不可不知的中国古代数学：从高斯算1 2 3 … 100谈起
中国传统文化中的数学
中国传统文化中的数学中国传统文化中的数学是中国历史上一项重要的科学成果，也是一种学术精神的象征。
数学在中国文化中的作用是极为重要的，几乎在所有的学科领域中可以见到它的踪迹。
自从古代伊斯兰科学家发现中国文化中的数学以来，它博大精深的理论和抽象几何形想不断激发着国际学术界的好奇心与智慧。
今天，让我们来看看中国传统文化中的数学。
一、古代数学1、古代天文学在古代，中国是以天文学和数学为基础，来追求宇宙航行和测量地球和太阳的。
古代的老子、庄子和荀子等思想家用天文学和数学来研究宇宙的秩序和运行，提出了数理化的观点。
古代的数学家用天文学运用一系列的计算，如求正玄计、三角计算，用来解决实际问题。
2、《九章算术》古代数学经典作品之一是《九章算术》，它被认为是中国古代数学科学的最高成就，主要涉及整数、分式、立方根和立方游戏等内容。
这本书被认为是中国数学的中瞻。
二、现代数学1、平面几何在现代数学中，几何学是其中最重要的部分，主要研究平面和空间几何的概念。
现代几何学的核心是三角学，它研究三角形的性质，研究其角的相互关系和边的结构，以及角的等长或等弧度。
2、数论中国现代数学的另一个重要部分是数论，它研究数字以及数字之间的关系。
常用的概念是数字论，它用来通过极限思想和数论定理来研究各种问题，如数论系统性质，质数性质等。
综上所述，中国传统文化中的数学有着悠久的历史，包括古代的天文学和《九章算术》，以及现代的平面几何和数论。
数学是中国传统文化中十分重要的一种科学精神，深受传统文化的影响。
它的理论和抽象几何形式一直激发着国际学术界的智慧和好奇心。
中国文化传统中的数学是一种既实用又充满想象力的学术精神，对今天的学界仍然具有重要意义。
中国古代的算学与数学成就
中国古代的算学与数学成就中国古代的算学与数学成就源远流长，经历了从简单计数到复杂代数的演变。
这些成就在当时不仅对中国的科学和技术发展有着重要的影响，而且在世界数学史上亦占有重要地位。
本文将从古代的计数方式、《九章算术》、《海岛算经》以及后期中国数学家张丘建和秦九韶的贡献等几个方面，对中国古代的算学与数学成就进行探讨。
一、古代的计数方式古代的计数方式在一开始并不像现代那样采用阿拉伯数字，而是使用“念数”的方式来表示。
所谓“念数”，就是将数字的读音与其数值相对应，例如用“一”、“二”、“三”来表示数字1、2、3等。
随着时间的推移，中国人逐渐发明了竖式计数法，这是一种直观的计数方式，为后来的数学研究打下了基础。
二、《九章算术》的贡献《九章算术》是中国古代著名的数学著作，编撰于西汉中期。
它包含了九个章节，分别涉及算术、方程、几何等数学领域。
《九章算术》对于古代的数学研究起到了重要的推动作用。
其中，最有代表性的章节是“方程”和“术数”两章。
前者主要涵盖了线性和二元一次方程的解法，后者介绍了整数的性质以及加、减、乘、除的计算方法。
这些内容直接应用于古代农业、商业和土地测量等实际问题，对社会的发展起到了积极的作用。
三、《海岛算经》的贡献《海岛算经》是南朝宋时期编写的一本数学著作，作者是刘世济。
这本书主要介绍了三角函数以及与之相关的三角学理论。
其中，引入了正弦、余弦和切线等概念，并提供了计算三角函数的方法。
这些成果不仅在航海导航方面有着重要的应用，还为后来的代数学奠定了基础。
四、张丘建和秦九韶的贡献张丘建和秦九韶是中国古代数学史上的两位杰出数学家。
张丘建生活在五代十国时期，他是《算经》的作者。
这本书集成了当时的数学发展成果，涉及到了几何、代数等多个领域。
而秦九韶则是宋代的数学家，他通过研究高次方程，发现了秦九韶算法，这种算法可以用来求解高次方程的根，为数学研究提供了重要的方法。
总结起来，中国古代的算学与数学成就在计数方式、《九章算术》、《海岛算经》以及数学家张丘建和秦九韶的贡献等方面有着丰富的内容。
你知道我国数字的历史吗？
你知道我国数字的历史吗？你知道我国数字的历史吗？我国古代很早就有了数字。
最初的数字还不可考。
只有把数字刻在龟甲和兽骨上时，才有可能留传下来。
在我国河南省发现的殷墟甲骨文卜辞中有很多记数的文字，说明早在三千多年前人们已经能用一、二、三、……十、百、千、万等记数，并且采用十进制，只是文字的形体和后来的有所不同。
下面是甲骨文的十三个记数单字：这些数字可以说是我国现存最早的数字了。
由甲骨文数字几经演变，才形成现代的汉字数字。
我国古代还有用小竹棍或小木棍摆出来记数和计算的，这叫做“算筹”。
据文献记载，算筹除竹筹外，还有木筹、铁筹、骨筹、玉筹和牙筹，并且有盛装算筹的算袋和算子筒。
算筹记数的规则，最早载于《孙子算经》：“凡算之法先识其位。
一纵十横，百立千僵。
千、十相望，万、百相当。
”用算筹表示数目有纵、横两种方式：表示一个多位数，是把各位数码由高位到低位从左至右横列。
各位筹式必须纵横相间：个位、百位、万位等用纵式；十位、千位、十万位等用横式。
例如1987用算筹表示出来是。
数字“零”表为空位，例如6023用算筹表示出来是。
这与现今的十进制记数法基本一致。
我国明、清时代，在商业上曾用过如下的数码：这种数字，也叫做“苏州码子”，又叫“草码”，直到解放前，有时记帐还用它。
现在我们用的中国小写数字：一、二、三、四、五、六、七、八、九、十是由甲骨文的数字演变而来的。
此外，现在人们还可以在发货票上见到中国大写数字：零、壹、贰、叁、肆、伍、陆、柒、捌、玖、拾、佰、仟、万。
虽然我国的大写数字是目前世界上最繁的数字，但是它的优点是不易涂改，因此我国还把它用在会计工作中以及在重要票证或证件的编号上。
高斯巧算数列的传说是真是假？
高斯巧算数列的传说是真是假？我们是中科院主管、科学出版社主办，与日本知名科普杂志Newton版权合作的一本综合性科普月刊。
德国数学家高斯被称为“数学王子”，他对数学做出的贡献一般人并不了解，但是人们都知道他是一个数学天才，在学习数列时，老师或课本都会讲高斯小时候发现计算等差数列的和的快速方法的故事。
这个故事的常见版本是这样的：高斯上小学时，其数学老师布置了一道从1加到100的习题，想让学生们算上一整节课，没想到题目刚刚布置下来，高斯就报出了答案“5050”。
原来高斯发现了1到100的数列两头可以一一配对：1+100，2+99，3+98，……每一对的和都是101，总共有50对，所以总和就是5050。
等差数列的这个求和思路并不是高斯首先发现的。
7～8世纪，英国学者阿尔奎因出了一本数学习题集，其中有一道应用题就是要求从1加到100：一个楼梯有100个台阶，第1个台阶有1只鸽子，第2个台阶有2只鸽子……第100个台阶有100只鸽子，问总共有多少只鸽子？阿尔奎因提供的算法与传说高斯想到的大同小异：第1个台阶和第99个台阶的鸽子数目相加等于100，第2个台阶和第98个台阶的鸽子数目相加等于100……，总共有49个100，再加上第50和第100个台阶上鸽子的数目，和为5050。
但是如果高斯作为小学生能够独立发现等差数列求和方法，而且比阿尔奎因的方法更加简洁、普适，仍然是非常了不起的成就。
这个求和方法真的是高斯小时候发现的吗？高斯的这个传说是真的吗？最早将这个故事公之于众的，是高斯在德国哥廷根大学的同事和朋友、地质学家沃尔夫冈·萨托里尔斯。
在高斯逝世后的第二年（1856年），萨托里尔斯出版了第一部高斯传记《高斯：回忆录》。
在该书中，萨托里尔斯是这么讲述这个故事的：“1784年，在过完7岁生日后，这个小孩（高斯）上了公立学校学小学课程，是由一名叫布特纳的人教的。
那是一个单调、简陋的教室，地板破旧、不平。
中国古代数学
中国古代数学中国古代数学是世界上最古老的数学之一，具有重要的历史和文化价值。
古代中国的数学发展可以追溯到至少公元前14世纪的商朝，人们在商朝就开始使用计算方法和数学符号。
以下是有关中国古代数学的相关内容：古代数学的起源与发展古代中国数学的起源可以追溯到商朝，商朝人民使用的计算方法和数学符号记录在《甲骨文》中。
《甲骨文》中的很多符号表示了数字和几何形状，这表明商朝人民已经掌握了一定的计算和几何知识。
随着时间的推移，数学在周朝和秦朝得到了进一步的发展。
《周髀算经》和《九章算术》是两本流传最广的古代中国数学著作，它们涵盖了从初级的算术到高级的几何和代数的内容。
这些著作为后世的数学研究奠定了基础，并影响了中国古代数学的发展。
古代数学的主要研究内容古代中国数学的研究内容主要包括算术、几何和代数。
算术是古代中国数学的基础，主要涉及整数、分数、正负数等的运算、约分、等式等。
几何主要研究了圆、直线、曲线等的性质和计算方法。
代数主要研究了方程的解法和多项式的计算。
除了这些基本内容之外，古代数学家还研究了一些高级概念，如数论、几何证明、求根方法等。
这些研究内容体现了古代中国人民在数学领域的聪明才智和丰富的数学思维。
古代数学成就的应用古代中国数学的成就不仅仅停留在理论上，还有广泛的应用。
在农业方面，古代数学可以用于测量土地面积、规划农田和水利工程。
在商业方面，古代数学可以用于计算货币价值、盈亏比率和税收等。
在天文学方面，古代数学可以用于计算地球和天体的位置、运行轨迹等。
这些应用展示了古代中国数学的实用性和功能性，对古代社会的发展起到了积极的推动作用。
古代数学的传承与影响古代中国数学的传承和发展离不开数学家和教育工作者的努力。
古代数学家通过书籍和教育机构传播数学知识，使其得到了广泛的传承和应用。
古代数学的一些重要著作被翻译成多种语言，传播到其他国家和地区。
这些传承和影响使古代中国数学成为世界上重要的数学学派之一，对后世数学的发展产生了深远的影响。
中国古代数学趣味小故事
中国古代数学趣味小故事摘要：1.泰勒斯：巧测金字塔2.田忌赛马3.阿基米德的故事4.高斯的故事正文：在中国古代，数学家们不仅擅长解决复杂的数学问题，还善于用智慧解决实际生活中的难题。
以下四个古代数学家的趣味故事，展示了他们的聪明才智。
1.泰勒斯：巧测金字塔泰勒斯，古希腊著名数学家，他凭借一根木棍和一把尺子，巧妙地测量出了金字塔的高度。
一天，泰勒斯看到法老张贴的告示，寻找世界上最聪明的人来测量金字塔的高度。
泰勒斯自信地找到法老，表示只需用一根木棍和一把尺子就能解决问题。
他观察到，当木棍的影子和木棍一样长时，正好是金字塔底面边长的一半。
将这两个长度加起来，就得到了金字塔的高度。
泰勒斯的不凡之处在于，他不用爬到金字塔顶就能精确地测量出其高度。
2.田忌赛马战国时期，齐威王与大将田忌举行赛马比赛。
两人各有三匹马：上马、中马和下马。
由于齐威王的马分别比田忌的相应等级的马要好，大多数人认为田忌必输无疑。
然而，田忌采纳了门客孙膑的建议，巧妙地安排马的出场顺序，最终以2比1战胜齐威王。
这个故事是中国古代运用对策论思想解决问题的一个范例。
3.阿基米德的故事阿基米德是古希腊的另一位伟大数学家。
有一次，国王怀疑工匠用银子偷换了金王冠，要求阿基米德鉴定其纯度。
阿基米德苦思冥想，直到有一天在洗澡时发现了溢水现象。
他顿时恍然大悟，拿起一块金块和一块重量相等的银块，放入水中进行实验。
结果显示，银块排出的水比金块多。
阿基米德于是用与王冠重量相等的金块进行实验，测出排出的水量，再将王冠放入水中，终于确定了王冠的纯度。
这个故事成为了阿基米德定律的起源。
4.高斯的故事高斯，德国著名数学家，从小就展现出过人的数学天赋。
一次，他的数学老师想利用上课时间处理私事，于是出了一道难题：123......9899100？老师认为这道题足够难，让学生们花费很长时间。
然而，高斯仅仅一瞬间就停下了笔，告诉老师他已经算出了答案：5050。
老师不敢相信，询问高斯如何得出这个答案。
古代数学小故事
古代数学小故事数学（mathematics或maths），是研究数量、结构、变化、空间以及信息等概念的一门学科，从某种角度看属于形式科学的一种。
下面是古代数学小故事，请参考！故事一大约1500年前，欧洲的数学家们是不知道用“0”的。
他们使用罗马数字。
罗马数字是用几个表示数的符号，按照一定规则，把它们组合起来表示不同的数目。
在这种数字的运用里，不需要“0”这个数字。
而在当时，罗马帝国有一位学者从印度记数法里发现了“0”这个符号。
他发现，有了“0”，进行数学运算方便极了，他非常高兴，还把印度人使用“0”的方法向大家做了介绍。
过了一段时间，这件事被当时的罗马教皇知道了。
当时是欧洲的中世纪，教会的势力非常大，罗马教皇的权利更是远远超过皇帝。
教皇非常恼怒，他斥责说，神圣的数是上帝创造的，在上帝创造的数里没有“0”这个怪物，如今谁要把它给引进来，谁就是亵渎上帝！于是，教皇就下令，把这位学者抓了起来，并对他施加了酷刑，用夹子把他的十个手指头紧紧夹注，使他两手残废，让他再也不能握笔写字。
就这样，“0”被那个愚昧、残忍的罗马教皇明令禁止了。
但是，虽然“0”被禁止使用，然而罗马的数学家们还是不管禁令，在数学的研究中仍然秘密地使用“0”，仍然用“0”做出了很多数学上的贡献。
后来“0”终于在欧洲被广泛使用，而罗马数字却逐渐被淘汰了。
故事二：高斯求和高斯念小学的时候，有一次在老师教完加法后，因为老师想要休息，所以便出了一道题目要同学们算算看，题目是：1+2+3+.....+97+98+99+100=?老师心里正想，这下子小朋友一定要算到下课了吧！正要借口出去时，却被高斯叫住了！！原来呀，高斯已经算出来了，小朋友你可知道他是如何算的吗？高斯告诉大家他是如何算出的：把1加至100与100加至1排成两排相加，也就是说：1+2+3+4+.....+96+97+98+99+100100+99+98+97+96+.....+4+3+2+1=101+101+101+.....+101+101+101+101共有一百个101相加，但算式重复了两次，所以把10100除以2便得到答案等于从此以后高斯小学的学习过程早已经超越了其它的同学，也因此奠定了他以后的数学基础，更让他成为——数学天才！故事三：数字之间的故事有一天，数字卡片在一起吃午饭的时候，最小的一位说起话来了。
高斯数学典故
高斯数学典故
高斯是著名的数学家、物理学家和天文学家，他留下了许多经典的数学典故。
以下是一些高斯的数学典故：
1.童年时期的算术奇才。
高斯在童年时期就表现出了惊人的算术天赋。
据说，他在4岁时，一位教授给他一道简单的加法题，即1+2+3+...+100=？高斯很快就得出了答案，他用了一种聪明的方法：将100个数分成50组，将第一组和最后一组相加，得到101，将第二组和倒数第二组相加，也得到101，以此类推，最后得到了101×50=5050。
2.求和公式。
高斯在10岁时，他的老师给他一道算术题，让他对1到100的所有整数进行加和。
高斯很快就找到了规律，他将100个数分成了50组，每组都是101的和，最后得到了5050。
不过，高斯并没有满足于此，他想知道对于所有的整数n，1到n的和是多少。
他找到了一个简单的公式：1+2+3+...+n=(n+1)×n÷2。
这个公式后来被称为高斯求和公式，它在数学中应用广泛。
3.高斯定理。
高斯定理是关于电场和电荷的一个重要定理。
它指出，电荷在一个闭合的曲面内所产生的总电通量等于该曲面内所包含的电荷量的比例。
高斯定理在电学、电磁学和天体物理学中都有广泛应用，是现代物理学中的一个基本概念。
4.高斯分布。
高斯分布是一种连续概率分布，它的概率密度函数呈钟形曲线。
高斯分布在数学统计学中被广泛应用，它可以用来描述自然界中许多随机事件的分布情况，如体重、身高、温度、气压等。
总之，高斯留下了许多经典的数学典故，他的贡献对现代数学和物理学的发展产生了深远的影响。
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不可不知的中国古代数学：从高斯算1 2 3 … 100谈起。
中国古代数学究竟有多牛逼编者按：本报告基于林开亮博士参加由《知识就是力量》杂志社主办的2016年度“全国中学生数学/物理/化学科普竞赛”数学科普讲座的通俗报告《从杨辉三角到李善兰垛积术》和他在西北农林科技大学做的通俗报告《从高斯算1+2+3+...+100 谈起》。
感谢林老师授权【超级数学建模】发表。
高斯的故事我们的故事从德国大数学家高斯（Gauss）讲起：传说中的高斯解法：利用对称性首尾相加求和事实上，高斯用的是数学归纳法；他证明了一个更一般的结果阿基米德的故事不过高斯并不是最早得到公式（1）的人，至少古希腊的阿基米德就知道了（1），事实上，阿基米德还得到了下述平方和求和公式阿基米德有一句名言流传至今：给我一个（地球外）支点，我可以翘起整个地球！你在开门时、用钳子夹核桃就已经应用了这个杠杆原理！阿基米德与高斯之间数学家：朱世杰一个自然的问题是：历史上第一个给出这类问题解法的，是元代数学家朱世杰。
特别地，对上述问题，他给出了答案：这比欧洲最早得到这个公式的德国数学家莱布尼茨早了300多年。
今年恰逢莱布尼茨（1646－1716）逝世300周年。
朱世杰：我们的主人公朱世杰就是我要讲的故事的主人公，我们不仅仅要介绍他是如何得到立方求和公式（3）的，还要介绍他的方法（裂项求和）如何可以求出一般的前n个数的p次方的和，即如何得到这样的公式：朱世杰现在对大家来说也许只是个陌生的名字，但我希望报告结束后你会得到这样的认识，他位列古代最伟大数学家的行列。
朱世杰生活的大时代世界中世纪（Middle Ages，大约500--1400 ）的漫漫长夜长达近千年，代表事件分别是罗马帝国的灭亡与文艺复兴。
中世纪的数学最辉煌的地域是中国（宋元四大家）、印度（婆罗摩笈多）、波斯（海亚姆）、意大利（斐波那契）。
翻译传播希腊与印度的数学和科学。
中国宋元（960-1279-1368）四百年是中国古代数学的黄金时代，涌现出四位大数学家，人称“宋元四大家”：南宋：李冶（1192-1279）、秦九韶（1202-1261）、杨辉（约1238 -1298）元：朱世杰（1249-1314）四人皆有著作，成就了中国古代数学的最高峰评注1：美国著名科学史家萨顿(G. Sarton，1884－1956)说过，秦九韶是“他那个民族，他那个时代最伟大的数学家之一。
”这个评价同样适用于李冶和朱世杰。
评注2：“宋元四大家”中真正能称得上“大家”只有三位——秦九韶、李冶和朱世杰，而杨辉主要是数学教育家，把他算进来有点牵强。
此外，在四人中，我们对杨辉的生平也是了解最少的。
宋元四大家1、宋元四大家之秦九韶秦九韶，字道古，生于安岳（今四川安岳县）。
南宋数学家、官员。
代表作《数书九章》18卷（我表示遗憾：北师大版高中数学教材必修5 第51页居然说成《数学九章》！）。
成就：①中国剩余定理（秦九韶定理），比西方的欧拉早500年。
它包含在一个称为“大衍总数术”的巧妙算法中。
②高次方程的数值解法，比西方的霍纳早500年。
③三角形的海伦--秦九韶面积公式（据说这公式阿基米德也已经知道）2、宋元四大家之李冶李冶，字仁卿，栾城（今河北栾城县）人，南宋数学家、天文学家、历史学家，进士出身，曾有官职，后归隐封龙山收徒讲学。
著有《测圆海镜》、《益古演段》；其贡献在于引入了名为“天元”（相当于“嫌疑人X”）的未知数概念，创立了利用未知数建立方程的方法（天元术），为几何的代数化铺平了道路。
此外，李冶还与秦九韶各自独立地引进记号〇表示空位。
至此，中国十进制完善了。
3、宋元四大家之杨辉杨辉，字谦光，临安（今杭州）人，南宋数学家和数学教育家，曾担任地方官。
著有《详解九章算法》、《日用算法》、《杨辉算法》；成就：发扬光大了沈括、贾宪的数学成就。
此外，杨辉还是中国第一个系统研究幻方（Magic square）的人。
最早的幻方也出自中国，洛书，又称九宫格。
它也出现在金庸的《射雕英雄传》中，请看以下视频：①将沈括《梦溪笔谈》中的“隙积术”普及，作为特例，他不仅给出了阿基米德的求和公式(2)，还给出了下述三角垛的求和公式沈括、杨辉所考虑的这类“堆垛”问题的推广，用现代术语来说即“高阶等差数列的求和”。
这一问题后来被朱世杰所创立的“垛积招差术”彻底解决，他所依赖的工具之一就是杨辉的另一项成就。
②从贾宪（现已失传）的工作中发掘出二项式系数的“贾宪三角”关系，今人称之为“杨辉三角”，因为它出现在杨辉的《详解九章算法》中。
西方称之为帕斯卡三角，事实上帕斯卡比杨辉都晚生了近400年。
先后有许多数学家独立发现这一结果，都说明了，这是一个基本的发现。
杨辉三角最基本的性质是（杨辉恒等式）：*维基百科中的帕斯卡三角：https:///wiki/Pascal%27s_triangle4、宋元四大家之朱世杰朱世杰，字汉卿，燕山（今北京）人，元代数学家、教育家，毕生从事数学教育。
著有《算学启蒙》、《四元玉鉴》；当代著名数学家吴文俊（中科院院士、2000年国家最高科学技术奖得主）对《四元玉鉴》有高度评价：这本书标志着我国传统数学的顶峰。
吴文俊关于数学机械化的开创性工作，得益于朱世杰《四元玉鉴》求解多元多项式方程组的工作（“四元术”）以及20世纪美国数学家李特（J. F. Ritt）的工作。
成就：①将李冶的天元术发展为四元术，用以求解多元多项式方程组。
所谓四元即四个未知数的名称，称之为天、地、人、物。
正是这项成就启发了吴文俊开创了数学机械化的工作。
小引：清代数学家李善兰将26个拉丁字母依次翻译为十天干（甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸）、十二地支（子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥）和四元（天、地、人、物）。
因此天、地、人、物恰好对应w,x,y,z，这几个字母常用来表示未知数。
Question1：在干支纪年中，今年（2016）是什么年？提示，你记得甲午战争是哪一年吗？或者你看过这个段子吗？让子弹飞：炸在辛亥这个地方了！Question 2：阿基米德生于公元前287年，朱世杰生于1249年，高斯生于1777年。
据说按照中国人的十二生肖，他们的属相相同。
请问：是这样的吗，如果是，阿基米德、朱世杰和高斯都属啥？②将沈括、杨辉的“隙积”、“堆垛”术系统发展，得到“垛积术”的基本关系式，也就是现在所谓的“朱世杰恒等式”，它是阿基米德求和式（1）和杨辉三角垛求和公式（2*）的自然推广：在朱世杰恒等式（A）中令p=1，2就得到阿基米德求和式（1）和杨辉的三角垛求和公式（2*）。
[用字母C是因为它是组合单词combination的首字母。
]“垛积”中的“垛”是高阶等差数列（高次多项式）的几何对应物，例如“三角垛”其实就是三角形数，回忆起阿基米德公式有各种各样的整数值多项式，从而有各种各样的垛状数（Figurate numbers)。
见维基百科：https:///wiki/Figurate_number “垛积”中的“积”其实是“求和”的意思。
因此“垛积”的意思就是高阶等差数列的求和。
“垛积术”的要诀就是今人所谓的“裂项求和”。
而如何“裂项”则是朱世杰的第3项成就。
这是本报告中最微妙的部分，接下来我们重点介绍。
③完善了元代郭守敬《授时历》中所用的招差术，得到了四阶等差数列的招差公式。
用现代数学术语来说，朱世杰的四阶招差公式相当于说：若f(n)是一个四次多项式，则其中系数分别是f(n)的在原点n=0处的0次差分，1次差分，2次差分，3次差分，4次差分。
具体计算可依照差分表求出（参见陈景润《组合数学》）。
举例：由于朱世杰完全掌握这一算法，可以我们有理由推断，他事实上得到了任意次数的多项式的招差公式，这个结果在西方最早由300多年以后的英国数学家格里高利和牛顿分别得到。
不过牛顿的同胞泰勒在牛顿差分公式的基础上更进一步（取极限）而得到了微积分的基本结果（泰勒定理）。
中国没有产生微积分。
朱世杰的招差术是离散的微分，朱世杰的垛积术是离散的积分，所以我们这里讲的就是离散的微积分。
它距离连续的微积分只有一步之遥。
有了招差术和垛积术，那么高阶等差数列（p阶等差数列的通项公式就是p次多项式f(n)）的求和就是水到渠成的了。
例如，根据前面的结果，可以求得前n个数的四次方和公式朱世杰正是用同样的方法求得了前n个数的立方和公式（3）。
留给有兴趣的读者。
[一定要动手！数学不是光靠看书听讲就能学会的。
动笔算过之后，印象会更深刻。
数学家的最重要的两样武器：笔和纸。
]类似的，可以想见，朱世杰的“垛积招差术”可以解决一般的p 次幂求和这个问题朱世杰本人并未考虑，他留给了清代的李善兰。
不过在此之前，西方人（例如费马）已经解决了这个问题，因为他们要求幂函数在[0,1]上的面积。
这个公式称为福尔哈伯公式（Faulhaber’s formula）。
20世纪大数学家西格尔（Siegel)曾这样说：第一个发现这个公式的人（可能是11世纪的埃及数学家海塞姆）必定博得了上帝的欢喜(It pleased the dear Lord.)。
小引：之所以一般用字母p 表示幂次数，是因为幂的英文是power。
幂函数(power function)，杨幂=杨平方秦九韶、李冶、朱世杰之比较南秦北李一时瑜亮，相得益彰秦九韶的《数书九章》与李冶的《测圆海镜》几乎同时完成，甚至不约而同地引入了记号〇，但他们从未提到对方的工作，也许他们根本不认识对方。
事实上，他们分别属于两个敌对的王朝，秦李二人的工作（求解与建立方程）互为补充，交相辉映。
二者合在一起，正是中国古代数学黄金时代的标志。
朱世杰集众家之大成后来居上与宋代的秦、李、杨不同，朱世杰一生未入仕途，以数学名家之身份周游湖海二十余年，吸收并发展了秦、李、杨、郭的成就。
他的成就大概可以用丘成桐先生的一副楹联来形容：地有南北，无疆域始成大业；学无先后，有德才方是贤人。
道古桥的故事当代数学家蔡天新是秦九韶超级粉丝，他曾“突发奇想”，建议并敦促杭州市政府为纪念秦九韶的道古桥复名立碑。
这一建议后来被采纳，并请数学家王元（华罗庚的弟子）题写了桥名。
这正是七百多年前的一段数学佳话的回响：1238 年，秦九韶回临安丁父忧，见河上无桥，两岸人民往来很不便，便亲自设计，再通过朋友从府库得到银两资助，在西溪河上造了一座桥。
桥建好后，原本没有名字，因桥建在西溪河上，习惯上被叫作“西溪桥”。
直到元代初，另一位大数学家、游历四方的北方人朱世杰来到杭州，才倡议将“西溪桥”更名为“道古桥”，以纪念造桥人、他所敬仰的前辈数学家秦九韶，并亲自将桥名书镌桥头。
秦九韶、朱世杰、王元和蔡天新，让道古桥变成了一座有故事的桥。
它起初只是横跨西溪，而如今已经纵贯古今，连接了前后七八百年的数学家，是数学史和数学文化的活字碑。