(完整版)古代数学中的算法案例(上课)

(2016全国卷8)中国古代有计算多 项式值的秦九韶算法，右图是实现 该算法的程序框图.执行该程序框 图，若输入的x=2，n=2，依次输 入的a为2，2，5，则输出的（C ）
(A)7 （B）12 （C）17 （D）34
f (x) (2x 2)x 5
（2015全国卷2（8））右边程序框图的算法思
中国古代数学中的算法案例
1. 求两个正整数最大公约数的算法
定义
• 如果有一个自然数a能被自然数b整除， 则称a为b的倍数，b为a的约数。几个 自然数公有的约数，叫做这几个自然数 的公约数。公约数中最大的一个公约数， 称为这几个自然数的最大公约数。
1. 求两个正整数最大公约数的算法
问题：求78和36的最大公约数。
加法 n 次？
用秦九韶算法计算多项式
乘法 n 次，加法 n 次？
练习：用秦九韶算法求多项式f(x)=5x5+2x4+3x3+x-8当 x=8时的值，并回答需要几次乘法？几次加法？
解：f(x)= 5x5+2x4+3x3+0x2+x-8
f(x) =((((5x+2)x+3)x+0)x+1)x-8, x=8
∴ f(5) =2677
总结：这样共作了5次加法，5次乘法.
《数书九章》——秦九韶算法
设 f (x) 是一个n 次的多项式
f (x) an xn an1xn1 a1x a0
对该多项式按下面的方式进行改写： f (x) an xn an1xn1 a1x a0
(an xn1 an1xn2 a1)x a0
练习：求288和123的最大公约数 (288,133) (123,42) (42,39) (3,39)
第一步：输入两个 正整数a，b（a＞b）;
第二步：求出a÷b 的余数r；
第三步：若r≠0,令 a=b，b=r，，重复第 二步；若r=0，执行第 四步
第四步：输出最大 公约数b.
开始 输入a,b r = a Mod b
• 为了证明这个公式，我国魏晋时期数 学家刘徽写了一篇1800余字的注记， 这篇注记就是数学史上著名的“割圆 术”。
刘徽形容他的“割圆术”
说：割之弥细，所失弥少， 割之又割，以至于不可割， 则与圆合体，而无所失矣。
简单来说所谓“割圆 术”，是用圆内接正多边 形的周长去无限逼近圆周 并以此求取圆周率的方法。
所以：78和36的最大公约数是6
理论依据：由a－b=r → a=b+r，得(a, b) 与(b, r)有相同的公约数.
假设a,b的最大公约数是 p,则a mp,b np, r a b (m n) p 所以p为b, r的约数, 假设q为b, r的最大公约数， b xq, r yq,且q p 所以a b r xq yq (x y)q, 所以a与b的最大公约数为 q,与已知假设矛盾
从内到外，如果把每一个括号都看成一个 常数，那么变形后的式子中有哪些“一次 式”？x的系数依次是什么？
计算的过程可以列表表示为： f(x) =((((2x－5)x－4)x+3)x－6)x+7, x=5
v0=2 v1=v0x-5=2×5-5=5 秦九韶算法 v2=v1x-4=5×5-4=21 v3=v2x+3=21×5+3=108 v4=v3x-6=108×5-6=534 v5=v4x+7=534×5+7=2677
简介
• 更相减损术是出自 《九章算术》的一 种求最大公约数的 算法，它原本是为 约分而设计的。 但它适用于任何需 要求最大公约数的 场合。
例1 ：用等值算法（更相减损术）求下列 两数的最大公约数。 （1）225，135； （2）98，280.
答案: (1) 45;
(2) 14.
(1) (225,135) (90,135) (90,45) (45,45)
(2) (98,280 ) (98,182 ) (98,84) (14,84) (14,70) (14,56) (14,42) (14,28) (14,14)
开始 输入a,b
a≠b N
输出b
a=a－b
Y Y
b=b－a
N a>b
结束
程序：
a=input(“a=”)； b=input(“b=”)；
(
xn 2
)2
(1
hn
)2
于是由 S6 6
3 4
求得S12=3；
S24≈3.105828；……
按照这样的思路，刘徽把圆 内接正多边形的面积一直算 到了正3072边形，并由此而 求得了圆周率 为3.14和 3.1416 这两个近似数值。这个结果 是当时世界上圆周率计算的 最精确的数据。
祖冲之（429～500） 南北朝时 期杰出的数学家和天文学家，在 数学方面，祖冲之推算出圆周率 π的不足近似值（朒数） 3.1415926和过剩近似值（盈数） 3.1415927，指出π的真值在盈、 朒两限之间，即3.1415926＜π＜
k>0
否
是
k=k－1
v=v*x +ak
输出S 结束
Scilab语言：
x=input("x="); n=input("n="); result=input("The first xishu"); for i=1 : 1 : n
a=input("xishu: "); result=result*x+a; end disp(result,"The result is:");
路源于我国古代数学名著《九章算术》中的 “更相减损术”。执行该程序框图，若输入a,b 分（别为A）140,18，则输出的B a=
（B）2 （C）4 （D）14
.秦九韶是我国南宋时期的数学 家，普州（现四川省安岳县）人， 他在所著的《数书九章》中提出 的多项式求值的秦九韶算法，至 今仍是比较先进的算法．如图所 示的程序框图给出了利用秦九韶 算法求某多项式值的一个实 例．若输入 n ，x 的值分别为
((an xn2 an1xn3 a2 )x a1)x a0
((an x an1)x an2 )x a1)x a0 令vk ((an x an1)x an(k1) )x ank
递推公式为vk
v0 an 其中，k vk1x ank
1,2,3n
n(1 n)
直接计算多项式乘法 2 次，
2 78 36 3 39 18 13 6
所以：78和36的最大公约数是2×3=6
思考： 假设a和b的最大公约数p，那么a-b，或 是b-a是否能被p整除？
例如，求78和36的最大公约数： 更相减损术 等值算法
(78，36) → (42，36) → (6，36) → (6，30) → (6，24) → (6，18) → (6，12) → (6，6).
观察秦九韶算法的数学模型，计算vk时 要用到vk－1的值，若令v0=an，我们可以得 到下面的递推公式： v0=an vk=vk－1·x+an－k (k=1, 2, …, n)
这是一个在秦九韶算法中反复执行的 步骤，可以用循环结构来实现。
开始 输入x,n;a0,a1,a2,…,an
k=n, v=an
设圆的半径为1，正n边形
的边长AB为xn，弦心距
OG为hn；面积为Sn，根据
勾股定理，得：
hn
1
xn 2
2
,
x2n
xn 2
2
容易知道x6=1,
正2n边形的面积等于正n
边形的面积加上n个等腰三
角形的面积，即
S2n
Sn
n
1 2
xn
(1 hn )
(n 6)
正2n边形的边长为 x2n
假设a,b的最大公约数是 p,则a mp,b np, a bt r 所以r a bt mp npt (m nt) p,所以p为b, r的约数, 假设q为b, r的最大公约数， b xq, r yq,且q p 所以a bt r xqt yq (xt y)q, 所以a与b的最大公约数为 q,与已知假设矛盾
v0=5 v1=v0x+2=5×8+2=42
v2=v1x+3=42×8+3=339
v3=v2x+0=339×8+0=2712
v4=v3x+1=2712×8+1=21697
v5=v4x-8=21697×8-8=173568
∴ f(8) =173568
5次加法，5次乘法
怎样用程序框图表示秦九韶算法 ？
第一，从半径为1的圆内接正六边形开始， 计算它的面积S6； 第二，逐步加倍圆内接正多边形的边数，分 别计算圆内接正十二边形，正二十四边形， 正四十八边形，…的面积，到一定的边数 （设为2n）为止，得到一列递增的数，
S6，S12，S24，S48，…，S2n. 第三，S2n近似等于圆面积。
下面的关键是找出正n边形的面积与正2n 边形的面积之间的关系，以便递推。
4,3，则输出的v的值为（ C ）
A.20 B.61 C.183 D.543
f (x) ((( x 3)x 2)x 1)x x4 3x3 2x2 x
这种计算方法，称之为秦九韶方法。直到今
天，这种算法仍是世界上多项式求值的最先进的 算法。其最大的意义在于将求n次多项式的值转化 为求n个一次多项式的值。在人工计算时，利用秦 九韶算法和其中的系数表可以大幅简化运算；对 于计算机程序算法而言，加法比乘法的计算效率 要高很多，所以此算法极大地缩短了CPU运算时 间。
3. 求多项式的值的算法 求多项式f(x)=2x5－5x4－4x3+3x2－6x+7当 x=5时的值的算法。 一般的解决方案 直接计算