1.3中国古代数学中的算法案例
1.3算法案例-秦九韶算法教学设计
1.3算法案例(二)__秦九韶算法一、内容及其解析本节的教学内容是算法案例中的秦九韶算法，它是求一元多项式的值的一种方法.在初中，学生已经学习了多项式的有关知识，那里是把多项式看作代数式.因此在本段内容的教学之前，应当先向学生说明，这里是函数的观点考察多项式，因此，求自变量取某个实数时的函数值问题，即求多项式的值就是一个常规问题.二、教学目标及其解析目标定位知识与技能:了解秦九韶算法的计算过程，并理解利用秦九韶算法可以减少计算次数提高计算效率的实质.过程与方法:模仿秦九韶计算方法，体会古人计算构思的巧妙.了解数学计算转换为计算机计算的途径，从而探究计算机算法与数学算法的区别，体会计算机对数学学习的辅助作用.情感态度与价值观目标:通过对秦九韶算法的学习，了解中国古代数学对世界数学发展的贡献，充分认识到我国文化历史的悠久.目标解析1 秦九韶算法是我国南宋数学家秦九韶在他的代表作《数书九章》中提出的一种用于计算一元n 次多项式的值的方法.三、问题诊断分析在本节主要存在的问题是学生不能对秦九韶算法的先进性及其程序设计的理解，所以教师要强调当多项式的次数增大时，此种方法的先进性就体现出来了，所以教师要找到规律，让学生体会此种解法的先进性.四、教学支持条件分析的一般模式在本节课的教学中准备使用多媒体辅助教学.五、教学过程设计问题一 什么事了解秦九韶算法？小问题1 怎样求多项式1)(2345+++++=x x x x x x f 当x=5时的值呢？(设计意图：通过具体的例子引入秦九韶算法.)结论：第一种一共用了10次乘法运算，5次加法运算.而第二种一共用了5次乘法运算，5次加法运算.小问题2 用秦九韶算法求n 次多项式0111...)(a x a x a x a x f n n n n ++++=--当0x x =（0x 是任意实数）时的值，需要多少次乘法运算，多少次加法运算？小问题 3 如何用秦九韶算法完成一般多项式1110()n n n n f x a x a x a x a --=++++的求值问题？要求多项式的值，我们可以把它改写成：11101210()(()))n n n n n n n f x a x a x a x a a x a x a x a x a ----=++++=+++++.首先计算最内层括号内一次多项式的值，即11n n v a x a -=+，然后由内向外逐层计算一次多项式的值，即212n v v x a -=+，323n v v x a -=+，，10n n v v x a -=+.例题1 （课本第38页例2）(设计意图：从实例到一般，先总结实例进而引申到一般) 变式巩固 用秦九韶算法求多项式1432)(2367+-+-=x x x x x f 当x=2时的函数值.小问题4 你是怎么理解秦九韶算法的？结论：秦九韶算法将求n 次多项式的值转化为求n 个一次多项式的值.课堂小结(提问方式)秦九韶算法计算多项式的值及程序设计上述的整个过程只需n 次乘法运算和n 次加法运算；观察上述n 个一次式，可发出k v 的计算要用到1k v -的值，若令0n v a =，可得到下列递推公式：01,(1,2,,)n k k n k v a v v x a k n --=⎧⎨=+=⎩. 这是一个反复执行的步骤，因此可用循环结构来实现.【程序框图】：六 目标检测1、利用秦九韶算法求多项式1153723+-+x x x 在23=x 的值时，在运算中下列哪个值用不到（ ）A 、164B 、3767C 、86652D 、851692、利用秦九韶算法求多项式1352.75.38123)(23456-++-++=x x x x x x x f 在2=x 的值，写出详细步骤.七 配餐作业A 组②秦九韶算法计算多项式f(x)=12+35x-8x 2+79x 3+6x 4+5x 5+3x 6，当x=-4时的值时，υ3的值为（ ）A ．-845B ．220C ．-57D ．34③用秦九韶算法，求当x=2时，f(x)=x 5-5x 4+x 3-1的函数值.B 组1．秦九韶算法与直接计算相比较，下列说法错误的是（ ）A 、秦九韶算法与直接计算相比较，大大减少了乘法的次数，使计算量减少，并且逻辑结构简单.B 、秦九韶算法减少了做乘法的次数，在计算机上也就加快了计算的速度.C 、秦九韶算法减少了做乘法的次数，在计算机上也就降低了计算的速度.D 、秦九韶算法避免对自变量x 单独做幂的计算，而是与系数一起逐次增长幂次，从而可提高计算的精度.2.用秦九韶算法和直接算法求当0x x =时()654323126016024019264f x x x x x x x =-+-+-+的值,做的乘法次数分别为( )A.6,20B.7,20C.7,21D.6,21C 组求15.033.016.041.083.0)(2345+++++=x x x x x x f 当x=5时的值.八、教学反思1、学生还是不会分析运算次数的问题，应该给学生详细讲解.2、学生在多项式 11101210()(()))n n n n n n n f x a x a x a x a a x a x a x a x a ----=++++=+++++按照秦九韶算法写成标准形式是容易出错，且速度很慢，应教会学生快速的写法及检验方法.3、应多给学生介绍一些有关秦九韶算法的背景知识，这样更能吸引学生的注意力和学习兴趣，另外介绍历史名人的大致成就，扩大学生的文化视野.。
【数学】1.3《算法案例》教案(新人教A版必修3)
1.3算法案例（1）教学目标（a）知识与技能1.理解辗转相除法与更相减损术中蕴含的数学原理，并能根据这些原理进行算法分析。
2.基本能根据算法语句与程序框图的知识设计完整的程序框图并写出算法程序。
（b）过程与方法在辗转相除法与更相减损术求最大公约数的学习过程中对比我们常见的约分求公因式的方法，比较它们在算法上的区别，并从程序的学习中体会数学的严谨，领会数学算法计算机处理的结合方式，初步掌握把数学算法转化成计算机语言的一般步骤。
（c）情态与价值1.通过阅读中国古代数学中的算法案例，体会中国古代数学对世界数学发展的贡献。
2.在学习古代数学家解决数学问题的方法的过程中培养严谨的逻辑思维能力，在利用算法解决数学问题的过程中培养理性的精神和动手实践的能力。
（2）教学重难点重点：理解辗转相除法与更相减损术求最大公约数的方法。
难点：把辗转相除法与更相减损术的方法转换成程序框图与程序语言。
（3）学法与教学用具学法：在理解最大公约数的基础上去发现辗转相除法与更相减损术中的数学规律，并能模仿已经学过的程序框图与算法语句设计出辗转相除法与更相减损术的程序框图与算法程序。
教学用具：电脑，计算器，图形计算器（4）教学设想（一）创设情景，揭示课题1.教师首先提出问题：在初中，我们已经学过求最大公约数的知识，你能求出18与30的公约数吗？2.接着教师进一步提出问题，我们都是利用找公约数的方法来求最大公约数，如果公约数比较大而且根据我们的观察又不能得到一些公约数，我们又应该怎样求它们的最大公约数？比如求8251与6105的最大公约数？这就是我们这一堂课所要探讨的内容。
（二）研探新知1.辗转相除法例1 求两个正数8251和6105的最大公约数。
（分析：8251与6105两数都比较大，而且没有明显的公约数，如能把它们都变小一点，根据已有的知识即可求出最大公约数）解：8251＝6105×1＋2146显然8251的最大公约数也必是2146的约数，同样6105与2146的公约数也必是8251的约数，所以8251与6105的最大公约数也是6105与2146的最大公约数。
1.3 中国古代数学中的算法案例
张喜林制1.3 中国古代数学中的算法案例教材知识检索考点知识清单1．等值算法在我国古代也称为 ，它是用来求 的方法． 2．割圆术是我国魏晋时期的数学家____在注《九章算术》中采用一____的算法计算圆周率π 的一种方法． 3．秦九韶算法是我国南宋数学家____提出的一种用于 的方法．要点核心解读1．求两个正整数最大公约数的算法 (1)辗转相除法，①辗转相除法的理论基础．已知m ，n ，r 为正整数，若)0(n r r nq m <≤+=（即=r ),mod n m 则).,(),(r n n m =其中(m ，n)表示m 和n 的最大公约数．事实上，由r nq m +=知n 和r 的公约数都是m 和n 的公约数；由nq m r -=知m 和n 的公约数都是n,和r 的公约数，故m 和n 的公约数与n 和r 的公约数都相同，其最大公约数也相同.②辗转相除法的步骤．用辗转相除法求两个正整数的最大公约数，其算法可以用自然语言描述如下： 第一步：给定两个正整数m ，n ；第二步：计算m 除以n,所得的余数r ；第三步：,,r n n m ==第四步：若,0=r 则m ，n 的最大公约数等于n ；否则，返回第二步.从其算法思想我们可以看出，辗转相除法的基本步骤是用较大的数（用a 表示）除以较小的数（用b 来表示），得到除式：).0(b r r nb a <≤+=由于这是一个反复执行的步骤，且执行的次数由余数r 是否等于0决定，所以我们可以把它看做一个循环体，用循环结构就可以来实现其算法．[例] 求两个正数a ，b （a>b ）的最大公约数． [解析] 算法：Sl 输入两个正整数a ，b （a>b ）；S2 如果,0),mod(=/=b a r 执行S3 ,否则转到S4；S3 把a÷b 的余数赋予r ，把b 赋予a ，把r 赋予b ，重新执行S2； S4 输出最大公约数b ．程序框图如图1-3 -1所示，根据框图程序如下：);(”“==a input a );(”“==b input b,1=r 01=/er whi);,mod(b a r = ;b a = ,r b = end);),2((%b io nt np 说明：),mod(b a r =的含义是r 为a 除以b 的余数．(2)更相减损之术（“等值算法”）．步骤：我们以求119和85这两个数的最大公约数加以说明：以两数中较大的数减去较小的数，即,3485119=-以差数34和较小的数85构成新的一对数，对这一对数再用大数减去小数，即,513485=- 再以差数51和34构成新的一对数，大数减去小数，这样的操作一直做下去，直到产生一对相等的数，这 个数就是最大公约数，整个操作如下：),17,17()17,34()51,34()85,34()85,119(→→→→∴ 119与85的最大公约数为17．从其算法思想我们可以看出，更相减损之术的基本步骤是用较大的数（用a 表示）减去较小的数（用b 表示），得到式：r b a r <-=为差数）．由于这是一个反复执行的步骤，且执行的次数由差数与较小的数是否相等决定，所以我们可以把它看做一个循环体，用循环结构就可以实现其算法． (3)说明.辗转相除法的理论依据是：由nb a r r nb a -=→+=得a ，b 与b ，r 有相同的公约数；更相减损之术的理论依据是：由=-b a ,r b a r +=→得a ，b 与b ，r 有相同的公约数，从而，它们有相同的理论依据．辗转相除法与更相减损之术的区别与联系，联系：辗转相除法与更相减损之术都是求最大公约数的方法．区别：①计算上辗转相除法以除法为主，更相减损之术以减法为主．②在计算次数上，辗转相除法计算次数相对较少，特别当两个数大小差别较大时，计算次数的区别较明显．③从结果输出的时候看，辗转相除法当余数为O 时输出除数，更相减损之术当差和减数相等时输出差． 2．割圆术(1)割圆术的过程与原理分析．我们先对单位圆内接正六边形、正十二边形、正二十四边形……的面积之间的关系进行分析，找出它们之间的递增规律如图1-3 -2所示，假设圆的半径为l ，面积为 s ，圆内接正n 边形面积为,n s 边长为,n x 边心距为⋅n h根据勾股定理，=n h .)2(12n x - 正2n 边形的面积为正n 边形的面积n s 再加上n 个等腰三角形(ADB)的面积和，即⋅-⋅+=)1(21.2n n n n h x n s S ①正2n 边形的边长为.)1()2(222n n n h x x -+=刘徽割圆术还注意到，如果在内接正n 边形的每一边上，作一高为CD 的矩形，就可得到⋅-+<<)(222n n n n s s s S S ②这样，我们就不仅可计算出圆周率的不足近似值，还可计算出圆周率的过剩近似值．从正六边形的面积开始计算，即,6=n 则正六边形的面积⋅⨯=4366s 用上面的公式①重复计算，就可得到正十二边形、正二十四边形……的面积．由于圆的半径为1，所以随着n 的增大，n S 2的值不断趋近于圆周率，这样不断计算下去，就可以得到越来越精密的圆周率近似值．显然割圆术中公式①要重复计算，故可采用循环结构设计算法，用循环语句写出程序． (2)割圆术求圆周率近似值的程序举例，求π的不足近似值的程序如下：3．秦九韶算法对于任意一元n 次多项式，秦九韶算法的步骤是：首先将多项式改写为0111)(a x a x a x a x P n n n n ++++=--01211)(a x a x a x a n n n n ++++=--- 012312))((a x a x a x a x a n n n n ++++=--- ⋅+++++=--0121)))(((a x a x a x a x a n n n令,))(()1(1k n k n n n k a x a x a x a v ----++++= 则递推公式为：⎩⎨⎧+==--,,10kn k k n a x v v a v 其中n k ,,2,1 =所谓递推，就是在一系列数中已知第一个数，则其后的每一个数都可由前面的数求出．根据上面的递推公式，我们可由0v 依次求出所有的⋅.k v,101-+=n a x v v,212.-+=n a x v v ,323-+=n a x v v……,1k n k k a x v v --+=……⋅+=-01a x v v n n在上述公式中，k n k k a x v v --+=1是反复执行的，因此可用循环结构实现． 程序框图如图1-3 -3所示程序：);(00”“==X input X);(”“==ninputn);(0”“==ainputa);1(1”“==ainputa……);(”“==aninputan;1=i,anv=ni ewhi<=.1);(*inaXvV-+=;1+=iiend);),2((%viontn p说明：对于一元n次多项式使用秦九韶算法仅需乘法n次，加法n次；而用直接求和法需乘法次数为2)1(+nn次，加法次数为n次．典例分类剖析考点1 求两个正整数的最大公约数[例1] (1)用“等值算法”（更相减损之术）求下列两数的最大公约数：①225，135；②98，280；③72，168；④153，119.(2)用辗转相除法验证上例中两数的最大公约数是否正确．[答案],45()45,90()135,90)135,225()1(→→→<①∴),45最大公约数为45；），（），（），（），（②1414142814421456)14,70()14,84()84,98()98,182()280,98(→→→→→→→→∴ 最大公约数为14；),24,24()24,48()24,72()96,72()168,72(→→→→③∴最大公约数为24；,17)17,34()51,34()85,34()119,34()119,153(→<→→→→④∴),17最大公约数为17. ,024590,45190135,901135225)2(+⨯=+⨯=+⨯=①∴最大公约数为45； ∴+⨯=+⨯=+⨯=,061484,1418498,84298280②最大公约数为14； ∴+⨯=+⨯=,032472,24272168③最大公约数为24；∴+⨯=+⨯=+⨯=,021734,17334119,341119153④最大公约数为17.[点拨] 由本例可知，用辗转相除法求最大公约数步骤较少，而更相减损之术虽然有些步骤较多，但运算简单．[例2] 求324，243，270三个数的最大公约数．[答案] 欲求三个数的最大公约数，可先求两个数的最大公约数a ，然后求a 与第三个数的最大公约数b ，则b 为所求的三个数的最大公约数.,811243324+⨯= ,0381243+⨯=则324与243的最大公约数为.81=a 又,032781,27381270+⨯=+⨯=则324，243，270的最大公约数为27.[点拨] 该题解法可推广到求n 个数的最大公约数．1．(1)用辗转相除法求80和36的最大公约数，并用更相减损之术检验所得结果； (2)用更相减损之术求161和253的最大公约数； (3)求375，85的最小公倍数， 考点2秦九韶算法[例3] 已知一个一元五次多项式为++=4525)(x x x f ,8.07.16.25.323-+-x x x 用秦九韶算法求当5=x 时这个多项式的值．[答案] 可根据秦九韶算法原理，先将所给的多项式进行改写，然后由内向外逐次计算即可．8.07.16.25.325)(2345-+-++=x x x x x x f,8.0)7.1)6.2)5.3)25((((-+-++=x x x x x,27255=+⨯=l v ,5.815.352732=+⨯=v ,9.6896.255.1383=-⨯=v ,2.34517.159.6894=+⨯=v.2.172558.052.34515=-⨯=v所以，当5=x 时，多项式的值等于17255.2．[点拨] 利用秦九韶算法计算多项式的值，关键是能正确地将所给多项式改写，然后由内向外逐次计算，由于下一次计算需用到上一次的结果，故应认真、细心，确保中间结果的准确性．[例4] 已知,1)(235++++=x x x x x f 求)3(f 的值．[答案]=+++++=)3(,1)1)1)1)0(((()(f x x x x x x f )13)13)03(((+⨯+⨯+<.28313)13=+⨯+⨯ 算法过程：+⨯==+⨯==+⨯==+⨯==+⨯=394941331,311310,10133,303154321v v v v v ，.2831+[点拨] 当多项式函数中间出现空项时，利用秦九韶算法求函数值，空项要补上系数为0的相应项，例如本题中的40x 这一项．当然当一个多项式函数空项很多时，用一般的计算方法可能更简单一些，如对于,52)(26+-=x x x f 要求)2(f 的值，就没有必要再利用秦九韶算法了，直接计算即可．2．(1)用秦九韶算法求多项式+=77)(x x f x x x x x x +++++2345623456当3=x 时的值．(2)用秦九韶算法求多项式12358)(467++++=x x x x x f 当2=x 时的值，优化分层测训学业水平测试1．当今世界上求多项式值的最先进的算法是( )A ．割圆术B ．更相减损之术C ．秦九韶算法D ．孙子剩余定理 2．有关辗转相除法下列说法正确的是( )．A ．它和更相减损之术一样，是求多项式值的一种方法B ．基本步骤是用较大的数m 除以较小的数n 得到除式,r nq m +=直至n r <为止C ．基本步骤是用较大的数m 除以较小的数n 得到除式=m )0(n r r qn <≤+反复进行，直到0=r 为止D ．以上说法皆错3．用等值算法求294和84的最大公约数时，需要做减法的次数是( )． A ．2 B ．3 C ．4 D ．54．我国古代数学家求两个正整数最大公约数的算法，被称做 ，又称为____5．用秦九韶算法计算多项式+-+-=34561606012)(x x x x x f ,641922402+-x x 当2=x 时的值为6．求288与123的最大公约数．高考能力测试（测试时间：45分钟测试满分：100分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．我国数学家刘徽采用正多边形面积逐渐逼近圆面积的算法计算圆周率π，这种算法称为( )． A ．弧田法 B ．逼近法 C ．割圆法 D ．割图法2．用圆内接正多边形逼近圆，因而得到的圆周率总是( )π 的实际值． A ．大于等于 B ．小于等于 C ．等于 D ．小于3．用辗转相除法求480和288的最大公约数时，需要作除法的次数是( )． A ．2 B ．3 C ．4 D ．54．用秦九韶算法计算多项式+-+++=x x x x x x f 67852)(2345,11在求3=x 对应的值时，3v 的值为( )．256.-A 220.B 130.-C 130.D5．若int(x)是不超过x 的最大整数（如==)4int(,4)3.4int(),4则下列scilab 程序的目的是( )．A ．求x ，y 的最小公倍数B ．求x,y 的最大公约数C ．求x 被y 除的商D ．求y 除以x 的余数6．用秦九韶算法求65432356798312)(x x x x x x x f ++++-+=在4-=x 时1v 的值为( )．3.A 7.-B 34.-C 57.D7．已知n 次多项式⋅++++=--n n n n n a x a x a x a x P 1110)( 如果在一次算法中，计算),,4,3,2(0n k x k=的值需要k-l 次乘法，计算)(03x P 的值共需9次运算（6次乘法，3次加法），那么计算)(010x P 的值共需要( )次运算．65.A 64.B 62.C 66.D8．用等值算法求294和84的最大公约数时，需要做减法的次数是( )．2.A3.B4.C5.D二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题后的相应位置） 9.420与882的最大公约数是 ．10.用秦九韶算法求多项式+-++=3266.38.135.02)(x x x x f ,2.56654x x x +-在3.1-=x 时，令 .,,,50160 a x v v a v +==,056a x v v +=则=2v11.用秦九韶算法计算,1)(23456++++++=x x x x x x x f 当=x 2时的值为12.求两个正整数的最大公约数的方法除等值算法外，还可以采用辗转相除法，也叫欧几里得算法，试用此法求出2054和210的最大公约数是____三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）13.用秦九韶算法求多项式1432)(2367+-+-=x x x x x f 当2=x 时的函数值．14.设计程序，求两个正整数m ，n 的最小公倍数．15.求下列三个数的最大公约数．77920958916.有甲、乙、丙三种溶液，分别为4200毫升，3220毫升和2520毫升，现要将它们分别全部装入小瓶中，每个瓶子装入液体的体积相同．问：要使所有溶液都刚好装满小瓶中且所用瓶子最少，则小瓶的容积应为多少毫升？。
§1.3.1辗转相除法与更相减损术学案
2．两个整数324和135的最大公约数是（ ）
A. 81 B. 54 C. 27 D. 9
3．用辗转相除法求294和84的最大公约数时，需要做除法的次数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．下列对辗转相除法的说法错误的是（）
A．辗转相除法也叫欧几里得算法，但比欧几里得算法早
三、练习
1．用更相减损术求80与36的最大公约数是__________.
2.用辗转相除法求459与357的最大公约数是________.
3.三个数72,120,168的最大公约数是__________.
34．课本中的辗转相除法主要用到的逻辑结构是（ ）
A．顺序结构 B. 条件结威十六中教学导学案学案
课题：
§1.3.1辗转相除法与更相减损术
学科：
数学
年级：
高一年级
课时：
1课时
主备人：
蒋继荣
使用学生：
使用时间：
年月日
学习目标：
1．了解中国古代数学中的算法案例——辗转相除法与更相减损术，体会中国古代数学对世界数学发展的贡献
2．会用辗转相除法和更相减损术求最大公约数
3．能根据辗转相除法和更相减损术设计算法程序
B．辗转相除法的基本步骤是用较大的数除以较小的数
C．在对两个数求最大公约数时，除辗转相除法还有更相减损术
D．在用辗转相除法时，需要用到循环语句编写
二、合作探究
例2 分别用辗转相除法和更相减损术求168与93的最大公约数.
例3 求325，130，270三个数的最大公约数.
例4.用更相减损术求两个正整数m，n的最大公约数，可以用什么逻辑结构来构造算法？其算法步骤如何设计？
高中数学 1.3 中国古代数学中的算法案例配套课件 新人
设
基
计
质，从已知到未知逐步形成概念的学习方法，有利于发展学
达 标
课
前 自
生抽象思维能力和逻辑推理能力．通过各种教学媒体(计算机)
课
主
时
导 学
调动学生参与课堂教学的主动性与积极性．
作 业
课 堂 互 动 探 究
教 师 备 课 资 源
菜单
教
学
教 法
●教学流程
分
析
教 学 方 案 设 计
课 前 自 主 导 学
方
堂
案 设
数学对世界数学发展的贡献．
双 基
计
达
课
(2)在学习古代数学家解决数学问题的方法的过程中培养 标
前
自 严谨的逻辑思维能力，在利用算法解决数学问题的过程中培 课
主
时
导 学
养理性的精神和动手实践的能力．
作 业
课 堂 互 动 探 究
(3)在合作学习的过程中体验合作的愉快和成功的喜悦． 教
师 备 课 资 源
主
时
导 学
与数学算法的区别，体会计算机对数学学习的辅助作用．
作 业
课 堂 互 动 探 究
(3)领会数学算法并与计算机处理相结合式，初步掌握把 数学算法转化成计算机语言的一般步骤．
教 师 备 课 资 源
菜单
RB ·数学 必修3
教
学
易
教
错
法
易
分 析
3．情感、态度与价值观
误 辨 析
教 学
(1)通过阅读中国古代数学中的算法案例，体会中国古代 当
菜单
RB ·数学 必修3
教 学
割圆术
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中国古代数学中的算法案例
1.3中国古代数学中的算法案例【入门向导】秦朝末年，楚汉相争．一次，韩信率1 500名将士与楚王大将李锋交战．苦战一场，楚军不敌，败退回营，汉军也死伤四五百人，于是韩信整顿兵马也返回大本营．当行至一山坡，忽有后军来报，说有楚军骑兵追来．只见远方尘土飞扬，杀声震天．汉军本来已十分疲惫，这时队伍大哗．韩信骑马到坡顶，见来敌不足五百骑，便急速点兵迎敌．他命令士兵3人一排，结果多出2名；接着命令士兵5人一排，结果多出3名；他又命令士兵7人一排，结果又多出2名．韩信马上向将士们宣布：我军有1 073名勇士，敌人不足五百，我们居高临下，以众击寡，一定能打败敌人．汉军本来就信服自己的统帅，这一来更相信韩信是“神仙下凡”“神机妙算”．于是士气大振，一时间旌旗摇动，鼓声喧天，汉军步步进逼，楚军乱作一团，交战不久，楚军大败而逃．这就是历史上有名的“韩信点兵”，这类问题的有解条件和解题方法被称为“中国剩余定理”，是一个典型的算法案例．1．用等值算法求两个正整数的最大公约数“等值算法”在我国古代也称为“更相减损之术”．有人称其为“约分术”，是一种对分数约分的算法；也可以用来求最大公约数．对于给定的两个不相等的正整数，用较大的数减去较小的数，接着把所得的差和较小的数作比较，并以较大数减去较小数，继续这个操作，直到所得的两数相等为止，则这个数就是所求的最大公约数．例1用“等值算法”求84与294的最大公约数．分析根据等值算法算理计算如下：294－84＝210；210－84＝126；126－84＝42；84－42＝42；42－42＝0.解(294,84)→(210,84)→(126,84)→(42,84)→(42,42)．故84与294的最大公约数是42.2．割圆术所谓“割圆术”，就是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积，并以此求取圆周率的方法．这个方法，是刘徽在批判总结了数学史上的各种旧的计算方法之后，经过深思熟虑才创造出来的一种方法．割圆术的步骤：第一，从半径为1的圆内接正六边形开始，计算它的面积S6.第二，逐步加倍圆内接正多边形的边数，分别计算圆内接正十二边形、正二十四边形、正四十八边形……的面积，到一定的边数(设为2m)为止，得到一列递增的数S6，S12，S24，…，S2m.第三，在第二步中各正n边形每边上作一高为余径的矩形，把其面积(S2n－S n)与相应的正n边形的面积S2n相加，得S2n＋(S2n－S n)，这样又得到一列递增数：S12＋(S12－S6)，S24＋(S24－S12)，S48＋(S48－S24)，…，S2m＋(S2m－S m)．第四，圆面积S满足不等式S2m<S<S2m＋(S2m－S m)．估计S的近似值，即圆周率的近似值．3．秦九韶算法是多项式求值的最先进的算法(1)秦九韶算法把求一个n次多项式的值转化为求n个一次多项式的值，把求f(x)＝a n x n ＋a n－1x n－1＋…＋a1x＋a0的值转化为求递推公式：⎩⎪⎨⎪⎧v 0＝a n v k ＝v k －1x ＋a n －k (k ＝1,2，…，n )中v n 的值，所以我们可以将这个递推关系通过循环结构编写程序在计算机上实现．(2)运算次数减少，只需至多n 次乘法和n 次加法运算，而直接求和所用乘法的次数为n (n ＋1)2，加法的次数为n 次，从而大大提高了运算效率．计算机做一次乘法运算需要的时间是做加法运算的几倍到十几倍，衡量一个算法“优”“劣”的标准之一就是运算效率，减少乘法运算的次数也就加快了计算速度．所以说，秦九韶算法是多项式求值的最先进的算法．例2 用秦九韶算法求多项式f (x )＝x 5＋0.11x 3－0.15x －0.04，当x ＝0.3时f (x )的值． 分析 本题中有些项不存在，如x 4，x 2要补上，x 4写为0×x 4，x 2写为0×x 2.解 将f (x )写为：f (x )＝((((x ＋0)x ＋0.11)x ＋0)x －0.15)x －0.04.按从内到外的顺序，依次计算多项式的值．v 0＝1；v 1＝1×0.3＋0＝0.3；v 2＝v 1×0.3＋0.11＝0.2；v 3＝v 2×0.3＋0＝0.06；v 4＝v 3×0.3－0.15＝－0.132；v 5＝v 4×0.3－0.04＝－0.079 6.所以，当x ＝0.3时，多项式的值为－0.079 6.点评 当多项式中有几项不存在时，可将这几项看作0×x n .1．秦九韶算法计算多项式的值，要对多项式进行正确改写例1 f (x )＝3x 4＋2x 2＋4x ＋2，求f (－2)的值．错解 f (x )＝((3x 2＋2)x ＋4)x ＋2v 1＝3×(－2)2＋2＝14v 2＝14×(－2)＋4＝－24v 3＝－24×(－2)＋2＝50∴f (－2)＝50. 错解辨析 错解中v 1中含有x 的二次式，不符合“秦九韶算法”.正解 f (x )＝3x 4＋0·x 3＋2x 2＋4x ＋2＝(((3x ＋0)x ＋2)x ＋4)x ＋2v 0＝3v 1＝3×(－2)＋0＝－6v 2＝－6×(－2)＋2＝14v 3＝14×(－2)＋4＝－24v 4＝－24×(－2)＋2＝50∴f (－2)＝50.2．利用秦九韶算法，当多项式中出现空项时要用0·x n 补齐例2 用秦九韶算法，求当x ＝2时，f (x )＝x 5－5x 4＋x 3－1的函数值．错解 利用秦九韶算法递推公式，有v 0＝1；v 1＝1×2－5＝－3；v 2＝(－3)×2＋1＝－5；v 3＝(－5)×2－1＝－11.所以f (2)＝－11.正解利用公式有v0＝1；v1＝1×2－5＝－3；v2＝(－3)×2＋1＝－5；v3＝(－5)×2＋0＝－10；v4＝(－10)×2＋0＝－20；v5＝(－20)×2－1＝－41.所以f(2)＝－41.课本在算法案例中所介绍的等值算法(即更相减损之术)与辗转相除法(即欧几里得算法)都是求两个正整数的最大公约数的方法，它们既有相同之处，也有不同之处．更相减损之术的具体算法是：用两数中较大的数减去较小的数，用所得的差与较小的数构成新的一对数，对这一对数再用较大的数减去较小的数，以同样的操作一直做下去，直到产生一对相等的数，这个数就是所求的最大公约数．辗转相除法的具体算法是：用两数中较大的数除以较小的数，若余数等于零，则除数为最大公约数；否则把前面的除数作为被除数，余数作为除数，继续运算，直到余数为零，此时除数即为最大公约数．例如：我们用上述两种方法来求68与48的最大公约数．等值算法操作如下：(68,48)→(20,48)→(20,28)→(20,8)→(12,8)→(4,8)→(4,4)．所以4是68与48的最大公约数．辗转相除法操作如下：(68,48)→(20,48)→(20,8)→(4,8)．所以4是68与48的最大公约数．通过比较不难看出，两种方法相同之处是：都在逐步降低两个数的差；不同之处是：更相减损之术要做到产生一对相等的数为止，辗转相除法做到余数等于零即可．如此看来，辗转相除法要比等值算法的操作程序快捷一些．例1现有长度为240 cm和560 cm两种规格的钢筋若干，要焊接一批同规格的正方体模型，问怎样设计才能保证正方体体积最大且不浪费材料？分析剪裁的长度应能被240和560同时整除，本题即为求240和560的最大公约数．解(560,240)→(320,240)→(80,240)→(80,160)→(80,80)，即240和560的最大公约数为80.故将正方体的棱长设计为80 cm时，体积最大且不浪费材料．例2有甲、乙、丙三种溶液分别重147 g,343 g,133 g，现要将它们分别全部装入小瓶中，每个小瓶装入液体的质量相同，每瓶最多装多少克溶液？解每个小瓶装的溶液的质量应是三种溶液质量的最大公约数，先求147和343的最大公约数．(147,343)→(147,196)→(147,49)→(98,49)→(49,49)∴147和343的最大公约数为49.同理可求得49与133的最大公约数为7.所以每瓶最多装7克.1．(泰安模拟)用秦九韶算法计算多项式f(x)＝3x6＋4x5＋5x4＋6x3＋7x2＋8x＋1，当x＝0.4时的值时，需要做乘法和加法的次数分别为()A．6,6 B．5,6C．5,5 D．6,5答案 A2．(烟台模拟)三个数390,455,546的最大公约数是()A．65 B．91 C．26 D．13答案 D。
(必修三)13中国古代数学中的算法案例(一)(人教B版)
(必修三)13中国古代数学中的算法案例(一)(人教B版) 1.3中国古代数学中的算法案例(一)1.求两个正整数最大公约数的算法辗转相除法求两个数的最大公约数，其基本步骤是带余除法m=nq+r(0≤r<n),反复执行，直到余数r=0为止.求任意两个数的最大公约数的算法是第一步：输入两个正整数a,b(a>b);第二步：求出a÷b的余数r;第三步：令a=b,b=r,若r≠0,重复第二步；第四步：输出最大公约数a.举例说明.m=90,n=36,m=2n+18,r=18.令m=36,n=18.又有36=18某2,即m=2n,此时r=0.令m=18,n=0.故最大公约数为18.开始算理：记为a;a=b某t+c;若c≠0,记a=b,b=c,返回第2步进行循环；若c=0,输出b.输入a,b先找到a,b中较大的，=aModbcc=amodbb=ca=bc≠0N输出b结束Ya=input(“a=”);b=input(“b=”);c=mod(a,b);whilec<>0a=b;b=c;c=mod(a,b);endb更相减损术例如，求78和36的最大公约数：以两数中较大的数减去较小的数，即78-36=42;以差数42和较小的数36构成新的一对数；对这一对数再用大数减去小数，即42-36=6,再以差数6和较小的数36构成新的一对数；对这一对数再用大数减去小数，即36-6=30,再构成新的一对数；继续这一过程,直到产生一对相等的数，这个数就是最大公约数.操作如下：(78,36)→(42,36)→(6,36)→(6,30)→(6,24)→(6,18)→(6,12)→(6,6).理论依据：由a-b=r→a=b+r,得(a,b)与(b,r)有相同的公约数.算法如下：S1输入两个正数a,b(a>b);S2如果a≠b,则执行S3,否则转到S5;S3将a-b的值赋予r;S4若b>r,则把b赋予a,把r赋予b,否则把r赋予a,重新执行S2;S5输出最大公约数开始输入a,ba=a-bYa≠bN输出bYa>bb=b-aN结束程序：a=input(“a=”);b=input(“b=”);whilea<>bifa>=ba=a-b;eleb=b-a;endendprint(%io(2),b,“两数的最大公约数例2:用辗转相除法验证上例中两数的最大公约数是否正确。
人教b版数学必修三：1.3《中国古代数学中的》导学案(含答案)
§1.3中国古代数学中的算法案例自主学习学习目标通过三种算法案例：更相减损术、秦九韶算法、割圆术，进一步体会算法的思想，提高逻辑思维能力和算法设计水平．自学导引1．求两个正整数最大公约数的算法(1)更相减损之术(等值算法)用两个数中较大的数减去较小的数，再用____和____________构成新的一对数，再用大数减小数，以同样的操作一直做下去，直到产生____________，这个数就是最大公约数．(2)用“等值算法”求最大公约数的程序2．割圆术割圆术就是用________________________________的算法来计算圆周率π的一种方法．3．秦九韶算法把n次多项式P(x)＝a n x n＋a n－1x n－1＋…＋a1x＋a0改写为P(x)＝a n x n＋a n－1x n－1＋…＋a1x＋a0＝(a n x n－1＋a n－1x n－2＋…＋a1)x＋a0＝((a n x n－2＋a n－1x n－3＋…＋a2)x＋a1)x＋a0＝(…((a n x＋a n－1)x＋a n－2)x＋…＋a1)x＋a0令v k＝________________________________，则递推公式为其中k＝1,2，…，n.对点讲练知识点一更相减损术例1用更相减损术求下列两数的最大公约数．(1)261,319；(2)1 734,816.点评通过上例可以发现用更相减损术求最大公约数，运算简单，程序易编．变式迁移1用更相减损术求63和98的最大公约数．知识点二秦九韶算法例2已知多项式f(x)＝2x5－5x4－4x3＋3x2－6x－1，试求当x＝3时的值．点评利用秦九韶算法计算多项式的值关键是正确地将多项式改写，然后由内向外依次计算，由于下一次的计算用到上一次计算的结果，只有细心，认真，保证中间的结果正确才能保证计算准确．变式迁移2用秦九韶算法求多项式f(x)＝7x7＋6x6＋5x5＋4x4＋3x3＋2x2＋x当x＝3时的值．1．更相减损术求两个数的最大公约数时，一定要弄清每一次减法中的被减数、减数，同时要掌握减法应在何种情况下停止运算，得出结果．2．秦九韶算法的特点是通过一次式的反复计算，逐步得出高次多项式的值，对于一个n 次多项式，只需做n 次乘法和n 次加法即可．3．割圆术以直代曲、无限趋近，主要利用了“内外去留”的思想.课时作业一、选择题1．自然数8 251和6 105的最大公约数为( )A ．37B ．23C ．47D ．1112．五次多项式f (x )＝4x 5＋3x 4＋2x 3－x 2－x －12，用秦九韶算法求f (－2)等于( ) A ．－1972 B.1972 C.1832 D ．－18323．下列哪组的最大公约数与1 855,1 120的公约数不同( )A ．1 120,735B ．385,350C ．385,735D ．1 855,3254．用秦九韶算法计算多项式f (x )＝5x 5＋4x 4＋3x 3＋2x 2＋x ＋3在x ＝2时的值时，需要做乘法和加法的次数分别是( )A ．6,6B ．5,6C ．5,5D ．6,55．我国魏晋时期的数学家刘徽和祖冲之利用割圆术所得的圆周率π是( )A ．准确值B ．近似值C ．循环小数D ．有理数二、填空题6．228与1 995的最大公约数是________．7．用秦九韶算法计算多项式f (x )＝12＋35x －8x 2＋79x 3＋6x 4＋5x 5＋3x 6，x ＝－4时，v 3的值为________．8．已知多项式P n (x )＝a 0x n ＋a 1x n －1＋…＋a n －1x ＋a n .如果在一种算法中，计算x k 0 (k ＝2,3,4，…，n )的值需要k －1次乘法，计算P 3(x 0)的值共需要9次运算(6次乘法，3次加法)，那么计算P n (x 0)的值共需要________次运算．下面给出一种减少运算次数的算法：P 0(x )＝a 0，P k ＋1(x )＝xP k (x )＋a k ＋1 (k ＝0,1,2，…，n －1)．利用该算法，计算P 3(x 0)的值共需要6次运算，计算P n (x 0)的值共需要________次运算．三、解答题9．求2 007与180的最大公约数．10．用秦九韶算法求多项式f (x )＝2x 4－2x 2－5x ＋10在x ＝10的值．§1.3 中国古代数学中的算法案例自学导引1．(1)差 较小的数 一对相等的数 (2)while a ＝a －b b ＝b －a end2．正多边形面积逐渐逼近圆面积3．(…(a n x ＋a n －1)x ＋…＋a n －(k －1))x ＋a n －k v 0＝a n v k ＝v k －1x ＋a n －k对点讲练例1 解 (1)(261,319)→(261,58)→(203,58)→(145,58)→(87,58)→(29,58)→(29,29)， ∴319与261的最大公约数是29.(2)因为两数皆为偶数，首先除以2得到867,408，再求867与408的最大公约数． (867,408)→(459,408)→(51,408)→(51,357)→(51,306)→(51,255)→(51,204)→(51,153)→(51,102)→(51,51)，∴1 734与816的最大公约数是51×2＝102.变式迁移1 解 由于63不是偶数，把98和63以大数减小数，并辗转相减． (63,98)→(63,35)→(28,35)→(28,7)→(21,7)→(14,7)→(7,7)，所以98和63的最大公约数是7.例2 解 根据秦九韶算法多项式可改写为f (x )＝((((2x －5)x －4)x ＋3)x －6)x －1，按照由内向外的顺序，依次计算为：v 0＝2，v 1＝2×3－5＝1，v 2＝1×3－4＝－1，v 3＝(－1)×3＋3＝0，v 4＝0×3－6＝－6，v 5＝(－6)×3－1＝－19.故当x ＝3时，多项式的值为－19.变式迁移2 解 f (x )＝((((((7x ＋6)x ＋5)x ＋4)x ＋3)x ＋2)x ＋1)x ，所以v 0＝7；v 1＝7×3＋6＝27；v 2＝27×3＋5＝86；v 3＝86×3＋4＝262；v 4＝262×3＋3＝789；v 5＝789×3＋2＝2 369；v 6＝2 369×3＋1＝7 108；v 7＝7 108×3＝21 324，故x ＝3时，多项式f (x )＝7x 7＋6x 6＋5x 5＋4x 4＋3x 3＋2x 2＋x 的值为21 324.课时作业1．A [利用更相减损术可得它们的最大公约数为37.]2．A [∵f (x )＝((((4x ＋3)x ＋2)x －1)x －1)x －12， ∴f (－2)＝((((4×(－2)＋3)×(－2)＋2)×(－2)－1)×(－2)－1)×(－2)－12＝－1972] 3．D [∵(1 855,1 120)→(735,1 120)→(735,385)→(350,385)→(350,35)，∴1 855与1 120的公约数是35，由以上计算过程可知选D.]4．C5．B6．57 7．－578.12n(n＋3)2n9．解 2 007－180＝1 827 1 827－180＝1 6471 647－180＝1 467 1 467－180＝1 2871 287－180＝1 107 1 107－180＝927927－180＝747 747－180＝567567－180＝387 387－180＝207207－180＝27 180－27＝153153－27＝126 126－27＝9999－27＝72 72－27＝4545－27＝18 27－18＝918－9＝9所以2 007与180的最大公约数为9.10．解把多项式改写成以下形式：f(x)＝2x4＋0·x3－2x2－5x＋10＝(((2x＋0)x－2)x－5)x＋10.按照从内到外的顺序，依次计算一次多项式在x＝10的值．a4＝2v0＝a4＝2a3＝0 v1＝v0x＋a3＝20a2＝－2 v2＝v1x＋a2＝198a1＝－5 v3＝v2x＋a1＝1 975a0＝10 v4＝v3x＋a0＝19 760故f(10)＝19 760.。
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三、概念形成
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概念1.求两个正整数的最大公约数 概念1.求两个正整数的最大公约数 1.
当两个数比较大时（ 8610与6300），使用上述方法 当两个数比较大时（如8610与6300），使用上述方法 ）， 求最大公约数就比较困难。 求最大公约数就比较困难。下面我们介绍两种古老而有效 的算法——辗转相除法与更相减损术。 ——辗转相除法与更相减损术 的算法——辗转相除法与更相减损术。 （1）辗转相除法(*) 辗转相除法(*) 例子:辗转相除法求8610和6300的最大公约数。 例子:辗转相除法求8610和6300的最大公约数。 8610 的最大公约数 为了简洁，我们把8610和6300的最大公约数记作（8610， 为了简洁，我们把8610和6300的最大公约数记作（8610， 8610 的最大公约数记作 6300）。 6300）。 把8610变为下式 8610变为下式 6300× 8610 = 6300×1 + 2310 Bqr6401@
Hale Waihona Puke Bqr6401@三、概念形成
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概念2.割圆术 概念2.割圆术 2.
所谓“割圆术” 所谓“割圆术”，是用圆内接正多边形的周长去无限 逼近圆周并以此求取圆周率的方法。这个方法， 逼近圆周并以此求取圆周率的方法。这个方法，是我国魏 晋时期刘徽在批判总结了数学史上各种旧的计算方法之后， 晋时期刘徽在批判总结了数学史上各种旧的计算方法之后， 经过深思熟虑才创造出来的一种崭新的方法。 经过深思熟虑才创造出来的一种崭新的方法。 可以想象，在当时需要付出多么 按照这样的思路，刘徽把圆内接 刘徽从圆内接正六边形把圆周等 可以想象， 按照这样的思路， 分为六条弧的基础上，再继续等分， 艰辛的劳动。 正多边形的面积一直算到了正3072 3072边 正多边形的面积一直算到了正3072边 分为六条弧的基础上，再继续等分， 艰辛的劳动。现在让我们用刘徽的思 把每段弧再分割为二， 3.14和 使用计算机求圆周率的近似值。 形，并由此而求得了圆周率 为3.14和 把每段弧再分割为二，做出一个圆内 想 使用计算机求圆周率的近似值。 接正十二边形， 3.1416这两个近似数值 这两个近似数值。 计算机的最大特点是运算速度快， 接正十二边形，这个正十二边形的周 3.1416这两个近似数值。这个结果是 计算机的最大特点是运算速度快，只 要我们将运算方法告诉计算机， 长不就要比正六边形的周长更接近圆 要我们将运算方法告诉计算机，计算 当时世界上圆周率计算的最精确的数 周了吗？如果把圆周再继续分割，做” 周了吗？如果把圆周再继续分割， 机会迅速得到所求的答案。“割圆术” 据。刘徽对自己创造的这个“割圆术 机会迅速得到所求的答案。 刘徽对自己创造的这个 成一个圆内接正二十四边形， 新方法非常自信， 成一个圆内接正二十四边形，那么这 新方法非常自信，把它推广到有关圆 形计算的各个方面， 个正二十四边形的周长必然又比正十 形计算的各个方面，从而使汉代以来 二边形的周长更接近圆周。 的数学发展大大向前推进了一步。 二边形的周长更接近圆周。 的数学发展大大向前推进了一步。 Bqr6401@
三、概念形成
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概念1.求两个正整数的最大公约数 概念1.求两个正整数的最大公约数 1.
我们来看一下（8610，6300） 我们来看一下（8610，6300）和（6300，2310）之间的关系 6300，2310）
2 3
8610 4305
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三、概念形成
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概念1.求两个正整数的最大公约数 概念1.求两个正整数的最大公约数 1.
（2）更相减损术 例如： 78和36的最大公约数。 例如：求78和36的最大公约数。 的最大公约数 78，36） 解： （78，36） （6，30） 30） （6，12） 12） （42，36） 42，36） （6，24） 24） （6，6） （6，36） 36） （6，18） 18）
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第一章 算法初步
1.3 中国古代数学中的算法案例
良乡中学数学组 制作： 制作：任宝泉 2011年5月12日 年 月 日
一、复习引入
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我们在小学、中学学到的算术、代数， 我们在小学、中学学到的算术、代数，从计数 到多元一次联立方程组以及方程的求根方法， 到多元一次联立方程组以及方程的求根方法，都是 我国古代数学家最先创造的， 我国古代数学家最先创造的，有的比其他国家早几 百年甚至上千年。我国人民在长期的生活、 百年甚至上千年。我国人民在长期的生活、生产和 劳动中，创造了很多数学的计算和思想方法。 劳动中，创造了很多数学的计算和思想方法。 下面我们举一些我国古代代数学中“算法” 下面我们举一些我国古代代数学中“算法”的 例子，让同学们体会“算法”的概念， 例子，让同学们体会“算法”的概念，看一看中国 古代数学在算法上的伟大成就。 古代数学在算法上的伟大成就。
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二、提出问题
本节主要介绍的内容 更相减损之术（又称“等值算法” 一、更相减损之术（又称“等值算法”） ----研究如何求二个正整数的最大公约数 研究如何求二个正整数的最大公约数。 ----研究如何求二个正整数的最大公约数。 二、割圆术 ----解决圆周率π的近似值问题。 ----解决圆周率π的近似值问题。 解决圆周率 三、秦九韶算法 ----解决求多项式函数值问题。 ----解决求多项式函数值问题。 解决求多项式函数值问题
良乡中学数学组 良乡中学数学组 任宝泉
怀 天 天才就是百分之一的灵感，百分之九十九的汗水！ 什 才 在 于 勤 径，学 力 书 么 也 路 勤习，老 来 么 也 崖 学 作 功！ 勤劳的孩子展望未来, 什 徒 才 能 但懒惰的孩子享受现在!!! 勤劳的孩子展望未来 但懒惰的孩子享受现在 天 小 不 不 ， 的奋，努 知 伤 悲不 到 舟 成功=艰苦的劳动+正确的方法+少谈空话 少 山 有 下 学问为 求人 真 海 无，学 苦成 做 !!! 人
三、概念形成
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概念1.求两个正整数的最大公约数 概念1.求两个正整数的最大公约数 1.
我们可以总结为： 我们可以总结为： 被除数，除数） 除数，余数） （被除数，除数）=（除数，余数）
最大公约数
据此，我们可以用如下办法求8610和6300的最大公约数： 据此，我们可以用如下办法求8610和6300的最大公约数： 8610 的最大公约数 8610，6300） 被除数 除数 余数 （8610，6300） 6300× =（6300，2310） 8610 = 6300×1 + 2310 =（6300，2310） 6300 = 2310×2 + 1680 2310× =（2310，1680） =（2310，1680） 1680× =（1680，630） 2310 = 1680×1 + 630 =（1680，630） 630× =（630，420） 1680 = 630×2 + 420 =（630，420） 420× =（420，210） 630 = 420×1 + 210 =（420，210） 210× 420 = 210×2 + 0 =210 这就是辗转相除法。由除法的性质可知， 这就是辗转相除法。由除法的性质可知，对于任意两个正 整数，上述除法步骤总可以在有限步之后完成， 整数，上述除法步骤总可以在有限步之后完成，从而总可 以用辗转相除法求出最大公约数。 以用辗转相除法求出最大公约数。 Bqr6401@
6300 3105 1050 210 30
2 3
6300
2310
3105 1155 385 77 11
5 1435 7 287 41
5 1050 7 210 30
它们有相同的公约数，因此也有相同的最大公约数。 它们有相同的公约数，因此也有相同的最大公约数。难道 这只是巧合吗? 这只是巧合吗? 可以证明它们有相同的公约数（ 可以证明它们有相同的公约数（略）。 Bqr6401@
所以，78和36的最大公约数为6 所以，78和36的最大公约数为6。 的最大公约数为 此种算法称为“等值算法” 此种算法称为“等值算法”。
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三、概念形成
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概念1.求两个正整数的最大公约数 概念1.求两个正整数的最大公约数 1.
（2）更相减损术 m=input("m="); n=input("n="); while m<>n if m>n m=mm=m-n; else n=nn=n-m; end end print(%io(2),m,n);
开 始 输入m、 输入 、n
y m=m-n
m＞n ＞
N n=n-m N
m＝n ＝ y 输出m、 输出 、n 结 束
开始 输入： 输入：m，n
r = m MOD n m =n n =r r=0?
No
Yes
输出： 输出：m 结束
三、概念形成
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概念1.求两个正整数的最大公约数 概念1.求两个正整数的最大公约数 1.
辗转相除法的Siclab程序 辗转相除法的Siclab程序 Siclab m=input("m="); n=input("n="); if m<n x=m;m=n;n=x; end r=n; while r<>0 r=modulo(m,n); m=n; n=r; end print(%io(2),m) Bqr6401@