9十个数字.计数时，几个数字排成一行，从右起，第一位是个位，个位上的数字是几，就表示几个一；第二位是十位，十位上的数字是几，就表示几个十；接着依次是百位、千位、万位……例如：十进制数3 721中的3表示3个千，7表示7个百，2表示2个十，1表示1个一.于是，我们得到下面的式子：3 721=3×103+7×102+2×101+1×100.与十进制类似，其他的进位制也可以按照位置原则计数.由于每一种进位制的基数不同，所用的数字个数也不同.如二进制用0和1两个数字，七进制用0~6七个数字.一般地，若k是一个大于1的整数，那么以k为基数的k进制数可以表示为一串数字连写在一起的形式a n a n-1…a1a0（k）（0＜a n＜k，0≤a n-1，…，a1，a0＜k).其他进位制的数也可以表示成不同位上数字与基数的幂的乘积之和的形式，如110 011（2）=1×25+1×24+0×23+0×22+1×21+1×20，7 342（8）=7×83+3×82+4×81+2×80.非十进制数转换为十进制数比较简单，只要计算下面的式子值即可：a n a n-1…a1a0(k)=a n×k n+a n-1×k n-1+…+a1×k+a0.第一步：从左到右依次取出k进制数a n a n-1…a1a0(k)各位上的数字，乘以相应的k的幂，k的幂从n开始取值，每次递减1，递减到0，即a n×k n,a n-1×k n-1,…,a1×k,a0×k0；第二步：把所得到的乘积加起来，所得的结果就是相应的十进制数.（4）关于进位制的转换，教科书上以十进制和二进制之间的转换为例讲解，并推广到十进制和其他进制之间的转换.这样做的原因是，计算机是以二进制的形式进行存储和计算数据的，而一般我们传输给计算机的数据是十进制数据，因此计算机必须先将十进制数转换为二进制数，再处理，显然运算后首次得到的结果为二进制数，同时计算机又把运算结果由二进制数转换成十进制数输出.1°十进制数转换成非十进制数把十进制数转换为二进制数，教科书上提供了“除2取余法”，我们可以类比得到十进制数转换成k进制数的算法“除k取余法”.2°非十进制之间的转换一个自然的想法是利用十进制作为桥梁.教科书上提供了一个二进制数据与16进制数据之间的互化的方法，也就是先由二进制数转化为十进制数，再由十进制数转化成为16进制数.（三）应用示例思路1例1 把二进制数110 011(2)化为十进制数.解：110 011(2)=1×25+1×24+0×23+0×22+1×21+1×20=1×32+1×16+1×2+1=51.点评：先把二进制数写成不同位上数字与2的幂的乘积之和的形式，再按照十进制的运算规则计算出结果.变式训练设计一个算法，把k进制数a（共有n位）化为十进制数b.算法分析：从例1的计算过程可以看出，计算k进制数a的右数第i位数字a i与k i-1的乘积a i·k i-1，再将其累加，这是一个重复操作的步骤.所以，可以用循环结构来构造算法.算法步骤如下：第一步，输入a，k和n的值.第二步，将b的值初始化为0，i的值初始化为1.第三步，b=b+a i·k i-1，i=i+1.第四步，判断i＞n是否成立.若是，则执行第五步；否则，返回第三步.第五步，输出b的值.程序框图如下图：程序：INPUT “a,k，n=”；a，k，nb=0i=1t=a MOD 10DOb=b+t*k^（i-1）a=a\\10t=a MOD 10i=i+1LOOP UNTIL i＞nPRINT bEND例2 把89化为二进制数.解：根据二进制数“满二进一”的原则，可以用2连续去除89或所得商，然后取余数.具体计算方法如下：因为89=2×44+1，44=2×22+0，22=2×11+0，11=2×5+1，5=2×2+1，2=2×1+0，1=2×0+1，所以89=2×（2×（2×（2×（2×2+1）+1）+0）+0）+1=2×（2×（2×（2×（22+1）+1）+0）+0）+1=…=1×26+0×25+1×24+1×23+0×22+0×21+1×20=1 011 001(2).这种算法叫做除2取余法，还可以用下面的除法算式表示：把上式中各步所得的余数从下到上排列，得到89=1 011 001(2).上述方法也可以推广为把十进制数化为k进制数的算法，称为除k取余法.变式训练设计一个程序，实现“除k取余法”.算法分析：从例2的计算过程可以看出如下的规律：若十制数a除以k所得商是q0，余数是r0，即a=k·q0+r0，则r0是a的k进制数的右数第1位数.若q0除以k所得的商是q1，余数是r1，即q0=k·q1+r1，则r1是a的k进制数的左数第2位数.……若q n-1除以k所得的商是0，余数是r n，即q n-1=r n，则r n是a的k进制数的左数第1位数.这样，我们可以得到算法步骤如下：第一步，给定十进制正整数a和转化后的数的基数k.第二步，求出a除以k所得的商q，余数r.第三步，把得到的余数依次从右到左排列.第四步，若q≠0，则a=q，返回第二步；否则，输出全部余数r排列得到的k进制数.程序框图如下图：程序：INPUT “a，k=”；a，kb=0i=0DOq=a\\kr=a MOD kb=b+r*10^ii=i+1a=qLOOP UNTIL q=0PRINT bEND思路2例1 将8进制数314 706(8)化为十进制数，并编写出一个实现算法的程序.解：314 706(8)=3×85+1×84+4×83+7×82+0×81+6×80=104 902.所以，化为十进制数是104 902.点评：利用把k进制数转化为十进制数的一般方法就可以把8进制数314 706(8)化为十进制数.例2 把十进制数89化为三进制数，并写出程序语句.解：具体的计算方法如下：89=3×29+2，29=3×9+2，9=3×3+0，3=3×1+0，1=3×0+1，所以:89(10)=10 022(3).点评：根据三进制数满三进一的原则，可以用3连续去除89及其所得的商，然后按倒序的顺序取出余数组成数据即可.（四）知能训练将十进制数34转化为二进制数．分析：把一个十进制数转换成二进制数，用2反复去除这个十进制数，直到商为0，所得余数（从下往上读）就是所求．解：即34(10)=100 010(2)（五）拓展提升把1 234(5)分别转化为十进制数和八进制数．解：1 234(5)=1×53+2×52+3×5+4＝194．则1 234(5)=302(8)所以，1 234(5)=194＝302(8)点评：本题主要考查进位制以及不同进位制数的互化．五进制数直接利用公式就可以转化为十进制数；五进制数和八进制数之间需要借助于十进制数来转化．（六）课堂小结（1）理解算法与进位制的关系.（2）熟练掌握各种进位制之间转化.（七）作业习题1.3A组3、4.。